Matemática Aplicada - Livro-Texto Unidade I

Autor: Prof. Dr . Luiz Carlos Martins das Neves Matemática Aplicada Professor conteudista: Dr . Luiz Carlos Martins das Neves Luiz Carlos Martins das Neves é, desde 2003, professor titular do cur so de Farmácia da Universidade P aulista. É líder das disciplinas: Matemática Aplicada , Bioestatística , Química Geral , Física Aplicada , Físico-Química e Métodos Instrumentais de Análise , sendo responsável pela elabor ação do conteúdo on-line , assim como do plano de ensino e roteir os de práticas ligadas a essas matérias. Gr aduado no curso de Engenharia Química pelo Centr o Universitário da Fundação de Ensino Inaciano (FEI) em 2000, possui mestrado (2003) e doutor ado (2006) pela Faculdade de Ciências Farmacêuticas da Universidade de São P aulo, na área de T ecnologia Bioquímico-Farmacêutica, e pós-doutorado em Biotecnologia pela Escola de Engenharia de Lorena, USP . Acumula como experiência a pesquisa cientí\ufb01ca na ár ea de Processos Biotecnológicos , Fermentativos e Enzimáticos. Atua como pesquisador colabor ador nos grupos de pesquisa de Microbiologia Industrial e Aplicada da Faculdade de Ciências Farmacêuticas da USP e de Fisiopatologia da Escola P aulista de Medicina da Universidade Feder al de São P aulo (Unifesp). © Todos os dir eitos reservados. Nenhuma parte desta obr a pode ser reproduzida ou tr ansmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou ar quivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade P aulista. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) N5 18m Neves, Luiz Carlos Martins das Matemática aplicada / Luiz Carlos Martins das Neves. \u2013 São P aulo: Editora Sol, 20 19. 88 p., il. Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e P esquisas da UNIP , Série Didática, ano XXVI, n. 2-056/19, ISSN 1517-9230. 1. Matemática aplicada. 2. Matemática. 3. Operações matemáticas. I. Título. CDU 5 1 U500.83 \u2013 19 Prof. Dr . João Carlos Di Genio Reitor Prof. Fábio Romeu de Carvalho Vice-Reitor de Planejamento, Administr ação e Finanças Profa. Melânia Dalla T orre Vice-Reitora de Unidades Univer sitárias Prof. Dr . Y ugo Okida Vice-Reitor de Pós-Graduação e P esquis a Profa. Dr a. Marília Ancona-Lopez Vice-Reitora de Gr aduação Unip Interativa \u2013 EaD Profa. Elisabete Brihy Prof. Mar celo Souza Profa. Melissa Larr abure Material Didático \u2013 EaD Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dr . Cid Santos Gesteira (UFBA) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr . Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosor ov Alonso (UFMT) Dra. V aléria de Carvalho (UNIP) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista \u2013 EaD Profa. Betisa Malaman \u2013 Comissão de Quali\ufb01cação e Avaliação de Cur sos Projeto grá\ufb01co: Prof. Alexandr e Ponzetto Revisão: Luanne Aline Batista da Silva Amanda Casale Sumário Matemática Aplicada APRESENTAÇÃO ...................................................................................................................................................... 7 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................... 7 Unidade I 1 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS ........................................................................................................................... 9 1.1 Conjuntos numéricos ............................................................................................................................. 9 1.2 Sistemas de numeração ..................................................................................................................... 12 1.3 Operações básicas ................................................................................................................................ 13 2 POTENCIAÇÃO ................................................................................................................................................... 16 2.1 Regra ger al ............................................................................................................................................. 16 2.2 Propriedades principais ...................................................................................................................... 16 2.3 Cálculos envolvendo potências ...................................................................................................... 17 3 RADICIAÇÃO ...................................................................................................................................................... 18 3.1 Propriedade ger al da radiciação ..................................................................................................... 19 3.2 Produto de r aízes quadradas ........................................................................................................... 19 3.3 Quociente de raízes quadr adas ....................................................................................................... 19 3.4 Adição e subtração de r adicais ....................................................................................................... 20 3.5 P otenciação em radicais .................................................................................................................... 21 4 LOGARITMO ....................................................................................................................................................... 21 4.1 Logaritmos de base dez ou decimais ............................................................................................ 22 4.2 Principais propriedades do logaritmo .......................................................................................... 23 Unidade II 5 FRAÇÕES ............................................................................................................................................................. 33 5.1 Propriedade fundamental das fr ações ......................................................................................... 34 5.2 Classe de equivalência de números r acionais ........................................................................... 35 5.3 Redução de frações a um mesmo denominador ..................................................................... 35 5.4 Comparação entr e frações (númer os racionais) ...................................................................... 37 5.5 Adição e subtração de fr ações (números r acionais)............................................................... 38 5.6 Multiplicação de frações (númer os racionais) .......................................................................... 38 5.7 Divisão de frações (númer os racionais) ....................................................................................... 38 5.8 P otenciação de frações (númer os racionais) ............................................................................. 38 5.9 Radiciação de frações (númer os racionais) ............................................................................... 39 6 FUNÇÕES MATEMÁTICAS ............................................................................................................................. 40 6.1 Funções e equações de primeiro gr au ......................................................................................... 40 6.2 Inequações de primeiro gr au ........................................................................................................... 48 6.3 Sistemas de equações de primeiro gr au ..................................................................................... 49 6.4 Funções quadráticas e equações de segundo gr au ................................................................ 52 6.5 Funções exponenciais e equações exponenciais ..................................................................... 58 6.6 Funções modulares .............................................................................................................................. 60 7 RAZÃO , PROPORÇÃO E CÁLCULO DE FRACIONAMENTO ................................................................. 62 7.1 Razão ......................................................................................................................................................... 63 7.2 Proporção ................................................................................................................................................ 63 7.3 Propriedades das pr oporções .......................................................................................................... 64 7.4 Grandezas dir etamente propor cionais......................................................................................... 65 7.5 Grandezas inver samente propor cionais ...................................................................................... 67 7.6 Regra de T rês Simples ......................................................................................................................... 69 7.7 Regra de T rês Composta .................................................................................................................... 70 7.8 P ercentagem e cálculos de per centagem ................................................................................... 72 8 CÁLCULOS DE DILUIÇÃO E FRACIONAMENTO ..................................................................................... 73 8.1 Unidades de medida principais ....................................................................................................... 73 8.2 Cálculos de concentração ................................................................................................................. 74 8.3 Cálculos de diluição............................................................................................................................. 76 8.4 Cálculos de doses orais e fr acionamento de dose .................................................................. 78 7 APRESENT AÇÃO Esta disciplina pr etende apresentar os fundamentos r elacionados à Matemática mais aplicados na área farmacêutica. Assim, tem como objetivos ger ais: 1. desenvolver no aluno o domínio dos conceitos e das técnicas do cálculo e a aplicação na resolução de problemas das atividades acadêmicas desenvolvidas na pr o\ufb01ssão farmacêutica; 2. conhecer e compreender a aplicabilidade da Matemática nas diver sas áreas farmacêuticas; 3. avaliar criticamente textos matemáticos, r edigir formas alternativas e desenvolver o pensamento criativo; 4. interpr etar dados, elabor ar modelos e resolver pr oblemas, integr ando a Matemática e a ciência farmacêutica no dia a dia do pro\ufb01ssional. Sendo assim, caro aluno, r elembramos os conceitos fundamentais dos conjuntos numéricos , dos sistemas de numeração, assim como das oper ações matemáticas. Em seguida, passamos aos cálculos de logaritmos e frações , conhecimentos estes fundamentais para compr eensão de alguns conceitos físicos e químicos presentes no currículo de nosso cur so. Já tendo percebido a r elevância desta disciplina para a área farmacêutica, uma vez que os cálculos estudados fazem parte da r otina clínica, analítica e do planejamento em ger al dentro de nossa ár ea de atuação, aprofundamo-nos , por \ufb01m, mais nas equações matemáticas e cálculos de diluição, proporção e fr acionamento, tão comuns no ambiente laboratorial e hospitalar . Assim, esper amos que tenha bons estudos e que aproveite esse conhecimento par a sua melhor formação! INTRODUÇÃO Na rotina diária de qualquer pr o\ufb01ssional ligado à saúde, a Matemática faz-se presente, mesmo quando disfarçada em um simples cálculo de proporção, ou Regr a de Três . Em questões simples, como quando pensamos em quantas caixas de um medicamento necessitaremos até o \ufb01nal de um tr atamento, passando por situações nas quais nos vemos obrigados a prepar ar uma solução, um reagente a ser utilizado em uma análise ou mesmo durante o pr eparo de uma formulação farmacêutica, e chegando à discussão de um resultado clínico especí\ufb01co, utilizamos de difer entes ferramentas matemáticas . Como exemplo, na rotina labor atorial, vemo-nos diante de diferentes técnicas analíticas , sejam elas químicas ou mesmo instrumentais. Independente da técnica utilizada, será sempr e necessário efetuar um cálculo ou uma conversão matemática par a alcançarmos o nosso resultado \ufb01nal, pr ocedimento este subsequente à técnica analítica, mas que assume importância equivalente a ela. Costumamos, dentr o de nossa área, ouvir falar de maneir a constante sobre concentr ação, dose, volume, tempo, massa, entr e outras expr essões tão comuns quanto estas que repr esentam grandezas físicas e químicas de fundamental importância para nós , e todas, inevitavelmente, são calculadas de alguma forma. Fenômenos como a morte celular , a degr adação de um fármaco, a e\ufb01ciência de um 8 tratamento ou a pr odução de radiação por um átomo são também explicados por meio de modelos matemáticos e, portanto, cálculos estarão sempre a eles r elacionados. Desta forma, são tantas as situações nas quais a Matemática se mostra uma ferr amenta importante, seja na compreensão de fenômenos físicos e químicos , seja mesmo para r esolvermos problemas que podem aparecer dur ante nossas atribuições do dia a dia de trabalho, que se faz necessário iniciarmos este curso com uma disciplina que oportunize a r evisão e/ou ensino desta matéria, aplicada à área farmacêutica. Essa abordagem possibilitará a você assimilar conceitos matemáticos fundamentais para o melhor desenvolvimento do cur so de graduação e, posteriormente, par a maior sucesso em sua atividade pro\ufb01ssional. 9 Revisão: Luanne - Diagramação: Jefferson/K aren - 15/08/12 MA TEMÁTICA APLICADA Unidade I 1 OPERAÇÕES MA TEMÁTICAS 1.1 Conjuntos numéricos A necessidade de justi\ufb01car , de maneir a aceitável, o conceito de in\ufb01nito fez com que surgisse em meados do século XIX a chamada Teoria dos Conjuntos , que aborda uma série de conceitos ditos primitivos, ou seja, que são aceitos mesmo sem uma de\ufb01nição a seu r espeito. Assim, as noções de conjunto e elemento de um conjunto foram elabor adas sem maior conceituação teórica. P odemos relacionar um conjunto com uma coleção, e cada componente desta será, então, chamado de elemento. A principal repr esentação de um conjunto é a chamada tabular , em que os elementos são repr esentados entre chaves e separ ados por vírgulas . Exemplo: um conjunto chamado \u201cX\u201d e que é formado pelos elementos 1, 2, 3, 4 e 5 poderá ser repr esentado como: x = {1, 2, 3, 4 e 5} Um conjunto pode ser formado por vários subconjuntos, ou seja, grupos de elementos que fazem parte do conjunto, mas que não o repr esentam inteiramente. P odemos dizer , portanto, que um conjunto hipotético Y será um subconjunto de X se, e somente se, todo elemento de Y \ufb01zer parte, ou seja, pertencer ao conjunto X. Assim, para o exemplo anterior , podemos citar um subconjunto Y formado pelos elementos 1, 2 e 3. y = {1, 2 e 3} Uma vez que Y apresenta elementos do conjunto X, podemos dizer que: Y \u2282 X (lemos: Y está contido em X, logo, Y é subconjunto de X). Existem quatro oper ações básicas possíveis de serem r ealizadas em quaisquer conjuntos com que se queira tr abalhar . Temos a chamada união de conjuntos , ou seja, uma reunião de todos os elementos que fazem parte de dois ou mais conjuntos diferentes . Exemplo: x = {1, 2, 3, 4 e 5} z = {1, 6, 12, 24} X \u222a Y = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 12 e 24} 10 Unidade I Revisão: Luanne - Diagramação: Jefferson/K aren - 15/08/12 Observação Lê-se X união Y , ou seja, um conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a X ou Y. Temos a intersecção de conjuntos , que é capaz de repr esentar todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a dois ou mais conjuntos estudados. Exemplo: X = {1, 2, 3, 4 e 5} Z = {1, 6, 12, 24} X \u2229 Y = (1} Observação Lê-se X intersecção Y , ou seja, um conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a X e Y. A operação de difer ença é aquela cujos elementos pertencem a um conjunto, e não a outro, quando citarmos dois ou mais conjuntos estudados. Exemplo: X = {1, 2, 3, 4 e 5} Z = {1, 6, 12, 24} X \u2013 Y = (2, 3, 4 e 5} Observação Lê-se X menos Y , ou seja, um conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a X, e não a Y. Os números for am criados como forma de repr esentar uma quantidade na sociedade, tendo surgido, por exemplo, da necessidade de registr ar o resultado de uma contagem. Os primeir os números sur gidos deram origem ao conjunto dos númer os naturais e, desde então, outr os conjuntos numéricos foram

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