002128 - APOSTILA (1) pdf 2 matematica

Prévia do material em texto

11 
 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE AARRIITTMMÉÉTTIICCAA 
 
UUmm ccrriittéérriioo ddee ddiivviissiibbiilliiddaaddee éé uummaa rreeggrraa qquuee ppeerrmmiittee ddeecciiddiirr ssee uummaa ddiivviissããoo éé eexxaattaa oouu nnããoo,, sseemm qquuee sseejjaa 
pprreecciissoo eexxeeccuuttaarr aa ddiivviissããoo.. 
 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE PPOORR 22 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 22 sseemmpprree qquuee oo aallggaarriissmmoo ddaass uunniiddaaddeess ffoorr 00,, 22,, 44,, 66 oouu 88.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
OO nnúúmmeerroo 9911..559966 éé ddiivviissíívveell ppoorr 22,, ppooiiss sseeuu aallggaarriissmmoo ddaass uunniiddaaddeess éé 66.. 
 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE PPOORR 33 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 33 qquuaannddoo aa ssoommaa ddooss vvaalloorreess aabbssoolluuttooss ddooss aallggaarriissmmooss ddoo nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 33.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
OO nnúúmmeerroo 7744..002222 éé ddiivviissíívveell ppoorr 33,, ppooiiss 77 ++ 44 ++ 00 ++ 22 ++ 22 == 1155 qquuee éé ddiivviissíívveell ppoorr 33.. 
 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE PPOORR 44 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 44 qquuaannddoo ooss sseeuuss ddooiiss úúllttiimmooss aallggaarriissmmooss ffoorrmmaarreemm uumm nnúúmmeerroo ddiivviissíívveell ppoorr 44.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
OO nnúúmmeerroo 7733..999966,, qquuee tteerrmmiinnaa eemm 9966 éé ddiivviissíívveell ppoorr 44,, ppooiiss oo pprróópprriioo 9966 éé ddiivviissíívveell ppoorr 44.. 
 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE PPOORR 55 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 55 sseemmpprree qquuee oo aallggaarriissmmoo ddaass uunniiddaaddeess ffoorr iigguuaall aa 00 oouu 55.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
OO nnúúmmeerroo 7744..338800 éé ddiivviissíívveell ppoorr 55,, ppooiiss sseeuu aallggaarriissmmoo ddaass uunniiddaaddeess éé zzeerroo.. 
 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE PPOORR 66 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 66 qquuaannddoo ffoorr ddiivviissíívveell ppoorr 22 ee ttaammbbéémm ppoorr 33.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
OO nnúúmmeerroo 331177..110000 éé ddiivviissíívveell ppoorr 22,, ppoorrqquuee éé ppaarr,, ee ttaammbbéémm éé ddiivviissíívveell ppoorr 33,, ppooiiss 33++ 11++77++ II ++00++00 == 1122.. LLooggoo,, 
oo nnúúmmeerroo 331177..110000 éé ddiivviissíívveell ppoorr 66.. 
 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE PPOORR 77 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr77 qquuaannddoo aa ddiiffeerreennççaa eennttrree aass ssuuaass ddeezzeennaass ee oo ddoobbrroo ddoo vvaalloorr ddoo sseeuu aallggaarriissmmoo ddaass 
uunniiddaaddeess éé ddiivviissíívveell ppoorr 77.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
NNoo nnúúmmeerroo 881199,, tteemmooss 8811 ddeezzeennaass ee 99 uunniiddaaddeess.. CCaallccuullaannddoo aa ddiiffeerreennççaa ccoonnffoorrmmee iinnddiiccaaddoo,, tteemmooss:: 8811 -- ((99xx22)) 
== 8811--1188 == 6633 qquuee éé ddiivviissíívveell ppoorr 77.. EEnnttããoo,, oo nnúúmmeerroo 881199 ttaammbbéémm éé ddiivviissíívveell ppoorr 77.. 
 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE PPOORR 88 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 88 qquuaannddoo ooss sseeuuss ttrrêêss úúllttiimmooss aallggaarriissmmooss ffoorrmmaarreemm uumm nnúúmmeerroo ddiivviissíívveell ppoorr 88.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
OO nnúúmmeerroo 112233..445566 éé ddiivviissíívveell ppoorr 88 ppoorrqquuee ooss sseeuuss ttrrêêss úúllttiimmooss aallggaarriissmmooss ffoorrmmaamm oo nnúúmmeerroo 445566,, qquuee éé 
ddiivviissíívveell ppoorr 88.. 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE PPOORR 99 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 99 qquuaannddoo aa ssoommaa ddooss vvaalloorreess aabbssoolluuttooss ddooss aallggaarriissmmooss ddoo nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 99.. 
 
 
 
22 
EExxeemmpplloo:: 
OO nnúúmmeerroo 88..551144 éé ddiivviissíívveell ppoorr 99,, ppooiiss 88 ++ 55 ++ 11 ++ 44 == 1188,, qquuee éé ddiivviissíívveell ppoorr 99.. 
 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE PPOORR 1100 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 1100,, 110000,, 11..000000 eettcc.. qquuaannddoo tteerrmmiinnaa,, rreessppeeccttiivvaammeennttee,, ccoomm 11,, 22,,33 eettcc.. zzeerrooss àà ddiirreeiittaa.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
EEnnttããoo,, 22..990000,, 1144..000000 ee 778800 ssããoo ddiivviissíívveeiiss,, rreessppeeccttiivvaammeennttee,, ppoorr 110000,, ppoorr 11..000000 ee ppoorr 1100.. 
 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE PPOORR 1111 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 1111 qquuaannddoo aa ddiiffeerreennççaa eennttrree aa ssoommaa ddooss vvaalloorreess aabbssoolluuttooss ddooss aallggaarriissmmooss ddee oorrddeemm 
íímmppaarr ((aa ppaarrttiirr ddaass uunniiddaaddeess)) ee aa ssoommaa ddooss vvaalloorreess aabbssoolluuttooss ddooss aallggaarriissmmooss ddee oorrddeemm ppaarr éé uumm mmúúllttiipplloo ddee 1111.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
NNoo nnúúmmeerroo 2233..885599,, ooss aallggaarriissmmooss ddee oorrddeemm íímmppaarr,, aa ppaarrttiirr ddaass uunniiddaaddeess,, ssããoo 99,, 88 ee 22,, ccuujjaa ssoommaa rreessuullttaa 99 ++ 88 
++ 22 == 1199.. OOss aallggaarriissmmooss ddee oorrddeemm ppaarr ssããoo 55 ee 33,, ccuujjaa ssoommaa nnooss ddáá 55 ++ 33 == 88.. CCoommoo aa ddiiffeerreennççaa eennttrree eessttaass dduuaass 
ssoommaass éé 1199--88==1111,, oo nnúúmmeerroo 2233..885599 sseerráá ddiivviissíívveell ppoorr 1122.. 
 
DDIIVVIISSIIBBIILLIIDDAADDEE PPOORR 1122 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé ddiivviissíívveell ppoorr 1122 qquuaannddoo ffoorr ddiivviissíívveell ppoorr 33 ee ttaammbbéémm ppoorr 44.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
OO nnúúmmeerroo 223311..445566,, ppoorr eexxeemmpplloo,, éé ddiivviissíívveell ppoorr 33,, ppooiiss 22++33++ II ++44++55++66 == 2211,, ee ttaammbbéémm éé ddiivviissíívveell ppoorr 44,, ppooiiss ooss 
ddooiiss úúllttiimmooss aallggaarriissmmooss ffoorrmmaamm oo nnúúmmeerroo 5566,, qquuee éé ddiivviissíívveell ppoorr 44.. LLooggoo,, 223311..445566 éé ddiivviissíívveell ppoorr 1122.. 
 
 
 NNÚÚMMEERROOSS PPRRIIMMOOSS EE CCOOMMPPOOSSTTOOSS 
 
UUmm nnúúmmeerroo éé pprriimmoo qquuaannddoo éé ddiivviissíívveell ppoorr ssii mmeessmmoo ee ppeellaa uunniiddaaddee.. OO úúnniiccoo nnúúmmeerroo ppaarr pprriimmoo éé oo 22.. OOss 
nnúúmmeerrooss pprriimmooss mmeennoorreess ddoo qquuee 5500 ssããoo:: 
 
22;; 33;; 55;; 77;; 1111;; 1133;; 1177;; 1199;; 2233;; 2299;; 3311;; 3377;; 4411;; 4433;; 4477.. 
 
RREECCOONNHHEECCIIMMEENNTTOO DDEE UUMM NNÚÚMMEERROO PPRRIIMMOO:: 
 
PPaarraa vveerriiffiiccaarr ssee uumm nnúúmmeerroo éé pprriimmoo,, ddeevveemmooss ddiivviiddiirr eessttee nnúúmmeerroo,, ssuucceessssiivvaammeennttee,, ppeellooss nnúúmmeerrooss pprriimmooss:: 22,, 
33,, 55,, 77,, 1111,, 1133,, 1177,, ...... aattéé oobbtteerrmmooss uumm qquuoocciieennttee mmeennoorr oouu iigguuaall aaoo ddiivviissoorr.. SSee aattéé eennttããoo nnããoo ttiivveerrmmooss oobbttiiddoo 
ddiivviissããoo eexxaattaa,, ddiizzeemmooss qquuee oo nnúúmmeerroo éépprriimmoo.. 
 
EExxeemmppllooss:: 
((aa)) VVeerriiffiiccaarr ssee oo nnúúmmeerroo 9977 éé pprriimmoo.. 
 
9977 22 9977 33 9977 55 9977 77 
11 4488 11 3322 77 1188 66 1133 
 
CCoommoo nneessssaa ddiivviissããoo oo qquuoocciieennttee jjáá éé mmeennoorr qquuee oo ddiivviissoorr ee nnããoo oobbttiivveemmooss ddiivviissããoo eexxaattaa,, ppoorrttaannttoo,, 9977 
éé uumm nnúúmmeerroo pprriimmoo.. 
 
 
 
 
 
((bb)) VVeerriiffiiccaarr ssee oo nnúúmmeerroo 111199 éé pprriimmoo.. 
 
111199 22 111199 33 111199 55 
11 5599 22 3399 44 2233 
9977 1111 
99 88 
 
 
33 
 
NNeessssaa ooppeerraaççããoo,, oobbttiivveemmooss uummaa ddiivviissããoo eexxaattaa,, ppoorrttaannttoo 111199 nnããoo éé uumm nnúúmmeerroo pprriimmoo.. 
 
 
NNúúmmeerroo CCoommppoossttoo éé ttooddoo nnúúmmeerroo qquuee ppooddee sseerr ffaattoorraaddoo oouu ddeeccoommppoossttoo nnuumm pprroodduuttoo ddee ffaattoorreess pprriimmooss.. 
 
FFaattoorraaççããoo NNuumméérriiccaa:: ttooddoo nnúúmmeerroo ccoommppoossttoo ppooddee sseerr ddeeccoommppoossttoo oouu ffaattoorraaddoo nnuumm pprroodduuttoo ddee nnúúmmeerrooss 
pprriimmooss.. 
 
EExxeemmppllooss:: 
((aa)) FFaattoorraarr oo nnúúmmeerroo 6600.. ((bb)) FFaattoorraarr oo nnúúmmeerroo 114444 
 
6600 
3300 
1155 
55 
11 
22 
22 
33 
55 
 
6600 == 22 .. 22 .. 33 .. 55 
 
6600 == 22
22
 .. 33 .. 55 
 
114444 
7722 
3366 
1188 
99 
33 
11 
22 
22 
22 
22 
33 
33 
 
114444 == 22..22..22..22 
33..33.. 
 
114444 == 22
44
 .. 33
22
 
 
 
NNÚÚMMEERROOSS PPRRIIMMOOSS EENNTTRREE SSII 
 
SSããoo nnúúmmeerrooss qquuee,, mmeessmmoo nnããoo sseennddoo pprriimmooss,, sseerrããoo pprriimmooss eennttrree ssii qquuaannddoo oo úúnniiccoo ddiivviissoorr ccoommuumm eennttrree eelleess 
ffoorr aa uunniiddaaddee.. 
 
EExxeemmpplloo:: 1144 ee 2277 
1144 nnããoo éé pprriimmoo,, ppooiiss éé ddiivviissíívveell ppoorr 11,, 22,, 77 ee 1144.. 
2277 nnããoo éé pprriimmoo,, ppooiiss éé ddiivviissíívveell ppoorr 11,, 33,, 99 ee 2277.. 
 
OO úúnniiccoo ddiivviissoorr ccoommuumm eennttrree 1144 ee 2277 éé aa uunniiddaaddee ((11)),, llooggoo,, ssããoo pprriimmooss eennttrree ssii.. 
 
NNÚÚMMEERROO DDEE DDIIVVIISSOORREESS DDEE UUMM NNÚÚMMEERROO NNAATTUURRAALL 
 
PPaarraa ddeetteerrmmiinnaarr aa qquuaannttiiddaaddee ddee ddiivviissoorreess ddee uumm nnúúmmeerroo nnaattuurraall,, bbaassttaa ffaattoorraarr oo nnúúmmeerroo ee eeffeettuuaarr oo pprroodduuttoo 
ddee ccaaddaa eexxppooeennttee aauummeennttaaddoo ddee uummaa uunniiddaaddee.. 
EExxeemmpplloo:: DDeetteerrmmiinnee oo nnúúmmeerroo ddee ddiivviissoorreess nnaattuurraaiiss ddee 6600.. 
 
6600 == 22
22
 .. 33 .. 55  6600 == 22
22
 .. 33
11
 .. 55
11
 
LLooggoo oo nnúúmmeerroo ddee ddiivviissoorreess nnaattuurraaiiss ddee 6600 sseerráá:: 
 nn [[DD((6600))]] == ((22 ++ 11)) .. ((11 ++ 11)) .. ((11 ++ 11)) 
 nn [[DD((6600))]] == 33 .. 22 .. 22 == 1122 
 
LLooggoo oo nnúúmmeerroo 6600 ppoossssuuiirráá 1122 ddiivviissoorreess nnaattuurraaiiss.. 
 
DDEETTEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO DDOO CCOONNJJUUNNTTOO DDOOSS DDIIVVIISSOORREESS DDEE UUMM NNÚÚMMEERROO NNAATTUURRAALL 
 
PPaarraa ddeetteerrmmiinnaaççããoo ddooss ddiivviissoorreess nnaattuurraaiiss ddee uumm nnúúmmeerroo nnaattuurraall uuttiilliizzaammooss aa sseegguuiinnttee rreeggrraa:: 
DDeeccoommppoommooss oo nnúúmmeerroo eemm ffaattoorreess pprriimmooss ee àà ddiirreeiittaa ddeessttaa ffaattoorraaççããoo ppaassssaammooss uumm ttrraaççoo vveerrttiiccaall.. EEmm sseegguuiiddaa,, 
ccoollooccaammooss aaoo llaaddoo ddiirreeiittoo ddoo ttrraaççoo ee aacciimmaa ddoo pprriimmeeiirroo ffaattoorr,, oo nnúúmmeerroo 11.. OOss ddeemmaaiiss ddiivviissoorreess ddoo nnúúmmeerroo nnaattuurraall 
ddaaddoo ssããoo oobbttiiddooss aa ppaarrttiirr ddeessssee nnúúmmeerroo 11,, mmuullttiipplliiccaannddoo--ssee ccaaddaa uumm ddooss ffaattoorreess pprriimmooss qquuee eessttããoo àà eessqquueerrddaa ddoo 
ttrraaççoo ppeellooss nnúúmmeerrooss qquuee eessttããoo àà ddiirreeiittaa ee ssiittuuaaddooss aacciimmaa ddeellee,, nnããoo ccoommeetteennddoo rreeppeettiiççõõeess.. 
 
 
 
 
EExxeemmppllooss:: 
((aa)) DDeetteerrmmiinnaarr oo ccoonnjjuunnttoo ddooss ddiivviissoorreess nnaattuurraaiiss ddoo nnúúmmeerroo 4488.. 
 
 
4488 
 
22 
11 
22 
111199 77 
00 1177 
6600 
3300 
1155 
55 
11 
22 
22 
33 
55 
 
 
 
44 
2244 
1122 
66 
33 
11 
22 
22 
22 
33 
 
44 
88 
1166 
33  66  1122  2244  4488 
 
DD((4488)) == {{11,, 22,, 33,, 44,, 66,, 88,, 1122,, 1166,, 2244,, 4488}} 
 
((bb)) DDeetteerrmmiinnee oo ccoonnjjuunnttoo ddooss ddiivviissoorreess ppoossiittiivvooss ddoo nnúúmmeerroo 4400.. 
 
 
4400 
2200 
1100 
55 
11 
 
22 
22 
22 
55 
11 
22 
44 
88 
55  1100  2200  4400 
 
DD((4400)) == {{11,, 22,, 44,, 55,, 88,, 1100,, 2200,, 4400}} 
((cc)) DDeetteerrmmiinnee oo ccoonnjjuunnttoo ddooss ddiivviissoorreess ppoossiittiivvooss íímmppaarreess ddoo nnúúmmeerroo 119966.. 
 
 
119966 
9988 
4499 
77 
11 
 
 
22 
22 
77 
77 
11 
22 
44 
77  1144  2288 
4499  9988  119966 
 
DD((119966)) == {{11,, 22,, 44,, 77,, 1144,, 2288,, 4499,, 9988,, 119966}} 
 
OO ccoonnjjuunnttoo ddooss ddiivviissoorreess íímmppaarreess sseerráá:: DDii ((119966)) 
DDii ((119966)) == {{11,, 77,, 4499}} 
 
MMÁÁXXIIMMOO DDIIVVIISSOORR CCOOMMUUMM ((MMDDCC)) 
 
OO mmááxxiimmoo ddiivviissoorr ccoommuumm ddee ddooiiss oouu mmaaiiss nnúúmmeerrooss éé oo mmaaiioorr ddee sseeuuss ddiivviissoorreess ccoommuunnss.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
SSeejjaamm ooss ccoonnjjuunnttooss ddooss ddiivviissoorreess ddee 1188,, 3300 ee 4422.. 
DD ((1188))=={{ 11,, 22,, 33,, 66,, 99,, 1188}} 
DD ((3300)) == {{ 11,, 22,, 33,, 55,, 66,, 1100,, 1155,,3300}} 
DD ((4422)) == {{ 11,, 22,, 33,, 66,, 77,, 1144,, 2211,,4422}} 
 
EE ooss ddiivviissoorreess ccoommuunnss ddee 1188,, 3300 ee 4422.. 
 
DD ((1188))  DD ((3300))  DD ((4422)) == {{11,, 22,, 33,, 66 }} 
LLooggoo:: MMDDCC ((1188,, 3300,, 4422)) == 66 
 
PPrroocceessssooss ppaarraa oo CCáállccuulloo ddoo MMDDCC 
 
11ºº PPrroocceessssoo:: DDeeccoommppoossiiççããoo eemm ffaattoorreess pprriimmooss eemm sseeppaarraaddoo.. 
 
aa)) DDeeccoommppõõeemm--ssee ooss nnúúmmeerrooss eemm ffaattoorreess pprriimmooss.. 
 
bb)) TToommaa--ssee oo pprroodduuttoo ddooss ffaattoorreesspprriimmooss ccoommuunnss,, eelleevvaaddooss aaoo mmeennoorr ddee sseeuuss eexxppooeenntteess.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
OO MMDDCC eennttrree 442200,, 448800 ee 660000:: 
 
 
55 
 
 
22°° PPrroocceessssoo:: DDeeccoommppoossiiççããoo ddee ffaattoorreess pprriimmooss eemm ccoonnjjuunnttoo.. 
 
aa)) DDeeccoommppõõeemm--ssee eemm ffaattoorreess pprriimmooss,, ddiivviiddiinnddoo ooss nnúúmmeerrooss ssoommeennttee ppeellooss ffaattoorreess ccoommuunnss.. 
 
bb)) TToommaa--ssee oo pprroodduuttoo ddeesssseess ffaattoorreess pprriimmooss ccoommuunnss.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
MMDDCC eennttrree 442200,, 448800 ee 660000.. 
 
MMDDCC ((660000,, 448800,, 442200)) == 22
22
 .. 33 .. 55 
 
MMDDCC ((660000,, 448800,, 442200)) == 6600 
33ºº pprroocceessssoo:: DDiivviissõõeess ssuucceessssiivvaass oouu AAllggoorriittmmoo ddee EEuucclliiddeess.. 
 
 
aa)) DDiivviiddee--ssee oo mmaaiioorr nnúúmmeerroo ppeelloo mmeennoorr.. DDeeppooiiss oo mmeennoorr nnúúmmeerroo ppeelloo rreessttoo ddaa ddiivviissããoo.. EEmm sseegguuiiddaa oo rreessttoo ddaa 
pprriimmeeiirraa ddiivviissããoo ppeelloo rreessttoo ddaa sseegguunnddaa ddiivviissããoo,, oo rreessttoo ddaa sseegguunnddaa ddiivviissããoo ppeelloo rreessttoo ddaa tteerrcceeiirraa ddiivviissããoo,, ee aassssiimm 
ssuucceessssiivvaammeennttee aattéé eennccoonnttrraarr uumm qquuoocciieennttee eexxaattoo.. 
bb)) OO úúllttiimmoo ddiivviissoorr eennccoonnttrraaddoo éé oo mmááxxiimmoo ddiivviissoorr ccoommuumm.. 
cc)) OO úúllttiimmoo qquuoocciieennttee,, qquuaannddoo ffoorr oo mmeennoorr ppoossssíívveell,, éé iigguuaall aa ddooiiss 
 
EExxeemmpplloo:: 
OO MMDDCC eennttrree 442200,, 448800 ee 660000.. 
 
 11 44 
660000 448800 112200 
112200 00 
MMDDCC ((660000,, 448800,, 442200)) == 6600 
 
CCoonnsseeqquuêênncciiaass ddoo MMDDCC 
11°°)) OO MMDDCC eennttrree ddooiiss oouu mmaaiiss nnúúmmeerrooss pprriimmooss eennttrree ssii éé 11.. 
 
EExxeemmppllooss:: 
MMDDCC ((1155,, 2288)) == 11 
MMDDCC ((99,, 1166,, 2255)) == 11 
 
22°°)) OO MMDDCC eennttrree ddooiiss oouu mmaaiiss nnúúmmeerrooss,, eemm qquuee ooss mmaaiioorreess ssããoo ddiivviissíívveeiiss ppeelloo mmeennoorr,, éé oo mmeennoorr nnúúmmeerroo.. 
 
EExxeemmppllooss:: 
MMDDCC ((5500,, 115500)) == 5500 
MMDDCC ((7700,, 221100,, 228800)) == 7700 
 
 
33°°)) OOss ddiivviissoorreess ccoommuunnss ddee ddooiiss oouu mmaaiiss nnúúmmeerrooss ssããoo ooss ddiivviissoorreess ddoo MMDDCC eennttrree eesssseess nnúúmmeerrooss.. 
EExxeemmpplloo:: 
DD ((1188))=={{11,, 22,, 33,, 66,, 99,, 1188}} 
DD ((3300)) == {{11,, 22,, 33,, 55,, 66,, 1100,, 1155,, 3300}} 
DD ((4422)) == {{11,, 22,, 33,, 66,, 77,, 1144,, 2211,, 4422}} 
 
442200 -- 448800 -- 660000 
221100 -- 224400 -- 330000 
110055 -- 112200 -- 115500 
3355 -- 4400 -- 5500 
77 -- 88 -- 1100 
 
22 
22 
33 
55 
 3 2 
420 120 60 
60 0 
 
 
 
66 
 
MMDDCC ((1188,, 3300,, 4422)) == 66 
DD ((1188))  DD ((3300))  DD ((4422)) == {{11,, 22,, 33,, 66}} 
DD ((66)) == {{11,, 22,, 33,, 66}} 
DD ((1188))  DD ((3300))  DD ((4422)) == DD ((66)) 
 
44°°)) MMuullttiipplliiccaannddoo--ssee oouu ddiivviiddiinnddoo--ssee ddooiiss oouu mmaaiiss nnúúmmeerrooss ppoorr uumm mmeessmmoo nnúúmmeerroo,, oo MMDDCC eennttrree eelleess ffiiccaarráá 
mmuullttiipplliiccaaddoo oouu ddiivviiddiiddoo,, rreessppeeccttiivvaammeennttee,, ppoorr eessssee mmeessmmoo nnúúmmeerroo.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
MMDDCC ((2244,, 3366)) == 1122 
MMuullttiipplliiccaannddoo--ssee ooss nnúúmmeerrooss ppoorr 44,, oo MMDDCC ffiiccaarráá mmuullttiipplliiccaaddoo ppoorr 44.. 
MMDDCC ((9966,, 114444)) == 1122 xx 44 == 4488 
 
DDiivviiddiinnddoo--ssee ooss nnúúmmeerrooss ppoorr 33,, oo MMDDCC ffiiccaarráá ddiivviiddiiddoo ppoorr 33.. 
MMDDCC ((88,, 1122)) == 1122  33 == 44 
 
MMÍÍNNIIMMOO MMÚÚLLTTIIPPLLOO CCOOMMUUMM ((MMMMCC)) 
 
OO mmíínniimmoo mmúúllttiipplloo ccoommuumm ddee ddooiiss oouu mmaaiiss nnúúmmeerrooss éé oo mmeennoorr ddee sseeuuss mmúúllttiippllooss ccoommuunnss,, ddiiffeerreennttee ddee zzeerroo.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
SSeejjaamm ooss ccoonnjjuunnttooss ddooss mmúúllttiippllooss ddee 33,, 44 ee 66.. 
 
MM ((33)) == {{00,, 33,, 66,, 99,, 1122,, 1155,, 1188,, 2211,, 2244,,...... }} 
MM ((44)) == {{00,, 44,, 88,, 1122,, 1166,, 2200,, 2244,, 2288,, 3322,, ...... }} 
MM ((66)) == {{00,, 66,, 1122,, 1188,, 2244,, 3300,, 3366,, 4422,, 4488,, 5544,, ...... }} 
 
EE ooss mmúúllttiippllooss ccoommuunnss ddee 33,, 44 ee 66,, ssããoo:: 
MM ((33))  MM ((44))  MM ((66)) == {{00,, 1122,, 2244,, ...... }} 
LLooggoo:: MMMMCC ((33,, 44,, 66)) == 1122 
 
PPrroocceessssooss ppaarraa oo CCáállccuulloo ddoo MMMMCC 
 
11ºº PPrroocceessssoo -- DDeeccoommppoossiiççããoo eemm ffaattoorreess pprriimmooss eemm sseeppaarraaddoo.. 
 
aa)) DDeeccoommppõõeemm--ssee ooss nnúúmmeerrooss eemm ffaattoorreess pprriimmooss.. 
 
7700 
3355 
77 
11 
22 
55 
77 
 7755 
2255 
55 
11 
33 
55 
55 
 
 8800 
4400 
2200 
1100 
55 
11 
22 
22 
22 
22 
55 
 
 
7700 == 22 .. 55 .. 77 MMMMCC ((7700,, 7755,, 8800)) == 22
44
 .. 33 .. 55
22
 .. 77 
7755 == 33 .. 55
22
 MMMMCC ((7700,, 7755,, 8800)) == 88440000 
8800 == 22
44
 .. 55 
 
bb)) TToommaa--ssee oo pprroodduuttoo ddooss ffaattoorreess pprriimmooss ccoommuunnss ee nnããoo ccoommuunnss,, eelleevvaaddooss aaoo mmaaiioorr ddee sseeuuss eexxppooeenntteess.. 
 
22ºº PPrroocceessssoo -- DDeeccoommppoossiiççããoo eemm ffaattoorreess pprriimmooss eemm ccoonnjjuunnttoo.. 
 
aa)) DDeeccoommppõõeemm--ssee ooss nnúúmmeerrooss eemm ffaattoorreess pprriimmooss,, ddiivviiddiinnddoo--ssee ooss nnúúmmeerrooss ppeellooss ffaattoorreess ccoommuunnss ee nnããoo ccoommuunnss.. 
 
bb)) TToommaa--ssee oo pprroodduuttoo ddeesssseess ffaattoorreess pprriimmooss ccoommuunnss ee nnããoo ccoommuunnss.. 
EExxeemmpplloo:: 
 
7700 -- 7755 -- 8800 
3355 -- 7755 -- 4400 
3355 -- 7755 -- 2200 
 
22 
22 
22 
 
 
 
77 
 
77 -- 55 -- 11 
77 -- 11 -- 11 
11 -- 11 -- 11 
 
 
55 
77 
 
 
MMMMCC ((7700,, 7755,, 8800)) == 22
44
 .. 33 .. 55
22
 .. 77 
MMMMCC ((7700,, 7755,, 8800)) == 88440000 
 
CCoonnsseeqquuêênncciiaass ddoo MMMMCC 
 
11ºº)) OO MMMMCC eennttrreeddooiiss nnúúmmeerrooss pprriimmooss eennttrree ssii éé iigguuaall aaoo pprroodduuttoo eennttrree eelleess.. 
EExxeemmppllooss:: 
MMMMCC ((1122,, 2255)) == 1122 .. 2255 == 330000 
MMMMCC ((44,, 99)) == 44 .. 99 == 3366 
 
22ºº)) OO MMMMCC eennttrree ddooiiss oouu mmaaiiss nnúúmmeerrooss,, eemm qquuee oo mmaaiioorr éé mmúúllttiipplloo ddooss mmeennoorreess,, éé oo mmaaiioorr nnúúmmeerroo.. 
 
EExxeemmppllooss:: 
MMMMCC ((4400,, 112200)) == 112200 
MMMMCC ((5500,, 115500,, 330000)) == 330000 
 
33ºº)) OOss mmúúllttiippllooss ccoommuunnss ddee ddooiiss oouu mmaaiiss nnúúmmeerrooss ssããoo ooss mmúúllttiippllooss ddoo MMMMCC eennttrree eesssseess nnúúmmeerrooss.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
MM ((33)) == {{00,, 33,, 66,, 99,, 1122,, 1155,, 1188,, 2211,, 2244,, ......}} 
MM ((44)) == {{00,, 44,, 88,, 1122,, 1166,, 2200,, 2244,, 2288,, 3322,, ......}} 
MM ((66)) == {{00,, 66,, 1122,, 1188,, 2244,, 3300,, ......}} 
MMMMCC ((33,, 44,, 66)) == 1122 
MM ((33))  MM ((44))  MM ((66)) == {{00,, 1122,, 2244,, ......}} 
MM ((1122)) == {{00,, 1122,, 2244,, ......}} 
MM ((33))  MM ((44))  MM ((66)) == MM ((1122)) 
 
44ºº)) MMuullttiipplliiccaannddoo--ssee oouu ddiivviiddiinnddoo--ssee ddooiiss oouu mmaaiiss nnúúmmeerrooss ppoorr uumm mmeessmmoo nnúúmmeerroo,, oo MMMMCC eennttrree eelleess ffiiccaarráá 
mmuullttiipplliiccaaddoo oouu ddiivviiddiiddoo,, rreessppeeccttiivvaammeennttee,, ppoorr eessttee mmeessmmoo nnúúmmeerroo.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
MMMMCC ((1122,, 1188)) == 3366 
MMuullttiipplliiccaannddoo--ssee ooss nnúúmmeerrooss ppoorr 44,, oo MMMMCC ffiiccaarráá mmuullttiipplliiccaaddoo ppoorr 44.. 
 
MMMMCC ((4488,, 7722)) == 3366 .. 44 == 114444 
DDiivviiddiinnddoo ooss nnúúmmeerrooss ppoorr 33,, oo MMMMCC ffiiccaarráá ddiivviiddiiddoo ppoorr 33.. 
 
MMMMCC ((44,, 66)) == 3366  33 == 1122 
 
RREELLAAÇÇÕÕEESS EEXXIISSTTEENNTTEESS EENNTTRREE OO MMDDCC EE OO MMMMCC 
 
11ªª RReellaaççããoo:: oo pprroodduuttoo ddee ddooiiss nnúúmmeerrooss éé iigguuaall aaoo pprroodduuttoo ddoo mmááxxiimmoo ddiivviissoorr ccoommuumm ppeelloo mmíínniimmoo mmúúllttiipplloo ccoommuumm 
eennttrree eesssseess nnúúmmeerrooss.. 
 
AA .. BB == MMDDCC ((AA,, BB)) .. MMMMCC ((AA,, BB)) 
 
EExxeemmpplloo:: 
SSeejjaamm ooss nnúúmmeerrooss 4400 ee 6600:: 
MMDDCC ((4400,, 6600)) == 2200 
MMMMCC ((4400,, 6600)) == 112200 
AA .. BB == MMDDCC ((AA,, BB)) .. MMMMCC ((AA,, BB)) 
4400 .. 6600 == 2200 .. 112200 
22440000 == 22440000 
 
22ªª RReellaaççããoo:: OO mmááxxiimmoo ddiivviissoorr ccoommuumm eennttrree ddooiiss nnúúmmeerrooss éé iigguuaall aaoo mmááxxiimmoo ddiivviissoorr ccoommuumm eennttrree aa ssoommaa ee oo 
3355 -- 7755 -- 1100 
3355 -- 7755 -- 55 
3355 -- 2255 -- 55 
 
22 
33 
55 
 
 
88 
mmíínniimmoo mmúúllttiipplloo ccoommuumm ddeesssseess nnúúmmeerrooss.. 
 
MMDDCC ((AA,, BB)) == MMDDCC ((AA ++ BB ,, MMMMCC((AA,, BB)) )) 
 
EExxeemmpplloo:: 
 
SSeejjaamm ooss nnúúmmeerrooss 9900 ee 112200:: 
MMDDCC ((9900,,112200)) == 3300 
MMMMCC ((9900,, 112200)) == 336600 
SSoommaa:: 9900 ++ 112200 == 221100 
MMDDCC ((221100,, 336600)) == 3300 
MMDDCC ((AA,, BB)) == MMDDCC ((ssoommaa,, MMMMCC)) 
MMDDCC ((9900,, 112200)) == MMDDCC ((221100,, 336600)) 
3300 == 3300 
 
 
 
0011.. DDuuaass ttáábbuuaass ddeevveemm sseerr ccoorrttaaddaass eemm ppeeddaaççooss ddee mmeessmmoo ccoommpprriimmeennttoo ee ddee ttaammaannhhoo mmaaiioorr ppoossssíívveell.. SSee 
uummaa ddeellaass tteemm 119966ccmm ee aa oouuttrraa tteemm 114400ccmm.. AA mmeeddiiddaa ddee ccaaddaa ppeeddaaççoo éé ssuuppeerriioorr aa 3300 ccmm.. 
 
0022.. SSeemmpprree qquuee ddeetteerrmmiinnaaddaa ppeessssooaa aannddaa 665500 cceennttíímmeettrrooss,, 880000 cceennttíímmeettrrooss ee 11000000 cceennttíímmeettrrooss,, eellaa 
ccaammiinnhhaa uumm nnúúmmeerroo eexxaattoo ddee ppaassssooss.. OO mmaaiioorr ccoommpprriimmeennttoo ppoossssíívveell ddee ccaaddaa ppaassssoo ddaaddoo ppoorr eessssaa ppeessssooaa 
éé mmúúllttiipplloo ddee 2255ccmm.. 
 
0033.. UUmmaa eeddiittoorraa ddeevvee eennccaaiixxoottaarr 115566 lliivvrrooss ddee CCiiêênncciiaass ee 220088 ddee MMaatteemmááttiiccaa,, ccoollooccaannddoo oo mmaaiioorr nnúúmmeerroo 
ppoossssíívveell ddee lliivvrrooss eemm ccaaddaa ccaaiixxaa.. OO nnúúmmeerroo mmááxxiimmoo ddee lliivvrrooss qquuee ddeevveemm sseerr ccoollooccaaddooss eemm ccaaddaa ccaaiixxaa ssee 
ttooddaass eellaass ddeevveemm tteerr aa mmeessmmaa qquuaannttiiddaaddee ddee lliivvrrooss éé 1188.. 
 
0044.. QQuueerr--ssee ddiivviiddiirr ttrrêêss ppeeççaass ddee ffaazzeennddaa qquuee mmeeddeemm,, rreessppeeccttiivvaammeennttee,, 118800,, 221166 ee 228888 mmeettrrooss eemm ppaarrtteess 
iigguuaaiiss ee ddoo mmaaiioorr ttaammaannhhoo ppoossssíívveell.. OO nnúúmmeerroo ddee ppaarrtteess qquuee ssee ccoonnsseegguuiirráá éé mmaaiioorr qquuee 3300.. 
 
0055.. UUmmaa lliivvrraarriiaa rreecceebbeeuu ddooiiss ppeeddiiddooss:: uumm ddee 112266 ee oouuttrroo ddee 227700 lliivvrrooss.. EEllaa ddeesseejjaa aatteennddeerr aaooss ddooiiss 
ppeeddiiddooss ccoomm ppaaccootteess iigguuaall ee oo mmeennoorr nnúúmmeerroo ppoossssíívveell ddee ppaaccootteess.. OO nnúúmmeerroo ddee lliivvrrooss qquuee ssee ddeevvee 
ccoollooccaarr eemm ccaaddaa ppaaccoottee ee oo nnúúmmeerroo ddee ppaaccootteess ssããoo nnúúmmeerrooss pprriimmooss eennttrree ssee.. 
 
0066.. NNuummaa rruuaa,, hháá áárrvvoorreess ppllaannttaaddaass ddee 2200 eemm 2200 mmeettrrooss.. DDoo oouuttrroo llaaddoo ddeessssaa rruuaa,, hháá ppoosstteess ccoollooccaaddooss ddee 
5500 eemm 5500 mmeettrrooss.. NNuumm cceerrttoo lluuggaarr,, hháá uumm ppoossttee eemm ffrreennttee aa uummaa áárrvvoorree.. PPooddeemmooss ddiizzeerr qquuee iissssoo aaccoonntteeccee 
aa ccaaddaa 110000mm.. 
 
0077.. DDaa eessttaaççããoo rrooddoovviiáárriiaa ddee SSããoo PPaauulloo,, ppaarrtteemm ssiimmuullttaanneeaammeennttee uumm ôônniibbuuss ppaarraa oo RRiioo ddee JJaanneeiirroo ee oouuttrroo 
ppaarraa BBeelloo HHoorriizzoonnttee.. HHáá ôônniibbuuss ppaarraa oo RRiioo ddee 2200 eemm 2200 mmiinnuuttooss ee ppaarraa BBeelloo HHoorriizzoonnttee ddee 9900 eemm 9900 
mmiinnuuttooss.. TTeerreemmooss nnoovvaammeennttee ppaarrttiiddaass ssiimmuullttâânneeaass ppaarraa oo RRiioo ee BBeelloo HHoorriizzoonnttee aa ccaaddaa 33hhoorraass.. 
 
0088.. TTrrêêss nnaavviiooss ppaarrtteemm ddoo ppoorrttoo ddoo MMuuccuurriippee ((FFoorrttaalleezzaa--CCee)).. OO pprriimmeeiirroo ppaarrttee ddee 1155 eemm 1155 ddiiaass;; oo sseegguunnddoo,, 
ddee 2200 eemm 2200 ddiiaass;; ee oo tteerrcceeiirroo,, ddee 3300 eemm 3300 ddiiaass.. EElleess ppaarrttiirraamm jjuunnttooss nnoo ddiiaa pprriimmeeiirroo ddee jjuullhhoo.. AAttéé qquuee oo 
aannoo tteerrmmiinnee oo ttrrêêss nnaavviiooss vvoollttaarrããoo aa ffaazzeerr aa mmeessmmaa ccooiissaa mmaaiiss ddee 44 vveezzeess.. 
 
0099.. UUmm nnúúmmeerroommaaiioorr qquuee 22..000000 ee mmeennoorr qquuee 33..000000 ffooii ssuucceessssiivvaammeennttee ddiivviiddiiddoo ppoorr 1122,, ppoorr 2255 ee ppoorr 4455.. NNaass 
ttrrêêss ddiivviissõõeess,, oo rreessttoo ffooii sseemmpprree 88.. EEssssee nnúúmmeerroo éé mmaaiioorr qquuee 22..778800.. 
 
1100.. DDooiiss ddeeppóóssiittooss ttêêmm,, rreessppeeccttiivvaammeennttee,, 11..335500 ee 443355 lliittrrooss ddee ccaappaacciiddaaddee.. PPaarraa eenncchheerr ccaaddaa uumm ddeesssseess 
ddeeppóóssiittooss,, uussoouu--ssee uummaa mmeessmmaa vvaassiillhhaa,, uumm nnúúmmeerroo ddee vveezzeess.. AA mmaaiioorr ccaappaacciiddaaddee qquuee ppooddee tteerr aa vvaassiillhhaa éé 
1155 lliittrrooss.. 
 
 
 
 
 
99 
GGAABBAARRIITTOO 
01) E 06) C 
02) C 07) C 
03) E 08) E 
04) C 09) E 
05) C 10) C 
 
 
CCOONNJJUUNNTTOO DDOOSS NNÚÚMMEERROOSS IINNTTEEIIRROOSS (()) 
 
SSuurrggiiuu ppeellaa nneecceessssiiddaaddee qquuee oo hhoommeemm tteevvee ddee rreessoollvveerr oouuttrrooss pprroobblleemmaass.. EEssttaa nneecceessssiiddaaddee ccoonndduuzziiuu oo 
hhoommeemm aa uummaa eevvoolluuççããoo ttaannttoo mmeennttaall ccoommoo ccuullttuurraall.. 
 
 .... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1,- 2,- 3,- 4,- 5,- ...,
 
 
RReepprreesseennttaammooss oo ccoonnjjuunnttoo ddooss nnúúmmeerrooss iinntteeiirrooss nnããoo nnuullooss ppoorr ZZ**.. 
 
ZZ** == {{......,, 33,, 22,, 11,, 11,, 22,, 33,, ......}} 
 
OObbsseerrvveemmooss qquuee:: 
CCoonnjjuunnttoo ddooss iinntteeiirrooss ppoossiittiivvooss:: 
...},,,,{* 4321Z
 
CCoonnjjuunnttoo ddooss iinntteeiirrooss nneeggaattiivvooss:: 
},,{...,* 123 Z
 
CCoonnjjuunnttoo ddooss iinntteeiirrooss nnããoo--nneeggaattiivvooss:: 
...},,,,{ 3210Z
 
CCoonnjjuunnttoo ddooss iinntteeiirrooss nnããoo--ppoossiittiivvooss:: 
},,,{..., 0123 Z
 
 
OObbsseerrvvaaççõõeess:: 
 OO ssiinnaall ddee mmeennooss ((--)) éé aapplliiccaaddoo ttooddaa vveezz qquuee oo nnúúmmeerroo rreepprreesseennttaa uummaa ssiittuuaaççããoo ddeessffaavvoorráávveell oouu ddee ddééffiicciitt.. 
 OO ssiinnaall ddee mmeennooss ((++)) éé aapplliiccaaddoo ttooddaa vveezz qquuee oo nnúúmmeerroo rreepprreesseennttaa uummaa ssiittuuaaççããoo ffaavvoorráávveell oouu ddee lluuccrroo.. 
 PPeerrcceebbeemmooss qquuee oo ssiinnaall ddee ++ ee oo ssiinnaall ssee –– ssããoo uussaaddooss ppaarr eexxpprreessssaarr ssiittuuaaççõõeess ooppoossttaass ((ssiimmeettrriiaass)).. 
 UUmm nnúúmmeerroo sseemm oo ssiinnaall ddee iiddeennttiiffiiccaaççããoo sseerráá ccoonnssiiddeerraaddoo ppoossiittiivvoo.. 
 OO ccoonnjjuunnttoo ((ZZ)) eenngglloobbaa ttooddooss ooss eelleemmeennttooss nnaattuurraaiiss ((NN)).. 
 
 OO ssíímmbboolloo ((II II)) éé ddeennoommiinnaaddoo mmóódduulloo ee éé uuttiilliizzaaddoo qquuaannddoo lleevvaammooss eemm ccoonnssiiddeerraaççããoo aappeennaass aa qquuaannttiiddaaddee 
qquuee oo nnúúmmeerroo rreepprreesseennttaa.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
aa)) --55== 55 
bb)) ++88== 88 
cc)) 00== 00 
 
OOppeerraaççõõeess ccoomm NNúúmmeerrooss IInntteeiirrooss ((ZZ)) 
 
AAddiiççããoo 
SSiinnaaiiss IIgguuaaiiss SSoommaa ee ccoonnsseerrvvaa oo ssiinnaall 
SSiinnaaiiss DDiiffeerreenntteess SSuubbttrraaii ee ccoonnsseerrvvaa oo ssiinnaall ddoo mmaaiioorr mmóódduulloo.. 
SSuubbttrraaççããoo CCoonnsseerrvvaa oo pprriimmeeiirroo ee ssoommaa ccoomm oo ooppoossttoo ddoo sseegguunnddoo.. 
MMuullttiipplliiccaaççããoo 
ee DDiivviissããoo 
SSiinnaaiiss IIgguuaaiiss ÉÉ sseemmpprree ppoossiittiivvoo.. 
SSiinnaaiiss DDiiffeerreenntteess ÉÉ sseemmpprree nneeggaattiivvoo.. 
PPootteenncciiaaççããoo 
EExxppooeennttee ppaarr SSeemmpprree ppoossiittiivvoo 

n fatores
n aaaaaa a a  ; ; 10 1
 
EExxppooeennttee IImmppaarr MMeessmmoo ssiinnaall ddaa bbaassee.. 
RRaaddiicciiaaççããoo 
VVeerr ccoonnddiiççõõeess ddee 
eexxiissttêênncciiaa 
 
 
 
1100 
 EExxpprreessssõõeess NNuumméérriiccaass:: AAss eexxpprreessssõõeess nnuumméérriiccaass nnooss ppeerrmmiitteemm rreeaalliizzaarr ddiivveerrssooss ccáállccuullooss mmaatteemmááttiiccooss qquuee 
eessttããoo eemm uummaa cceerrttaa sseeqquuêênncciiaa.. PPaarraa ttaannttoo bbaassttaa sseegguuiirrmmooss uummaa oorrddeemm ccrroonnoollóóggiiccaa ddee aaççõõeess qquuee ssããoo pprreevviiaammeennttee 
ddeeffiinniiddaass.. 
 
 
 
 
 
 
CCOONNJJUUNNTTOO DDOOSS NNÚÚMMEERROOSS RRAACCIIOONNAAIISS ((QQ)) 
 
 CCoonnjjuunnttoo ddee ttooddooss ooss nnúúmmeerrooss qquuee ppooddeemm sseerr eexxpprreessssooss eemm ffoorrmmaa ddee ffrraaççããoo.. OOuu sseejjaa:: ““DDaaddooss ddooiiss nnúúmmeerrooss aa ee 
bb iinntteeiirrooss,, ccoomm bb  00 oobbrriiggaattoorriiaammeennttee.. QQuuaannddoo 
b
a
 rreepprreesseennttaa uummaa ffrraaççããoo,, cchhaammaammooss ddee aa NNuummeerraaddoorr ((nnoommeerraattuuss == 
ccoonnttaarr)) ee bb DDeennoommiinnaaddoorr ((DDeennoommiinnaattuuss == ddaarr nnoommeess)).. 
 
AA ppaallaavvrraa RRaacciioonnaall éé ddee oorriiggeemm llaattiinnaa.. OOrriiggiinnaa--ssee ddee rraattiioo qquuee ssiiggnniiffiiccaa rraatteeiioo ((DDiivviissããoo)).. 
o}bZ/ b e a,
b
a
{Q 
 
 
 
LLeeiittuurraa ddee uummaa ffrraaççããoo:: AA lleeiittuurraa ddee uummaa ffrraaççããoo éé ffeeiittaa ddee 
mmaanneeiirraa mmuuiittoo ssiimmpplleess:: 
 
 OO nnuummeerraaddoorr llêê--ssee nnoorrmmaallmmeennttee 
 AA lleeiittuurraa ddoo ddeennoommiinnaaddoorr sseegguuee aa ttaabbeellaa aabbaaiixxoo.. 
 
VVeejjaa aallgguunnss eexxeemmppllooss:: 
 
 
 
 
 avos treze cinco e vinte sêLe 
13
25
 e)
milésimos trinta sêLe 
1000
30
 d)
centésimos seis e cinquenta e cento sêLe 
100
156
 c)
nonos sete e vinte sêLe 
9
27
 b)
quintos dois sêLe 
5
2
 a)





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DD LLêê--ssee DD LLêê--ssee 
22 MMeeiiooss 99 NNoonnooss 
33 TTeerrççooss 1100 DDéécciimmooss 
44 QQuuaarrttooss 110000 CCeennttééssiimmooss 
55 QQuuiinnttooss 11..000000 MMiillééssiimmooss 
66 SSeexxttooss 1100..000000 
DDéécciimmooss ddee MMiillééssiimmooss 
oouu 
DDéécciimmooss mmiilliioonnééssiimmooss 
77 SSééttiimmooss 110000..000000 
CCeennttééssiimmoo ddee 
MMiillééssiimmooss oouu 
CCeennttééssiimmooss 
mmiilliioonnééssiimmooss 
88 OOiittaavvooss 11..000000..000000 MMiilliioonnééssiimmooss 
OOrrddeemm OOppeerraaççõõeess 
SSiinnaaiiss ddee 
aassssoocciiaaççããoo 
 
OObbsseerrvvaaççããoo:: 
11ºº 
lluuggaarr mm a ou a  
 
AA oorrddeemm ddee 
rreessoolluuççããoo 
aaccoonntteecceerráá ddaa 
eessqquueerrddaa ppaarraa 
aa ddiirreeiittaa.. 
 EE DD 
22ºº 
lluuggaarr  ou 
 
 
 
33ºº 
lluuggaarr - ou 
 
 
 
OObbsseerrvvaaççããoo IImmppoorrttaannttee:: 
 PPaarraa ooss ddeemmaaiissddeennoommiinnaaddoorreess,, ddeevveemmooss llêê--llooss 
nnoorrmmaallmmeennttee aaccrreesscceennttaannddoo aa ppaallaavvrraa ““((aavvooss))”” .. 
 
 
1111 
TTIIPPOOSS DDEE FFRRAAÇÇÕÕEESS 
 
PPrróópprriiaa:: NNuummeerraaddoorr éé mmaaiioorr qquuee oo ddeennoommiinnaaddoorr.. 
IImmpprróópprriiaa:: NNuummeerraaddoorr ee mmeennoorr qquuee oo ddeennoommiinnaaddoorr.. 
AAppaarreennttee:: NNuummeerraaddoorr éé mmúúllttiipplloo ddoo ddeennoommiinnaaddoorr.. EEmm oouuttrraass ppaallaavvrraass aa ddiivviissããoo ddoo nnuummeerraaddoorr ppeelloo ddeennoommiinnaarr éé 
eexxaattaa.. 
NNúúmmeerroo MMiissttoo((
c
b
a
)):: TTaammbbéémm ccoonnhheecciiddoo ccoommoo ffrraaççããoo mmiissttaa.. PPooiiss eessttee nnúúmmeerroo éé ffoorrmmaaddoo ppoorr dduuaass ppaarrtteess:: uummaa 
iinntteeiirraa ee oouuttrraa ffrraacciioonnáárriiaa.. 
VVeejjaa:: OO nnúúmmeerroo 
5
13
5
325
5
3
2
5
3
2 


 ppooddeemmooss aaffiirrmmaarr qquuee ttuuddoo nnúúmmeerroo mmiissttoo éé uummaa ffrraaççããoo iimmpprróópprriiaa.. 
 
 FFrraaççõõeess EEqquuiivvaalleenntteess:: DDuuaass oouu mmaaiiss ffrraaççõõeess qquuee rreepprreesseennttaamm aa mmeessmmaa ppaarrttee ddaa uunniiddaaddee ssããoo cchhaammaaddaass ddee 
ffrraaççõõeess eeqquuiivvaalleenntteess.. 
 
 
 SSiimmpplliiffiiccaaççããoo ddee FFrraaççõõeess:: AA ssiimmpplliiffiiccaaççããoo ddee ffrraaççõõeess éé nneecceessssáárriiaa qquuaannddoo pprreetteennddeemmooss eexxpprreessssaarr uummaa 
ddeetteerrmmiinnaaddaa ffrraaççããoo uuttiilliizzaannddoo vvaalloorreess mmeennoorreess ((iirrrreedduuttíívveeiiss)).. PPaarraa ttaannttoo bbaassttaa eennccoonnttrraarr uumm nnúúmmeerroo qquuee ppoossssaa ddiivviiddiirr 
oo nnuummeerraaddoorr ee oo ddeennoommiinnaaddoorr aaoo mmeessmmoo tteemmppoo.. 
 
 OOuu sseejjaa:: SSiimmpplliiffiiccaarr uummaa ffrraaççããoo ssiiggnniiffiiccaa oobbtteerr uummaa ffrraaççããoo eeqquuiivvaalleennttee eemm tteerrmmooss mmeennoorreess qquuee ooss iinniicciiaaiiss.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
aa)) 
3
4
6
8
2
2


 bb)) 
3
5
6
10
30
50
90
150
2
2
5
5
3
3






 
 
 FFrraaççõõeess IIrrrreedduuttíívveeiiss:: SSããoo aaqquueellaass ccuujjooss tteerrmmooss ssããoo pprriimmooss eennttrree ssii.. 
 
EExxeemmppllooss:: 
19
6
 ,
13
4
 ,
5
32
 ,
15
7
 ,
5
1
 , 
2
7
 
 
RReedduuççããoo aa uumm mmeessmmoo ddeennoommiinnaaddoorr:: 
 
AA rreedduuççããoo ddee ffrraaççõõeess aa uumm mmeessmmoo ddeennoommiinnaaddoorr ee ppeeççaa ffuunnddaammeennttaall qquuaannddoo ssee pprreetteennddee ssoommaarr oouu ssuubbttrraaiirr 
ffrraaççõõeess,, ppooiiss ccoommoo vveerreemmooss aaddiiaannttee aa ssoommaa oouu ssuubbttrraaççããoo ddee ffrraaççõõeess ssóó sseerráá ppoossssíívveell ssee aass mmeessmmaass ppoossssuuíírreemm 
mmeessmmoo ddeennoommiinnaaddoorr.. 
 
PPrroocceessssoo PPrrááttiiccoo:: 
11)) DDeetteerrmmiinnaa--ssee oo mmmmcc ddooss ddeennoommiinnaaddoorreess.. 
22)) DDiivviiddee--ssee oo mmmmcc oobbttiiddoo ppeelloo ddeennoommiinnaaddoorr ddaa ffrraaççããoo ddee ccaaddaa ffrraaççããoo ee eemm sseegguuiiddaa mmuullttiipplliiccaa--ssee ppeelloo nnuummeerraaddoorr 
ddaa ffrraaççããoo ccoorrrreessppoonnddeennttee.. 
 
OOBBSS..:: AAss ffrraaççõõeess oobbttiiddaass ddeessttaa ooppeerraaççããoo ssããoo EEqquuiivvaalleenntteess aass oorriiggiinnaaiiss,, ppoorreemm ccoomm mmeessmmoo ddeennoommiinnaaddoorr.. 
 
EExxeemmpplloo:: 
aa)) RReedduuzzaa aaoo mmeennoorr ddeennoommiinnaaddoorr ccoommuumm aass ffrraaççõõeess:: 
15
5
12
5
6
1
4
3
,,,
 vveejjaa aaggoorraa ccoommoo ffaazzeerr.. 
 
OO mmmmcc eennttrree ((44,, 66,, 1122,, 1155)) == 6600.. 
 
NNúúmmeerrooss RRaacciioonnaaiiss aabbssoolluuttooss:: 
 
 
1122 
 
 NNuummeerroo rraacciioonnaall aabbssoolluuttoo éé ttooddoo nnúúmmeerroo qquuee ppooddee sseerr eessccrriittoo nnaa ffoorrmmaa
b
a
ccoomm aa ee bb ppeerrtteenncceennttee aaooss nnúúmmeerrooss 
iinntteeiirrooss ee bb  00.. 
 
OOBBSS..:: PPooddeemmooss tteerr:: 
 
11)) NNúúmmeerroo rraacciioonnaall nnaattuurraall:: ((FFrraaççããoo aappaarreennttee)).. QQuuaannddoo aa éé mmúúllttiipplloo ddee bb.. 
130 
3
39
 ,
15
0
 5,
5
25
 4,
2
8
 
 
22)) NNúúmmeerroo rraacciioonnaall ffrraacciioonnáárriioo:: QQuuaannddoo aa éé mmúúllttiipplloo ddee bb.. 
19
6
 ,
13
4
 ,
5
32
 ,
15
7
 ,
5
1
 , 
2
7
 
 
 
CCOOMMPPAARRAAÇÇÃÃOO DDEE NNÚÚMMEERROOSS RRAACCIIOONNAAIISS:: 
 
CCoommppaarraarr dduuaass ffrraaççõõeess ssiiggnniiffiiccaa ddiizzeerr:: 
 
11)) QQuuaall ddeellaass éé mmaaiioorr.. 
22)) QQuuaall ddeellaass éé mmeennoorr.. 
33)) OOuu ssee eellaass ssããoo iigguuaaiiss.. 
 
11ºº CCaassoo:: NNúúmmeerrooss rraacciioonnaaiiss ccoomm mmeessmmoo ddeennoommiinnaaddoorr:: ““SSee ddooiiss nnúúmmeerrooss rraacciioonnaaiiss ppoossssuueemm mmeessmmoo ddeennoommiinnaaddoorr oo 
mmaaiioorr sseerráá aaqquueellaa qquuee ttiivveerr mmaaiioorr nnuummeerraaddoorr””.. 
19
6
 ,
13
4
 ,
5
32
 ,
15
7
 ,
5
1
 , 
2
7
 
 
22ºº CCaassoo:: SSee ddooiiss oouu mmaaiiss nnúúmmeerrooss rraacciioonnaaiiss ppoossssuueemm ddeennoommiinnaaddoorreess ddiiffeerreenntteess,, ddeevveemmooss rreedduuzzii--llooss aa uumm mmeessmmoo 
ddeennoommiinnaaddoorr ee ddeeppooiiss ccoommppaarráá--llooss.. 
 
 
4
3
 
2
1
 
15
2
 então , 
20
8
 
20
10
 
20
15
 
 
4
3
 
2
1
 
15
2
 então , 
20
15
 
20
10
 
20
8
 
 :que concluimos
20
10
e 
20
15
 ,
20
8
 
2
1
e 
4
3
 ,
5
2



 
 
33ºº CCaassoo:: SSee ddooiiss oouu mmaaiiss nnúúmmeerrooss rraacciioonnaaiiss ppoossssuueemm nnuummeerraaddoorreess iigguuaaiiss,, eennttããoo oo mmaaiioorr sseerráá aaqquueellee qquuee ttiivveerr 
mmeennoorr ddeennoommiinnaaddoorr.. 

7
5
3
5
 ou 
3
5
7
5
9
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1133 
OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM NNÚÚMMEERROOSS RRAACCIIOONNAAIISS 
 
AAddiiççããoo ee SSuubbttrraaççããoo:: 
““ÉÉ nneecceessssáárriioo qquuee aass ffrraaççõõeess ppoossssuuaamm mmeessmmoo ddeennoommiinnaaddoorr”” 
 
DD
EE
NN
OO
MM
II NN
AA
DD
OO
RR
EE
SS
 
IIgguuaaiiss SSoommaamm--ssee ooss nnuummeerraaddoorreess ee ccoonnsseerrvvaa--ssee oo ddeennoommiinnaaddoorr..DDiiffeerreenntteess 
RReedduuzz--ii--ssee aass ffrraaççõõeess aa uumm mmeessmmoo ddeennoommiinnaaddoorr uussaannddoo oo mmmmcc.. EEmm 
sseegguuiiddaa pprroocceeddee--ssee ccoommoo nnoo ccaassoo aanntteerriioorr.. 
 
MMuullttiipplliiccaaççããoo:: 
““MMuullttiipplliiccaa--ssee nnuummeerraaddoorr ppoorr nnuummeerraaddoorr ee ddeennoommiinnaaddoorr ppoorr ddeennoommiinnaaddoorr””.. 
 
 
 
 
 
8
1
8
1
2
1
4
5
14
7
20
3
20
6
40
32
85
3
8
2
5
5
7
7
5
2
2











)
)
:
b
a
Exemplos
 
 
DDiivviissããoo:: 
““CCoonnsseerrvvaa--ssee aa pprriimmeeiirraa ffrraaççããoo ee mmuullttiipplliiccaa--ssee ppeelloo iinnvveerrssoo ddaa sseegguunnddaa ffrraaççããoo””.. 
 
 
 
 
 
PPootteenncciiaaççããoo:: 
 
““PPoottêênncciiaa éé uumm pprroodduuttoo ddee ffaattoorreess iigguuaaiiss””.. 
 
 
 
AA ppoottêênncciiaa ddeevvee sseerr ddiissttrriibbuuííddaa ppaarraa tteerrmmoo ddaa ffrraaççããoo.. 
 
 
 
RRaaddiicciiaaççããoo:: 
 
 
 
  49
400
77
2020
7
20
7
20
8
125
222
555
2
5
2
5
2
22
3
33


















)
)
:
b
a
Exemplos
 
n
n
n
b
a
b
a

 
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a

 
bd
ac
d
c
b
a

 
 
 
1144 
 
5
2
125
8
125
8
3
100
9
100
9
100
3
3
3 

)
)
:
b
a
Exemplos
 
 
EExxpprreessssõõeess NNuumméérriiccaass:: AAss eexxpprreessssõõeess nnuumméérriiccaass rraacciioonnaaiiss ppoossssuueemm ccoommoo ccrriittéérriiooss ppaarraa aa ssuuaa rreessoolluuççããoo ooss 
mmeessmmooss ccrriittéérriiooss qquuee ssããoo uussaaddooss nnaa rreessoolluuççããoo ddee nnúúmmeerrooss iinntteeiirrooss.. 
 
OOrrddeemm 
EE DD 
OOppeerraaççõõeess 
SSiinnaaiiss ddee 
aassssoocciiaaççããoo 
11ºº lluuggaarr 
mm a ou a
   
22ºº lluuggaarr 
 ou 
 
 
 
 
6
1
6
1
2
1
3
15
34
17
30
34
15
17
30
3
2
45
30
5
3
9
10
3
5
9
10
15
17
17
15
15
15








)
)
:
b
a
Exemplos
33ºº lluuggaarr 
 - ou 
 
 
 
 
NNúúmmeerrooss RRaacciioonnaaiiss DDeecciimmaaiiss:: UUmmaa ffrraaççããoo mmuuiittoo uuttiilliizzaaddaa nnooss ccáállccuullooss mmaatteemmááttiiccooss éé aa ffrraaççããoo ddeecciimmaall.. CChhaammaa--
ssee FFrraaççããoo ddeecciimmaall ttooddaa ffrraaççããoo ccuujjoo ddeennoommiinnaaddoorr éé uummaa ppoottêênncciiaa ddee 1100 ((1100,, 110000,, 11000000,, ......)) 
 
LLeeiittuurraa ddee uumm nnúúmmeerroo ddeecciimmaall:: 
 
DDeevveemmooss lleerr aa ppaarrttee iinntteeiirraa,, sseegguuiiddaa ddaa ppaarrttee ddeecciimmaall aaccoommppaannhhaaddaa ddaass ppaallaavvrraass.. 
ddéécciimmooss QQuuaannddoo hhoouuvveerr uummaa ccaassaa ddeecciimmaall 
cceennttééssiimmooss QQuuaannddoo hhoouuvveerr dduuaass ccaassaass ddeecciimmaaiiss 
mmiillééssiimmooss QQuuaannddoo hhoouuvveerr ttrrêêss ccaassaass ddeecciimmaaiiss 
ddéécciimmooss ddee 
mmiillééssiimmooss 
QQuuaannddoo hhoouuvveerr qquuaattrroo ccaassaass ddeecciimmaaiiss 
cceennttééssiimmooss 
ddee mmiillééssiimmooss 
QQuuaannddoo hhoouuvveerr cciinnccoo ccaassaass ddeecciimmaaiiss 
 
OObbsseerrvvaaççããoo:: HHáá vváárriiaass ffoorrmmaass ddee ssee lleerr uumm nnúúmmeerroo ddeecciimmaall;; 
 
EExxeemmpplloo:: 






centésimos quatro e décimos seisinteiros, quatro
centásimos quatro e sesenta e osquatrocent
 décimos quatro e sessenta e inteiros quatro
4,64
 
 
 
 
TTrraannssffoorrmmaaççããoo ddee nnúúmmeerroo ddeecciimmaall eemm ffrraaççããoo ddeecciimmaall:: 
n
n
n
b
a
b
a

 
 
 
1155 
 
EExxeemmppllooss:: 
0001
47
0470
100
35
350
10
8
80
.
,)
,)
,)



c
b
a
 
 
TTrraannssffoorrmmaaççããoo ddee ffrraaççããoo ddeecciimmaall eemm nnúúmmeerroo ddeecciimmaall:: 
 
 
EExxeemmppllooss:: 
251
100
125
4
5
2120
1000
212
51
10
15
25
25
,)
,)
,)



x
x
c
b
a
 
 
OObbsseerrvvaaççõõeess IImmppoorrttaanntteess:: 
11)) UUmm nnúúmmeerroo ddeecciimmaall nnããoo ssee aalltteerraa qquuaannddoo ssee aaccrreesscceennttaa oouu ssee ssuupprriimmee uumm oouu mmaaiiss zzeerrooss aa ddiirreeiittaa ddaa ppaarrttee 
ddeecciimmaall.. 
 
EExxeemmppllooss:: 
aa)) 00,,44 == 00,,4400 == 00,,440000 == 00,,44000000 
 
bb)) 11,,000000 == 11,,0000 == 11,,00 == 11 
 
22)) OO mmaaiioorr nnúúmmeerroo ddeecciimmaall sseerráá aaqquueellee qquuee ttiivveerr mmaaiioorr ppaarrttee iinntteeiirraa.. 
 OO mmaaiioorr nnúúmmeerroo ddeecciimmaall sseerráá aaqquueellee qquuee ttiivveerr mmaaiioorr ppaarrttee ddeecciimmaall iigguuaallaaddooss oo nnúúmmeerroo ddee ccaassaass.. 
 
OOppeerraaççõõeess ccoomm nnúúmmeerrooss ddeecciimmaaiiss:: 
 
OOppeerraaççõõeess RReeggrraa 
 
SSoommaa 
OOuu 
SSuubbttrraaççããoo 
11ºº 
 
IIgguuaallaammooss oo nnúúmmeerroo ddee ccaassaa ddeecciimmaaiiss ccoomm oo aaccrréésscciimmoo ddee zzeerrooss.. 
 
22ºº 
 
CCoollooccaammooss vvíírrgguullaa aabbaaiixxoo ddee vvíírrgguullaa.. 
 
33ºº 
 
EEffeettuuaammooss aa aaddiiççããoo oouu ssuubbttrraaççããoo,, ccoollooccaannddoo aa vvíírrgguullaa nnoo ttoottaall oouu ddiiffeerreennççaa,, aalliinnhhaaddaa 
ccoomm aass ddeemmaaiiss.. 
 
MMuullttiipplliiccaaççããoo 
 
MMuullttiipplliiccaammooss ooss nnúúmmeerrooss ddeecciimmaaiiss ccoommoo ssee ffoosssseemm nnaattuurraaiiss ee aaoo pprroodduuttoo aaccrreesscceennttaammooss 
“Para se transformar uma fração decimal em um 
número decimal, basta dar ao numerador tantas casas 
decimais quantos forem os zeros do denominador”. 
 “Para se transformar um número decimal em uma 
fração decimal, escrevemos para numerador o número 
sem a virgula, e para denominador a unidade 
acrescida de tatos zeros quantos forem as casas 
decimais”. 
 
 
1166 
aa vvíírrgguullaa ddee mmooddoo qquuee oo nnúúmmeerroo ddee ccaassaass ddeecciimmaaiiss ddoo pprroodduuttoo sseejjaa iigguuaall aa ssoommaa ddaass ccaassaass 
ddooss ffaattoorreess.. 
 
DDiivviissããoo 
11ºº 
 
IIgguuaallaammooss oo nnúúmmeerroo ddee ccaassaass ddoo ddiivviiddeennddoo ee ddiivviissoorr,, ssuupprriimmiinnddoo aass vvíírrgguullaass aa sseegguuiirr,, 
 
22ºº 
 
EEffeettuuaammooss aa ddiivviissããooddooss nnúúmmeerrooss ddeecciimmaaiiss oobbttiiddooss.. 
 
PPootteenncciiaaççããoo RReeggrraass ddeeffiinniiddaass aanntteerriioorrmmeennttee 
RRaaddiicciiaaççããoo 
 
TTrraannssffoorrmmaa--ssee oo nnúúmmeerroo ddeecciimmaall eemm ffrraaççããoo ee aapplliiccaa--ssee aa ooppeerraaççããoo nneessttaa ffoorrmmaa.. 
 
 
CCOONNJJUUNNTTOO DDOOSS NNÚÚMMEERROOSS IIRRRRAACCIIOONNAAIISS ((II)) 
 
SSããoo nnúúmmeerrooss qquuee nnããoo ppooddeemm sseerr eexxpprreessssooss aattrraavvééss ddee uumm qquuoocciieennttee ((rraazzããoo)).. 
EExxeemmppllooss ddee nnúúmmeerrooss iirrrraacciioonnaaiiss:: 
 
((aa)) OO nnúúmmeerroo  ((ppii)) 
  33,, 11441155992266553355...... 
OO nnúúmmeerroo  tteemm uumm nnúúmmeerroo iinnffiinniittoo ddee ccaassaass ddeecciimmaaiiss sseemm ffoorrmmaarr uummaa ddíízziimmaa ppeerriióóddiiccaa.. 
 
((bb)) OO nnúúmmeerroo ee ((nnúúmmeerroo ddee EEuulleerr)) ee  22,, 77118822881188...... 
 
OO nnúúmmeerroo ee éé aa bbaassee ddoo ssiisstteemmaa ddee llooggaarriittmmoo nneeppeerriiaannoo ee ppoossssuuii uumm nnúúmmeerroo ddee ccaassaass ddeecciimmaaiiss iinnffiinniittoo sseemm 
ffoorrmmaarr uummaa ddíízziimmaa ppeerriióóddiiccaa.. 
 
((cc)) TTooddaa rraaiizz nnããoo eexxaattaa éé uumm nnúúmmeerroo iirrrraacciioonnaall,, sseeuu vvaalloorr nnããoo ppooddee sseerr rreepprreesseennttaaddoo ppoorr uummaa rraazzããoo.. 
EExxeemmppllooss:: 
 
...,414212 
 
...,732013 
 
...,5874143 
 
 
CCOONNJJUUNNTTOO DDOOSS NNÚÚMMEERROOSS RREEAAIISS ((IIRR)) 
OO ccoonnjjuunnttoo ddooss nnúúmmeerrooss rreeaaiiss éé ffoorrmmaaddoo ppeellaa rreeuunniiããoo oouu uunniiããoo ddoo ccoonnjjuunnttoo ddooss nnúúmmeerrooss rraacciioonnaaiiss ((QQ)) ccoomm oo 
ccoonnjjuunnttoo ddooss nnúúmmeerrooss iirrrraacciioonnaaiiss ((II)).. 
IIRR == QQ  II 
 
DDÍÍZZIIMMAASS PPEERRIIÓÓDDIICCAASS 
 
SSããoo nnúúmmeerrooss ccoomm nnoottaaççããoo ddeecciimmaall iinnffiinniittaa.. 
EExxeemmpplloo:: 
202220
9
2
,..., 
 
OO aallggaarriissmmoo qquuee ssee rreeppeettee ssuucceessssiivvaammeennttee aappóóss aa vvíírrgguullaa,, nnoo ccaassoo oo aallggaarriissmmoo 22,, ee oo ppeerrííooddoo ddaa ddíízziimmaa.. 
AA ffrraaççããoo 
9
2
 éé cchhaammaaddaa ddee FFrraaççããoo GGeerraattrriizz ddaa ddíízziimmaa ppeerriióóddiiccaa 
202220 ,..., 
.. 
AAss ddíízziimmaass ppeerriióóddiiccaass ppooddeemm sseerr ccllaassssiiffiiccaaddaass eemm:: 
 
SSIIMMPPLLEESS:: QQuuaannddoo oo ppeerrííooddoo vveemm llooggoo aappóóss aa vvíírrgguullaa.. OO eexxeemmpplloo aanntteerriioorr ((00,,222222......)) éé uummaa ddíízziimmaa ppeerriióóddiiccaa ssiimmpplleess.. 
 
CCOOMMPPOOSSTTAA:: QQuuaannddoo oo ppeerrííooddoo nnããoo vveemm llooggoo aappóóss aa vvíírrgguullaa ee aanntteess ddeellee hháá aallggaarriissmmooss qquuee nnããoo ssee rreeppeetteemm ((ppaarrttee 
nnããoo ppeerriióóddiiccaa)).. 
 
 
 
1177 
EExxeemmpplloo:: 00,,3311555555...... ==
225
71
 
 
NNeessttee ccaassoo,, oo ppeerrííooddoo éé 55 ee aa ppaarrttee nnããoo ppeerriióóddiiccaa éé ffoorrmmaaddaa ppeellooss aallggaarriissmmooss 33 ee 11.. ((qquuee nnããoo ssee rreeppeetteemm)) 
EExxeemmpplloo:: EExxiisstteemm ddíízziimmaass ppeerriióóddiiccaass eemm qquuee hháá uummaa ppaarrttee iinntteeiirraa ccoommoo vveemmooss aa sseegguuiirr:: 44,,11333333...... éé uummaa ddíízziimmaa 
ppeerriióóddiiccaa ccoommppoossttaa oonnddee:: ppaarrttee iinntteeiirraa == 44,, ppaarrttee nnããoo--ppeerriióóddiiccaa == 11 ee ppeerrííooddoo == 33.. 
 
MMÉÉTTOODDOO PPRRÁÁTTIICCOO PPAARRAA DDEETTEERRMMIINNAARR AA FFRRAAÇÇÃÃOO GGEERRAATTRRIIZZ DDEE UUMMAA DDÍÍZZIIMMAA PPEERRIIÓÓDDIICCAA:: 
 
NNuummeerraaddoorr ddaa ffrraaççããoo sseerráá ffoorrmmaaddoo ppeellaa {{ddiiffeerreennççaa eennttrree oo nnúúmmeerroo ffoorrmmaaddoo ppeellooss aallggaarriissmmooss ddaa ppaarrttee iinntteeiirraa,, ddaa 
ppaarrttee nnããoo ppeerriióóddiiccaa ee aallggaarriissmmooss ddoo ppeerrííooddoo}} ee {{oo nnúúmmeerroo ffoorrmmaaddoo ppeellooss aallggaarriissmmooss ddaa ppaarrttee iinntteeiirraa ee aallggaarriissmmooss ddaa 
ppaarrttee nnããoo--ppeerriióóddiiccaa.. 
DDeennoommiinnaaddoorr ddaa ffrraaççããoo sseerráá ffoorrmmaaddoo ppoorr:: ttaannttooss ““nnoovveess”” qquuaannttooss ffoorreemm ooss aallggaarriissmmooss ddoo ppeerrííooddoo,, sseegguuiiddooss ddee 
ttaannttooss zzeerrooss qquuaannttooss ffoorreemm ooss aallggaarriissmmooss ddaa ppaarrttee nnããoo--ppeerriióóddiiccaa.. 
 
AATTEENNÇÇÃÃOO:: NNoo ccaassoo ddee ddíízziimmaa ppeerriióóddiiccaa ssiimmpplleess nnããoo hhaavveerráá ppaarrttee nnããoo--ppeerriióóddiiccaa,, ccoonnsseeqquueenntteemmeennttee nnoo 
ddeennoommiinnaaddoorr ssóó tteerreemmooss nnoovveess.. 
EExxeemmpplloo:: SSeejjaa aa ddíízziimmaa ppeerriióóddiiccaa 33,,11222222...... 
PPaarrttee IInntteeiirraa == 33 
PPaarrttee nnããoo--PPeerriióóddiiccaa == 11 
PPeerrííooddoo == 22 
 
CCáállccuulloo ddaa FFrraaççããoo GGeerraattrriizz ((ff..gg..)) 
 
D
N
gf ..
 
NN == NNuummeerraaddoorr 
DD == DDeennoommiinnaaddoorr 
 
NN == 331122  3311  NN == 228811 
DD == 9900 
 
LLooggoo 
21312223
90
281
,...,.. gf
 
 
EExxeemmpplloo:: CCaallccuullee aa ffrraaççããoo ggeerraattrriizz ddaa ddíízziimmaa ppeerriióóddiiccaa 55,,22441144114411...... 
PPaarrttee IInntteeiirraa == 55 
PPaarrttee NNããoo--PPeerriióóddiiccaa == 22 
PPeerrííooddoo == 4411 
 
CCáállccuulloo ddoo NNuummeerraaddoorr ((NN)):: 
 
NN == 55224411 -- 5522  NN == 55118899 
 
CCáállccuulloo ddoo DDeennoommiinnaaddoorr ((DD)):: 
 
 
DD == 999900 
 
 
AA FFrraaççããoo GGeerraattrriizz sseerráá:: ((ff..gg..)) 
 
412524141415
990
5189
,...,....  gf
D
N
gf
 
 
 
Parte não periódica com 1 algarismo 
Período com 2 algarismos 
 
 
1188 
 
 
0011.. SSeejjaa NN uumm nnúúmmeerroo iinntteeiirroo ccuujjoo pprroodduuttoo ppoorr 99 éé iigguuaall aa uumm nnúúmmeerroo nnaattuurraall eemm qquuee ttooddooss ooss aallggaarriissmmooss ssããoo 
iigguuaaiiss aa 11.. AA ssoommaa ddooss aallggaarriissmmooss ddee NN éé mmaaiioorr qquuee 3355.. 
 
0022.. OO sseettoorr ddee eexxppeeddiiççããoo ddee uummaa vvaarraa ddoo TT..RR..TT llooccaalliizzaa--ssee nnoo aannddaarr mmééddiioo ddee uumm eeddiiffíícciioo qquuee nnããoo tteemm 
ssuubbssoolloo.. CCeerrttoo ddiiaa,, uumm aauuxxiilliiaarr jjuuddiicciiáárriioo ffooii aa eessssee sseettoorr,, ppeeggoouu aa ccoorrrreessppoonnddêênncciiaa aa sseerr ddiissttrriibbuuííddaa aa 
aallgguummaass sseeççõõeess ddeessssaa vvaarraa,, ddiivviiddiiuu--aass eemm llootteess ee,, ppaarraa eennttrreeggáá--llooss,, ssuucceessssiivvaammeennttee:: ssuubbiiuu ddooiiss aannddaarreess,, 
oonnddee eennttrreeggoouu oo pprriimmeeiirroo lloottee;; ddeesscceeuu cciinnccoo aannddaarreess,, oonnddee eennttrreeggoouu oo sseegguunnddoo;; ssuubbiiuu sseetteeee eennttrreeggoouu mmaaiiss 
uumm lloottee;; ee,, ppoorr ffiimm,, ssuubbiiuu mmaaiiss ddooiiss ee cchheeggoouu aaoo ttooppoo ddoo eeddiiffíícciioo,, oonnddee eennttrreeggoouu oo úúllttiimmoo lloottee.. 
 
NNeessssaass ccoonnddiiççõõeess,, oo nnúúmmeerroo ddee aannddaarreess ddeessssee eeddiiffíícciioo éé iigguuaall aa 1133.. 
 
0033 SSeejjaa XX aa ddiiffeerreennççaa eennttrree oo mmaaiioorr nnúúmmeerroo iinntteeiirroo ccoomm 44 aallggaarriissmmooss ddiissttiinnttooss ee oo mmaaiioorr nnúúmmeerroo iinntteeiirroo ccoomm 33 
aallggaarriissmmooss.. AAssssiimm sseennddoo,, éé ccoorrrreettoo aaffiirrmmaarr qquuee XX éé uumm nnúúmmeerroo pprriimmoo.. 
 
0044.. EEmm uumm ccoonnccuurrssoo ppúúbblliiccoo aapplliiccaaddoo aa 33000000 ccaannddiiddaattooss,, 22330000 oobbttiivveerraamm nnoottaass ssuuppeerriioorreess oouu iigguuaaiiss aa 44,,00 ee 
22770000 oobbttiivveerraamm nnoottaass iinnffeerriioorreess oouu iigguuaaiiss aa 66,,00.. OO nnúúmmeerroo ddee ccaannddiiddaattooss ccuujjaass nnoottaass ffoorraamm mmaaiioorreess oouu iigguuaaiiss aa 
44,,00 ee mmeennoorreess oouu iigguuaaiiss aa 66,,00 éé mmaaiioorr qquuee 11..990000.. 
 
0055.. AA qquuaannttiiddaaddee ddee nnúúmmeerrooss íímmppaarreess,, eexxiisstteemm eennttrree 11 ee 119999,, iinncclluuííddooss eesstteess éé iigguuaall aa 110011.. 
 
 
0066.. OO 11998899ºº aallggaarriissmmoo ddeeppooiiss ddaa vvíírrgguullaa nnaa eexxppaannssããoo ddeecciimmaall ddee 
39
5
 éé 88.. 
 
0077.. OO mmaaiioorr óórrggããoo ddoo ccoorrppoo hhuummaannoo éé aa ppeellee,, ccuujjaa mmaassssaa ccoorrrreessppoonnddee,, aapprrooxxiimmaaddaammeennttee,, aa 1166%% ddaa mmaassssaa 
ccoorrppoorraall ddee uumm aadduullttoo.. AA ffóórrmmuullaa ddeesseennvvoollvviiddaa ppeellooss ffiissiioollooggiissttaass,, qquuee ppeerrmmiittee ccaallccuullaarr oo vvaalloorr aapprrooxxiimmaaddoo 
ddaa ssuuppeerrffíícciiee ccoorrppoorraall ddee uummaa ppeessssooaa eemm ffuunnççããoo ddaa ssuuaa mmaassssaa,, éé ddaaddaa ppoorr 3 2110 mA  , ,, oonnddee AA éé aa áárreeaa 
ddaa ssuuppeerrffíícciiee ccoorrppoorraall,, eemm mm²²,, ee mm éé aa mmaassssaa,, eemm KKgg.. OOss vvaalloorreess aapprrooxxiimmaaddooss ddaa ssuuppeerrffíícciiee ccoorrppoorraall ee ddaa 
mmaassssaa ddaa ppeellee ddee uummaa ppeessssooaa ccoomm 8811 kkgg ddee mmaassssaa ccoorrppoorraall ssããoo,, rreessppeeccttiivvaammeennttee 11,,9988 mm²² ee 1133 kkgg.. ((aaddoottee 
293 
)) 
 
0088.. CCoonnssiiddeerree oo nnúúmmeerroo:: 
...
432 10
1
10
1
10
1
10
4
1N
 
SSee eellee ffoorr rraacciioonnaall,, ccoollooccaannddoo--aa nnaa ffoorrmmaa ddee ffrraaççããoo iirrrreedduuttíívveell tteerreemmooss 112277//9900.. 
 
0099.. OO pprroodduuttoo ddaa ddíízziimmaa ppeerriióóddiiccaa 11,,336633663366...... ppeellaa ddíízziimmaa ppeerriióóddiiccaa 00,,77333333...... éé iigguuaall aa 11.. 
 
 
 
 
GABARITO: 
01) C 03) E 05) E 07) C 09) C 
02) C 04) C 06) C 08) C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1199 
SSIISSTTEEMMAA LLEEGGAALL DDEE MMEEDDIIDDAASS 
 
11.. MMeeddiiddaa ee UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa:: 
 MMeeddiirr ssiiggnniiffiiccaa ccoommppaarraarr ((mmeennssuurraarr,, rreellaacciioonnaarr,,)) uummaa ggrraannddeezzaa ddeesseejjaaddaa ccoomm uummaa ggrraannddeezzaa eexxiisstteennttee ttoommaaddaa 
ccoommoo ppaaddrrããoo qquuee llhhee sseejjaa ddee mmeessmmaa eessppéécciiee.. PPaarraa mmeellhhoorr ccoonnhheecciimmeennttoo ddaass ggrraannddeezzaass uussaaddaass ccoossttuummeeiirraammeennttee:: 
CCoommpprriimmeennttoo,, áárreeaa,, vvoolluummee,, ccaappaacciiddaaddee,, mmaassssaa,, tteemmppoo.. ÉÉ ccoommuumm ccoommppaarráá--llaass ccoomm oouuttrraass ggrraannddeezzaass ddee mmeessmmaa 
eessppéécciiee cchhaammaaddaass ddee uunniiddaaddee ddee mmeeddiiddaass.. CCaaddaa uunniiddaaddee ddee mmeeddiiddaa ppoossssuuii:: UUmmaa uunniiddaaddee ppaaddrrããoo.. SSeeuuss 
mmuullttiiuussooss ee ssuubbmmúúllttiippllooss.. NNeemm ttooddooss ooss ppoovvooss ddoo mmuunnddoo uussaamm ooss mmeessmmooss ssiisstteemmaass ppaarraa mmeeddiirr.. VVooccêê jjáá oouuvviiuu 
ffaallaarr ddaa JJaarrddaa?? EE ddaa lléégguuaa?? QQuueemm ssaabbee ddaa mmiillhhaa?? PPooiiss bbeemm oo ssiisstteemmaa aattuuaallmmeennttee uussaaddoo ppeellaa mmaaiioorriiaa ddooss ppoovvooss éé oo 
ssiisstteemmaa mmééttrriiccoo ddeecciimmaall.. 
 
22.. RReessuummiinnddoo oo SSiisstteemmaa:: PPaarraa eenntteennddeerr ccoommoo ffuunncciioonnaa oo ssiisstteemmaa,, ccoonnssiiddeerree:: 
 
CCoommpprriimmeennttoo SSuuppeerrffíícciiee VVoolluummee CCaappaacciiddaaddee MMaassssaa 
kkmm QQuuiillôômmeettrroo kkmm
22
 QQuuiillôômmeettrroo 
qquuaaddrraaddoo 
KKmm
33
 QQuuiillôômmeettrroo 
ccúúbbiiccoo 
KKll QQuuiilloolliittrroo KKgg QQuuiillooggrraammaa 
hhmm HHeeccttôômmeettrroo hhmm
22
 HHeeccttôômmeettrroo 
qquuaaddrraaddoo 
hhmm
33
 HHeeccttôômmeettrroo 
ccúúbbiiccoo 
hhll HHeeccttoolliittrroo hhgg HHeeccttggrraammaa 
ddaamm DDeeccââmmeettrroo ddaamm
22
 DDeeccââmmeettrroo 
qquuaaddrraaddoo 
ddaamm
33
 DDeeccââmmeettrroo 
ccúúbbiiccoo 
ddaall DDeeccaalliittrroo ddaagg DDeeccaaggrraammaa 
MM MMeettrroo mm
22
 MMeettrroo qquuaaddrraaddoo mm
33
 MMeettrroo ccúúbbiiccoo ll LLiittrroo gg GGrraammaa 
ddmm DDeeccíímmeettrroo ddmm
22
 DDeeccíímmeettrroo 
qquuaaddrraaddoo 
ddmm
33
 DDeeccíímmeettrroo 
ccúúbbiiccoo 
ddll DDeecciilliittrroo ddgg DDeecciiggrraammaa 
ccmm CCeennttíímmeettrroo ccmm
22
 CCeennttíímmeettrroo 
qquuaaddrraaddoo 
ccmm
33
 CCeennttíímmeettrroo 
ccúúbbiiccoo 
ccll CCeennttiilliittrroo ccgg CCeennttiiggrraammaa 
mmmm MMiillíímmeettrroo mmmm
22
 MMiillíímmeettrroo qquuaaddrraaddoo mmmm
33
 MMiillíímmeettrroo ccúúbbiiccoo mmll mmiilliilliittrroo mmgg mmiilliiggrraammaa 
 
AAggrráárriiaass TTeemmppoo VViissuuaalliizzaaççããoo ddaass ggrraannddeezzaass 
HHáá HHeeccttaarree ss SSeegguunnddoo 
 
 AA AArree mmiinn MMiinnuuttoo 
CCaa CCeennttiiaarree hh HHoorraa 
 dd DDiiaa 
 
TTAABBEELLAASS PPRRÁÁTTIICCAASS 
 
TTiippoo 
MMúúllttiippllooss 
UUnniiddaaddee 
ppaaddrrããoo 
SSuubbmmúúllttiippllooss 
XX ppoorr 1100 aa ccaaddaa ccaassaa  ppoorr 1100 aa ccaaddaa ccaassaa 
CCoommpprriimmeennttoo KKmm HHmm ddaamm MM ddmm ccmm mmmm 
CCaappaacciiddaaddee KKll HHll ddaall LL ddll ccll mmll 
MMaassssaa KKgg HHgg ddaagg GG ddcc ccgg mmgg 
 
 xx ppoorr 110000 aa ccaaddaa ccaassaa  ppoorr 110000 aa ccaaddaa ccaassaa 
SSuuppeerrffíícciiee 
((ÁÁrreeaa)) 
KKmm
22
 hhmm
22
 ddaamm
22
 mm
22
 ddmm
22
 ccmm
22
 mmmm
22
 
 
 xx ppoorr 11000000 aa ccaaddaa ccaassaa  ppoorr 11000000 aa ccaaddaa ccaassaa 
VVoolluummee KKmm
33
 hhmm
33
 ddaamm
33
 mm
33
 ddmm
33
 ccmm
33
 mmmm
33
 
 
MMeeddiiddaass AAggrráárriiaass HHáá AA ccaa 
 
TTeemmppoo sseegg MMiinn hh DD ss mmêêss aannoo2200 
MMeeddiiddaass eessppeecciiaaiiss RReellaaççõõeess IImmppoorrttaanntteess 
NNoommee RReellaaççããoo MMeeddiiddaass aaggrráárriiaass VVoolluummee 
áágguuaa 
ddeessttiillaaddaa 
TToonneellaaddaa ((tt)) 11000000 kkgg 11 hhaa == 11 hhmm22 == 110000aa 
11 mm33 == 11000000 ll == 11000000 kkgg == 11 
tt 
AArrrroobbaa 1155 kkgg 11 aa == 11 ddaamm22 11 ddmm33 == 11 ll == 11 kkgg 
QQuuiillaattee 00,,22 gg 11 ccaa == 00,,11 aa == 11 mm22 11 mmmm33 == 11 mmll == 11 gg 
 
 
 
 
0011.. UUmm rreesseerrvvaattóórriioo tteemm aa ffoorrmmaa ddee uumm pprriissmmaa rreettoo--rreettaanngguullaarr ((ppaarraalleelleeppííppeeddoo)) ee mmeeddee 00,,5500 mm ddee llaarrgguurraa,, 11,,2200 
mm ddee ccoommpprriimmeennttoo ee 00,,7700 mm ddee aallttuurraa.. EEssttaannddoo oo rreesseerrvvaattóórriioo ccoomm cceerrttaa qquuaannttiiddaaddee ddee áágguuaa,, ccoollooccaa--ssee ddeennttrroo 
ddeellee uummaa ppeeddrraa ccoomm ffoorrmmaa iirrrreegguullaarr,, qquuee ffiiccaa ttoottaallmmeennttee ccoobbeerrttaa ppeellaa áágguuaa.. OObbsseerrvvaa--ssee,, eennttããoo,, qquuee oo nníívveell ddaa 
áágguuaa ssoobbee 11 ccmm.. IIssttoo ssiiggnniiffiiccaa qquuee oo vvoolluummee ddaa ppeeddrraa mmeeddee,, eemm cceennttíímmeettrrooss ccúúbbiiccooss:: 
 
aa)) 00,,4422 
bb)) 6600 
cc)) 660000 
dd)) 66..000000 
ee)) 442200..000000 
 
 
0022.. AA vveelloocciiddaaddee ddee 3366 kkmm//hh éé iigguuaall aa:: 
 
aa)) 00,,66 mm//ss 
bb)) 66 mm//ss 
cc)) 88 mm//ss 
dd)) 1100 mm//ss 
ee)) 1122 mm//ss.. 
 
0033.. DDee uummaa ppiippaa cchheeiiaa ddee vviinnhhoo,, ffoorraamm ttiirraaddooss 1166 bbaarrrriiss ddee 3355 lliittrrooss,, mmaaiiss 55 ccooppooss ddee 22,,44 dd

.. QQuuaall aa 
ccaappaacciiddaaddee ddaa ppiippaa,, ssee oo qquuee llhhee ffooii ttiirraaddoo ccoorrrreessppoonnddee aa 4400%%?? 
 
aa)) 1144..003300

 
bb)) 114400..330000 cc

 
cc)) 114400,,33 hh

 
dd)) 1144,,0033 dd

 
ee)) 11,,440033dd

 
 
0044.. SSaabbeemmooss qquuee uumm rreecciippiieennttee ddee 11 ddmm33 ccoonnttéémm 11 lliittrroo ddee áágguuaa.. EEmm uummaa ccaaiixxaa dd’’áágguuaa eemm ffoorrmmaa ddee 
ppaarraalleelleeppííppeeddoo rreettoo--rreettaanngguullaarr ddee 22 mm ddee llaarrgguurraa,, 11,,22 mm ddee ccoommpprriimmeennttoo ee 8800 ccmm ddee pprrooffuunnddiiddaaddee,, aa 
ccaappaacciiddaaddee,, eemm lliittrrooss,, éé iigguuaall aa:: 
 
aa)) 119922 
bb)) 11..992200 
cc)) 22..444400 
dd)) 1199..220000 
ee)) 2244..440000 
 
0055.. UUmm rreesseerrvvaattóórriioo tteemm 11,,22 mm ddee llaarrgguurraa,, 11,,55 mm ddee ccoommpprriimmeennttoo ee 11 mmeettrroo ddee aallttuurraa.. PPaarraa ccoonntteerr 11226600 lliittrrooss ddee 
áágguuaa,, eessttaa ddeevvee aattiinnggiirr aa aallttuurraa ddee:: 
 
aa)) 7700 ccmm 
bb)) 00,,0077mm 
cc)) 77 mm 
 
 
2211 
dd)) 00,,77ddmm 
ee)) 770000 ccmm 
 
0066.. UUmm rreesseerrvvaattóórriioo eemm ffoorrmmaa ddee ppaarraalleelleeppííppeeddoo tteemm aass sseegguuiinntteess ddiimmeennssõõeess:: 11,,22 mm ddee ccoommpprriimmeennttoo,, 00,,88 mm 
ddee llaarrgguurraa ee 00,,55 mm ddee aallttuurraa.. SSaabbeennddoo qquuee ffaallttaamm 55 ccmm ppaarraa ffiiccaarr cchheeiioo,, ppooddee--ssee aaffiirrmmaarr qquuee oo nnúúmmeerroo ddee lliittrrooss 
dd’’áágguuaa eexxiisstteennttee nneessssee rreesseerrvvaattóórriioo éé:: 
 
aa)) 1188

 
bb)) 224400

 
cc)) 335555

 
dd)) 443322

 
 
0077.. UUmm aarrqquuiivvoo ddee bbaassee qquuaaddrraaddaa ee 8800 ccmm ddee aallttuurraa tteemm 55 mm33 ddee ccaappaacciiddaaddee.. SSuuaa bbaassee tteemm oo llaaddoo mmeeddiinnddoo:: 
 
aa)) 11,,2255 mm 
bb)) 225500 ccmm 
cc)) 00,,2255 mm 
dd)) 66,,2255 ccmm 
ee)) 22,,55 ccmm 
 
0088.. UUmmaa iinnddúússttrriiaa eemmbbaallaa ssuuaa pprroodduuççããoo ddee óólleeoo vveeggeettaall eemm llaattaass ddee 3300 ccmm33.. QQuuaannttaass ddeessttaass llaattaass ssããoo 
nneecceessssáárriiaass ppaarraa eemmbbaallaarr uummaa pprroodduuççããoo ddee 990000

 ddee óólleeoo vveeggeettaall?? 
 
aa)) 3300..000000 
bb)) 33..000000 
cc)) 330000 
dd)) 9900..000000 
ee)) 99..000000 
 
0099.. AAoo rreeffoorrmmaarr--ssee oo aassssooaallhhoo ddee uummaa ssaallaa,, ssuuaass 4499 ttáábbuuaass ccoorrrriiddaass ffoorraamm ssuubbssttiittuuííddaass ppoorr ttaaccooss.. AAss ttáábbuuaass 
mmeeddeemm 33 mm ddee ccoommpprriimmeennttoo ppoorr 1155 ccmm ddee llaarrgguurraa ee ooss ttaaccooss 2200 ccmm ppoorr 77,,55 ccmm.. OO nnúúmmeerroo ddee ttaaccooss 
nneecceessssáárriiooss ppaarraa eessttaa ssuubbssttiittuuiiççããoo ffooii:: 
 
aa)) 11..002299 
bb)) 11..005500 
cc)) 11..447700 
dd)) 11..550000 
ee)) 11..887744 
 
1100.. UUmmaa ppaarreeddee ddee 55 mm ppoorr 22,,4400 mm tteemm uummaa ppoorrttaa ddee 22,,0000 mm ppoorr 7700ccmm ee ddeevvee sseerr aazzuulleejjaaddaa ccoomm ppeeççaass 
qquuaaddrraaddaass ddee 1100 ccmm ddee llaaddoo.. OO mmíínniimmoo ddee aazzuulleejjooss nneecceessssáárriiooss ppaarraa nnããoo hhaavveerr ssoobbrraa éé iigguuaall aa:: 
 
aa)) 110066 
bb)) 11..006600 
cc)) 1100..660000 
dd)) 110066..000000 
ee)) 11..006600..000000 
 
1111.. UUmm rreesseerrvvaattóórriioo ssoobb aa ffoorrmmaa ddee uumm pprriissmmaa rreettoo--rreettâânngguulloo tteemm 22,,55 mm ddee ccoommpprriimmeennttoo,, 11,,88 mm ddee llaarrgguurraa ee 11 
mm ddee pprrooffuunnddiiddaaddee ee eessttáá ccoomm áágguuaa aattéé aa aallttuurraa ddee 6600 ccmm.. NNoovveennttaa bbaallddeess,, ccoomm 1155 lliittrrooss ddee áágguuaa ccaaddaa uumm,, 
ssããoo ddeessppeejjaaddaass nneessssee rreesseerrvvaattóórriioo.. OO ddeessllooccaammeennttoo ddoo nníívveell ddee áágguuaa pprroovvooccaaddoo ppoorr eessttee llííqquuiiddoo aaddiicciioonnaaddoo 
éé:: 
 
aa)) 3300 ccmm 
bb)) 2200 ccmm 
cc)) 2244 ccmm 
dd)) 2255 ccmm 
 
 
2222 
ee)) 3355 ccmm 
 
1122.. SSee 11 lliittrroo ddee ggaassoolliinnaa tteemm mmaassssaa iigguuaall aa 668800 gg,, oo vvoolluummee ooccuuppaaddoo ppoorr 668800 kkgg ddee ggaassoolliinnaa sseerráá:: 
 
aa)) 11dd

 
bb)) 11ddaa

 
cc)) 11hh

 
dd)) 1100hh

 
ee)) 1100kk

 
 
1133.. EEmm uumm ddeeppóóssiittoo ddeevveemm sseerr aaccoonnddiicciioonnaaddaass ccaaiixxaass eemm ffoorrmmaa ddee ccuubboo mmeeddiinnddoo eexxtteerrnnaammeennttee 5500 ccmm ddee 
aarreessttaa oouu llaaddoo ddaa ffaaccee.. CCoonnssiiddeerraannddoo qquuee ssee aarrrruummaarraamm aass ccaaiixxaass ffaaccee aa ffaaccee ffoorrmmaannddoo uummaa bbaassee rreettaanngguullaarr 
ddee 1100 ppoorr 3300 ccaaiixxaass ee sseemmpprree ccoomm 1122 ccaaiixxaass ddee aallttuurraa,, oobbtteennhhaa