Trabalho rlc série

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2.3 CIRCUITO RLC EM SÉRIE SEM FONTE 
2.3.1 TEORIA 
Considere o circuito RLC em série, conforme a figura abaixo: 
	 Figura 16: Circuito elétrico RLC série sem fonte. Fonte: Google Imagens 
 
O circuito é excitado pela energia inicialmente armazenada no capacitor e indutor, representada pela tensão inicial V0 no capacitor e pela corrente inicial I0 no indutor. Portanto, em t = 0, 
	[Eq. 26] 	
 [Eq. 27]
Aplicando a LKT no circuito da figura acima, se tem: 
	[Eq. 28]
Para eliminar a integral, se diferencia em relação a t e se reorganiza os termos, obtendo: 
		 [Eq. 29]
 	 	 	 	 
		Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, também conhecidos como circuitos de segunda ordem. Para se resolver este tipo de equação, é necessário se ter duas condições iniciais: o valor inicial de i e sua primeira derivada ou os valores iniciais de alguma i e v. Se obtendo a seguinte equação: di(0)
 		[Eq. 30] 
ou 
) 	[Eq. 31] 
 	
		Com as duas condições iniciais, se pode resolver a equação sobre circuitos de primeira ordem, nos sugere que a solução é na forma exponencial. Por tanto: 
 [Eq. 32] 
		Onde A e s são constantes a serem determinadas. Substituindo nas equações anteriores, e realizando as diferenciações necessárias, obtendo: 
 [Eq. 33] 
ou 
 [Eq. 34] 
		Já que i = Aest é a solução pressuposta de que se está tentando encontrar, apenas a expressão entre parênteses pode ser zero: 
 		[Eq. 35]
Esta equação quadrática é conhecida como equação característica da equação diferencial, uma vez que as raízes da equação ditam as características básicas de i. 
As duas raízes da equação são: 
 	[Eq. 36] 
 	[Eq. 37] 
Uma forma mais condensada de expressar as raízes é: 
 [Eq. 38] 		[Eq. 39]
Onde 
	 [Eq. 40] 
		As raízes S1 e S2 são chamadas frequências naturais, medidas em nepers por segundo (Np/s), pois estão associadas à resposta natural do circuito; ω0 é conhecida como frequência ressonante ou estritamente como a frequência natural não amortecida expressa em radianos por segundo (rad/s), e α é a frequência de neper ou fator de amortecimento expresso em nepers por segundo. Em termos de α e ω0, a equação pode ser escrita como: 
 [Eq. 41] 
Os dois valores de s, indicam que há duas soluções possíveis para i, devido ao fato de ser uma equação quadrática, conforme demonstrado abaixo: 
 	 [Eq. 42] 
Devido ao fato da equação de se ter uma equação linear, qualquer combinação das duas soluções distintas i1 e i2 também é uma solução para a equação. E uma solução completa ou total dessa equação exigiria, portanto, uma combinação linear de i1 e i2. Consequentemente, a resposta natural do circuito RLC em série é: 
 [Eq. 43] 
Onde as constantes A1 e A2 são determinadas a partir dos valores iniciais i(0) e . Desse modo, se pode inferir que existem três tipos de soluções: 
Se α > ω0, se tem o caso de amortecimento supercrítico; 
Se α = ω0, se tem o caso de amortecimento crítico; 
Se α < ω0, se tem o caso de subamortecimento; 
 
Caso de amortecimento supercrítico (α > ω0) 
Das equações, α > ω0 implica . Quando isso acontece, ambas as raízes S1 e S2, são negativas e reais. A resposta é:
	[Eq. 44] 
Essa reposta decai e se aproxima de zero à medida que t aumenta. Conforme a figura abaixo: 
 
Figura 17: Resposta de amortecimento supercrítico. Fonte: Google Imagens 
 
Caso de amortecimento crítico (α = ω0) 
A resposta natural de um circuito com amortecimento crítico é a soma de dois termos: exponencial negativa e exponencial negativa multiplicada por um termo linear, ou: 
 	 	 [Eq. 45] 
Uma resposta característica de um circuito com amortecimento crítico é representada abaixo: 
 
Figura 18: Resposta de amortecimento crítico. Fonte: Google Imagens 
 
Essa figura é um esboço de i(t) = te-αt, que atinge um valor máximo igual a e-1/α a t = 1/α, uma constante de tempo, e então decresce até chegar a zero. 
Caso de subamortecimento (α < ω0) 
Nesse caso, se tem a equação característica como sendo: 
 i(t) = e-αt (B1 cos ωdt + B2 sen ωdt) [Eq. 46] 
Com a presença das funções seno e cosseno, fica claro que a resposta natural para esse caso é amortecida exponencialmente e oscilatória por natureza. A resposta tem uma constante de tempo igual a 1/α e um período T = 2π/ωd. Abaixo, segue a curva característica desse caso: 
 
Figura 19: Resposta de subamortecimento. Fonte: Google Imagens 
 
 Pode-se chegar através dessas equações as seguintes conclusões à respeito do circuito RLC série sem fonte: 
1- O comportamento de um circuito desses pode ser compreendido pelo conceito de amortecimento, que é a perda gradual de energia inicial armazenada, como fica evidenciado pelo decréscimo contínuo na amplitude da resposta. O efeito de amortecimento se deve à presença da resistência R. O fator de amortecimento α determina a taxa na qual a resposta é amortecida. Se R=0, então α=0, e se tem um 1 circuito LC com como frequência natural não amortecida. Uma vez que, nesse caso, α < ω0, a resposta não é apenas não amortecida como também oscilatória. Se diz que o circuito está sem perdas, pois o elemento amortecedor ou dissipador (R), não está presente. Ajustando o valor de R, a resposta pode ser não amortecida, com amortecimento supercrítico, com amortecimento crítico ou então subamortecida. 2- A resposta oscilatória é possível em razão da presença de dois tipos de elementos de armazenamento. Ter tanto L como C possibilita o fluxo de energia fique indo e vindo entre os dois elementos. A oscilação amortecida, exibida pela resposta subamortecida, é conhecida como oscilação circular. Ela provém da capacidade dos elementos de armazenamento L e C transferirem energia que vai e vem entre eles. 
3- Observe, que as formas de ondas para cada tipo de amortecimento, são diferentes. Em geral, é difícil dizer pelas formas de onda a diferença entre as respostas com amortecimento supercrítico e as respostas com amortecimento crítico. O caso com amortecimento crítico é a fronteira entre os casos de subamortecimento e de amortecimento supercrítico e ela cai de forma mais rápida. Com as mesmas condições iniciais, o caso de amortecimento supercrítico tem o tempo de acomodação mais longo, pois ele leva o maior tempo para dissipar a energia armazenada. Caso se deseje uma resposta que se aproxime do valor final mais rapidamente sem oscilação ou com oscilação circular, o circuito com amortecimento crítico é o mais indicado. 
 
2.3.2 CÁLCULOS 
 
		Para os três circuitos RCL serie a seguir pois a fonte de tensão está com polaridade invertida em relação a nossa análise. 
Circuito RLC1 – Série 
Para t<0 
Cálculo de i’(0) 
 
Para t>0 
	Caso Superamortecido() 
	
	
	Cálculo de S1 	 	 	 
	 
	Cálculos de S2 
 	 	 	 
 	 	 	 	
 	 	 	 
 	 	 	 	 
 	 	 	
Pode-se calcular A1 e A2 usando as condições inicias calculadas para t<0. 
 
Para t = 0 em i(t) para t=0 em i’(t) 
 		
				
					
					
Resolvendo o sistema acima se encontra: .
Circuito RLC2 - Série Para t<0
 
Cálculo de i’(0) 
Para t>0 
Caso Subamortecido () 
Cálculo de : 
	Cálculo de S1 
	 
	 
	 
	 
	Cálculos de S2 
	
	 
	 
	 
	 
	
 
 
	 	 	 	 
 
Pode-se calcular A1 e A2 usando as condições inicias calculadas para t<0. 
Para t = 0 em i(t) 
	
 
Para t=0 em i’(t)
	
Resolvendo o sistema acima se encontra: 
Circuito RLC3 – Série Para t<0
 
Cálculo de i’(0) 
 
Para t>0Caso criticamente amortecido () 
Pode-se calcular A1 e A2 usando as condições inicias calculadas para t<0. 
 
Para t = 0 em i(t) para t=0 em i’(t) 
 
	 
	
	 
	 
	 
	
	 
	 
	
	
	 
	 
	 
Resolvendo o sistema acima se encontra: A1 =120 e A2 = 0. 
 
2.3.3 SIMULAÇÃO DO CIRCUITO 
Circuito RLC em série, com resistor de 10Ω, indutor de 100mH e capacitor de 50mF, além de uma fonte que deixa o circuito em regime permanente. Porém, essa fonte dá apenas um pulso inicial e depois não interfere mais na resposta do circuito. 
Conforme mostra a figura abaixo: 
 
Figura 20: Circuito RLC série sem fonte, com resistor 10Ω, indutor de 100mH e capacitor de 50mF.
Circuito RLC em série, com resistor de 10Ω, indutor de 1H e capacitor de 2mF, além de uma fonte que deixa o circuito em regime permanente. Porém, essa fonte dá apenas um pulso inicial e depois não interfere mais na resposta do circuito. 
Conforme mostra a figura abaixo: 
 
Figura 21: Circuito RLC série sem fonte, com resistor de 10Ω, indutor 1H e capacitor de 2mF. Fonte: Proteus 
Circuito RLC em série, com resistor de 10Ω, indutor de 100mH e capacitor de 4mF, além de uma fonte que deixa o circuito em regime permanente. Porém, essa fonte dá apenas um pulso inicial e depois não interfere mais na resposta do circuito. 
Conforme mostra a figura abaixo: 
 
Figura 22: Circuito RLC série sem fonte, com resistor de 10Ω, indutor de 100mH e capacitor de 4mF. Fonte: Proteus 
No gráfico abaixo, se pode observar: a variação da corrente em qualquer ponto do circuito, no eixo das ordenadas (vertical), em função do tempo, no eixo das abscissas (horizontal). No final, se tem as curvas de cada um dos circuitos, e as respostas obtidas devido à variação dos valores dos componentes. Portanto, houve variação nas curvas. 
 
Figura 23: Circuito RLC série sem fonte, com as curvas de cada circuito apresentado. Fonte: Proteus
	A curva na cor verde, representa à variação da corrente do primeiro circuito (figura 18), em função do tempo (t). 
A curva na cor vermelha, representa à variação da corrente do segundo circuito (figura 19), em função do tempo (t). 
A curva na cor azul, representa à variação da corrente do terceiro circuito (figura 20), em função do tempo (t). 
 
2.3.4 COMPROVAÇÃO MATEMÁTICA 
O gráfico abaixo apresenta os resultados matemáticos, obtidos com uso de software específico, utilizando as equações obtidas nos cálculos do item 2.3.2 
 
Figura 24
:
 Circuitos RLC Serie sem fonte, com as curvas de cada circuito apresentado. 
Fonte:
Matlab.
 
 
 
2.4 CIRCUITO RLC EM PARALELO SEM FONTE 
2.4.1 TEORIA 
Considere o circuito RLC em paralelo, conforme mostrado na figura abaixo. 
 
Figura 25: Circuito elétrico RLC paralelo sem fonte. Fonte: Google Imagens 
 
Suponha que a corrente inicial I0 no indutor e a tensão inicial V0 no capacitor sejam: 0
 		[Eq. 47] 
Uma vez que os três elementos estejam em paralelo, eles possuem a mesma tensão v neles. De acordo com a regra de sinais (passivo), a corrente está entrando em cada elemento, isto é, a corrente através de cada elemento está deixando o nó superior. Portanto, aplicando a LKC ao nó superior se obtém: 
 		[Eq. 48] 
Extraindo a derivada em relação a t e dividindo por C resulta em: 
 			[Eq. 49] 
Obtendo a equação característica e substituindo a primeira derivada por s e a segunda por s2. Dessa forma, a equação característica é obtida como: 
 				[Eq. 50] 
As raízes da equação característica são: 
 [Eq. 51] 
Ou 
 		[Eq. 52] 
Onde 
 [Eq. 53] 
Como se observa, há três soluções possíveis, dependendo se α > ω0, α = ω0 ou α < ω0. Considere tais casos separadamente. 
 
Caso de amortecimento supercrítico (α > ω0) 
Sabendo que, α > ω0, quando L > 4R2C. As raízes da equação característica são reais e negativas. A resposta é: 
		[Eq. 54]
Caso de amortecimento crítico (α = ω0) 
Para α = ω0, L = 4R²C. As raízes da equação caraterística são reais e iguais de modo que a resposta seja: 
	 [Eq. 55]
 
Caso de subamortecimento (α < ω) [1: ]
Quando α < ω0, L < 4R²C. Nesse caso, as raízes são complexas e podem ser expressas como segue: 
 	 	 [Eq. 56] 
Onde 
	 [Eq. 57] 
Nesse caso, a resposta é: 
 [Eq. 58] 
 As constantes A1 e A2 em cada caso podem ser determinadas a partir das condições iniciais. As formas de onda da tensão são similares àquelas já demonstradas e dependem, se o circuito apresenta amortecimento supercrítico, subamortecimento ou amortecimento crítico. 
 Após determinar a tensão v(t) no capacitor para o circuito RLC em paralelo, se pode obter rapidamente, outros valores para o circuito, como as correntes em cada elemento. Por exemplo, a corrente no resistor é iR = v/R e a tensão no capacitor é Vc = C dv/dt. Se escolhe a tensão no v(t) no capacitor como variável-chave a ser determinada em primeiro lugar. Note que inicialmente se encontra a corrente i(t) no indutor para o circuito RLC em série, enquanto se encontra primeiro a tensão v(t) no capacitor para o caso do circuito RLC em paralelo. 
2.4.2 CÁLCULOS 
Para os três circuitos RLC paralelo a seguir i(0)=50 mA pois a fonte de corrente está invertida em relação a nossa análise. 
Circuito RLC1 – Paralelo Para t<0 
 
Cálculo de v’(0) 
Para t>0 
			 
Caso Superamortecido () 
	Cálculo de S1 	 	 	 
	 
	Cálculos de S2 
 	 	 	 
 	 	 	 	
 	 	 		
 	 	 	 		 
 	 	 			 
Pode-se calcular A1 e A2 usando as condições inicias calculadas para t<0. 
 
Para t = 0 em i(t) para t=0 em i’(t) 
 		
				
					
					
Resolvendo o sistema acima se encontra: .
Circuito RLC2 – Paralelo Para t<0
 
 
Cálculo de v’(0) 
 
Para t>0 
 			
Caso Criticamente amortecido ( ) 
Cálculo de S1 e S2 
 	 	 
Pode-se calcular A1 e A2 usando as condições inicias calculadas para t<0. 
 
Para t = 0 em i(t) para t=0 em i’(t) 
 
	 
	
	 
	 
	 
	
	 
	 
	
	
	 
	 
	 
Resolvendo o sistema acima se encontra: A1 =5 e A2 = 0. 
Circuito RLC3 – Paralelo
Para t<0
 
Cálculo de v’(0) 
Para t>0 
Caso Subamortecido ( ) 
Cálculo de : 
 
 
Cálculo de S1 e S2 
	j
j
	 
	 
	 
	 
	
Pode-se calcular A1 e A2 usando as condições inicias calculadas para t<0. 
 
Para t = 0 em v(t) 
	 
	 
Para t=0 em v’(t)
Resolvendo o sistema acima se encontra: A1 = 0 e A2 = 0,16. 
 
2.4.3 SIMULAÇÃO DO CIRCUITO 
Circuito RLC em paralelo, com resistor de 2Ω, indutor de 1H e capacitor de 10mF, além de uma fonte que deixa o circuito em regime permanente. Porém, essa fonte dá apenas um pulso inicial e depois não interfere mais na resposta do circuito. 
Conforme mostra a figura abaixo: 
 
Figura 26: Circuito RLC paralelo sem fonte, com resistor 2Ω, indutor de 1H e capacitor de 100mF. Fonte: Proteus 
Circuito RLC em paralelo, com resistor de 5Ω, indutor de 1H e capacitor de 10mF, além de uma fonte que deixa o circuito em regime permanente. Porém, essa fonte dá apenas um pulso inicial e depois não interfere mais na resposta do circuito. 
Conforme mostra a figura abaixo: 
 
Figura 27: Circuito RLC paralelo sem fonte, com resistor de 5Ω, indutor de 1H e capacitor de 10mF. Fonte: Proteus 
Circuito RLC em paralelo, com resistor de 10Ω, indutor de 100mH e capacitor de 10mF, além de uma fonte que deixa o circuito em regime permanente. Porém, essa fonte dá apenas um pulso inicial e depois não interfere mais na resposta do circuito. Conforme mostra a figura abaixo:Figura 28: Circuito RLC paralelo sem fonte, com resistor de 10Ω, indutor de 100mH e capacitor de 10mF. Fonte: Proteus 
 
No gráfico abaixo, se pode observar: a variação da tensão em qualquer um dos componentes, visto que o valor da tensão em paralelo é o mesmo, sendo tensão no eixo das ordenadas (vertical), em função do tempo, no eixo das abscissas (horizontal). No final, se tem as curvas de cada um dos circuitos, e as respostas obtidas devido à variação dos valores dos componentes. Portanto, houve variação nas curvas. 
 
 
Figura 29: Circuito RLC paralelo sem fonte, com as curvas de cada circuito apresentado. Fonte: Proteus 
 
A curva na cor verde, representa a tensão do primeiro circuito (figura 23), em função do tempo (t). 
A curva na cor vermelha, representa a tensão do segundo circuito (figura 24), em função do tempo (t). 
A curva na cor azul, representa a tensão do terceiro circuito (figura 25), em função do tempo (t). 
 	 
 
 
 
2.4.4 COMPROVAÇÃO MATEMÁTICA 
O gráfico abaixo apresenta os resultados matemáticos, obtidos com uso de software 
específico, utilizando as equações obtidas nos cálculos do item 2.4.2
 
 
Figura 30: Circuitos RLC paralelo sem fonte, com as curvas de cada circuito apresentado. 
Fonte: Matlab. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 CONCLUSÃO 
 
Após a realização da pesquisa teórica, cálculo teórico, simulação do circuito elétrico em software específico, além da comprovação matemática em software. Em todos os casos, houve convergência dos resultados esperados. Portanto, se pode comprovar a teoria, através de cálculos e simulações. 
 A partir de agora, sugere-se um estudo posterior, tendo como objetivo a montagem prática dos circuitos, desse modo, se comprovaria em condições reais, o que é previsto em teoria. Além disso, ajudaria na familiarização dos alunos, aos equipamentos utilizados para medições de grandezas elétricas, como multímetros, amperímetros, osciloscópios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N.; Fundamentos de Circuitos Elétricos. 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
 
 LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares. 2ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
 
 
 GOOGLE IMAGENS. Disponível em: < https://www.google.com.br/imghp?hl=pt- PT>. Acesso em: 12 jun. 2016. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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