aula 9

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 9: Integral Inde�nida
Apresentação
Nesta nona aula, daremos continuidade ao estudo das integrais por meio do método das substituições trigonométricas e do
método das frações parciais. Além disso, veremos a situação particular que envolve a resolução de integrais impróprias.
Com tal conhecimento, você �nalmente estará preparado para encontrar alguns usos práticos das integrais, que serão vistos
na aula 10.
Objetivos
Aplicar a integração por substituições trigonométricas;
Obter a integral de funções racionais pelo método das frações parciais;
Reconhecer e resolver integrais impróprias.
Integrais das funções trigonométricas
Aluno, esta aula contém um documento <galeria/aula9/pdf/aula9.pdf> com todos os exemplos da aula sintetizados. Durante a
leitura, os exemplos serão referenciados para que os consulte.
Ao longo das aulas anteriores, vimos importantes integrais referentes às funções trigonométricas e, nesta aula, estudaremos
mais um conjunto de integrais trigonométricas.
Observe as fórmulas de integração inde�nida:
Vamos considerar agora quatro casos de integrais inde�nidas envolvendo potências de seno e cosseno, conforme as potências
sejam pares ou ímpares.
∫ tg u · du = ln | sec u | + C
∫cotg u · du = ln | sin u | + C
∫ sec u · du = ln | sec u + tg u | + C
∫ cosec u · du = ln | cosec u - cotg u | + C
https://stecine.azureedge.net/webaula/estacio/go0023/galeria/aula9/pdf/aula9.pdf
Caso 1
∫ sinnu · du ou ∫ cosnu · du, onde n é um inteiro ímpar.
Para compreender a de�nição acima, observe o primeiro exemplo no documento.
Caso 2
∫ sinnx · cosmx · dx, em que pelo menos um dos expoentes é ímpar. A solução é semelhante à do Caso 01.
Para compreender a de�nição acima, observe o exemplo 2 no documento.
Caso 3
∫sinnu · du ou ∫cosnu · du, onde n é um inteiro par.
O método usado nos Casos 01 e 02 não funcionará. É preciso, então, utilizar as identidades trigonométricas.
sin2x =
1 - cos 2x
2 e cos
2x =
1 + cos 2x
2 e sin
2x · cos2x =
1 - cos 4x
8
Dica
Uma fórmula geral para redução de integrais é bastante útil nestas situações, particularmente para expoentes pares acima de 2:
∫ sinnu · du = -
cos u · sinn - 1u
n +
n - 1
n ∫ sin
n - 2u · du ∴ n = 2i + 2, i = 1 ,2
∫cosnu · du =
sin u · cosn - 1u
n +
n - 1
n ∫ cos
n - 2u · du ∴ n = 2i + 2, i = 1 ,2 ,
Caso 4
∫ sinnx · cosmx · dx, onde ambos os expoentes são pares. A solução é semelhante à do Caso 03.
Dica
Há também fórmulas para a redução de integrais:
∫ sin2x · cosnx · dx =
sin3x · cosn - 1x
2 + n +
n - 1
2 + n ∫ sin
2x · cosn - 2x · dx ∴ n = 2i
∫ sinnx · cos2x · dx = -
sinn - 1x · cos3x
2 + n +
n - 1
2 + n ∫ sin
n - 1x · cos2
∴ n = 2i + 2, i = 1 ,2 , …. ,
∫ sinnx · cosnx · dx =
sinn + 1x · cosn - 1x
2n +
n - 1
2n ∫ sin
nx · cosn - 2x
∴ n = 2i + 2, i = 1 ,2 , …. ,
A integração de potências da tangente, cotangente, secante e cossecante exige primeiro que você recorde algumas fórmulas:
∫ tg u · du = ln |sec u| + C
∫sec u ∙ du = ln |sec u + tg u| + C
∫sec2u ∙ du = tg u + C
∫sec u ∙ tg u ∙ du = sec u + C
∫cotgu ∙ du = ln|sinu| + C
∫cosecu ∙ du = ln|cosecu - cotgu| + C
∫cosec2u ∙ du = - cotg u + C
∫cosecu ∙ cotgu ∙ du = - cosecu + C
Com essas fórmulas e as identidades trigonométricas abaixo:
1 + tg2u = sec2u
1 + cotg2u = cosec2u
podemos calcular integrais da forma:
onde m e n são inteiros não negativos.
∫ tgmx ∙ secnx ∙ dx e ∫ cotgmx ∙ cosecnx ∙ dx
Além disso, podemos escrever as seguintes relações gerais:
∫ tgn x ∙ dx =
tgn - 1 x
n - 1 - ∫ tg
n - 2 x ∙ dx, n é um número inteiro tal
∫ cotgn x ∙ dx = -
cotgn - 1 x
n - 1 - ∫ cotg
n - 2 x ∙ dx, n é um número inteir
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Para n igual a um número inteiro, tal que n ≥ 2, também é válido:
∫ secn(x) ∙ dx =
secn - 1 ( x ) ∙ sin ( x )
n - 1 +
n - 2
n - 1 ∙ ∫ sec
n - 2 x ∙ dx
∫cosecn(x) ∙ dx = -
cosecn - 1 ( x ) ∙ cos ( x )
n - 1 +
n - 2
n - 1 ∙ ∫ cosec
n - 2 x ∙ dx
( )
( )
Agora, observe os exemplos 3 e 4 no documento.
Integração por substituição trigonométrica
Se o integrando contiver expressões do tipo √a2 - u2, √a2 + u2, ou √u2 - a2, onde a > 0, em geral, é possível efetuar a integração
por meio de uma substituição trigonométrica, o que levará a uma integral envolvendo funções trigonométricas.
Vamos, então, considerar cada caso separadamente.
Caso 1
O integrando contém uma expressão da forma √a2 - u2, onde a > 0.
A ideia é introduzir uma nova variável θ, tomando u = a ∙ sinθ. Onde: 0 ≤ θ ≤
π
2 , se u ≥ 0; e, -
π
2 ≤ θ < 0, se u < 0.
Logo, du = a ∙ cosθ ∙ dθ, e
√a2 - u2 = √a2 - a2 ∙ sin2θ = √a2 1 - sin2θ = a√cos2θ
Como 
- π
2 ≤ θ ≤
π
2 , cosθ ≥ 0. Então, √cos2θ = cosθ, e √a2 - u2 = a ∙
Como sinθ =
u
a e 
- π
2 ≤ θ ≤
π
2 , θ = sin - 1
u
a
( )
( )
Observe o exemplo 5 no documento.
Caso 2
Agora, o integrando contém uma expressão da forma √a2 + u2, onde a > 0.
Você deve introduzir uma nova variável θ, fazendo u = a ∙ tgθ, onde:
0 ≤ θ <
π
2 se u ≥ 0 e 
- π
2 < θ < 0 se u < 0
Então: du = a ∙ sec2θ ∙ dθ
√a2 + u2 = √a2 + a2 ∙ tg2 θ = a ∙ √sec2 θ
Como 
- π
2 < θ <
π
2 , secθ ≥ 1. Assim √sec2 θ = secθ, e 
√a2 + u2 = a ∙ secθ
Como tgθ =
u
a e 
- π
2 < θ <
π
2
θ = tg - 1
u
a( )
Observe o exemplo 6 no documento.
Caso 3
Desta vez, o integrando contém uma expressão da forma √u2 - a2, onde a > 0. Novamente, você deve introduzir uma nova variável
fazendo u = a ∙ secθ, onde:
0 ≤ θ <
π
2 se u ≥ a e π ≤ θ <
3π
2 se u ≤ - a
Então du = a ∙ secθ ∙ tgθ ∙ dθ e
√u2 - a2 = √a2sec2θ - a2 = √a2 sec2θ - 1 = a ∙ √tg2 θ
Como 0 ≤ θ <
π
2 ou π ≤ θ <
3π
2 , tg θ ≥ 0. Assim, √tg2 θ = tg θ, e tem
√u2 - a2 = a ∙ tg θ
0,3π2∪[π,3π2)
θ = sec - 1
u
a
( )
( )
Observe o exemplo 7 no documento.
Integração das funções racionais por frações parciais quando o
denominador tem somente fatores lineares
Uma função racional H é de�nida quando H(x) =
P ( x )
Q ( x ) , onde P(x) e Q(x) são polinômios.
Se o grau do numerador não for menor do que o grau do denominador, você terá uma fração imprópria. Nesse caso, será
necessário dividir o numerador pelo denominador até que se obtenha uma fração própria, isto é, uma fração cujo numerador
tenha grau menor do que o grau do denominador.
Observe o exemplo 8 no documento.
Integrais do tipo ∫
P ( x )
Q ( x ) ∙ dx
Agora, vamos calcular integrais do tipo ∫
P ( x )
Q ( x ) ∙ dx, onde o grau de P(x) é menor do que o grau de Q(x).
Para fazer isso, em geral, é necessário escrever 
P ( x )
Q ( x ) como a soma de frações parciais.
Os denominadores das frações parciais são obtidos fatorando Q(x) em um produto de fatores lineares e quadráticos onde os
fatores quadráticos não têm zeros reais.
Algumas vezes, pode ser difícil encontrar esses fatores de Q(x). Porém, um teorema de Álgebra Avançada estabelece que
teoricamente isso sempre pode ser feito.
Após fatorar Q(x) em um produto de fatores lineares e quadráticos, o método de determinar as frações parciais dependerá da
natureza desses fatores.
Caso 1
Os fatores de Q(x) são todos lineares e nenhum é repetido. Isto é,
onde não existem dois fatores idênticos.
Q(x) = a1x + b1 a2x + b2 … anx + bn( )( ) ( )
Nesse caso, você escreverá:
onde A1, A2, . . . , An são constantes a serem determinadas.
P ( x )
Q ( x ) ≡
A1
a1x + b1
+
A2
a2x + b2
+ … +
An
anx + bn
Caso 2
Os fatores de Q(x) são todos lineares e alguns são repetidos.
Suponha que aix + bi seja um fator que se repete p vezes.
Então, correspondendo a esse fator, haverá a soma de p frações parciais e você terá:
onde A1, A2, . . . , Ap são constantes a serem determinadas.
( )
A1
aix + bi
p
+
A2
aix + bi
p - 1
+ … +
Ap - 1
aix + bi
2
+
Ap
aix + bi( ) ( ) ( )
Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 9, 10 e 11 no documento.
Integração das funções racionais por frações parciais quando o
denominador contém fatores quadráticos
A discussão de integração de funções racionais por frações parciais continua e, agora, você verá dois casosonde o denominador
contém fatores quadráticos irredutíveis.
Da Álgebra vem: um fator ax2 + bx + c será irredutível se uma equação ax2 + bx + c = 0 não tiver raízes reais, isto é, b2 - 4ac < 0
Caso 3
Os fatores Q(x) são lineares e quadráticos, e nenhum fator quadrático é repetido.
Correspondendo ao fator quadrático ax2 + bx + c no denominador, temos uma fração parcial da forma:
onde A1, A2, . . . , Ap são constantes a serem determinadas.
Ax + B
ax2 + bx + c
Veja o exemplo 12 no documento.
Caso 4
Os fatores Q(x) são lineares e quadráticos e alguns dos fatores quadráticos são repetidos.
Se ax2 + bx + c for um fator quadrático de Q(x) que se repete p vezes, então, correspondendo ao fator ax2 + bx + c
p
, teremos a
soma de p frações parciais:
( )
A1x + B1
ax2 + bx + c p
+
A2x + B2
ax2 + bx + c p - 1
+ … +
Apx + Bp
ax2 + bx + c( ) ( )
Veja o exemplo 13 no documento.
Outras substituições
Se um integrando for uma função racional de sinx e cosx, ele poderá ser reduzido a uma função racional de z pela substituição:
z = tg
x
2
Consequentemente:
sinx =
2z
1 + z2
 cosx =
1 - z2
1 + z2
 dx =
2
1 + z2
dz
Veja o exemplo 14 no documento.
As funções hiperbólicas
As funções hiperbólicas são usadas na ciência e na engenharia sempre que uma entidade tal como a luz, a velocidade, a
eletricidade ou a radioatividade é gradualmente absorvida ou extinta, sendo este decaimento representado por esse tipo de
função.
As funções hiperbólicas são funções obtidas por combinação das funções ex e e - x.
Elas são:
Clique nos botões para ver as informações.
é a função f : R → R dada por f(x) = sinh(x) =
ex - e - x
2
Função seno hiperbólico: 
é a função f : R → R dada por f(x) = cosh(x) =
ex + e - x
2
Função cosseno hiperbólico: 
é a função f : R → ( - 1, 1) dada por f(x) = tgh
ex - e - x
ex + e - x
Função tangente hiperbólica: 
é a função f(x) =
1
cosh x
Função secante hiperbólica (sech): 
é a função f(x) =
1
sinh x
Função cossecante hiperbólica (csch): 
é a função fx=1tgh x
Função cotangente hiperbólica (cotgh): 
Dica
Você pode aplicar as funções hiperbólicas inversas em integrações e, algumas vezes, o seu uso abrevia consideravelmente os
cálculos.
Entretanto, esse procedimento não soluciona nenhum problema novo.
Você terá somente novas fórmulas de obter resultados.
Temos também as três fórmulas seguintes:
∫
du
√u2 + 1
= sinh - 1u + C = ln u + √u2 + 1 + C
∫
du
√u2 - 1
= cosh - 1u + C = ln u + √u2 - 1 + C, se u > 1
∫
du
1 - u2
=
tgh - 1u + C se |u| < 1
cotgh - 1u + C se |u| > 1
=
1
2 ∙ ln
1 + u
1 - u + C se u ≠ 1
( )
( )
{ | |
∫
du
√u2 + a2
= sinh - 1
u
a + C = ln u + √u2 + a2 + C se a > 0
∫
du
√u2 - a2
= cosh - 1
u
a + C = ln u + √u2 - a2 + C se u > a > 0
∫
du
a2 - u2
=
1
a tgh
- 1 u
a + C se |u| < a
1
a cotgh
- 1 u
a + C se |u| > a
=
1
2a ∙ ln
a + u
a - u + C se u ≠ a e a ≠ 0
( )
( )
{ | |
Veja o exemplo 15 no documento.
Integrais impróprias
Na de�nição da integral ∫ba f(x)dx, a função f foi considerada de�nida e contínua no intervalo [a, b].
Agora, veremos a extensão da de�nição de integral de�nida para poder considerar um intervalo de integração in�nito e chamar tal
integral de integral imprópria.
Se f for contínua para todo x ≥ a, então:
Se o extremo inferior da integração for in�nito, temos a de�nição a seguir:
Finalmente, temos o caso em que ambos os extremos de integração são in�nitos:
... Se esses limites existirem.
∫ + ∞a f(x)dx = limb → + ∞∫
b
af(x)dx, se esse limite existir
∫b- ∞f(x)dx = lima → - ∞∫
b
af(x)dx, se esse limite existir
∫ + ∞- ∞ f(x)dx = lima → - ∞∫
c
af(x)dx + limb → + ∞∫
b
cf(x)dx
Atenção
Em quaisquer das de�nições anteriores, se os limites existirem, você dirá que a integral imprópria é convergente. Se os limites
não existirem, você dirá que a integral imprópria é divergente.
Para compreender a de�nição acima, observe os exemplos 16, 17 e 18 no documento.
Se ∫ba f(x)dx for uma integral imprópria, ela será convergente se o limite correspondente existir. Caso contrário, ela será divergente.
Outras integrais impróprias
Se f for contínua para todo x no intervalo semiaberto à esquerda (a, b], e se limx → a + f(x) = ± ∞, então:
Se o integrando tiver uma descontinuidade in�nita no extremo superior da integração, você utilizará a seguinte de�nição para
determinar a existência da integral imprópria:
Se f for contínua em todos os x no intervalo semiaberto à direita [a, b) e se limx → b - f(x) = ± ∞, então
Se existir uma descontinuidade in�nita em um ponto interior ao intervalo de integração, a existência da integral imprópria será
determinada a partir da de�nição a seguir:
Se f for contínua em todos os valores de x no intervalo [a, b] exceto c, onde a < c < b e se limx → c|f(x)| = + ∞, então:
∫baf(x)dx = limt → a
+ ∫bt f(x)dx, se esse limite existir
∫baf(x)dx = limt → b
- ∫taf(x)dx
∫baf(x)dx = limt → c
- ∫taf(x)dx + lims → c
+ ∫bs f(x)dx, se esses limites exis
Para �nalizar a aula, observe os exemplos 19 e 20 no documento.
Atividades
1. A integral inde�nida ∫
dx
2x3 + x
 é corretamente dada por:
a) ln
x
2 -
1
2 ∙ ln 2x
2 + C| | | |
b) ln
x
2 -
1
2 ∙ ln 2x
2 + C| | | |
c) ln|x| -
1
4 ∙ ln 2x
2 + 1 + C| |
d) ln|x| +
1
2 ∙ ln 2x
2 + 1 + C| |
e) ln|x| -
1
2 ∙ ln 2x
2 + 1 + C| |
2. Calcule a integral inde�nida ∫
dx
9x2 + 16
3. Calcule a integral de�nida ∫10
1 + x
1 + x2
dx
4. Calcule a integral inde�nida ∫
dw
w2√w2 - 7
5. Calcule a integral inde�nida ∫
3x2 - x + 1
x3 - x2
dx
6. Calcule o valor da integral de�nida ∫50
x2 - 3
x3 + 4x2 + 5x + 2
dx
( )
NotasReferências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
A área de �guras planas;
O volume de sólidos de revolução;
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