RESUMOS-MICRO-MODULO2-amostra

Prévia do material em texto

@natalia.franca 
 
 
 
MAPAS MENTAIS DE MICROECONOMIA 
PARA ANPEC: 
INCERTEZA 
 
FEITO POR NATÁLIA FRANÇA 
 
Julho de 2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
@natalia.franca 
 
 
 
SOBRE MIM 
 
Olá! Meu nome é Natália França (@natalia.franca), e é excelente ter você por aqui! 
A preparação para o exame da Associação Nacional dos Centros de Pós-Graduação em Economia (Anpec) requer esforço e 
dedicação, e meus mapas mentais serão fundamentais na sua trajetória. Antes, vou falar um pouco sobre mim. 
Formei-me com excelência em Economia pelo Ibmec Minas em 2011. Eu fiz a prova da Anpec em 2012, sendo convidada para 
os programas de Pós-Graduação em Economia da Universidade Federal do Ceará (CAEN/UFC) e da Universidade Federal do 
Rio Grande do Sul (PPGE/UFRGS). Optei pelo CAEN, dada a familiaridade com minha linha de pesquisa. Finalizei o doutorado 
em 2019 (no CAEN), tendo um período na Rice University no Texas. Concomitante a minha carreira acadêmica, ingressei no 
mundo dos concursos públicos. Fui aprovada para o cargo de Analista Administrativo (Economia) na Ebserh em 2018 e para o 
cargo de Auditor de Controle Interno na Controladoria e Ouvidoria Geral do Estado do Ceará (CGE/CE) em 2019. Atualmente 
estou como professora substituta no Departamento de Economia Aplicada na UFC. 
Não existe fórmula mágica para aprovação em concursos e provas. Temos que ter foco, disciplina, persistência, além de fazer 
revisões e resolver muitas questões! Nesse sentido, materiais de qualidade são essenciais para potencializar nossos resultados 
positivos. E aqui está a chave para o seu sucesso, pode contar comigo! 
 
BONS ESTUDOS! 
Natália França (@natalia.franca) 
 
 
3 
@natalia.franca 
Sumário 
TEORIA DA UTILIDADE ESPERADA .............................................................................. 4 
CONCEITOS INICIAIS ................................................................................................ 5 
LOTERIAS ................................................................................................................. 6 
HIPÓTESES DAS PREFERÊNCIAS SOBRE LOTERIAS .................................................. 7 
FUNÇÃO UTILIDADE ESPERADA .............................................................................. 8 
LOTERIAS MONETÁRIAS E AVERSÃO AO RISCO .......................................................... 9 
LOTERIAS MONETÁRIAS ........................................................................................ 10 
COMPORTAMENTO EM RELAÇÃO AO RISCO ........................................................ 11 
COMPORTAMENTO EM RELAÇÃO AO RISCO E UTILIDADE BERNOULLI ............... 12 
EQUIVALENTE CERTEZA E PRÊMIO DE RISCO ....................................................... 13 
MEDIDAS DE ARROW-PRATT DE AVERSÃO AO RISCO .......................................... 14 
OTIMIZAÇÃO COM INCERTEZA ................................................................................. 15 
EQUILÍBRIO COM JUSTIÇA E INJUSTIÇA ATUARIAL ............................................... 17 
ATIVOS DE RISCO ...................................................................................................... 18 
MODELO DE MÉDIA-VARIÂNCIA ........................................................................... 19 
AVALIAÇÃO DO RISCO ........................................................................................... 21 
MODELO CAPM ......................................................................................................... 22 
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 24 
 
 
 
4 
@natalia.franca 
 
 
 
Teoria da utilidade esperada 
5 
@natalia.franca 
ESTADOS DA NATUREZA 
PLANO DE CONSUMO 
CONTINGENTE 
CONJUNTO DOS RESULTADOS 
POSSÍVEIS, C 
BENS CONTINGENTES 
 
 
 
 
 
CONCEITOS INICIAIS 
Diferentes resultados de um evento aleatório. 
Exemplo: determinada perda ocorre ou não 
ocorre; pode chover, fazer sol ou nevar em um 
dia qualquer. 
As escolhas em diferentes estados da natureza 
dependem das crenças do agente sobre a 
probabilidade de ocorrência de cada estado. 
Hipótese da independência: as escolhas feitas em 
um estado da natureza devem independer das 
escolhas feitas em outro estado da natureza. 
Especificação das quantidades 
consumidas de cada bem em cada 
estado da natureza. 
Suposição: o agente precisa escolher uma dentre 
diversas alternativas com risco. 
O conjunto 𝐶 = {𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑁} denota os resultados 
possíveis em cada alternativa. Eles podem ser dos 
mais variados tipos: pagamentos monetários, 
cestas de consumo, etc. 
O indivíduo não sabe qual resultado vai 
acontecer, mas conhece as probabilidades de 
ocorrência de cada um. 
Os bens podem ser considerados diferentes 
dependendo do estado da natureza 
(carregar um guarda-chuva na bolsa e não 
chover gera uma satisfação diferente do que 
ter um guarda-chuva em um dia de chuva). 
 
6 
@natalia.franca 
LOTERIA SIMPLES 
LOTERIA DEGENERADA 
LOTERIA COMPOSTA 
LOTERIA REDUZIDA 
 
 
LOTERIAS 
Representa uma distribuição de 
probabilidade sobre os resultados em C. 
Uma loteria simples L é uma lista 𝐿 = {𝑝1, … , 𝑝𝑁}, com 𝑝𝑖 ≥ 0 ∀ 𝑖 e ∑ 𝑝𝑖𝑖 = 1. 
Em que 𝑝𝑖 é a probabilidade do resultado 𝑐𝑖 
ocorrer (resultados são mutuamente 
excludentes). 
Um resultado é certo 
(probabilidade 1) e os demais 
têm probabilidade nula. 
 
Permite que os resultados possíveis sejam 
loterias. 
Sejam as loterias simples 𝐿𝑘 = {𝑝1𝑘 , … , 𝑝𝑁𝑘 }, com 𝑘 = 1, … , 𝐾, e as probabilidades 𝛼𝑘 ≥ 0 com ∑ 𝛼𝑘𝑘 = 1. Uma loteria composta é aquela na 
qual os resultados são loterias simples: {𝐿1, … , 𝐿𝐾; 𝛼1, … , 𝛼𝐾} 
 
É uma loteria simples que fornece a mesma 
distribuição dos resultados que a loteria 
composta associada. 
A probabilidade do resultado i na loteria 
reduzida é dada pela soma sobre k do produto 
entre a probabilidade de cada loteria simples 𝛼𝑘 e a probabilidade de cada resultado n, 𝑝𝑖𝑘, 
dentro da loteria 𝐿𝑘. Isto é, 𝑞𝑖 = 𝛼1𝑝𝑖1 + 𝛼2𝑝𝑖2 + ⋯ + 𝛼𝐾𝑝𝑖𝐾 
Em que ∑ 𝑞𝑖𝑖 = 1. 
7 
@natalia.franca 
RACIONALIDADE EQUIVALÊNCIA DE LOTERIAS 
AXIOMA DA INDEPENDÊNCIA 
CONTINUIDADE 
 
 
 
 
HIPÓTESES DAS PREFERÊNCIAS 
SOBRE LOTERIAS 
ℒ: conjunto de todas as loterias simples sobre o conjunto de resultados C. 
Sejam 𝐿𝑖, 𝐿𝑗, 𝐿𝑘 loterias quaisquer, tais que 𝐿𝑖, 𝐿𝑗, 𝐿𝑘 ∈ ℒ. 
 
Preferências completas: 𝐿𝑖 ≻ 𝐿𝑗 ou 𝐿𝑗 ≻ 𝐿𝑖 ou 𝐿𝑖 ∼ 𝐿𝑗. 
Preferências transitivas: 
Se 𝐿𝑖 ≽ 𝐿𝑗 e 𝐿𝑗 ≽ 𝐿𝑘, então 𝐿𝑖 ≽ 𝐿𝑘. 
 
Se 𝐿𝑖 e 𝐿𝑗 têm a mesma forma 
reduzida, então 𝐿𝑖 ∼ 𝐿𝑗. 
Ou seja, apenas as loterias 
reduzidas são relevantes para 
as escolhas envolvendo risco. 
𝐿𝑖 ≽ 𝐿𝑗 ↔ 𝛼𝐿𝑖 + (1 − 𝛼)𝐿𝑘 ≽ 𝛼𝐿𝑗 + (1 − 𝛼)𝐿𝑘 𝛼 ∈ (0,1) 
Ou seja, a ordem de preferências entre as loterias 𝐿𝑖 e 𝐿𝑗 
não pode depender (é independente) de uma terceira 
loteria. O axioma da independência implica: 
i) representar as preferências na forma da FU 
esperada; 
ii) TMS entre dois resultados independe de um terceiro. 
 
{𝛼 ∈ [0,1]: 𝛼𝐿𝑖 + (1 − 𝛼)𝐿𝑗 ≽ 𝐿𝑘} ⊂ [0,1] {𝛼 ∈ [0,1]: 𝐿𝑘 ≽ 𝛼𝐿𝑖 + (1 − 𝛼)𝐿𝑗} ⊂ [0,1] 
São conjuntos fechados. 
Ou seja, pequenas mudanças nas 
probabilidades não mudam o ordenamento 
entre duas loterias. 
A continuidade implica a existência de uma 
FU, 𝑈: ℒ → ℝ, representando as preferências. 
 
8 
@natalia.franca 
DEFINIÇÃO 
TRANSFORMAÇÃO AFIM 
FUNÇÃO UTILIDADE BERNOULLI 
QUANDO VALE A PENA 
PARTICIPAR DA LOTERIA 
 
 
 
 
FUNÇÃO UTILIDADE ESPERADA 
Também denominada função de utilidade von 
Neumann-Morgenstern (VNM). 
Se as preferências do consumidor sobre as loterias são 
racionais, contínuas, independentes e satisfazem a 
equivalência podem ser representadas por uma FU 
esperada que tem a forma aditiva. Para cada loteria 
simples 𝐿 = {𝑝1, … , 𝑝𝑁} em ℒ: 𝑈(𝐿) = 𝑝1𝑢(𝑐1) + 𝑝2𝑢(𝑐2)+ ⋯ + 𝑝𝑁𝑢(𝑐𝑁) = ∑ 𝑝𝑖𝑢(𝑐𝑖) = 𝐸(𝑢(𝑐𝑖))𝑁𝑖=1 
Em que 𝑢(. ) é a função utilidade Bernoulli. 
Para duas loterias quaisquer, tem-se: 𝐿𝑖 ≽ 𝐿𝑗 ↔ 𝑈(𝐿𝑖) ≥ 𝑈(𝐿𝑗) 
𝑉(. ) é uma transformação monotônica afim de 𝑈(. ) se: 𝑉(. ) = 𝑎𝑈(. ) + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 > 0 
Apenas uma transformação afim positiva preserva a 
propriedade de utilidade esperada (forma linear). 
Representa as mesmas preferências da utilidade 
original. 
E também preserva a concavidade/convexidade de uma 
função. 
𝑢(𝑐𝑖) indica a utilidade de obter o resultado 𝑐𝑖 com certeza. 
Seu domínio é o conjunto com todos os resultados possíveis. 
As considerações sobre a utilidade esperada não impõem 
restrição alguma na forma da utilidade de Bernoulli. 
Essa função fornece informações quanto ao comportamento 
do indivíduo em relação ao risco. 
Hipóteses: 𝑢(. ) é contínua, estritamente crescente e limitada 
(acima e abaixo). 
Seja uma situação sem risco em que o 
indivíduo recebe (com certeza) 𝑤0. 
Vale a pena participar da loteria quando: 𝐸(𝑢(𝑐𝑖)) > 𝑢(𝑤0) 
O agente será indiferente entre entrar ou 
não na loteria quando: 𝐸(𝑢(𝑐𝑖)) = 𝑢(𝑤0) 
9 
@natalia.franca 
 
 
Loterias monetárias e 
aversão ao risco 
10 
@natalia.franca 
DEFINIÇÃO 
VALOR ESPERADO 
UTILIDADE ESPERADA 
 
 
LOTERIAS MONETÁRIAS 
Uma loteria monetária pode ser descrita por uma 
função de distribuição acumulada 𝐹: ℝ → [0,1]. 
Para qualquer valor 𝑥, 𝐹(𝑥) representa a probabilidade 
do pagamento ser menor ou igual a 𝑥. 
Se a loteria tem uma função densidade associada, 𝑓(. ): 
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ∀ 𝑥𝑥−∞ 
Observação: Funções de distribuição preservam a 
estrutura linear das loterias. 
ℒ é o conjunto de todas as distribuições de probabilidade possíveis com domínio não-negativo [a, ∞). 
O valor monetário é representado por uma variável aleatória contínua 𝑥. 
O valor esperado dos pagamentos de uma 
loteria monetária é (caso contínuo): 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑑𝐹(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
Caso a loteria monetária pague prêmios 𝑐𝑖 com probabilidade 𝑝𝑖, o valor esperado 
é (caso discreto): 𝑉𝐸 = 𝑝1𝑐1 + 𝑝2𝑐2 + ⋯ + 𝑝𝑁𝑐𝑁 = ∑ 𝑝𝑖𝑐𝑖𝑁𝑖=1 
A utilidade von Neumann-Morgenstern, cujo 
domínio é ℒ, pode ser expressa como: 𝑈(𝐹) = 𝐸(𝑢(𝑥)) = ∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝐹(𝑥) 𝑢(𝑥) é a função utilidade Bernoulli. 
Se 𝐹(𝑥) tem função densidade 𝑓(𝑥): 𝑈(𝐹) = 𝐸(𝑢(𝑥)) = ∫ 𝑢(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑈(𝐹) denota o valor esperado de 𝑢(𝑥). 𝑈(. ) é linear em 𝐹(. ). 
11 
@natalia.franca 
PROPENSÃO AO RISCO 
AVERSÃO AO RISCO 
NEUTRALIDADE AO RISCO 
 
 
 
 
COMPORTAMENTO EM 
RELAÇÃO AO RISCO 
O agente prefere participar da loteria do 
que receber o valor esperado (com 
certeza). 
Disposição a pagar pelo bilhete da 
loteria: um valor maior ou igual ao 
valor esperado da loteria. 
O agente prefere receber (com certeza) 
o valor esperado da loteria do que 
participar dela. 
Disposição a pagar pelo bilhete da 
loteria: um valor menor do que o valor 
esperado da loteria. 
 
O agente é indiferente entre participar da loteria ou 
receber o valor esperado (com certeza). 
Disposição a pagar pelo bilhete da loteria: um valor 
igual ao valor esperado da loteria. 
 
12 
@natalia.franca 
NEUTRALIDADE AO RISCO 
 
PROPENSÃO AO RISCO AVERSÃO AO RISCO 
 
COMPORTAMENTO EM RELAÇÃO AO RISCO 
E UTILIDADE BERNOULLI 
 
Utilidade do valor esperado da loteria igual à 
utilidade esperada: 𝑢(𝐸(𝑥)) = 𝑈(𝐹) = 𝐸(𝑢(𝑥)) 
 
i) 𝑢(𝑥) linear: 𝑢′′(. ) = 0; 
iii) Umg constante. 
 
Utilidade do valor esperado da loteria maior do que a 
utilidade esperada: 𝑢(𝐸(𝑥)) ≥ 𝑈(𝐹) = 𝐸(𝑢(𝑥)) 
 
Utilidade esperada maior do que a utilidade do valor 
esperado da loteria: 𝐸(𝑢(𝑥)) = 𝑈(𝐹) ≥ 𝑢(𝐸(𝑥)) 
 
i) 𝑢(. ) côncava: 𝑢′′(. ) < 0; 
ii) Umg decrescente; 
iii) quanto mais 
côncava, mais avesso ao 
risco é o indivíduo. 
i) 𝑢(𝑥) convexa: 𝑢′′(. ) > 0; 
ii) Umg crescente; 
iii) quanto mais 
convexa, mais propenso 
ao risco é o indivíduo. 
13 
@natalia.franca 
EQUIVALENTE CERTEZA, EC PRÊMIO DE RISCO, PR 
PROPENSÃO AO RISCO AVERSÃO AO RISCO NEUTRALIDADE AO RISCO 
 
 
 
 
 
EQUIVALENTE CERTEZA E PRÊMIO DE RISCO 
O equivalente certeza de uma loteria monetária é 
o montante de riqueza, 𝑐(𝐹, 𝑢), ofertado com 
certeza, que faz com que o indivíduo seja 
indiferente entre participar da loteria ou não 
(troca uma situação incerta por uma certa). 𝑢(𝑐(𝐹, 𝑢)) = 𝐸(𝑢(𝑥)) 
i) Menor valor que o agente estaria disposto a 
vender o bilhete de loteria para se livrar do risco, 
considerando sua renda inicial nula. 
ii) Maior valor que o indivíduo estaria disposto a 
pagar para comprar o bilhete da loteria. 
O prêmio de risco de uma loteria monetária 
corresponde à diferença entre o valor esperado da 
loteria e seu equivalente certeza: 𝑃𝑅 = 𝐸(𝑥) − 𝑐(𝐹, 𝑢) 
Alternativamente, pode ser obtido da seguinte forma: 𝑢(𝐸(𝑥) − 𝑃𝑅) = 𝐸(𝑢(𝑥)) 
Aversão ao risco: 𝑃𝑅 mede o máximo que o agente está 
disposto a pagar para se livrar do risco. 
Propensão ao risco: 𝑃𝑅 indica o montante mínimo de 
dinheiro que a pessoa aceitaria receber para ter risco. 
𝑐(𝐹, 𝑢) > 𝐸(𝑥) 𝑃𝑅 < 0 
 
 
𝑐(𝐹, 𝑢) < 𝐸(𝑥) 𝑃𝑅 > 0 
 
𝑐(𝐹, 𝑢) = 𝐸(𝑥) 𝑃𝑅 = 0 
 
14 
@natalia.franca 
O coeficiente de aversão absoluta, 𝑟𝐴(𝑥), 
é uma medida da curvatura de 𝑢(. ), 
útil para realizar comparações entre os 
indivíduos: 𝑟𝐴(𝑥, 𝑢) = − 𝑢′′(𝑥)𝑢′(𝑥) 𝑟𝐴(𝑥, 𝑢) > 0: aversão ao risco 𝑟𝐴(𝑥, 𝑢) < 0: propensão ao risco 𝑟𝐴(𝑥, 𝑢) = 0: neutralidade ao risco 
COEFICIENTE DE AVERSÃO ABSOLUTA 
COEFICIENTE DE AVERSÃO RELATIVA 
Função utilidade CRRA (Constant 
Relative Risk Aversion) 
Função utilidade com coeficiente de 
aversão relativa ao risco constante: 
𝑢(𝑥) = { 𝑥1−𝛾1 − 𝛾 ; 𝑠𝑒 𝛾 ≠ 1ln 𝑥; 𝑠𝑒 𝛾 = 1 𝑟𝑅(𝑥, 𝑢) = 𝛾 
 
 
 
 
 
 
 
Seja uma função de utilidade de Bernoulli 𝑢(. ) duas vezes continuamente diferenciável. 
 
Útil para realizar comparações ao longo da 
distribuição de renda. 𝑟𝑅(𝑥, 𝑢) = 𝑥𝑟𝐴(𝑥, 𝑢) = −𝑥 𝑢′′(𝑥)𝑢′(𝑥) 𝑟𝑅(𝑥, 𝑢) decrescente em 𝑥: Indivíduos mais ricos são 
menos avessos ao risco. 
Observação: aversão relativa ao risco decrescente 
implica aversão absoluta ao risco decrescente, mas 
a recíproca não é necessariamente verdadeira. 
MEDIDAS DE ARROW-PRATT DE AVERSÃO AO RISCO 
Função utilidade CARA (Constant 
Absolute Risk Aversion) 
Função utilidade com coeficiente de 
aversão absoluta ao risco constante: 𝑢(𝑥) = −𝑒−𝛼𝑥, 𝛼 > 0 𝑟𝐴(𝑥, 𝑢) = 𝛼 
Comparação entre indivíduos 
Dadas as funções de utilidade de 
Bernoulli 𝑢1(. ) e 𝑢2(. ), diz-se que 𝑢2(. ) é 
mais avesso ao risco que 𝑢1(. ) se: 
i) 𝑟𝐴(𝑥, 𝑢2) ≥ 𝑟𝐴(𝑥, 𝑢1) ∀ 𝑥; 
ii) 𝑢2(. ) é uma transformação côncava de 𝑢1(. ): 𝑢2(. ) é “mais côncava” que 𝑢1(. ); 
iii) 𝑐(𝐹, 𝑢2) ≤ 𝑐(𝐹, 𝑢1) ∀ 𝐹(. ); 
iv) 𝑃𝑅(𝑢2) ≥ 𝑃𝑅(𝑢1); 
v) qualquer risco que 𝑢2(. ) aceitar 
partindo de uma posição sem risco 
também será aceita por 𝑢1(. ). 
15 
@natalia.franca 
 
 
Otimização com incerteza 
16 
@natalia.franca 
FORMULAÇÃO 
SUPOSIÇÕES CURVA DE 
INDIFERENÇA, CI 
RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA, RO 
EQUILÍBRIO 
 
 
 
OTIMIZAÇÃO COM INCERTEZA 
 
O consumidor escolhe o melhor 
plano de consumo contingente 
(o que é consumido em cada 
estado da natureza) pelo qual 
pode pagar, maximizando a sua 
função de utilidade esperada. 
i) Um consumidor avesso ao risco tem uma renda 
inicial 𝑤, que pode ter uma redução de um 
montante 𝐿 com probabilidade 𝜋. 
ii) Existem dois estados da natureza: bom (não 
ocorre a perda) e ruim (ocorre a perda). 
iii) Existem dois bens contingentes: renda no estado 
bom (𝑤𝐺) e renda no estado ruim (𝑤𝐵). 
iv) Há um mercado de seguros que oferece um seguro 
contra o estado ruim cobrando 𝛾 por unidade 
monetária em cada estado da natureza. 
v) 𝐾 é a renda segurada. 
A utilidade esperada do 
agente é dada por: 𝐸(𝑢) = (1 − 𝜋)𝑢(𝑤𝐺) + 𝜋𝑢(𝑤𝐵) 
Logo, a inclinação da CI 
(que é umacurva de nível 
de 𝐸(𝑢)) é: 𝑇𝑀𝑆 = 𝑑𝑤𝐺𝑑𝑤𝐵 = − 𝜋𝑢′(𝑤𝐵)(1 − 𝜋)𝑢′(𝑤𝐺) 
Quando o indivíduo compra seguro, sua 
renda nos estados bom e ruim são dadas por: { 𝑤𝐺 = 𝑤 − 𝛾𝐾𝑤𝐵 = 𝑤 − 𝐿 + 𝐾 − 𝛾𝐾 
Dessa forma, a RO é: 𝑤𝐺 = 𝑤 − 𝛾𝐿1 − 𝛾 − 𝛾1 − 𝛾 𝑤𝐵 
Se 𝐾 = 0, tem-se a dotação: { 𝑤𝐺0 = 𝑤𝑤𝐵0 = 𝑤 − 𝐿 
O equilíbrio se dá na tangência entre a CI e a RO: 𝜋𝑢′(𝑤𝐵)(1 − 𝜋)𝑢′(𝑤𝐺) = 𝛾1 − 𝛾 
 
17 
@natalia.franca 
SEGUROS ATUARIALMENTE 
JUSTOS 
SEGUROS JUSTOS: QUANTIDADE ADQUIRIDA 
SEGUROS ATUARIALMENTE 
INJUSTOS 
SEGUROS INJUSTOS: QUANTIDADE ADQUIRIDA 
 
 
 
EQUILÍBRIO COM JUSTIÇA E INJUSTIÇA ATUARIAL 
 
O ganho esperado da seguradora é nulo. 𝛾𝐾 − 𝜋𝐾 − (1 − 𝜋)0 = 0 
Assim, o valor do seguro por unidade monetária 
cobrado corresponde ao valor da probabilidade 
de ocorrência do sinistro. 𝛾 = 𝜋 
Loterias atuarialmente justas: Geram um ganho 
esperado líquido igual a zero. 
Se uma seguradora oferece um seguro atuarialmente justo: 𝛾 = 𝜋 → 𝛾1 − 𝛾 = 𝜋1 − 𝜋 
Dada a condição de equilíbrio e o resultado acima: 𝜋𝑢′(𝑤𝐵)(1 − 𝜋)𝑢′(𝑤𝐺) = 𝜋1 − 𝜋 → 𝑢′(𝑤𝐵) = 𝑢′(𝑤𝐺) 
Consumidor avesso ao risco: Umg decrescente, logo 𝑢′(𝑤𝐵) = 𝑢′(𝑤𝐺) → 𝑤𝐵 = 𝑤𝐺 
Igualando a renda em ambos os estados da natureza: 𝑤 − 𝜋𝐾 = 𝑤 − 𝐿 + 𝐾 − 𝜋𝐾 → 𝐾 = 𝐿 
Consumidor faz seguro total. 
O ganho esperado da seguradora é 
positivo: 𝛾𝐾 − 𝜋𝐾 − (1 − 𝜋)0 > 0 
O valor cobrado é superior à 
probabilidade de ocorrência do sinistro: 𝛾 > 𝜋 
Se uma seguradora oferece um seguro atuarialmente injusto: 𝛾 > 𝜋 → 𝛾1 − 𝛾 > 𝜋1 − 𝜋 
Dada a condição de equilíbrio e o resultado acima: 𝜋𝑢′(𝑤𝐵)(1 − 𝜋)𝑢′(𝑤𝐺) = 𝛾1 − 𝛾 → 𝑢′(𝑤𝐵) > 𝑢′(𝑤𝐺) 
Consumidor avesso ao risco: Umg decrescente, logo 𝑢′(𝑤𝐵) > 𝑢′(𝑤𝐺) → 𝑤𝐵 < 𝑤𝐺 
Aplicando a desigualdade na renda dos estados da natureza: 𝑤 − 𝜋𝐾 > 𝑤 − 𝐿 + 𝐾 − 𝜋𝐾 → 𝐾 < 𝐿 
Consumidor compra menos que o seguro total. 
18 
@natalia.franca 
 
 
ATIVOS DE RISCO 
19 
@natalia.franca 
DEFINIÇÃO 
CARTEIRA DE INVESTIMENTOS 
𝑝 = 𝑟𝑚 − 𝑟𝑓𝜎𝑚 é o preço do risco 
O preço do risco mede como risco e 
retorno podem ser substituídos ao se 
fazerem escolhas de carteira de títulos 
(ou portfólio). 𝑟𝑥 − 𝑟𝑓 = (𝑟𝑚−𝑟𝑓𝜎𝑚 ) 𝜎𝑥 é o prêmio do risco: 
retorno além do ativo livre de risco para 
compensar o risco envolvido. 
RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA 
 
 
MODELO DE MÉDIA-VARIÂNCIA 
Neste modelo, a utilidade de uma distribuição de 
probabilidades que proporcione ao investidor a riqueza 𝑤𝑖, com 
probabilidade 𝑝𝑖, pode ser expressa como uma função da média, 𝜇𝑊, e da variância, 𝜎𝑊2 , dessa distribuição: 𝑈(𝜇𝑊, 𝜎𝑊2 ). Em que: 𝜇𝑊 = 𝐸(𝑊) = ∑ 𝑝𝑖𝑤𝑖𝑆𝑖=1 𝜎𝑊2 = ∑ 𝑝𝑖(𝑤𝑖 − 𝜇𝑊)2𝑆𝑖=1 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: 𝜎𝑊 = √𝜎𝑊2 . 
A média é uma medida de retorno, enquanto que variância e 
desvio padrão mensuram risco. Um consumidor avesso ao risco 
considera retorno um bem e risco um mal. 
Consumidor aloca sua riqueza em dois ativos: 
i) um ativo livre de risco com retorno fixo 𝑟𝑓; 
ii) um ativo de risco com retorno esperado 𝑟𝑚 e 
desvio padrão 𝜎𝑚. 
Quando o consumidor aplica uma parcela 𝑥 
de sua renda no ativo com risco, ele cria uma 
carteira tal que: 
i) Rentabilidade esperada: 𝑟𝑥 = 𝑥𝑟𝑚 + (1 − 𝑥)𝑟𝑓 
ii) Desvio padrão do retorno esperado: 𝜎𝑥 = 𝑥𝜎𝑚 
A relação entre risco e retorno da 
carteira de investimentos é: 𝑟𝑥 = 𝑟𝑓 + (𝑟𝑚 − 𝑟𝑓𝜎𝑚 ) 𝜎𝑥 
Essa relação representa a restrição 
orçamentária e mede o custo de 
conseguir um maior retorno esperado 
em termos do aumento do risco. 
Seja a riqueza representada por uma variável aleatória 𝑊, que assume os valores 𝑤𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝑆) com probabilidade 𝑝𝑖. 
 
20 
@natalia.franca 
CURVAS DE INDIFERENÇA, CI 
Alavancagem financeira 
Os agentes podem 
multiplicar a 
rentabilidade por meio 
de endividamento. 
EQUILÍBRIO 
Tangência entre CI e 
RO. TMS entre risco e 
retorno deve ser igual 
ao preço do risco: 𝑇𝑀𝑆 = rm − 𝑟𝑓σm 
 
 
MODELO DE MÉDIA-VARIÂNCIA 
Indivíduos avessos ao risco: CI positivamente 
inclinada (pois o risco é um mal). 
 
 
No equilíbrio, as TMS de todas as pessoas serão iguais, logo o 
preço de risco de equilíbrio deverá ser igual para todas elas. 
Taxa marginal de 
substituição entre risco e 
retorno 𝑇𝑀𝑆 = − Δ𝑈/Δ𝜎Δ𝑈/Δ𝜇 
21 
@natalia.franca 
COMBINAÇÃO DE DOIS ATIVOS DE RISCO 
ESCOLHA ENTRE DOIS ATIVOS 
DE RISCO 
Ativo 1 será escolhido se: r1 − 𝑟𝑓σ1 ≥ r2 − 𝑟𝑓σ2 
Nesse caso, o ativo 1 domina o ativo 2. 
 
Contém todas as carteiras 
de ativos de risco que 
oferecem o maior retorno 
dado o risco. 
 
 
AVALIAÇÃO DO RISCO 
Sejam dois ativos de risco com rentabilidades 
esperadas e variâncias dadas por (𝜎12, 𝑟1) e (𝜎22, 𝑟2). O agente monta um portfólio 𝑧 com os 
dois ativos de risco: 𝛼 é a participação do ativo 
1 e (1 − 𝛼) é a participação do ativo 2. 
O portfólio terá a rentabilidade esperada e a 
variância do retorno dadas por: 𝑟𝑧 = 𝛼𝑟1 + (1 − 𝛼)𝑟2 𝜎𝑧2 = 𝛼2𝜎12 + (1 − 𝛼)2𝜎22 + 2𝛼(1 − 𝛼)𝜎1,2 𝜎1,2 é a correlação entre os retornos dos dois 
ativos de risco. 
Sejam um ativo livre de risco com retorno fixo 𝑟𝑓 
e dois ativos de risco com rentabilidades 
esperadas e variâncias dadas por (𝜎12, 𝑟1) e (𝜎22, 𝑟2). 
O agente só pode criar carteiras combinando o 
ativo livre de risco com apenas um ativo de risco. 
Conclusão: o agente deverá escolher o ativo que 
paga o maior preço do risco (RO mais 
inclinada). 
Diversificação 
Ativos com correlação 
negativa, 𝜎1,2 < 0, 
reduzem o risco da 
carteira. 
FRONTEIRA EFICIENTE 
22 
@natalia.franca 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELO CAPM 
23 
@natalia.franca 
Em equilíbrio, todos os ativos devem ter a mesma 
taxa de retorno ajustada pelo nível de risco. 
Sejam dois ativos i e j com taxas de retorno de 𝑟𝑖 e 𝑟𝑗 
e betas 𝛽𝑖 e 𝛽𝑗. No equilíbrio, a equação a seguir 
deve ser satisfeita: 𝑟𝑖 − 𝛽𝑖(𝑟𝑚 − 𝑟𝑓) = 𝑟𝑗 − 𝛽𝑗(𝑟𝑚 − 𝑟𝑓) 𝑟𝑚 é o retorno esperado do mercado. 
EQUILÍBRIO NO MERCADO DE 
ATIVOS DE RISCO 
O MODELO CAPM 
QUANTIDADE DE RISCO 
Pontos acima da reta de 
mercado: 𝑟𝑖 − 𝛽𝑖(𝑟𝑚 − 𝑟𝑓) > 𝑟𝑓 
O retorno ajustado pelo 
risco do ativo i é superior ao 
do ativo sem risco. Logo, a 
demanda pelo ativo i cresce 
(eleva o preço e reduz a 
rentabilidade) até o ponto 
em que as rentabilidades 
sejam iguais. 
 
 
MODELO CAPM 
A quantidade de risco de um ativo depende da sua correlação 
com outros ativos. 
Beta (𝛽𝑖): mede a quantidade de risco de um ativo, denotado 
por i, em relação ao risco do mercado de ativos como um todo. 𝛽𝑖 = 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑖𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 = 𝜎𝑚,𝑖𝜎𝑚2 
Em que, 𝜎𝑚,𝑖 é a covariância do retorno do ativo i com o retorno 
do mercado; 𝜎𝑚2 é a variância do retorno do mercado. 𝛽𝑖 = 1: ação tem o mesmo grau de risco do mercado; 𝛽𝑖 > 1: ação tem um grau de risco maior do que o do mercado; 𝛽𝑖 < 1: ação tem um grau de risco menor do que o do mercado. 
A reta do mercado 
Representa combinações de retorno esperado 
e beta para os ativos mantidos em equilíbrio. 
 
A partir da condição de equilíbrio (fazendo 𝑗 = 𝑓 e usando o fato 𝛽𝑓 = 0): 𝑟𝑖 = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖(𝑟𝑚 − 𝑟𝑓) 𝑟𝑖: retorno esperado do ativo i. 
Essa equação, denominada reta do 
mercado, é o principal resultado do modelo 
CAPM (Capital Asset Pricing Model), um 
modelo de precificação de ativos. 
Conclusão: A melhor combinação de ativos 
de risco corresponde à carteira de mercado. 
Para obter o preço do ativo i hoje, é preciso 
trazê-lo a valor presente: 𝑃𝑟𝑒ç𝑜𝑖 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑖(1 + 𝑟𝑖) 
Agentes são avessos ao risco e têm as mesmas expectativas quanto 
aos retornos esperados, variâncias e betas de todos os ativos. 
24 
@natalia.franca 
 
REFERÊNCIAS 
 
VARIAN, Hal R. Microeconomia-princípios básicos. Elsevier Brasil, 2006. 
MAS-COLELL, Andreu et al. Microeconomic theory. NewYork: Oxford university press, 1995. 
SCHMIDT, Cristiane; BERTOLAI, Jefferson; COIMBRA, Paulo. Microeconomia-questões anpec, 5a edição. Elsevier Brasil, 2015. 
ROBERTO GUENA. Preparatório ANPEC: Material de Microeconomia, 2020. Disponível em: robguena.fearp.usp.br/anpec/.