Matemática para Economia - Livro-Texto - Unidade I

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Autor: Profa. Kelly Cristina Rosa
Colaboradores: Profa. Mirtes Vitória Mariano
Profa. Valéria de Carvalho
Prof. Daniel Scodeler Raimundo
Matemática
Professora conteudista: Kelly Cristina Rosa
Licenciada em Matemática pela Universidade Paulista, mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade 
Católica de São Paulo.
Tem experiência na área de Educação Matemática e o uso de tecnologias aplicadas à Álgebra, à Geometria e ao 
Cálculo. Participou do grupo de pesquisa em Tecnologias da Informação e Educação Matemática da PUC-SP.
Atualmente, ministra aulas no curso presencial de Licenciatura em Matemática e Administração de Empresas da 
Universidade Paulista.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
R788 Rosa, Kelly Cristina
Matemática. / Kelly Cristina Rosa. - São Paulo: Editora Sol. 
2011.
176 p. il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos 
e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-070/11, 
ISSN 1517-9230.
1.Matemática Básica 2.Modelagem Matemática 3.Introdução a 
Funções I.Título
CDU 511.2
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial:
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dr. Cid Gesteira (UFBA)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Amanda Casale
Sumário
Matemática
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................9
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................ 10
Unidade I
1 CONJUNTOS NUMÉRICOS ........................................................................................................................... 13
1.1 Origem ...................................................................................................................................................... 13
1.1.1 Conjunto dos números naturais ...................................................................................................... 13
1.1.2 Conjunto dos números inteiros ....................................................................................................... 13
1.1.3 Conjunto dos números racionais .................................................................................................... 14
1.1.4 Irracionais ................................................................................................................................................. 15
1.1.5 Conjunto dos números reais ............................................................................................................. 16
1.2 Diagrama de Venn-Euler dos conjuntos numéricos .............................................................. 16
2 TRABALHANDO COM NÚMEROS RACIONAIS ...................................................................................... 19
2.1 Os números racionais.......................................................................................................................... 19
2.1.1 Algumas operações com racionais ................................................................................................. 20
2.1.2 Potenciação ............................................................................................................................................... 22
2.1.3 Radiciação .................................................................................................................................................. 23
2.2 Frações – aplicações na vida cotidiana ....................................................................................... 27
2.2.1 A relação de semelhança .................................................................................................................... 29
2.2.2 O fator de proporcionalidade............................................................................................................. 29
2.2.3 Exemplos de proporções ..................................................................................................................... 29
2.2.4 Proporções inversas ............................................................................................................................... 31
2.2.5 Regra de três ........................................................................................................................................... 31
2.3 Porcentagem: proporção e forma decimal ................................................................................ 34
2.3.1 Origem do termo ..................................................................................................................................... 34
2.3.2 A razão centesimal ................................................................................................................................. 34
2.3.3 Forma decimal .......................................................................................................................................... 34
2.3.4 Porcentagem como número relativo .............................................................................................. 35
2.3.5 Por que usar porcentagens? ............................................................................................................... 35
2.3.6 Cálculos com porcentagens .............................................................................................................. 35
Unidade II
3 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA ........................................................................................................................... 47
3.1 Resgatando conceitos aritméticos ............................................................................................... 47
3.2 Resgatando conceitos geométricos .............................................................................................. 48
3.3 Álgebra ...................................................................................................................................................... 49
3.3.1 O x da questão ......................................................................................................................................... 51
3.4 Equações de primeiro grau ............................................................................................................. 53
3.4.1 Modelos matemáticos........................................................................................................................... 53
3.4.2 Modelagem: primeiros passos ........................................................................................................... 54
3.4.3 Resolvendo equações ............................................................................................................................ 55
3.5 Inequações ..............................................................................................................................................58
3.6 Resolvendo inequações ..................................................................................................................... 59
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ....................................................................................................... 63
4.1 Resolvendo um sistema possível e determinado .................................................................... 64
4.1.1 Substituição de variável ...................................................................................................................... 64
4.1.2 Método da adição ................................................................................................................................... 65
4.1.3 Outros métodos ...................................................................................................................................... 68
4.2 Produtos notáveis e fatoração ...................................................................................................... 72
4.2.1 Produtos notáveis .................................................................................................................................. 72
4.2.2 Quadrado da soma de dois termos .................................................................................................. 72
4.2.3 Quadrado da diferença de dois termos.......................................................................................... 73
4.2.4 Produto da soma pela diferença de dois termos ....................................................................... 73
4.3 Fatoração ................................................................................................................................................. 74
4.3.1 Evidência do fator comum .................................................................................................................. 74
4.3.2 Agrupamento .......................................................................................................................................... 74
4.3.3 Trinômio quadrado perfeito ............................................................................................................... 75
4.3.4 Fatoração por diferença de quadrados .......................................................................................... 75
4.4 Equações de 2º grau ............................................................................................................................ 75
4.4.1 Resolvendo equações do 2º grau .................................................................................................... 77
4.4.2 Fórmula de Bhaskara ............................................................................................................................. 77
4.4.3 Discriminante .......................................................................................................................................... 78
4.4.4 Fatoração: regra da soma e produto ............................................................................................... 78
Unidade III
5 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÕES ........................................................................................... 90
5.1 A álgebra dos conjuntos .................................................................................................................... 90
5.1.1 Os conjuntos ............................................................................................................................................. 90
5.1.2 Os elementos ............................................................................................................................................ 90
5.1.3 Número de elementos .......................................................................................................................... 91
5.1.4 Representações ........................................................................................................................................ 91
5.2 Operações com conjuntos ................................................................................................................ 93
5.2.1 Operações ................................................................................................................................................... 93
5.2.2 União ............................................................................................................................................................ 93
5.2.3 Intersecção ................................................................................................................................................ 94
5.2.4 Diferença simétrica ............................................................................................................................... 95
5.2.5 Complementar ......................................................................................................................................... 96
5.3 Entendendo um diagrama de Venn-Euler ................................................................................ 97
5.3.1 Representação simbólica ..................................................................................................................... 97
5.3.2 Resolvendo problemas concretos com conjuntos abstratos ............................................... 98
6 RELAÇÕES .......................................................................................................................................................106
6.1 Par ordenado ........................................................................................................................................106
6.1.1 Produto cartesiano ...............................................................................................................................106
6.1.2 Relação binária ......................................................................................................................................108
6.1.3 Representação gráfica ........................................................................................................................109
6.1.4 Representação gráfica dos pares ordenados ............................................................................. 110
6.1.5 Domínio, contradomínio e imagem de relações binárias .....................................................111
6.2 Funções polinomiais .......................................................................................................................... 114
6.2.1 Função de 1º grau ................................................................................................................................. 114
6.2.2 Função linear .........................................................................................................................................115
6.2.3 Função afim ............................................................................................................................................116
6.2.4 Função constante .................................................................................................................................116
6.2.5 Gráfico .....................................................................................................................................................117
6.3 Função de 2º grau .............................................................................................................................124
6.3.1 Funções polinomiais ........................................................................................................................... 124
6.3.2 Função quadrática ............................................................................................................................... 124
6.3.3 Valor da função ....................................................................................................................................125
6.3.4 Raízes da função .................................................................................................................................. 125
6.3.5 Gráfico da função quadrática ....................................................................................................... 126
6.3.6 Construção do gráfico ....................................................................................................................... 127
6.3.7 Modelos gráficos .................................................................................................................................. 127
Unidade IV
7 OUTRAS FUNÇÕES .......................................................................................................................................141
7.1 Função exponencial .........................................................................................................................141
7.1.1 Propriedades ...........................................................................................................................................141
7.1.2 Domínio ................................................................................................................................................... 142
7.1.3 Gráficos .................................................................................................................................................... 142
7.1.4 Comparativo .......................................................................................................................................... 143
7.2 Função logarítmica ............................................................................................................................144
7.2.1 Definição ................................................................................................................................................. 144
7.2.2 Propriedades .......................................................................................................................................... 144
8 TRIGONOMETRIA ...........................................................................................................................................149
8.1 Trigonometria no triângulo retângulo ......................................................................................149
8.1.1 Relações métricas no triângulo retângulo ............................................................................... 150
8.1.2 Relações trigonométricas no triângulo retângulo ................................................................. 150
8.1.3 Ângulos notáveis .................................................................................................................................. 153
8.1.4 Relação fundamental ......................................................................................................................... 155
8.1.5 Lei dos senos .......................................................................................................................................... 156
8.1.6 Lei dos cossenos ................................................................................................................................... 156
8.2 Funções trigonométricas ...............................................................................................................157
8.2.1 Círculo trigonométrico ...................................................................................................................... 157
8.2.2 Seno de arcos notáveis ...................................................................................................................... 158
8.3 Função seno ..........................................................................................................................................160
8.3.1 Cosseno de arcos notáveis .............................................................................................................. 160
8.4 Função cosseno ...................................................................................................................................162
8.5 Função tangente .................................................................................................................................163
9
APRESENTAÇÃO
Caro aluno,
O objetivo desta disciplina é fazer com que o discente possa se comunicar matematicamente, 
fornecendo o embasamento para que possa, a partir de problemas do mundo real, interpretá-
los, equacioná-los e resolvê-los utilizando as estruturas matemáticas básicas. O aluno será capaz 
também de elaborar argumentações matemáticas, bem como contextualizar e inter-relacionar 
conceitos matemáticos com aplicações em outras áreas de conhecimento e em situações da vida 
cotidiana.
A disciplina Matemática apresenta-se com o objetivo de resgatar e consolidar conhecimentos de 
matemática básica apresentados no ciclo básico do ensino (Fundamental e Médio) e está dividida em 
quatro unidades.
Na primeira unidade iremos resgatar os conceitos de conjuntos numéricos, em especial os conjuntos 
dos racionais e reais. Também iremos recapitular os conceitos de fração, porcentagem e a regra de três, 
que estão intimamente relacionados.
Na segunda unidade abordaremos os conceitos de Álgebra. Esse é o ramo da Matemática que exige 
maior capacidade de abstração e que, em alguns casos, não possui ligação com nossa vida cotidiana. 
Trabalharemos com a Álgebra por meio da modelagem matemática utilizando equações, inequações e 
sistemas de equações lineares.
A terceira unidade aborda um conceito fundamental da Matemática, que é o conceito de função. 
Embora algumas vezes necessite de um esforço maior para sua compreensão, o conceito de função é 
o que possivelmente apresenta maior correlação com o cotidiano, permitindo vários exemplos práticos 
e sendo extensivamente usado em diversas áreas. Começamos a unidade trabalhando com a Álgebra 
dos conjuntos, em seguida será apresentado o conceito de relação com suas respectivas propriedades. 
A partir daí entraremos efetivamente no estudo das funções, apresentando os modelos de funções de 
1º e 2º graus.
Na última unidade continuaremos trabalhando com funções, sendo apresentados três novos 
modelos: as funções logarítmicas, as funções exponenciais e, por fim, as funções trigonométricas. 
Porém, antes de iniciarmos as funções trigonométricas relembraremos algumas propriedades da 
trigonometria. 
Os conteúdos abordados neste material têm como objetivo, além de resgatar os conteúdos já 
aprendidos no ensino básico, fornecer subsídios para o estudo das disciplinas que serão vistas ao longo 
do curso, de modo que você seja capaz de desenvolver as competências e habilidades necessárias para 
que alcance o sucesso profissional.
Bom estudo!
10
INTRODUÇÃO
O que é matemática?
A matemática é a linguagem do raciocínio humano. Assim como o ser humano usa palavras para 
transmitir informações, imagens para expressar ideias, músicas para expressar sentimentos, ele utiliza 
a linguagem da matemática para estruturar e comunicar pensamentos lógicos. Podemos considerá-la 
como uma ferramenta que nos ajuda a organizar e sintetizar o pensamento.
Como exemplo, imagine que recebamos a tarefa de ensinar alguém a calcular a quantidade de 
refrigerante que cabe em uma latinha. Usando a linguagem matemática, podemos dizer o seguinte: 
2V h r= π , onde V é o volume da latinha, h é a altura e r é o raio da base. Já para fazer a mesma coisa 
sem usar a linguagem matemática ( 2V h r= π ), seria necessário fazer algo como: pegue a medida da 
menor distância que vai do centro da base da latinha até sua borda (o raio), multiplique por ele mesmo 
(elevar ao quadrado). Em seguida, multiplique o valor obtido pela constante 3,1416 (valor aproximado 
de π) e, por último, multiplique novamente pela medida da altura da latinha. Onúmero final obtido 
corresponde à quantidade de refrigerante que pode ser armazenada no recipiente (o volume). 
Como podemos perceber, utilizar a fórmula 2V h r= π torna a informação muito mais simples e 
concisa, permitindo uma rápida comunicação e a sintetização de como deve ser o procedimento para se 
calcular o volume de um cilindro. E, além disso, a linguagem matemática é universal, ou seja, 2V h r= π 
pode ser entendida por qualquer pessoa que tenha estudado matemática em qualquer lugar do mundo, 
não importando que língua essa pessoa fale. 
O que são números?
O principal objeto de estudo da matemática não são os números, mas sim os padrões existentes 
nas estruturas do nosso Universo. Os números exprimem apenas as ideias quantitativas que o 
ser humano quer comunicar. Quanto mais nobre o pensamento matemático, menos números e 
contas ele exige. Os matemáticos costumam dizer que os números são um caso particular do 
raciocínio matemático, assim como um livro é um caso particular do que é literatura. Não se 
pode dizer que a literatura é feita de letras, assim como não se pode dizer que a matemática 
é feita de números. Assim como em um livro as letras são combinadas para formar palavras 
que transmitem os pensamentos e ideias do autor, na matemática os números são usados para 
representar as ideias quantitativas que o matemático quer registrar, transmitir ou organizar 
naquele momento.
Matemática = fazer contas? 
Os cálculos numéricos obedecem às regras da matemática, que nada mais são do que a formalização 
do raciocínio lógico humano, mas fazer matemática não é fazer contas, senão qualquer calculadora 
poderia ser considerada um grande matemático. Os cálculos constituem uma pequena parte da 
matemática chamada aritmética. Fazer matemática é compreender, equacionar e resolver problemas, de 
qualquer natureza, e envolve algumas fases, entre as quais:
11
• compreender o problema;
• identificar as variáveis que interferem no resultado;
• identificar as relações entre as variáveis;
• construir um modelo que represente a situação estudada;
• simular as variações possíveis e observar os resultados obtidos;
• validar o modelo proposto verificando sua adequação à situação.
Por que aprender matemática? 
A matemática é a arte de resolver problemas e estudando matemática você está aperfeiçoando 
seu cérebro para encontrar soluções racionais para problemas do dia a dia. Assim, uma pessoa 
que adquire um bom raciocínio matemático terá mais facilidade para expressar suas ideias, 
para entender a leitura de um texto, para acompanhar notícias econômicas e financeiras, para 
planejar atividades, para obter uma visão global das situações e muitas outras aplicações 
cotidianas. 
O matemático britânico Keith Devlin, em seu livro O gene da matemática, defende a ideia de que 
a habilidade humana de comunicação (compreender e expressar ideias) utiliza as mesmas estruturas 
cerebrais da habilidade de fazer matemática (compreender e desenvolver raciocínios lógicos). Portanto, 
o desenvolvimento de um auxilia e potencializa o desenvolvimento do outro, e uma pessoa que aumente 
seu conhecimento matemático provavelmente também aumentará sua capacidade de expressar e 
defender suas ideias.
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1 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
1.1 Origem
Há mais de mil anos um gênio marroquino concebeu as figuras de 0 a 9 que hoje nós conhecemos 
como números arábicos. Ele moldou as figuras de tal forma que cada uma apresentasse o número 
correspondente de ângulos. O número 1 contém um ângulo; o 2, dois ângulos, o 3, três ângulos, e assim 
por diante. O zero, dessa forma, não tem nenhum ângulo. Eis a forma original desses algarismos:
Figura 1 – Origem dos números arábicos
1.1.1 Conjunto dos números naturais 
O conjunto dos números naturais está relacionado com o princípio da contagem. A própria palavra 
“cálculo” vem do latim calculus, que significa pedra. Por isso a utilizamos em expressões como “cálculo 
renal” (significando “pedra nos rins”). Essa palavra remete ao antigo uso que se fazia das pedras para 
realizar a contagem das quantidades dos bens e valores que se possuía. O conjunto dos números naturais 
é representado pelo símbolo , e escrevemos da seguinte forma:
}{0,1,2,3,4,...= : conjunto dos números naturais;
{ }* 1,2,3,4......= : conjunto dos números naturais positivos (sem o zero).
Porém, será que os números naturais resolvem tudo? E uma equação do tipo: x + 2 = 0? É fácil perceber 
que não existe número natural que, substituindo a incógnita x, venha satisfazer a equação. Então, para resolver 
esse tipo de problema, é necessário um novo tipo de conjunto numérico: o conjunto dos números inteiros.
1.1.2 Conjunto dos números inteiros 
O conjunto dos números inteiros, chamado de conjunto  , provavelmente devido a palavra número 
em alemão – zahl – é formado pela união de todos os números naturais com os números negativos. 
Assim, podemos dizer que todo número natural é também um número inteiro, e matematicamente 
expressamos essa relação como ⊂ , ou, o conjunto dos números naturais está contido no conjunto 
dos números inteiros. Podemos representá-lo das seguintes formas:
 * = {...,-2,-1,1,2,...} : conjunto dos números inteiros;
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 = {...,-2,-1,0,1,2,...} : conjunto dos números inteiros não nulos;
 + = {0,1,2,3,...} : conjunto dos números inteiros não negativos;
 -* = {...,-3,-2,-1,0} : conjunto dos números inteiros não positivos;
 + = {1,2,3,4,5...}: conjunto dos números inteiros positivos; 
 - = {...,-4,-3,-2,-1} : conjunto dos números inteiros negativos.
 Observação
A dificuldade de manipulação de números negativos não é exclusiva 
dos alunos de hoje. Muitos matemáticos famosos como Euler, Laplace, 
Cauchy, MacLaurin e Carnot também estranharam a aritmética dos 
números negativos, e sua formalização matemática definitiva só veio com 
o matemático alemão Hermann Hankel, em 1867, com a publicação de seu 
livro Teoria do sistema dos números complexos.
Mas o conjunto  também não resolve todos os problemas matemáticos. Por exemplo, uma equação 
do tipo 3 × x = 1 não pode ser resolvida no conjunto dos inteiros. Para tais problemas, um novo conjunto 
numérico teve que surgir: o conjunto dos números racionais.
1.1.3 Conjunto dos números racionais 
O conjunto dos números racionais pode ser definido da seguinte forma:
*a ,a e b
b
 = ∈ ∈ 
 
  
Assim, um número racional é formado por um par de números inteiros, sendo que o primeiro número, chamado 
numerador, pode ser qualquer valor inteiro, e o segundo número, chamado denominador, não pode ser o valor zero.
Exemplos: 
3
2
, 
18
30
, 
2
1
O que significa “racionais”?
Racional vem de razão, que em matemática significa proporção, que por sua vez pode ser interpretado 
como uma divisão entre dois números.
Mas por que utilizar o símbolo  ? O símbolo  vem da palavra  uociente, que é o resultado de 
uma divisão entre números inteiros, como no exemplo a seguir:
 
dividendo ← 13 3 ← divisor
 resto ← 1 4 ← quociente 
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11Lembrete
Os números racionais são os quocientes das divisões dos números 
inteiros.
As frações (número racionais) geram três tipos de quocientes:
Inteiros, que são todos os racionais cujo denominador é unitário (1 ou -1), como: 
 
4
4
1
= , 
3
3
1
−
= − , 
2
2
1
= −
−
, 
1
1
1
−
=
−
, 
0 0
0
1 1
= =
−
. Podemos então perceber que todo número inteiro é 
também um número racional, e expressamos essa relação como ⊂  .
Decimais exatos são todos os racionais cujo valor pode ser expresso como um número decimal com 
uma quantidade finita de casas decimais, como: 5 1 0,5
10 2
= = , 
1
0,25
4
−
= − , 
41
5,125
8
= .
Dízimas periódicas são todos os racionais cujo valor pode ser expresso como um número decimal 
infinito, porém com a repetição de uma mesma sequência de algarismos, como: 
1
0,333... 0,3
3
= = , 
1.1.4 Irracionais 
Os irracionais são os números decimais “infinitos” e não periódicos, ou seja, as chamadas dízimas não 
periódicas. As raízes não exatas geram dízimas não periódicas.
Exemplos:
3,141592653589793238462643...π =
e 2,718281828459045235360287...=
1,618033988749894848204586...φ =
2 1,41421356237309504880168...=
3 1,73205080756887729352744...=
Pela própria definição de números irracionais podemos perceber que um número só será irracional 
se não for racional, ou seja, não há nenhum número que é, ao mesmo tempo, racional ou irracional, e 
expressamos isso matematicamente da seguinte forma: Irracionais = ∩ ∅
1.1.5 Conjunto dos números reais 
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Os reais são formados pela união dos racionais e dos irracionais, englobando, assim, todos 
os números vistos previamente. Dizemos que os reais são um conjunto numérico ordenado e 
completo. Os reais são todos os números que representam a medida de algo tangível ao ser 
humano.
 Irracionais= ∪ 
Se os números reais são formados pela união dos racionais com os irracionais, então todos os 
números racionais obviamente também são números reais. Isso pode ser expresso matematicamente 
como: ⊂  .
Os reais, embora seja um conjunto completo, não é algebricamente fechado, pois existem equações 
algébricas que não têm solução dentro do conjunto. 
Exemplo:
2x 4= −
Se fizermos x = 2, teremos que 2 2x 2 2 2 4= = × = . Se fizermos x = -2, vamos ter que 
2 2x ( 2) ( 2) ( 2) 4= − = − × − = . Ou seja, não há número real que multiplicado por ele mesmo seja igual 
a um número negativo. Com esse tipo de equação, podemos ver que os números reais não são o final 
dessa jornada dos conjuntos numéricos, pois existem problemas que não podem ser resolvidos por eles. 
Mas para os problemas práticos de nossa vida cotidiana, os números reais são suficientes, e é sobre esse 
conjunto que desenvolveremos nossos estudos.
1.2 Diagrama de Venn-Euler dos conjuntos numéricos
Podemos perceber que existe uma hierarquia na classificação dos conjuntos numéricos. Vimos 
que todo número natural é também um número inteiro, e por sua vez todo número inteiro (o 
que inclui os naturais) é também um número racional, e todo número racional (o que inclui 
os naturais e inteiros) também é um número real. Assim, cada novo conjunto numérico que 
foi criado englobava todos os números anteriores (e suas propriedades) e acrescentava novos 
elementos que resolviam algum problema matemático para o qual o conjunto anterior não era 
suficiente. 
Vimos que aos dos números naturais, que surgiram da necessidade de contar elementos, 
adicionaram-se os números negativos, o que deu origem aos inteiros. Aos inteiros foram 
adicionados os números decimais, e assim foi formado o conjunto dos racionais. Finalmente, 
aos racionais uniram-se os números irracionais, chegando assim ao conjunto dos números reais. 
Essa sequência na qual cada conjunto numérico inclui todos os elementos do conjunto anterior 
e adiciona mais alguns pode ser sintetizada como uma relação de inclusão, da seguinte forma: 
⊂ ⊂ ⊂    .
Entretanto, muitas vezes é mais fácil visualizar essa relação de inclusão utilizando-se de um 
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diagrama de conjuntos, chamado diagrama de Venn-Euler. Em um diagrama de Venn-Euler, cada 
conjunto é representado por uma área fechada (geralmente um círculo ou uma elipse) e as áreas 
em comum de dois conjuntos representam os elementos que são comuns aos dois conjuntos (sua 
intersecção). Já as áreas independentes de cada conjunto representam os elementos que não 
são comuns aos dois (sua disjunção). Veja a seguir como fica o diagrama de Venn-Euler para os 
conjuntos numéricos:
Exemplos de aplicação
1. Identifique no diagrama quem são os elementos e dê um exemplo de um número que os 
represente.
A) Naturais.
B) Inteiros.
C) Racionais.
D) Reais.
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Resolução:
A) Naturais: {0; 2; 3; 240}.
B) Inteiros: {-50; -1; 8; 16}.
C) Racionais: {-0,3; 
1
3
; 0,555...}.
D) Reais: { 5 ; 13 ; 
x 2y 4
x 2.3 4
x 6 4
x 4 6
x 2
+ =
+ =
+ =
= −
= −
}.
 Observação
Os números acima citados são apenas exemplos, porém nada impede 
que o aluno o faça de forma diferente, desde que sejam escolhidos os 
números corretos para seus devidos conjuntos.
2. Preencha o diagrama com os números abaixo classificando-os no conjunto mais estrito a que 
pertencem: 
3 ; 1; 2 ; 9 ; 0,25 ; 0,48282... ; 12
3
; 8
2−
; 1,4326579...
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Resolução: 
Naturais: {1; 9 3= ; 
12
4
3
= }
Inteiros: { 8 4
2
= −
−
}
Racionais: { 10,25
4
= ; 
478
0,48282...
990
= }
Reais: { 3 ; 2 ; 1,4326579... }
 Observação
Os alunos poderão colocar esses valores no diagrama de Venn-Euler.
2 TRABALHANDO COM NÚMEROS RACIONAIS
2.1 Os números racionais
O conjunto dos racionais ( ) é o conjunto formado pelos números que são formados pela divisão 
entre duas grandezas inteiras. Assim, 0,5; 0,33333... e 2 são números racionais, pois podem ser expressos 
pelas divisões 1
2
 , 1
3
 e 2
1
, respectivamente.
Entretanto, os números racionais podem também ser vistos como indicadores de uma proporção 
entre duas grandezas. Assim, 1
2
expressaria uma proporção de 1 quantidade para cada 2 quantidades. A 
igualdade das frações que denotam a mesma proporção pode ser expressa pela relação de semelhança 
entre as frações. Dessa forma, temos que as frações 1
2
, 2
4
, 5
10
 e 200
400
 são equivalentes, pois todas elas 
representam uma proporção de 1 para 2. 
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2.1.1 Algumas operações com racionais 
Em todos os conjuntos numéricos, quer sejam naturais, inteiros,racionais ou reais, estão definidas 
as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Entretanto, enquanto 
que para os conjuntos dos naturais, dos inteiros e dos reais as operações são efetuadas de forma similar, 
no conjunto dos racionais as técnicas para realizar essas operações são significativamente diferentes. 
Assim, vamos estudar a seguir como são feitas essas operações no conjunto dos números racionais.
Quando representamos um número racional em forma de fração 
2
6
, por exemplo, chamamos o 
número 2 de numerador e o número 6 de denominador.
 
Agora, e se quisermos somar ou subtrair frações de denominadores iguais? Veja a seguir como esse 
procedimento é realizado:
2 3 5
+ =
6 6 6
5 1 4
6 6 6
− =
A técnica é bem simples: na soma e na subtração de frações de mesmo denominador, nós devemos 
conservar o denominador comum às frações e somar ou subtrair o numerador, conforme a operação.
A seguir, outro tipo de representação de soma de frações de mesmo denominador:
3
6
→
+
2
6
→
=
5
6
→
De forma análoga, faremos a representação da subtração:
5
6
→
-
2
6
→
=
3
6
→
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E quando os denominadores são diferentes? Para conseguirmos somar ou subtrair frações com 
denominadores diferentes, precisamos reduzir os seus denominadores a um mesmo denominador comum:
1 1
?
3 2
+ =
Vamos verificar quais são os múltiplos dos denominadores:
Múltiplos de 2: { }2,4,6,8,10,12....
Múltiplos de 3: { }3,6,9,12,15....
Múltiplos comuns: { }6,12,18,24...
Analisando os múltiplos comuns entre eles, encontramos os números 6, 12, 18, 24 e assim por 
diante. É fácil perceber que existem infinitos múltiplos comuns entre eles. Na verdade, existem infinitos 
múltiplos comuns entre quaisquer números inteiros. Entretanto, para facilitar os cálculos, é preferível 
utilizarmos o menor dos múltiplos comuns, chamado de MMC, que, no caso dos números 2 e 3, é o 
número 6. Mas devemos ressaltar que a operação funcionaria perfeitamente bem para qualquer múltiplo 
comum que utilizássemos.
Agora que encontramos o menor múltiplo comum entre eles (MMC), precisamos encontrar 
as frações equivalentes às frações originais que utilizem o denominador encontrado. Mas 
como encontrar essas frações equivalentes? Esse processo é realizado em dois passos: primeiro 
dividimos o valor do denominador comum encontrado, o 6, pelo denominador da fração original; 
em seguida, multiplicamos o quociente encontrado pelo numerador, e assim chegamos à fração 
equivalente. Na primeira fração, o denominador é o 3 e o resultado da divisão do múltiplo comum 
é 2. Em seguida, multiplicamos esse 2 pelo numerador da fração, que é 1. Assim, chegamos à 
fração 2
6
, que é a fração equivalente procurada. De forma análoga procedemos com a segunda fração, 
1
2
, chegando assim à fração equivalente 3
6
. Então, temos:
1 1 2 3 5
3 2 6 6 6
+ = + =
Outra forma de representação: 
1
3
→
+
1
2
→
= impossível representar. 
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Mas quando transformamos os denominadores dessas frações em um denominador comum, temos:
2
6
→
+
3
6
→
=
5
6
→
Na multiplicação de frações, a técnica é bem simples: multiplica-se numerador por numerador e 
denominador por denominador:
5 3 15
2 4 8
× =
Já para a divisão de frações, precisamos usar uma propriedade algébrica dos grupos. O conceito 
de grupo foge ao escopo deste texto, porém a propriedade que vamos utilizar é a seguinte: dividir um 
número a por um número b é equivalente a multiplicar o número a pelo inverso de b, ou seja, multiplicar 
a por 
1
b
. E como se faz o inverso de um número racional? Basta inverter seu numerador com o seu 
denominador. Assim, o inverso de 
1
3
 é 
3
1
, o inverso de 
2
5
 é 
5
2
 e assim por diante. Utilizando-se dessa 
propriedade, a divisão de um racional passa a ser uma simples operação de multiplicação. Então, para 
se efetuar uma divisão entre racionais devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. 
Por exemplo:
2 1 2 1 14
3 7 3 7 3
÷ = × =
2 2 1 2
5
3 3 5 15
÷ = × =
As operações de potenciação e radiciação possuem algumas propriedades específicas, por esse 
motivo iremos estudá-las separadamente nos próximos tópicos.
2.1.2 Potenciação
Sabemos que a potenciação nada mais é que a multiplicação de n fatores iguais. O que significa 
isso? Significa você multiplicar a base à quantidade de vezes que aparece no expoente. Por exemplo:
4
2
3 3 3 3 3 81
9
3 3 93
× × ×
= = =
×
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Sendo 3 a base, 4 o expoente do numerador e 2 o expoente do denominador, multiplicamos o 
número 3 por ele mesmo quatro vezes (o expoente) no caso do numerador e para o denominador 
multiplicamos o número 3 por ele mesmo duas vezes.
Definição: 
n
n fatores
b b b ... b b× × × × =

Onde b é chamado de base; n é chamado de expoente e bn é chamado de potência.
 
As propriedades da potenciação são:
( )
0
x y (x y)
x
(x y)
y
yx (x y)
1) b 1
2) b b b
b
3) b
b
4) b b
+
−
×
=
× =
=
=
( )x x x
x x
x
x
x
1
5) b c b c
b b
6) 
c c
1
7) b
b
8) b b
−
× = ×
  = 
 
=
= 
2.1.3 Radiciação
A operação de radiciação é inversa à potenciação. Por exemplo: 
Tatiana deseja comprar uma embalagem para presente. Ao ir a uma papelaria ela pede ao 
vendedor uma caixa com 6 cm de lado, em um formato quadrado. Ao verificar suas caixas, o 
vendedor descobre que em suas mercadorias são informadas a área total das caixas e não seus 
lados. Por exemplo, ele mostrou as seguintes opções: caixa 1 = 16 cm², caixa 2 = 25 cm², caixa 
3 = 36 cm², caixa 4 = 49 cm² e caixa 5 = 64 cm², todas elas em formato quadrado. E agora, o que o 
vendedor deve fazer para atender Tatiana? É bem simples, como as caixas são quadradas, ele deve 
pensar que a área de um quadrado é |×|=|2, mas se ele tem a área e quer saber o lado, ele utiliza 
a operação inversa à potenciação, a radiciação.
 26 36
36 6
=
=
Definição: a raiz enésima de a é o número b que elevado a n resulta em a∈ e n
∗∈ . 
nn a b se b a= =
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( )
x
y x y
x xx
x
x
x
y x yx
y y xx
1) b b
2) a b a b
a a
3) 
b b
4) b b
5) b b⋅
=
× = ×
=
=
=
Exemplos de aplicação
1. Sabemos que a área de uma caixa pequena de papelão quadrada é 0,64. Qual é o tamanho do lado 
dessa caixa?
Resolução:
Sabemos que a área do quadrado é:
A = |2
e o problema nos informa que a área total da caixa é 0,64. Logo: 
2
2
A = l
0,64 l
0,64 l
l 0,8
=
=
=
2. A área de um quadrado é igual ao quadrado da medida do seu lado. Sabendo-se que um quadrado 
tem 1,21 m2, qual a medida do seu lado?
Resolução:Sabemos que a área do quadrado é:
A = |2, logo:
2
2
A = l
1,21 l
1,21 l
l 1,1
=
=
=
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3. O tanque de uma caminhonete tem 60 litros de combustível. Se essa caminhonete gasta em média 0,15 
litros a cada quilômetro rodado, quantos quilômetros, aproximadamente, ele pode rodar sem abastecer?
Resolução:
Esse problema é bem simples de ser resolvido. Basta usar o total de combustível armazenado e dividir 
pelo valor médio gasto a cada quilômetro rodado. Ou seja:
60 ÷ 0,15 = 400, ou podemos transformar o valor decimal 0,15 em uma fração 
15
0,15
100
 = 
 
 e 
efetuarmos a divisão:
60 100 6000
 = 60 400
15 15 15
100
× = =
4. O valor da seguinte expressão é:
Resolução:
Em primeiro lugar podemos resolver as potências:
21
4 324 (0,5) (0,25) 8
4 0,0625 0,5 0,25
0,25 0,5 0,25 1
−
× + + =
× + + =
+ + =
5. A seguinte expressão 
3 2
5 4 3 2
(a a b)
3a 6a b 3a b
−
− +
 é equivalente a:
Resolução:
Colocando em evidência o parâmetro com menor expoente, temos:
3 2
5 4 3 2
2
3 2 2
2 2
(a a b)
3a 6a b 3a b
a (a b)
3a (a 2ab b )
(a b)
3a(a 2ab b )
(a b)
3a(a b) (a b)
1
3a(a b)
−
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
=
− × −
−
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6. Se 2 6a 99= , 3 12b 99= e 4 3c 99= , então 12abc é:
Resolução:
Se a2 = 996, podemos escrever que a2 = (993)2, e assim concluir que a = 993. Da mesma forma fazemos 
que b3 =(994)3 e, portanto b = 994. Por outro lado, se temos que achar o valor de c12, podemos escrevê-lo 
da seguinte forma: (c4)3, e sendo c4 = 993 temos que c12 = (c4)3 = (993)3. Substituindo todas as expressões 
obtidas em abc12, chegamos a abc12 = 993 × 994 × 999 = 9916. 
7. Seu José quer cercar sua casa com arame. Ele pretende comprar uma quantidade de arame 
suficiente para fazer uma cerca com 3 fios. Quantos metros desse material ele deverá comprar, sabendo 
que a casa tem uma forma quadrada de 169 m2?
Resolução:
Sabemos que a área do quadrado é A = |2, logo:
2
2
A = l
169 l
169 l
l 13
=
=
=
13 é a medida de cada lado. Um quadrado tem quatro lados, então:
13 × 4 = 52 m
Porém, José quer colocar 3 fios de arame em cada lado. Sendo assim:
52 × 3 - 156 m
8. Um retângulo tem como medidas 18 cm e 50 cm. Se fôssemos construir um quadrado com a 
mesma área, qual deveria ser a medida de cada lado?
Resolução:
Sabendo que a área do retângulo é: A b h= × , então:
A b h
A 50 18
A 900
= ×
= ×
=
Sabendo que a área do quadrado é: 2A l= , temos:
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2
2
A l
900 l
900 l
l 30
=
=
=
=
9. Calcule o valor da expressão:
3 0,25 2 0,04 0,2 ( 0,3)× − × + × −
Resolução:
Resolveremos primeiro as raízes:
 
3 0,25 2 0,04 0,2 ( 0,3)
3 0,5 2 0,2 0,06
1,5 0,4 0,06
1,04
× − × + × − =
× − × − =
− − =
10. O valor da expressão: 
2
3 213 2 ( 2)
2
− −
  × − + + −  
   
Resolução:
Primeiro vamos transformar as potências em frações:
2
3 2
2 2
3
1
3 2 ( 2)
2
1 1 1
3
2 22
1 1 1
3
4 8 4
2 1 2
3
8
5 15
3
8 8
− −
  × − + + − =  
   
      × − + + − =      
       
      × + + =            
 + + × =    
 × =  
2.2 Frações – aplicações na vida cotidiana
Nas eleições 2010, foram disputados os cargos de presidente da república, senador, governador, 
deputados estaduais e deputados federais. São eleitos para o Senado Federal 3 representantes de cada 
Estado da federação, o que dá um total de 81 senadores. Entretanto, diferentemente dos demais cargos, 
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o Senado é renovado apenas parcialmente a cada eleição, sendo que dos 3 representantes de cada 
Estado, 1 é escolhido em uma eleição e 2 na eleição seguinte. Em 2006, cada estado pôde escolher 1 
senador, e em 2010 foram escolhidos os outros 2. Assim, em 2010, foram eleitos 2 dos 3 senadores que 
representam um Estado, ou, na forma de fração, foram eleitos 
2
3
 dos senadores, pois em 2006 já havia 
sido eleito 1 dos 3 senadores, ou 
1
3
 dos senadores.
3
81
3
= Um inteiro 
1
27
3
= Um terço 
2
54
3
= Dois terços 
1 2 3
1
3 3 3
+ = =
27 54 81+ =
Outro exemplo prático:
Joana está completando 1 ano de trabalho na empresa FériasJá Ltda. O salário bruto de Joana é 
R$ 1.200,00 e ela irá gozar os trinta dias de férias que lhe são de direito. Qual será o seu salário bruto 
no mês das férias, sabendo que as férias acrescentam um terço sobre o salário?
Sabemos que R$ 1.200,00 representa 
3
3
 ou 1 inteiro do salário de Joana. Para calcularmos 
1
3
 de 
R$1.200,00, uma das maneiras é dividir R$ 1.200,00 por 3, ou seja, pelo denominador e multiplicar o 
resultado por 1, o numerador:
1200 3 400
400 1 400
÷ =
× =
O total que Joana irá receber será: R$ 1.200,00 (seu salário bruto mensal) + R$ 400,00 (
1
3
de suas 
férias) = R$1.600,00
 Lembrete
Uma fração nada mais é do que uma divisão, uma proporção, uma razão 
na qual representamos partes de um todo.
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2.2.1 A relação de semelhança 
Dizemos que duas frações são semelhantes se vale a relação:
a c
a d b c
b d
= ⇔ × = × multiplicação em cruz
Assim, duas frações são semelhantes se o produto dos seus extremos é igual ao produto dos meios. 
Veja alguns exemplos:
1 2
2 4
= pois, 1 4 2 2 4× = × =
 
1
2
 = 
2
4
4 6
10 15
= , pois 4 15 10 6 60× = × =
 Lembrete
Duas frações que são semelhantes expressam o mesmo número racional 
(faça o teste!) e, assim, podemos dizer que as frações são iguais.
2.2.2 O fator de proporcionalidade
Em uma proporção (uma fração) dizemos que o fator de proporcionalidade é o número racional 
(em sua forma decimal) associado à fração. Na prática, basta efetuar a divisão, como faríamos para 
encontrar a forma decimal de um número racional.
Assim, o fator de proporcionalidade da razão 
1
2
 é 0,5, e, genericamente, o fator de proporcionalidade 
de razão 
a
b
 é dado por a ÷ b.
2.2.3 Exemplos de proporções 
A ideia da proporcionalidade é frequente em nosso cotidiano. Veja alguns exemplos:
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1. Imagine um trabalhador autônomo queganhe R$ 20,00 por peça produzida. Sua razão proporcional 
então seria 
R$ 
 peca
20 00
1
,
ç
, ou 20
1
.
2. Escalas: quando olhamos um mapa ou um desenho que representa um objeto real, é comum 
que seja fornecida a escala, isto é, o fator de proporcionalidade entre o desenho que estamos 
vendo e o objeto real que ele representa. Geralmente essa escala é dada na proporção 1 : x, onde x 
é a razão de proporcionalidade (significando que 1 unidade do desenho equivale a x unidades do 
objeto real).
3. Nos jogos de apostas é comum dizer que tal aposta paga 22 para 1 = 
22
1
, ou 10 por 3 = 
10
3
.
4. Em uma receita de culinária, há sempre o rendimento da receita. Então, se em uma receita usa-
se 5 ovos e a receita é para 4 pessoas, se você quiser fazer a receita para 6 pessoas terá que usar a 
proporção 6
4
 para cada item da receita.
5. Quando você checa o consumo do seu automóvel, geralmente você completa o tanque de gasolina 
e verifica quantos quilômetros ele andou. Daí, estabelece uma proporção, por exemplo, 440 quilômetros 
rodados com um consumo de 40 litros, ou seja, o veículo tem um rendimento de 440
40
 quilômetros por 
litro de combustível, ou seja, 11 km/l.
6. Várias unidades de medida são expressas como proporções. Por exemplo, quando uma placa na 
estrada indica que a velocidade máxima permitida é de 80 km/h, está querendo dizer que o seu veículo 
pode percorrer uma distância de 80 quilômetros a cada 1 hora, ou seja, seu veículo pode se deslocar a 
uma proporção de 80:1.
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 Saiba mais
Para conhecer exemplos e belissimas imagens da razão aurea, acesse: 
http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1705u20.jhtm
http://www1.ime.unicamp.br/lem/jpm/jpm08.pdf
http://www.google.com.br/search?tbm=isch&hl=pt-BR&source=hp&bi
w=1020&bih=567&q=raz%C3%A3o+aurea+na+natureza&gbv=2&aq=1&
aqi=g2&aql=&oq=raz%C3%A3o+a
Para saber sobre o número de Euler. Leia artigo de mesmo nome no site:
http://www1.ime.unicamp.br/lem/jpm/jpm06.pdf
2.2.4 Proporções inversas
As proporções vistas até agora eram proporções diretas, ou seja, grandezas diretamente proporcionais, 
nas quais o aumento de uma grandeza implicava o aumento proporcional da outra.
Mas, em alguns casos, as grandezas são inversas, isto é, quando uma cresce a outra diminui na mesma 
proporção. Diz-se que essas grandezas são inversamente proporcionais e seu fator de proporcionalidade 
está associado à multiplicação das grandezas e não à divisão entre elas. 
Imagine que um funcionário faça um determinado trabalho em 20 horas. É de se esperar que se 
colocarmos 2 funcionários de mesma capacidade fazendo o trabalho, o mesmo poderá ser feito em 10 
horas. Ou seja, quanto maior o número de funcionários menor o tempo para executá-lo. Essas grandezas 
são inversamente proporcionais e expressamos essa relação na forma: 20 horas x 1 funcionário = 20, ou, 
genericamente, a × b = k, onde a e b são as variáveis e k a constante de proporcionalidade.
2.2.5 Regra de três 
As razões proporcionais são extremamente úteis e naturalmente utilizadas em nosso dia a dia para 
resolver inúmeros problemas. Essa ideia é tão intrínseca em nossa vida que raramente percebemos que 
a utilizamos e muitos exemplos do seu uso nem sequer nos parece uma aplicação prática dela.
Entretanto, utilizamos exatamente essa ideia quando compramos qualquer artigo em 
quantidade. Se vamos à padaria que vende 1 kg de presunto ao preço de R$ 20,00 e pedimos 
300 g, calculamos o valor a pagar usando a proporcionalidade. Assim, temos que 1.000 g de 
presunto valem R$ 20,00, ou 1000
20
, então, quanto custará 300 g? Bom, sabendo que esses 
valores são proporcionais, temos que 
300 g 1000 g
R$ x R$ 20,00
= . Usando a relação de semelhança, então 
300 x 200 = x 1000 ou seja, x = R$ 6,00.
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 Observação
O matemático italiano Leonardo de Pisa, conhecido posteriormente como 
Fibonacci, publicou em 1202 sua obra-prima, Liber abaci (Livro do cálculo), na qual 
ele discutia as aplicações das razões proporcionais, especificamente a regra de três, 
também chamada de regra da quarta proporcional. O Liber abaci foi o responsável 
pela introdução do uso dos algarismos indo-arábicos na Europa, iniciando uma 
revolução no estudo e desenvolvimento da matemática naquele continente.
Exemplos de aplicação
1. Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7 kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários 
para fabricar 28 kg de farinha?
Resolução:
Para resolução utilizaremos regra de três simples:
Trigo Farinha
 10 7 multiplicação em cruz
 x 28
7x 28 10
280
x
7
x 40
= ×
=
=
 
2. Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 
1.200 kg de milho?
 
Resolução:
Para resolução utilizaremos regra de três simples:
Milho Fubá
 50 35 
 Multiplicação em cruz
1200 x
50x 42000
42000
x
50
x 840
=
=
=
 840 → kg de fubá , dividindo em sacas de 60 kg 
Temos: 840 ÷ 60 =14
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3. Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual 
é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes?
Resolução:
Para resolução utilizaremos regra de três simples:
Tempo Clientes
 5 3 Multiplicação em cruz
 x 36
3x 180
180
x
3
x 60
=
=
=
4. Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância?
Resolução:
Para resolução utilizaremos regra de três simples:
Preço Kg
 6 1250 
 Multiplicação em cruz x 750
1250x 4500
4500
x
1250
x 3,6
=
=
=
5. Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para 
escavar esse túnel em um dia e meio?
Resolução:
Para resolução utilizaremos proporções inversas:
Máquinas Dias 
 6 2 Multiplicação em cruz
 x 1,5
 2 x = 9 
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2x 9
9
x
2
x 4,5
=
=
=
Resolvendo dessa maneira estaríamos afirmando que precisaríamos de menos máquinas para escavar 
o túnel em menos tempo. Para que seja possível escavar o túnel em menos tempo, precisaríamos de mais 
máquinas, ou seja: quanto maior o número de máquinas, menor o tempo gasto. Assim:
Máquinas Dias
 6 1,5 Multiplicação em cruz
 x 2
1,5x 12
12
x
1,5
x 8
=
=
=
2.3 Porcentagem: proporção e forma decimal
2.3.1 Origem do termo
O termo “porcentagem” é uma adaptação do termo “percentagem”, correspondendo ao inglês 
percent, e tendo origem no latim per cent (por cem). Em português, a preposição latina per tendea ser substituída por “por”, muito embora os termos “percentil” e “percentual” ainda mantenham a 
forma original. Na matemática, usa-se o termo porcentagem, que foi padronizado em um encontro 
matemático em 1957. 
Mas, de um modo geral, os termos “porcentagem” e “percentagem” têm o mesmo 
significado.
2.3.2 A razão centesimal
Uma porcentagem nada mais é do que uma razão proporcional na qual um dos termos é 100. 
Assim, 30% é exatamente equivalente a 
30
100
, não apenas em significado, mas principalmente como 
expressão matemática. Assim, todo cálculo efetuado com porcentagens pode ser efetuado como razões 
proporcionais utilizando-se a regra de três. 
2.3.3 Forma decimal
Por ser uma razão entre duas grandezas, uma porcentagem admite também uma forma 
decimal, que nada mais é do que a divisão da razão proporcional equivalente à porcentagem. 
Assim, temos:
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 30% = 
30
100
 = 0,3 
(porcentagem) (razão proporcional) (forma decimal)
Podemos efetuar os cálculos com porcentagens da forma que for mais conveniente para nós, 
conforme a situação, mas na maioria dos casos a forma decimal é mais conveniente.
2.3.4 Porcentagem como número relativo
Uma porcentagem por si só não tem significado real. Dizer 30% é o mesmo que dizer 0,3, ou seja, 
é apenas um número, sem correlação com a realidade. A porcentagem só assume significado quando 
fazemos sua relação com uma grandeza real, dando-nos a ideia da proporção desejada. Quando alguém 
diz: “Quanto vale 20%?”, a pergunta que nos vem à mente é: “20% do quê?”, pois somente 20% não 
tem significado, pois é apenas uma proporção. Mas quando você diz que haverá um aumento de 20% 
no preço da gasolina, esse sim assume um significado bastante real para nós. 
2.3.5 Por que usar porcentagens?
Se um vendedor lhe oferecer um desconto de R$ 10,00 para a compra de um produto, você considera 
este um bom desconto ou não? Evidentemente, a melhor resposta seria: “Depende”. Depende do quê? Sim, 
depende do preço do bem que está sendo vendido. R$ 10,00 de desconto na compra de um artigo que 
custava R$ 20,00 é um ótimo desconto, mas o mesmo desconto num bem que custe R$ 80.000,00 soaria 
ridículo. Então, a comparação de números ou valores absolutos não nos serve para comparar situações 
distintas. O que é melhor, um desconto de R$ 10,00 num artigo que custe R$ 33,00 ou um desconto de R$ 
17,00 num artigo que custe R$ 52,00? Assim, em valores absolutos, fica difícil fazer a comparação. Mas se 
trouxermos todos os valores para uma mesma base, uma mesma “razão proporcional”, a comparação fica 
muito fácil. No primeiro caso, teríamos um desconto de aproximadamente 30,3% e, no segundo caso, um 
desconto de quase 32,7%. Utilizando-se a mesma base (100), as comparações se tornam imediatas.
2.3.6 Cálculos com porcentagens 
Como foram feitos os cálculos no exemplo do item anterior? Utilizando-se a ideia de razões 
proporcionais. No primeiro caso, foi dado um desconto de R$ 10,00 num artigo que custava R$ 33,00. 
Para transformar em porcentagem, fazemos a seguinte relação:
R$ 10,00 x
R$ 33,00 100
=
Fazendo a multiplicação em cruz chegaremos à resposta: x 30,3 ou 30,3%
Podemos também fazer o cálculo por meio da forma decimal. Se dividirmos 10 por 33, teremos 
0,3030... e, convertendo para a forma centesimal, teríamos 
30,3
0,3030
100
= , os mesmos 30,3%.
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A tabela a seguir mostra a forma de cálculo decimal para algumas situações comuns envolvendo 
porcentagens.
Expressão Forma de cálculo
Tomar p% de um valor v
p
v
100
×
Aumento de p% 1
100








p
v
Desconto de p% 1
100








p
v
Tomar p% de q%
p q
100 100
×
Exemplos de aplicação 
1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi o valor 
pago em reais?
Resolução:
Podemos utilizar a seguinte fórmula: 
p
1 v
100
 − × 
 
5
1 1500
100
(1 0,05) 1500
0,95 1500 1425
 − × = 
 
− × =
× =
 ou 
1500 5% 75× = - 
1500 preço
0075 desconto
1425 valor pago
→
→
→ 
2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 1,2% sobre o seu 
preço. Quanto ele passou a custar?
Resolução:
Podemos utilizar a seguinte fórmula: 
p
1 v
100
 + × 
 
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1,2
1 12000
100
(1 0,012) 12000
1,012 12000 12144
 + × = 
 
+ × =
× =
 ou
 
12000 1,2% 144× = 
 12000 preço
- 00144 acréscimo
 12144 valor pago
→
→
→
3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período de um mês, ela apresentou 
um lucro de R$ 100,00. Qual a percentagem de lucro sobre o preço de compra?
Resolução:
Para esse problema podemos utilizar regra de três simples:
 
Valor Porcentagem
2000 100% 
 Multiplicação em cruz 100 x 
 
2000x 10000
10000
x
2000
x 5
=
=
=
4. Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela. Após certo 
período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi aumentado, obtendo assim o 
preço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor (preço de 
tabela)?
Resolução:
Quando não temos o valor de certo produto, podemos representá-lo por 100 (100%). Nesse caso 
podemos utilizar a seguinte fórmula: 
p
1 v
100
 + × 
 
10
1 100
100
(1 0,10) 100
1,10 100 110
 + × = 
 
+ × =
× =
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O cálculo acima representou acréscimo em 10% no produto. Agora precisamos calcular o decréscimo 
sobre o valor com o acréscimo, ou seja, o valor que achamos acima. 
 
5
1 110
100
(1 0,05) 110
0,95 110 104,50
 − × = 
 
− × =
× =
5. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa 
percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados.
Resolução:
Para esse problema podemos utilizar regra de três simples: 
Sabemos que 380 equivale a 100% dos candidatos. O problema nos informa que 15% foi reprovado, 
ou seja,
 100 total
 015 reprovado
 085 aprovado
→
− →
→
Candidatos Porcentagem
380
x 
100%
85% 
Multiplicação em cruz
100x 32300
32300
x
100
x 323
=
=
=
 ou
380 15% 57× = -
 380 total
- 057 reprovados
 323 aprovados
→
→
→
380 15% 57× = -
 380 total
- 057 reprovados
 323 aprovados
→
→
→
6. Uma sala de 1º ano do curso de licenciatura em matemática tem 40 alunos. Quantorepresenta 
3
8desse total de alunos?
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Resolução:
Devemos calcular 
3
8
 de 40:
40 8 5÷ = → Dividimos o valor 40 pelo denominador;
5 3 15× = → O resultado (5) multiplicamos pelo numerador.
7. Um automóvel estacionou em um posto de gasolina com um tanque praticamente vazio. Após o 
abastecimento do carro com 42 litros de gasolina, o marcador de combustível indicou que o carro possui 
agora 7
8
 de sua capacidade. Qual a capacidade total do tanque desse carro?
Resolução:
Para esse problema podemos utilizar regra de três simples: 
Litros Capacidade do tanque
42
x 
7
8
8
1
8
=
 Multiplicação em cruz
7
x 42
8
7x 42 8
336
x
7
x 48
=
= ×
=
= 
8. Em uma pizzaria vende-se o pedaço a R$ 3,50. Eles dividem a pizza em dez partes iguais. Quanto 
pagarei se comer 
1
4
 dessa pizza?
Resolução:
Se a pizza é dividida em dez pedaços, temos que calcular 
1
4
de 10. Assim:
10 4 2,5÷ = → quantidade de pizza comida
Sendo assim irei pagar:
40
Unidade I
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Co
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16
/0
5/
11
 3,50 preço/pedaço
 2,5 quantidade
 8,75 total pago
→
× →
→ 
9. Qual fração é maior: 
8
12
 ou 
3
4
?
I. São equivalentes pois possuem múltiplos comuns.
II. 
3
4
é maior.
III. 
8
12
 é maior.
Resolução:
Se dividirmos o numerador pelo denominador 
3
4
, obteremos = 0,75.
Se dividirmos o numerador pelo denominador 8
12
, obteremos = 0,66.
Sendo assim, 0,75 é maior que 0,66 (0,75 > 0,66), o que corresponde a 
3 8
4 12
> .
10. Os televisores são medidos em polegadas. Se quisermos representar um televisor que tenha 14 
mais 3
4
 de polegada, o representaríamos como um número misto: 314
4
. Para transformarmos esse 
número em uma fração imprópria, ou seja, onde o numerador é maior que o denominador. A fração que 
representaria essa situação é:
Resolução:
Para transformarmos um número misto em uma fração imprópria, basta multiplicar o denominador 
pela parte inteira da fração e somar o resultado dessa multiplicação ao numerador:
14 4 56× = → multiplicação do denominador pela parte inteira;
56 3 59+ = → soma o resultado da multiplicação ao numerador;
59
4
→ Mantemos o mesmo denominador
11. João gasta 
1
3 de seu salário com as contas de água, luz e telefone. Com alimentação ele 
gasta 1
4
. Sabe-se que o senhor João recebe mensalmente R$ 1.200,00 líquido (já com os descontos 
previstos em folha abatidos). Quanto lhe sobrou em dinheiro do seu salário?
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Co
rr
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16
/0
5/
11
 Resolução:
Devemos calcular 
1
3 
de R$ 1.200,00 e 1
4
de R$ 1.200,00:
1200 3 400
400 1 400
÷ = →
× =
Gastos com contas de água, luz e telefone;
1200 4 300
300 1 300
÷ = →
× =
Gastos com alimentação.
Somando-se os gastos temos:
 400 contas/consumo
 300 alimentação
 700 total/despesas
→
+ →
→
ou 
1 1 7
3 4 12
+ =
7
12
→ calcular de R$1.200,00
1200 12 100
100 7 700 total
÷ =
× = →
 1200 salário
 700 despesas
 500 dinheiro
→
− →
→
12. O preço de uma geladeira é R$ 1.200,00. Darei 
2
5
 de entrada e o restante será dividido em 4 
parcelas iguais. Dessa forma, podemos afirmar que o valor de cada parcela é:
Resolução:
Primeiro precisamos calcular 
2
5
de R$ 1.200,00:
b
x ''
2a
− − ∆
=
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5/
11
 1200 preço
 480 entrada
 720 restante
→
− →
→

Descobrimos que falta ser pago R$ 720,00 que será parcelado em 4 vezes:
720 4 180÷ =
13. Sabemos que 
1
3
 da conta de luz são de impostos. Uma família gasta, em média, R$ 120,00 
com energia elétrica. Que valor desse total corresponde ao consumo real de energia (excluindo-se os 
impostos)?
Resolução:
Sabemos que:
1
3
→ são os impostos, logo:
2
3
→é o consumo, pois:
3 1 2
3 3 3
− =
Devemos calcular 
2
3
 de R$ 1.200,00:
1200 3 40
40 2 80
÷ =
× =
14. Numa sala de aula 
5
8
 dos alunos são homens. Quantas pessoas fazem parte dessa sala de aula, 
sabendo-se que o total de mulheres são 21?
Resolução:
Podemos resolver esse problema com regra de três. Sabemos que 
8
8
 é igual ao total de alunos e 5
8
 
é total de homens. Logo, o número de mulheres pode ser calculado como:
8 5 3
8 8 8
− = → número de mulheres
Fração Nº de pessoas
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16
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5/
11
3
8
8
 ou 1
8
 
21
x
 Multiplicação em cruz
3
x 21 1
8
3
x 21
8
3x 21 8
168
x
3
x 56
= ×
=
= ×
=
=
15. Uma motocicleta já percorreu 
3
7
 da distância entre as cidades de São José dos Campos e São 
Paulo. Sabemos que a distância total entre as cidades é de 105 km. Quantos quilomêtros essa motocicleta 
ainda precisa percorrer para alcançar seu objetivo?
Resolução:
Podemos resolver esse problema com regra de três. Sabemos que 
7
1
7
= é a distância entre as cidades. 
Já foi percorrido 
3
7
. Logo, a distância a ser percorrida pode ser calculada como:
7 3 4
7 7 7
− = →distância a ser percorrida
Fração km 
7
1
7
4
7
=
 
105
x
 
 Multiplicação em cruz
4
x 105
7
420
x
7
x 60
= ×
=
=
 
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 Saiba mais
Recomendamos a leitura da obra O homem que calculava, de Malba 
Tahan. Disponível em: 
<http://pt.scribd.com/doc/37360872/MalbaTahan>.
 Resumo
Nesta unidade procuramos resgatar a origem dos conjuntos numéricos, 
explorando a necessidade de sua criação e utilizando diagramas de Venn-
Euller para representá-los. Em seguida trabalhamos com os números 
racionais, abordando suas principais aplicações na vida cotidiana com a 
utilização de regra de três e porcentagens.
Observações
1) Frações são divisões: 
6
3 2 3 6
2
= → × =
2) Divisão com zero:
0
0 5 0 0
5
= → × =
5
0
= não existe, pois não existe tal que 0 × x = 5
0
0
= indeterminado, pois existem infinitos x tal que 0 × x = 0
Exemplos:
8 × 0 = 0, 99 × 0 = 0, 43726 × 0 = 0 etc.
3) Os períodos da dízima podem ser bastante longos.
 Exemplo: 
1
0,05882352941176470588235294117647... 0,0588235294117647
17
= =
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