Relatório: Linearidade e o princípio da superposição; Equivalente de Thévenin e a máxima transferência de potência pd

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Linearidade e Princípio da
Superposição, Equivalente de
Thévenin e a Máxima
Transferência de Potência
Laboratório de Circuitos I
Introdução
Dentre os mais variados métodos
de análise de circuitos elétricos, um de
particular interesse é o método da
superposição. Com este método, é
possível verificar a influência individual de
um determinado elemento ativo (fontes de
tensão e corrente) em um dado circuito
complexo.
Como é de se esperar, a condição
de superposição está fortemente ligada
ao circuito em questão ser linear, uma vez
que apenas um sistema linear obedece a
tais princípios. Como neste presente
estudo abordaremos apenas
componentes lineares (resistores, mas
também se enquadram como
componentes lineares capacitores e
indutores. Por outro lado, os diodos não
são classificados como componentes
lineares), podemos aplicá-lo em um
circuito e observar o comportamento
individual de cada fonte, e então somar as
contribuições individuais e encontrar as
variáveis de circuito para um esquemático
completo.
Um circuito denominado
equivalente de Thévenin é formado por
uma fonte de tensão de Thévenin em
série com a resistência de Thévenin, e
que corresponde a uma generalização de
possivelmente um circuito mais complexo,
visto a partir de um par de terminais.
Já um equivalente de Norton é
formado por uma fonte de corrente de
Norton em paralelo com a resistência de
Norton.
Figura 1: à esquerda, circuito
Equivalente de Thévenin, à direita, de
Norton
Um viés importante para a análise
de circuitos a partir do equivalente de
Thévenin, é permitir a simplificação de
qualquer circuito como uma fonte de
tensão em série com um resistor (apenas
em circuitos puramente resistivos). A
partir dessa simplificação então, torna-se
simples a análise de máxima transferência
de potência a uma carga qualquer
introduzida nos terminais de interesse do
sistema.
Sabe-se que tal condição (máxima
transferência de potência) ocorre quando
a resistência da carga da carga é igual𝑅
𝐿
a resistência equivalente do circuito
(resistência de Thévenin RTH).
𝑅
𝑇ℎ
= 𝑅
Objetivos
A partir de uma elaboração
matemática, em paralelo com uma
simulação de circuitos em software
SPICE, analisaremos em prática o
princípio da superposição, de forma a
verificar sua aplicabilidade.
Encontraremos também analiticamente a
condição que satisfaz a máxima
transferência de potência e por meio do
teorema de Thévenin, obter o circuito
equivalente.
Materiais
- 1 Fonte de tensão contínua,
independente e variável (com faixa
de 2 á 10 Volts);
- 1 Fonte de tensão contínua fixa
com valor 5V;
- Resistores variados;
- 1 Multímetro com função
Voltímetro e Ohmímetro;
- Software de simulação LTspice;
- Software de análise gráfica;
Métodos
Para verificarmos a aplicabilidade
do princípio de superposição, utilizaremos
três circuitos distintos: o primeiro
contendo uma fonte variável, o segundo
contendo unicamente uma fonte fixa, e o
terceiro sendo um circuito contendo
ambas as fontes. Verificaremos assim,
através de comparação, a superposição
como soma dos dois comportamentos
observados inicialmente.
O primeiro circuito a ser analisado
é ilustrado a seguir (figura 2).
Figura 2. Circuito com fonte única variável
Através do método da análise
nodal, é possível encontrar uma única
equação capaz de nos fornecer a tensão
. Assim:𝑉
𝑜𝑢𝑡
𝑉
𝑜𝑢𝑡
1𝑘Ω +
𝑉
𝑜𝑢𝑡
3.3𝑘Ω +
𝑉
𝑜𝑢𝑡
−𝑉
𝑖𝑛
2.2𝑘Ω = 0
Logo:
𝑉
𝑜𝑢𝑡
= 165638 𝑉𝑖𝑛
Substituindo tal equação com os
valores fornecidos ( ),𝑉
𝑖𝑛
= [2, 4, 5, 8, 10]𝑉
encontramos os resultados resumidos na
tabela 1.
Adicionamos também a tabela 1,
os valores para encontrados em𝑉
𝑜𝑢𝑡
simulação (figura 3).
Figura 3. Simulação Spice para
circuito de fonte única variável
Para um segundo momento, com
fonte fixa, temos o circuito ilustrado na
figura (4) a seguir.
Figura 4. Circuito de fonte única fixa
Novamente, utilizando o método
da análise nodal, encontramos o valor da
tensão . Aqui utilizamos o sobrescrito𝑉
𝑜𝑢𝑡2
“ ” contrastando com “ ” para𝑜𝑢𝑡
2
𝑜𝑢𝑡
diferenciar a tensão da fonte fixa, da fonte
variável.
Temos dessa forma, a relação a
seguir, e o valor final resumido na tabela
2, acrescido do resultado encontrado
através da simulação, para o circuito
análogo, ilustrado em (4).
𝑉
𝑜𝑢𝑡2
−𝑉
𝑓𝑖𝑥𝑎
1𝑘Ω +
𝑉
𝑜𝑢𝑡2
3.3𝑘Ω +
𝑉
𝑜𝑢𝑡2
2.2𝑘Ω = 0
𝑉
𝑜𝑢𝑡2
= 165290 · 𝑉𝑓𝑖𝑥𝑎
Figura 5. Simulação Spice para
circuito de fonte única fixa
Para a terceira e última análise
relativa ao conceito de superposição,
utilizaremos o circuito ilustrado na figura
6. Assim, de acordo com o princípio da
linearidade, esperamos encontrar
matematicamente, um resultado que é a
soma dos dois cenários independentes e
individuais anteriores.
Figura 6. Circuito com duas fontes
Fazendo a análise nodal, temos
então:
𝑉
𝑜𝑢𝑡
3
−𝑉
𝑓𝑖𝑥𝑎
1𝑘Ω +
𝑉
𝑜𝑢𝑡
3
3.3𝑘Ω +
𝑉
𝑜𝑢𝑡
3
−𝑉
𝑖𝑛
2.2𝑘Ω = 0
𝑉
𝑜𝑢𝑡
3
= 165638 · 𝑉𝑖𝑛 +
165
290 · 𝑉𝑓𝑖𝑥𝑎
Novamente, substituímos os
valores conhecidos, e resumimos os
resultados na tabela 3, juntamente com os
dados da simulação (figura 7).
Figura 7. Simulação para circuito
com duas fontes
Prosseguindo para análise relativa
ao circuito equivalente, primeiro medimos
a tensão do seguinte circuito (8):𝑉
𝐿
Figura 8: circuito original que será
manipulado
Figura 9. Medições feitas pelo LTSpice
sobre o circuito acima. corresponde a𝑉
𝐿 
V(n002)=5.79V
Por meio dos cálculos, primeiro
faremos um resistor equivalente para R3,
R4 e R5, para que tenhamos assim Req e
Rl em série e possamos descobrir e𝑉
𝐿
𝐼
𝐿
.
𝑅
𝑒𝑞
= 300+820( )560300+820+560 = 373. 33Ω
Assim, fazemos uma análise nodal
onde Req e Rl estão em série.
𝐼
1
= 𝐼
2
+ 𝐼
𝐿
 →
10−𝑉
2
300 =
𝑉
2
560 +
𝑉
2
1200+373,33 →
1
30 = 5, 755×10
−3𝑉
2
𝑉
2
= 5, 792 𝑉
𝐼
𝐿
= 5,7921573,333 = 3, 682𝑚𝐴
𝑉
𝐿
= 1200 ×3, 682 × 10−3 = 4, 418 𝑉
Depois retiramos o resistor RL e
medimos a tensão de circuito aberto VOC,
conforme mostrado na Figura a seguir:
Figura 10: Tensão medida no terminal
aberto a esquerda que mostra Vth em
azul
Isso porque assim, para acharmos
Vth temos que achar a queda de tensão
de R2, pois não há tensão no lado direito
do circuito. Assim,
𝐼 = 10300+560 = 0, 012 𝐴
𝑉
2
= 𝐼𝑅
2
= 6, 512 𝑉
Ou seja, . 𝑉
𝑡ℎ
= 6, 51𝑉
Agora, para determinarmos o
resistor de Thévenin , retiraremos a𝑅
𝑇ℎ
fonte de tensão independente .𝑉
𝑆
Curto-circuitaremos os terminais a ela
ligados, e mediremos a resistência
equivalente vista entre os nós de
interesse. Colocaremos uma fonte de
tensão de qualquer valor nos terminais de
.𝑉
𝑇ℎ
Figura 11: Circuito curto-circuitado em Vs
e com fonte de tensão no lugar de Rl
Figura 12: Medições feitas pelo LTSpice
sobre o circuito acima
Para acharmos a resistência basta
fazer o valor da fonte qualquer dividido
pelo módulo do valor da corrente de I(V1)
(da fonte qualquer) encontrado pelo
LTSpice.
𝑅
𝑡ℎ
= 100/0, 176 = 568, 18Ω
Fazendo os cálculos,
𝑅
𝑡ℎ
= 300+820( )560300+820+560 +
300×560
300+560 = 568, 682 Ω
Montando o circuito equivalente de
Thévenin, utilizamos a fonte de tensão
calculada anteriormente, com valor igual a
6.51 V, juntamente com um resistor de
Thévenin determinado como 568.18Ω, e
inserimos o resistor RL de 1,2kΩ entre os
terminais de observação (terminais do
polo VL).
Figura 13: Circuito equivalente de
Thévenin
Figura 14: Medições feitas pelo LTSpice
sobre o circuito anterior
Vemos a partir dos resultados da
simulação que a tensão
. Para𝑉
𝐿
= 𝑉(𝑛002) = 4, 4181 𝑉
conferirmos se a queda de tensão no
resistor é realmente a mesma, basta𝑅
𝐿
usarmos um divisor de tensão, como
abaixo.
𝑉
𝐿
=
𝑅
𝐿
𝑅
𝐿
+𝑅
𝑡ℎ
𝑉
𝑡ℎ
= 12001200+568,18 6, 51 = 4, 42 𝑉
Para a máxima transferência de
potência, temos que, a associação
resultante do circuito à uma carga
qualquer , simplificado com o𝑅
𝐿
equivalente de Thévenin, seria como
ilustrada na figura 7.
Figura 15. Circuito para máxima
transferência de potência
A potência dissipada sobre o
resistoré dada por:𝑅
𝐿
𝑃 = 𝑉
2
𝑅
𝐿
 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑉 =
𝑅
𝐿
(𝑅
𝐿
+𝑅
𝑇𝐻
) · 𝑉𝑇𝐻
Como desejamos encontrar o valor
para máxima transferência de potência,
derivamos a relação à direita em relação a
, e igualamos a zero (para encontrar o𝑅
𝐿
ponto máximo da função). A condição
final encontrada, é dada a seguir:
(𝑅
𝑇𝐻
+ 𝑅
𝐿
)2 = 2𝑅
𝐿
(𝑅
𝑇𝐻
+ 𝑅
𝐿
)
Pegando 7 valores de resistores
, 1 sendo igual a , 3 inferiores a esse𝑅
𝐿
𝑅
𝑡ℎ
e 3 superiores a esse valor. Usando
e temos que:𝑅
𝑡ℎ
= 568, 682 𝑉
𝑡ℎ
= 6, 512
- 𝑅
𝐿
= 1200 Ω
𝑉
𝐿
= 12001200+568,682 6, 512 = 4, 418 𝑉
𝑃 = 4,418 
2
1200 = 16, 266 𝑚𝑊
- 𝑅
𝐿
= 900 Ω
𝑉
𝐿
= 900900+568,682 6, 512 = 3, 990 𝑉
𝑃 = 3,990 
2
900 = 17, 689 𝑚𝑊
- 𝑅
𝐿
= 800 Ω
𝑉
𝐿
= 800800+568,682 6, 512 = 3, 806 𝑉
𝑃 = 3,806 
2
800 = 18, 107 𝑚𝑊
- 𝑅
𝐿
= 𝑅
𝑡ℎ
= 568, 682 Ω
𝑉
𝐿
= 568,682568,682+568,682 6, 512 = 3, 256 𝑉
𝑃 = 3,256
2
568,682 = 18, 642 𝑚𝑊
- 𝑅
𝐿
= 450 Ω
𝑉
𝐿
= 450450+568,682 6, 512 = 2, 877 𝑉
𝑃 = 2,877
2
450 = 18, 394 𝑚𝑊
- 𝑅
𝐿
= 250 Ω
𝑉
𝐿
= 250250+568,682 6, 512 = 1, 988 𝑉
𝑃 = 1,988
2
250 = 15, 809 𝑚𝑊
- 𝑅
𝐿
= 50 Ω
𝑉
𝐿
= 5050+568,682 6, 512 = 0, 526 𝑉
𝑃 = 0,526
2
50 = 𝑙𝑚𝑊
Simulando os resistores no
LTSpice temos a seguinte con�iguração:
Figura 16. Circuitos simulados:
3 resistores inferiores a , um𝑅
𝐿
𝑅
𝑡ℎ
igual e 3 superiores
Figura 17. Análise do LTSpice dos
circuitos da imagem anterior
Figura 18. Continuação da análise
do LTSpice dos circuitos da imagem
anterior
Figura 19. Gráfico da Potência vs
, montada a partir dos valores𝑅
𝐿
encontrados para os 7 resistores
previamente analisados
Fazendo os cálculos de 𝑃 = 𝑅𝐼2
para os valores simulados temos:
- 𝑅
𝐿
= 1200 Ω
𝑃 = 1200. (− 0, 0036)2 = 0, 01555
- 𝑅
𝐿
= 900 Ω
𝑃 = 900. (− 0, 0044)2 = 0, 01742 =
- 𝑅
𝐿
= 800 Ω
𝑃 = 800. (− 0, 0047)2 = 0, 01767 =
- 𝑅
𝐿
= 𝑅
𝑡ℎ
= 568, 682 Ω
𝑃 = 568, 682. (− 0, 0057)2 = 0, 018
- 𝑅
𝐿
= 450 Ω
𝑃 = 450. (− 0, 0063)2 = 0, 01786 =
- 𝑅
𝐿
= 250 Ω
𝑃 = 250. (− 0, 0079)2 = 0, 01560 =
- 𝑅
𝐿
= 50 Ω
𝑃 = 50. (− 0, 0105)2 = 0, 00551 =
Resultados
Substituindo os valores assumidos
pela fonte de tensão variável na equação
encontrada para o circuito contendo
apenas essa fonte, obtemos o resultado
tabelado a seguir (tabela 1). Vemos erro
aproximadamente nulo em todas as
escalas.
𝑉
𝑖𝑛
𝑉
𝑜𝑢𝑡
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
(V)
𝑉
𝑜𝑢𝑡
𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
(V)
𝐸𝑟𝑟𝑜
(%)
2 V 0,517 0,517 0
4 V 1,035 1,034 0,1
5 V 1,293 1,293 0
8 V 2,069 2,069 0
10 V 2,586 2,586 0
Tabela 1. Circuito com fonte única
variável
Eliminando-se a fonte de tensão
variável, e adicionando-se a de tensão
fixa , encontramos a partir da𝑉
𝑓𝑖𝑥𝑎
= 5𝑉
relação:
𝑉
𝑜𝑢𝑡
= 165290 · 𝑉𝑓𝑖𝑥𝑎 = 2. 845 𝑉
𝑉
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
(V)
𝑉
𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
(V)
𝐸𝑟𝑟𝑜
(%)
𝑉
𝑜𝑢𝑡
2
2,845 2,845 0
Tabela 2. Circuito com fonte única fixa
Para o circuito contendo ambas as
fontes, o resultado obtido através de uma
nova (e mais complexa) análise
matemática, é expressamente o
esperado, obtido através da soma das
influências individuais. Vemos assim, uma
das vantagens do conhecimento do
método da superposição na análise de
circuitos: a simplificação de modelos mais
complexos em componentes menores e
de mais fácil análise.
Os valores encontrados para a
tensão a partir do modelo matemático𝑉
𝑜𝑢𝑡
encontrado , a tensão simulada(𝑉
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
)
e a tensão de superposição (𝑉
𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
, dada pela soma do seu respectivo𝑉
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑝
e , calculados anteriormente𝑉
𝑜𝑢𝑡
𝑉
𝑜𝑢𝑡2
individualmente), são tabeladas a seguir
(tabela 3).
𝑉
𝑜𝑢𝑡
3
𝑉
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
(V)
𝑉
𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
(V)
𝑉
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑝
(V)
𝐸𝑟𝑟𝑜
(%)
2 V 3,362 3,362 3,362 0
4 V 3,879 3,879 3,879 0
5 V 4,138 4,138 4,138 0
8 V 4,914 4,914 4,914 0
10 V 5,431 5,431 5,431 0
Tabela 3. Circuito com duas fontes
Uma análise gráfica com os pontos
fornecidos pela tabela 3, nos permite uma
visualização mais clara da linearidade do
sistema.
Figura 20. Gráfico de em𝑉
𝑜𝑢𝑡
função de .𝑉
𝑖𝑛
Através da comparação, vemos
que o coeficiente linear B (y-intercept) é
fixa, assim como o coeficiente linear
introduzido ao sistema pela fonte fixa de
5V. Para relações do primeiro grau, tal
valor corresponde ao valor da função
quando , ou seja, quando a fonte𝑥 = 0
variável não está no sistema. É
exatamente o que esperávamos (tabela
2).
Novamente, o coeficiente angular
é o termo que multiplica a variável. Nesse
caso , e o termo A (slope) se torna𝑥 = 𝑉
𝑖𝑛
então cujo decimal é 0,259,𝐴 = 165638
correspondendo ao mesmo valor obtido
através da análise gráfica.
Vemos então, a aplicabilidade do
princípio da linearidade nesse circuito,
uma vez que temos apenas componentes
lineares no mesmo.
Teorema de Thévenin
Calculado Simulado Erro
(%)
𝑉
𝑙
4,42V 4,418 V 0,05
𝑉
𝑡ℎ
6,51V 6,51V 0
( )𝑅
𝑡ℎ
Ω 568,68 568,18 0,09
Tabela 3. Tabela de comparação de
voltagens Vl e Vth e resistência Rth
Máxima transferência de
potência
Resolvendo a equação relativa a
máxima transferência de potência, temos
finalmente:
𝑅
𝑇𝐻
= 𝑅
𝐿
Para tal condição, temos:
𝐼 =
𝑉
𝑡ℎ
𝑅
𝑡ℎ
+𝑅
𝑃 = 𝑅𝐼2 = 𝑅
𝑉
𝑡ℎ
𝑅
𝑡ℎ
+𝑅( )2 = 𝑉𝑡ℎ24𝑅
𝑇ℎ
Resistor
(Ω)
Calcula
do
(mW)
Simulad
o (mW)
Erro
(%)
1200 16, 266 15,55 3,54
900 17, 689 17,42 1,52
800 18, 107 17,67 2,41
568, 682 18, 642 18,48 0,87
450 18, 394 17,86 2,90
250 15, 809 15,60 1,32
50 5, 534 5,51 0,43
Tabela 4. Tabela de comparação de
potência
Questões para o relatório
- Questão 1
Figura 21 Gráfico Vout x Vin
A propriedade de linearidade se verifica
neste circuito, uma vez que temos um
circuito puramente resistivo, no qual a
função que o rege é V = RI, que é linear.
- Questão 2
As diferenças pequenas (menores de 5%)
se dão a erros de truncamento.
Conclusão
Vemos assim, que o resultado é
exatamente o esperado através do
princípio da superposição, tanto através
da simulação computacional, quanto
analiticamente (a equação que rege a
tensão de saída para o circuito com duas
fontes, é a exata soma das tensões
obtidas anteriormente), de forma análoga,
temos a verificação do Teorema de
Thévenin e da Máxima Transferência.
Além disso, verificou-se também que o
erro encontrado em análises anteriores foi
exclusivamente atribuído a erros de
truncamento.
Referências
(1) https://www.maxwell.vrac.puc-rio.b
r/32/32_004.HTM
(2) https://professoreletrico.com/curso
s/circuitos/maxima-transferencia-d
e-potencia/
https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/32/32_004.HTM
https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/32/32_004.HTM
https://professoreletrico.com/cursos/circuitos/maxima-transferencia-de-potencia/
https://professoreletrico.com/cursos/circuitos/maxima-transferencia-de-potencia/
https://professoreletrico.com/cursos/circuitos/maxima-transferencia-de-potencia/