Cinética 1

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Mec. Ger. II – Cinética – A.R. Alvarenga / 2012 1/3 
 
 
MECÂNICA GERAL II – CINÉTICA 
 
Cinética - determinação da resultante de forças, que agora não é nula, e provoca a 
aceleração da(s) partícula(s) [corpo(s)] 
 
Lei do movimento: F = d(L)/dt = d(m.v)/dt = m.a 
 L – quantidade de movimento (L = m.v). Se a velocidade não se altera (∆v = 0), 
 então o corpo está em velocidade constante (v = constante, Estática). 
 Caso particular: v = 0, parado. 
 
Força é a variação da quantidade de movimento (L) do corpo, provocando uma 
aceleração (a) na massa (m), de mesma direção e sentido. (2ª Lei de Newton). 
 
Equação do Movimento: Resultante das Forças: (no sistema cartesiano) 
R = ΣF = Rx.i +Ry.j +Rz.k = m (ax.i +ay.j +az.k) 
 
Massa – inércia do corpo à modificação do seu estado de movimento. 
 Unidades: [kg, Mg, lb, utm] 
 
Lei da atração gravitacional: F = G m1.m2 
d12
2 
 G = Constante universal de gravitação = 66,73 E-12 [m3/kg.s2] [Nm2 / kg2] 
 m1, m2 = massa das partículas 1 e 2 (corpos) 
 d12 = distancia entre os corpos 1 e 2 
 
Caso particular: Peso do corpo W= �G Mt. 
Rt
2 � . m = g.m 
 Quando o corpo é a Terra: Mt = massa da Terra: 5,976 E24 kg, 
 d12 = Rt = raio médio da Terra 6328 km. 
 
Centro de massa: G – ponto de coordenada rG, que representa o comportamento da 
 soma das (n) partículas de massa mi do corpo, que estão na posição ri, conforme: 
M = Σ(mi) rG � ∑ ���	�
���
 � 
 
Força no centro de massa(G): F = ∑ �m���
���� = M.aG 
 
Aceleração resultante em G: aG = F/M � ∑ �����
���
 � 
 
Procedimento geral: 
 
1- Estabelecer os eixos coordenados, fazer o DCL (forças cartesianas). 
2- Avaliar os movimentos retilíneos (se houver). 
3- Prever quais serão as acelerações (+x, +y, +z), em geral. 
4- Diagrama Cinético (D. Cin.) Indicar essas acelerações. 
5- Aplicar as equações do movimento: (escalares) por componente 
 
6- Problemas 3D: usar a forma vetorial 
7- Atrito: Fa = µ.N sempre oposto ao movimento; 
 N = força normal à superfície (nem sempre corresponde ao peso do corpo!). 
µ: coeficiente de atrito entre as superfícies: 
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µs – estático (v= 0, na eminência do movimento) ou 
µk – cinético (v ≠0). 
 
8- Mola: (massa desprezível) Fs = Ks .s = Ks(ℓ - ℓ0) 
 s = deslocamento da molda = (ℓ - ℓ0) 
 ℓ = comprimento atual 
 ℓ0 = comprimento deformado 
 Obs. a força é sempre restauradora (contrária ao deslocamento). 
 
9- Determinar: velocidade/deslocamento função da aceleração em função do tempo: 
 a = a����t
= dv
dt
���� v-v0= ���� a����t
dtt0 v=v����t
= dsdt ���� s-s0 ���� a(t) dt
t
0
 
 
10- Aceleração função da posição: 
� a�s
.ds
s
s0
� � v�t
.dv
v
v0
 
 
11- A aceleração é constante: integrais tradicionais (da Física) 
v = v0 +a.t 
s = s0 +v0.t +a.t2/2 
v2 = v0
2
 +2.a.(s – s0) ou, vetorialmente: v.v = v0.v0 =2.a.(s – s0) 
 
12- Várias partículas: somar a contribuição de cada uma. 
direção dos eixos coordenados = direção dos eixos inerciais. 
 
13- Quando a componente vetorial desconhecida é determinada: se for um escalar 
negativo, o sentido é oposto ao do eixo arbitrado. 
 
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Existem duas maneiras (formas) de resolver os problemas da Cinemática do ponto de 
vista de integração: 
 
a) Modo integração indefinida 
 Todas as integrais são indefinidas, gerando constantes que são determinadas a 
 partir das condições de contorno do problema: 
 
 velocidade ��t
 � � ��t
dt � C� � � ���
� dt � C� 
 Determina-se C1 a partir de v(t = 0) = v0. 
 
 posição ��t
= � v�t
dt+C1.t + C2= � F�t
m dt + v0.t + C 
 Determina-se C2 a partir de s(t = 0) = s0. 
 
Obtidas essas funções, calcula-se qualquer valor apenas substituindo (t ou s). 
 
b) Modo integração definida 
 Todas as integrais de f são definidas, calculadas como t (variável) tomada nos 
extremos do intervalo [a, b], ou seja, ∫ f (b) – ∫ f (a). Quando se tem uma função 
única isso dá resultados corretos. Quando se tem várias funções (trechos) não é 
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preciso, em geral, ajuste de constantes no 1º trecho, porém, isso será necessário 
nos demais trechos, devendo-se fazer, então, uso da continuidade das funções 
solução ∫ f no ponto comum a cada dois intervalos consecutivos [0, a] e [a, b]: 
 S(t = ta) = Sa e v(t = ta) = va 
 
 velocidade v(t) = ���� a����t
dt t=ba = ���� F����t
m dt
t=b
a
 
 
 posição ��t
 � � ��t
dt��!" � � #� ���
� dt
��!
" $ dt��!" 
 
 A expressão geral nasce quando (t) é um ponto qualquer do intervalo [a, t], 
sendo t ≤ b. Em alguns casos, é necessário ajustar a função solução no extremo 
a, (ajuste da constante), como já dito antes. 
 
 1) Calcular va no intervalo [0, a] com o tempo ta; 
 2) Calcular aa, sa no intervalo [0, a] com o tempo ta; 
 3) Determinar a integral de a(t) para obter v(t); 
 4) Verificar que v(t= ta) = va, ajustando as constantes de v; 
 5) Determinar a integral de v(t) para obter s(t); 
 6) Verificar que s(t= ta) = sa, ajustando as constantes de s. 
 7) As funções ajustadas servem agora para todo o intervalo [a, b]. 
 
Obs.: 1) Sempre que a função que define a envolva o tempo (t), deve-se integrá-la para 
obterem-se v e s (x, y, z) em relação ao tempo. 
 2) O mesmo ocorre quando a é função da posição (s) ou da velocidade (v). Por 
exemplo, forças de mola dependem da posição {Fm = Km.s}, forças de atrito e 
frenagem do ar dependem do quadrado da velocidade {Far = Kar.v2}. 
 3) Portanto, a determinação de velocidade v(t) ou posição s(t) só pode ser 
realizada pela integração correspondente. Não se pode simplesmente substituir o 
valor de t ou de s, pois a aceleração é uma função e não uma constante! 
 4) Em vários problemas, valores de aceleração e velocidade deverão ser obtidos a 
partir da Cinemática (geometria do movimento) para depois serem inseridos na 
solução da Cinética (equilíbrio de força e equação do movimento: 2.a Lei de 
Newton). 
 5) Em outros, os resultados da Cinética vão determinar as acelerações (inclusive 
ajustar constantes) para depois se determinarem valores da Cinemática 
(velocidades e posição), empregando as integrações de acordo com a expressão 
obtida para a aceleração a função de (t, s e/ou v). 
 
Referência: HIBBELER, R.C.; Dinâmica – Mecânica para Engenharia Cap. 13. 
 
 
 Prof. ARTHUR/2012 
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