Equacoes Diferenciais

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VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Rio de Janeiro / 2008
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UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
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Un3e Universidade Castelo Branco
Equações Diferenciais / Universidade Castelo Branco. – Rio de Janeiro: 
UCB, 2008. - 48 p.: il.
ISBN 978-85-7880-003-1
1. Ensino a Distância. 2. Título.
CDD – 371.39
Responsáveis Pela Produção do Material InstrucionalResponsáveis Pela Produção do Material Instrucional
Coordenadora de Educação a DistânciaCoordenadora de Educação a Distância
Prof.ª Ziléa Baptista Nespoli
Coordenadora do Curso de GraduaçãoCoordenadora do Curso de Graduação
Sonia Albuquerque - Matemática
ConteudistaConteudista
Antonio Fábio Serafi m
Supervisor do Centro Editorial – CEDISupervisor do Centro Editorial – CEDI
Joselmo Botelho
Apresentação
Prezado(a) Aluno(a):
 
É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de gradu-
ação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando 
oportunidade para melhoria de seu desempenho profi ssional. Nossos funcionários e nosso corpo docente es-
peram retribuir a sua escolha, reafi rmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma 
estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.
Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe-
cimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.
Seja bem-vindo(a)!
Paulo Alcantara Gomes
Reitor
Orientações para o Auto-Estudo 
O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos defi nidos e 
conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam 
atingidos com êxito.
Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com-
plementares.
As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.
 Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades.
Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o 
conteúdo de todas as Unidades Programáticas.
A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com 
os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que 
você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros 
presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.
Bons Estudos!
Dicas para o Auto-Estudo 
1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja 
 disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.
2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite 
 interrupções.
3 - Não deixe para estudar na última hora.
4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.
5 - Não pule etapas.
6 - Faça todas as tarefas propostas.
7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento
 da disciplina.
8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação.
9 - Não hesite em começar de novo.
SUMÁRIO
Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 11
Contextualização da disciplina ................................................................................................................... 13
UNIDADE I 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1.1 - Introdução ........................................................................................................................................... 15
1.2 - Classifi cação ....................................................................................................................................... 15
1.3 - Ordem e Grau ..................................................................................................................................... 15
1.4 - Soluções .............................................................................................................................................. 16
1.5 - Solução Geral e Solução Particular .................................................................................................... 16
UNIDADE II
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM
2.1 - Introdução ........................................................................................................................................... 19
2.2 - Equações Separáveis ........................................................................................................................... 19
2.3 - Equações Homogêneas ....................................................................................................................... 21
2.4 - Equações Exatas ................................................................................................................................. 24
2.5 - Fator Integrante ................................................................................................................................... 26
2.6 - Equações Lineares .............................................................................................................................. 29
UNIDADE III
APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM NA GEOMETRIA
3.1 - Família de Curvas ............................................................................................................................... 34
3.2 - Aplicações ........................................................................................................................................... 35
3.3 - Trajetórias Ortogonais ........................................................................................................................ 36
Glossário ..................................................................................................................................................... 39
Gabarito ....................................................................................................................................................... 40
Referências bibliográfi cas ........................................................................................................................... 45
11Quadro-síntese do conteúdo 
programático
UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS
I - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1.1 - Introdução
1.2 - Classifi cação
1.3 - Ordem e Grau
1.4 - Soluções
1.5 - Solução Geral e Solução Particular
II - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
DE 1ª ORDEM
2.1 - Introdução
2.2 - Equações Separáveis
2.3 - Equações Homogêneas
2.4 - Equações Exatas
2.5 - Fator Integrante
2.6 - Equações Lineares
III - APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFEREN-
CIAIS DE 1ª ORDEM À GEOMETRIA
3.1 - Família de Curvas
3.2 - Aplicações
3.3 - Trajetórias Ortogonais
• Diferenciar uma equação diferencial ordinária de 
uma equação diferencial parcial;
• Determinar a ordem e o grau de uma equação;
• Verifi car se uma função ésolução da equação dada;
• Resolver problemas, dado o valor inicial.
• Transformar uma equação da forma normal para 
a forma diferencial e vice-versa;
• Identifi car os diversos tipos de equações diferenciais;
• Resolver uma equação diferencial separável;
• Resolver uma equação diferencial homogênea;
• Resolver uma equação diferencial exata;
• Determinar o fator integrante e resolver a equação 
usando o fator integrante;
• Resolver uma equação diferencial linear.
• Identifi car famílias de curvas, dada uma equação 
diferencial;
• Representar uma família de curvas no plano 
cartesiano;
• Determinar a equação diferencial de uma família 
de curvas;
• Encontrar as trajetórias ortogonais a uma família 
de curvas.
13Contextualização da Disciplina
Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido, evitando as receitas prontas 
e o formalismo excessivo. O objetivo é fazer com que você compreenda as idéias básicas da disciplina de Equa-
ções Diferenciais e, quando necessário, saiba transferir as estruturas adquiridas às outras áreas de conhecimento.
É importante observarmos a importância do perfeito entendimento das disciplinas de Cálculo I, II e III para 
a compreensão dessa disciplina. 
Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.
15UNIDADE I
EQUAÇÕES DIFERENCIAISEQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1.11.1 - Introdução
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma “função incógnita e suas derivadas”.
Vejamos alguns exemplos:
1.21.2 - Classificação
Uma equação diferencial pode ser classifi cada em:
• Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) → quando existe apenas uma variável independente.
Exemplos: Os itens a, b e c do exemplo anterior.
• Equação Diferencial Parcial → quando a função incógnita depende de mais de uma variável independente.
Podemos citar, como exemplo, os itens a, b e c, que são equações diferenciais ordinárias, enquanto o item d 
é uma equação diferencial parcial.
1.31.3 - Ordem e Grau
A ordem de uma equação diferencial é a ordem mais alta derivada que nela comparece.
Exemplos:
 
16
O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita como um polinômio na função incógnita e suas de-
rivadas, é dado pela maior potência que defi ne a ordem da equação.
Exemplos:
1.41.4 - Soluções
Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x, num intervalo, 
é uma função y(x), que verifi ca identicamente a equação para todo x no intervalo.
Exemplos: 
a) Verifi que se y = x² – 1 é uma solução da equação ( ) 1 24 −=+ yy' :
Se y = x² – 1 ⇒ y’ = 2x.
Então:
.
 
Logo, y = x² – 1 não é solução da equação ( ) 1 24 −=+ yy' .
b) Dada a equação diferencial ordinária y’+2y=0, verifi que se xeCy 2−= . é solução da mesma.
 Se xeCy 2−= . ⇒ xeCy 22 −−= ..' ⇒ 0222 22 =+−=+ −− xx eCeCyy ....' .
 Logo, xeCy 2−= . é solução da equação y’+2y=0.
1.51.5 - Solução Geral e Solução Particular
Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução da equação, enquanto a solução geral 
é o conjunto de todas as suas soluções.
Exemplo: 
A solução xeCy 2−= . é uma solução geral da equação, mas, quando atribuímos valores a C (constante 
arbitrária), obtemos soluções particulares da equação.
Como: xxx eyeyey 222
7
2 5 2 −−− −=== .;.;. ; são soluções particulares da equação.
17
Exercícios de Fixação
1) Determine a ordem e o grau das equações abaixo.
2) Verifi que se a função dada constitui uma solução da equação correspondente, onde c é constante.
3) Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial ?'' 0 =− yy
( a ) y = xe 
( b ) y = xsen 
( c ) y = 
( d ) y =0
( e ) y = 12 +x
( f ) y = 3 
4) Determine a solução do problema de valor inicial , sabendo que a solução geral da 
equação é ( ) ,xecxy −= . em que c é uma constante arbitrária.
Exercícios de Auto-avaliação
1) Verifi que se a função dada constitui uma solução da equação correspondente, em que c e k são constantes.
2) Mostre que 
1
1
2
−
=
x
y é solução de mas não o é em qualquer intervalo 
mais amplo contendo ] [ 11 ,−=I :
18 3) Determine o valor de 
4) Determine uma solução particular da equação 04 ,' =+ yy sabendo que 10 e 00 == )(')( yy e 
xcxsency 2 2 21 cos.. += é a solução geral da equação. Verifi que a solução encontrada na equação dada.
19UNIDADE II
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEMEQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM
2.12.1 - Introdução
Uma equação diferencial de 1ª ordem pode ser escrita na forma diferencial ou na forma normal.
• FORMA NORMAL → ( )yxfy ,, =
Exemplos: 
• FORMA DIFERENCIAL → M (x, y).dx + N (x, y).dy = 0
 Exemplos: 
Observe que os exemplos a e b das duas formas são os mesmos, escritos de forma diferente.
2.22.2 - Equações Separáveis
Seja uma equação diferencial, na forma diferencial, .
A equação se diz separável ou de variáveis separáveis, se:
– ( ) ( )xAyxM =, → função somente de x;
– ( ) ( )yByxN =, → função somente de y.
Exemplos: 
SOLUÇÃO GERAL:
Consideremos a equação separável:
A solução é: 
 
20
Exemplos:
1) Resolver a equação 
Solução:
2) Resolver a equação 
1
1
2 +
+
=
y
xy, :
Solução:
Então:
Observe no segundo exemplo que nem sempre temos condições de explicitar y em função de x. Logo, a so-
lução fi cará na forma implícita.
3) Resolver a equação 
Solução:
A condição dada de y ( 0 ) = 1 nos leva a uma solução particular da equação. 
Exercícios de Fixação
1) Resolva as equações diferenciais abaixo:
21
2) Pesquise equações diferenciais separáveis, resolva e verifi que o resultado encontrado, derivando a 
 resposta.
2.32.3 - Equações Homogêneas
Função Homogênea
Uma função ( )yxf , é dita homogênea se ( ) ( )yxftytxtf n ,..,. = , onde n é o grau de homogeneidade.
Exemplos: 
a) 
Temos: .
Logo, é uma função homogênea de grau 2.
b) ( ) yxeyxf +=,
Temos: ( ) ( ) ( )yxfteeytxtf nyxtytxt ,..,. ... ≠== ++ .
Logo, a função ( ) yxeyxf +=, não é homogênea.
Equação Homogênea
Uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem, é dita homogênea se as funções 
( ) ( )yxNyxM ,, e forem homogêneas com o mesmo grau de homogeneidade.
22
Observe que sendo ( ) ( )yxNyxM ,, e homogêneas, com o mesmo grau de homogeneidade, temos: 
Fazendo: 
 , a equação se transforma em uma equação de variáveis 
separáveis.
Vejamos:
Como: 
Conseqüentemente a equação
 pode ser escrita 
 
.
Logo: 
.
Portanto, fazendo as transformações transformamos uma equação homogênea 
em uma equação separável em x e t. Resolvendo a equação separável e substituindo voltamos às 
variáveis originais.
Exemplo: Resolva a equação: (y – x) . dx + (x + y) . dy = 0.
Solução:
Como M e N são funções homogêneas de grau 1, logo a equação é uma equação homogênea.
Substituindo y = t.x e dy = t.dx + x.dt, temos:
23
Simplifi cando a equação por ,x encontramos: 
Encontramos:
 
Substituindo 
x
yt =
 
 Encontramos: 
Obs.: Algumas equações diferenciais ordinárias podem ter mais de uma classifi cação, logo, mais de uma 
forma diferente de ser resolvida. Como exemplo, temos o segundo exercício, que mostra uma equação que é 
separável e homogênea e pede para resolver das duas formas.
Exercícios de Fixação
1) Verifi que se as funções dadas abaixo são homogênea e, em caso afi rmativo, determine o grau de homogeneidade:
 2) A equação é uma equação de variáveis separáveis e é uma equação 
 homogênea. Resolva das duas formas, comparando os resultados obtidos:
 3) Resolva a equação diferencial 
 
caso seja homogênea:
24
4) Resolva as equações diferenciais abaixo:
2.42.4- Equações Exatas
Uma equação diferencial de M(x, y).dx + N(x, y).dy = 0 é dita exata se existe uma função ( )yxu , tal que:
du (x, y) = M(x, y).dx + N(x, y).dy.
Mas (diferencial total). 
Comparando a defi nição com a diferencial total, temos:
Se M e N são funções contínuas com derivadas parciais primeiras contínuas em uma região do plano xy, 
então a equação é exata se, e somente se:
SOLUÇÃO:
Se 
Exemplos:
1) Resolver a equação: .
Solução:
Primeiro devemos verifi car se ela é exata.
25
Logo: 
 
Então a solução é: .
2) Resolver a equação: 
Solução:
Inicialmente, vamos verifi car se ela é exata.
 
A solução é dada por:
 
Então: 
Portanto, ( ) ( ) .' Kyygyg +=⇒= 1
Logo, .
Exercícios de Fixação
1) Verifi que se cada equação abaixo é exata ou não:
2) Resolva as equações que forem exatas:
26
 3) Resolva a equação diferencial exata, dado o valor inicial:
4) Verifi que se a equação diferencial é:
a) separável
b) homogênea
c) exata
2.52.5 - Fator Integrante
Seja a equação diferencial .
Sabemos que quando ocorre 
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
 ela é dita exata. Se a equação não for exata, tenta-se transformar 
essa equação em uma equação exata, mediante uma multiplicação por um fator adequado.
Exemplo: A equação 
Mas, se multiplicarmos a equação por ,2
1
x
− obtemos: , que é uma equação diferencial 
exata, pois 2
1
xx
N
y
M
−=
∂
∂
=
∂
∂
.
Esse fator ,2
1
x
− é chamado fator integrante.
 
Definição
Seja a equação diferencial M(x, y).dx + N(x, y).dy = 0.
Uma função ( ) yxI , é um fator integrante da equação M(x, y).dx + N(x, y).dy = 0 se a equação diferencial 
I(x, y).[M(x, y).dx + N(x, y).dy] = 0 é exata.
Em geral, toda equação tem um fator integrante, como é provado, porém em alguns casos é difícil encontrá-lo.
Exemplo: Verifi que se a função ( )
y
yxI 1 =, é fator integrante da equação .
Solução:
Observe que a equação não é exata, pois:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )yxNyxMyyxNyxyxN
yyxMyyxM
xy
x
y ,,
,.,
.,,
≠
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=⇒+=
=⇒=
 
 1
2 2
.
Se ( )
y
yxI 1 =, é um fator integrante da equação , a equação
 
é exata.
27Aplicando a propriedade distributiva, a equação fi ca da seguinte forma: .
Temos:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).,,,,
,,
yxNyxM
yxN
y
xyxN
yxMyyxM
xy
x
y
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=⇒+=
=⇒=
 
1 1
1 
Portanto, ( )
y
yxI 1 =, é um fator integrante da equação. 
Teorema
Se não é uma equação exata e possui uma solução geral ( ) ,,, RKKyxu ∈= 
então, existe um fator integrante.
Dem.:
Diferenciando ( ) ,, Kyxu = temos: .
Logo: . (1)
Da equação inicial podemos tirar que (2)
Comparando (1) e (2), temos: 
( )
( )yxN
yxM
y
u
x
u
,
,
=
∂
∂
∂
∂ :
Sendo 
( )
( ) ( ),,,
, yxI
yxN
yxM
= segue-se que: 
 
 
Mas 
 
Colocando o fator ( )yxI , em evidência, temos: 
Portanto, para toda equação diferencial que possui solução temos um fator integrante, ( )yxI , .
 
28
Determinação do Fator Integrante
Muitas vezes o fator integrante é determinado por inspeção. O êxito de encontrar o fator integrante vai depen-
der, então, da habilidade do calculista em reconhecer que determinado grupo de termos constitui uma equação 
diferencial exata, ou um fator integrante para aquela equação.
Em alguns casos, os fatores integrantes podem ser determinados com o auxílio do teorema a seguir, que nos 
dá condições de descobrir um fator integrante quando as funções satisfazem as determi-
nadas condições.
Seja a equação diferencial e a função ( )yxI , um fator integrante.
 a) Se ( ) ( ),. xgNM
N xy
=−
1
 função somente de x, então é um fator integrante da 
equação .
 b) Se ( ) ( ),. yhNM
M xy
=−
1
 função somente de y, então é um fator integrante da 
equação .
c) Se ( ) ( ),.... yxgxNyxfyM == e então a função ( )
NyMx
yxI
..
,
−
=
1
é um fator integrante da 
equação .
Exemplo: 
Resolva a equação diferencial , encontrando um fator integrante:
Solução:
Transformando para a forma diferencial, encontramos: .
Observe que: 
Logo, não é uma equação diferencial exata.
Vamos então pesquisar um fator integrante.
Se ( ) ( ) ,.. xxNM
N xy
202
1
11
−=−
−
=− função apenas de ,x então é um fator 
integrante. 
Conseqüentemente, a equação é exata.
Conferindo:
 é exata, vejamos:
.
Portanto, resolvendo a equação :
29 Seja ( )yxu , a solução da equação, logo: 
 Então: ( ) ( ) ..'....'... 2222 22 xxxxx exxgexeyxxgeyxu −−−− −=⇒−=+=
 Portanto, .
 Logo, a solução é 
ou 
2
1 
2
1 
2.
2 2
122
2
+−=⇒+−=⇒
−
−
=
−−
−
x
xx
x
eKy
e
Ky
e
eKy .
Exercícios de Fixação
1) Determine um fator integrante para cada equação abaixo:
2) Dada a equação diferencial 0=− xdyydx .. , pede-se:
a) encontrar um fator integrante e resolver como uma equação diferencial exata.
b) resolver como uma equação diferencial separável.
3) Encontre um fator integrante e resolva a seguinte equação:
0 2 =+ ydyxxdy ... 
2.62.6 - Equações Lineares
Uma equação diferencial de 1ª ordem é dita equação diferencial linear quando ela pode ser escrita na forma:
 ( ) ( )xgyxfy =+ ., .
 
O aspecto característico dessa equação é o fato de ela ser linear em 'yy e , enquanto ( ) ( )xgxf e podem 
ser quaisquer funções dadas de x .
 
30
Exemplos:
Resolução de uma Equação Linear
1º Caso: Quando ( ) 0=xg .
No caso de ( ) 0=xg , temos ( ) .., 0=+ yxfy
Temos:
 
Podemos escrever: 
Observe que no caso de ( ) 0=xg toda equação linear é uma equação separável. 
2º Caso: Quando ( ) 0≠xg .
No caso de ( ) 0≠xg , temos ( ) ( )xgyxfy =+ ., .
 Logo: 
Verifi camos que a equação obtida não é exata, pois . 
 
Portanto, vamos pesquisar um fator integrante para essa equação.
Sabemos que se ( )xy NMN −.1 é uma função apenas de x, podemos descobrir um fator integrante.
No caso, temos: então: é 
um fator integrante da equação.
 
Multiplicando a equação pelo fator integrante, a transformamos numa equação exata.
Temos:
31Chamando 
Mas 
Resolvendo a equação, temos:
 Mas falta descobrir ( )xj , então, derivando a solução u em relação a x 
temos: ( ).''.. xjheyu hx += 
Comparando xu na diferencial total, temos:
( ) hhh egyfexjhey ...''.. −=+ . Lembrando que 
Portanto, podemos escrever:
Logo, a solução 
Ou .
Mas .
Portanto, 
Logo, se ( ) ( )xgyxfy =+ ., , com ( ) ⇒≠ 0xg .
32
Exemplos:
1) Resolva a equação 03 =+ yxy .' :
Como ( ) ,0=xg estamos na situação de equação linear vista como no primeiro caso, logo:
 
2) Resolva a equação :' 3 =+ yy
É uma equação linear do tipo visto no 2º caso, com 
Como ( ) 0 ,≠xg temos:
 ⇒ 
 
Exercícios de Fixação
1) Resolva as equações diferenciais de variável linear:
2) Resolva a equação diferencial, dado o valor inicial:
Exercícios de Auto-avaliação
1) Resolva as equações diferenciais:
33
Para ilustrar o seu conhecimento, pesquise sobre as equações de Bernoulli, Riccati, Lagrange e Clairaut.
34 UNIDADE III
APLICAÇÕESAPLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
ORDINÁRIAS ORDINÁRIAS DE 1ª ORDEM NA GEOMETRIADE 1ª ORDEM NA GEOMETRIA
3.13.1 - Família de Curvas
Para cada valor fi xo de k, k ∈ R, a equação F(x, y, k) representa uma curva no plano xy e, para k variável, 
ela representa um número infi nito de curvas. A totalidade dessas curvas é chamada família de curvas de um 
parâmetro, e k é chamado parâmetro da família.
Ex.: 
a) ( ) 0=−+= kyxkyxF ,, representa uma famíliade retas paralelas, cada reta corresponde precisamente 
a um valor de k.
 Por exemplo, para 
011
033
022
011
=++⇒−=
=−+⇒=
=−+⇒=
=−+⇒=
yxk
yxk
yxk
yxk
35
b) representa uma família de circunferências de centro na 
origem e raio K.
Por exemplo, para 
93
42
11
22
22
22
=+⇒=
=+⇒=
=+⇒=
yxk
yxk
yxk
3.23.2 - Aplicações
1) Determine a equação diferencial da família de circunferências de raio K e centro na origem:
Solução:
 
 
2) Determine e identifi que a família de curvas cuja equação diferencial é 
x
yy 2=' :
Solução:
 2 xCy .=⇒
A família de curvas é representada por 2 xCy .= , que é uma família de parábolas de vértice na origem.
Derivando implicitamente, temos:
36
3.33.3 - Trajetórias Ortogonais
Duas famílias de curvas são mutuamente ortogonais quando as curvas de uma família interceptam as curvas 
da outra, formando um ângulo reto, formando assim uma rede ortogonal. 
Quando são dadas as curvas de uma família e queremos descobrir uma outra família ortogonal, as curvas da 
família a ser obtida são chamadas de trajetórias ortogonais das curvas dadas.
O ângulo de intersecção entre duas curvas é defi nido como o ângulo entre suas tangentes no ponto de intersecção.
Seja uma família de curvas que pode ser representada por uma equação diferencial ( ).,' yxfy =
Uma curva da família que passa por um ponto ( )00 yx , tem nesse ponto o coefi ciente angular ( )00 yxf , .
O coefi ciente angular da trajetória ortogonal que passa por ( )00 yx , deve ser o recíproco negativo de 
( )00 yxf , , isto é, ( )00
1
yxf ,
− , porque esta á a condição para que as tangentes de duas curvas em ( )00 yx , 
sejam perpendiculares. (Geometria Analítica → Duas retas r e s são perpendiculares se o produto dos coefi -
cientes angulares for igual a –1).
Logo, a equação diferencial das trajetórias ortogonais é: ( )yxfy ,'
1
−= , e as trajetórias ortogonais são de-
terminadas integrando essa equação.
Exemplo: Dada a família de parábolas 2xcy .= , encontre:
a) A equação diferencial dessa família.
b) A equação diferencial das trajetórias ortogonais.
c) As trajetórias ortogonais.
Solução:
a) Se Logo, 
x
yyx
x
yy 22 2 =⇒= '..' .
b) ( ) y
xy
x
yyxf
y
22
11
−=⇒−=−= '
,
' .
c) .
Exercícios de Fixação
1) Ache a equação da curva que passa pelo ponto ( )12 , e cujo coefi ciente angular é, em cada ponto, igual 
a :⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−
x
y1 
2) Represente as famílias de curvas abaixo por equações diferenciais:
37
3) Dada a família de curvas 
a) A equação diferencial dessa família.
b) A equação diferencial das trajetórias ortogonais.
c) As trajetórias ortogonais.
4) Pesquise sobre: aplicações de equações diferenciais de 1ª ordem.
(Sugestão → problemas de variação de temperatura, problemas envolvendo queda de corpos com resistência 
do ar, circuitos elétricos, etc.)
38
Se você:
1) concluiu o estudo deste guia;
2) participou dos encontros;
3) fez contato com seu tutor;
4) realizou as atividades previstas;
Então, você está preparado para as 
avaliações.
Parabéns!
39
Glossário
Equação Diferencial - equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas.
Equação Exata - equação M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0, em que a derivada parcial de M em relação à variável y 
é igual à derivada parcial da função N em relação a x.
Equação Homogênea - equação M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0, em que M e N são funções homogêneas com o 
mesmo grau de homogeneidade.
Equação Linear - equação M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0, que pode ser escrita na forma: y’ + f(x).y = g(x).
Equação Separável - equação M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0, que você pode escrever M(x,y) = A(x) e N(x,y) = B(y).
Fator Integrante - uma função I(x,y) é um fator integrante da equação M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0, se I(x,y).[ M(x,y).
dx + N(x,y).dy ] = 0 é uma equação exata.
Solução Geral - é o conjunto de todas as soluções da equação diferencial.
Solução Particular - a solução particular é qualquer solução da equação.
40
Gabarito
Exercícios de Fixação
Unidade I
Página 17:
1)
a) 3ª ordem e 1º grau
b) 2ª ordem e 7º grau
2)
a) é solução
b) não é solução
c) é solução
d) é solução
3)
a) é solução
b) não é solução
c) é solução
d) é solução
e) não é solução
f) não é solução
4) xey −= 32 .
Unidade II
Página 20:
41
Página 23:
1)
a) É homogênea de grau 2
b) É homogênea de grau 1
c) É homogênea de grau 1
d) Não é homogênea
2) Os dois resultados obtidos devem ser iguais ou equivalentes.
3) Não é homogênea.
4)
a) 
b) 
Página 25:
1) a e b são exatas.
3) 
42
4)
a) é separável
b) é homogênea
c) não é exata
Página 29:
2) K
y
x
= 
3) Fator integrante: 
y
1
 (a equação admite outros fatores integrantes);
 Solução: 
Página 32:
1)
a) xeKy 2.=
b) xe
Ky =
c) xKxy .. += 23
2) xxy 223 cos.cos. −=
Unidade III
Página 36:
1) 
2)
a) 
x
yy ='
b) yy 3='
3)
a) 
x
yy 3='
b) 
y
xy
3
−='
43
c) Kxy =+ 223
Exercícios de Auto-avaliação:
Unidade I
Página 17:
1)
a) Não é solução
b) É solução
c) É solução
d) É solução
3) ;1 e 1 =−= ba
4) Solução particular: xseny 2
2
1 .=
Para verifi car que é solução é só substituir 'yy e na equação dada.
Unidade II
Página 32:
b) 
c) 12
2
 1 2
2
22
=++⇒=+−=+ xyykkxyy cos;cos
i) Kyxsenyx =+ ..
44
j) Kyxyx =++
32
32
.
k) 
2
2
1 x
eKy
−
= .
l) xx eKey −+= .
2
1
m) 
x
K
x
exy
x
++=
45
Referências Bibliográficas
BRONSON, Richard. Moderna Introdução às Equações Diferenciais. Tradução de Alfredo Alves de Farias. 
São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 4 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científi cos 
Editora, 2000.
KREYSZIG, Erwin. Matemática Superior. Tradução de Carlos Campos de Oliveira. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científi cos Ltda., 1982. v. 1.
LEIGHTON, Walter. Equações Diferenciais Ordinárias. Tradução de Luiz Adauto da Justa Medeiros. Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científi cos Editora Ltda. 1970.
LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. Tradução de: Antonio Paques, Otilia Teresinha W. Paques, Se-
bastião Antonio José Filho e Seiji Hariki. São Paulo: Editora Harper & Row do Brasil Ltda. (HARBRA), 1977. v. I.
MUNEM, Mustafá A. & FOULIS, David J. Cálculo. Traduzido por André Lima Cordeiro, André Vidal Pessoa, 
Evandro Henrique Magalhães de Almeida Filho e José Miranda Formigi Filho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos 
e Científi cos Ltda., 1982. v. I.
THOMAS JUNIOR, George B. Cálculo. Tradução de Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: Livros Técnicos 
e Científi cos Ltda., 1980. v. 4.