Livro - Fundamentos de Matematica para Informatica

Prévia do material em texto

FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA PARA INFORMÁTICA
Faculdade Educacional da Lapa (Org.)
Te
cn
o
lo
g
ia
F
U
N
D
A
M
E
N
T
O
S
 D
E
 M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 P
A
R
A
 I
N
F
O
R
M
Á
T
IC
A
Fa
cu
ld
ad
e 
E
d
uc
ac
io
na
l d
a 
La
p
a 
(O
rg
.)
Curitiba
2018
Fundamentos de 
Matemática para 
Informática 
Faculdade Educacional da Lapa (Org.)
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael.
F981 Fundamentos de matemática para informática / organização 
de Faculdade Educacional da Lapa. – Curitiba, Fael, 2018.
70 p.: il.
ISBN: 978-85-5337-028-3
1. Computação – estudo e ensino I. Faculdade Educacional 
da Lapa
CDD 004.07
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão Patricia Rucker de Bassi
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Capa Evelyn Caroline dos Santos Betim
Imagem da Capa Shutterstock.com/vladimir.itc
Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim
Apresentação
Para conversarmos com os computadores e conseguirmos 
obter dele o melhor possível precisamos entender seu funciona-
mento e, mais do que isto, conseguir que ele nos entenda. Para isto é 
preciso nos expressar cada vez melhor na linguagem dele. E a mate-
mática é peça fundamental para entendermos o funcionamento do 
computador e conseguirmos nos comunicar de forma eficiente. A 
área da matemática que iremos estudar nesta disciplina é um pouco 
diferente do que você está acostumado. Além dos conjuntos iremos 
aprender sobre expressões.
É lógico! É óbvio! Claro! Essas são algumas das expressões 
que usamos frequentemente para dizer algo. Porem, às vezes usamos 
essas expressões sem prestar muita atenção ao seu real significado e a 
sua importância. Para esta disciplina, esperamos que você aprimore 
seus métodos de raciocínio logico para sistematizar as atividades 
tanto no trabalho quanto em casa. Assim, o conhecimento obtido 
nesta disciplina auxiliará você em muitas situações do cotidiano. 
– 4 –
Fundamentos de Matemática para Informática 
O objetivo deste material é abordar os principais conceitos da logica na 
área da Computação. Para isso, os tópicos a serem apresentados estão descri-
tos a seguir.
Apresentaremos uma visão geral das teorias dos conjuntos, enfocando 
possíveis relações e operações entre conjuntos quaisquer. Analisaremos as sen-
tenças usadas no dia-a-dia, com intuito de verificar um encadeamento logico 
entre as mesmas e, assim, identificar uma conclusão, caso exista, reconhe-
cendo assim um argumento.
Na sequencia, abordaremos o alfabeto e as formulas bem formadas da 
logica proposicional, que é o tipo de logica mais simples, demonstrando o 
comportamento dos conectivos lógicos usados com proposições. Daí apre-
sentaremos o método da tabela-verdade, como um mecanismo de encontrar 
o valor logico de proposições simples e compostas, bem como classificaremos 
as tabelas de acordo com os valores obtidos como resultado.
Os conceitos de implicação e equivalência logica serão apresentados na 
sequencia, bem como um processo de prova de argumentos. Por sua vez, estu-
daremos a logica de predicados, que é uma extensão da logica proposicional, 
visando apresentar o seu alto poder de expressão. Por fim, apresentaremos a 
álgebra de Boole e mapas de Karnaugh.
1 Teoria dos Conjuntos | 7
2 Análise e Simbolização de Proposições | 21
3 Tabela-verdade | 31
4 Relações de Implicação e Equivalência | 39
5 Predicados e introdução à Álgebra de Boole | 47
6 Funções Booleanas | 57
7 Simplificações de Funções e Mapas de Karnaug | 63
 Referências | 69
Sumário
1
Teoria dos Conjuntos
Introdução
A Teoria dos Conjuntos é fundamentada em entes ou con-
ceitos primitivos tais como conjunto, elemento, pertinência. Por 
entes ou conceitos primitivos entendemos aqueles que aceitamos 
sem definição e que, por sua vez, servem de base para a definição 
de outros entes. Por exemplo, ao tentarmos esclarecer o que é um 
conjunto, poderemos dizer que se trata de uma coleção, o que na 
verdade é um sinônimo de conjunto e não uma definição propria-
mente dita.
O mesmo ocorre com elemento e com a noção de per-
tinência. Elementos são os componentes de um conjunto e é 
intuitivo que determinado elemento possa pertencer ou não per-
tencer a um conjunto.
Fundamentos de Matemática para Informática
– 8 –
Nesta aula, veremos que os conjuntos podem ser subdivididos; que união, 
interseção e diferença são operações entre conjuntos e que os Diagramas de 
Euler-Venn são utilizados para a representação de operações entre conjuntos.
Os conteúdos sobre a Teoria dos Conjuntos, já estudados nos Ensinos 
Fundamental e Médio, são suficientes para que você consiga acompanhar a 
aula e alcançar seus objetivos. Caso não se recorde dos mesmos, sugerimos 
sua recapitulação.
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
 2 realizar operações que envolvam conjuntos;
 2 representar operações por meio de Diagramas de Euler-Venn.
1.1 Representação e notação de conjunto
Os conjuntos são geralmente denotados por letras maiúsculas do alfa-
beto latino e podem ter seus elementos totalmente explicitados, parcialmente 
explicitados (desde que esta apresentação parcial não comprometa seu enten-
dimento), ou apresentados por meio de conceitos, características ou sentenças 
matemáticas que esclarecem como os elementos poderão ser obtidos.
Exemplos:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
A = {2, 4, 6, ..., 20}
A = {números inteiros pares, de 2 inclusive a 20 inclusive}
A = {números inteiros pares, positivos e menores ou igual a 20}
A = {x|x ∈ Z, x é par e 2 ≤ x ≤ 20}
A = {x|x = 2n, n ∈ Z e 1 ≤ n ≤ 10}
(onde Z representa o conjunto dos números inteiros)
B = {a, e, i, o, u}
B = {vogais}
B = {x|x é vogal}
– 9 –
1.2 Pertinência
Nos exemplos anteriores, pode-se afirmar que:
o elemento 2 pertence ao conjunto A, simbolicamente 2 ∈ A;
o elemento 3 não pertence ao conjunto A, simbolicamente 3 ∉ A;
a ∈ B;
b ∉ B.
1.3 Conjunto vazio
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. Representa-se por:
φ = { }
1.4 Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a 
outro conjunto B, diz-se então que A é subconjunto de B, simbolicamente,
A ⊂ B, que se lê: A está contido em B;
ou ainda
B ⊃ A, que se lê: B contém A.
Decorre que:
A ⊂ A e φ ⊂ A
Observação: O símbolo ⊄ corresponde a não está contido.
 Saiba mais
Conjunto universo é o conjunto que possui todos os elementos de 
determinado estudo ou situação. Representa-se por U. Se A é um sub-
conjunto de U e se A’ é o conjunto de todos os elementos de U que não 
pertencem a A, diz-se que A’ é o complemento de A.
 Teoria dos Conjuntos
Fundamentos de Matemática para Informática
– 10 –
1.5 União de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, define-se como união de A e B ao conjunto 
A ∪ B formado por todos os elementos que pertencem a A ou B.
A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}
Decorre que:
A ∪ A = A e A ∪ φ = A
1.6 Interseção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, define-se como interseção de A com B ao 
conjunto A ∩ B formado por todos os elementos que pertencem a A e a B, 
simultaneamente.
A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}
Decorre que:
A ∩ A = A e A ∩ φ = φ
1.7 Diferença de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B ao 
conjunto A – B formado por todos os elementos que pertencem a A, mas que 
não pertencem a B.
A – B = {x|x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo
Considerando: A = {1, 2, 3, 4}
 B = {1, 3, 5, 7, 9}
 C = {1, 2}
tem-se, entre muitas expressõespossíveis, que:
 C ⊂ A
 A ⊄ B
– 11 –
 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
 A ∪ C = {1, 2, 3, 4}
 A ∪ C = A
 A ∩ B = {1, 3}
 A ∩ C = {1, 2}
 A ∩ C = C
 A ∩ B ∩ C = {1}
 A – B = {2, 4}
 B – A = {5, 7, 9}
1.8 Conjunto das partes de um conjunto
O conjunto das partes de um conjunto qualquer é formado por todos os 
seus subconjuntos. Se um conjunto possuir n elementos, o total de subcon-
juntos que ele admite é igual a 2n.
Exemplo: seja o conjunto A = {2, 4, 8}, o qual possui três elementos (n 
= 3). O número de subconjuntos de A é igual a 23 = 8 e eles correspondem a:
φ; { } { } { } { } { } { }2 ; 4 ; 8 ; 2,4 ; 2,8 ; 4,8 ; A
Observações:
 2 os subconjuntos φ e A são ditos subconjuntos impróprios de A, os 
demais são ditos subconjuntos próprios;
 2 o conjunto vazio, φ, é subconjunto de qualquer conjunto.
1.9 Diagramas de Euler-Venn
No século XVIII, Leonard Euler (1707-1783) introduziu a representa-
ção gráfica das relações e operações entre conjuntos, mais tarde ampliada por 
John Venn (1834 – 1923), denominadas Círculos de Euler ou Diagramas de 
Venn e de forma mais completa, Diagramas de Euler-Venn.
 Teoria dos Conjuntos
Fundamentos de Matemática para Informática
– 12 –
Exemplo
Considerando: A = {1, 2, 3, 4, 5}
 B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
 C = {2, 4, 6, 8, 10}
1
5
4
2
109
6 8
7
3
B C
A
tem-se, entre muitas igualdades possíveis, que:
 A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
 A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
 B ∪ C = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
 A ∩ B ∩ C = {4}
 A ∩ B = {4, 5}
 A ∩ C = {2, 4}
 B ∩ C = {4, 6, 8}
 A – B ∪ C = {1, 3}
 B – A ∪ C = {7, 9}
 C – A ∪ B = {10}
– 13 –
Síntese
Nesta aula, utilizando como base os conceitos primitivos de conjunto, 
elemento e pertinência, estudamos a Teoria dos Conjuntos. Vimos que os 
conjuntos podem ser subdivididos em partes, os subconjuntos, e que entre 
eles há o conjunto vazio, subconjunto de qualquer conjunto. Os símbolos 
de está contido, (⊂), e não está contido, (⊄), determinam as relações entre 
um conjunto e seus possíveis subconjuntos. Vimos também as operações de 
união, interseção e diferença entre conjuntos e que estas operações podem 
ser representadas por meio dos Diagramas de Euler-Venn. 
Atividades
1. Sendo A = {x|x é número inteiro positivo e par}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9} e C = {x|x é número inteiro positivo e múltiplo de 3}, obter o 
conjunto D, sendo D = B – A ∪ C.
2. Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, C = {0, 2, 4, 6, 8, 
10} e D = {1, 3, 5, 7, 9}, então é correto afirmar que:
 a) A – B = C ∩ D ∪ {0, 1}
 b) A ∪ D = C ∪ B
 c) A ∪ B – C = D
 d) A ∩ B = C ∪ D – {0, 1, 9, 10}
 e) A ∩ B = C ∪ D – {0, 1, 8, 9, 10}
3. Preencher o Diagrama de 
Euler-Venn a seguir, conside-
rando que:
A = {–2, 1, 2, 3}, B = {–3, 1, 2, 
4}, C = {–1, 1, 2, 4} e D = {–4, 
–2, –1, 2}.
B D
C
A
 Teoria dos Conjuntos
Fundamentos de Matemática para Informática
– 14 –
4. Após analisar o Diagrama de Euler-Venn a seguir, indique a afirmativa 
verdadeira.
2
9
3
1
10
8
7
6
4
5
B C
A
 a) A ∩ B – C = {1, 6}
 b) A ∪ B ∩ C = {3}
 c) A ∪ C ∩ B = {3, 6, 9}
 d) B – A ∩ B ∩ C = {4, 7}
 e) C – A ∪ B = {1, 6, 8, 9}
Comentário das atividades
Na atividade 1, o solicitado foi:
D = B – A ∪ C
Como:
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {x|x é número inteiro positivo e par} = {2, 4, 6, 8, 10,...} 
C = {x|x é número inteiro positivo e múltiplo de 3} = {3, 6, 9, 12,...}, 
tem-se que:
A ∪ C = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, ...}
– 15 –
Portanto:
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12,...} 
Sendo D a diferença entre dois conjuntos, seus elementos serão os ele-
mentos do primeiro conjunto, que não estão no segundo.
Logo:
D = {1, 5, 7}
Na atividade 2, os conjuntos dados foram A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 
B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, C = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e D = {1, 3, 5, 7, 9}.
A alternativa correta é a última, (e) A ∩ B = C ∪ D – {0, 1, 8, 9, 10}.
Pois:
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∩ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
E
C ∪ D = {0, 2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}
C ∪ D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
C ∪ D – {0, 1, 8, 9, 10} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {0, 1, 8, 9, 10}
C ∪ D – {0, 1, 8, 9, 10} = {2, 3, 4, 5, 6, 7} =
Logo:
A ∩ B= C ∪ D – {0, 1, 8, 9, 10}
A alternativa (a) A – B= C ∩ D ∪ {0, 1} não está correta, pois:
A– B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1}
C ∩ D ∪ {0, 1} = {0, 2, 4, 6, 8, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9} ∪ {0, 1}= 
{ } ∪ {0, 1}= {0, 1} 
A alternativa (b) A ∪ D = C ∪ B não está correta, pois:
A ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}
A ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
 Teoria dos Conjuntos
Fundamentos de Matemática para Informática
– 16 –
E
C ∪ B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} ∪ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
C ∪ B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
A alternativa (c) A ∪ B – C=D não está correta, pois:
A ∪ B – C= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∪ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}– {0, 2, 4, 6, 8, 10}
A ∪ B – C= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} – {0, 2, 4, 6, 8, 10}
A ∪ B – C= {1, 3, 5, 7}
E
D = {1, 3, 5, 7, 9}
A alternativa (d) A ∩ B= C ∪ D – {0, 1, 9, 10} não está correta, pois:
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∩ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
E
C ∪ D – {0, 1, 9, 10} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {0, 1, 9, 10}
C ∪ D – {0, 1, 9, 10} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
E
Na atividade 3, o preenchimento correto corresponde a:
B D
C
A
3
-2
2
4 -1
1-3 -4
– 17 –
Pois, sendo:
A = {–2, 1, 2, 3}, B = {–3, 1, 2, 4}, C = {–1, 1, 2, 4}, D = {–4, –2, –1, 2}
tem-se que:
A ∩ B ∩ C ∩ D={2}
A ∩ B ∩ C ={1, 2}
A ∩ D = {–2, 2} 
B ∩ C = {1, 2, 4} 
C ∩ D = {-1, 2}
Para a atividade 4, a alternativa correta é a (c) A ∩ C ∩ B ={3, 6, 9}, pois:
A ∪ C =
 
2
9
3
1
10
8
6
5
B C
A
 
A ∪ C ∩ B =
 
9
3
6
B C
A
 Teoria dos Conjuntos
Fundamentos de Matemática para Informática
– 18 –
A alternativa (a) 
A ∩ B – C = {1, 6} não 
está correta, pois 
A ∩ B – C =
 
9
B C
A
A alternativa (b) 
A ∪ B ∩ C = {3} não está 
correta, pois 
A ∪ B ∩ C =
 
1
3
6
B C
A
A alternativa (d) 
 B – A ∩ B ∩ C = {4, 7} 
 não está correta, pois 
 B – A ∩ B ∩ C =
 
9
6
4
7
B C
A
– 19 –
A alternativa (e) C – A ∪ B = {1, 6, 8, 9} não está correta, pois C – A ∪ B =
10
8
B C
A
Ao realizar as atividades propostas, você alcançou os objetivos desta aula 
de realizar operações que envolvam conjuntos e representar operações por 
meio de Diagramas de Euler-Venn.
Na próxima aula
Começaremos a substituir os conjuntos com os quais trabalhamos nesta 
aula por proposições, que podem até mesmo envolver situações de nosso coti-
diano, e passaremos a interligá-las de forma similar ao que fizemos com os 
conjuntos. Tanto as proposições quanto suas interligações, que também cha-
mamos de operações lógicas sobre proposições, poderão resultar em verdades 
ou falsidades. Estas verdades e falsidades compõem o valor lógico das opera-
ções, que será foco do nosso estudo.
2
Análise e Simbolização 
de Proposições
Introdução
Nesta aula, veremos que as proposições podem ser simples 
ou compostas, que todas atendem aos princípios fundamentais da 
Lógica Matemática e que é possível realizar operações lógicas sobre 
duas ou mais proposições utilizando conectivos lógicos, tais como: 
conjunção, disjunção, condicional, bicondicional e negação. 
Para determinar valores lógicos e para efetuar operações 
lógicas sobre proposições é importante que se tenha um conheci-
mento prévio,mesmo que mínimo, sobre o que são proposições. Por 
serem entes ou conceitos primitivos, proposições não se definem, 
mas facilmente as identificamos por serem sentenças que exprimem 
um pensamento de sentido completo, podendo ser expressas tanto 
na linguagem usual quanto na forma simbólica.
Fundamentos de Matemática para Informática
– 22 –
Exemplos: 
a) Manaus é a capital do Amazonas;
b) 2 2< .
Observe nas suas leituras, observe à sua volta o quanto as proposições 
estão presentes no dia-a-dia.
Também é importante que os conteúdos vistos na aula anterior tenham 
sido assimilados, principalmente as operações envolvendo conjuntos. Se 
ainda permaneceram dúvidas, retome sua leitura e refaça as atividades.
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
 2 identificar proposições simples e compostas;
 2 reconhecer o valor lógico de uma proposição.
2.1 Proposições
As proposições são conjuntos de palavras ou símbolos que exprimem um 
pensamento de sentido completo. Podem ser simples ou compostas.
Proposições simples são as que não contêm nenhuma outra proposição 
como parte integrante de si mesma. Indicaremos as proposições simples pelas 
letras minúsculas do alfabeto latino.
Proposições compostas são aquelas formadas pela combinação de duas 
ou mais proposições. Indicaremos as proposições compostas pelas letras mai-
úsculas do alfabeto latino.
Diz-se que o valor lógico de uma proposição é a verdade, se a proposi-
ção é verdadeira, e é a falsidade, se a proposição é falsa. Usualmente utiliza-se 
a letra V (ou o número 1) para designar o valor lógico verdade, e a letra F 
(ou o número 0) para designar o valor lógico falsidade. Por exemplo, consi-
dere as proposições simples:
a) p: Cristóvão Colombo descobriu a Europa;
b) q: Florianópolis é a capital de Santa Catarina;
c) r: 2 + 3 = 5;
– 23 –
d) s: 12 11> ;
e) t: 1 1
3 2
> .
Seus valores lógicos são:
a) V(p) = F ou V(p) = 0
b) V(q) = V ou V(q) = 1
c) V(r) = V ou V(r) = 1
d) V(s) = V ou V(s) = 1
e) V(t) = F ou V(t) = 0
Agora, considere as sentenças:
f ) ele não é estudioso;
g) existe vida em outros planetas do universo.
A sentença (f ) não é proposição, pois ele não está especificado. 
A sentença (g) é uma proposição, já que é verdadeira ou falsa (não é 
necessário que saibamos a resposta).
2.2 Princípios fundamentais 
da Lógica Matemática
A Lógica Matemática tem como princípios fundamentais o:
 2 princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser 
simultâ neamente verdadeira e falsa; 
 2 princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira 
ou é falsa, não há uma terceira opção.
2.3 Conectivos Lógicos
As proposições compostas, conforme já mencionado, são formadas pela 
combinação de duas ou mais proposições. Estas combinações ocorrem por 
meio de Conectivos Lógicos.
Análise e Simbolização de Proposições
Fundamentos de Matemática para Informática
– 24 –
Conectivos Lógicos são palavras utilizadas para compor proposições 
dadas, formando assim novas proposições. Estas novas proposições, que serão 
proposições compostas, terão seu valor lógico dependente dos valores lógicos 
das proposições componentes e dos conectivos utilizados. Estudaremos os 
seguintes conectivos:
 2 conjunção, correspondente à palavra “e” e ao símbolo ∧; 
 2 disjunção, correspondente à palavra “ou” e ao símbolo ∨;
 2 condicional, correspondente às palavras “se... então” e ao símbolo →;
 2 bicondicional, correspondente às palavras “se e somente se” e ao sím-
bolo ↔;
 2 negação, correspondente à palavra “não” e ao símbolo ‘. (Apesar de 
ser denominado de conectivo, a negação não conecta proposições, 
mas nega).
Apresentaremos a seguir as operações lógicas sobre proposições que 
envolvem os conectivos.
2.4 Negação
Se p é uma proposição, sua negação será representada por p’ e lê-se “não 
p”. Logo, se V(p) = V, V(p’) = F e se V(p) = F, V(p’) = V. A Tabela-verdade a 
seguir resume os valores lógicos.
p p'
V F
F V
Exemplos:
a) q: 5 – 1 = 3 F
 q’: 5 – 1 ≠ 3 V 
b) p: O triângulo retângulo tem um ângulo reto. V
 p’: O triângulo retângulo não tem um ângulo reto. F
Pode-se exprimir a negação de outras maneiras:
 2 é falso que o triângulo retângulo tem um ângulo reto;
– 25 –
 2 não é verdade que o triângulo retângulo tem um ângulo reto.
2.5 Conjunção
A conjunção de duas proposições p e q é uma proposição verdadeira se 
V(p) = V(q) = V. Nos demais casos, é falsa. Logo, para que a proposição 
composta de uma conjunção seja verdadeira, as proposições componentes 
precisam ser verdadeiras. A Tabela-verdade a seguir resume os valores lógicos.
p q p e q ou p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Exemplos:
a) p : 4 2= V
 π =q : sen 1
2
 V
 V (p, q) = p ∧ q V
b) r : 2 10 12+ = V
 2s :10 20= F
 V (r, s) = r ∧ s F
2.6 Disjunção
A disjunção de duas proposições p e q é uma proposição falsa se 
V(p) = V(q) = F. Nos demais casos, é verdadeira. Logo, para que a proposição 
composta de uma disjunção seja verdadeira, pelo menos uma das componen-
tes deve ser verdadeira. A Tabela-verdade a seguir resume os valores lógicos.
p q p ou q ou p ∨ a
V V V
V F V
Análise e Simbolização de Proposições
Fundamentos de Matemática para Informática
– 26 –
F V V
F F F
Exemplos:
a) p : 8 4= F
 π =q : sen 1,5
2
 F
 V (p, q) = p ∨ q F
b) r : 2 12 10− = − V
 2s :10 100− = − F
 V (r, s) = r ∨ s V
2.7 Condicional
O condicional de duas proposições p e q é uma proposição falsa se V(p) = V 
e V(q) = F. Nos demais casos, é verdadeira. A primeira proposição é deno-
minada antecedente e a segunda consequente do condicional. A Tabela-
-verdade a seguir resume os valores lógicos.
p q Se p, então q ou p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Exemplos:
a) 2p : (2 1) 9+ = V
 4 4q :
5 7
< F
 V (p, q) = p → q F
b) r : o Paraná pertence a região Sul V
 s : Brasília é a Capital Federal V
 ( )V r,s r s= → V
– 27 –
2.8 Bicondicional
O bicondicional de duas proposições p e q é uma proposição ver-
dadeira, se V(p) = V(q), e falsa quando V(p) ≠ V(q). O bicondicional é 
uma dupla aplicação do condicional. A Tabela-verdade a seguir resume os 
valores lógicos.
p q p se, e somente se, q ou p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Exemplos:
a) 2 2p : sen x cos x 1+ = V
 = senxq : tanx
cos x
 V
 V (p, q) = p ↔ q V
b) 2r : log 8 3= V
 9 3s :
16 8
= F
 V (r, s) = r ↔ s F
Síntese
Nesta aula, vimos que o valor lógico de uma proposição composta é 
decorrente das proposições componentes e do conectivo lógico que as uniu. 
A seguir, um resumo das opções.
p q p' q' p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q
V V F F V V V V
V F F V F V F F
F V V F F V V F
F F V V F F V V
Análise e Simbolização de Proposições
Fundamentos de Matemática para Informática
– 28 –
Atividades
1. Entre as sentenças a seguir, identifique as proposições e escreva sua 
negação.
a) + = + +2 2 2p : (a b) a 2ab b .
b) q : o sol é azul.
c) π° =r : 90 rad.
2
d) s : ela é eleitora.
e) t : Fortaleza é mais populosa do que São Paulo.
2. Entre as proposições a seguir, identifique as compostas e o tipo de 
conecti vo lógico presente.
a) P: se o triângulo ABC é eqüilátero, então os três lados do triângulo 
ABC são iguais.
b) Q: quatro é par e dois é menor do que cinco.
c) R: este lago é profundo ou este lago está poluído.
d) s: (8 – 6)4 = (7 – 3)2
e) T: Marte é um planeta do sistema solar se, e somente se, o sol for 
um satélite.
3. Qual o valor lógico da proposição P: se Foz do Iguaçu fica no Paraná, 
então a Chapada Diamantina fica em Santa Catarina.
4. Qual o valor lógico da proposição R: 2 é raiz da equação x2 – 7x + 10 = 0 
se, e somente se, 4 for raiz da equação 2x – 8 = 0.
Comentário das atividadesNa atividade 1, são proposições: (a), (b), (c) e (e). A sentença (d) 
não é proposição porque “ela” não está especificada. Assim são as suas 
negações:
a) 2 2 2p' : (a b) a 2ab b+ ≠ + + ;
– 29 –
b) q’: o sol não é azul;
c) r’: 90º ≠ ≠
2
rad ;
d) t’: Fortaleza não é mais populosa do que São Paulo.
Na atividade 2, são proposições compostas: (a), (b), (c) e (e). A propo-
sição (d) é simples. São conectivos lógicos:
a) P : se o triângulo ABC é eqüilátero, então os três lados do triângulo 
ABC são iguais. Condicional;
b) Q : quatro é par e dois é menor do que cinco. Conjunção;
c) R : este lago é profundo ou este lago está poluído. Disjunção;
e) T : Marte é um planeta do sistema solar se, e somente se, o sol for 
um satélite. Bicondicional.
Na atividade 3, esperamos que você tenha respondido que o valor lógico 
é a falsidade, assim:
P: se Foz do Iguaçu fica no Paraná, então a Chapada Diamantina fica 
em Santa Catarina;
p: Foz do Iguaçu fica no Paraná;
q: a Chapada Diamantina fica em Santa Catarina;
P (p,q) = p → q;
Como V(p) = V e V(q) = F, V(P) = F.
Já na atividade 4, o valor lógico é a verdade:
R: 2 é raiz da equação x2 – 7x + 10 = 0 se, e somente se, 4 for raiz da 
equação 2x – 8 = 0;
r: 2 é raiz da equação x2 – 7x + 10 = 0;
s: 4 for raiz da equação 2x – 8 = 0;
R (r, s) = r ↔ s;
Com V(r) = V e V(s) = V, V(R) = V.
Ao realizar as atividades, você está apto a identificar proposições simples 
e compostas, bem como a reconhecer o valor lógico de uma proposição.
Análise e Simbolização de Proposições
Fundamentos de Matemática para Informática
– 30 –
Na próxima aula
Ampliaremos nossos estudos sobre o valor lógico das proposições. Vere-
mos como proceder quando, em uma mesma proposição, figuram mais do 
que um conectivo lógico.
3
Tabela-verdade
Nesta aula, aprenderemos a identificar a ordem de prece-
dência entre os vários conectivos lógicos que podem estar presentes 
em uma mesma proposição composta, bem como praticar a mon-
tagem de Tabelas-verdade, muito úteis na determinação do valor 
lógico das proposições.
O domínio dos conectivos lógicos: conjunção, disjunção, 
condicional, bicondicional e negação, vistos na aula anterior, são 
fundamentais para o entendimento e assimilação desta aula. Caso 
julgue necessário, releia e refaça as atividades correspondentes. Per-
manecendo dúvidas, entre em contato com a web-tutoria.
Também conheceremos as tautologias e as contradições.
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
Fundamentos de Matemática para Informática
– 32 –
 2 montar a Tabela-verdade, obtendo o valor lógico de uma proposição 
composta;
 2 identificar tautologias e contradições.
3.1 Ordem e precedência
Para obter uma expressão válida ou uma fórmula bem-formulada, fbf, 
como é comumente denominada, torna-se necessário respeitar precedências, 
ou seja, uma ordem de aplicação dos conectivos lógicos.
Observe a ordem de precedência.
1. Para conectivos dentro de vários parênteses, efetua-se primeiro as 
expressões dentro dos parênteses mais internos.
2. Negação ( ‘ ).
3. Conjunção ( ∧ ) e disjunção ( ∨ ).
4. Condicional ( → ).
5. Bicondicional ( ↔ ).
 
Logo, a expressão P ∨ Q’ significa P ∨ (Q’) e não (P ∨ Q)’.
E a expressão P ∨ Q → R significa (P ∨ 
Q) → R e não P ∨ (Q → R).
 
Aconselha-se, no entanto, a utilização sempre que possível de parênteses 
para reduzir erros de interpretação.
6. Em uma fbf com diversos conectivos, o último a ser aplicado é o 
conectivo principal.
 
Em P ∧ (Q → R)’, o conectivo principal é ∧.
Em ((P ∨ Q) ∧ R) → (Q ∨ R’), o conectivo principal é →. 
 
– 33 –
Para benefício da clareza e facilidade da solução, pode-se subdividir a fbf 
em partes convenientes. Por exemplo, a fbf anterior poderia ser expressa da 
seguinte forma: A → B, onde A = ((P ∨ Q) ∧ R) e B = (Q ∨ R’), com soluções 
independentes de A e B e posterior solução do conectivo A → B.
3.2 Tabela-verdade
A elaboração da Tabela-verdade de uma fbf disciplina e facilita a 
obtenção do valor lógico da proposição, já que sua montagem é feita 
passo-a-passo. A Tabela-verdade tem um número de colunas que depende 
dos conectivos, e um número de linhas que depende das letras que figu-
ram na proposição.
Exemplos:
Construir a Tabela-verdade da fbf: p ∨ q’ → (p ∨ q)’
p q q' p ∨ q' p ∨ q (p ∨ q)' p ∨ q' → (p ∨ q)'
V V F V V F F
V F V V V F F
F V F F V F V
F F V V F V V
Construir a Tabela-verdade da proposição P (p, q) = (p ∧ q’)’
p q q' p ∧ q' (p ∧ q')'
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
3.3 Tautologia e contradição
Uma fbf que gera somente valores lógicos verdadeiros, independente 
dos valores lógicos atribuídos a suas letras, é denominada uma tautologia. 
Tabela-verdade
Fundamentos de Matemática para Informática
– 34 –
Uma tautologia é intrinsecamente verdadeira.
Uma tautologia é p ∨ p’. Suponha que p corresponda à proposição: 
hoje vai ter sol. Conseqüentemente, p’ corresponderá à: hoje não vai ter 
sol. E a disjunção, p ∨ p’, será sempre verdadeira, já que uma ou outra 
tem de acontecer (rever material sobre disjunção). Ou teremos sol ou não 
teremos sol.
Exemplo:
Construir a Tabela-verdade da fbf: (p → q) ↔ (q’ → p’)
p q p → q p' q' q' → p' (p → q) ↔ (q' → p')
V V V F F V V
V F F F V F V
F V V V F V V
F F V V V V V
Em contrapartida, quando o valor lógico de uma proposição é sempre 
falso, ela é denominada de contradição.
Uma contradição é intrinsecamente falsa.
Uma contradição é p ∧ p’. Suponha que p corresponda à proposição: hoje 
é domingo. Conseqüentemente, p’ corresponderá à: hoje não é domingo. E 
a conjunção, p ∧ p’, será sempre falsa, já que uma das duas sempre será falsa 
independente de que dia for hoje (rever material sobre conjunção).
Exemplo:
Construir a Tabela-verdade da fbf: (p ∨ p’) → (q ∧ q’)
p q p' p ∨ p' q' q ∧ q' (p ∨ p') → (q ∧ q’)
V V F V F F F
V F F V V F F
F V V V F F F
F F V V V F F
– 35 –
Síntese
Nesta aula, tivemos contato com as precedências entre os conectivos 
lógicos. Vimos que, respeitados os parênteses, iniciamos pela negação, pas-
samos pelas conjunções e disjunções para, posteriormente, executarmos o 
condicional e o bicondicional. Deixamos por último o conectivo principal.
Vimos ainda que uma proposição ou fbf intrinsecamente verdadeira é uma 
tautologia, e uma proposição ou fbf intrinsecamente falsa é uma contradição.
Atividades
1. Construir a Tabela-verdade da proposição P(p, q) = (p ∧ q)’ ∨ (q ↔ p)’.
2. Construir a Tabela-verdade da proposição P(p, q, r) = p ∨ r’ → q ∧ r’.
3. Entre as proposições a seguir, quais são tautologias?
a) P(p, q) = (p ∧ q’) ∨ (p’ ∧ q)
b) P(p, q) = ((p ∨ q) ∧ (p’ ∨ q’))’
c) P(p, q, r) = (p → q) ∧ (q → r) → (p → r)
4. Entre as proposições a seguir, quais são contradições?
a) P(p, q) = (p’ ↔ q)’
b) P(p, q) = p’ ∨ q → p
c) P(p, q) = (p ∨ q) ∧ (p ∧ q)’
d) P(p, q) = (p → (p’ → q)’
Comentário das atividades
Na atividade 1, esperamos que você tenha chegado à conclusão de que 
a proposição P(p, q) = (p ∧ q)’ ∨ (q ↔ p)’ possui a Tabela-verdade a seguir.
p q p ∧ q (p ∧ q)' q ↔ p (q ↔ p)' (p ∧ q)' ∨ (q ↔ p)
V V V F V F F
Tabela-verdade
Fundamentos de Matemática para Informática
– 36 –
p q p ∧ q (p ∧ q)' q ↔ p (q ↔ p)' (p ∧ q)' ∨ (q ↔ p)
V F F V F V V
F V F V F V V
F F F V V F V
A atividade 2 deve ter lhe mostrado que a proposição P(p, q, r) = p ∨ r’ → q ∧ r’ 
possui a Tabela-verdade a seguir.
p q r r' p ∨ r' q ∧ r' p ∨ r' → q ∧ r'
V V V F V F F
V V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F V
F F F V V F F
Na atividade 3, você deve ter concluído que:
a) a proposição P(p, q) = (p ∧ q’) ∨ (p’ ∧ q) não é tautologia, conforme 
mostra a Tabela-verdade a seguir:p q q' p ∧ q' p' p' ∧ q (p ∧ q') ∨ (p' ∧ q)
V V F F F F F
V F V V F F V
F V F F V V V
F F V F V V V
b) a proposição P(p, q) = ((p ∨ q) ∧ (p’ ∨ q’))’ não é tautologia, con-
forme mostra a Tabela-verdade a seguir:
p q p ∨ q p' q' p' ∨ q' (p ∨ q) ∧ (p' ∨ q') ((p ∧ q) ∧ (p' ∨ q'))'
V V V F F F F V
– 37 –
p q p ∨ q p' q' p' ∨ q' (p ∨ q) ∧ (p' ∨ q') ((p ∧ q) ∧ (p' ∨ q'))'
V F V F V V V F
F V V V F V V F
F F F V V V F V
c) a proposição P(p, q, r) = (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) é uma tau-
tologia, conforme mostra a Tabela-verdade a seguir: 
p q r p → q q → r (p → q) ∧ (q → r) p → r (p → q) ∧ (q → r) → (p → r)
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V F V V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Já na atividade 4, você deve ter concluído que:
a) a proposição P(p, q) = (p’ ↔ q)’ não é uma contradição, conforme 
mostra a Tabela-verdade a seguir:
p q p' p' ↔ q (p' ↔ q)'
V V F F V
V F F V F
F V V V F
F F V F V
b) a proposição P(p, q) = p’ ∨ q → p não é uma contradição, con-
forme mostra a Tabela-verdade a seguir:
p q p' p' ∨ q p' ∨ q → p
V V F V V
Tabela-verdade
Fundamentos de Matemática para Informática
– 38 –
p q p' p' ∨ q p' ∨ q → p
V F F F V
F V V V F
F F V V F
c) a proposição P(p, q) = (p ∨ q) ∧ (p ∧ q)’ não é uma contradição, 
conforme mostra a Tabela-verdade a seguir:
p q p ∨ q p ∧ q (p ∧ q)' (p ∨ q) ∧ (p ∧q)'
V V V V F F
V F V F V V
F V V F V V
F F F F V F
d) a proposição P(p, q) = (p → (p’ → q))’ é uma contradição, con-
forme mostra a Tabela-verdade a seguir:
p q p' p' → q p → (p' → q) (p → (p' → q))'
V V F V V F
V F F V V F
F V V F V F
F F V F V F
As atividades foram pensadas para lhe proporcionar o alcance dos 
seguintes objetivos: montar a Tabela-verdade, obtendo o valor lógico de uma 
proposição composta, levando em consideração a ordem de precedência dos 
conectivos presentes e identificar tautologias e contradições.
Na próxima aula
Veremos as relações de implicação e de equivalência entre proposições.
4
Relações de Implicação 
e Equivalência
Introdução
Nesta aula, aprenderemos quando duas proposições são 
ditas independentes e quando são ditas dependentes. Também vere-
mos que a dependência corresponde à existência de relação entre as 
proposições que podem ser de implicação ou equivalência. 
Veremos também algumas equivalências consideradas notáveis.
São pré-requisitos para esta aula os estudos anteriores refe-
rentes aos conectivos lógicos e às Tabelas-verdade. Releia os materiais 
referentes a estes assuntos, se julgar necessário, refaça as atividades. 
Você deve perceber que os conteúdos vistos anteriormente sempre 
serão a base dos estudos posteriores. Por isso não fique com dúvidas.
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
Fundamentos de Matemática para Informática
– 40 –
 2 identificar a existência de implicação ou equivalência entre proposições;
 2 verificar equivalências por meio de tabelas-verdade.
4.1 Independência e Dependência
Duas proposições são consideradas independentes quando, em suas 
tabelas-verdade, ocorrem todas as quatro alternativas: VV, VF, FV, FF. 
Por exemplo:
p q
V V
V F
F V
F F
Duas proposições são consideradas dependentes quando, em suas Tabe-
las-verdade, uma ou mais alternativas não ocorrem. Por exemplo:
p q q → p
V V V
V F V
F V F
F F V
Entre p e q → p não ocorre a alternativa VF em uma mesma linha e, 
nesse caso, diz-se que existe uma relação simples (uma das alternativas não 
ocorreu) entre p e q → p.
Quando duas alternativas não ocorrem, a relação é dupla.
4.2 Relação de Implicação
Diz-se que uma proposição p implica uma proposição q quando, em 
suas tabelas-verdade, não ocorre a alternativa VF (nessa ordem) em uma 
mesma linha. Denotamos por p ⇒ q.
– 41 –
 
Os símbolos → e ⇒ são diferentes. O primeiro repre-
senta uma operação entre proposições, o condicio-
nal, dando origem a uma nova proposição. O segundo 
indica apenas uma relação entre duas proposições.
 
Voltando ao último exemplo, pode-se dizer então que p ⇒ q → p.
4.3 Relação de Equivalência
Diz-se que uma proposição p é equivalente a uma proposição q quando, 
em suas tabelas-verdade, não ocorrem as alternativas VF e FV em uma mesma 
linha. Denotamos por p ⇔ q.
 
Tal qual no item anterior, os símbolos ↔ e ⇔ são diferentes.
 
Exemplo:
Verificar se p ∧ q ⇔ (p’ ∨ q’)’
Tabela-verdade
p q p ∧ q p' q' p' ∨ q' (p' ∨ q')'
V V V F F F V
V F F F V V F
F V F V F V F
F F F V V V F
Comparando as Tabelas-verdade de p ∧ q e (p’ ∨ q’)’, verifica-se que não 
ocorrem VF nem FV em uma mesma linha, logo p ∧ q ⇔ (p’ ∨ q’)’.
É fácil concluir que duas proposições são equivalentes quando suas 
Tabelas-verdade são iguais, pois teremos em uma mesma linha somente 
VV e FF.
Relações de Implicação e Equivalência
Fundamentos de Matemática para Informática
– 42 –
4.4 Equivalências notáveis
Dupla negação: (p’)’ ⇔ p
As Tabelas-verdade a seguir confirmam a equivalência.
p p' (p')'
V F V
F V F
Leis idempotentes: p ∨ p ⇔ p
 p ∧ p ⇔ p
As Tabelas-verdade a seguir confirmam a equivalência.
p p ∨ p p ∧ p
V V V
F F F
Leis comutativas: p ∨ q ⇔ q ∨ p
 p ∧ q ⇔ q ∧ p
As Tabelas-verdade a seguir confirmam a equivalência.
p q p ∨ q q ∨ p p ∧ q q ∧ p
V V V V V V
V F V V F F
F V V V F F
F F F F F F
Leis associativas: p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
 p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
As Tabelas-verdade a seguir confirmam a equivalência.
p q r q ∨ r p ∨ (q ∨ r) p ∨ q (p ∨ q) ∨ r
V V V V V V V
V V F V V V V
– 43 –
p q r q ∨ r p ∨ (q ∨ r) p ∨ q (p ∨ q) ∨ r
V F V V V V V
V F F F V V V
F V V V V V V
F V F V V V V
F F V V V F V
F F F F F F F
p q r q ∧ r p ∧ (q ∧ r) p ∧ q (p ∧ q) ∧ r
V V V V V V V
V V F F F V F
V F V F F F F
V F F F F F F
F V V V F F F
F V F F F F F
F F V F F F F
F F F F F F F
Leis de De Morgan: (p ∧ q)’ ⇔ p’ ∨ q’
 (p ∨ q)’ ⇔ p’ ∧ q’
Leis distributivas: p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
 p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Bicondicional: p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) 
Condicionais: (p → q) ⇔ (q’ → p’)
 (q → p) ⇔ (p’ → q’)
Síntese
Nesta aula, vimos que proposições independentes são aquelas em que as 
Tabelas-verdade contêm todas as quatro alternativas. A falta da alternativa VF 
Relações de Implicação e Equivalência
Fundamentos de Matemática para Informática
– 44 –
indica que uma proposição implica a outra. A falta das alternativas VF e FV 
(tabelas-verdade iguais) indica que as proposições são equivalentes. 
Equivalências notáveis: dupla negação, leis idempotente, leis comutativas, 
leis associativas, leis de De Morgan, leis distributivas, bicondicional, condicionais.
Atividades
Confirmar, por meio das Tabelas-verdade, que as proposições a seguir 
não correspondem a implicações e sim a equivalências notáveis.
1. Leis de De Morgan: (p ∧ q)’ ⇔ p’ ∨ q’
 (p ∨ q)’ ⇔ p’ ∧ q’
2. Leis distributivas: p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
 p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
3. Bicondicional: p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) 
4. Condicionais: (p → q) ⇔ (q’ → p’) 
 (q → p) ⇔ (p’ → q’)
Comentário das atividades
Na atividade 1, são Leis de De Morgan: (p ∧ q)’ ⇔ p’ ∨ q’
 (p ∨ q)’ ⇔ p’ ∧ q’
Assim, as Tabelas-verdade a seguir confirmam a equivalência. As 
alternativas VF e FV não ocorrem em uma mesma linha, as Tabelas-
-verdade são iguais.
p q p ∧ q (p ∧ q)' p' q' p' ∨ q'
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
– 45 –
p q p ∨ q (p ∨ q)' p' q' p' ∧ q'
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
Na atividade 2, são Leis distributivas:
 p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
 p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
As Tabelas-verdade a seguirconfirmam a equivalência. As alternativas 
VF e FV não ocorrem em uma mesma linha, as Tabelas-verdade são iguais.
p q r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) p ∧ q p ∧ r (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
V V V V V V V V
V V F V V V F V
V F V V V F V V
V F F F F F F F
F V V V F F F F
F V F F F F F F
F F V V F F F F
F F F F F F F F
p q r q ∧ r p ∨ (q ∧ r) p ∨ q p ∨ r (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V F V V V V
V F F F V V V V
F V V V V V V V
F V F F F V F F
F F V F F F V F
F F F F F F F F
Na atividade 3, é bicondicional: p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p).
As Tabelas-verdade a seguir confirmam a equivalência. As alternativas 
VF e FV não ocorrem em uma mesma linha, as tabelas-verdade são iguais.
Relações de Implicação e Equivalência
Fundamentos de Matemática para Informática
– 46 –
p q p ↔ q p → q q → p p → q ∧ q → p
V V V V V V
V F F F V F
F V F V F F
F F V V V V
Já na atividade 4, são condicionais: (p → q) ⇔ (q’ → p’)
 (q → p) ⇔ (p’ → q’)
As Tabelas-verdade a seguir confirmam a equivalência. As alternativas 
VF e FV não ocorrem em uma mesma linha, as tabelas-verdade são iguais.
p q p → q p' q' q' → p'
V V V F F V
V F F F V F
F V V V F V
F F V V V V
p q q → p p' q' p' → q'
V V V F F V
V F V F V V
F V F V F F
F F V V V V
As atividades lhe deram a oportunidade de identificar a existência de 
implicação ou equivalência entre proposições e verificar equivalências por 
meio de tabelas-verdade, que eram os objetivos desta aula.
Na próxima aula
Tomaremos contato com os predicados, propriedades das variáveis e, na 
seqüência, daremos início ao estudo da Álgebra Booleana, que é um modelo 
matemático tanto da Lógica Proposicional como da Teoria dos Conjuntos. 
5
Predicados e introdução 
à Álgebra de Boole
Introdução
Nesta aula, veremos que algumas proposições apresentam, 
além de quantificadores, características das variáveis, que se deno-
minam predicados.
Veremos também uma introdução à Álgebra de Boole, que 
é um modelo matemático tanto da lógica proposicional como da 
teoria dos conjuntos. A denominação Álgebra de Boole é devida 
ao matemático George Boole que, em torno de 1850, preocupado 
com a solução de certos problemas eletrônicos, estava interessado 
em regras algébricas para o raciocínio lógico, semelhante às regras 
algébricas para o raciocínio numérico.
Fundamentos de Matemática para Informática
– 48 –
Neste momento, aprenderemos a identificar estruturas matemáticas 
como álgebras e, na seqüência, quais dessas álgebras podem ser denominadas 
Álgebras de Boole.
São pré-requisitos para esta aula os conteúdos referentes à Teoria dos 
Conjuntos, bem como os conhecimentos sobre álgebra que trazemos conosco 
dos Ensinos Fundamental e Médio. Releia o material sobre Teoria dos Conjun-
tos, se julgar necessário, refaça as atividades e relembre conceitos em material 
de apoio referente ao Ensino Fundamental e Médio.
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
 2 identificar se uma estrutura matemática específica é um sistema algé-
brico;
 2 reconhecer se uma estrutura matemática específica é uma Álgebra de 
Boole.
5.1 Predicados
As sentenças ou as proposições matemáticas podem ser expressas, de 
forma genérica, por meio de um quantificador e de um predicado.
Quantificadores são símbolos que representam quantidades. Veja os exemplos. 
 2 “∀” que se lê “para todo”, “para cada” ou “para qualquer”.
 2 “∃” que se lê “existe”, “há pelo menos um”, “existe algum” ou “para 
algum”.
 2 Predicados descrevem propriedades da variável em questão. Por exem-
plo, “x > 0” descreve uma propriedade da variável x, a de ser positiva.
Uma expressão lógica com quantificador e predicado pode ser, por exem-
plo, (∀x)(x > 0).
A expressão anterior, no entanto, dependerá do domínio dos objetos 
sobre os quais nos referimos, isto é, a coleção de objetos entre os quais x pode 
ser escolhido. Essa coleção de objetos é chamada de conjunto universo. 
No caso da expressão (∀x)(x > 0), se o conjunto universo consistir no 
conjunto dos números inteiros positivos, então a expressão tem valor lógico 
– 49 –
verdadeiro. Mas, se o conjunto universo consistir no conjunto de todos os 
números inteiros, por exemplo, a expressão terá valor lógico falso.
5.2 Operador binário ou operações binárias
Chama-se operador binário ou operação binária a lei pela qual todo par 
ordenado de elementos (x, y) é levado a um terceiro elemento z. Os sinais aritméti-
cos +, −, ∙, ÷ são exemplos de operadores binários, mas, de maneira genérica, pode- 
mos representar um operador binário pelos símbolos ∗, ⊕, ⊗, º, •, entre outros.
5.3 Propriedades das operações
1ª propriedade: seja A um conjunto. Diz-se que A é fechado em relação 
à operação ∗, se x ∗ y ∈ A, ∀x, y ∈ A.
Exemplo: consideremos o conjunto Z dos números inteiros. Se a, b 
∈ Z, então a + b ∈ Z e a ∙ b ∈ Z, ou seja, a+ b e a ∙ b também são 
números inteiros. O conjunto Z é fechado para a operação “+” e para 
a operação “.”.
2ª propriedade: o operador ∗ é comutativo, se x ∗ y = y ∗ x, ∀x, y ∈ A.
Exemplo: se a, b ∈ Z, então a + b = b + a e a ∙ b = b ∙ a.
3ª propriedade: o operador ∗ é associativo, se x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z, 
∀x, y, z ∈ A.
Exemplo: se a, b, c ∈ Z, então a + (b + c) = (a + b) + c e a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c.
4ª propriedade: o operador * é distributivo em relação à •, se 
x ∗ (y • z) = (x ∗ y) • (x ∗ z), ∀x, y, z ∈ A.
Exemplo: se a, b, c ∈ Z, então a ∙ (b + c) = (a ∙ b) + (a ∙ c).
5ª propriedade: um elemento e é um elemento neutro para a operação 
∗ se, e somente se, x ∗ e = e ∗ x = x, ∀x ∈ A.
Exemplo: se a ∈ Z, então a + 0 = 0 + a = a e a ∙ 1 = 1 ∙ a = a. Logo “0” 
é o elemento neutro para a operação “+” e “1” é o elemento neutro 
para a operação “.” em Z.
Predicados e introdução à Álgebra de Boole
Fundamentos de Matemática para Informática
– 50 –
5.4 Sistemas algébricos
Chama-se sistema algébrico, ou álgebra abstrata, ou simplesmente 
álgebra a um conjunto não vazio munido de um ou mais operadores binários 
sobre ele definidos. Denotando o conjunto por A e os operadores por ∗ e •, 
definidos sobre A, tem-se que:
(A, ∗) ou (A, •) são álgebras com um operador (ou uma operação);
(A, ∗, •) é uma álgebra com dois operadores (ou duas operações).
Uma álgebra pode satisfazer algumas, todas, ou nenhuma das proprieda-
des dos operadores, assumindo denominações diferentes, caso a caso, como: 
semigrupo, monóide, grupo, anel, corpo, espaço vetorial, conforme as pro-
priedades satisfeitas pelo operador ou pelos operadores definidos sobre o con-
junto. Para nós, nesta disciplina, interessa os sistemas algébricos chamados 
Álgebras de Boole, que definiremos a seguir.
5.5 Álgebra de Boole
Diz-se que um sistema algébrico (B, +, ∙) é uma Álgebra de Boole se, e 
somente se, ∀a, b, c ∈ B, valem os axiomas:
 
A1) a + b ∈ B
A2) a ∙ b ∈ B
A3) a + b = b + a
A4) a ∙ b = b ∙ a
A5) a + (b ∙ c) = (a + b) ∙ (a + c)
A6) a ∙ (b + c) = (a ∙ b) + (a ∙ c)
A7) ∃0 ∈ B, tal que para cada a ∈ B, a + 0 = 0 + a = a
A8) ∃1 ∈ B, tal que para cada a ∈ B, a ∙ 1 = 1 ∙ a = a
A9) Para cada a ∈ B, ∃a’ ∈ B, tal que a + a’ = 0 e a ∙ a’ = 1
 
No axioma (A9), o elemento a’ é denominado complemento de a. 
– 51 –
Síntese
Vimos, nesta aula, que as proposições podem ser compostas por quanti-
ficadores e predicados. 
Os sistemas algébricos são conjuntos não vazios munidos de operadores 
e satisfazem em parte ou na totalidade propriedades, tais como: o conjunto ser 
fechado para determinada operação, a operação ser comutativa, associativa, 
distributiva em relação a uma segunda operação e admitir elemento neutro.
Você também conheceu a Álgebra de Boole, um sistema algébrico for-
mado por um conjunto não vazio, sobre o qual se definem duas operações e 
que atende a determinados axiomas.
Atividades
1. Considereo conjunto P de todas as proposições. E que, se p ∈ P e se 
q ∈ P, então p ∨ q ∈ P e p ∧ q ∈ P. Verifique que (P, ∨, ∧) atende às 
propriedades comutativa, associativa e distributiva.
2. Dados os operadores aritméticos +, –, ∙, ÷, diga quais entre eles são 
operadores binários no conjunto N dos números naturais. 
3. Verifique se o conjunto B2 = {0, 1} e os operadores correspondem a uma 
Álgebra de Boole. 
∙ 0 1
0 0 0
1 0 1
+ 0 1
0 0 1
1 1 1
4. Verifique se o conjunto B4 = {0, a, b, 1} e os operadores a seguir corres-
pondem a uma Álgebra de Boole.
∙ 0 a b 1
0 0 0 0 0
a 0 a o a
Predicados e introdução à Álgebra de Boole
Fundamentos de Matemática para Informática
– 52 –
b 0 0 b b
1 0 a b 1
+ 0 a b 1
0 0 a b 1
a a a 1 1
b b 1 b 1
1 1 1 1 1
Comentário das atividades
Na atividade 1, ao verificar as propriedades comutativa, associativa e 
distributiva por meio da Tabela-verdade, você deve ter concluído que:
Comutativa
p q p ∨ q q ∨ p p ∧ q q ∧ p
V V V V V V
V F V V F F
F V V V F F
F F V V F F
Associativa
p q r q ∨ r p ∨ (q ∨ r) p ∨ q (p ∨ q) ∨ r
V V V V V V V
V V F V V V V
V F V V V V V
V F F F V V V
F V V V V V V
F V F V V V V
F F V V V F V
F F F F F F F
p q r q ∧ r p ∧ (q ∧ r) p ∧ q (p ∧ q) ∧ r
V V V V V V V
V V F F F V F
– 53 –
V F V F F F F
V F F F F F F
F V V V F F F
F V F F F F F
F F V F F F F
F F F F F F F
Distributiva
p q r q ∧ r p ∨ (q ∧ r) p ∨ q p ∨ r (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
V V V V V V V V
V V F F V V V V
V F V F V V V V
V F F F V V V V
F V V V V V V V
F V F F F V F F
F F V F F F V F
F F F F F F F F
p q r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) p ∧ q p ∧ r (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
V V V V V V V V
V V F V V V F V
V F V V V F V V
V F F F F F F F
F V V V F F F F
F V F V F F F F
F F V V F F F F
F F F F F F F F
Para realizar a atividade 2, você deve ter relembrado o que é operador 
binário. Chama-se operador binário ou operação binária a lei pela qual todo 
par ordenado de elementos (x, y) é levado a um terceiro elemento z. Nesta 
atividade, foi considerado o conjunto N dos números naturais, logo: o ope-
rador + é binário, pois a sua utilização leva a um terceiro número natural. O 
operador – não é binário, pois sua utilização nem sempre leva a um terceiro 
número natural. O operador ⋅ é binário, pois a sua utilização leva a um ter-
ceiro número natural. O operador ÷ não é binário, pois sua utilização nem 
sempre leva a um terceiro número natural.
Predicados e introdução à Álgebra de Boole
Fundamentos de Matemática para Informática
– 54 –
Na atividade 3, você deve ter chegado à conclusão de que o conjunto e 
os operadores correspondem a uma Álgebra de Boole, pois atendem aos nove 
axiomas:
A1) a + b ∈ B
A2) a ∙ b ∈ B
A3) a + b = b + a
A4) a ∙ b = b ∙ a
A5) a + (b ∙ c) = (a + b) ∙ (a + c)
A6) a ∙ (b + c) = (a ∙ b) + (a ∙ c)
A7) ∃0 ∈ B, tal que para cada a ∈ B, a + 0 = 0 + a = a
A8) ∃1 ∈ B, tal que para cada a ∈ B, a ∙ 1 = 1 ∙ a = a
A9) Para cada a ∈ B, ∃ a’ ∈ B, tal que a + a’ = 0 e a ∙ a’ = 1
Esta álgebra é conhecida como álgebra dos interruptores ou álgebra da 
comutação, e é considerada a mais útil entre as Álgebras de Boole. É o funda-
mento matemático da análise e projeto dos circuitos de interruptores ou de 
comutação que compõem os sistemas digitais B2. É o exemplo mais simples de 
Álgebra de Boole não degenerada (uma Álgebra de Boole é dita não degenerada 
quando os elementos neutros para suas duas operações são distintos, 0 ≠ 1, e 
degenerada quando são iguais, 0 = 1).
Na atividade 4, você também deve ter concluído que o conjunto e os 
operadores correspondem a uma Álgebra de Boole, pois atendem aos nove 
axiomas:
A1) a + b ∈ B
A2) a ∙ b ∈ B
A3) a + b = b + a
A4) a ∙ b = b ∙ a
A5) a + (b ∙ c) = (a + b) ∙ (a + c)
A6) a ∙ (b + c) = (a ∙ b) + (a ∙ c)
A7) ∃0 ∈ B, tal que para cada a ∈ B, a + 0 = 0 + a = a
– 55 –
A8) ∃1 ∈ B, tal que para cada a ∈ B, a ∙ 1 = 1 ∙ a = a
A9) Para cada a ∈ B, ∃a’ ∈ B, tal que a + a’ = 0 e a ∙ a’ = 1
A realização das atividades lhe deu a oportunidade de alcançar os obje-
tivos propostos para esta aula, ou seja, de identificar se uma estrutura mate-
mática específica é um sistema algébrico e de reconhecer se uma estrutura 
matemática específica é uma Álgebra de Boole.
Na próxima aula
Daremos seguimento aos estudos ora iniciados conhecendo as Funções 
Booleanas, as quais são definidas nas Álgebras de Boole.
Predicados e introdução à Álgebra de Boole
6
Funções Booleanas
Introdução
As Funções Booleanas ocorrem nas Álgebras de Boole, 
satisfazem a regras específicas e são construídas a partir de fun-
ções constantes e projeções mediante um número finito de ope-
rações. As Funções Booleanas podem assumir várias formas e, 
por conta disso, veremos uma forma canônica ou padrão na qual 
possam ser transformadas.
Os conceitos sobre Algebra de Boole constitui-se em um 
pré-requisito para esta aula, na qual mantivemos o contato com os 
fundamentos desta álgebra. Será importante revê-la e, se necessário, 
refazer as atividades.
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
 2 determinar a expressão de uma Função Booleana;
Fundamentos de Matemática para Informática
– 58 –
 2 escrever a forma canônica de uma Função Booleana.
6.1 Função Booleana
Seja B uma Álgebra de Boole e sejam x1, ..., xn variáveis tais que seus 
valores pertencem a B. Chama-se Função Booleana de n variáveis a uma 
aplicação ƒ de Bn em B, satisfazendo as seguintes regras:
 2 se para quaisquer valores de x1, ..., xn, ƒ(x1, ..., xn) = a, a ∈ B, então 
ƒ é uma função booleana. É a função constante;
 2 se para quaisquer valores de x1, ..., xn , ƒ(x1, ..., xn) = xi para qualquer 
i(i = 1, ..., n), então ƒ é uma função booleana. É a função projeção;
 2 se ƒ é uma função booleana, então g definida por 
g(x1, ..., xn) = (ƒ(x1, ..., xn))’ para todos x1, ..., xn é uma função 
booleana;
 2 se ƒ e g são funções booleanas, então h e k, definidas por h(x1, ..., 
xn)= ƒ(x1, ..., xn) + g(x1, ..., xn) e k(x1, ..., xn) = ƒ(x1, ..., xn) ∙ g(x1, ..., 
xn) para todos os x1, ..., xn são funções booleanas;
qualquer função constituída por um número finito de aplicações das 
regras anteriores e somente tal função é booleana.
Logo, funções booleanas são aquelas que se podem obter a partir de fun-
ções constantes e funções projeção, mediante um número finito de operações 
“ + ” e “ . ”.
Para uma função de uma variável, a função projeção é a função identi-
dade ƒ(x) = x.
 
Chama-se constante (booleana) em B a qualquer 
elemento de uma Álgebra de Boole B.
Chama-se variável (booleana) em B ao sím-
bolo que pode representar qualquer dos ele-
mentos de uma Álgebra de Boole B
 
– 59 –
Exemplos:
ƒ(x) = x + x’ a
ƒ(x, y) = x’ y’
h(x, y) = x’ y + xy’ + y’
g(x, y) = (x + y)’
ƒ(x, y, z) = axy’z + yz’ + a + xy
Nos exemplos, ƒ(x, y) = x’y’ e g(x, y) = (x + y)’, de acordo com as Leis de 
De Morgan, são a mesma função, isto é, assumem o mesmo valor para valores 
idênticos das variáveis. Assim sendo, para melhor determinar se duas expressões 
representam a mesma função booleana, torna-se desejável a existência de uma 
forma padrão ou canônica na qual as expressões possam ser transformadas.
6.2 Forma canônica
Demonstra-se que:
 2 para uma função booleana de uma variável, a forma canônica para 
todos os valores de x é: ƒ(x) = ƒ(1)x + ƒ(0)x’;
 2 para uma função booleana de duas variáveis, a forma canônica para 
todos os valores de x e y é:
ƒ(x, y) = ƒ(1,1)xy + ƒ(1,0)xy’ + ƒ(0,1)x’ y + ƒ(0,0)x’ y’;
 2 para uma função booleana de n variáveis, a forma canônica para 
todos os valores de x1, ..., xn é:
ƒ(x1, ..., xn) = ∑ ƒ(α1, ..., αn)x1
α1x2
α2 ...xn
αn.
Onde αi assume valores 0 e 1, e x1
αi é interpretado como xi ou xi’, con-
forme αi tem valor 0 ou 1.
SínteseVimos, nesta aula, que nas Álgebras de Boole podem se definidas fun-
ções, denominadas funções booleanas, as quais ficam determinadas mediante 
Funções Booleanas
Fundamentos de Matemática para Informática
– 60 –
o cumprimento de algumas regras. Entre elas, a que determina a construção 
de uma função booleana a partir de funções constantes e de projeção.
Vimos também que existe uma forma canônica para expressão das funções 
booleanas, evitando-se assim que duas funções que resultam valores iguais para 
os mesmos valores das variáveis sejam consideradas funções distintas.
Atividades
1. Suponha que ƒ é uma função booleana de uma variável sobre uma 
Álgebra de Boole de quatro elementos, ƒ(0) = a’ e ƒ(1) = a. Determine 
uma expressão para ƒ.
2. Seja B uma Álgebra de Boole com quatro elementos 0, a, a’, 1. Construa 
a forma canônica da função ƒ(x) = x + x’ a.
3. Seja B uma Álgebra de Boole com quatro elementos 0, a, a’, 1. Construa 
a forma canônica da função ƒ(x, y) = x’ y + xy’ + y’.
4. Determine a forma canônica da função ƒ(x) = xx’.
Comentário das atividades
Para a resolução da atividade 1, os dados correspondem à tabela a seguir.
x ƒ(x)
0 a'
a
a'
1 a
Vimos que, se ƒ é uma função booleana de uma variável, então:
ƒ(x) = ƒ(1)x + ƒ(0)x’.
Utilizando os dados da tabela anterior, tem-se: ƒ(x) = ax + a’x’.
Na atividade 2, como ƒ(x) = x + x’a, tem-se que ƒ(1) = 1 e ƒ(0) = a, de 
modo que a forma canônica de ƒ é ƒ(x) = ƒ(1)x + ƒ(0)x’ = 1x + ax’.
– 61 –
Na atividade 3, como ƒ(x, y) = x’y + xy’ + y’, tem-se que ƒ(1,1) = 0 e 
ƒ(1,0) = ƒ(0,1) = ƒ(0,0) = 1, de modo que a forma canônica de ƒ é 
ƒ(x, y) = 0xy + 1xy’ + 1x’y + 1x’y’.
Já na atividade 4, como ƒ(x) = xx’, e a forma canônica corresponde à 
ƒ(x) = ƒ(1)x + ƒ(0)x’, tem-se: ƒ(x) = x’x + 0x’ = xx’ + 0x’. 
A realização das atividades lhe deu a oportunidade de determinar a 
expressão de uma função booleana e de escrever a forma canônica de uma 
função booleana.
Na próxima aula
Concluiremos esta etapa das Funções Booleanas estudando métodos 
de minimização ou simplificação destas funções com ênfase para os Mapas 
de Karnaugh.
Funções Booleanas
 7
Simplificações de 
Funções e Mapas 
de Karnaugh
Introdução
Minimizar ou simplificar uma função booleana é uma ope-
ração para se reduzir ao mínimo o número de seus termos, resul-
tando em economia do circuito a que ela corresponde. 
Álgebra de Boole e Funções Booleanas, constituem-se nos 
principais pré-requisitos para esta aula. Releia estes conteúdos, se as 
dúvidas persistirem, entre em contato conosco! 
Esperamos que, ao final desta aula, você seja capaz de:
 2 minimizar uma Função Booleana;
 2 representar funções booleanas pelo método do Mapa 
de Karnaugh.
Veremos dois métodos: o Algébrico e o do Mapa de Karnaugh.
Fundamentos de Matemática para Informática
– 64 –
7.1 Método algébrico
O método algébrico apóia-se em alguns teoremas das Álgebras de Boole 
para a simplificação de funções. Apresentaremos esses teoremas:
 
 Teorema 1: (a’)’ = a
 Teorema 2: ab + ab’ = a
 Teorema 3: 0’=1 e 1’=0
 Teorema 4: (a ∙ b)’ = a’ + b’ e (a + b)’ = a’ ∙ b’ 
 (Teorema de Morgan)
 Teorema 5: ab + a’c + bc = ab + a’c
 Teorema 6: (a + b)(a’ + c)(b + c) = ac + a’b
 Teorema 7: (a + b)(a’ + c) = ac + a’b
 
7.2 Método do Mapa de Karnaugh
O Mapa de Karnaugh é uma forma modificada de Tabela-verdade e 
permite representar graficamente uma função booleana e, se for necessá-
rio, simplificá-la.
No caso de funções com uma variável, o mapa será formado por duas 
células que correspondem a cada um dos valores 0 e 1 atribuídos à variável.
0 1
a 0 1
No caso de funções com duas variáveis, o mapa será formado por quatro 
células que correspondem às combinações binárias que podem ocorrer com 
estas variáveis.
0 1
0 00 10
1 01 11
– 65 –
No caso de três ou mais variáveis, o procedimento é similar.
0 1
00 000 100
01 001 101
11 011 111
10 010 110
Síntese
Vimos, nesta aula, que minimizar ou simplificar funções booleanas é 
útil e pode ser realizado de formas diferentes. Analisamos dois métodos, o 
método algébrico e o método do Mapa de Karnaugh.
Atividades
1. Minimizar a função y = a((b’ + c’)(b’ + c)) + ab + (a’ + b’)(b + c’) pelo 
método algébrico.
2. Representar a função y = abc’ + ab’c’ + abc + a’b’c por meio do Mapa de 
Karnaugh.
3. Representar a função y = a’b’cd + ab’d + abc’ + ac’d’ por meio do Mapa 
de Karnaugh.
4. Simplificar a função y = a’b’c + a’bc + ab’c + abc por meio do Mapa de 
Karnaugh.
Comentário das atividades
Na atividade 1, você deve ter concluído que minimizar a função 
y = a((b’ + c’)(b’ + c)) + ab + (a’ + b’)(b + c’) pelo método algébrico corres-
ponde à utilização dos teoremas vistos nesta aula, conforme a seguir:
Simplificações de Funções e Mapas de Karnaugh
Fundamentos de Matemática para Informática
– 66 –
y = a((b’ + c’)(b’ + c)) + ab + (a’ + b’)(b + c’)
y = a(bb’ + bc + b’c’ + cc’) + ab + (a’b + a’c’ + b’b + b’c’)
y = abc + ab’c’ + ab + a’b + a’c’ + b’c’
y = ab + b’c’ + a’b + a’c’
y = (a + a’) b + b’c’ + a’c’
y = b + b’c’ + a’c’
y = b + c’ + a’c’
y = b + c’(1 + a’)
y = b + c’
Na atividade 2, você deve ter percebido que representar a função 
y = abc’ + ab’c’ + abc + a’b’c por meio do Mapa de Karnaugh corresponde à 
montagem das células, conforme a seguir:
0 1
00 1
01 1
11 1
10 1
Para a atividade 3, representar a função y = a’b’cd + ab’d + abc’ + ac’d’ 
pelo Mapa de Karnaugh corresponde à montagem das células, conforme a 
seguir:
00 01 11 10
00 1 1
01 y = c 1 1
11 1 1
10
– 67 –
Na atividade 4, simplificar a função y = a’b’c + a’bc + ab’c + abc utili-
zando o Mapa de Karnaugh corresponde à montagem das células, conforme 
a seguir, e também sua interpretação:
0 1
00
01 1 1
11 1 1
10
Levando em consideração as colunas determinadas pelas células anteri-
ores, temos que y = a’c + ac, o que nos leva a y = c.
Ao concluir com sucesso as atividades propostas, você atingiu o objetivo 
de minimizar (simplificar) uma função booleana e de representar funções 
booleanas pelo método do Mapa de Karnaugh.
Simplificações de Funções e Mapas de Karnaugh
Referências
Fundamentos de Matemática para Informática
– 70 –
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
DAGHLIAN, Jacob. Lógica e Álgebra de Boole. 4. ed. São Paulo: Atlas, 
1995.
GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Com-
putação. São Paulo: LTC, 1995.
RANGEL, Kléber Albanêz; BENZECRY, Vera Syme Jacob. Como desenvol-
ver o raciocínio lógico: soluções criativas na teoria dos conjuntos. 2. ed. Rio 
de Janeiro: Universidade Estácio de Sá, 2005. 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
ALENCAR FILHO, Edgar. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: 
Nobel, 2003.
SOUZA, J. N. Lógica para Ciência da Computação: fundamentos de lingua-
gem, semântica e sistemas de duração. Rio de Janeiro: Campus, 2002.
Para conversarmos com os computadores e conseguirmos obter dele o melhor pos-
sível precisamos entender seu funcionamento e, mais do que isto, conseguir que ele 
nos entenda. Para isto é preciso nos expressar cada vez melhor na linguagem dele. 
E a matemática é peça fundamental para entendermos o funcionamento do compu-
tador e conseguirmos nos comunicar de forma eficiente. A área da matemática que 
iremos estudar nesta disciplina é um pouco diferente do que você está acostumado. 
Além dos conjuntos iremos aprender sobre expressões.
É lógico! É óbvio! Claro! Essas são algumas das expressões que usamos frequen-
temente para dizer algo. Porem, às vezes usamos essas expressões sem prestar 
muita atenção ao seu real significado e a sua importância. Para esta disciplina, 
esperamos que você aprimore seus métodos de raciocínio logico para sistematizar 
as atividadestanto no trabalho quanto em casa. Assim, o conhecimento obtido 
nesta disciplina auxiliará você em muitas situações do cotidiano. 
Apresentaremos uma visão geral das teorias dos conjuntos, enfocando possíveis 
relações e operações entre conjuntos quaisquer. Analisaremos as sentenças usadas 
no dia-a-dia, com intuito de verificar um encadeamento logico entre as mesmas e, 
assim, identificar uma conclusão, caso exista, reconhecendo assim um argumento.
Na sequencia, abordaremos o alfabeto e as formulas bem formadas da logica 
proposicional, que é o tipo de logica mais simples, demonstrando o comportamento 
dos conectivos lógicos usados com proposições. Daí apresentaremos o método da 
tabela-verdade, como um mecanismo de encontrar o valor logico de proposições 
simples e compostas, bem como classificaremos as tabelas de acordo com os 
valores obtidos como resultado.
Os conceitos de implicação e equivalência logica serão apresentados na sequen-
cia, bem como um processo de prova de argumentos. Por sua vez, estudaremos a 
logica de predicados, que é uma extensão da logica proposicional, visando apre-
sentar o seu alto poder de expressão. Por fim, apresentaremos a álgebra de Boole e 
mapas de Karnaugh.
9 788553 370283
ISBN 978-85-53370-28-3