ESTRUTURA ATÔMICA

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OS PRIMEIROS MODELOS ATÔMICOS
Alguns filosófo da Grécia Antiga já admitiam que toda e qualquer matéria seria formada por minúsculas partículas indivisíveis, que foram denominadas átomos (a palavra átomo, em grego, significa indivisível).
No entanto, foi somente em 1803 que o cientista inglês John Dalton, com base em inúmeras experiências, conseguiu provar cientificamente a idéia de átomo. Surgia então a teoria atômica clássica da matéria. Segundo essa teoria, quando olhamos, por exemplo, para um grãozinho de ferro, devemos imaginá-lo como sendo formado por um aglomerado de um número enorme de átomos. Os principais postulados da Teoria Atômica de Dalton são: 
a matéria é formada por partículas extremamente pequenas chamadas átomos; 
os átomos são esferas maciças, indestrutíveis e intransformáveis; 
átomos que apresentam mesmas propriedades (tamanho, massa e forma) constituem um elemento químico; 
átomos de elementos diferentes possuem propriedades diferentes; 
os átomos podem se unir entre si formando "átomos compostos"; 
uma reação química nada mais é do que a união e separação de átomos. 
MODELO ATÔMICO DE THOMSON
Em 1903, o cientista inglês Joseph J. Thomson, baseado em experiências realizadas com gases e que mostraram que a matéria era formada por cargas elétricas positivas e negativas, modificou o modelo atômico de Dalton. Segundo Thomson, o átomo seria uma esfera maciça e positiva com as cargas negativas distribuídas, ao acaso, na esfera. A quantidade de cargas positivas e negativas seriam iguais e dessa forma o átomo seria eletricamente neutro. O modelo proposto por Thomson ficou conhecido como "pudim com passas".
 
MODELO ATÔMICO DE RUTHERFORD
Em 1911, o cientista neozelandês Ernest Rutherford, utilizando os fenômenos radiativos no estudo da estrutura atômica, descobriu que o átomo não seria uma esfera maciça, mas sim formada por uma região central, chamada núcleo atômico, e uma região externa ao núcleo, chamada eletrosfera. No núcleo atômico estariam as partículas positivas, os prótons, e na eletrosfera as partículas negativas, os elétrons.
Para chegar a essas conclusões Rutherford e seus colaboradores bombardearam lâminas de ouro com partículas a (2 prótons e 2 nêutrons) utilizando a aparelhagem esquematizada acima.
Rutherford observou que a grande maioria das partículas atravessava normalmente a lâmina de ouro que apresentava aproximadamente 10-5 cm de espessura. Outras partículas sofriam pequenos desvios e outras, em número muito pequeno, batiam na lâmina e voltavam. O caminho seguido pelas partículas a podia ser detectado devido ?s cintilações que elas provocavam no anteparo de sulfeto de zinco.
Comparando o número de partículas a lançadas com o número de partículas a que sofriam desvios, Rutherford calculou que o raio do átomo deveria ser 10.000 a 100.000 vezes maior do que o raio do núcleo, ou seja, o átomo seria formado por espaços vazios. Por esses espaços vazios a grande maioria das partículas a atravessava a lâmina de ouro.
Os desvios sofridos pelas partículas a eram devidos às repulsões elétricas entre o núcleo (positivo) e as partículas a, também positivas, que a ele se dirigiam. O modelo de Rutherford (figura ao lado) ficou conhecido como "modelo planetário".
Partículas elementares
A experiência de Rutherford mostrou que no núcleo atômico além do próton deveria existir uma outra partícula. Esta foi descoberta em 1932 pelo cientista inglês James Chadwick e recebeu o nome de nêutron.
Prótons, elétrons e nêutrons são as principais partículas presentes num átomo. Elas são chamadas partículas elementares ou subatômicas e suas principais características são:
	Partícula
	Massa (grama)
	Massa relativa
	Carga elétrica (Coulomb)
	Carga relativa
	Próton (p+)
	1,7.10-24
	1
	+1,6.10-19
	+1
	Nêutron (n0)
	1,7.10-24
	1
	0
	0
	Elétron (e-)
	9,1.10-28
	1/1840
	-1,6.10-19
	-1
Observe que as partículas presentes no núcleo atômico apresentam a mesma massa e que essa é praticamente 2.000 vezes maior do que a massa do elétron. A massa de um átomo está praticamente concentrada numa região extremamente pequena do átomo: o núcleo atômico.
A quantidade atômica de prótons e elétrons presentes num átomo é a mesma, o que faz com que ele seja eletricamente neutro.
MODELO ATÔMICO DE BOHR
Em 1913, o físico dinamarquês Niels Bohr, ao estudar espectros de emissão de certas substâncias, modificou o modelo de Rutherford. No inicio do século XX era fato conhecido que a luz branca (luz solar, por exemplo) podia ser decomposta em diversas cores. Isso é conseguido fazendo com que a luz passe por um prisma. No caso da decomposição da luz solar obtém-se um espectro chamado espectro continuo. Este é formado por ondas eletromagnéticas visíveis e invisíveis (radiação ultravioleta e infravermelho). Na parte visível desse espectro não ocorre distinção entre as diferentes cores, mas uma gradual passagem de uma para outra. O arco-íris é um exemplo de espectro contínuo onde a luz solar é decomposta pelas gotas de água presentes na atmosfera. Como a cada onda eletromagnética está associada certa quantidade de energia, a decomposição da luz branca produz ondas eletromagnéticas com toda e qualquer quantidade de energia.
No entanto, se a luz que atravessar o prisma for de uma substância como hidrogênio, sódio, neônio etc. será obtido um espectro descontínuo. Este é caracterizado por apresentar linhas coloridas separadas. Em outras palavras, somente alguns tipos de radiações luminosas são emitidas, isto é, somente radiações com valores determinados de energia são emitidas.
Baseado nessas observações experimentais, Bohr elaborou um novo modelo atômico cujos postulados são:
na eletrosfera os elétrons não se encontram em qualquer posição. Eles giram ao redor do núcleo em órbitas fixas e com energia definida. As órbitas são chamadas camadas eletrônicas, representadas pelas letras K, L, M, N, O, P e Q a partir do núcleo, ou níveis de energia representados pelos números 1, 2, 3, 4...; 
os elétrons ao se movimentarem numa camada eletrônica não absorvem nem emitem energia; 
os elétrons de um átomo tendem a ocupar as camadas eletrônicas mais próximas do núcleo, isto é, as que apresentam menor quantidade de energia; 
um átomo está no estado fundamental quando seus elétrons ocupam as camadas menos energéticas; 
quando um átomo recebe energia (térmica ou elétrica), o elétron pode saltar para uma camada mais externa (mais energética). Nessas condições o átomo se torna instável. Dizemos que o átomo se encontra num estado excitado; 
os elétrons de um átomo excitado tendem a voltar para as camadas de origem. Quando isso ocorre, ele devolve, sob a forma de onda eletromagnética, a energia que foi recebida na forma de calor ou eletricidade. 
Esses postulados permitem explicar a existência dos espectros de emissão descontínuos: como o elétron só pode ocupar determinadas órbitas, as transições eletrônicas (ida e volta do elétron) ocorrem em número restrito, o que produz somente alguns tipos de radiação eletromagnética e não todas como no espectro contínuo.
Modelo atômico de Bohr foi elaborado para o átomo de hidrogênio, mas aplica-se com boa aproximação a todos os outros átomos.
CONCEITOS
Próton: partícula nuclear com carga positiva igual, em grandeza, à do elétron. Junto com o nêutron, está presente em todos os núcleos atômicos (exceto o do hidrogênio, que não tem nêutron). A massa de um próton é de 1,6726 x 10-27 kg, ou seja, 1.836 vezes a do elétron. O número atômico de um elemento indica o número de prótons em seu núcleo e determina de que elemento se trata.O antipróton é sua antipartícula. É estável no vácuo e não se desintegra espontaneamente.
Nêutron: uma das partículas fundamentais que compõem a matéria. Sua massa é de 1,675 x 10-27 kg, aproximadamente 0,125% maior que a do próton. Não tem carga elétrica. É uma partícula constituinte de todos os núcleos, exceto o do hidrogênio comum. Os nêutrons livres, que formam parte de um núcleo, sãoproduzidos em reações nucleares. Quando é expulso do núcleo, o nêutron é instável, e se desintegra para dar lugar a um próton, um elétron e um neutrino. O uso de feixes de nêutrons é uma ferramenta importante em campos tão diversos quando a paleontologia, a arqueologia e a história da arte.
Elétron: tipo de partícula elementar que, junto com os prótons e os nêutrons, forma os átomos e as moléculas. Intervém em uma grande variedade de fenômenos. Os elétrons têm uma massa em repouso de 9,109 x 10-31 kg e uma carga elétrica negativa de 1,602 x 10-19 coulombs. Sua partícula de antimatéria correspondente é o pósitron.
TEXTO 1 - Prêmio Nobel de Química 1999 - Outubro 99 
No dia 12 de outubro de 1999, a Real Academia Sueca de Ciências anunciou a concessão do Prêmio Nobel de Química ao pesquisador, de dupla nacionalidade (egípcia e norte-americana), Ahmed H. Zewail, "por ter demonstrado que é possível observar, graças a uma técnica a laser ultra-rápida, o movimento dos átomos de uma molécula durante as reações químicas". Zewail é o inventor de uma técnica que pode ser descrita como uma câmara fotográfica capaz de captar com precisão a forma como se comportam os átomos durante o exato momento de uma reação química.
Ahmed H.Zewail nasceu em 1946, no Egito. Fez seus primeiros estudos de Química na Universidade de Alexandria. Depois foi para os Estados Unidos, onde se doutorou em 1974, na Universidade da Pensilvânia. Trabalhou na Universidade de Berkeley e, em 1976, tornou-se pesquisador do Instituto de Tecnologia da Califórnia, onde desde 1990 ocupa a cátedra Linus Pauling de Química.
ESTRUTURA ATÔMICA
As teoria de estrutura atômica e molecular dependem da mecânica quântica que descreve os átomos e moléculas em termos matemáticos. Embora os detalhes da mecânica quântica necessitem considerável sofisticação matemática, é possível entender os princípios envolvidos somente com uma matemática moderada. Este capítulo apresenta os fundamentos necessários para explicar as estruturas atômica e molecular em termos qualitativos ou semi-quantitativos.
DESENVOLVIMENTO HISTÓRICO DA TEORIA ATÔMICA
Embora os filósofos gregos Democritus (460-370 A. C.) e Epicurus (341-270 A. C.) apresentaram uma visão da natureza que incluíam átomos, centenas de anos se passaram antes que os estudos experimentais pudessem estabelecer relações quantitativas necessárias para uma teoria atômica coerente. Em 1808, John Dalton publicou Um Novo Sistema de Filosofia Química� o qual propõe que as partículas de todos os corpos homogêneos semelhantes em peso, forma, etc. Em outras palavras, toda partícula é semelhantes a outra partícula de água, cada partícula de hidrogênio é semelhantes a cada outra partícula de hidrogênio, etc.� e que os átomos se combinam em relações numéricas simples para formar compostos. A terminologia que ele usou foi modificada, mas ele apresentou claramente as idéias de átomos e moléculas, muitas observações sobre calor (ou calórico, como ele chamou), e observações quantitativas de massas e volumes de substâncias combinando para formar novos compostos. Devido a confusão sobre moléculas elementares tais como H2 e O2 (as quais ele assumiu serem monoatômicas H e O), ele não encontrou a fórmula correta para a água. Dalton disse, 
Quando duas medidas de gás hidrogênio e uma medida de gás oxigênio são misturados, e e aplicada uma descarga elétrica, a mistura é convertida em um vapor, e se a pressão for alta, este vapor tornará água. É mais provável então que exista o mesmo número de partículas que em duas medidas de hidrogênio e em uma de oxigênio.�
De fato, ele então mudou de idéia sobre o número de moléculas em volumes iguais de diferentes gases:
No época que eu formulei a teoria de misturas de gases, eu tive uma idéia confusa, como muitos tem, eu supus, naquele momento, que as partículas de fluidos elásticos são todas do mesmo tamanho; que um dado volume de oxigênio gasoso contém tantas partículas quanto o mesmo volume de hidrogênio gasoso; ou se não, que nós não tínhamos dados dos quais a questão poderia ser resolvida... Eu (mais tarde) fiquei convencido... Que cada espécie de um fluido elástico puro tem suas partículas globular e todas de um tamanho; mas que duas espécies não concordam nos tamanhos de suas partículas, a uma mesma pressão e temperatura.�
Somente poucos anos depois, Avogadro usou os dados de Gay-Lussac para argumentar que iguais volumes de gás na mesma temperatura e pressão contém o mesmo número de moléculas, mas incertezas sobre a natureza dos vapores de enxofre, fósforo, arsênio, e mercúrio atrasaram a aceitação desta idéia. Confusões sobre pesos atônicos e fórmulas moleculares contribuíram para o atraso; em 1861, Kekulé apresentou 19 fórmulas possíveis para o ácido acético!� Em 1850 Cannizzaro ressuscitou a idéia de Avogadro argumentando que cada pessoa deveria usar uma mesma série de pesos atômicos em preferência do que muitas diferentes séries que estava sendo usadas. Em um encontro em Karlsruhe em 1860, ele distribuiu um panfleto descrevendo sua visão.� Sua proposta foi eventualmente aceita, e uma série consistente de pesos atômicos e fórmulas se desenvolveram gradualmente. Em 1869, Mendeleev� e Meyer� independentemente propuseram tabelas periódicas semelhantes aquelas usadas hoje, e daquele tempo e desenvolvimento da teoria atômica progrediu rapidamente.
A TABELA PERIÓDICA
A idéia de uma tabela periódica foi considerada por muitos químicos os dados que suportavam a idéia eram insuficientes ou os esquemas de classificação estavam incompletos. Mendeleev e Meyer organizaram os elementos em ordem de pesos atômicos e então identificaram as famílias dos elementos com propriedades similares. Pelo arranjo dessas famílias em linhas ou colunas, e considerando similaridades no comportamento químico bem como pesos atômicos, Mendeleev encontrou vagas na tabela e foi capaz de predizer as propriedades de vários elementos (gálio, escândio, germânio, polônio) que ainda não sido descobertos. Quando suas previsões tornaram-se exatidão, o conceito de uma tabela periódica foi rapidamente estabelecido (Figura 1-10). A descoberta de elementos adicionais não conhecidos na época de Mendeleev e a síntese de elementos pesados levaram a uma tabela periódica mais completa em sua forma moderna.
	Na tabela periódica moderna, uma linha horizontal dos elementos é chamada período, e uma coluna vertical é um grupo ou família. A designação tradicional dos grupos nos Estados Unidos diferem daqueles usados na Europa. A União Internacional de Química Pura e Aplicada (IUPAC) tem recomendado que os grupos sejam numerados de 1 a 18, uma recomendação que gerou considerável controvérsia. Nós usaremos a denominação da IUPAC, com a denominação americana em parêntesis. Algumas das sessões da tabela periódica tem nomes tradicionais, como mostrado na Figura 2-1.
A DESCOBERTA DE PARTÍCULAS SUBATÔMICAS E O ÁTOMO DE BOHR
Os elétrons foram descobertos e estudados durante o tempo em que a tabela periódica estava sendo formulada, e em 1897 J. J. Thomson mostrou que eram partículas carregadas negativamente com uma grande relação carga/massa.� Becquerel descobriu a radioatividade do urânio em 1896. Nos próximos 20 anos esta descoberta deu a idéia de isótopos como átomos com as mesmas propriedades químicas mais diferentes massas nucleares. A combinação destas idéias mostrou uma complexa estrutura para o átomo, mas não o descreveu adequadamente. Em 1909, R. A. Millikan mediu a carga do elétron, a qual estabeleceu sua massa como 1/1836 da massa do hidrogênio. Em 1911, estudantes de Rutherford descobriram que uma pequena fração de partículas alfa (núcleo de hélio) eram desviados em grandes ângulos ao passarem através de uma lâmina de ouro, embora muitas delas passassem diretamente através da mesma. Eles entenderam rapidamente que esta necessitava muito espaço vazio no átomo e um núcleo pesado, mas pequeno, carregava carga positiva.
	Tão logo depois, Moseley� completou esta parte dos estudos medindo o comprimentode ondas de raios-X emitidos quando os elementos eram submetidos a altas voltagens de um feixe de el'étrons. Ele encontrou que a raiz quadrada da frequência dos raios-X emitidos variavam quase linearmente com aproximadamente metade da massa atômica do metal usado e propôs que a carga nuclear, ou número atômico Z, determinava a energia dos raios-X. Este experimento confirmou as conclusões de Rutherford, que o número atômico tinha uma importância mais fundamental do que a massa e que a carga do núcleo era igual ao número atômico. Este resultado também explicou algumas discrepâncias na tabela periódica, onde a ordem de massa atômica não é mesma que a ordem do número atômico dos elementos (Co e Ni, Te e I).
	Descobertas paralelas no espectro atômico mostraram que cada elemento emite luz de energias específicas quando excitados por uma discarga elétrica ou calor. Em 1885, Balmer mostrou que as energias da luz visível emitida pelo átomo de hidrogênio é dada pela seguinte equação
,
onde nh = inteiro, com nh > 2
 RH = constante de Rydberg para o hidrogênio = 1,097 x 107 m-1
E a energia estar relacionada com o comprimento de onda, frequência, e número de onda da luz pelas equações
onde h = constante de Plank = 6,626 x 10-34 J s
  = frequência da luz, em s-1
 c = velocidade da luz = 2,998 x 108 m s-1
  = comprimento de onda da luz, frequentemente em nm
 ’= número de onda da luz, geralmente em cm-1 
	A equação de Balmer mais tarde torrnou-se mais geral, com o desenvolvimento das linhas espectrais nas regiões do ultravioleta e infravermelho, substituindo 22 por nl2, com a condição de que nl < nh. estas quantidades, ni, são chamadas de números quânticos (estes são os número quântico principal; outros são descritos adiante). A origem desta energia ficou desconhecida até a teoria quântica do átomo de Niels Bohr,� primeiro publicada em 1913 e refinada nos dez anos seguintes. Esta teoria assumiu que os elétrons negativos nos átomos movem-se em órbitas circulares estáveis em torno do núcleo positivo sem necessitar absorver ou emitir energia. Contudo, os elétrons devem absorver luz com energias específicas quando excitados para órbitas de maior energia; e devem também emitir luz de energia específica quando passarem para órbitas de menor energia. A energia da luz emitida ou obsorvida pode ser encontrada, de acordo com o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, da equação
,
onde
 = combinação da massa relativa elétron-núcleo
 me = massa do elétron
 mnúcleo = massa do núcleo
 Z = carga do núcleo
 E = carga do elétron
 h = constante de Plank
 nh = número quântico que representa o estado de maior energia
 nl = número quântico que representa o estado de menor energia
 40 = permissividade no vácuo 
Esta equação mostra que a constante de Rydberg depende da massa do núcleo bem como das constantes fundamentais.
	Exemplos de transições observadas para o átomo de hidrogênio e os níveis de energia responsáveis são mostradas na Figura 2-2. Como o elétron cai de um nível nh para o nl, energia é liberada na forma de radiação eletromagnética. Contrariamente, se uma radiação de energia apropriada é absorvida por umátomo, elétrons passarão de um nível nl para um nível nh (l para o nível mais baixo, h para o mais alto). A dependência da energia com o inverso da raiz quadrada de nli resulta em níveis de energia que estão bem afastados em energia quando ni é pequeno e torna-se muito mais próximos em energia quando ni é grande. No limite superior, quando ni aproxima infinitamente, a energia aproxima do limite zero. Elétrons individuais podem Ter mais energia, mas acima deste ponto eles não fazem mais parte do átomo; um número quântico infinito significa que o núcleo e o elétron são entidades separadas.
	Quando aplicada ao hidrogênio, a teoria de Bohr funcionou bem; quando foi considerado átomos com mais elétrons, a teoria falhou. Complicações tais como órbitas elípticas ao invés de circulares foram introduzidas com o objetivo de encaixar os dados na teoria de Bohr.� O desenvolvimento da ciência experimental espectroscopia atômica proporcionou bastante dados para testar a teoria de Bohr e suas modificações e forçou os teóricos a trabalhar duro para explicar as observações dos espectroscopistas. Apesar dos seus esforços, a teoria de Bohr eventualmente mostrou-se insatisfatória. Uma importante característica do elétron, sua natureza de onda, ainda necessitava de ser considerada.
	Todas as partículas em movimento tem propriedades de onda de acordo com a equação de de Broglie�
onde  = comprimento de onda da partícula
 h = constante de Plank
 m = massa da partícula
 v = velocidade da partícula
	Partículas com massa suficientemente grande para serem observadas a olho nu tem comprimentos de onda pequeno, os quais são muito pequenos para serem medidos. Elétrons, por outro lado, tem propriedades de onda devido a sua pequena massa.
	Elétrons movendo-se em cículos em torno do núcleo como na teoria de Bohr podem ser considerados a formação de uma onda estacionária (forming standing waves), de acordo com a equação de de Broglie. Contudo, não acreditamos muito que é possível descrever de forma tão preciso o movimento de um elétron em um átomo. Esta é uma conseqüência de uma outro princípio fundamental da física moderna, o princípio da incerteza de Heisenberg,� o qual afirma que existe uma relação entre as incertezas inerentes na localização e no momento de um elétron movendo-se em uma direção x:
onde x = incerteza na posição do elétron
 p = incerteza no momento de elétron
FIGURA 2-2 Níveis de energia do átomo de hidrogênio
	A energia das linhas espectrais podem ser medidas com grande precisão (como um exemplo, a constante de Rydberg é conhecida com 11 algarismos significativos), o qual permite determinar com precisão a energia dos elétrons nos átomos. Esta precisão na eneregia também implica precisão no momento (p é pequeno); portanto, de acordo com Heisenberg, há uma grande incerteza na posição do elétron (x é grande). Estes conceitos significa que não podemos tratar elétrons como partículas simples com seu movimento descrito precisamente, mas ao invés disto devemos considerar as propriedades de onda dos elétrons, caracterizado por um grau de incerteza em sua posição. Em outras palavras, ao invés de ser capaz de descrever órbitas precisas dos elétrons, como na teoria de Bohr, nós podemos somente descrever orbitais, regiões que descrevem a probabilidade de localização dos elétrons. A probabilidade de encontrar o elétron em um ponto particular no espaço (também chamada de densidade de elétrons) pode ser calculada, pelo menos em princípio.
A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
Em 1926 e 1927, SchrÖdinger� e Heisenberg14 publicaram artigos em mecânica quântica (descrição das propriedades de onda dos elétrons nos átomos) onde usaram muitas técnicas matemáticas diferentes. Apesar de diferentes aproximações, foi logo mostrado que suas teorias eram equivalentes. As equações diferencial de SchrÖdinger são mais comumnte usadas para introduzir a teoria, e deveremos segui-las na prática.
	A equação de SchrÖdinger descreve as propriedades ondulatórias de um elétron em termos de sua posição, massa, energia total, e energia potencial. A equação é baseada na função de onda , a qual descreve uma onda eletrônica no espaço; em outras palavras, descreve um orbital atômico. Em sua notação mais simples, a equação é
onde H = operador Hamiltoniano
 E = energia do elétron
  = função de onda
	O operador Hamiltoniano (freqüentemente chamado apenas de Hamiltoniano) inclui derivados que operam na função de onda.� Quando a operação Hamiltonianoaé efetuada, o resultado é uma constante (a energia) vezes . A operação pode ser realizada em qualquer função de onda descrevendo um orbital atômico. Orbitais diferentes tem diferentes funções  e diferentes valores de E. Esta é uma outra maneira de descrever a quantização da energia característica que cada orbital tem, caracterizado pela sua própria função .
	Na forma usada para calcular os níveis de energia, o operador Hamiltoniano é
 esta parte do operador descreve esta parte do operador des-
 a energia cinética do elétron. creve a energia potencial do elétron, o resultador da atração eletrostática entre o elétron e o núcelo. É comumente representado como V.
onde h = constante de Plank
 m = massa da partícula
 E = energia total do sistema
 e = carga do elétron
 r = distância do núcleo
 Z = carga do núcleo
 40 = permissividade no vácuo
	Quando este operador é aplicado em uma função de onda :
onde 
	A energia potencial V é um resultado da atração eletrostática entre o elétron e o núcleo. Forças atrativas, assim como aquelas entre o núcleo positivo e o elétron negativo, são definidos por convenção de Ter uma energia potencial negativa. Um elétron próximo ao núcleo (pequeno r) estar fortemente preso ao núcleo e tem uma energia potencial muito negativa. Elétrons mais longe do núcleo tem energia potencial que é pequena e negativa. Para um elétron a uma distância infinita do núcleo (r=∞), a atração entre o núcleo e o elétron é zero, e a energia potencial é zero.
	Devido a cada Ψ coincide com um orbital atômico, não existe limite do número de soluções da equação de SchrÖdinger. Cada Ψ descreve as propriedades ondulatórias de um dado elétron em um orbital particular. A probabilidade de encontrar um elétron em um dado ponto do espaço é proporcional a Ψ2. Um número de condições são necessárias para uma solução de Ψ fisicamente realística.
�
	1. A função de onda Ψ deve ser um valor simples.
	Não pode existir duas probabilidades de encontrar o elétron em qualquer posição do espaço.
	2. A função de onda Ψ e sua primeira derivada devem ser contínua.
	A probabilidade deve ser definida em todas as posições do espaço e não pode mudar repentinamente de um ponto para outro.
	3. A função de onda Ψ deve se aproximar de zero quando r se aproxima do infinito.
	Para grandes distâncias do núcleo, a probabilidade deve grow smaller and smaller (o átomo deve ser finito).
	4. A integral
Esta é chamada normalização da função de onda.�
	A probabilidade total de um elétron estar em algum lugar no espaço = 1.
	5. A integral
	Todos os orbitais em um átomo dever ser ortogonais a cada outro. Em alguns cacos, isto significa que os orbitais dever ser perpendiculares, como nos orbitais px, py e pz.
FIGURA 2-3 Energia potencial para uma partícula na caixa.
A PARTÍCULA NA CAIXA
O primeiro exemplo usual da equação de onda, a partícula uni-dimensional na caixa, mostra como estas condições são usadas. Faremos um breve comentário sobre o método; maiores detalhes podem ser encontrados na literatura específica.� A “caixa é mostrada” na Figura 2-3. A energia potencial V(x) dentro da caixa, entre x = 0 e x = a, é definida como zero. Fora da caixa, a energia potencial é infinita. Isto significa que a partícula está completamente presa na caixa e necessitaria uma quantidade infinita de energia para sair da caixa. Contudo, não existe forças atuando nela dentro da caixa.
	A equação de onda dentro da caixa é
, torna-se V(x) = 0
	Como a função co-seno tem as propriedades que associamos com as ondas – comprimento de onda e amplitude bem definidos – podemos portanto propor que as características da onda de nossa partícula pode ser descrita por uma combinação de funções seno e co-seno. Uma solução geral que descreve as possíveis ondas na caixa seria então
�
ande A, B, r e s são constantes. Substituindo na equação de onda as soluções permitidas para r e s :
	Como  deve ser contínuo e igual a zero em x < 0 e x > a (devido a partícula estar confinada na caixa),  deve ser zero em x = 0 e x = a. como cossx = 1 para x = 0,  pode igualar a zero na solução da integral acima somente se B = 0. Isto reduz a expressão para 
	Em x = a,  deve também ser igual a zero; portanto, senra = 0, o qual é possível somente se ra é uma integral múltipla de :
 ou 
onde n = qualquer inteiro  0.� Substituindo o valor positivo (já que ambos os valores positivo e negativo dão os mesmos resultados) para r na solução de r produz
	Esta expressão pode ser resolvida para E:
	Existe níveis de energia predito pelo modelo da caixa para qualquer partícula em uma caixa uni-dimensional de comprimento a. Os níveis de energia são quantizados de acordo os números quânticos n = 1, 2, 3, ...
	Substituindo r = n/a na função de onda produz
e aplicando a normalização 
 produz
A solução total é então
A função de onda resultante a sua raiz quadrada para os primeiros três estados (o estado fundamental e os dois primeiros estados excitados) estão representados na Figura 2-4.
	As funções de onda quadráticas são as densidades de probabilidades e mostra a diferença entre o comportamento da mecânica clássica e a quântica. A mecânica clássica prediz que o elétron tem igual probabilidade de estar em qualquer ponto na caixa. A natureza da onda do elétron dar os extremos de alta e baixa probabilidade em diferentes posições na caixa.
NÚMEROS QUÂNTICOS E FUNÇÕES DE ONDA ATÔMICA
A partícula na caixa é um exemplo que mostra como uma função de onda atua em uma dimensão. Matematicamente, orbitais atômicos são soluções discretas das equações tridimensionais de SchrÖdinger. Os mesmos métodos usados para uma caixa unidimensional podem ser expandidos para átomos de três dimensões. Estas equações orbitais incluem três números quânticos, n, l e ml. Um quarto número quântico ms, completa a descrição considerando o momento magnético de elétron.
	Este quarto número quântico foi adicionado para explicar várias observações experimentais. Duas destas observaçãoes são que as linhas no espectro de matais alcalinos são duplicadas, e que um feixe de átomos de metais alcalinos desdobram em duas partes se o mesmo passa através de um campo magnético. Ambas podem ser explicadas atribuindo-se um momento magnético ao elétron, de modo que ele comporta-se como uma fina barra magnética. Isto é geralmente descrito como o spin do elétron porque uma partícula eletricamente carregada girando também tem um momento magnético, mas não deveria ser considerado com uma descrição exata; é uma propriedade puramente da mecânica quântica. Os números quânticos resultantes estão resumidos nas Tabelas 2-1, 2-2, e 2-3.
	O número quântico n é primariamente responsável pela determinação da energia total de um orbital atômico: os outros números quânticos tem efeitos menores na energia. O número quântico l determina o momento angular de um orbital ou ou a forma do orbital e tem efeito reduzido na energia. O número quântico ml determina a orientação do vetor momento angular em um campo magnético, ou a posição do orbital no espaço, como na Tabela 2-2. O número quântico ms determina a orientação do momento magnético do elétron em um campo magnético, tanto na direção do campo (+ ½ ) ou oposto ao mesmo (- ½ ). Quando o campo não está presente, todos os valores de ml (todos os três orbitais p ou todos os cinco orbitais d) tem amesma energia e embos vaores de ms tem a mesma energia. Juntos os números quânticos n, l e ml definem um orbital atômico; o núemro quântico ms descreve o spin do elétron dentro do orbital.
FIGURA 2-4 Funções de onda e seus quadrados para a partícula na caixa com n = 1,2, e 3.
TABELA 2-1 Números quânticos e suaspropriedades
	Símbolo
	Nome
	Valores
	Observação
	n
	Principal
	1, 2, 3, ...
	Determina a maior parte da energia
	l
	Momento angular
	0, 1, 2,..., n-1
	Descreve a dependêncua angular e contribui na energia
	ml
	Magnético
	0, 1, 2,... l
	Descreve a orientação no espaço
	ms
	Spin
	 ½ 
	Descreve a orientação do spin do elétron no espaço
	Orbitais com diferentes valores de l são conhecidos pelos seguintes símbolos, derivados dos termos anteriores para diferentes famílias das linhas espectroscópicas:
	l =
	0
	1
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TABELA 2-2 Funções de onda para o átomo de hidrogênio: Fatores angular
	Uma visão mais detalhada da equação de SchrÖdinger mostra a origem matemática dos orbitais atômicos. Em três dimensões,  pode ser expressado em termos de coordenadas cartesianas (x, y, z) ou em termos de coordenadas esféricas (r, , ). Coordenadas esféricas, como mostrado na Figura 2-5, são especialmente úteis em que r representa a distância do núcleo. A coordenada esférica  é o ângulo do eixo z, variando de 0 a , e  é o ângulo do eixo x, variando de 0 a 2. É possível converter entre coordenadas cartesianas e esféricas usando as expressões
X = r sen cos
Y = r sen sen
Z = r cos
TABELA 2-2 Funções de onda para o átomo de hidrogênio: Fatores radiais
Fatores radiais R(r), com  = Zr/α0
	Orbital
	n
	l
	R(r)
	1s
	1
	0
	
	2s
	2
	0
	
	2p
	
	1
	
	3s
	3
	0
	
	3p
	
	1
	
	3d
	
	2
	
FIGURA 2-5 Coordenadas esféricas e volume do elemento para uma camada esférica em coordenadas esféricas.
	Em coordenadas esféricas, os três lados do elemento volume são rd, rsend, e dr. O produto dos três lados é r2sendddr, equivalente a dx dy dz. O volume de uma fina camada entre r e r + dr é 4r2dr, o qual é a integral sobre  de 0 a , e sobre de 0 a 2Esta integral é útil na descrição de densidade eletrônica como uma funçaõ da distância do núcleo.
	 pode ser transformada em uma componente radial e duas componentes angulares. A função radial, R, descreve a densidade eletrônica a diferentes distâncias do núcleo. As funções angulares,  e , descrevem a forma do orbital e sua orientação no espaço. Os dois fatores angulares são algumas vezes combinados em um fator, chamado Y:
(r, , ) = R(r)()() = R(r)Y(, )
A função radial
R é uma função somente de r; Y é uma função de  e , e dá as formas disntintas de s, p, d e outros orbitais. R,  e  são mostrados separadamente nas Tabelas 2-2 e 2-3. O fator radial R(r) (tabela 2-2) é determinado pelos números quânticos n e l, números quânticos principal e momento angular.
	O raio de Bohr, α0 = 52,9 pm, é uma inidade comum em mecânica quântica. Ele é o valor de r no máximo de 2 para um orbital 1s do hidrogênio e é também o raio de um orbital 1s de acordo com o modelo de Bohr.
	A função probabilidade radial é 4r2R2. Esta função descreve a probabilidade de encontrar o elétron a uma dada distância, somado todos os ângulos, com o fator 4r2 o resultado da integração sobre todos os ângulos. As funções de onda radial e funções probabilidade radial são graficadas para os orbitais com n = 1, 2, e 3 na Figura 2-6. Ambos R(r) e 4r2R2 são escalados com α0, o raio de Bohr, de modo a dar unidades razoáveis nos eixos dos gráficos.
Modelo atômico
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Muitas são as teorias sobre a estrutura atômica da matéria, ou modelo atômico. Atualmente, é o Modelo da Mecânica Quântica ou da Mecânica Ondulatória ou Modelo Orbital aceito para definir a estrutura atômica.
	Tabela de conteúdo
[esconder]
1 Antiguidade 
2 Dalton 
3 Ernest Rutherford 
4 James Chadwick 
5 Niels Bohr 
6 Arnold Sommerfeld 
7 Erwin Schrodinger, Louis Victor de Broglie e Werner Heisenberg 
8 O atual modelo atômico 
9 Veja também 
10 Bibliografia recomendada 
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Antiguidade
Na antiguidade se acreditava que dividindo a matéria em pedaços cada vez menores, chegar-se-ia num ponto onde partículas, cada vez menores, seriam invisíveis ao olho humano e, segundo alguns pensadores, indivisíveis. Graças a essa propriedade, receberam o nome de átomos, termo que significa o que não pode ser dividido, em grego. Foi quando surgiu entre os filósofos gregos o termo atomismo.
Parmênides propôs a teoria da unidade e imutabilidade do ser, esta, estava em constante mutação através dos postulados de Heráclito.
O atomismo foi a teoria cujas intuições mais se aproximaram das modernas concepções científicas sobre o modelo atômico.
No século V a.C. (450 a.C.) Leucipo de Mileto juntamente a seu discípulo Demócrito de Abdera, (400 a.C]]., Considerado o pai do atomismo grego) discorreram sobre a natureza da matéria de forma elegante e precisa.
Demócrito, propôs que a realidade, o todo, se compõe não só de átomos ou partículas indivisíveis de natureza idêntica, conforme proposto por Parmênides. Demócrito acreditava que o vácuo era um não ente. Esta tese entrou em franca contradição com a ontologia parmenídea.
Heráclito postulava que não-ente (vácuo) e matéria (ente) desde a eternidade interagem entre si dando origem ao movimento. E que os átomos apresentam as propriedades de: forma; movimento; tamanho e impenetrabilidade e, por meio de choques entre si, dão origem a objetos visíveis.
Segundo Demócrito a matéria era descontínua, portanto, ao invés dos corpos macroscópicos, os corpos microscópicos, ou átomos não interpenetram-se nem dividim-se, sendo suas mudanças observadas em certos fenômenos físicos e químicos como associações de átomos e suas dissociações e que qualquer matéria é resultado da combinação de átomos dos quatro elementos: ar; fogo; água e terra. Aristóteles, ao contrário de Demócrito, postulou a continuidade da matéria, ou, não constituída por partículas indivisíveis.
Em 60 a.C., Lucrécio compôs o poema De Rerum Natura, que discorria sobre o atomismo de Demócrito.
Os filósofos porém, adotaram o modêlo atômico de Aristóteles, da matéria contínua, que foi seguido pelos pensadores e cientistas até o século XVI d.C.
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Dalton
O professor da universidade inglesa New College de Manchester, John Dalton foi o criador da primeira teoria atômica moderna na passagem do século XVIII para o século XIX.
Em 1803 Dalton publicou o trabalho Absorption of Gases by Water and Other Liquids, (Absorção de gases pela água e outros líquidos), neste delineou os princípios de seu modelo atômico.
Segundo Dalton:
Átomos de elementos diferentes possuem propriedades diferentes entre si. 
Átomos de um mesmo elemento possuem propriedades iguais e de peso invariável. 
Átomos são partículas reais, indivisíveis e descontínuas formadoras da matéria. 
Nas reações químicas, os átomos permanecem inalterados. 
Na formação dos compostos, os átomos entram em proporções numéricas fixas 1:1, 1:2, 1:3, 2:3, 2:5 etc. 
O peso total de um composto é igual à soma dos pesos dos átomos dos elementos que o constituem. 
Em 1808, Dalton propôs a teoria do modelo atômico, onde o átomo é uma minúscula esfera maciça, impenetrável, indestrutível e indivisível. Todos os átomos de um mesmo elemento químico são idênticos. Seu modelo atômico foi chamado de modelo atômico da bola de bilhar.
Em 1810 foi publicada a obra New System of Chemical Philosophy (Novo sistema de filosofia química), nesse trabalho, haviam teses que provavam suas observações, como a lei das pressões parciais, chamada de Lei de Dalton, entre outras relativas à constituição da matéria.
Os átomos são indivisíveis e indestrutíveis; 
Existe um número pequeno de elementos químicos diferentes na natureza; 
Reunindo átomos iguais ou diferentes nas variadas proporções, podemos formar todas as matérias do universo conhecidos; 
Para Dalton o átomo era um sistema contínuo. Apesar de um modelo simples, Dalton deuum grande passo na elaboração de um modelo atômico, pois foi o que instigou na busca por algumas respostas e proposição de futuros modelos. Modelo de Dalton: Dalton: A matéria é constituída de diminutas partículas amontoadas como laranjas.
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Ernest Rutherford
As bases para o desenvolvimento da física nuclear foram lançadas por Ernest Rutherford ao desenvolver sua teoria sobre a estrutura atômica. O cientista estudou por três anos o comportamento dos feixes de partículas ou raios X, além da emissão de radioatividade pelo elemento Urânio.
Uma das inúmeras experiências realizadas, foi a que demonstrava o espalhamento das partículas alfa. Esta foi base experimental do modelo atômico do chamado átomo nucleado onde elétrons orbitavam em torno de um núcleo.
Durante suas pesquisas Rutherford observou que para cada 10.000 partículas alfa aceleradas incidindo numa lâmina de ouro, apenas uma refletia ou se desviava de sua trajetória. A conclusão foi que o raio de um átomo poderia ser em torno de 10.000 vezes maior que o raio de seu núcleo.
Rutherford e Frederick Soddy ainda, descobriram a existência dos raios gama e estabeleceram as leis das transições radioativas das séries do tório, do actínio e do rádio.
O modelo atômico de Rutherford ficou conhecido como modelo planetário, pela sua semelhança com a formação do Sistema Solar.
Em 1911, Ernest Rutherford propôs o modelo de átomo com movimentos planetários. Este modelo foi estudado e aperfeiçoado por Niels Bohr, que acabou por demonstrar a natureza das partículas alfa como núcleos de hélio.
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James Chadwick
Seguindo a linha pesquisada e as anotações de Rutherford, seu discípulo James Chadwick descobriu uma partícula neutra que estabilizava o núcleo atômico do átomo. Esta partícula foi chamada de Nêutron.
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Niels Bohr
A teoria orbital de Rutherford encontrou uma dificuldade teórica resolvida por Niels Bohr.
No momento em que temos uma carga elétrica negativa composta pelos elétrons girando ao redor de um núcleo de carga positiva, este movimento gera uma perda de energia devido a emissão de radiação constante. Num dado momento, os elétrons vão se aproximar do núcleo num movimento em espiral e cair sobre si. 
Em 1911, Niels Bohr publicou uma tese que demonstrava o comportamento eletrônico dos metais. Na mesma época, foi trabalhar com Ernest Rutherford em Manchester, Inglaterra. Lá obteve os dados precisos do modelo atômico, que iriam lhe ajudar posteriormente.
Em 1913, observando as dificuldades do modelo de Rutherford, Bohr intensificou suas pesquisas visando uma solução teórica.
Em 1916, Niels Bohr retornou para Copenhague para atuar como professor de física. Continuando suas pesquisas sobre o modelo atômico de Rutherford.
Em 1920, nomeado diretor do Instituto de Física Teórica, Bohr acabou desenvolvendo um modelo atômico que unificava a teoria atômica de Rutherford e a teoria da mecânica quântica de Max Planck.
Sua teoria consistia que ao girar em torno de um núcleo central, os elétrons deveriam girar em órbitas específicas com níveis energéticos bem definidos. Que poderia haver a emissão ou absorção de pacotes discretos de energia chamados de quanta ao mudar de órbita.
Realizando estudos nos elementos químicos com mais de dois elétrons, concluiu que se tratava de uma organização bem definida em camadas. Descobriu ainda que as propriedades químicas dos elementos eram determinadas pela camada mais externa.
Bohr enunciou o princípio da complementaridade, segundo o qual um fenômeno físico deve ser observado a partir de dois pontos de vista diferentes e não excludentes. Observou que existiam paradoxos onde poderia haver o comportamento de onda e de partícula dos elétrons, dependendo do ponto de vista.
Essa teoria acabou por se transformar na hipótese proposta por Louis Broglie (Louis Victor Pierre Raymond, sétimo duque de Broglie) onde todo corpúsculo atômico pode comportar-se de duas formas, como onda e como partícula.
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Arnold Sommerfeld
Arnold Sommerfeld em 1916, encontrou uma anomalia na teoria do modelo atômico de Bohr. Este era baseado em conceitos da mecânica clássica, porém introduzia princípios da mecânica quântica de Max Planck que conflitavam mutuamente, embora houvesse uma tentativa de unificação.
Sommerfeld introduziu modificações no modelo de Bohr, entre estas, estavam as órbitas circulares que não seriam possíveis em distâncias maiores do núcleo. Desta forma, foram utilizadas as órbitas elípticas mais externas, além da introdução de uma série de parâmetros visando corrigir as instabilidades encontradas entre as observações experimentais e o modelo de Bohr.
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Erwin Schrodinger, Louis Victor de Broglie e Werner Heisenberg
Erwin Schrodinger, Louis Victor de Broglie e Werner Heisenberg, reunindo os conhecimentos de seus predecessores e contemporâneos, acabaram por desenvolver uma nova teoria do modelo atômico, além de postular uma nova visão, chamada de mecânica ondulatória.
Fundamentada na hipótese proposta por Broglie onde todo corpúsculo atômico pode comportar-se como onda e como partícula, Heisenberg, em 1925, postulou o princípio da incerteza.
A idéia de órbita eletrônica acabou por ficar desconexa, sendo substituída pelo conceito de probabilidade de se encontrar num instante qualquer um dado elétron numa determinada região do espaço.
O átomo deixou de ser indivisível como acreditavam filósofos gregos antigos e Dalton. O modelo atômico portanto, passou a se constituir na verdade, de uma extrutura complexa.
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O atual modelo atômico
É sabido que os elétrons possuem carga negativa, massa muito pequena e que se movem em órbitas ao redor do núcleo atômico. 
O núcleo atômico é situado no centro do átomo e constituído por prótons que são partículas de carga positiva, cuja massa é aproximadamente 1.837 vezes superior a massa do elétron, e por nêutrons, partículas sem carga e com massa ligeiramente superior à dos prótons. 
O átomo é eletricamente neutro, por possuir números iguais de elétrons e prótons. 
O número de prótons no átomo se chama número atômico, este valor é utilizado para estabelecer o lugar de um determinado elemento na tabela periódica. 
A tabela periódica é uma ordenação sistemática dos elementos químicos conhecidos. 
Cada elemento se caracteriza por possuir um número de elétrons que se distribuem nos diferentes níveis de energia do átomo correspondente. 
Os níveis energéticos ou camadas, são denominados pelos símbolos K, L, M, N, O, P e Q. 
Cada camada possui uma quantidade fixa de elétrons. A camada mais próxima do núcleo K, comporta somente dois elétrons; a camada L, imediatamente posterior, oito, e assim sucessivamente. 
Os elétrons da última camada (mais afastados do núcleo) são responsáveis pelo comportamento químico do elemento, por isso são denominados elétrons de valência. 
O número de massa é equivalente à soma do número de prótons e nêutrons presentes no núcleo. 
O átomo pode perder elétrons, carregando-se positivamente, é chamado de íon positivo (cátion). 
Ao receber elétrons, o átomo se torna negativo, sendo chamado íon negativo (ânion). 
O deslocamento dos elétrons provoca uma corrente elétrica, que dá origem a todos os fenômenos relacionados à eletricidade e ao magnetismo. 
No núcleo do átomo existem duas forças de interação a chamada interação nuclear forte[[, responsável pela coesão do núcleo, e a interação nuclear fraca, ou força forte e força fraca respectivamente. 
As forças de interação nuclear são responsáveis pelo comportamento do átomo quase em sua totalidade. 
As propriedades físico-químicas de um determinado elemento são predominantemente dadas pela sua configuração eletrônica, principalmente pela estrutura da última camada, ou camada de valência. 
As propriedades que são atribuídas aos elementos na tabela, se repetem ciclicamente, por isso se denominou como tabela periódica dos elementos. 
Os isótopos são átomos de ummesmo elemento com mesmo número de prótons, mas quantidade diferente de nêutrons. 
Os isótonos são átomos que possuem o mesmo número de nêutrons 
Os Isóbaros são átomos que possuem o número de massa 
Através da radioatividade alguns átomos atuam como emissores de radiação nuclear, esta constitui a base do uso da energia atômica. 
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Veja também
Mecânica Quântica 
Princípio de Heisenberg 
Microcosmo 
Nobel de Física 
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Bibliografia recomendada
Bohr, Niels Henrik David; French, A P ; Kennedym P J. Niels Bohr: a centenary volume. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1985.
BOHR, N., Física atômica e conhecimento humano: ensaios 1932-1957, Rio de Janeiro, Contraponto, 1962.
Bopp, F; Kleinpoppen, H. Physics of the one and two-electron atoms. Proceedings. Amsterdam, North-Holland Pub. Co., 1969.
Brown, Andrew, The neutron and the bomb: a biography of Sir James Chadwick, Oxford, New York, Oxford University Press, 1997.
Chadwicks article in Nature, May 10, 1932: "The Existence of a Neutron"
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Gribbin, J., À procura do gato de Schrödinger, Lisboa, Editorial Presença, 1986.
Hawking, S., Uma breve história do tempo. Do big bang aos buracos negros, Rio de Janeiro, Rocco, [1988] 2002.
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Retirado de "http://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_at%C3%B4mico"
�
V = 0
0
a
V = ∞
V
V = ∞
�	 John Dalton. A New System of Chemical Philosophy, 1808, reimpresso com uma introdução por Alexander Joseph, Peter Owen Limited, London, 1965.
�	 Referência anterior, p. 113.
�	 Referência anterior, p. 133
�	 Referência anterior, pp. 144-5.
�	 J. R. Partington, A Short History of Chemistry, 3rd ed., Macmilan, London, 1957, reimpressão 1960, Harper & Row, New York, p. 255.
�	 Referência anterior, pp. 256-258.
�	 D. I. Mendeleev, J. Russ. Phys. Chem. Soc., 1869, i, 60
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�	 Partington, A Short History of Chemistry, p. 357.
�	 H. G. Moseley, Phil. Mag., 1913, xxvi, 102; 1914, xxvii, 703.
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�	 W. Heisenberg, Z. Phys., 1927, 43, 172.
�	 E. SchrÖdinger, Ann. Phys. (Leipzig), 1926, 79, 361, 489, 734; 1926, 80, 437; 1926, 81, 109; Naturwissenshaften, 1926, 14, 664; Phys. Ver., 1926, 28, 1049.
�	 Um operador é uma instrução ou uma série de instruções que determina o que fazer com a função que ele segue. Ele pode ser uma instrução simples tal como “multiplicar a seguinte função por 6” ou ele pode ser muito mais complicado do que o Hamiltoniano.
�	 Desde que as funções de onda possam Ter valores imaginários (contendo � EMBED Microsoft Equation 3.0� ���), Ψ Ψ* é usado para tornar a integral real. Em muitos casos, as próprias funções de onda são reais, e esta integra torna-se � EMBED Microsoft Equation 3.0� ���.
�	 G. M. Barrow, Physical Chemistry, 6th ed., McGraw-Hill, New York, 1996, pp. 65, 430, este problema é chamado a “partícula em uma linha”:. Muitos outros textos de físico-química também incluem as soluções.
�	 Se n = 0, então r = 0 e  = 0 em todas as posições. A probabilidade de encontrar um elétron é � EMBED Microsoft Equation 3.0� ���, e portanto não existe elétron.
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