Teoria das estruturas II- Modulo III - Quadros Planos pdf

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Universidade Salgado de Oliveira
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Teoria das Estruturas II
Módulo IIIMódulo III
Quadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos Isostáticos
Prof. Engº Alexandre CalheirosProf. Engº Alexandre CalheirosProf. Engº Alexandre CalheirosProf. Engº Alexandre Calheiros
Niterói Niterói Niterói Niterói –––– RJRJRJRJ
2015201520152015
Pórticos são estruturas formadas por barras, que formam quadros entre si.
Quadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos Isostáticos
Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos, que associados entre si, 
da mesma forma com que associamos vigas simples para formar vigas compostas 
(GERBER), formam os chamados quadros compostos.
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Quadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos Isostáticos
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
O estudo de suas reações externas já foi realizado anteriormente, portanto, será abordado 
o estudo dos diagramas solicitantes.
Em estruturas lineares horizontais (vigas) foi adotada uma convenção para as solicitações
3
baseados nos conceitos de abaixo e acima da barra em estudo. 
No estudo dos pórticos, utiliza-se a mesma convenção adotada as barras horizontais onde 
definimos os lados externos e internos das barras que constituem a estrutura, vista a 
existência de barras verticais, horizontais e inclinadas.
Quadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos Isostáticos
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Identificam-se os lados internos das barras com a parte inferior de uma estrutura linear
horizontal, ficando desta forma possível utilizar-se as convenções já adotadas. 
Costuma-se tracejar o lado interno das barras, bem como a parte inferior das vigas, 
identificando-se facilmente as convenções.
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Quadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos Isostáticos
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
O cálculo das solicitações, assim como em vigas, pode ser realizado pelo método dasmétodo dasmétodo dasmétodo das
equações equações equações equações ou pelo método diretométodo diretométodo diretométodo direto, ressaltando-se que o eixo longitudinal (x) de cada barra, 
continua sendo o eixo que passa pelo centro de gravidade das seções transversais, e os 
eixos y e z, perpendiculares à este e contidos pela seção de corte 
(eixos principais centrais de inércia).
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Quadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos Isostáticos
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
O método das equações torna o estudo dos pórticos muito demorado, pois além 
de cortarmos a estrutura por uma seção antes e outra depois dos pontos de 
transição já definidos, quando há mudança de direção de barra também deve 
ser interrompida a equação, pois uma carga que produz esforço normal em uma 
6
ser interrompida a equação, pois uma carga que produz esforço normal em uma 
barra vertical, produz esforço cortante na barra horizontal perpendicular e ela, 
e vice-versa.
Quadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos Isostáticos
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Pode-se encarar esta mudança de direção como um novo ponto de transição, 
examinando seções antes e depois dele.
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No pórtico acima, por exemplo, existem seis seções a serem analisadas.
Deve-se salientar o fato de que ao ser considerada a seção de uma barra 
qualquer de um pórtico, devem ser consideradas todas as cargas externas 
aplicadas à direita ou à esquerda da seção, inclusive as cargas que atuam em 
outras barras que não a em estudo.
Quadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos Isostáticos
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Estamos diante de um problema novo, que faremos recair em problemas já 
conhecidos (resolução de vigas biapoiadas), da seguinte maneira.
B C
B C
P1
B HB
VB
HC
VC
VB VC
HB HC
=
MB MC
MB MC
C
8
Rompendo o quadro em seus nós intermediários B e C, podemos destacar umas 
das outras, as barras que o constituem, desde que apliquemos nesses nós, em 
cada uma das barras, os esforços simples neles atuantes, que manterão o 
equilíbrio de cada barra AB, BC e CD. 
A D
A D
P2
VA
HA
VD
=
q
Quadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos IsostáticosQuadros Planos Isostáticos
CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕESCÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES
Analisando, agora, cada uma das barras, concluímos que HB, VB e VC são forças 
que equilibram as demais cargas atuantes na barra BC, biapoioada.
B C
P1
B
VB
HB HC
=
MB MC
MB MC
B C
P1
B HB
VB
HC
VC
VB VC
HB HC
MB MC
MB MC
C C
9
A mesma conclusão chegaríamos para as barras AB e CD. O quadro então recai 
no estudo das três vigas biapoiadas AB, BC e CD da figura acima.
A
D
P2
VD
=
A D
P2
VA
HA
VD
q q
Exemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro Biapoiado
20t20t20t20t 1. Cálculo das reações de apoio.
∑V=0 :
VVVVA A A A = 20t= 20t= 20t= 20t
∑MB=0 :
20x5 + 2x2 – 20x8 + 16 + 4 HA= 0 → HHHHAAAA = 10t = 10t = 10t = 10t 
∑H=0 :
HA + 4 – 2 - HB =0 → HHHHBBBB = 12t= 12t= 12t= 12t
5m5m5m5m +
10
Conhecidas as reações de apoioreações de apoioreações de apoioreações de apoio, passemos a traçar os diagramas solicitantes diagramas solicitantes diagramas solicitantes diagramas solicitantes .
Nó D:Nó D:Nó D:Nó D:
Para a barra AD: MPara a barra AD: MPara a barra AD: MPara a barra AD: MD,barraAD D,barraAD D,barraAD D,barraAD ==== 10x8 + 4x4 = 96mt96mt96mt96mt, tracionando as fibras da esquerda
Para a barra CD: MPara a barra CD: MPara a barra CD: MPara a barra CD: MD,barraCD D,barraCD D,barraCD D,barraCD ==== 2x22 /2 = 4mt4mt4mt4mt , tracionando as fibras superiores
Para a barra DE: MPara a barra DE: MPara a barra DE: MPara a barra DE: MD,barraDE D,barraDE D,barraDE D,barraDE ==== 10x8 + 4x4 + (2x22 /2) = 100mt100mt100mt100mt , tracionando as fibras 
superiores (tomando-se as forças atuantes à esquerda da seção).
Exemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro Biapoiado
1.1.1.1.
20t20t20t20t
Outro modo de obter o MMMMD,barraDE D,barraDE D,barraDE D,barraDE ::::
Rompendo todas as barras quem concorrem no
nó D e aplicando os momentos fletores nelasatuantes, eles têm que estar em equilíbrio, pois a
estrutura o está. Temos então,
5m5m5m5m
D4mt 96 + 4 = 100mt100mt100mt100mt
11
Nó E:Nó E:Nó E:Nó E:
Para a barra EF: MPara a barra EF: MPara a barra EF: MPara a barra EF: ME,barraEF E,barraEF E,barraEF E,barraEF ==== 16mt16mt16mt16mt, tracionando as fibras da direita
Para a barra BE: MPara a barra BE: MPara a barra BE: MPara a barra BE: ME,barraBE E,barraBE E,barraBE E,barraBE ==== 12x4 + 2x2 = 52mt52mt52mt52mt , tracionando as fibras da direita
Para a barra DE: MPara a barra DE: MPara a barra DE: MPara a barra DE: ME,barraDE E,barraDE E,barraDE E,barraDE ==== 36mt36mt36mt36mt , tracionando as fibras superiores (aplicando-se as condições 
de equilíbrio da barra).
96mt
E
16mt
52 - 16 = 36mt36mt36mt36mt
52mt
Exemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro Biapoiado
Marcando os valores obtidos para os nós, temos definidas as linhas de fechamento, a partir 
das quais penduramos os diagramas de viga biapoioada, obtendo, então, o diagrama final.
100
96 52
16
36
4
ql²/8 = 1111
ql²/8 = 16161616
C
D E
F
MMMMD,barraDE D,barraDE D,barraDE D,barraDE ==== 100mt100mt100mt100mt
MMMMD,barraAD D,barraAD D,barraAD D,barraAD ==== 96mt96mt96mt96mt
MMMMD,barraCD D,barraCD D,barraCD D,barraCD ==== 4mt4mt4mt4mt
Nó D:Nó D:Nó D:Nó D:
DMFDMFDMFDMF
12
2x4 = 8888
1x2 = 2222
A
B
MMMME,barraEF E,barraEF E,barraEF E,barraEF ==== 16mt16mt16mt16mt
MMMME,barraBE E,barraBE E,barraBE E,barraBE ==== 52mt52mt52mt52mt
MMMME,barraDE E,barraDE E,barraDE E,barraDE ==== 36mt36mt36mt36mt
Nó E:Nó E:Nó E:Nó E:
Exemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro Biapoiado
A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e de esforços normais é imediata, a 
partir do carregamento e das reações de apoio indicados na figura abaixo:
B
C
D E
F
16t16t16t16t
DECDECDECDEC
+16
-4
-14
+14
+12
+
+
-
-
13
A
A
B
C D E
F
DENDENDENDEN
-10
-14
-20
-
-
Exemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro BiapoiadoExemplo 1 : Quadro Biapoiado
Observações:Observações:Observações:Observações:
1. Os DMFDMFDMFDMF nas barras verticais poderiam, também, ser obtidos calculando seus valores nas seções de
aplicação das cargas concentradas ( 4444tttt para a barrabarrabarrabarra ADADADAD e 2222tttt para a barrabarrabarrabarra BEBEBEBE ), ligando-os a zero
nos apoios e aos valores obtidos nos nós (96969696 mtmtmtmt para o nónónónó DDDD e 52525252 mtmtmtmt para o nónónónó EEEE).
2. Para o DECDECDECDEC , obedecemos às mesmas convenções de sinais adotadas no caso das vigas.
3. A área do DECDECDECDEC vale: SSSSQQQQ ==== -10 x 4 -14 x 4 - 4 + 16 x 4 + 14 x 2 + 12 x 2 = ++++ 16161616 mmmmt, valor da carga
momento aplicada ( sentido anti-horário).
14
4. No traçado do DENDENDENDEN, é indiferente o lado para o qual marcamos os valores, interessando apenas o
sinal ( positivo se é de tração e negativo no caso de compressão ).
5. A fim de evitar confusão com as linhas que definem o eixo do quadro e com linhas auxiliares usadas
para o traçado dos diagramas, pode-se hachurar, se julgado útil para maior clareza, a área
compreendida entre o diagrama final e o eixo do quadro.
6. Notar, no DMFDMFDMFDMF, os pontos angulosos nos pontos de aplicação e nos sentidos das cargas
concentradas aplicadas ( inclusive as reações de apoio ).
Exemplo 2 : Quadro Engastado e LivreExemplo 2 : Quadro Engastado e LivreExemplo 2 : Quadro Engastado e LivreExemplo 2 : Quadro Engastado e Livre
2.2.2.2.
4t4t4t4t
15
1. Cálculo das reações de apoio.
∑X=0 : HHHHA A A A = 1t= 1t= 1t= 1t
∑Y=0 : VVVVA A A A = = = = 3 + 1 + 4 = 8t= 8t= 8t= 8t
∑MA=0 : MA + 3 x 2 + 1 x 2 = 1 x 1 + 4 x 2 
MMMMAAAA = 1mt= 1mt= 1mt= 1mt
Exemplo 2 : Quadro Engastado e LivreExemplo 2 : Quadro Engastado e LivreExemplo 2 : Quadro Engastado e LivreExemplo 2 : Quadro Engastado e Livre
Os diagramas solicitantes são os indicados abaixo:
16
DMF DMF DMF DMF (mt) DEC DEC DEC DEC (t) DEN DEN DEN DEN (t)
Observações:
1. Não indicamos cálculo auxiliar algum, pois todos os valores
necessários ao traçado dos diagramas podem ser obtidos de
cabeça, no caso.
2. A área do DECDECDECDEC vale, no caso, 1111mtmtmtmt, valor da reação-momento no
engaste (sentido anti-horário).
Exemplo 3 : Quadro TriarticuladoExemplo 3 : Quadro TriarticuladoExemplo 3 : Quadro TriarticuladoExemplo 3 : Quadro Triarticulado
1. Cálculo das reações de apoio.
∑MB=0 : 
8VA = 2 x 6 + 8 x 1 x 4 + 4 x 2 - 2 x 2 
VVVVAAAA = 6t= 6t= 6t= 6t
∑Y=0 : VVVVB B B B = = = = 2 + 2 + 4 + 8 x 1 – VA = 10t= 10t= 10t= 10t
∑MG,esq=0 :
6 x 4 + 6 – 6HA – 2 x 2 – 4 x 1 x 2 = 0
HHHHAAAA = 3t= 3t= 3t= 3t
3.3.3.3.
17
AAAA
∑X=0 :
HA –HB = 0 → HHHHBBBB= HA = 3t= 3t= 3t= 3t
Passemos à obtenção do DMFDMFDMFDMF.
Nó C:Nó C:Nó C:Nó C:
MC = 3 x 3 = 9 mt, tracionando as fibras externas.
Nó G:Nó G:Nó G:Nó G:
MG,esq = MG,dir = 6mt , valor das cargas-momento aplicadas, tracionando as fibras externas.
(observação:observação:observação:observação: Em GGGG temos, evidentemente, MMMMGGGG= 0= 0= 0= 0; o diagrama sofre descontinuidades de 6mt6mt6mt6mt à esquerda e a direita).
Exemplo 3 : Quadro TriarticuladoExemplo 3 : Quadro TriarticuladoExemplo 3 : Quadro TriarticuladoExemplo 3 : Quadro Triarticulado
3.3.3.3. Nó F:Nó F:Nó F:Nó F:
MMMMF,barra FH F,barra FH F,barra FH F,barra FH = 2 x 2 = 4mt4mt4mt4mt, tracionando as fibras 
externas.
MMMMF,barra EF F,barra EF F,barra EF F,barra EF = = = = 3 x 6 – 4 x 2 = 10mt10mt10mt10mt, tracionando 
as fibras externas.
MMMMF,barra GF F,barra GF F,barra GF F,barra GF = = = = 14mt14mt14mt14mt, tracionando as fibras 
externas. (obtido pelo equilíbrio do nóobtido pelo equilíbrio do nóobtido pelo equilíbrio do nóobtido pelo equilíbrio do nó).
F14mt14mt14mt14mt 4 mt
18
10mt
4 mt
Nó E:Nó E:Nó E:Nó E:
MMMME,barra DE E,barra DE E,barra DE E,barra DE = 2 x 4 = 8mt8mt8mt8mt, tracionando as fibras superiores.
MMMME,barra BE E,barra BE E,barra BE E,barra BE = = = = 3 x 3 = 9mt9mt9mt9mt, tracionando as fibras externas.
MMMME,barra EF E,barra EF E,barra EF E,barra EF = = = = 1mt1mt1mt1mt, tracionando as fibras externas. (obtido pelo equilíbrio do nóobtido pelo equilíbrio do nóobtido pelo equilíbrio do nóobtido pelo equilíbrio do nó).
E
1mt1mt1mt1mt
8mt
9 mt
Exemplo 3 : Quadro TriarticuladoExemplo 3 : Quadro TriarticuladoExemplo 3 : Quadro TriarticuladoExemplo 3 : Quadro Triarticulado
3.3.3.3. Marcando os valores obtidos para os nós,
temos definidas as linhas de fechamento, 
a partir das quais penduramos os 
diagramas de viga biapoiada obtendo, 
então o DMFDMFDMFDMF.
As cotas básicas para o traçado dos DECDECDECDEC
e DEN DEN DEN DEN podem ser obtidos de cabeça, a 
não ser no trecho inclinado CGtrecho inclinado CGtrecho inclinado CGtrecho inclinado CG, onde 
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QQQQC,barra CG C,barra CG C,barra CG C,barra CG = 6 cos α – 3 sen α = 6 x 0,8 – 3 x 0,6 = 3t3t3t3t
NNNNC,barra CG C,barra CG C,barra CG C,barra CG = = = = ----6 sen α – 3 cos α = ----6t6t6t6t
QQQQJ,esq J,esq J,esq J,esq = = = = 4 cos α – 3 sen α = 1,4t1,4t1,4t1,4t
QQQQJ,dir J,dir J,dir J,dir = = = = 1,4 – 2 cos α = ----0,2t0,2t0,2t0,2t
NNNNJ,esq J,esq J,esq J,esq = = = = -4 sen α – 3 cos α = ----4,8t4,8t4,8t4,8t
NNNNJ,dir J,dir J,dir J,dir = = = = -4,8 + 2 sen α = ----3,6t3,6t3,6t3,6t
QQQQG,barra CG G,barra CG G,barra CG G,barra CG = -3 sen α = = = = ----1,8t1,8t1,8t1,8t
NNNNG,barra CG G,barra CG G,barra CG G,barra CG = -3 cos α = = = = ----2,4t2,4t2,4t2,4t
não ser no trecho inclinado CGtrecho inclinado CGtrecho inclinado CGtrecho inclinado CG, onde 
valem:
Exemplo 3 : Quadro TriarticuladoExemplo3 : Quadro TriarticuladoExemplo 3 : Quadro TriarticuladoExemplo 3 : Quadro Triarticulado
3.3.3.3.
DMFDMFDMFDMF
20
DECDECDECDEC DENDENDENDEN
Exemplo 4 : Quadro CompostoExemplo 4 : Quadro CompostoExemplo 4 : Quadro CompostoExemplo 4 : Quadro Composto
4.4.4.4.
Traçar os diagramas solicitantes para o quadro composto abaixo.
A decomposição, 
a ordem de resolução, 
as forças de transmissão e 
as reações de apoio 
são as indicadas abaixo:
21
Exemplo 4 : Quadro CompostoExemplo 4 : Quadro CompostoExemplo 4 : Quadro CompostoExemplo 4 : Quadro Composto
As reações de apoio e as forças de transmissão para o quadroquadroquadroquadro 1111 foram obtidas por superposição de
4
8
5
8
2
2
4
4
22
As reações de apoio e as forças de transmissão para o quadroquadroquadroquadro 1111 foram obtidas por superposição de
efeitos (carga distribuída e carga concentrada), conforme indicado na figura acima.
Para o quadroquadroquadroquadro 2222, é mais prático obter as reações de apoio empregando, diretamente, as equações de
equilíbrio, devido a maior quantidade de carregamentos atuantes, e temos:
Por ∑MG = 0: 8 VD + 3x4 – 3,25 x 8 -2x3 – 8 x 1 x 4 = 0 → VVVVDDDD ==== 6666,,,,5555 tttt
Por ∑MC, Esq. = 0: HHHHDDDD ==== 0000
Por ∑Y= 0: VG = 3,25 + 2 + 8 x 1 – 6,5 → VVVVGGGG ==== 6666,,,,75757575 tttt
Por ∑X= 0: HHHHGGGG ==== 3333 tttt
Exemplo 4 : Quadro CompostoExemplo 4 : Quadro CompostoExemplo 4 : Quadro CompostoExemplo 4 : Quadro Composto
Podemos passar, então, imediatamente ao traçado dos diagramas solicitantes:
23
DMFDMFDMFDMF
DECDECDECDEC DENDENDENDEN
Obter os diagramas solicitantes para os quadros que seguem....
ExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercícios
Cálculo das reações de apoio.
∑H=0 :
HB - 30 + 20 = 0 → HHHHB =B =B =B = 10 kN 10 kN 10 kN 10 kN (←)
∑V=0 :
VA + VB – 30 – 40 = 0 → VA + VB = 70 kN
∑MA=0 : 30x1+10x0,5-30x1,5-30x3+20x5+
+3x VB = 0
30 + 5 -45 -90 + 100 + 3xVB = 0
10kN/m
H
1. 1. 1. 1. 
24
30 + 5 -45 -90 + 100 + 3xVB = 0
135 - 135 + 3xVB = 0 → VVVVB B B B = 0= 0= 0= 0
VVVVA A A A = 70 kN= 70 kN= 70 kN= 70 kN (↑)VBVA
HB
-95
-50
ql²/8 = 11,25
ql²/8 = 1,25
-35
-60
-50
DMF DEC DEN
-30
-40 -30
+30
+
--
-
--
-
+
+10
-70
-30 -30-
-
ExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercícios
Cálculo das reações de apoio.
∑H=0 :
HB + 10 - 16 = 0 → HHHHB =B =B =B = 6 kN 6 kN 6 kN 6 kN (←)
∑V=0 :
VA + VB – 12 – 30 – 20 – 10 = 0 → 
VA + VB = 72 kN
H
α
α
20cosα = 20x3/5 = 12
20senα = 20x4/5 = 16
2.2.2.2.
C D E
F H
G
25
VA
VB
HB
∑MA=0 : 
-16 x 2 – 12 x 1,5 – 30 x 4,5 – 20 x 6 -10 x 9 + 10 x 2 + 8VB = 0
-32 – 18 – 135 – 120 – 90 + 20 + 8VB = 0
8VB = 375 → VB = 375 / 8 → VVVVB B B B = 46,87 kN = 46,87 kN = 46,87 kN = 46,87 kN 
→ VVVVA A A A = 25,13 kN= 25,13 kN= 25,13 kN= 25,13 kN
2.2.2.2.
ExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercícios
H = 6 kN 
α
α
20cosα = 20x3/5 = 12
20senα = 20x4/5 = 16
C D E
F H
G
DMF
+37,75
+25,5
30 kN 
+25,5
+19,8
-44
-12
-10
-54
33,75
26
VA = 25,13 kN VB = 46,87 kN 
HB = 6 kN 
DECDEN
α 15,1 kN
+6
+16
+10
-36,87
-16,87
+13,13
1,3m
20
10
-16
-46,87
ExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercícios
Cálculo das reações de apoio.
∑H=0 :
HÁ =2 x 4,5 / 2 → HHHHB =B =B =B = 4,5 kN 4,5 kN 4,5 kN 4,5 kN (←)
∑V=0 :
VA– 1 x 8 = 0 → VVVVAAAA = 8 kN (= 8 kN (= 8 kN (= 8 kN (↑))))
∑MA=0 : - MA – 4,5 x 1,5 + 3 x 1,5 – 5 
x 2,5 = 0
3.3.3.3.
HA
MA
A
BC D
5kN3kN
4,5kN
27
x 2,5 = 0
MMMMA A A A ==== 6,75 – 4,5 + 12,5 = 14,75 kN.m14,75 kN.m14,75 kN.m14,75 kN.m
VA
14,75
-8
-4,5
-12,5
+4,5
-3
+5
-8
DMF DEC DEN
ExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercícios
1. Cálculo das reações de apoio.
∑H=0 :
-HA +2 = 0→ HHHHA A A A = 2 kN 2 kN 2 kN 2 kN (←)
∑V=0 :
VA+ VD = 4
∑MA= 0 : – 2 x 4 - 4 x 3 + VD x 6 = 0
-8 – 12 + 6 VD = 0
V = 20 / 6 → VVVV = 3,33 kN (= 3,33 kN (= 3,33 kN (= 3,33 kN (↑))))
4.4.4.4.
HA = 2 kN A
B C
D
E
28
VD = 20 / 6 → VVVVD D D D = 3,33 kN (= 3,33 kN (= 3,33 kN (= 3,33 kN (↑))))
VA= 4 – 3,33 → VVVVA A A A = 0,67 kN (= 0,67 kN (= 0,67 kN (= 0,67 kN (↑))))
VA = 0,67 kN
+8
2
0,67
-0,67
DMF DEC DEN
VD = 3,33 kN
+10
+8
-3,33
-3,33
+
+
+
+
-
- -
2. Diagramas solicitantes.
ExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercícios
1. Cálculo das reações de apoio.
∑H=0 :
HA - 3 = 0→ HHHHA A A A = 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN (→)
∑V=0 :
VVVVAAAA= 0= 0= 0= 0
∑MA= 0 : 
MA – 4 - 3 x 1,5 = 0
MMMMAAAA ==== 4 + 4,5 = 8,5 kN.m8,5 kN.m8,5 kN.m8,5 kN.m
5.5.5.5.
VA = 0
HA
A B C
D
MA
3 kN 3 kN 3 kN 3 kN 
29
AAAA
3
DMF DEC DEN
- 8,5
-3
+ -
2. Diagramas solicitantes.
- 4,5
- 4,5
- -
-
ExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosExercícios
1. Cálculo das reações de apoio.
∑H=0 :
HA - 3 = 0→ HHHHA A A A = 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN (→)
∑V=0 :
VA+ VD -2 x 6 = 0 → VA+ VD = 12
∑MA= 0 : 
6 – 12 x 3 + 3 x 4 - 6 VD = 0
6 – 36 + 12 + 6 VD = 0 → VVVVD D D D ==== 3 kN 3 kN 3 kN 3 kN (↑)
6.6.6.6.
A
B C
D
2m
4m
2kN/m
6kNm
3kNEF G
HA ====3kN
12 kN
30
D D D D D 
VVVVA A A A ==== 12 - 3 = 9 kN = 9 kN = 9 kN = 9 kN (↑)
+3
DMF DEC DEN
- 24
-3+ -
2. Diagramas solicitantes.
- 3
- 3
-
-
2m 6mVA ====9kN VD ====3kN
- 6
- 24
- 18 - 12 -3
+9
+
-
-
-3 -9
- -
-3
ql²/8
Fim do Módulo IIFim do Módulo IIFim do Módulo IIFim do Módulo II