Lista de incerteza (2014.2 - Respondida)

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Lista Incerteza Profº.: Eliane Abreu 
 
1. Defina: 
a) Valor Esperado; 
Ganho que se espera no momento da decisão. 
b) Incerteza; 
Ambiente no qual o que se espera é incerto. 
c) Desvio padrão; 
É a raiz quadrada da variância. Mede o risco. O quanto o valor esperado pode dar errado. 
d) Utilidade Esperada. 
Mede o nível de satisfação em certo ambiente de incerteza. Também é capaz de definir o 
comportamento do consumidor em avesso, neutro ou propenso ao risco. 
e) Equivalente Certeza. 
A quantidade que o indivíduo estaria disposto a aceitar em vez de apostar. 
 
2. Considere uma loteria com três possíveis resultados: uma probabilidade de 0,1 para o recebimento de 
$100, uma probabilidade de 0,2 para o recebimento de $50 e uma probabilidade de 0,7 para o 
recebimento de $10. 
 
a) Qual é o valor esperado dessa loteria? 
O valor esperado é o mesmo que a esperança ou média da estatística: 
 
Neste caso o valor esperado é: 
 
 
b) Qual é a variância dos resultados dessa loteria? 
 
 
 
 
 
Para calcular o desvio padrão basta encontrar a raiz quadrada da variância. 
 
 
c) Quanto uma pessoa neutra a riscos pagaria para participar dessa loteria? 
Pagaria exatamente o valor esperado $ 27. 
 
3. Madame Pompidou economizou 10.000 francos e planeja gastar esse dinheiro com uma viagem ao 
Brasil. A utilidade da viagem é uma função do logaritmo de seus gastos no Brasil e é dada por U = ln 
(gastos). Nesta viagem existe uma probabilidade de 25% de que ela venha a perder 1.000 francos. 
Para evitar esse risco de perda de 1.000 francos, ela pode fazer um seguro pagando um prêmio de 
250 francos. Pode-se afirmar que: 
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(0) o prêmio cobrado é atuarialmente justo. Verdadeiro 
Para calcular o seguro justo temos que calcular os Retornos Esperados em duas situações. Uma com 
seguro e outra sem seguro. (Utilizar Calculadora) 
 
 
 
 
Igualamos os dois seguros e temos: 
 
 
R$ 250 é o seguro justo. 
 
(1) fazendo o seguro, a utilidade esperada da viagem será menor do que sem fazê-lo. Falso 
 
Da mesma forma. Calcularemos as duas utilidades com seguro e sem seguro. 
 
 
Mesmo que seja pouco a utilidade esperada com seguro é maior. 
 
(2) o prêmio máximo que ela deveria pagar é 240 francos. Falso 
 
Como calculamos: 
 
 
 
 
 
O prêmio máximo ( ) é a diferença do valor sem risco com o “x” da utilidade esperada 
(Equivalente certeza). 
 
(3) sem o seguro, a utilidade esperada da viagem é igual a 9. Falso 
Quase isso. A 
 
4. Um indivíduo possui riqueza W = $100 e se depara com uma loteria que pode acrescentar $44 a sua 
riqueza, com probabilidade ¼, ou subtrair $36, com probabilidade ¾. Sua utilidade, do tipo Von 
Neumann-Morgenstern (VNM), é dada por . Julgue as afirmações: 
 
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a) A medida relativa de aversão ao risco desse indivíduo é estritamente decrescente. Falso 
 
Calcularemos pela medida relativa de aversão ao risco que é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o coeficiente de aversão relativa ao risco é uma constante, então ele não é decrescente. 
 
b) O máximo que o indivíduo está disposto a pagar para se livrar do risco é $19. Verdadeiro 
 
Para “fugir” do risco teremos que calcular o equivalente certeza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo acharemos o equivalente certeza: 
 
 
 
Para tirar o risco teremos que: 
 
Deste modo o individuo sairia do risco pagando o máximo $19 e ficaria com a maior utilidade possível. 
c) O indivíduo está disposto a pagar $3 a mais do que o prêmio de seguro justo (fair insurance 
premium) para se livrar do risco. 
 
Calculando o seguro justo: 
 
 
 
 
 
 
 
O prêmio justo é dado por: 
 (Prêmio do Seguro Justo ou apenas seguro justo que é 
igual ao valor da perda esperada). 
 
 
Como ele está disposto a pagar R$ 19 então ele não faz questão de pagar $3 a mais. 
Ou: 
 
 
d) Se a riqueza do indivíduo aumentasse, sua aversão absoluta ao risco diminuiria. Verdadeiro 
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Calculando o coeficiente de aversão absoluta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a renda R aumentar diminui o coeficiente. 
 
 
e) Para esse indivíduo, a utilidade esperada da riqueza é maior do que a utilidade do valor esperado 
da riqueza. Falso 
 
 
 
 
A utilidade do valor esperado é maior do que a utilidade esperada. A utilidade é convexa que por definição 
o faz ser avesso ao risco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Classifique nos gráficos abaixo se o indivíduo é avesso, neutro ou amante do risco e explique o 
porque: 
A – Avesso 
B – Propenso 
C – Neutro 
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6. Se a renda esperada é medida no eixo vertical e o desvio-padrão de uma das rendas também, então a 
curva de indiferença para um indivíduo avesso ao risco será (Justifique sua escolha): 
 
( ) Negativamente inclinada, ficando mais declinada da esquerda para direita. 
( ) Horizontal. 
(X) Positivamente inclinada, ficando mais íngreme da esquerda para direita. 
Um aumento no risco deve dar uma renda esperada demasiadamente para quem é avesso. 
 ( ) Vertical. 
 
7. Quando se oferece a um indivíduo avesso ao risco a oportunidade de comprar um seguro a um preço 
legítimo de mercado, ela irá definitivamente compra-lo porque fazendo isso ela estaria (justifique sua 
escolha): 
( ) Aumentando sua utilidade esperada acima do que ela seria sem seguro. 
( ) Tendo como conseqüência um mesmo nível de utilidade como sem seguro, mas sem nenhum 
risco. 
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(X) Produzindo o mesmo nível de riqueza esperada como sem seguro. 
Para um indivíduo avesso ao risco a garantia da mesma renda sem riscos leva a uma utilidade maior. 
 ( ) Aumentando o desvio-padrão de sua renda sobre o que seria sem seguro. 
 
8. O nível de riqueza corrente de Conceição é: . Considere que Conceição participa de um jogo 
de “lançamento de uma moeda no ar”, em que se sair cara ganha , e se sair coroa perde 
 . A função utilidade é traduzida pela expressão: 
 
a) Qual o valor esperado deste jogo? E a utilidade associada? 
 
 
A utilidade associada: 
 
b) Qual a utilidade esperada? Compare com a utilidade do valor atuarial do jogo. Comente. Calcule a 
aversão ao risco relativa. 
A utilidade Esperada: 
 
 
A utilidade esperada é menor do que a utilidade do valor esperado. Isso qualifica Conceição como avessa 
ao risco. 
Calculando a aversão relativa ao risco:O percentual de aversão em relação a riqueza quando a renda aumenta continua a mesma. 
c) Responda as questões anteriores supondo, agora, que se sair coroa Conceição perde R$ 23,00. 
Essa é com vocês. 
d) Sabendo que a possibilidade de perda num jogo é de R$ 23,00 com 0,5 de probabilidade, qual a 
quantia máxima de Conceição estaria disposta a pagar pra não participar do jogo? 
Temos que achar o equivalente certeza que é o valor associado quando . 
 
 
 
 
 
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Ela estaria disposta a pagar R$ 11,16 para não jogar. 
 
9. A função utilidade de um dado agricultor, em situação de incerteza é dada por: , em que é 
a riqueza associada aos diferentes estados da natureza. A sua experiência no setor permite-lhe 
estimar a probabilidade de Haber mau tempo e seus respectivos prejuízos. Uma determinada 
seguradora propõe-lhe a compra de um seguro por R$ 40,00 (prêmio de seguro). O agricultor sabe 
que, em caso de mau tempo, o valor da sua produção é inferior em R$ 80,00 ao valor que conseguirá 
se o tempo estiver bom. Qual o valor mínimo de , que o levará a comprar o referido seguro? 
 
Chamemos de tempo bom de 
 
 
 
 
Para pagar um seguro de $40 é necessário que a probabilidade seja de 50%. 
 
 
10. Suponha duas alternativas de investimento: 
1. Investimento de R$ 200,00 em ações de um fábrica de guarda-chuva: 
- Se o ano for de tempo chuvoso, o lucro é de R$ 100. 
- Se o ano for de tempo seco e quente, o lucro é de R$ 50. 
2. Investimento de R$ 200,00 em ações de um fábrica de gelados: 
- Se o ano for de tempo seco e quente, o lucro é de R$ 100 
- Se o ano for de tempo chuvoso, o lucro é de R$ 50. 
Qual o risco que o empreendedor enfrenta se aplicar R$ 200 numa só fábrica? E se aplicar R$ 100 em 
cada fábrica? 
 
Considerando que pode acontecer chuva ou sol com probabilidade de 50% 
Cenário 1 
 
Cenário 2 
 
Para Calcular o risco basta achar a variância. 
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Se ela aplicar R$ 100 nas duas teremos que diminuir os lucros na mesma proporção. Calcularemos a nova 
variância 
 
 
Variância de 156,23 para cada loja. Multiplicando isso por dois (equivalente das duas lojas) teremos o 
risco menor. 
 
 
11. Considere uma família possua R$ 100.000,00 em riqueza e encontra-se diante de uma probabilidade 
de 10% de roubo. Se um roubo acontecer a família teria que gastar R$ 20.000,00 para substituir o 
itens roubados. Suponha que você possa comprar um seguro de R$ 500,00 que dá cobertura total 
para a quantia de perda. 
a) A família deve comprar essa apólice de seguro? 
Calculando o seguro justo : 
 
 
 
 
O seguro que dá cobertura total está muito abaixo do valor do seguro justo. 
b) Ela deve comprar se a apólice custar R$ 1.500,00? E R$ 3.000,00? 
Responda. 
c) Qual o valor máximo que as famílias estariam dispostas a pagar pelo seguro? Como sua resposta 
se relaciona ao conceito de prêmio de risco? 
A família deve ser avessa ao risco para querer um seguro. Consideremos a função . 
Calculando o Equivalente Certeza: 
 
 
 
 
 
O prêmio de risco é a diferença do seguro justo com o prêmio máximo: 
 
Ou do retorno esperado com o equivalente certeza como queira. Esse é o valor que a família pagaria para 
não estar em risco: 
 
 
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12. Se Pedro define sua utilidade a partir de um nível de riqueza W, de tal modo que sua função utilidade 
é dada por , em que a e C são constantes positivas, então Pedro é propenso ao 
risco. Justifique. 
 
Para fazer a questão é necessário fazer o coeficiente de aversão absoluto ao risco: 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que neste caso o grau de aversão ao risco diminui quanto W aumenta isso significa é 
avesso ao risco. 
Basta também ver que a segunda derivada de é negativa o que faz a função utilidade ser 
côncava e isso é característica do avesso.