Cálculo Aplicado - Aula 06 - Aplicações Integral - Áreas e Comprimentos - ALUNO

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Suma´rio
1 A´rea e Comprimento de uma Superfı´cie de Revoluc¸a˜o 2
1.1 A´rea de uma superfı´cie de revoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exercı´cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Comprimento de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1
Capı´tulo 1
A´rea e Comprimento de uma Superfı´cie
de Revoluc¸a˜o
1.1 A´rea de uma superfı´cie de revoluc¸a˜o
Vamos obter a´reas das superfı´cies que recobrem os so´lidos de revoluc¸a˜o. O ponto de partida
sera´ o tronco de cone. A a´rea de um tronco de cone reto, de geratriz g, com raio da base maior
R e raio da base menor r e´ igual a` a´rea de um trape´zio de altura g, com base maior 2piR e base
menor 2pir. Isto e´,
A = pi(R + r)g
Seja S a superfı´cie obtida da rotac¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o contı´nua f : [a, b] −→ R cuja restric¸a˜o
ao intervalo aberto (a, b) e´ de classe C1. Queremos atribuir uma a´rea a S. Usaremos o seguinte
processo de aproximac¸a˜o: para cada partic¸a˜o a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b do intervalo [a, b],
consideraremos os troncos de cone obtidos pela revoluc¸a˜o dos segmentos de reta que unem os
pontos sucessivos (xi−1, f (xi−1)) e (xi, f (xi)). Vejamos na figura a seguir.
A unia˜o desses troncos de cone aproximam a superfı´cie de revoluc¸a˜o, na medida em que
tomamos partic¸o˜es mais finas.
1Dizemos que uma func¸a˜o e´ de classe C1 quando, ale´m de ser diferencia´vel, a func¸a˜o derivada f ′ e´ contı´nua
2
CAPI´TULO 1. A´REA E COMPRIMENTO DE UMA SUPERFI´CIE DE REVOLUC¸A˜O 3
Definic¸a˜o 1 Seja f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o contı´nua e positiva, cuja restric¸a˜o ao intervalo (a, b) e´ de
classe C1. A a´rea da superfı´cie gerada pela rotac¸a˜o do gra´fico de f em torno do eixo OX e´ definida pela
integral
A = 2pi
∫ b
a
f (x)
√
1 + ( f ′(x))2 dx
Definic¸a˜o 2 Seja f : [c, d] −→ R uma func¸a˜o contı´nua e positiva, cuja restric¸a˜o ao intervalo (c, d) e´ de
classe C1. A a´rea da superfı´cie gerada pela rotac¸a˜o do gra´fico de f em torno do eixo OY e´ definida pela
integral
A = 2pi
∫ d
c
f (y)
√
1 + ( f ′(y))2 dy
Exemplo 1 A esfera de raio r pode ser gerada pela revoluc¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o f (x) =
√
r2 − x2 em
torno do eixo OX. Calcule a a´rea da superfı´cie esfe´rica.
Exemplo 2 Encontre a a´rea da superfı´cie gerada ao girar a parte de f (y) =
y3
3
entre y = 0 e y = 2 ao
redor do eixo OY.
1.2 Exercı´cio
1) Calcule a a´rea do cone de raio da base r e de altura h.
2) Calcule a a´rea da superfı´cie obtida pela revoluc¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o f (x) =
x2
2
, sobre o
intervalo [0, 2] em torno do eixo OX.
3) Calcule a a´rea da superfı´cie obtida pela revoluc¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o f (x) = ex, sobre o
intervalo [0, 1] em torno do eixo OX.
4) Ao girarmos a circunfereˆncia x2 + (y − 2)2 = 1 em torno do eixo OX, obtemos um toro.
Calcule a a´rea dessa superfı´cie.
5)* Gire a curva definida por f (x) =
√
x entre x = 0 e x = 3 ao redor do eixo OX e calcule a
a´rea da superfı´cie gerada.
CAPI´TULO 1. A´REA E COMPRIMENTO DE UMA SUPERFI´CIE DE REVOLUC¸A˜O 4
1.3 Comprimento de uma curva
O comprimento do gra´fico da func¸a˜o f , sobre o intervalo [a, b] e´ dado por:
L =
∫ b
a
√
1 + ( f ′(x))2 dx
Exemplo 3 Determine o comprimento da curva f (x) = 2x3/2 sobre o intervalo [0, 7].
Exemplo 4 Determine o comprimento do gra´fico de f (x) =
x3
6
+
1
2x
sobre o intervalo [2, 4].