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Suma´rio 1 Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 2 1.1 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Frac¸o˜es Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Decomposic¸a˜o em Frac¸o˜es Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Me´todo das Frac¸o˜es Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Capı´tulo 1 Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 1.1 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas As identidades trigonome´tricas sen2t+cos2t = 1 e sec2t = 1+tg2t sa˜o particularmente adequadas para lidar com integrandos com fatores tais como √ a2 − x2, √a2 + x2 e √x2 − a2. Exemplo 1 Calcular ∫ √ 1 − x2 dx. Soluc¸a˜o: (i) Observemos que a escolha x = sen t transforma 1 − x2 em 1 − sen2t = cos2t; (ii) Essa escolha e´ particularmente feliz, pois x ∈ [−1, 1] se, e somente se, t ∈ [ −pi 2 , pi 2 ] ; (iii) Nestas condic¸o˜es, cos t > 0 e √ 1 − x2 = √ 1 − sen2t = √ cos2t = cos t; (iv) Ale´m disso, a escolha x = sen t acarreta dx = cos t dt. Assim, podemos calcular∫ √ 1 − x2 dx = ∫ cos t cos t dt = ∫ cos2t dt = t + sen t cos t 2 + C Exemplo 2 Calcular ∫ √ x2 + 16 dx Soluc¸a˜o: (i) Usando a identidade sec2t = 1 + tg2t e fazendo x = 4 . tg t, temos: 16 + x2 = 16 + (4 tg t)2 = 16 + 16 . tg2t; (ii) Colocando em evideˆncia, temos: 16 + 16 . tg2t = 16(1 + tg2t); (iii) Como 1 + tg2t = sec2t, segue que: 16(1 + tg2t) = 16 . sec2t 2 CAPI´TULO 1. OUTRAS TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 3 (iv) Para completar, precisamos calcular dx em termos de dt; (v) Como x = 4 tg t, dx = 4 sec2t dt, segue que:∫ √ 16 + x2 dx = ∫ (4 sec t)(4 sec2t) dt = ∫ 16 sec3t dt = 16 ∫ sec3t dt (vi) Por fim, para integrar ∫ sec3t dt, podemos usar a integrac¸a˜o por partes, fazendo u = sec t e dv = sec2t dt. Isso resulta em du = sec t . tg t dt, v = tg t e temos∫ sec3t dt = sec t . tg t − ∫ tg2t sec t dt∫ sec3t dt = sec t . tg t − ∫ (sec2t − 1) sec t dt∫ sec3t dt = sec t . tg t − ∫ sec3t dt + ∫ sec t dt∫ sec3t dt = sec t . tg t + ∫ sec t dt∫ sec3t dt = sec t . tg t 2 + `n|sec t + tg t| 2 + C (vii) Retomando a integrac¸a˜o original, temos:∫ √ 16 + x2 dx = 16 ∫ sec3t dt = 8 . sec t . tg t + 8`n |sec t + tg t| + C = x √ 16 + x2 2 + 8 `n ∣∣∣∣∣∣ √ 16 + x2 + x 4 ∣∣∣∣∣∣ + C. Exemplo 3 Calcular ∫ x2√ 16 − x2 dx. Continua em MA22 - Unidade 20 - Pa´gina 05 Soluc¸a˜o: (i) (ii) (iii) (iv) (v) 1.2 Exercı´cios 1) Calcule as integrais: (A) ∫ √ 4 − x2dx (B) ∫ 5 0 √ x2 + 25dx (C) ∫ 4 2 √ x2 − 4dx (D) ∫ x2√ 9 − 4x2 dx CAPI´TULO 1. OUTRAS TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 4 1.3 Frac¸o˜es Parciais Esta te´cnica permitira´ lidar com integrandos que sa˜o quocientes de polinoˆmios. E´ claro que, se o grau do numerador e´ maior que o grau do denominador, podemos usar o algoritmo da divisa˜o de Euclides para escreveˆ-lo como uma soma de um polinoˆmio e um quociente cujo grau do numerador e´ menor do que o grau do denominador. Assim, vamos nos concentrar nestes tipos de quocientes de polinoˆmios: o grau do denominador e´ maior do que o grau do numerador. Nestes casos vamos usar um resultado da A´lgebra que nos permitira´ reescrever o quociente como uma soma de quocientes mais simples, as chamadas frac¸o˜es parciais, cada uma delas possı´vel de ser integrada. 1.3.1 Decomposic¸a˜o em Frac¸o˜es Parciais Dado um quociente de polinoˆmios p(x) q(x) , tal que o grau de p e´ menor do que o grau de q, que por nossa convenieˆncia podemos considerar moˆnico, ele se decompo˜e em uma soma de frac¸o˜es, correspondentes a` decomposic¸a˜o de q(x) em fatores primos. Exemplo 4 Veja algumas decomposic¸o˜es em frac¸o˜es parciais: 4x2 − 9x − 1 (x + 1)(x − 2)(x − 3) = 1 x + 1 + 1 x − 2 + 2 x − 3 6x4 + 2x3 − 2x2 − 5x − 22 (x + 1)2(x − 2)(x2 + 4) = 1 (x + 1)2 + 2 x + 1 + 1 (x − 2) + 3x + 1 (x2 + 4) x5 − x4 + 3x3 − 4x2 + x − 2 (x2 + 1)2x2 = x − 1 (x2 + 1)2 + 1 x2 + 1 + 1 x − 2 x2 CAPI´TULO 1. OUTRAS TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 5 1.3.2 Me´todo das Frac¸o˜es Parciais Para usar o me´todo das frac¸o˜es parciais para integrar ∫ p(x) q(x) dx, precisamos: (a) Decompor o polinoˆmio q(x) em seus fatores primos; (b) Determinar as constantes da decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais; (c) Saber integrar cada uma das frac¸o˜es parciais Vamos ilustrar esses procedimentos com va´rios exemplos. Comecemos por observar que, quanto ao item c, ja´ sabemos integrar alguns casos. Veja o exemplo a seguir. Exemplo 5 Vamos calcular a integral ∫ x − 5 x2 − x − 2 dx Soluc¸a˜o: (i) Observe que x2 − x − 2 se decompo˜e como (x + 1)(x − 2). (ii) Assim, sabemos que o integrando se escreve como uma soma de frac¸o˜es parciais. Isto e´, existem constantes A e B, tais que x − 5 x2 − x − 2 = A x + 1 + B x − 2 (iii) Simplificando a igualdade, obtemos: x − 5 x2 − x − 2 = A x + 1 + B x − 2 A(x − 2) + B(x + 1) = x − 5 (iv) Desenvolvendo, obtemos: A(x − 2) + B(x + 1) = x − 5 Ax − 2A + Bx + B = x − 5 (v) Segue que: { A + B = 1 −2A + B = −5 =⇒ { 2A + 2B = 2 −2A + B = −5 =⇒ A = 2 e B = −1 (vi) Assim, vale a igualdade∫ x − 5 x2 − x − 2 dx = ∫ 2 x + 1 dx − ∫ 1 x − 2 dx Cujo desenvolvimento se obte´m:∫ 2 x + 1 dx − ∫ 1 x − 2 dx = 2`n|x + 1| − `n|x − 2| + C Isto e´: ∫ x − 5 x2 − x − 2 dx = 2`n|x + 1| − `n|x − 2| + C CAPI´TULO 1. OUTRAS TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 6 1.4 Exercı´cios 1) Calcule as integrais a seguir: (A) ∫ −8x (x2 − 1)(x − 3) dx (B) ∫ 2x−6x + 1 (x − 1)2(x + 1) dx 2) Calcule as integrais a seguir: (A) ∫ 3x2 − 3x + 2 (x2 + 4)(x − 2) dx (B) ∫ x − 2 (x2 + 9)3 dx 3) Calcule a integral ∫ 1 (1 + x2)3 dx, fazendo a substituic¸a˜o x = tan t. Na˜o da´ para contratar algue´m para praticar por voceˆ. (H. Jackson Brown Jr.)
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