Equações Diferenciais

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EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
Cristiane da Silva
Classificação e 
validação de soluções de 
equações diferenciais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir equação diferencial.
 � Classificar equações diferenciais quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.
 � Reconhecer quando uma função é solução de uma equação diferencial.
Introdução
As equações diferenciais têm vasta aplicação e podem ser abordadas de 
maneiras diferentes. Sob o ponto de vista matemático, elas são utilizadas 
para descrever situações do mundo real e são um elo de interação da 
matemática com outras ciências, como a física, a biologia, a química, 
a economia e a engenharia. Algumas das aplicações estão na modela-
gem do crescimento de populações, na descrição de forças sofridas por 
corpos, na formulação de modelos acerca do mercado, em economia, 
na administração de drogas, em farmacologia, entre outras. 
Neste capítulo, você vai compreender a importância das equações 
diferenciais, estudando a sua definição e a sua classificação. Você também 
vai aprender a reconhecer uma função como solução de uma equação 
diferencial. Ao longo do capítulo, você vai verificar ilustrações, exemplos 
e notações variadas relacionadas ao tema, além de pontos de atenção, 
a fim de facilitar a compreensão sobre o conteúdo.
1 Equação diferencial
Para compreender as equações diferenciais, pode-se partir do entendimento 
de um tema mais abrangente. Zill e Cullen (2009) explicam que, de modo 
geral, as expressões “diferencial” e “equação” sugerem algum tipo de equação 
que contenha derivadas. Sabe-se que a derivada de uma função y = ϕ(x) 
é, por si própria, uma função ϕʹ(x) que foi determinada a partir de uma regra 
específica. Para ficar mais claro, tome como exemplo a função y = e0,1x2, que é 
diferenciável no intervalo (–∞, ∞), sendo sua derivada dada por = 0,2xe0,1x2. 
Substituindo-se e0,1x2 pelo símbolo y, obtém-se:
Dito isso, suponha que você tenha em mãos a equação = 0,2xy, mas 
desconheça a forma como ela foi construída. Nesse caso, ao ser indagado 
sobre qual é a função representada pelo símbolo y, você vai se deparar com 
um dos problemas básicos de equações diferenciais: como resolver a equação 
para a função incógnita y = ϕ(x)? Podemos encarar esse problema de maneira 
semelhante ao problema inverso do cálculo diferencial, em que, dada uma 
derivada, pede-se para determinar uma antiderivada (ZILL; CULLEN, 2009).
Assim, uma equação diferencial pode ser entendida como aquela que 
contém as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma 
ou mais variáveis independentes — ou seja, uma equação cuja incógnita é 
uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. 
Essas equações têm aplicações não apenas na matemática, mas na física, 
na engenharia, na biologia, entre outras áreas do conhecimento.
Classificação e validação de soluções de equações diferenciais2
Algumas equações diferenciais envolvendo a função incógnita y são apresentadas 
a seguir:
Fonte: Bronson e Costa (2008, p. 15).
Çengel e Palm III (2014) definem equação diferencial como aquela que 
envolve as derivadas de uma ou mais funções. De acordo com os autores, uma 
equação diferencial expressa a relação entre as funções e as suas derivadas. 
Esse tipo de equação vem sendo utilizado há muito tempo por cientistas e 
engenheiros, com o propósito de modelar e resolver problemas práticos.
Nem todos os problemas com os quais nos deparamos podem ser solucio-
nados com o uso de equações algébricas. Vários problemas encontrados nas 
ciências e na engenharia são originados de equações diferenciais e, portanto, 
dependem delas para sua solução (ÇENGEL; PALM, 2014). Veja nos Exemplos a 
seguir uma aplicação das equações diferenciais no estudo de fenômenos físicos.
3Classificação e validação de soluções de equações diferenciais
O estudo de fenômenos físicos envolve dois passos importantes, conforme mostra 
a Figura 1.
Problema de física
Uma equação diferencial
Solução do problema
Aplicar as
condições iniciais
e de contorno
Aplicar
uma técnica
de solução 
Aplicar
as leis físicas
relevantes
Elaborar
pressuposições
e aproximações
razoáveis
Identi�car
variáveis
importantes
Figura 1. Modelo matemático de problemas de física.
No primeiro passo, são identificadas todas as variáveis que afetam o fenômeno e são 
elaboradas as pressuposições e aproximações razoáveis sobre ele; ainda, investiga-se a 
independência das variáveis. As leis e os princípios relevantes da física são empregados, 
e o problema é modelado matematicamente, normalmente na forma de uma equação 
diferencial. Essa equação diferencial costuma ser instrutiva e evidencia o grau de 
dependência de algumas variáveis em relação a outras e a importância relativa de vários 
termos. No segundo passo, a equação diferencial é resolvida por meio de um método 
apropriado para sua resolução, e obtém-se uma razão entre a função desconhecida 
e as variáveis independentes.
Fonte: Çengel e Palm III (2014, p. 2).
Classificação e validação de soluções de equações diferenciais4
Nesse contexto, Boyce e Diprima (2015, p. 1) destacam que:
[...] muitos dos princípios, ou leis, que regem o comportamento do mundo 
físico são proposições, ou relações, envolvendo a taxa segundo a qual as 
coisas acontecem. Expressas em linguagem matemática, as relações são 
equações e as taxas são derivadas. Equações contendo derivadas são equa-
ções diferenciais [...]. 
Veja nos Exemplos, a seguir, equações diferenciais aplicadas a problemas 
reais. Não serão buscadas soluções, mas o entendimento do modelo matemático 
formulado, ou seja, da equação diferencial capaz de descrever cada situação.
Exemplo 1: um objeto em queda
Suponha que um objeto está caindo na atmosfera, perto do nível do mar. 
Formule uma equação diferencial que descreva o momento.
Solução:
O tempo será denotado por t, e a velocidade do objeto em queda por v. Uma 
vez que a velocidade deve variar com o tempo, considere v como função de t, 
ou seja, t é a variável independente e v é a variável dependente. O tempo t será 
medido em segundos, e a velocidade v em metros por segundo. Além disso, 
suponha que a velocidade v é positiva quando o sentido do movimento é para 
baixo (quando o objeto está caindo).
A lei física que governa o movimento de objetos é a segunda lei de Newton, 
que diz que a massa do objeto multiplicada por sua aceleração é igual à força 
total atuando sobre o objeto. Essa lei pode ser expressa pela equação:
F = ma
Em que m é a massa do objeto (medida em quilogramas), a é a sua ace-
leração (medida em metros por segundo ao quadrado) e F (em newtons) é 
a força total agindo sobre o objeto. É claro que a e v estão relacionados por 
a = , de modo que 
5Classificação e validação de soluções de equações diferenciais
Agora, considere as forças que agem no objeto em queda. A gravidade exerce 
uma força igual ao peso do objeto, ou mg, em que g é a aceleração por causa 
da gravidade e foi determinada experimentalmente como aproximadamente 
igual a 9,8 m/s2 próximo à superfície da Terra. A força devido à resistên-
cia do ar é mais difícil de modelar. Assume-se aqui que ela tem magnitude 
(ou módulo) yv, em que y é uma constante chamada de coeficiente de resistência 
do ar e corresponde à massa por unidade de tempo, ou seja, kg/s neste pro-
blema. Lembre-se de que yv tem que ter unidades de força, ou seja, kg · m/s2.
Ao escrever uma expressão para a força total F, deve-se lembrar que a 
gravidade sempre age para baixo (no sentido positivo), enquanto a resistência 
do ar age para cima (no sentido negativo), como mostra a Figura 2.
Figura 2. Diagrama de forças agindo 
sobre um objeto em queda livre.
m
mg
γv
Logo, F = mg – yv, e a equação se torna
Essa equação é um modelo matemático de um objeto caindo na atmosfera, 
perto do nível do mar. Note que o modelo contém as três constantes m, g e y. 
É importante destacar que as constantes m e y dependemdo objeto particular 
que está caindo e será diferente, em geral, para objetos diferentes. É comum se 
referir a essas constantes como parâmetros, já que podem tomar um conjunto 
de valores durante um experimento. Por outro lado, g é uma constante física, 
cujo valor é o mesmo para todos os objetos.
Classificação e validação de soluções de equações diferenciais6
A proposta agora é verificar o que é possível descobrir sobre soluções sem 
encontrar, de fato, qualquer uma delas. Para simplificar, atribuem-se valores 
numéricos para m e y, já que, independentemente dos valores escolhidos, 
o procedimento é o mesmo. Suponha que m = 10 kg e y = 2 kg/s. Então, 
a equação
pode ser escrita como:
Exemplo 2: ratos do campo e corujas
Considere uma população de ratos do campo que habita certa área rural. Suponha 
que, na ausência de predadores, a população de ratos cresça a uma taxa propor-
cional à população atual. Essa hipótese é uma lei física que não está muito bem 
estabelecida, mas é uma hipótese inicial usual em um estudo de crescimento 
populacional. Denotando-se o tempo por t e a população de ratos por p(t), então, 
a hipótese sobre o crescimento populacional pode ser expressa por:
Na qual o fator de proporcionalidade r é chamado de taxa constante ou 
taxa de crescimento. Suponha que o tempo é medido em meses e que a taxa 
constante r tem o valor de 0,5 por mês. Então, cada uma das expressões na 
equação = rp tem unidades de ratos por mês.
Agora, suponha que diversas corujas moram na mesma vizinhança e que 
elas matam 15 ratos do campo por dia. Para incorporar essa informação ao 
modelo, deve-se acrescentar outro termo à equação diferencial = rp, de 
modo que ela se transforma em:
7Classificação e validação de soluções de equações diferenciais
Observe que o termo correspondente à ação do predador é – 450, em vez 
de −15, já que o tempo está sendo medido em meses, e o que se precisa obter 
é a taxa predatória mensal. 
Fonte: Boyce e Diprima (2015, p. 1-4).
Note que, para aplicar as equações diferenciais, é necessário primeiro 
formular a equação diferencial que poderá adequadamente descrever, ou 
modelar, o problema em questão. É importante ter em mente que cada pro-
blema é diferente e que a modelagem não se restringe a uma lista de regras. 
A construção de um modelo satisfatório pode ser, muitas vezes, a parte mais 
difícil de um problema (BOYCE; DIPRIMA, 2015).
2 Classificação das equações diferenciais
Conforme apontam Zill e Cullen (2009), uma equação composta apenas por deri-
vadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única 
variável independente é denominada equação diferencial ordinária. Observe:
Por outro lado, quando uma equação envolve derivadas parciais de uma ou 
mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes, tem-se 
uma equação diferencial parcial. Acompanhe:
Você poderá se deparar com notações diferentes para expressar derivadas ordinárias, 
conforme mostrado a seguir.
Notação de Leibniz:
Classificação e validação de soluções de equações diferenciais8
Notação prima:
y', y'', y''', …
Observe que, nessa última notação, as equações podem ser escritas de forma um 
pouco mais compacta. Ela é utilizada para indicar apenas as primeiras três derivadas 
— da quarta em diante, é escrita como y(4) — ou seja, a derivada de ordem n é expressa 
por ou y(n). Cabe destacar que, embora menos compacta, a notação de Leibniz tem 
vantagem sobre a de prima, por apresentar de maneira mais clara tanto as variáveis 
dependentes quanto as variáveis independentes.
Fonte: Zill e Cullen (2009, p. 18).
No que se refere à classificação por ordem, seja uma equação diferen-
cial ordinária ou uma equação diferencial parcial, a ordem de uma equação 
diferencial corresponde à ordem da mais alta derivada na equação (ZILL; 
CULLEN, 2009). Observe:
Esse é um exemplo de equação ordinária de segunda ordem. As equações 
diferenciais ordinárias de primeira ordem também podem ser escritas na 
forma diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. Considerando-se que y representa 
a variável dependente em (y – x)dx + 4xdy = 0, então, y' = , e dividindo-se 
pelo elemento diferencial dx, tem-se a forma alternativa 4xy' + y = x (ZILL; 
CULLEN, 2009).
Também é possível expressar uma equação diferencial ordinária de ordem 
n como uma variável dependente, pela forma geral:
F(x, y, y', ..., y(n)) = 0
9Classificação e validação de soluções de equações diferenciais
Em que F é uma função de valores reais com n + 2 variáveis: x, y, y ,́ ..., y(n). 
Será adotada a hipótese de que é possível resolver uma equação diferencial 
ordinária unicamente para a derivada mais elevada y(n) em termos das n + 1 
variáveis restantes (ZILL; CULLEN, 2009). Assim, a equação diferencial será:
Zill e Cullen (2009) explicam que f é uma função contínua de valor real e é 
referida como a forma padrão de F(x, y, y', ..., y(n)) = 0. Então, quando for mais 
conveniente, serão utilizadas suas formas normais para representar equações 
diferenciais ordinárias gerais de primeira e segunda ordem:
Agora, será avaliada a classificação das equações diferenciais quanto à 
linearidade. Conforme Zill e Cullen (2009), uma equação diferencial ordinária 
de ordem n, como F(x, y, y', ..., y(n)) = 0, será linear se F for linear em y, y', ..., 
y(n). O que significa dizer que uma equação diferencial ordinária de ordem n 
é linear quando F(x, y, y', ..., y(n)) = 0 puder ser escrita como an(x)y
(n) + an–1(x)
y(n–1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y – g(x) = 0, ou
Dois casos especiais dessa equação se referem às equações diferenciais 
de primeira ordem linear (n = 1) e de segunda ordem linear (n = 2); são eles:
Com a combinação aditiva no lado esquerdo de
Classificação e validação de soluções de equações diferenciais10
tem-se que as duas propriedades características de uma equação diferencial 
ordinária linear são (ZILL; CULLEN, 2009):
 � a variável dependente y e todas as duas derivadas yʹ, y'ʹ, ..., y(n) são de 
primeiro grau, isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1; e
 � os coeficientes a0, a1, ..., an de yʹ, y'ʹ, ..., y
(n) dependem no máximo da 
variável independente x. 
No entanto, as equações diferenciais ordinárias nem sempre serão lineares 
— elas podem ser não lineares. Vejamos, a seguir, exemplos de funções não 
lineares da variável dependente ou suas derivadas.
Esses são exemplos de equações diferenciais ordinárias não lineares de primeira, 
segunda e quarta ordem, respectivamente.
Fonte: Zill e Cullen (2009, p. 20).
11Classificação e validação de soluções de equações diferenciais
Além das classificações mencionadas, você pode se deparar com as ex-
pressões “homogênea” e “não homogênea”. Confira a seguir.
Uma equação diferencial linear é denominada homogênea se g(x) = 0 para todo x 
em consideração. Caso contrário, ela é não homogênea. Observe:
Equação linear não homogênea:
Equação linear homogênea:
Note que, em cada termo de uma equação linear homogênea, há a variável depen-
dente ou uma de suas derivadas após a simplificação dos fatores comuns da equação. 
O termo g(x) é denominado termo não homogêneo.
Uma equação linear homogênea de ordem n pode ser expressa, de forma geral, 
como:
Fonte: Çengel e Palm III (2014, p. 16-17).
3 Função solução
Quando o assunto é a solução de equações diferenciais, ao contrário das 
equações algébricas com as quais estamos habituados, as equações diferenciais 
geralmente são funções, em vez de valores discretos. Também é importante 
destacar que não existe um único método de solução geral aplicável a qualquer 
equação diferencial. Ao contrário, para diferentes classes de equações dife-
renciais, têm-se técnicas diferentes de solução, podendo, inclusive, a solução 
envolver duas ou mais técnicas (ÇENGEL; PALM III, 2014). 
Classificação e validação de soluções de equações diferenciais12
Nas equações diferenciais, buscam-se funções que satisfaçam a equação 
em intervalos específicos. De modo análogo ao que ocorre nas equações 
algébricas,em que um valor encontrado como solução pode não ser o único, 
as equações diferenciais possuem múltiplas soluções, que contêm pelo menos 
uma constante arbitrária (ÇENGEL; PALM III, 2014). Sendo assim, de acordo 
com Çengel e Palm III (2014), qualquer função que satisfaça uma equação 
diferencial em um intervalo é chamada de solução da equação diferencial. 
Já uma solução que possui uma ou mais constantes arbitrárias e representa 
uma família de funções que satisfazem a equação diferencial é denominada 
solução geral da equação.
Outro aspecto importante é que, em álgebra, um número é considerado 
solução da equação se ele satisfaz a equação. Por exemplo, x1 = 5 é uma solu-
ção da equação x3 − 125 = 0, pois a substituição da variável x pelo número 5 
resulta em um valor nulo. O mesmo raciocínio pode ser feito para as equações 
diferenciais, ou seja, a função é solução de uma equação diferencial se conduz 
à identidade quando a substituímos na equação diferencial (ÇENGEL; PALM 
III, 2014).
Exemplo 1: solução de uma equação diferencial
Mostre que y1 = 3e
–2x é solução da equação diferencial yʹʹ – 4y = 0.
Solução:
A função dada será solução da equação diferencial se sua derivada se-
gunda for subtraída do resultado do produto de 4 por essa mesma função e o 
resultado for igual a zero. As derivadas primeira e segunda da função dada 
são, respectivamente, yʹ1 = –6e
–2x e yʹʹ1 = 12e
–2x. Dessa forma, temos yʹʹ – 4y 
= 12e–2x – 4(3e–2x) = 0. Com base nisso, pode-se afirmar que y1 é solução da 
equação diferencial.
Exemplo 2: solução geral de uma equação diferencial
Mostre que y1 = Cxe
2x + 2x – 3 é solução da equação diferencial yʹʹ – 4yʹ + 4y 
= 8x – 20, independentemente do valor da constante arbitrária C.
13Classificação e validação de soluções de equações diferenciais
Solução:
A primeira e a segunda derivadas de y1 = Cxe
2x + 2x – 3 são:
e
Dessa forma, temos
Portanto, y1 é a solução da equação diferencial, independentemente do valor 
de C. Trata-se de uma solução geral, pois ela possui uma constante arbitrária 
(ÇENGEL E PALM III, 2014, p. 19).
Anton, Bivens e Davis (2014) mostram que uma função y = y(x) é uma 
solução de uma equação diferencial em um intervalo aberto se a equação 
estiver satisfeita identicamente no intervalo quando y e suas derivadas forem 
substituídas na equação. Suponha que y = e2x é uma solução da equação 
diferencial – y = e2x no intervalo (–∞, +∞), pois, substituindo-se y e suas 
derivadas no lado esquerdo dessa equação, obtém-se:
com qualquer valor real de x. No entanto, essa não é a única solução em 
(–∞, +∞). Observe que a função y = e2x + Cex também é uma solução com 
qualquer valor real da constante C, pois
Classificação e validação de soluções de equações diferenciais14
Sendo assim, depois de se desenvolverem algumas técnicas de solução de 
equações, como a dada em – y = e2x, é possível mostrar que todas as soluções 
dessa equação em (–∞, +∞) podem ser obtidas substituindo-se a constante C 
em y = e2x + Cex por outros valores.
Chamamos de curva integral da equação o gráfico de uma solução de uma 
equação diferencial. A Figura 3 mostra algumas curvas integrais de – y = 
e2x que foram obtidas atribuindo-se valores para a constante arbitrária de 
y = e2x + Cex. Como se pode perceber, a solução geral de uma equação diferen-
cial vai produzir uma família de curvas integrais correspondentes a diferentes 
escolhas para as constantes arbitrárias (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). 
Figura 3. Curvas integrais de – y = e2x.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 562).
De acordo com Anton, Bivens e Davis (2014), em se tratando de problemas 
aplicados que envolvam equação diferencial, normalmente existem condições 
no problema que determinam os valores específicos para as constantes arbitrá-
rias. Toma-se como regra que são necessárias n condições para determinar os 
valores de todas as n constantes arbitrárias na solução geral de uma equação 
diferencial de ordem n. 
15Classificação e validação de soluções de equações diferenciais
Considerando-se uma equação de primeira ordem, a única constante arbi-
trária pode ser determinada especificando-se o valor da função desconhecida 
y(x) em um ponto arbitrário x0 — por exemplo, y(x0) = y0. Isso é chamado de 
condição inicial, e denomina-se problema de valor inicial de primeira ordem 
quando se resolve uma equação de primeira ordem sujeita a uma condição 
inicial. Geometricamente, a condição inicial y(x0) = y0 tem o efeito de isolar 
a família completa de curvas integrais à curva integral que passa pelo ponto 
(x0, y0) (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). Veja a seguir alguns dos exemplos 
propostos pelos autores envolvendo problemas de valor inicial.
Exemplo 3:
Encontre a solução do problema de valor inicial – y = e2x, y(0) = 3.
Solução:
A solução pode ser obtida pela substituição da condição inicial x = 0, 
y = 3 na solução geral y = e2x + Cex, para encontrar C. Obtém-se:
3 = e0 + Ce0 = 1 + C
Assim, C = 2, e a solução do problema de valor inicial, obtida substituindo-
-se esse valor de C em y = e2x + Cex, é:
y = e2x + 2ex
Geometricamente, essa solução pode ser vista como a curva integral na 
Figura 3 que passa pelo ponto (0,3).
Exemplo 4: crescimento populacional irrestrito
Um dos modelos mais simples de crescimento populacional está baseado na 
observação de que, quando populações (pessoas, plantas, bactérias e moscas-
-das-frutas, por exemplo) não estão restritas por limitações ambientais, elas 
tendem a crescer a uma taxa proporcional ao tamanho da população — quanto 
maior for a população, mais rapidamente ela cresce.
Classificação e validação de soluções de equações diferenciais16
Para traduzir esse princípio em um modelo matemático, suponha que 
y = y(t) denote a população no instante t. A cada momento, a taxa de crescimento 
populacional em relação ao tempo é . Portanto, a hipótese de que a taxa de 
crescimento seja proporcional à população é descrita pela equação diferencial
onde k é uma constante de proporcionalidade positiva, que pode ser usualmente 
determinada experimentalmente. Assim, se a população for conhecida em 
algum instante, digamos, y = y0 em t = 0, então, a fórmula geral para a popu-
lação y(t) pode ser obtida resolvendo-se o problema de valor inicial (ANTON; 
BIVENS; DAVIS, 2014, p. 563).
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 2.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
BRONSON, R.; COSTA, G. B. Equações diferenciais. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. 
(Coleção Schaum).
ÇENGEL, Y. A.; PALM III, W. J. Equações diferenciais. Porto Alegre: AMGH, 2014.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Matemática avançada para engenharia: equações diferenciais 
elementares e transformada de Laplace. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 1.
17Classificação e validação de soluções de equações diferenciais