Aula 03 02 2017 - Integral indefinida (1a parte)

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03/02/2017
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INTEGRAL 
INDEFINIDA
Prof.a Telma Porcina Vilas Boas Dias
(03/02/2017)
• Uma função �(�) é chamada uma primitiva da função �(�)
em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de �(�)),
se para todo � ∈ � temos �’ � = � � . 
• Observamos que, de acordo com nossa definição, as
primitivas de uma função �(�) estão sempre definidas sobre
algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e
referimos a duas primitivas da mesma função �, entendemos
que essas funções são primitivas de � no mesmo intervalo �.
Integral Indefinida
Exemplos 
(i) �(�) = 
�� é uma primitiva da função �(�) = ��, pois
�� � = �� . 3�� = �� = �(�)
(ii) As funções � � = 
� �� + 4 e �(�) = � �⁄ �� + 3
também são primitivas da função �(�) = �� , pois
�’ � = �� � = �(�).
(ii) A função � � = � �⁄ ���2� + �, onde � é uma constante,
é primitiva da função �(�) = cos 2�.
(iii) A função �(�) = � �
"⁄ é uma primitiva da função �(�) =
#� 
�⁄ em qualquer intervalo que não contém a origem,
pois para todo � ≠ 0, temos �’(�) = �(�).
Proposição 1
Seja �(�) uma primitiva da função �(�). Então, se c é uma constante qualquer,
a função �(�) = �(�) + � também é primitiva da �(�).
Proposição 2
Se �′(�) se anula em todos os pontos de um intervalo de � então � é uma
constante.
Proposição 3
Se �(�) e �(�) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então existe uma
constante c tal que � � − � � = � para todo � ∈ �.
Definição – Se �(�) é uma primitiva de �(�) , a expressão
�(�) + � é chamada de integral indefinida da função �(�) e é
denotado por:
( � � )� = � � + �
*
*
De acordo com esta notação o símbolo + ** é chamado sinal de
integração, �(�) função integrando e )� integrando. O processo
que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado
de integração. O símbolo )� que aparece no integrando serve
para identificar a variável de integração.
Propriedades da Integral indefinida
Proposição 1 – Multiplicação por uma constante
Sejam � , -: � → 0 e 1 uma constante então:
( 1 � � )�
*
*
= 2 ( � � )�
*
*
03/02/2017
2
Proposição 2 – Soma ou subtração
Sejam � , -: � → 0 então:
( � � ± -(�) )�
*
*
= ( � � )�
*
*
± ( - � )�
*
*
Proposição 3 – Integral de potências
( �4 )�
*
*
= �
45�
6 + 1 + � 
(a constante é ≠ −1)
Integrais Imediatas:
1) + )=** = = + >
2) + �? )=** = ln = + �
3) + =4 )=** = ?
ABC
45� + � a constante ≠ −1
4) + 6?** )= = 4
D
EF 4 + �
5) + �?** )= = �? + �
6) +��� =** )= = − cos = + �
7) +�J� =** )= = ��� = + �
8) + ����= )=** = L- = + �
9) + �J����= )=** = −�JL- = + �
10)+ sec = . L- = )=** = ��� = + �
11)+ �J��� =. �JL- = )=** = −�J��� = + �
Exemplo 1
Calcular as integrais indefinidas abaixo.
a) + 3�� + 5 + �* )�**
b) + 3. sec � . L- � + �J����� )�**
c) + OPQ"
QROPQ 
 )�**
d) + ��� + � �
⁄ )�**
e) + 
T5�
UC "⁄ 5V
� )�**
f) + 2 cos � + �
* )�**
g) + 2�
 − OPY 
QRO"
 + �
Z )�**
Item 6.2 do livro Calculo A – Diva Flemming
Exercícios: 1 ao 7 /9 e 10 / 12 ao 13 / 16 ao 18 / 20 ao 21 / 27
ao 30 / 32 ao 36.
Lista de exercícios