Quantidade de movimento e Impulso

Prévia do material em texto

Mec. Ger. II – Quantidade de movimento e Impulso – A. R. Alvarenga / 2012 1/2 
 
 
MECÂNICA GERAL II 
Quantidade de movimento e Impulso 
 
Impulso (linear) – é o resultado de uma força F (resultante ou soma de forças) aplicada 
durante um intervalo de tempo ∆t = (t2 – t1) responsável pela modificação da 
quantidade de movimento linear L (velocidade v2 e v1) da partícula (ou corpo). 
� � � �. dt	
	� � � m. d
 �
�
��
 m�
� � 
�� � �� � �� 
Obs.: 1) representa escalarmente a área sob a curva |F| × t 
 2) são grandezas vetoriais: (tem direção e sentido) 
 3) diretamente ligadas à 2ª Lei de Newton (eq. do movimento) 
 
Unidades: N.s = (kg.m/s2).s = kg.m/s, pd.in/s, pd.ft/s, (lb.pol/s, lb.pé/s). 
 
Forma cartesiana (separada por componente na forma escalar): 
Vetor força: F = (Fx i +Fy j + Fz k), impulso linear: I = (Ix i +Iy j + Iz k), 
quantidades de movimento linear: Lm = (Lxm i +Lym j + Lzm k), 
velocidades: vm = (vxm i +vym j + vzm k), no instante m = 1 e 2 (t1 e t2), 
 componente na direção w = (x, y ou z): 
I� � � F�. dt	
	� � � m. dv� �
��
���
 m�v�� � v��� 
 
Sistema de partículas (corpo): ∑ m��
���� � ∑ � ��. dt	
	�� � ∑ m��
���� → ∑ L1 + ∑ I = ∑ L2 
 
A soma da quantidade de movimento linear antes (inicial) de todas as partículas do 
sistema com o impulso linear de todas as forças aplicadas no sistema corresponde à 
quantidade de movimento linear depois (final). 
 
Pela definição do Centro de massa G: M = ∑mi e M.vG = ∑ (mi.vi) 
M.vG1 + ∑ � ��. dt	
	�� � M.vG2 
 
Princípio da conservação da quantidade de movimento linear: quando o impulso linear 
de todas as forças atuantes I = 0 ∑ m��
���� � ∑ m��
���� � M.vG1 = M.vG2 
 
Obs.: 1. Equivale a 1ª Lei de Newton na forma temporal. 
 2. A velocidade do centro de massa é constante. 
 
Forças impulsivas: são valores elevados de pequena duração: choque, explosão, etc. 
(Em geral, o tempo t [s] envolvido é pequeno, pode-se desprezar peso, atrito, etc.). 
 
Quantidade de movimento angular H0 é o momento da quantidade de movimento linear 
da massa m que possui velocidade v numa direção dada pelo raio vetor r em relação a 
um ponto (particularmente, no ponto 0, origem de um sistema). H0 = r × m.v 
 
H0 na forma cartesiana – produto vetorial da velocidade: v = (vx i + vy j + vz k) e o raio 
vetor de posição da massa m, r = (rx i + ry j + rz k) em relação a origem 0: 
Mec. Ger. II – Quantidade de movimento e Impulso – A. R. Alvarenga / 2012 2/2 
 
 
 
H0=m. �
i j k
rx ry rz
vx vy vz
� � 
m. � r"v# � r#v"$ % � �r#v& � r&v#� ' � r&v" � r"v&$ () 
 
Impulso (angular) – é o resultado do momento M0 da força F (resultante ou soma de 
forças) em relação ao ponto 0, aplicada durante um intervalo de tempo ∆t = (t2 – 
t1) responsável pela modificação da quantidade de movimento angular H0 
(velocidade v2 e v1) da partícula (ou corpo) em relação àquele eixo (0) por r. 
 
Obs.: 1) representa na forma escalar a área sob a curva |M0| × t 
 2) são grandezas vetoriais: (tem direção e sentido) 
 3) diretamente ligadas à 2ª Lei de Newton (eq. do movimento) 
 
Unidades: N.m.s = (kg.m2/s2).s = kg.m2/s, pd.in2/s, pd.ft2/s (lb.pol2/s, lb.pé2/s). 
 
Sistema de partículas (corpo): ∑ *� + m��
���� � ∑ � *� + ��. dt	
	�� � ∑ *� + m��
���� → ∑ H01 + ∑ Iα = ∑ H02 
 
A soma da quantidade de movimento angular H0 antes (1: inicial) de todas as partículas 
do sistema com o impulso angular Iα de todas as forças aplicadas no sistema 
corresponde à quantidade de movimento angular depois (2: final). 
 
Pela definição do Centro de massa G: M = ∑mi e M.vG = ∑ (mi.vi) 
rG × M.vG1 + ∑ � *� + ��. dt	
	�� � rG × M.vG2 
 
Princípio da conservação da quantidade de movimento angular: quando o impulso 
angular de todas as forças atuantes Iα = 0 ∑ *�+m��
���� � ∑ *�+m��
���� � rG × M.vG1 = rG × M.vG2 = H01 = H02 
 
Obs.: 1. Equivale a 1ª Lei de Newton na forma temporal. 
 2. A velocidade angular do centro de massa é constante. 
 
Equações do movimento da partícula (ou corpo): 
 Movimento linear: (x, y, z): ∑ L1 + ∑ I = ∑ L2 
 
 Movimento angular: (x, y, z): ∑ H01 + ∑ Iα = ∑ H02 
 
Obs.: 1) Para sistemas planos (2D) são 2 lineares (x/y) e 1 angular (z). 
 2) Sistemas 3D: 3 lineares (x/y/z) e 3 angulares (x/y/z). 
 
Referências: 
HIBBELER, R.C.; Dinâmica – Mecânica para Engenharia Cap. 15. 
 
 Prof. ARTHUR/2012 
 Direitos Autorais Reservados.