eixos paralelos

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Universidade Federal de Campina Grande – UFCG 
Centro de Ciências de Tecnologia – CCT 
Unidade Acadêmica de Física – UAF 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório: Teorema dos Eixos Paralelos. 
 
 
 
Disciplina: Física Experimental I – Turma 08. 
Professor: Alexandre José de A. Gama. 
Aluno: Francisco Alex de Sousa Silva. 
Curso: Engenharia Química. 
Matrícula: 117110128. 
 
 
 
 
 
 
 
Campina Grande - PB 
Junho/2018 
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1. Introdução 
 1.1. Objetivos 
Estudar as oscilações de uma haste delgada em torno de vários pontos ao longo de seu 
eixo. Através desse estudo, determinar uma expressão para o Teorema dos Eixos Paralelos. 
1.2 Material 
• Corpo Básico; 
• Armadores; 
• Manivela; 
• Pêndulo Físico; 
• Suporte para Pêndulo Físico; 
• Balança; 
• Conjunto de Massas Padronizadas; 
• Escala Milimetrada; 
• Cronômetro; 
• Cordão; 
• Alfinete. 
1.3 Montagem 
Figura 01 – Esquema de montagem. 
 
Fonte: Apostila de Física Experimental. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
2. Procedimentos e Análises 
 2.1 Procedimentos 
 Da experiência anterior (Pêndulo Físico), já tínhamos medido a massa do pêndulo físico. 
Um corpo básico já estava montado na posição vertical de trabalho, e com o suporte para pêndulo 
físico encaixado. 
Medimos e anotamos as distâncias l entre os pequenos orifícios do pêndulo e o seu centro 
de massa. Introduzimos simultaneamente o alfinete no pequeno orifício do suporte e no orifício 
da extremidade do pêndulo físico. A lingueta já se encontrava na direção vertical, paralela ao 
pêndulo físico. 
Cuidamos para que o pêndulo físico não tocasse nas paredes internas do suporte, e 
colocamos para oscilar, de forma que seu ponto inferior não sofresse deslocamentos muito 
maiores que a largura da lingueta, assim, o deslocamento angular máximo, em relação ao 
equilíbrio, seria bem menor que 15°, e o movimento poderia ser considerado harmônico simples. 
Medimos o intervalo de tempo gasto em dez oscilações completas do pêndulo e anotamos 
o seu período na TABELA I. Colocamos o alfinete nos vários orifícios do pêndulo físico e 
repetimos os passos necessários para completar a TABELA I. 
2.2 Medidas e Tabelas 
 Massa do Pêndulo Físico: m = 38,65 g. 
 TABELA I 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
l (cm) 33,0 30,0 27,0 23,5 20,0 17,0 13,5 10,0 7,0 
T (s) 1,30 1,08 1,16 1,00 1,02 1,01 1,15 1,15 1,35 
Fonte: Autor, 2018. 
2.3 Análises 
 A partir do estudo do movimento do Pêndulo feito na experiência do Pêndulo Físico, 
concluímos que o momento de inércia do mesmo (em relação ao eixo em torno do qual as 
oscilações ocorrem) é dado por: 
𝐼 =
𝑇2
4𝜋2
𝑚𝑔𝑙 
 Utilizando a expressão acima, preenchemos a tabela abaixo que dá a relação entre I e l. 
TABELA II 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
I (kg.m2) 0,0054 0,0034 0,0035 0,0023 0,0020 0,0017 0,0017 0,0013 0,0012 
l (m) 0,330 0,300 0,270 0,235 0,200 0,170 0,135 0,100 0,070 
Fonte: Autor, 2018. 
Obs.: O gráfico em papel milimetrado, encontra-se em anexo. 
Analisando o gráfico, percebemos que é viável fazermos a suposição de que a curva seja 
descrita por uma expressão do tipo: 
4 
 
𝐼 = 𝑎 + 𝑏𝑙2 
pois o gráfico é da forma de uma parábola com vértice na origem, sobre a ordenada. 
 Fazendo x=l2, temos que: 
𝐼 = 𝑎 + 𝑏𝑥 
 Os valores de x e l seguem na tabela abaixo: 
TABELA III 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
I(kg.m2) 0,0054 0,0034 0,0035 0,0023 0,0020 0,0017 0,0017 0,0013 0,0012 
x(m2) 0,1089 0,0900 0,0729 0,0552 0,0400 0,0289 0,0182 0,0100 0,0049 
Fonte: Autor, 2018. 
Com os valores da tabela III, podemos traçar outro gráfico, agora de I versus x. (Em anexo) 
3. Conclusões 
Percebemos que o último gráfico é uma reta, o que comprova a suposição feita 
anteriormente que a função do momento de inércia seria dada através da expressão: 
𝐼 = 𝑎 + 𝑏𝑥 
Calculando os parâmetros da reta, temos que: 
𝐼 = 0,0005 + 0,03𝑥 
Na expressão acima, se fizermos x=l=0, encontraremos o momento de inércia ICM do 
Pêndulo em relação ao eixo perpendicular que passa pelo seu centro de massa. Notamos então, 
que é o próprio parâmetro a da reta, então: 
𝑎 = 𝐼𝐶𝑀 
𝐼𝐶𝑀 = 0,0005 
Podemos ainda, comparar o parâmetro b com o valor da massa do Pêndulo Físico, 
teríamos, no MKS: 
𝑏 = 0,03 
𝑚 = 0,03865 
Se considerarmos o parâmetro acima como sendo a massa do Pêndulo, estaríamos 
cometendo um erro de: 
𝐸(%) =
|𝑚 − 𝑏|
𝑚
∗ 100 =
|0,03865 − 0,03|
0,03865
∗ 100 
𝐸(%) = 22,38033635 ≈ 22,38% 
Podemos deduzir a expressão literal para o momento de inércia de um corpo em relação 
a um eixo qualquer, que é: 
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑚𝑙
2 
expressão conhecida também como Teorema dos Eixos Paralelos. 
5 
 
Igualando a expressão obtida acima com 𝐼 = 𝑇
2
4𝜋2
⁄ ∗ 𝑚𝑔𝑙, temos que: 
𝑇2
4𝜋2
⁄ ∗ 𝑚𝑔𝑙 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑚𝑙
2 
∴ 𝑇 = 2𝜋√
𝐼𝐶𝑀
𝑚𝑔𝑙
+
𝑙
𝑔
 
Com a expressão obtida acima podemos estudar o comportamento do período T em 
função da distância l. Sabemos que: 
0 < l < L, portanto T é finito. 
Fazendo com que l tenda para 0 e infinito, temos: 
𝑙 → 0, 𝑇 → ∞ 
𝑙 → ∞ , 𝑇 → ∞ 
 Acerca dessas informações podemos esboçar o gráfico e T versus l, que seria: 
 
 Quando l diminui, o período diminui e depois volta a crescer. 
 Poderíamos pensar na suposição que a curva do primeiro gráfico obtido fosse descrita 
através de: 
𝐼 = 𝐴𝑒𝑏𝑙 
mas é fácil perceber que por esta expressão o gráfico passaria pela origem, o que não é verdade. 
Caso a curva realmente fosse descrita por esse modelo, teríamos que usar o papel monolog para 
linearizar a função e assim determinarmos seus parâmetros A e B. 
Calculando-se agora o momento de inércia, para l = 0,3300m, através da expressão 
experimental e através da teórica temos: 
 Expressão teórica: 
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑚𝑙
2 = 0,0005 + 0,03865 ∗ 0,3302 = 0,004708985 ≈ 0,0047 𝑘𝑔. 𝑚2 
Expressão experimental: 
𝐼 = 𝑎 + 𝑏𝑥 = 0,0005 + 0,03865 ∗ 0,1089 = 0,004708985 𝑘𝑔. 𝑚2 
Calculando agora o erro entre as duas medidas: 
𝐸(%) =
|𝑉𝐸𝑋𝑃 − 𝑉𝑇𝐸𝑂|
𝑉𝑇𝐸𝑂
∗ 100 =
|0,004708985 − 0,0047|
0,0047
∗ 100 
6 
 
𝐸(%) = 0,1910638398% ≈ 0,19% 
Há três erros sistemáticos importantes neste experimento, o primeiro é que consideramos 
a barra como sendo completamente uniforme, o que não é verdade (há furos nela), o segundo é a 
desconsideração do atrito entre o orifício do eixo e o alfinete (o que influenciou muito quando se 
fizeram as oscilações em eixos muito próximos ao centro de massa), o outro erro é considerarmos 
a barra como tendo uma única dimensão.