Modulo Logica_e_teoria_de_conjuntos

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LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
Governo Federal
República Federativa do Brasil
Ministério da Educação
República de Moçambique
Ministério de Educação
LÓGICA E TEORIA DE CONJUNTOS
República de Moçambique 
Ministério de Educação
M732l
 Momade, Saíde Issufo.
 Lógica e teoria dos conjuntos / Saíde Issufo Momade, Abudo 
Atumane Ossofo. - Brasília: Ministério da Educação; Moçambique: 
Ministério da Educação: Universidade Pedagógica; Rio de Janeiro: 
Fundação CECIERJ, 2010.
 92p.; 18 x 24,5 cm.
 ISBN: 978-85-7648-718-0 
 1. Lógica simbólica e matemática. 2. Teoria dos conjuntos I. Ossofo, 
Abudo Atumane. II. Título.
 CDD: 511.3
Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
UNIVERSIDADE PEDAGÓGICA
ELABORA ÇÃO DE CONTEÚDO
Saíde Issufo Momade 
Abudo Atumane Ossofo
FUNDAÇÃO CECIERJ/CONSÓRCIO 
CEDERJ
COORDENAÇÃO DE 
DESENVOLVIMENTO 
INSTRUCIONAL
Cristine Costa Barreto
SUPERVISÃO DE 
DESENVOLVIMENTO 
INSTRUCIONAL
Paulo Vasques de Miranda
DESENVOLVIMENTO 
INSTRUCIONAL 
Cintia Luiza da Silva Carvalho do 
Nascimento
REVISÃO LINGUÍSTICA
Th elenayce Ribeiro
COORDENAÇÃO EDITORIAL
Fábio Rapello Alencar
PROGRA MAÇÃO VISUAL
André Guimarães de Souza
ILUSTRA ÇÃO
Equipe CECIERJ
UNIVERSIDADE FEDERA L 
DE GOIÁS
DESIGN GR ÁFICO − PROJETO 
EDITORIAL
Cleomar de Souza Rocha
Yannick Aimé Ferreira Taillebois
Copyright © 2011, Fundação CECIERJ / Universidade Pedagógica
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio 
eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização.
DIREITOS DE AUTOR 
Este modulo não pode ser produzido para fins comerciais. No caso de 
reprodução deve ser mantida a referência à Universidade Pedagógica e aos 
autores do módulo.
AGRADECIMENTOS
À COMMONWEALTH of LEARNING (COL) pela disponibilização do 
Template usado na produção dos Módulos. 
Ao Instituto Nacional de Educação a Distância (INED) pela orientação e 
apoio prestados.
Ao Magnífi co Reitor, Directores de Faculdade e Chefes de Departamento da 
Universidade Pedagógica, pelo apoio prestado em todo o processo.
ÍNDICE
VISÃO GERAL ....................................................................................................
Benvindo ao estudo do módulo de Lógica e Teoria de Conjuntos .................
Objectivos do curso ..................................................................................................
Quem deveria estudar este módulo .......................................................................
Como está estruturado este módulo ......................................................................
Ícones de actividade ..................................................................................................
Habilidades de estudo ..............................................................................................
Precisa de apoio? ........................................................................................................
Tarefas (avaliação e autoavaliação) .........................................................................
Avaliação ......................................................................................................................
UNIDADE 1 – BREVE HISTORIAL E INTRODUÇÃO À 
LÓGICA ..................................................................................................................
Lição 1 – Iniciação a lógica bivalente ....................................................................
Lição 2 ..........................................................................................................................
Lição 3 – Propriedades da negação ........................................................................
Lição 4 – Quantifi cadores ........................................................................................
Lição 5 – Segundas Leis de DE MORGAN .........................................................
UNIDADE 2 – INTRODUÇÃO À TEORIA DE
CONJUNTOS ......................................................................................................
Lição 1 – Introdução à Teoria de conjuntos .........................................................
Lição 2 – Operações sobre conjuntos e suas propriedades ...............................
Lição 3 – Conjuntos numéricos .............................................................................
Referências Bibliográfi cas ........................................................................................
9 
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Visão Geral 9
VISÃO GERAL
BENVINDO AO ESTUDO DO MÓDULO DE LÓGICA E 
TEORIA DE CONJUNTOS
Caro estudante!
Neste módulo você vai adquirir os conhecimentos sobre a Lógica e Teo-
ria de Conjuntos. Este módulo irá permitir-lhe desenvolver as suas habilidades 
Lógicas para compreensão e interpretação dos problemas do seu dia-a-dia.
O presente módulo está subdividido em duas grandes unidades, no-
meadamente:
A parte de Lógica onde inicia com o esboço do desenvolvimento da 
Lógica, iniciação a Lógica Bivalente, equivalência de designações e proposi-
ções, operações Lógicas defi nidas no Universo Lógico e suas propriedades 
e a dedução lógica.
E a parte Lógica em termos de Conjuntos onde trata das formas di-
ferentes de representar os conjuntos, a relação de pertença, conjunto vazio 
ou singular, conjunto unitário, conjunto universal, as relações de inclusão, as 
operações com conjuntos e as relações.
Objectivos da curso
Quando terminar o estudo de Ensino a Distância no módulo de Lógica e 
Teoria de Conjuntos, esperamos que você seja capaz de:
raciocinar de forma lógica sobre os problemas do quotidiano.• 
aplicar o raciocínio no estudo e resolução de problemas matemáticos. • 
10 Lógica e Teoria de Conjuntos
QUEM DEVERIA ESTUDAR ESTE MÓDULO
Este Módulo foi concebido para todos aqueles que tenham concluído 
nível médio do Ensino Secundário Geral ou equivalente e tenham-se inscrito no 
curso à Distância de Ensino de Matemática pela Universidade Pedagógica.
COMO ESTÁ ESTRUTURADO ESTE MÓDULO?
Todos os módulos dos cursos produzidos pela Universidade Pedagó-
gica encontram-se estruturados da seguinte maneira:
Páginas introdutórias
Um índice completo• 
Uma visão geral detalhada da cadeira, resumindo os aspectos-cha-• 
ve de que você precisa para completar o estudo. Recomendamos 
vivamente que leia esta secção com atenção antes de começar o 
seu estudo.
Conteúdo do Módulo
O Módulo está estruturada em unidades. Cada unidade incluirá 
uma introdução, objectivos e conteúdo da unidade, incluindo actividades 
de aprendizagem, um sumário da unidade e uma ou mais actividades para 
autoavaliação.
Outros recursos
Para quem esteja interessado em aprender mais, apresentamos uma 
lista de recursos adicionais para explorar. Estes recursos podem incluir li-
vros, artigos ou sites na Internet.
Visão Geral 11
Tarefas de avaliação, autoavaliação e actividades.
As tarefas de avaliação para esta cadeira encontram-se no fi nal de 
cada unidade e serão desenvolvidas na própria lição.
Comentários e sugestões
Esta é a sua oportunidade para nos dar sugestões e fazer comentários 
sobre a estrutura e o conteúdo deste módulo. Os seus comentários serão 
úteis para nos ajudar a avaliar e melhorar a apresentação dos conteúdos.
ACERCA DOS ÍCONES
Ao longo deste Módulo, você irá encontrar uma série de ícones nas 
margens das folhas. Estes ícones servem para identifi car diferentes partes do 
processo de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específi ca do texto, 
uma nova actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. 
Os ícones usados neste Módulo são símbolos africanos, conhecidos 
por adrinka. Estes símbolos têm origem no povo Ashante de África Ociden-
tal, datam do século 17 e ainda se usam hoje em dia.
Você pode ver o conjunto completo de ícones a seguir, cada um com 
uma descrição do seu signifi cado e da forma como nósinterpretamos esse 
signifi cado para representar as várias actividades ao longo deste Módulo. 
Comprometimento/
perseverança
Actividade
Resistência, 
perseverança
Autoavaliação
“Eu mudo ou transformo 
a minha vida”
Objectivos
“Qualidade do trabalho”
(excelência/autenticidade)
Avaliação/teste
12 Lógica e Teoria de Conjuntos
HABILIDADES DE ESTUDO
Você deverá realizar sua leitura com muita atenção nas considerações 
teóricas e acompanhar os exemplos apresentados em cada unidade. Para 
complementar o seu estudo discuta com o teu colega próximo sempre que 
o encontrares.
Resolva as actividades sugeridas em cada unidade para consolidares 
o teu estudo.
No fi nal de cada lição esta sugerida actividade para acompanhar o 
seu grau de aprendizagem.
PRECISA DE APOIO?
Em caso de difi culdade da dimensão do grupo de estudo ou da sua 
área de habitabilidade, então você deverá entrar em contacto com docente 
por qualquer via que achares acessível.
TAREFAS (AVALIAÇÃO E AUTOAVALIAÇÃO)
No fi nal da lição você irá encontrar várias actividades que deverá re-
solver sozinho. O recurso a solução dada deve ser depois de tentar sozinho.
Vigilância/preocupação
Tome Nota!
“Aprender através 
da experiência”
Exemplo/
Estudo de caso
“Pronto a enfr entar as 
vicissitudes da vida”
Refl exão
“Nó da sabedoria”
Terminologia
Apoio/encorajamento
[Ajuda-me] deixa-me 
ajudar-te
Dica Leitura
Paz/harmonia
Debate 
Unidade/relações 
humanas
Actividade 
de grupo
Visão Geral 13
AVALIAÇÃO
Neste módulo você vai realizar duas provas escritas ao longo do se-
mestre. Como forma de culminação do módulo terá um exame escrito ou 
oral no fi m do semestre. No entanto, todos exercícios que você vai resolver 
no fi m da lição e/ou unidade serão verifi cados pelo regente para fi ns de ava-
liação formativa. 
1
BREVE HISTORIAL E INTRODUÇÃO À LÓGICA
Saíde Issufo Momade
Abudo Atumane Ossofo
Objectivos da unidade
Ao completar esta unidade, esperamos que você seja capaz de:
1. raciocinar de forma lógica sobre os problemas do quotidiano.
2. aplicar o raciocínio no estudo e resolução de problemas matemáticos.
Introdução da unidade
“Esboço” do desenvolvimento da Lógica
Nesta unidade 1 você terá a oportunidade de adquirir os conheci-
mentos sobre os perío-dos do desenvolvimento da lógica, nomeadamente:
Período Aristotélico • 
Período Booleano• 
Período Actua• 
16 Lógica e Teoria de Conjuntos
“Esboço” do desenvolvimento da lógica
• Período Aristotélico (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.) 
A história da Lógica tem início com o fi lósofo grego ARISTÓTELES 
(384 - 322a.C.) de Estagira (hoje Estavo) na Macedônia. Aristóteles criou 
a ciência da Lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de 
argumento válido). Seus escritos foram reunidos na obra denominada Or-
ganon ou Instrumento da Ciência. Na Grécia, distinguiram-se duas grandes 
escolas de Lógica, a PERIPATÉTICA (que derivava de Aristóteles) e a ES-
TÓICA fundada por Zenão (326-264a.C.). A escola ESTÓICA foi desen-
volvida por Crisipo (280-250a.C.) a partir da escola MEGÁRIA (fundada 
por Euclides, um seguidor de Sócrates). Segundo Kneale e Kneale (O De-
senvolvimento da Lógica), houve durante muitos anos uma certa rivalidade 
entre os Peripatéticos e os Megários e que isto talvez tenha prejudicado o 
desenvolvimento da lógica, embora na verdade as teorias destas escolas fos-
sem complementares. GOTT FRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) mere-
ce ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca infl uência nos 200 
anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX . 
• Período Booleano (± 1840 a ± 1910) 
Inicia-se com GEORGE BOOLE (1815-1864) e AUGUSTUS DE MOR-
GAN (1806-1871). Publicaram os fundamentos da chamada Álgebra da 
lógica, respectivamente com MATHEMATICAL ANALYSIS OF LOGIC e 
FORMAL LOGIC.GOTLOB FREGE (1848-1925) um grande passo no de-
senvolvimento da lógica com a obra BEGRIFFSSCHRIFT de 1879. 
As idéias de Frege só foram reconhecidas pelos lógicos mais ou menos 
a partir de 1905. É devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se seguiu.
GIUSEPPE PEANO (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti, Vacca, Pie-
ri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda simbologia da Matemática se deve a essa 
escola italiana. 
• Período Actual (1910- ........) 
Com BERTRA ND RUSSELL (1872-1970) e ALFRED NORTH WHI-
TEHEAD (1861-1947) se inicia o período actual da lógica, com a obra 
PRINCIPIA MATHEMATICA. DAVID HILBERT (1862-1943) e sua escola 
Breve Historial e Introdução à Lógica 17
alemã com von Neuman, Bernays, Ackerman e outros.KURT GÖDEL (1906-
1978) e ALFRED TARSKI (1902-1983) com suas importantes contribuições.
Surgem as Lógicas não-clássicas: N.C.A. DA COSTA com as lógicas para 
consistentes , L. A. ZADEH com a lógica “fuzzy” e as contribuições dessas 
lógicas para a Informática, no campo da Inteligência Artifi cial com os Sis-
temas Especialistas. 
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Lógica en-
globam muitas áreas do conhecimento. 
Assim, terminando a breve historial sobre a Lógica, passa-se em se-
guida ao estudo detalhado da Lógica e Teoria de Conjuntos.
Breve Historial e Introdução à Lógica 19
LIÇÃO 1 – INICIAÇÃO À LÓGICA BIVALENTE
Objectivos
Ao completar esta lição, esperamos que você seja capaz de:
utilizar correctamente os termos proposições matemáticos.• 
enunciar e aplicar os princípios lógicos sobre proposições.• 
identifi car proposições equivalente.• 
1. Introdução
Esta é a lição número 1 pelo que você precisa de estudar com muito 
cuidado, pois ela poderá ter as suas consequências no desenrolar da unida-
de e nos outros subsequentes. Alguns dos conceitos básicos sobre a Lógica 
estão nesta lição. Quatro horas de trabalho é o tempo sufi ciente para você 
estudar esta lição não incluindo a resolução das actividades.
Terminologia
A palavra lógica do grego “ logike” que signifi ca a ciência do raciocínio.
Imagine que me dirijo a uma loja onde se vendem gravatas e digo ao 
empregado:
20 Lógica e Teoria de Conjuntos
Figura 1.1: Lote de gravatas
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/980507 – Aleksandra P.
Quero ver gravatas verdes e pretas:
O empregado apresenta-me um lote de gravatas todas verdes e outro 
lote de gravatas totalmente pretas. Disse-lhe então:
 Não quero destas gravatas; Quero gravatas com duas cores, ou me-
lhor na mesma gravata as duas cores.
Teria o empregado a obrigação de entender o que eu pretendia? Ora. 
Esta dúvida como muitas outras que surge na comunicação quando se uti-
liza uma linguagem falada ou escrita não pode surgir quando comunicamos 
na linguagem Matemática. Esta tem de ser rigorosa e clara de modo que não 
possa resultar mais que uma interpretação daquilo que se diz, no entanto, 
então vamos estudar a lógica com duplo objectivo:
Na linguagem corrente estarmos mais atentos a maneira como os ex-
primimos.
Obtêm um melhor conhecimento da linguagem Matemática e utili-
zar no estudo desta disciplina da linguagem e do pensamento.
Breve Historial e Introdução à Lógica 21
2. TERMOS E PROPOSIÇÕES
Para melhor compreensão de linguagem Matemática vamos procu-
rar estabelecer um paralelismo com a linguagem corrente.
A partir de um conjunto de sinais elementares. Letras, acentos, etc. 
na linguagem corrente; algarismo, sinais de operações, etc., na linguagem 
Matemática, obtem-se sinais compostos a que se chamam expressões.
Das expressões mais simples apresentam-se a seguir alguns exemplos 
em linguagem:
Tabela 1. Exemplos em linguagem
Corrente Matemática
Nampula 10
Ivala 3-4
Cantina m.m.c. (15;30)
Expressões como estas que representam pessoas, cidades, coisas, 
qualidades, números, ..., chamam-se designações.
Terminologia
Designações nomes ou termos são expressões que representam os se-
res existentes.
Outro tipo de expressões como:
Ivala ensinou Matemática (verdadeira)
Nampula é capital Angolana (falsa)
≥5 3 2+ (verdadeira)
×2 5 3 1 6+ = (falsa)
que exprimem juízo ou traduzem afi rmações acercados entes, cha-
mam-se proposições.
22 Lógica e Teoria de Conjuntos
Terminologia
Proposições são expressões que se podem atribuir um valor lógico, isto 
é, aquelas para as quais faz sentido dizer se são verdadeiras ou falsas.
3. PRINCÍPIOS LÓGICOS SOBRE PROPOSIÇÕES 
Princípios de não contradição: • uma proposição não pode ser simul-
taneamente verdadeira e falsa;
Princípio do terceiro excluído:• uma proposição ou é verdadeira ou 
falsa, não existindo uma terceira possibilidade.
Se uma proposição é verdadeira, diz-se que tem o valor lógico verda-
deiro, que se representa por V ou 1 (um). Se é falsa diz-se que tem um valor 
lógico falso que se representa por F ou 0 (zero).
Assim, o universo dos valores lógicos é o conjunto:
{ } { }1,0 .L = V,F ouL = por isso se diz lógica bivalente, pois, são 
apenas dois valores lógicos possíveis: Verdadeiro ou Falso.
Actividade I
1- Destinga nas expressões seguintes, as designações das proposições:
1.1 6+24
1.2 6+24=30
1.3 7 
1.4 7 >7
Resposta Comentada
Designação 1.1 e 1.3
Proposição 1.2 e 1.4
Breve Historial e Introdução à Lógica 23
4. EQUIVALÊNCIA DE DESIGNAÇÕES E PROPOSIÇÕES
Sempre que se pretende designar não o ser, mas o seu nome utilizam-
se aspas (“ ”) simples. Assim, quando se escreve Monapo é uma vila e “Mo-
napo” é uma palavra, é claro que na segunda frase nos queremos referir não a 
vila de Monapo mas ao seu nome. Por isso utilizamos aspas (“ ”).
Do mesmo modo, quando se escreve 5 é um número inteiro e “5” é um 
algarismo árabe, referimo-nos na 2ª frase não ao número cinco mas a uma 
designação deste número.
É evidente que existem outras designações deste número cinco: 1 + 
4; 3 + 2; 6 – 1, 20
4
, ... que se dizem Designações Equivalentes.
Terminologia
Designações Equivalentes ou sinónimos são aquelas que designam ou 
nomeiam o mesmo ser.
Para indicar que dois termos designam o mesmo termo, escreveres 
entre eles o sinal “ = ”(igual).
Exemplo:
Quando1. escrevemos + = ,
20
3 2
4 signifi ca que os termos “3 + 2” e 
“
20
4
” são equivalentes pois designam ambos o número cinco.
Quando escrevemos 2. =3 6
5 10
 signifi ca que “ 3
5
” e “ 6
10
” designam 
o mesmo número, embora tenham formas diferentes.
Para indicar que dois termos não designam o mesmo, este utiliza-se 
o símbolo ¿ (diferente).
24 Lógica e Teoria de Conjuntos
Exemplo:
1. Quando escrevemos ≠5 1 7 6+ + , signifi ca que “5 + 1” e “7 + 6” não 
designam o mesmo número.
Tome Nota!
Nota: As fracções “ 3
5
” e “ 6
10
” designam o mesmo 
número mas são diferentes. Assim deverá escrever-
se =3 6
5 10
 e “ 3
5
” ≠ “ 6
10
”.
Por questões de comodidade a utilização de as-
pas, muitas vezes é dispensada, deduzindo-se do 
contexto se nos referimos aos entes ou aos seus 
nomes.
Fonte: http://www.sxc.hu/
photo/1109777 – Ignacio 
Leonardi..
5. PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES
Duas proposições dizem-se equivalentes se tiverem o mesmo valor lógico. 
Assim são equivalentes:
(1) Monapo é uma vila (V)
(2) Ilha de Moçambique é uma cidade (V)
Bem como
(3) 5 3< (F)
(4) m.m.c. (2,6) 6= (F).
Breve Historial e Introdução à Lógica 25
SUMÁRIO
Nesta lição abordamos os seguintes termos: Termos e proposições, Prin-
cípios lógicos sobre proposições, Equivalência de designações e proposições.
ACTIVIDADE AUTOAVALIAÇÃO
Terminada a lição tem em seguida uma actividade de auto-avaliação 
para verifi car o seu grau de assimilação dos conteúdos. Caso não consiga 
resolver todas as perguntas volte a ler o texto.
Autoavaliação
1- De cada um dos pares de expressões seguintes indique a que está correcta-
mente escrita relativamente à utilização das aspas.
1.1 4 é um número par; 4 é uma designação do número 4
1.2 “2+1” e “ 4-1” são designações do número 3; 2+1 e 4-1 são designações do 
número “3”
1.3 1
2
 é uma designação de 0,5 ; “ 1
2
” é uma designação de 0,5
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Resposta
1.1 A primeira expressão está correcta. 
1.2 A primeira expressão está correcta. 
1.3 A segunda expressão está correcta.
26 Lógica e Teoria de Conjuntos
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO
Na proxima lição você estudará as operações lógicas defi nidas no 
universo lógico onde serão apresentadas as operações de conjunção, disjun-
ção, implicação material e da equivalência material acompanhadas pelas 
suas respectivas tabelas de verdade.
Breve Historial e Introdução à Lógica 27
LIÇÃO 2
Operações lógicas defi nidas no universo das proposições e no uni-
verso lógica { }L = V, F
Objectivo
Ao completar esta lição, esperamos que você seja capaz de:
Explicar e efectuar as operações de:• 
Negação• 
Conjunção• 
Disjunção• 
Implicação e Equivalência material• 
Provar com • tabelas de verdade as propriedades estudadas
Terminologia
Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de ta-
bela matemática usada em lógica para determinar se uma expressão é 
verdadeira e válida.
1. Introdução
A lógica matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciên-
cia do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática 
desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Bo-
ole, matemático inglês, criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e 
operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações.
28 Lógica e Teoria de Conjuntos
Assim meu caro estudante nesta lição vamos apresentar as operações 
lógicas defi nidas no universo lógico onde apresentaremos detalhadamente 
as operações de Conjunção, disjunção, implicação material e da Equivalên-
cia material acompanhadas pelas suas respectivas tabelas de verdade.
2. NEGAÇÃO (~)
Consideramos a proposição
p: Saidinho escreveu o livro de Biologia.
A negação dessa proposição é uma nova proposição que se represen-
ta por ~ p e se lê: não é verdade que p ou simplesmente não p.
Assim, ~ p: não é verdade que Saidinho escreveu livro de Biologia.
Em linguagem corrente, também se diz ~ p: Saidinho não escreveu o 
livro de Biologia.
Defi nição 
A negação de uma proposição p é uma nova proposição ~ p, que se 
obtêm da anterior antepondo-lhe as palavras «não é verdade» e que é ver-
dadeira se p é falsa e é falsa se p é verdadeira.
Exemplos:
(1) p: Eu estudo lógica.
~ p: não é verdade que estudo lógica ou
~ p: eu não estudo lógica.
(2) R: todos os alunos da escola estudam Matemática
~ r: Não é verdade que todos alunos da escola estudam Matemática, ou
~ r: nem todos os alunos da escola estudam Matemática.
Breve Historial e Introdução à Lógica 29
Tabela 1. Tabela de verdade da negação
p ~p
V F
F V
ou 
Tabela 1.1.Tabela de verdade da negação
p ~p
1 0
0 1
Assim: ~V = F e ~F = V
Actividade I
1. Seja a seguinte proposição:
p: Está calor.
Agora você deverá traduzir em linguagem corrente:
~p :
_________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Resposta
Conforme vimos no exemplo podemos escrever de duas formas:
~p: Não é verdade que está calor ou
 ~p: Não está calor.
30 Lógica e Teoria de Conjuntos
3. CONJUNÇÃO (P ∧ Q)
Duas afi rmações quaisquer podem ser combinadas pela letra “e” para 
formar uma afi rmação composta denominada a conjunção das afi rmações 
originais: simbolicamente, p ∧ q. (lê-se “p e q”)
Exemplo:
Seja p: “está chovendo” e q: o sol está brilhando.
p ∧ q: “está chovendo e o sol está brilhando”.
O valor lógico da afi rmação composta p ∧ q satisfaz a seguinte pro-
priedade:
“se p é verdadeira e q é verdadeira, então p • ∧ q é verdadeira; caso 
contrario p ∧ q é falsa.”
Por outras palavras, a conjunção de duas afi rmações é verdadeira 
quando ambas forem verdadeiras.
Tabela 2. Tabela de verdade de conjunção
p q p ∧ q
V V V
V F FF V F
F F F
ou 
Tabela 2.1 Tabela de verdade de conjunção
p q p ∧ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Breve Historial e Introdução à Lógica 31
Actividade 2
Seja as seguintes proposições:
p: Está frio
q: está chovendo
Agora você deverá traduzir em linguagem corrente:
a) ~p
b) p ∧ q
c) ~q
_________________________________________________________
_________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Resposta
a) ~p: Não está frio. 
b) p ∧ q: Está frio e está chovendo. 
c) ~q: Não está chovendo.
4. DISJUNÇÃO INCLUSIVA (P ∨ Q)
Chama-se disjunção inclusiva de duas proposições p e q a uma nova 
proposição p ∨ q (lê-se p ou q) que é verdadeira quando pelo menos uma 
das proposições for verdadeira.
Exemplo:
Consideremos as seguintes proposições:
(1) Tete fi ca em Moçambique ou 2 + 2 = 4
(2) Tete fi ca em Moçambique ou 2 + 2 = 5
32 Lógica e Teoria de Conjuntos
(3) Lisboa fi ca na França ou 2 + 2 = 4
(4) Lisboa fi ca na França ou 2 + 2 = 5
De acordo a definição somente (4) é falsa. Todas as outras são 
verdadeiras.
Tabela 3. Tabela verdade de disjunção
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
ou 
Tabela 3.1 Tabela verdade de disjunção
p q p ∨ q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Atividade 3
Sejam as seguintes proposições:
p: Ele é alto.
q: Ele é bonito. 
Breve Historial e Introdução à Lógica 33
Escreva na linguagem simbólica 
a) Ele é alto e bonito.
b) Ele é alto, mas não bonito.
c) Ele é alto ou bonito.
_________________________________________________________
_________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Resposta
a) qp ∧ 
b) qp ~∧ 
c) p ∨ q
5. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ∨
A disjunção exclusiva de duas proposições, p e q é uma nova pro-
posição p ∨ q (lê-se ou p ou q) que é verdadeira quando p e q têm valores 
lógicos distintos.
Exemplo:
1. p: compro sapatos.
q: compro botas.
p ∨ q: Ou compro sapatos ou compro botas. O seu valor lógico 
dependerá da acção do comprador; se realizar ou não as duas acções, 
evidentemente que p ∨ q será falsa.
34 Lógica e Teoria de Conjuntos
2. r: 3 + 5 = 8 (V)
q: 1 + 5 = 6 (V)
p ∨ q: 3 + 5 ∨ 1 + 5 = 6 (F)
3. p: 1 + 5 = 7 (F) 
Q: 1 < 8 (V)
p ∨ q: 1 + 5=7 ∨ 1 + 5 < 8 (V)
Tabela 4. Tabela verdade da disjunção exclusiva
p q p ∨ q
V V F
V F V
F V V
F F F
ou
Tabela 4 .1 Tabela verdade da disjunção exclusiva
p q p ∨ q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
6. IMPLICAÇÃO MATERIAL ( ⇒ )
Consideremos duas proposições:
Breve Historial e Introdução à Lógica 35
p: Euler é maior de 18 anos.
q: Euler tem direito de voto.
Ligando estas duas proposições pelas palavras se.... então.... obtemos 
a proposição se p então q e que se representa p ⇒ q.... (lê-se p implica q).
Assim, p ⇒ q: se Euler é maior de 18 anos, então Euler tem direito 
a voto.
A proposição p chama-se antecedente e a proposição q consequente.
Esta proposição é verdadeira visto que se considera que uma implica-
ção só é falsa se sendo o antecedente verdadeiro é falso o consequente.
Nota-se, no entanto, que o signifi cado da palavra «implicação» se 
afasta muitas vezes do sentido que tem na linguagem corrente.
Por exemplo:
As galinhas têm dentes ⇒ hoje chove e afi rmar-se que é uma pro-
posição verdadeira. Mas dizer em linguagem corrente, se as galinhas têm 
dentes, então hoje chove parece-nos sem sentido.
É por esta razão que em lógica Matemática se diz não apenas implica-
ção, mas sim implicação material.
Tabela 5. Tabela verdade de implicação material
p q p ⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V
ou
36 Lógica e Teoria de Conjuntos
Tabela 5.1 Tabela verdade de implicação material
p q p ⇒ q
1 1 V
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Actividade 4
Indiquemos por
p: ele é rico. 
q: ele é feliz.
Escrever cada afi rmação na forma simbólica usando p e q:
a) Se ele é rico, então é infeliz.
b) Ele não é rico, nem feliz.
c) É necessário ser pobre para poder ser feliz.
Resposta
a) p q⇒~ 
b) ~ p q∧ ~∧ 
c) q p⇒~ 
7. EQUIVALÊNCIA MATERIAL ( ⇔ )
Chama-se equivalência material de duas proposições p e q, a uma 
proposição p ⇔ q (lê-se p se e somente se (sse) q ou p equivalem a q) que 
é verdadeira quando p e q tem um mesmo valor lógico.
Breve Historial e Introdução à Lógica 37
Exemplos:
p: mdc 2,6 4= (F)
1.
q: mmc 2 6, = 6 (V)
p ⇔ q: mdc 2,6 4= ⇔sse mmc 2 6, = 6 p ⇔ q (F)
2. p: José Craveirinha é um poeta. (V)
q: Lurdes Mutola é uma atleta. (V)
p ⇔ q: José Craveirinha é um poeta ⇔
sse Lurdes Mutola é uma atleta (V)
3. p: 1+ 2 = 4 (F)
q: 5 > 8 (F)
☺p ⇔ q : 1+ 2 = 4 ⇔sse 5 > 8 (V), apesar de p ser falso e q 
também falso.
Tabela 6. Tabela verdade de equivalência material ( ⇔ )
p q p ⇔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ou
38 Lógica e Teoria de Conjuntos
Tabela 6 .1 Tabela verdade de equivalência material ( ⇔ )
p q p ⇔ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Atividade 6
Considere as proposições a seguir:
a) Pedro estuda Matemática.
b) Pedro quer seguir ciências.
c) Pedro quer seguir letras.
Traduza em linguagem corrente
a) ⇔a b
b) ⇔a ~ c
c) ∧ ⇔(a b ) ~ c
Resposta
a) Pedro estuda Matemática se quer seguir Ciências.
b) Pedro estuda Matemática se e somente se não quer seguir Letras.
c) Pedro estuda Matemática e quer seguir Ciências se e somente se não quer 
seguir Letras.
SUMÁRIO
Nesta lição você aprendeu as operações lógicas defi nidas no universo 
lógico, o caso de conjunção, disjunção, implicação e equivalência material 
tudo demonstrado com recurso as tabelas de verdade.
Breve Historial e Introdução à Lógica 39
ACTIVIDADE AUTOAVALIAÇÃO
Terminada a lição tem em seguida uma actividade de auto-avaliação 
para verifi car o seu grau de assimilação dos conteúdos. Caso não consiga 
resolver todas as perguntas volte a ler o texto
Autoavaliação
Considere as três proposições a seguir:
p: + =2 2 5 
q: π é um número irracional.
r: 3 é um número irracional.
Agora você deverá traduzir em linguagem corrente
a) ⇒p ~ q
b) ⇒~ p r
c) ( )∧ ⇒q r ~ p
d) ( )∨ ⇒p ~ r ~ p
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
Resposta
a) Se 2+2 = 5 então π não é um número irracional.
b) Se 2+2 ≠ 5 então 3 é um número irracional.
c) Se 2+2 = 5 e 3 é um número irracional então π não é um número irracional.
d) Se 2+2 = 5 ou 3 não é um número irracional então 2+2 ≠ 5.
40 Lógica e Teoria de Conjuntos
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO
Na proxima lição daremos continuidade as operações lógicas. Nela 
você estudará a operação de dupla negação, as propriedades da conjunção e 
da disjunção e as propriedades da implicação.
Breve Historial e Introdução à Lógica 41
LIÇÃO 3 – PROPRIEDADES DA NEGAÇÃO
Objectivos
Ao completar esta lição, esperamos que você seja capaz de:
Utilizar de forma correcta as propriedades:• 
da Negação;• 
da conjunção e da disjunção;• 
da ligação de uma conjunção e disjunção;• 
negação da implicação;• 
da lei de Conversão;• 
de equivalência material.• 
1. Introdução
Nesta lição vamos apresentar detalhadamente a operação de dupla 
negação,as propriedades da conjunção e da disjunção e as propriedades 
da implicação. 
Caro estudante, em seguida vamos apresentar a maneira de fazer pro-
va de qualquer das propriedades para além das tabelas de verdade, razão pela 
qual achamos mais uma vez de poder fazer estudo de uma forma cuidadosa, 
pois as propriedades em lógica simbolica representam o caminho mais ideal 
para se chegar a verdade.
2. DUPLA NEGAÇÃO
A dupla negação corresponde à afi rmação ~ ~ p = p 
Exemplo:
p: Kevin é estudante.
42 Lógica e Teoria de Conjuntos
~ p = Kevin não é estudante.
~ ~ p = não é verdade que Kevin não é estudante,o que equivale a 
dizer. Kevin é estudante. 
3. LEIS DE DE MORGAN: 
Terminologia
Augustus De Morgan (Madura, Índia, 27 de junho de 1806 – Londres, 
18 de março de 1871) foi um matemático e lógico britânico. Formulou 
as Leis de De Morgan e foi o primeiro a introduzir o termo e tornar 
rigorosa a idéia da indução matemática.
a) Negar que duas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale 
a afi rmar que uma pelo menos é falsa: 
~ ( )∧ ∨p q = ~p ~q 
Tabela 1. Tabela Verdade Leis de De Morgan
p q ~ p ~ q p ∧ q ~ ( )∧p q ∨~ p ~ q
V V F F V F F
V P F V F V V
F V V F F V V
F F V F F V V
b) Negar que pelo menos uma de duas proposições é verdadeira equivale a 
afi rmar que as duas são simultaneamente falsas: ~ ( )∨ = ∧~ ~p q p q
Exemplo:
1) Dadas as seguintes proposições:
Breve Historial e Introdução à Lógica 43
p: O Pedro é estudante. q: O Pedro é trabalhador.
p ∧ q: O Pedro é estudante e trabalhador.
Negar (p ∧ q) equivale a dizer qp ~~ ∨
Ou seja em linguagem corrente:
O Pedro não é estudante e/ou não é trabalhador.
Da mesma forma que o exemplo 1 temos em linguagem corrente o 
exemplo 2:
Negar que,
O João estuda Matemática ou física equivale a dizer que o João não 
estuda Matemática e não estuda física.
4. PROPRIEDADE DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
Supondo que p, q e r designam qualquer dos valores lógicos V e F, da 
defi nição: podem se concluir as seguintes propriedades:
Tabela 2. Tabela das propriedades da conjunção e da disjunção
Propriedades Conjunção Disjunção
Comutativa pq=qp ∧∧ pq=qp ∨∨
Associativa ( ) ( )rqp=rqp ∧∧∧∧ ( ) ( )rqp=rqp ∨∨∨∨
Elemento Neutro p=pV=Vp ∧∧
V é o elemento neutro
p=pF=Fp ∨∨
V F é o elemento neutro
Elemento Absor-
vente
F=pF=Fp ∧∧
F é o elemento absorvente
V=pV=Vp ∨∨
V é o elemento absorvente
Idempotência p=pp ∧ p=pp ∨
44 Lógica e Teoria de Conjuntos
4.1 Propriedades de ligação da conjunção e da disjunção
A conjunção é distributiva em relação à disjunção• 
( ) ( ) ( )∧ ∨ ∧ ∨ ∧p q r = p q p r
Vamos demonstrar essa propriedade pela tabela a seguir
Tabela 3. Tabela Verdade da proprieddade da conjunção que é distri-
butiva em relação à disjunção
( ) ( ) ( )∧ ∨ ∧ ∨ ∧p q r = p q p r
V V V V V V V V V V V V
V V V V F V V V V V F F
V V F V V V F F V V V V
V F F F F V F F F V F F
F F V V V F F V F F F V
F F V V F F F F F F F V
V V F V V V F F V V V V
Actividade I
Construa a tabela verdade para demonstrar a propriedade: a disjunção é distri-
butiva em relação à conjunção.
1 2
Breve Historial e Introdução à Lógica 45
As colunas 1 e 2 são iguais logo, a conjunção é distributiva em rela-
ção a disjunção.
A disjunção é distributiva em relação a conjunção• 
( ) ( ) ( )∨ ∧ ∨ ∧ ∨p q r = p q p r
5. PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO
5.1 Relação da implicação material com a disjunção: 
qp=qp ∨⇒ ~ (1)
Demonstração
Tabela 4. Tabela verdade da relação da implicação material 
com a disjunção
qp=qp ∨⇒ ~
V V V F V V
V F F F F V
F V V V V V
F V F V V F
Como 1 é igual 2 então a propriedade fi ca provada.
Assim, dizer que p implica q, equivale a afi rmar que p é falsa ou q é 
verdadeira.
De qp=qp ∨⇒ ~ , então qp=qp=qp ∨∨⇒ ~~~ . 
Assim, qp=qp ⇒∨ ~ (2)
46 Lógica e Teoria de Conjuntos
5.2 Negação da implicação:
( ) ( ) .~~~~ qp=qp=qp ∧∨⇒ portanto, ( ) .~~ qp=qp ∧⇒
Dizer que não é verdade que p implica q, é o mesmo que afi rmar que 
p é verdadeiro e q é falso.
5.3 Lei da conversão:
pq=qp ~~ ⇒⇒
Com efeito, já que qp=qp ∨⇒ ~ . Como a disjunção é comutativa 
temos: pq=qp ~∨⇒ . Atendo (2) vem: pq=qp ~~ ⇒⇒ . c.q.d.
Dizer que p implica q, é o mesmo quer afi rmar que se q é falso p 
também é falso.
6. PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA MATERIAL
6.1 A equivalência material como conjunção de 
implicações
( ) ( )pqqp=qp ⇒∧⇒⇒
Demonstração
Tabela 5. Tabela verdade da equivalência material como conjunção 
de implicações
( ) ( )pqqp=qp ⇒∧⇒⇒
V V V V V V V V V V 
V F F V F F F F V V
F F V F V V F V F F 
F V F F V F V F V F
Breve Historial e Introdução à Lógica 47
6.2 Negação da Equivalência
Como já foi visto, ( ) ( )pqqp=qp ⇒∧⇒⇒ . 
Transformando as implicações em disjunções,
vem ( ) ( )pqqp=qp ∨∧∨⇒ ~~ ,
logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇔ ∨ ∧ ∨ ∨ ∨ ∨⎡ ⎤⎣ ⎦~ ~ ~ ~ ~ ~ ~p q = q p q p = p q q p
Assim: ( ) ( )pqqp=qp ~~ ∧∨∧⇒
7. APLICAÇÃO DAS PROPRIEDADES
Uma importância utilização das propriedades é a minimização de ex-
pressões. Trata-se de, por razões de economia do pensamento e do tempo, 
reduzir uma expressão a outra equivalente mas com um número mínimo de 
operações lógicas a efectuar.
Exemplo:
Simplifi car as expressões
1. ( )baa ∨∧ ~
2. ( )baa ∨∧
3. ( ) bba ⇔⇒ .
Resolução
1. ( ) ( ) ( )baaa=baa ∧∨∧∨∧ ~~ . Mas F=aa ~∧
( ) ba=baF= ∧∧∨ pois F é elemento neutro da disjunção.
2. ( )baa ∨∧ . Sabendo que a=Fa ∨ , 
48 Lógica e Teoria de Conjuntos
então: ( ) ( ) ( )baFa=baa ∨∧∨∨∧ 
( )
a=
Fa=
bFa=
∨
∧∨
3. ( ) bba ⇔⇒
Começamos por transformar a implicação em disjunção e em segui-
da a equivalência na conjunção.
( ) ( ) bba=bba ⇔∨⇔⇒ ~ . Como q,p=qp ∨⇒ ~ então:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]babbba=babbba ∨∨∧∨∧∨⇒∧⇒∨ ~~~~~ 
( ) ( )[ ] ( )[ ]bbabbba= ∨∨∧∨∧∨ ~~~ . Sabendo se que
 ( )V=pp ∨~ , tem-se: ( )[ ] [ ]VaVba= ∨∧∧∨ ~ . V É neutro da conjun-
ção e absorvente da disjunção: ( )[ ] ba=Vba= ∨∧∨ .
SUMÁRIO
Nesta lição demos continuidade no estudo das operações lógicas. 
Nela você estudou a operação de dupla negação, as propriedades da conjun-
ção e da disjunção e as propriedades da implicação. Fechando com a aplica-
ção das propriedades vistas ao longo da lição.
Como você pode perceber, o estudo das propriedades das operações 
lógicas dominaram esta lição, motivos mais que sufi ciente para que você lê 
e relê as propriedades.
Breve Historial e Introdução à Lógica 49
Autoavaliação
1. Sabendo que p tem um valor lógico v, indique o valor lógico da negação de 
cada uma das proposições.
1.1. ∨~q p ; 
1.2 ( )⇒ ∨~p q r ; 
1.3 ( )∧ ⇒~ ~r p r
2. Sem o uso do símbolo de negação (~) escreva a negação das seguintes pro-
posições:
2.1 ( )∧ ∧~a b c ; 
2.2 ( )∨ ∧~ ~a b c ; 
2.3 ∨~a b
2.4 5 7 9< < ; 
2.5 ∨ −3 2 3 2> > ; 
2.6 ⇔ ≠2 2 5 2 2 4+ = +
2.7 × ⇔ ×2 3 5 2 3 1 7= + =
3. Simplifi que as expressões
3.1 ( )∨ ∧~a a b
3.2 ( )∨ ∧a a b
3.3 ( ) ( )∧ ∧ ∨~a b a b
3.4 ( )⇒ ⇒~a b b
50 Lógica e Teoria de Conjuntos
3.4 ( )⇒ ⇒~a b b
3.5 ( ) ( )[ ]⇒ ⇒ ∨ ⇒. ~a b a a b
3.6 ( ) ( )[ ]⇒ ∧ ⇒ ∨~b a a b a
4. Considere a proposição p: ( )⇒ ∨ ⇒ ∧~ ~ .a a b a b
Prove que, quaisquer que sejam os valores lógicos de a e b se tem p = a .
4.1. Utilizando uma tabela de verdade
4.2. Simplifi cando p.
5. Sejam a, b e c três proposições:
a) A Alzira estuda física
b) A Alzira estuda matemática
c) A Alzira estuda Biologia
5.1. Traduza em linguagem corrente a negação de ∨a b
5.2. Admitindo como falsa a proposição ( ) ( )⇒ ∨ ∧~a b a c diga quais são 
as disciplinas estudadas pela Alzira.
6. Sabe-se que as proposições ∨ ⇒~ ~p b,c d e p são simultaneamente ver-
dadeira. Qual o valor lógico das proposições b, c e d?
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO:
Na proxima lição você aprenderá que existem outros operadores ló-
gicos, porém eles são utilizados apenas para as expressões com variáveis.
Breve Historial e Introdução à Lógica 51
LIÇÃO 4 – QUANTIFICADORES 
Objectivos
Ao completar esta lição, esperamos que você seja capaz de:
reconhecer e saber aplicar os quantifi cadores na tradução das ex-• 
pressões correntes quantifi cadas e vice-versa
negar as frases quantifi cadas universalmente ou existencial.• 
1. Introdução
Na expressão x + 2 = 6, contém a variável x, cujo valor lógico (V ou 
F) vai depender do valor atribuido à variável.
Mas se trocarmos x por 4, a expressão x + 2 = 6 é verdadeira e se tro-
carmos o x por outro valor, a expressão continuará sendo verdadeira?
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1238452 – Chris Baker
Nesta aula vamos aprender um pouco mais sobre o que acontece 
com as expressões com variáveis.
52 Lógica e Teoria de Conjuntos
2. QUANTIFICADORES E QUANTIFICAÇÃO
Além das operaçõeslógicas já estudadas temos ainda a considerar 
mais duas que se aplicam a expressões com variaveis:
Quantifi cação universal• 
Quantifi cação existencial• 
Estas operações correspondem na linguagem corrente às palavras 
“todo” e “algum”.
Todo ∀ (quantifi cador universal)
Algum ∃ (quantifi cador existencial)
2.1 Quantifi cador universal
Consideremos, em IN, a condição universal 0x >
Para traduzir em linguagem corrente que esta proposição é universal, 
escreve-se “Todo o número natural é maior do que zero”. E em linguagem sim-
bólica escreve-se ∀ ∈ 0x IN : x > .
Por causa deste símbolo a condição de que partimos transformou-se 
numa proposição (verdadeira).
De uma maneira geral o símbolo ∀ referido a uma variável defi ne 
uma operação lógica que transforma uma condição nessa variável numa 
proposição. A esta operação chama-se quantifi cação universal e no respectivo 
símbolo quantifi cador universal.
Como o quantifi cador universal destina a afi rmar que, num dado 
universo, uma condição é universal:
A proposição obtida é • verdadeira, se a condição universal
A proposição é • falsa se a condição não é universal.
 
 
Breve Historial e Introdução à Lógica 53
Exemplos
1. ∀ ∈ 1x IR,x + > x (proposição verdadeira)
2. ∀ ∈ 1x IR,x + > x (proposição falsa)
O símbolo ∀ ainda se pode ler: «qualquer que seja»; «para qual-
quer»; «para cada».
Quando à escrita, o quantifi cador pode aparecer.
Antes da condição e separado dela por uma virgula ou dois pontos;• 
Depois da condição e separado dela por uma virgula.• 
A virgula e dos dois pontos são dispensáveis se a variável se escreve 
em índice.
Assim, a proposição ∀ ∈ 0x IN,x > pode escrever-se ainda das se-
guintes formas:
∀ ∈ 0x IN : x >
∈∀ 0x IN x >
∀ ∈0x > ; x IN
∈∀0 x INx >
2.2 Quantifi cador existencial
Da a condição possível 1 0IR : x + = . Pode afi rmar-se. «Existe pelo 
menos um número real que verifi ca a condição 1 0x + = ».
O símbolo ∃ (lê-se, existe pelo menos um) referido a uma variável; 
defi ne uma operação lógica que transforma uma condição nessa variável 
numa proposição.
54 Lógica e Teoria de Conjuntos
A esta operação chama-se quantifi cação existencial ao respectivo sím-
bolo quantifi cador existencial.
Como o quantifi cador de existência se destina a afi rmar que, num 
dado universo, uma condição é possível:
A proposição obtida • é verdadeira, se a condição é possível
A proposição obtida • é falsa, se a condição é impossível.
Exemplo:
1. ∃ ∈ −2 4 0x IR : x = (V)
2. ∃ ∈ 0n IN : n > (V)
3. ∃ ∈ 2 1 0x IR : x + = (F)
3. VARIÁVEIS MUDAS E VARIÁVEIS LIVRES. 
QUANTIFICAÇÃO PARCIAL
Quando um quantifi cador incide sobre uma variável, esta chama-se 
muda, aparente ou ligada; a uma variável não quantifi cada chama-se livre.
Exemplos:
1. Nas condições em 2xx < e 3 5,x + = é uma variável livre
2. Nas proposições ∀ ∈ 2x+x IR x < e ∃ ∈ 3 5x IR : x + = x é uma 
variável muda.
Contudo, numa expressão podem aparecer simultaneamente variá-
veis livres e variáveis mudas.
Exemplo:
Em IR, a expressão ∃ ∈ 2 0x IR : x + y = não é variável muda e y va-
riável livre.
Breve Historial e Introdução à Lógica 55
Observe que a expressão ∃ ∈ 2 0x IR : x + y = não é 
uma proposição mas sim uma condição na variável y.
Fonte: http://www.sxc.hu/
photo/264140 – Adam 
Ciesielski
Por exemplo:
Se 1y = vem 012 =+x:IRx∈∃ , que é uma proposição falsa.
Se y = − 4 vem 042 =x:IRx −∈∃ , que é uma proposição 
verdadeira.
Dum modo geral, dada uma condição com mais de duas variáveis 
livres, a aplicação de uma quantifi cador transforma a condição noutra com 
menos uma variável livre.
Actividade I
Negue a proposição:
a) Todo o estudante que frequenta este curso é bem comportado
________________________________________________________
________________________________________________________
Resposta
a ) Existe pelo menos um estudante que frequenta este curso que não é bem compor-
tado. Ou seja, Nem todo o estudante que frequenta este curso é bem comportado.
56 Lógica e Teoria de Conjuntos
3.1 Quantifi cação múltipla
Consideremos em IR, a condição . A partir desta condição para ob-
termos uma proposição há que utilizar dois quantifi cadores (quantifi cação 
múltipla).
1. Utilizando duas vezes o quantifi cador universal:
∀ ∈x IR ∀ ∈y IR : y = x ou ∀ ∈y IR : y = x – quaisquer dois nú-
meros reais são iguais: Proposição falsa
2. Utilizando duas vezes o quantifi cador existencial:
∃ ∈x IR ∃ ∈y IR : y = x – existem pelo menos dois números reais 
que são iguais: proposição verdadeira.
3. utilizando quantifi cadores diferentes:
• ∀ ∈x IR ∃ ∈y IR : y = x – para todo o número real existe pelo 
menos um outro número real igual a ele: Proposição verdadeira.
• ∃ ∈x IR ∀ ∈y IR : y = x – existe pelo menos um número real 
que é igual a todos os números reais: Proposição falsa.
SUMÁRIO
Nesta lição você aprendeu como usar correctamente os quantifi ca-
dores universal tanto como o existencial e de forma como negar as frases.
Caso tenha muitos problemas deve repetir a lição, seguindo com cui-
dado todos os passos dados nos exemplos.
Breve Historial e Introdução à Lógica 57
Autoavaliação
1.Negue as proposições:
a) Existe pelo menos um estudante deste curso que está doente.
b) Existe um planeta que é habitável.
c) Para todo número natural n, tem-se n+2 > 8.
Resposta
a) Qualquer que seja o estudante deste curso, ele não está doente, ou seja, nenhum 
estudante deste curso está doente.
b) Todos os planetas não são habitáveis, ou seja, nenhum planeta é habitável.
c) Existe pelo menos um número natural n tal que n+2 ≤ 8 .
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO:
Na próxima lição você aprenderá como é efetuada a negação dos 
quantifi cadores.
Breve Historial e Introdução à Lógica 59
LIÇÃO 5 – SEGUNDAS LEIS DE DE MORGAN
Objectivos
Ao completar esta lição, esperamos que você seja capaz de:
aplicar a segunda lei de De Morgan• 
1. Introdução 
Consideramos um conjunto M dos alunos da turma e as proposições:
1. ∀ ∈x M, x estuda Matemática.
2. ∃ ∈x M : x visitou Tete.
Em linguagem corrente traduzem-se respectivamente, por:
1. Todos os alunos da turma estudam Matemática.
2. Há pelo um aluno na turma que visitou Tete.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/63491 – Tim & Annette
60 Lógica e Teoria de Conjuntos
Vamos negar estas proposições em linguagem corrente:
1. Nem todos os alunos da turma estudam Matemática.
2. Nenhum aluno de turma visitou Tete.
Traduzindo em linguagem simbólica,
1. ∃ ∈x M : x não estudam Matemática.
2. ∀ ∈x M, x não visitou Tete.
Logo, ~( ∀ ∈x M, x estuda Matemática) ⇔ ∃ ∈x M : x não estu-
da Matemática.
~( ∃ ∈x M : x visitou Tete) ⇔ ∀ ∈x M, x não visitou Tete.
Assim,
1ª – A negação transforma o quantifi cador universal em quantifi ca-
dor existencial seguido de negação: ~ ~∀ ⇒ ∃ 
2º – A negação transforma o quantifi cador de existência no quantifi -
cador universal seguido de negação: ~ ~∃ ⇒ ∀
Estes dois enunciados são conhecidos por segundas leis de De Morgan.
Nesta lição vais aprender que a negação transforma o quantifi cador 
universal em quantifi cador existencial seguido de negação e vice-versa.
2. IMPLICAÇÃO FORMAL
Ligando duas condições pelo símbolo de implicação material ( ⇔ ) 
obtem-se uma nova condição que pode ser ou não uma condição universal.
Assim, por exemplo, no universo dos seres vivos e dos números reais:
Breve Historial e Introdução à Lógica 61
x é homem • ⇒ x é mortal → uma condição universal.
Em • 3 1IR,x > x >⇒ → uma condição universal.
Em • < ⇒ < →IR , x 1 x 5 uma condição universal.
Se a condição obtida é universal diz-se que a primeira condição im-
plica formalmente a segunda.
O símbolo utilizado para exprimir a implicação formal é « ⇒ ».
Assim, escrever:
1. x é homem ⇒ é mortal; e afi rmar que é universal a condição x é 
homem ⇒ x é mortal.
Em linguagem corrente: «todos os homens são mortais».
2. 3 1x > x >⇒ (em IR) é afi rmar que é universal a condição 
3 1x > x >⇒ .
Em linguagem corrente: «Todoo número real maior que três é maior 
do que um».
Tome Nota!
De uma condição universal passa-se a uma propo-
sição. Como já foi visto, o mesmo pode conseguir-
se utilizando um quantifi cador universal.
Fonte: http://www.sxc.hu/
photo/1109777 – Ignacio 
Leonardi..
Assim, escrever em R: 3 1⇒x > x > é o mesmo que escrever 
∀ ∈x IR, 3 1⇒x > x > .
62 Lógica e Teoria de Conjuntos
A implicação formal equivale à quantifi cação universal de uma impli-
cação material entre condições ( ) ( ) ( ) ( )
•
⇒ = ∀ ⇒p x q x xp x q x .
Muitas vezes, no lugar de ( ) ( )
•
⇒p x q x escreve-se ( ) ( )
×
⇒p x q x
2.1 Implicação formal e inclusão de conjuntos
A veracidade da proposição 3 1⇒x > x > (em IR) signifi ca que é 
universal a condição 3 1⇒x > x > .
Está eliminada a possibilidade de encontrar um número que seja maior 
que três e não seja maior que um. Por outras palavras: O conjunto defi nido pela 
condição 3x > está incluído no conjunto defi nido pela condição 1x > .
{ } { }: : 1∈ > ⊂ ∈ >x IR x x IR x
Numa dado universo, diz-se que uma condição implica formalmente 
outra condição se o conjunto – solução da primeira está contido no conjunto 
– solução da segunda.
Exemplo:
1. Sejam em IN, as condições: n é múltiplo de 10; n é par
Como { ∈n IN : n é múltiplo de 10 } {⊂ ∈n IN : n é par } . 
Em linguagem corrente, «todo o múltiplo de 10 é par».
2. Em IR, ( )2 23 0 0− + = ⇒ < Ο ⊂ Ο/ /x x x
3.Em IR ( )( )1 3 0 0− ⇒x+ x = x > . De facto:
( )( )1 3 0 10 3 0− ⇔ − ∨ −x+ x = x x =
{ }
1 3
1 3
⇔ ∨
⇔
x = x =
;
 
e 0 0⇔ ∈ ∞x > x ] ;+ [ , logo { }1 3 0⊂ ∞; ] ;+ [
Breve Historial e Introdução à Lógica 63
3. PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO FORMAL
Atendendo a que a implicação formal se transforma numa implicação 
material para cada concretização de variáveis, as propriedades de implicação 
material são extensivas à implicação formal.
1ª Propriedade transitiva:( ) ( ) ( )⇒ ∧ ⇒ ⇒ ⇒m p p q m q . Em linguagem de conjuntos traduz-se por ( ) ( ) ( )⊂ ∧ ⊂ ⇒ ⊂M P P Q M Q .
2ª Lei de conversão: ( )~ ~⇒ ⇔ ⇒m p p m
Exemplo:
1. em IR 0 0 0⋅ ⇒ ∨x y = x = y =
Lei de conversão: ( ) ( )~ 0 0 ~ 0∨ ⇒ ⋅x = y = x y =
( )0 0 0≠ ∧ ≠ ⇒ ⋅ ≠x y x y
2. x é sardinha ⇒ x é um peixe.
Então: x não é peixe ⇒ x não é sardinha.
3ª Tradução em disjunção e negação: ( ) ( )~⇒ ⇔ ∀ ∨m p x m p
Exemplo:
21 1⇒ ⇔ ∀ ∈x = x = x IR , 21 1≠ ∨x x = (V)
4ª Negação
Sabendo que ~⇒ ⇔ ∀ ∨p(x) q(x) x p(x) q(x) , aplicando as leis 
de Morgan, vem:
( ) ( )2 2 2~ 2 4 ~ , 2 4 : 2 4> ⇒ > ⇔ ∀ ≤ ∨ > ⇔ ∃ > ∧ ≤x x x x x x x x
64 Lógica e Teoria de Conjuntos
4. EQUIVALÊNCIA FORMAL COMO DUPLA 
IMPLICAÇÃO
Condições necessárias e condições sufi cientes
Se uma condição implica formalmente outra, diz-se que:
1. A primeira é condição sufi ciente para se verifi car a segunda.
2. A segunda é condição necessária para se verifi car a primeira.
Se ( ) ( )⇒p x q x 
( )p x é uma condição sufi ciente para verifi car ( )q x
( )q x é condição necessária para que se verifi que ( )p x
Exemplo:
No universo dos seres vivos:• 
x é gato ⇒ x é quadrúpede.
Ser gato é condição sufi ciente para ser quadrúpede.
Ser quadrúpede é condição necessária para ser gato.
3. No conjunto das rectas do plano: / /∩ = Ο ⇒/r s r s
Uma condição sufi ciente para que duas rectas do plano sejam pa-• 
ralelas é não terem pontos comuns.
Uma condição necessária para que duas rectas do plano não te-• 
nham pontos comuns é serem paralelas.
Se se verifi ca ao mesmo tempo e ( ) ( )⇒p x q x e ( ) ( )⇒
p
q x x então as 
condições ( )p x e ( )q x são formalmente equivalentes e pode escrever-se
( ) ( )⇒p x q x
Breve Historial e Introdução à Lógica 65
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
• • •
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇔ ⇔ ⇒ ∧ ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
p x q x p x q x q x p x
E diz-se neste caso que ( )p x é uma condição necessária e sufi ciente 
para que se verifi que
 ( )q x . 
SUMÁRIO
Nesta lição você aprendeu a usar as segundas leis de Morgan.
1ª – A negação transforma o quantifi cador universal em quantifi ca-
dor existencial seguido de negação : ~ ~∀ ⇒ ∃ .
2º – A negação transforma o quantifi cador de existência no quantifi -
cador universal seguido de negação: ~ ~∃ ⇒ ∀ .
E também foi falado detalhadamente sobre implicação formal, impli-
cação formal e inclusão de conjuntos, as propriedades da implicação formal 
e fi nalizamos com equivalência formal como dupla implicação:condições 
necessárias e condições sufi cientes.
Autoavaliação
I. Considere a condição 
x y>
 e forme as proposições quantifi cadas, diga quais 
são verdadeiras e escreva as suas negações.
________________________________________________________
________________________________________________________
Resposta
I.Por se tratar duma condição com duas variáveis podemos considerar seis casos:
1) y∀ ∀x y >: x∀∀ Quaisquer que sejam os valores de x e y x > y, evidentemente a 
proposição é falsa, note por exemplo x = 1 e y = 2.
66 Lógica e Teoria de Conjuntos
A negação vem: ( )~ : x y y : x y Prp.verdadeira( ): x y y : x : x y y : x) : x y : x y): x y : x y : x y)
2) y∀ ∃x y > : x ∃ Para todo e qualquer x existe pelo menos um y, tal que 
 x > y Prp.verdadeira
A negação vem: ∃ ∀ ≤: xx y y:∀ ≤∀ : x
3) : x y Prop.Verdadeira∀ ∃y x > : x∃
A sua negação vem: ∃ ∀ ≤: xy x y:∀ ≤∀ : x
4) : x Prop.falsa∃ ∀y x > y: x∀∀ 
5) : x : x Prop.falsa∃ ∀x y y y x y: x : x : x∀∀ : x
6) : x y Prop.Verdadeira∃ ∃x y > : x∃
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO
Na proxima lição você aprenderá como é efetuada a negação dos 
quantifi cadores.
2
INTRODUÇÃO À TEORIA DE CONJUNTOS
Saíde Issufo Momade
Abudo Atumane Ossofo
Objectivos da unidade
Ao completar esta unidade, esperamos que você seja capaz de:
1. conceituar conjuntos e subconjuntos. 
2. realizas as operações entre conjuntos.
3. aplicar o raciocínio no estudo e resolução de problemas matemáticos.
Introdução da unidade
Nesta 2.° unidade temática, apresentamos os conceitos de conjuntos, 
subconjuntos, e operações entre conjuntos (união, intersecçãoao, diferença, 
diferença simétrica e complementar), juntamente com as regras fundamen-
tais (propriedades) dessas operações. 
Apresentamos, também, conjuntos especifi camente numéricos 
(conjunto dos números naturais, inteiros, racionais e reais). Os conteúdos 
desta parte do módulo são desenvolvidos em paralelo com a parte inicial 
que tratou específi camente da lógica Matemática.
Introdução à teoria de conjuntos 69
LIÇÃO 1 – INTRODUÇÃO À TEORIA DE CONJUNTOS
Objectivos
Ao completar esta lição, esperamos que você seja capaz de:
defi nir os Conceitos de Conjunto e de elemento de um conjunto.1. 
apresentar a notação para representar Conjuntos.2. 
identifi car as relações de pertença e de inclusão.3. 
1. Introdução
Nesta lição, vamos apresentar as defi nições dos conceitos básicos: 
conjunto e elemento de um conjunto. 
Apresentaremos também a notação para a representação de conjuntos 
bem como a relação entre elementos e conjuntos e a relação entre conjuntos.
2. CONCEITO DE CONJUNTO
Chama-se conjunto a qualquer colecção, agrupamento ou família de 
qualquer ser animado ou inanimado (pessoas, plantas, animais, objecto, nú-
meros, letras, etc.) com características comuns.
Exemplos: 
a. O conjunto de todos os moçambicanos.
b. O conjunto de todos os números inteiros positivos menores que 10.
c. O conjunto de todas as aves domésticas.
d. A família de citrinos.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfa-
beto: A, B, C, …, Z.
70 Lógica e teoria de conjuntos
2.1 Elemento do conjunto
Qualquer ser componente de um conjunto chama-se elemento do 
conjunto.
dos s de um.
Exemplos:
a. Lurdes Mutola é um elemento do conjunto dos moçambicanos.
b. O número 3 é um elemento do conjunto dos os números inteiros 
positivos menores que 10.
c. O pato é um elemento do conjunto das aves domésticas.
d. A tangerina é um elemento do conjunto dos citrinos.
e. Lula da Silva não é elemento do conjunto dos moçambicanos.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra 
minúsculado alfabeto: a, b, c, ..., z.
2.2. Relação entre elemento e conjunto
Quando um certo elemento é componente de um dado conjunto 
diz-se que o elemento pertence ao conjunto. Neste caso estabelece-se uma 
relação entre elemento e conjunto.
Exemplos:
a. Lurdes Mutola pertence ao conjunto dos moçambicanos.
b. O número 3 pertence ao conjunto dos os números inteiros positi-
vos menores que 10.
c. O pato pertence ao conjunto das aves domésticas.
d. A Mutola pertence ao conjunto dos citrinos.
e. Lula da Silva não pertence ao conjunto dos moçambicanos.
Se um elemento x pertence a um conjunto D utilizamos o símbolo 
∈que se lê: pertence e escreve-se: a∈ D. 
E se um certo elemento não faz parte de um dado conjunto D, ou 
seja, se y não pertence a um conjunto D escreve-se: y∉D.
Introdução à teoria de conjuntos 71
3. ALGUMAS NOTAÇÕES PARA REPRESENTAÇÃO DE 
CONJUNTOS
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos 
dentro de duas chaves { }, através de duas formas básicas e de uma terceira 
forma geométrica:
3.1 Apresentação por extensão: 
Um conjunto pode ser representado colocando extensivamente os 
seus elementos dentro de duas chavetas. 
Exemplos:
a) A={a,e,i,o,u}
b) N={1,2,3,4,...}
c) M={ João,Maria,José}
Quando os conjuntos estão deste modo representados diz-se que es-
tão representados ou defi nidos por extensão.
3.2 Apresentação por propriedade
 Um conjunto pode descrito colocando dentro de duas chavetas uma 
ou mais propriedades dos seus elementos. 
Exemplos:
a) A={x: x é uma vogal}
b) N={x: x é um número natural}
c) M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
72 Lógica e teoria de conjuntos
Quando os conjuntos estão deste modo representados diz-se que es-
tão representados ou defi nidos por compreensão.
3.3 Diagrama de Venn-Euler
Um conjunto pode ser representado colocando extensivamente os 
seus elementos dentro de Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: “Ven-óiler”) 
Os conjuntos são mostrados grafi camente.
A N MJoão
Maria
José
a e i
1 2
4 6 8
3 5 7
...o u
Figura 1. Exemplos de diagramas de Venn
4. SUBCONJUNTOS
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A é subconjunto de B ou que A 
está contido em B, denotado por A ⊂ B, se todos os elementos de A também 
estão em B. 
4.1 Relação entre conjuntos
Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente conti-
do em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém 
também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e 
o conjunto B é o superconjunto que contém A. Deste modo encontramos a 
relação entre conjuntos.
Veremos a seguir alguns conjuntos especiais
Introdução à teoria de conjuntos 73
5. CONJUNTO VAZIO
Um conjunto que não possui elementos chama-se Conjunto vazio. É 
representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os 
conjuntos.
Exemplos:
A = { }
N = Ø
6. CONJUNTO UNIVERSAL
Um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual 
estamos a trabalhar e também contém todos os conjuntos desse contexto 
chama-se Conjunto universal ou simplesmente Universo. O conjunto uni-
verso é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o 
conjunto universo. 
Exemplo:
Universo U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}
7. CONJUNTO SINGULAR
Um conjunto que possui somente um elemento chama-se Con-
junto singular.
Exemplo:
Seja P conjunto do presidentes da República de Moçambique 
no quinquénio 2004-2009.
P={Guebuza}
Como se pode notar este conjunto possui um e único elemento 
e por isso classifi camo-lo como conjunto singular.
74 Lógica e teoria de conjuntos
SUMÁRIO
Nesta lição você aprendeu a defi nir: os conceitos de conjunto e 
de elemento de um conjunto; relação entre elemento e conjunto(a∈D). 
Aprendeu também
notações para representação de conjuntos: apresentação por exten-
são, apresentação por propriedade e diagrama de Venn-Euler. E falamos so-
bre subconjuntos e a relação entre conjuntos (A ⊂ B). E alguns conjuntos 
especiais, que são : conjunto vazio, conjunto universal e conjunto singular.
Autoavaliação
1- Identifi que cada conjunto a seguir informando a forma de representação e 
classifi cando como conjunto vazio, conjunto universal ou conjunto singular.
a) G={x: x é um número natural}
b) H={a,b,c,d...z}
c) I={x: x é um número natural menor que zero}
d) J={x: x é um número natural maior que cinco e menor que sete}
Resposta
a) O conjunto G esta representado por propriedade e é um conjunto universal dos 
numeros naturais.
b) O conjunto H esta representado por extensão e é um conjunto universal das letras 
do alfabeto.
c) O conjunto I esta representado por propriedade e é um conjunto vazio. 
d) O conjunto J esta representado por propriedade e é um conjunto singular.
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO
Na proxima lição você aprenderá a realizar operações entre conjun-
tos e as propriedades de cada operação.
Introdução à teoria de conjuntos 75
LIÇÃO 2 – OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS E SUAS 
PROPRIEDADES
Objectivos
Ao completar esta lição, esperamos que você seja capaz de:
defi nir as operações sobre conjuntos• .
aplicar as propriedades das operações sobre conjuntos.• 
1. Introdução
Tal como verifi cou que na lógica Matemática defi nimos operações 
sobre as proposições e sobre as condições, então nesta lição faremos uma 
abordagem sobre operações sobre conjuntos (reunião, intersecção, diferen-
ça, diferença simétrica e complementar) bem como as suas propriedades. 
2. REUNIÃO DE CONJUNTOS
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos 
que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A ∪ B = { x: x∈A ou x∈B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A ∪ B={a,e,i,o,3,4}.
3. INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos 
que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A ∩ B = { x: x∈A e x∈B }
76 Lógica e teoria de conjuntos
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A ∩ B=Ø.
A
B
Figura 2. Interseção dos conjuntos A e B
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, di-
zemos que estes conjuntos são disjuntos.
4. PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS
4.1 Fechamento:
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, deno-
tada por A ∪ B e a intersecção de A e B, denotada por A ∩ B, ainda são 
conjuntos no universo.
4.2 Refl exiva: 
Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A ∪ A = A e A ∩ A = A
4.3 Inclusão: 
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B, A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B
Introdução à teoria de conjuntos 77
4.4 Inclusão relacionada: 
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A ⊂ B equivale a A ∪ B = BA ⊂ B equivale a A ∩ B = A
4.5 Associativa: 
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
4.6 Comutativa: 
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
4.7 Elemento neutro para a reunião: 
O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, 
tal que para todo conjunto A, se tem:
A ∪ Ø = A
4.8 Elemento “nulo” para a interseção:
A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, 
fornece o próprio conjunto vazio.
A ∩ Ø = Ø
78 Lógica e teoria de conjuntos
4.9 Elemento neutro para a interseção:
O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de con-
juntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A ∩ U = A
4.10 Distributiva: 
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Os gráfi cos abaixo mostram a distributividade.
Figura 2. Propriedade distributiva
5. DIFERENÇA DE CONJUNTOS
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os ele-
mentos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A-B = {x: x∈A e x∉B}
Do ponto de vista gráfi co, a diferença pode ser vista como:
Introdução à teoria de conjuntos 79
A
B
A–B
Figura 3. Diferença entre os conjuntos A e B
6. COMPLEMENTO OU COMPLEMENTAR DE UMCONJUNTO
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado 
por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto 
de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao 
conjunto B.
CAB = A-B = {x: x∈A e x∉B}
Grafi camente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é 
dado por:
A
B A–B
Figura 4.Complemento do conjunto B no conjunto A
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos traba-
lhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjun-
to, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a pala-
vra complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.
80 Lógica e teoria de conjuntos
7. LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN
O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a intersecção 
dos complementares desses conjuntos.
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
O complementar da reunião de uma coleção fi nita de conjuntos é a 
interseção dos complementares desses conjuntos.
(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An)c = A1c ∩ A2c ∩ ... ∩ Anc
O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião 
dos complementares desses conjuntos.
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
O complementar da interseção de uma coleção fi nita de conjuntos é 
a reunião dos complementares desses conjuntos.
(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An)c = A1c ∪ A2c ∪ ... ∪ Anc
8. DIFERENÇA SIMÉTRICA
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos 
os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem 
à interseção dos conjuntos A e B.
A Δ B = { x: x∈A ∪ B e x∉A ∩ B } 
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:
A
B
A Δ B
Figura 5. Diferença simétrica
Introdução à teoria de conjuntos 81
SUMÁRIO
Nesta lição você aprendeu a defi nir e distinguir as operações sobre 
conjuntos e a aplicar as suas propriedades 
Autoavaliação
Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:
1. A=Ø se, e somente se, B=A Δ B.
2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação. de diferença simé-
trica. Usar o item anterior.
3. A diferença simétrica é comutativa.
4. A diferença simétrica é associativa.
5. A Δ A=Ø (conjunto vazio).
6. A interseção entre A e B Δ C é distributiva, isto é:
 A ∩ (B Δ C) = (A ∩ B) Δ (A ∩ C)
7. A Δ B está contida na reunião de A Δ C e de B Δ C, mas esta inclusão é 
própria, isto é:
 A Δ B ⊂ (A Δ C) ∪ (B Δ C)
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO
Na proxima lição você aprenderá a defi nir as operações sobre con-
juntos numéricos e as suas propriedades. 
Introdução à teoria de conjuntos 83
LIÇÃO 3 – CONJUNTOS NUMÉRICOS
Objectivos
Ao completar esta lição você deve ser capaz de:
distinguir os conjuntos numéricos.• 
relacionar os conjuntos numéricos• .
efectuar operações entre conjuntos numéricos• .
1. Introdução
Até ao momento falamos dos conjuntos em geral. Nesta lição vai 
aprender os conjuntos constituídos por números de forma especial. Os 
conjuntos numéricos (os números naturais, inteiros, racionais e reais) e a 
relação entre eles. 
2. OS CONJUNTOS NUMÉRICOS 
2.1 Conjunto dos números Naturais – IN
IN = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
2.2 Conjunto dos números Inteiros – IN0 
IN0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} , isto é, IN0 = IN∪ {0}
2.3 Conjunto dos números Inteiros relativos – Z 
Z = { ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Z = { números naturais } ∪ { 0 } ∪ { números inteiros negativos }
84 Lógica e teoria de conjuntos
O conjunto dos números naturais e o conjunto dos números intei-
ros estão contidos no conjunto dos números inteiros relativos, isto é, IN
⊂ IN0 ⊂ Z 
2.4 Conjunto dos números racionais – Q
O conjunto dos números racionais é composto pelos números inteiros 
relativos, dízimas fi nitas e dízimas infi nitas periódicas.
2.4.1 Fracções e dízimas
As dízimas fi nitas e as dízimas infi nitas periódicas podem ser repre-
sentadas por fracções. Por exemplo:
7 13 47 23730,7 ; 1,3 ; 0,47 ; 2,373
10 10 100 1000
= = = =
Como representar a dízima infi nita periódica 0,7777777777... por 
uma fracção?
Seja x = 0,777777777....
como o período da dízima tem apenas um algarismo vamos multipli-
car a igualdade por 10. Caso o período tivesse dois algarismos teríamos que 
multiplicar por 100. Então temos:
10x = 7,7777777 ...
Vamos subtrair as duas igualdades membro a membro.
0,77777777...
9 7,00000000...
− =
=
x
x
Então temos 
79 7
9
= ⇔ =x x
Introdução à teoria de conjuntos 85
Assim 
70,7777777777...
9
=
Será que 0,999999... = 1?!
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1238452 – Chris Baker
Vamos a proceder à demonstração:
1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1
0,3333... + 0,3333... + 0,3333... = 1
somando temos
0,9999... = 1
Qualquer fracção representa sempre uma dízima fi nita ou uma dízi-
ma infi nita periódica logo, uma fr acção é um número racional.
Um erro muito frequente dos alunos nos testes é considerar, por 
exemplo, a fracção 3787
9659
como sendo um número irracional. 
Este erro resulta do facto de os alunos fazerem a divisão obtendo um 
resultado que sugere estarem na presença de uma dízima infi nita não perió-
dica o que não é o caso.
86 Lógica e teoria de conjuntos
Concluindo:
Q = {números inteiros relativos} ∪ {dízimas fi nitas} ∪ {dízimas in-
fi nitas periódicas} 
Tome Nota!
Uma fracção é um número racional.
Fonte: http://www.sxc.hu/
photo/1109777 – Ignacio 
Leonardi..
2.5 Conjunto dos números reais – IR
O conjunto dos números reais é composto pelos números racionais 
mais as dízimas infi nitas não periódicas, isto é, é composto pelos números 
racionais e pelos números irracionais.
Exemplos de números irracionais
Todas as raízes quadradas de números naturais que não sejam qua-
drados perfeitos, isto é se a raiz quadrada de um número natural não for 
inteira, é irracional.
Logo são irracionais 2 , 3 , 5 , 6 , 30 , 70 ...
Números representáveis por dízimas infi nitas não periódicas como 
☐..☐.. e, 0,01001000100001..., 2,32332333233332... são números irra-
cionais.
IR = Q ∪ {dízimas infi nitas não periódicas}
IR = Q ∪ {números irracionais}
Introdução à teoria de conjuntos 87
Resumindo:
0,35
-0.132
0.(8)
-501
-5
-73 -36
-15
-153
93
105
0
21
IN
Ф
0.101101110 ...
Z
IR
Q
73
57
5
4
−
π
3 10
80− 2−
IN0 ⊂ IN⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR
Figura 1. Esquema do conjunto dos números reais.
SUMÁRIO
Nesta lição você aprendeu a distinguir os conjuntos numéricos, a re-
lacionar e efectuar operações entre conjuntos numéricos 
Autoavaliação
Represente os números seguintes numa recta graduada
2 7 0,20,25 2 3 1 5 2 0,5
3 9 0,3
; ; ; ; + ; ; ; ; ;− − −
2. Considere o conjunto A={1,2,3,4,5,6} e os seus dois subconjuntos seguintes: 
B={1,2,3,4} e C={3,4,5}. Determine:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A\B
88 Lógica e teoria de conjuntos
3. Seja R o conjunto Universo. Considere os seguintes conjuntos: 
A=]-10,0[ B=[2,5[ C=]-2,5] D=[3,10].
Determine:
a) A ∪ B
b) B ∩ C
c) (A ∩ C) ∩ D
d) C ∪ (A ∪ B)
4 . No Universo U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, Considere os conjuntos:
A = { 1, 2, 3, 4 }, B= { 3, 4, 5, 7 }, C = { 1, 2, 3, 8}. Determine:
a) A ∩ B ∩ C,
b) A ∪ B ∪ C
c) (A ∪ B)∩(A ∪ C )
d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
5. Dados os conjuntos: A = { x∈IN: x ≥ 1 e x ≤ 9 }
B= { x∈IN: x > 1 e x ≥ 5 }, C = { x∈IN: x + 1 ≥ 0 e x ≤ 4 }.
Defi na em extensão os conjuntos A, B, C.
a) A ∩ B ∩ C,
b) A ∪ B ∪ C,
c) A ∩ (B ∪ C)
6. No Universo U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, Considere os conjuntos:
A = { 1, 2, 3, 4 }, B= { 3, 4, 5, 6 }, C = { 3, 4}. Determine:
a) ( )A, B,C ;
b) {A A B C}
c) A B e A B;∪ ∩ A B e A B∩ ∪ o que conclui.
7. Sendo, em IR, A = [ 1, 3[, B = ]– ∞, 2 ] e C = { 1, 2, 3, 4 } 
Represente, se possível com a forma de intervalo de números reais, os 
conjuntos: 
a) .A, B,C ; 
b) { }A B ;
c) A B, A (A B)∪ ∪ ∩ .
Introdução à teoria de conjuntos 89
8. Considere , em IR, os conjuntos:
A = { x: – 2 ≤ x ≤ 6 } e B = { x: x < 3 }
a) defi na, com a forma de intervalo de número reais os conjuntos A e B.
b) determine com forma de intervalo de números reais: A, B, A A B, A B∩ ∪
9. São dados os conjuntos, em IR:
A = { x ∈IR: x – 3 < 1 e x – 3 > –1 }, B = [ 3, + ∞[, 
C = { x ∈IR : x ≥ 0 e x – 5 < 0 },D = { 1, 2, 3, 4 }.
Determine:
a) A
b) B C D,∪ ∪
c) A C D,∩ ∩
d) A
e) A (B C ),∪ ∩
f) A(B D )∪
10. Defi na por compreensão e por extensão os conjuntos defi nidos pelas 
seguintes condições:
a) 1 + 2x < 6, x ∈ N
b) 1 + 2x < 7, x ∈ N0
c) 1 + x2 < 2, x ∈ N0
d) 1 + x2 < 2, x ∈ N
11. 
a) Defi na A = {1,4,9,16,...} por compreensão.
b) Defi na B = {x : x é divisor de 72 e múltiplo de 3 } por extensão.
12. Sabendo que A é o conjunto {2,4,6,8,10} e x um elemento de A menor que 
5, determine o(s) valores possíveis para x.
13. Dos conjuntos seguintes indique quais são fi nitos e quais são infi nitos:
a) O conjunto A de todos os números pares.
b) O conjunto B de todos os divisores de 100.
c) O conjunto C de todos os múltiplos de 3 maiores que 10.
d) O conjunto D de todos os múltiplos de 3 menores que 10.
90 Lógica e teoria de conjuntos
14. Sejam U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A = {1,2,3,4,5}, B = {0,1,2,3,4} e C = 
{2,3,4,5,6,7,8}. Determine:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A ∪ C
d) A ∩ C
e) B ∪ C
f) B ∩ C 
g) 
_
A
h) 
_
B
i) 
_
C
j) 
_
U
k) A–B
l) B–A
m) U–A
n) U–B
o) U–C
p) C–A
q) C–B
r) A ∩ A
s) A ∪ B
t) 
_
A ∪ B
u) A ∪ B
15. Sejam U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A ={1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} e C = {3,4,5,6}. 
Determine:
a) (A 
_
∩
_
B)
b) 
_
A ∪ B
c) B
_
⎯–⎯C
d) 
_
A Δ B
e) UΔ A
16. Sendo U o universo, simplifi que cada uma das seguintes expressões:
a) A ∩ (B ∩ C)
b) (A ∪ B ) ∩
_
A
c) (A ∪ B) ∪
_
A
Introdução à teoria de conjuntos 91
d) (
_
A ∪ ⎯B) ∩
_
A 
e) A ∩ (A ∩ ⎯B) 
f) (
_
A ∩ B) ∪ A 
g) (
_
A ∪ B) ∩ (⎯B ∩ A) 
h) (A ∩ B) ∩ (A ∪ B)
i) 
_
A⎯ 
_
∩(
_
AB)∩A 
j) (
_
A⎯ 
_
∩⎯B) 
k) (A ∪ B) ∩ A 
l) A ∩ (⎯A ∪ B)
m) (A ∩ B) ∪ (A ∩ ⎯B)
n) (A ∩⎯B) ∪
_
A 
o) (A ∩⎯B) ∪ (
_
A⎯ 
_
∩⎯B)
p) (A ∪⎯B) ∪ B
17. Indique o valor lógico ( V ou F ) de cada uma das seguintes proposições: 
a) 0
1 337 7
3 5
+Q; b)+ Q; c) Q; d) Q− ∈ ∈ − ∈ − ∈
b) 0 0 00 450 7,31+ + +Q ; f) Q ; g) Q ; h) Z Q−∈ ∈ − ∈ ∩
18. Numa conferencia em que participaram 50 professores, 18 ensinam Portu-
guês, 7 ensinam Inglês e 3 ensinam as duas línguas. Organize os dados por um 
diagrama de Venn.
a) Responda cada uma das questões que se seguem e sombreie a parte corres-
pondente no diagrama de Venn.
b) Quantos ensinam só Português?
c) Quantos ensinam só Inglês?
d) Quantos ensinam ambas as línguas? 
e) Quantos ensinam Português ou Inglês?
f) Quantos não ensinam nem Português nem Inglês?
19. Numa sondagem feita a 200 pessoas em Maputo, foi obtida a seguinte in-
formação: 
70 Pessoas são assinantes do jornal Savana, 120 pessoas são assinantes do jornal 
Domingo e 40 pessoas são assinantes dos 2 jornais.
92 Lógica e teoria de conjuntos
a) Organize os dados por um diagrama de Venn.
b) Quantas pessoas assinam o Savana e não o Domingo?
c) Quantas pessoas assinam o Domingo e não o Savana?
d) Quantas pessoas assinam o Savana ou o Domingo?
e) Quantas pessoas não assinam qualquer um deles?
20. Indique todos os subconjuntos de cada um dos seguintes conjuntos:
a) A ={ 7 }
b) B = {7,9}
c) C = { 1,5, 9}
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Figueiredo, Luiz Manoel. Matemática discreta: v. 1. / Luiz Manoel Figueiredo. -- 3.ed.