Apostila - Probabilidade e Estatistica

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Apostila de Estatística e Probabilidade
Profª Cristiane Leitão
 
Capítulo I - Conceitos Iniciais
 Estatística
A Estatística está interessada nos métodos científicos para coleta, organização, resumo, apresentação e análise de dados, bem como na obtenção de conclusões válidas e na tomada de decisões razoáveis baseadas em tais análises.
A Estatística tem por objetivo, fornecer métodos e técnicas para lidarmos, racionalmente com situações sujeitas a incertezas. Bioestatística é a Estatística aplicada as Ciências Médicas e Biológicas.
 População e amostra. Estatística indutiva e descritiva
Ao coletar os dados referentes às características de um grupo de objetos ou indivíduos, tais como as alturas e pesos dos estudantes de uma universidade ou os números de parafusos defeituosos ou não produzidos por uma fábrica em certo dia, é muitas vezes impossível ou impraticável observar todo o grupo, especialmente se for muito grande. Em vez de examinar todo o grupo, denominado população ou universo, examina-se uma pequena parte chamada amostra.
 Se uma amostra é representativa de uma população, conclusões importantes sobre a população podem ser inferidas de sua análise.
 
1.3.Variáveis
Uma variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Tratando-se de estatística de variável, é possível distinguir duas categorias de variável:
Qualitativa – quando seus valores são expressos por atributos. Esse tipo de variável, se divide ainda em:
Variável Nominal – quando este atributo não admite uma ordenação.
Ex: Cor dos olhos (pretos, castanhos, azuis, etc)
Variável Ordinal – quando este atributo admite algum tipo de ordenação.
Ex: Classe social (alta, média ou baixa)
Quantitativa – quando seus valores são expressos por números. Esse tipo de variável, se divide ainda em:
 Variável Contínua – quando seus valores são expressos por números que podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites.
 Ex: peso corporal, altura...
 Variável Discreta – quando seus valores são expressos por números pertencentes a um conjunto enumerável. 
 Ex: quantidade de alunos de uma turma, número de crianças de uma família.
Os dados que podem ser descritos por meio de uma variável discreta ou contínua são chamados dados discretos ou dados contínuos, respectivamente. O número de crianças em cada uma de 1.000 famílias é um exemplo de dados discretos, enquanto o peso de 100 estudantes universitários é um exemplo de dados contínuos. Em geral, as medições dão origem a dados contínuos, enquanto as enumerações ou contagens resultam em dados discretos.
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Vamos apresentar os principais conceitos sobre o levantamento de dados; destacar as técnicas de apresentação, por meio de tabelas e gráficos; oferecer as medidas próprias para análises e as técnicas usadas para a interpretação dos dados numéricos.
Fases do Método Estatístico
Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja. O Método Estatístico usa o conjunto de meios listados abaixo, para uma tomada de decisão.
As fases dos método estatístico:
•Definição do problema;
•Planejamento;
•Coleta dos dados;
•Crítica dos dados;
•Apresentação dos dados;
•Análise e Interpretação dos dados.
A Estatística Descritiva pode ser resumida do diagrama:
 
1.4. Coleta de dados
Após a definição do problema a ser estudado e o estabelecimento do planejamento da pesquisa (forma pela qual os dados serão coletados; cronograma das atividades; custos envolvidos; exame das informações; delineamento da amostra etc.), o passo seguinte é a coleta de dados, que consiste na busca ou compilação dos dados das variáveis, componentes do fenômeno a ser estudado.
1.5. Crítica dos dados
Objetivando a eliminação dos erros capazes de provocar futuros enganos de apresentação e análise, procede-se a uma revisão crítica dos dados, suprindo os valores estranhos ao levantamento.
1.6. Apresentação dos dados
Após a crítica, convém organizarmos os dados de maneira prática e racional, para o melhor entendimento do fenômeno que se está estudando. Os dados, geralmente, são apresentados de duas formas: Tabelas e/ou Gráficos.
1.6.1. Tabelas
É um quadro que resume informações. A elaboração de tabelas obedece à uma resolução do Conselho Nacional de Estatística. Uma tabela deve apresentar o cabeçalho, o corpo e o rodapé.
O cabeçalho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as seguintes questões: o quê? (referente ao fato), onde? (relativo ao lugar) e quando? (correspondente à época).
O corpo é representado por colunas e subcolunas dentro das quais serão registrados os dados.
O rodapé é reservado para as observações pertinentes, bem como a identificação da fonte dos dados.
1.6.2. Séries Estatísticas
Denominamos série estatística a organização de dados referentes a uma mesma ordem de classificação. Geralmente, as séries estatísticas são representadas por meio de tabelas.
Conforme o critério de agrupamento, as séries classificam-se em: Temporal, Geográfica, Específica e Distribuição de Freqüências.
Série Temporal (Cronológica, Evolutiva ou Histórica) – É a série estatística em que os dados são observados segundo a época de ocorrência.
 Vendas da Empresa Alfa –2001 a 2008
	Ano
	Vendas (em R$)
	2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
	2.181,00
3.948,00
5.642,00
7.550,00
10.000,00
11.728,00
18.790,00
29.076,00
 Fonte: Departamento de Vendas da Empresa
Série Geográfica (ou de Localização) – É a série estatística em que os dados são observados segundo a localidade de ocorrência.
 INSS – Empresas fiscalizadas em 1990.
	Regiões
	Empresas fiscalizadas
	Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
	7.495
107.783
281.207
53.661
15.776
 Fonte: Mensário Estatístico
 Série Específica (ou categórica) – É a série estatística em que os dados são agrupados segundo a modalidade da ocorrência.
 Matrícula no Ensino do Terceiro Grau- Brasil 1975
	 Áreas de Ensino
	Matriculas 
	Ciências Biológicas 
Ciências Exatas e Tecnologia
Ciências Agrárias
Ciências Humanas
Letras
Artes
Duas ou mais áreas
	32.109
65.949
2.419
148.842
9.883
7.464
16.323
 Fonte: Serviço de Estatística da Educação e Cultura
Distribuição de Freqüências – É a série estatística em que os dados são agrupados com suas respectivas freqüências absolutas.
Obs: Freqüência é o número de “elementos” que pertencem a uma determinada classe.
Por se tratar do tipo mais importante de série estatística, a estudaremos isoladamente no próximo capítulo.
1.6.3. Gráficos
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, cujo o objetivo inicial é o de produzir em geral, uma impressão mais rápida do fenômeno em estudo. A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais, para ser realmente útil:
Simplicidade – o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, que possam levar o observador a uma análise errônea.
Clareza – o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do fenômeno em estudo.
 Veracidade – o gráfico deve sempre expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo.
Os principais gráficos indicados para a representação de uma série estatística são:
Gráfico em linhas 
Gráficos em barras verticais ou horizontais
Gráfico em setores
- Gráficos em Linhas- Gráficos em Colunas (barras verticais)
Obs: Geralmente os gráficos de barras verticais são chamados também de gráficos em colunas.
- Gráfico em Barras (barras horizontais)
- Gráficos em Setores: É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo, por meio de setores. É utilizado principalmente quando se pretende comparar cada valor da série com o total. Para construir divide-se o círculo em setores, cujas áreas serão proporcionadas aos valores da série. Essa divisão pode ser obtida pela solução da regra de três.
 
 
 
- Cartogramas
	É a representação sobre uma carta geográfica.
	Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.
- Gráfico Polar: É a representação de uma série estatística por meio de um polígono. Geralmente usamos para apresentação de séries temporais. Para construí-lo, divide-se uma circunferência em tantos arcos iguais quantos forem os dados a representar. Pelos pontos de divisas traçam-se raios. Em cada raio é representado um valor da série, marcando-se um ponto cuja distância ao centro é diretamente proporcional a esse valor . A seguir unem-se os pontos.
- Pictogramas
	São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos. Veja o exemplo abaixo:
 Fonte: IBGE
Exercícios 
1) A Tabela abaixo mostra o número de toneladas de trigo e de milho produzidos na fazenda Cris, durante os anos de 1980 a 1990. 
	Anos
	Toneladas de trigo
	Toneladas de milho
	1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
	 200
 185
 225
 250
 240
 195
 210
 225
 250
 230
 235
	 75
 90
 100
 85
 80
 100
 110
 105
 95
 110
 100 
Com referência a esta tabela, determine o ano, ou anos, durante os quais:
foi produzido o menor número de toneladas de trigo;
foi produzido o maior número de toneladas de milho;
ocorreu o maior declínio na produção de trigo;
foi produzido o mesmo número de toneladas de trigo;
a produção total de trigo e milho foi máxima.
2) Exprimir os dados de produção de trigo e de milho do Problema 1 em percentagem da produção anual total no ano de 1980, e representar graficamente as percentagens, utilizando o gráfico de setores:
3) A tabela abaixo apresenta as vendas da Empresa X no ano de 2008.
	Meses
	Vendas R$
	Jan
Fev
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
	1.000.000,00
800.000,00
1.500.000,00
300.000,00
2.000.000,00
500.000,00
800.000,00
1.000.000,00
1.300.000,00
1.800.000,00
2.000.000,00
3.000.000,00
 Fonte: Dep de Vendas
Capítulo II - Distribuição de Freqüências
Por se tratar do tipo de tabela mais importante para a Estatística Descritiva, faremos um estudo completo sobre as distribuições de freqüências, incluindo sua construção.
Uma distribuição de freqüências pode ser:
Distribuição de freqüências sem intervalos de classes.
Distribuição de freqüências com intervalos de classes.
Representação da Amostra
A seguir definiremos alguns procedimentos comuns para a representação das distribuições de freqüências:
1. Dados brutos ou Tabela Primitiva – É o conjunto de dados numéricos obtidos após a crítica dos valores coletados não ordenados numericamente.
Ex1: Os dados abaixo representam a taxa de glicose, em miligramas por 100ml de sangue, em uma amostra de 42 ratos machos da raça Wistar, com 20 dias de idade.
	88,5
	97,5
	80,0
	97,0
	85,0
	80,5
	88,0
	92,0
	88,5
	92,5
	94,5
	100,5
	94,0
	89,0
	85,5
	85,0
	95,0
	89,0
	87,0
	94,0
	87,5
	98,5
	84,5
	95,5
	99,0
	84,0
	93,0
	103,5
	91,0
	91,0
	86,0
	91,5
	87,0
	90,5
	86,0
	87,0
	90,0
	88,0
	89,5
	83,5
	89,5
	96,5
2. Rol – É o conjunto de dados após sua ordenação numérica. 
	80,0
	85,0
	87,0
	89,0
	91,0
	94,0
	97,0
	80,5
	85,5
	87,5
	89,0
	91,0
	94,0
	97,5
	83,5
	86,0
	88,0
	89,5
	91,5
	94,5
	98,5
	84,0
	86,0
	88,0
	89,5
	92,0
	95,0
	99,0
	84,5
	87,0
	88,5
	90,0
	92,5
	95,5
	100,5
	85,0
	87,0
	88,5
	90,5
	93,0
	96,5
	103,5
3. Amplitude total ou “range” (R) - É a diferença entre o maior e o menor valor observados. R = 103,5 – 80,0 = 23,5
4. Números de classes (K) – não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes. Uma boa aproximação é a Regra de Sturges:
 
 onde n é o tamanho da amostra
No nosso exemplo temos:
 
5. Amplitude das classes (h) – É o tamanho de classes
 
 
É mais apropriado que aproximamos o número de classes e a amplitude das classes para o maior número inteiro. Assim, se 
. Usamos
h = 4. 
6. Freqüência absoluta (
) – É o número de vezes que o elemento aparece na amostra. 
Exemplo de uma distribuição de freqüência com variável discreta.
	
	
	22
23
24
28
33
34
	2
2
2
1
1
2
	
	10
 
Obs: X representa a variável 
 onde n = tamanho da amostra
Exemplo de distribuição de freqüência para variável contínua:
	Classes
	Fi
	
	 80 |----- 84
 84 |----- 88
 88 |----- 92
 92 |----- 96
 96 |----- 100
100 |----- 104
	3
11
13
8
5
2
	
	Total (n)
	42
	
7. Freqüência absoluta acumulada (
 - É a soma das freqüências dos valores inferiores ou iguais ao valor dado.
8. Limites das classes
 80 |----- 84 compreende todos os valores entre 80 e 84 excluindo o 84.
9. Pontos médios das classes (
) – É a média aritmética entre o limite superior e o inferior da classe. Assim se a classe for 80 |----- 84, teremos:
 
10. Freqüência relativa 
 - A freqüência relativa de um valor é dada por 
, ou seja, é a porcentagem daquele valor da amostra.
Obs: 
Montando a distribuição do nosso exemplo:
	Classes
	Fi
	xi
	Fac
	fi
	 80 |----- 84
 84 |----- 88
 88 |----- 92
 92 |----- 96
 96 |----- 100
100 |----- 104
	3
11
13
8
5
2
	82
86
90
94
98
102
	3
14
27
35
40
42
	0,07
0,26
0,31
0,19
0,12
0,05
	Total (n)
	42
	----
	----
	1
11. Histograma – É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos. 
12. Polígono de freqüência – É a representação da distribuição por meio de um polígono.
Exemplo 1: As notas de 35 estudantes de uma classe estão descritas a seguir:
0,0 – 0,0 – 1,0 – 1,5 – 2,0 - 2,0 – 2,5 – 3,5 – 3,5 – 4,0
4,0 – 4,0 – 4,0 – 4,5 – 4,5 – 4,5 – 5,0 – 5,0 – 5,0 – 5,0
5,0 – 5,5 – 5,5 – 5,5 – 6,0 – 6,0 – 6,0 – 6,5 – 6,5 – 7,0
7,0 – 7,5 – 8,0 – 8,0 – 8,5 
Determinar:
as distribuições de freqüências
amplitude total
qual a porcentagem dos alunos que tiveram nota menor que 4,0?
o histograma e o polígono de freqüência.
Exemplo 2: Dado um rol de 50 notas, agrupar os elementos em classes:
30 – 35 – 35 – 39 – 41 – 41 – 42 – 45 – 47 - 48
50 – 52 – 53 – 54 – 55 –55 – 57 – 59 – 60 – 60
61 – 64 – 65 – 65 – 65 – 66 – 66 – 66 – 67 – 68
69 – 71 – 73 – 73 – 74 – 74 – 76 – 77 – 77 – 78
80 – 81 – 84 – 85 – 85 – 88 – 89 – 91 – 94 – 94
Solução: Amplitude total: R = 94 – 30 = 64
 Nº de classes: 
 
1 + 3,22 .(1,7) 
 Amplitude das classes: 
�� EMBED Equation.3 
	Classes
	
	
	
	
	30 |– 40
40 |– 50
50 |– 60
60 |– 70
70 |– 80
80 |– 90
90 |– 100
	4
6
8
13
9
7
3
	4
10
18
31
40
47
50
	0,08
0,12
0,16
0,26
0,18
0,14
0,06
	35
45
55
65
75
85
95
	
	50
	
	1
	
Exemplo 3: Os pesos de 40 alunos estão relacionados a seguir:
45 – 49 – 50 – 53 – 53 – 53 – 54 – 57 – 58 – 58
59 – 60 – 60 – 60 – 62 – 63 – 63 – 64 – 64 – 65
65 – 66 – 67 –67 – 68 – 68 – 69 – 70 – 71 – 72
72 – 73 – 74 – 75 – 76 – 80 – 81– 81– 83 – 93
Construir a tabela de distribuição de freqüência . Dado 
.
OBS: Dados não agrupados: 
Exemplo 4: Complete a tabela abaixo com os seus elementos e determine:
Estaturas de 80 pacientes da Clínica 
de Fisioterapia São José (SP) - 1997
	Estatura (cm)
	Fi
	150 |----- 156
156 |----- 162
162 |----- 168
168 |----- 174
174 |----- 180
180 |----- 186
186 |----- 192
192 |----- 198
	7
18
22
15
10
5
2
1
	Total (n)
	80
 Fonte: Clínica São José
Capítulo III - Medidas de Posição
O estudo que fizemos sobre distribuições de freqüências, até agora, permite-nos descrever, de modo geral o comportamento de uma variável. Ocorre, todavia que trabalhar com uma distribuição de freqüências completa, muitas vezes, é difícil, razão pela qual costuma-se lançar mão de determinadas medidas. Essas medidas sumarizam certas características importantes da distribuição de freqüências. Há diversas medidas que possibilitam condensar as informações dentro da fase analítica da Estatística Descritiva. Dentre as medidas de posição mais importantes estão as medidas de tendência central.
3.1. Índices ou notação por índice
O símbolo 
 (lê-se “X índice i) representa qualquer um dos N valores, 
. A letra i, em 
, pode representar qualquer dos números 1,2,3,...,N, é denominada índice. Evidentemente, pode ser usada qualquer outra letra além de i, como j, k, p ou s.
3.2. Notação de Somatório
O símbolo 
 é usado para representar a soma de todos os 
 desde i =1 até 
ij = N, isto é, por definição 
 
= 
3.3. Medidas de Tendência Central
	As medidas de tendência central recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais.
	Dentre as medidas de tendência central, destacamos:
média 
ou (Ma)
moda 
ou (Mo)
mediana 
ou (Md)
A média aritmética é, de modo geral, a mais importante e mais comum de todas as mensurações numéricas descritivas.
Estas medidas podem ser calculadas, tanto para dados não agrupados em classes, quanto para dados agrupados em classes.
3.3.1. Dados não agrupados em classes
- Média Aritmética
A média aritmética, ou média, de um conjunto de N números 
 é representado por 
 (lê-se “x barra”) e é definida por
 
= 
 
Ex: A média aritmética dos números 8, 3, 5,12,10 é:
 
=
Propriedade da Média Aritmética
A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números, em relação à média aritmética, é zero.
Ex: Os desvios dos números 8, 3, 5, 12, 10, em relação à sua média aritmética 7,6 são: 8 – 7,6 ; 3 –7,6; 5 – 7,6 ; 12 – 7,6 ; 10 – 7,6 ou 0,4 ; –4,6 ; –2,6 ; 4,4 ; 2,4 com soma algébrica igual a zero.
- Moda
A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior freqüência, ou seja, é o valor mais comum. A moda pode não existir e, mesmo que exista pode não ser única.
Ex1: O conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13 tem moda 9.
Ex2: O conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15, 17 não tem moda.
Ex3: O conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tem duas modas 4 e 7.
Uma distribuição que não tem moda é denominada amodal.
Uma distribuição que tem apenas uma moda é denominada unimodal.
- Mediana
A mediana de um conjunto de números, organizados em ordem de grandeza (isto é, em um rol) , é o valor central ou a média aritmética dos dois valores centrais.
* Quando o tamanho da amostra é ímpar, a mediana será o elemento de ordem 
.
Ex1: O conjunto dos números 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8 tem mediana 6.
Pois é o elemento que ocupa a 4ª posição, basta ver que n = 7, então 
, ou seja, 4ª posição.
* Quando o tamanho da amostra é par, a mediana será a média dos elementos de ordens 
 e 
.
Ex2: O conjunto dos números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18 tem mediana 
.
Pois é a média dos elementos que ocupam a 4ª e 5ª posição, basta ver que n = 8, então 
= 
 e 
 = 
, ou seja 4ª e 5ª posições.
Geometricamente, a mediana é o valor de X (abscissa) correspondente à vertical que divide o histograma em duas partes de áreas iguais. Esse valor de x, é às vezes, representado por 
.
3.3.2. Dados agrupados em classes
- Média Aritmética 
Se estivermos trabalhando com uma distribuição de freqüências com intervalos de classes, para calcularmos a média aritmética dessa distribuição, utilizaremos a seguinte fórmula:
 
- Moda
Se estivermos trabalhando com uma distribuição de freqüências com intervalos de classes, para calcularmos a moda dessa distribuição, utilizaremos a seguinte fórmula:
 
Onde: 
 - limite inferior da classe modal
 
 - freqüência da classe modal menos freqüência da classe anterior
 
 - freqüência da classe modal menos freqüência da classe posterior
 
- amplitude da classe modal
Obs: Classe Modal – classe com maior freqüência. 
- Mediana 
Se estivermos trabalhando com uma distribuição de freqüências com intervalos de classes, para calcularmos a mediana dessa distribuição, utilizaremos a seguinte fórmula:
 
Onde: 
 - limite inferior da classe mediana
 
- freqüência acumulada na classe anterior à classe mediana
 
- amplitude da classe mediana
 
 - freqüência da classe mediana
Obs: Classe Mediana – classe que contém o elemento 
=
, chamado Elemento Mediano.
- Separatrizes
São medidas que dividem uma seqüência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos. As separatrizes, por sua vez, se dividem em:
quartis;
decis;
percentis.
Os Quartis dividem a série em quatro partes, cada uma representa 25% da série. Os quartis são:
1º Quartil (
) – é o termo precedido por 25% dos termos da série
2º Quartil (
) – coincide com a mediana.
3º Quartil (
) – é o termo precedido de 75% dos termos da série.
Os Decis dividem em 10 partes, representadas por 10% da série. Os decis são:
1º Decil (
) – é o termo precedido por 10% dos termos da série
2º Decil (
) – é o termo precedido por 20% dos termos da série.
3º Decil (
) – é o termo precedido de 30% dos termos da série, e etc.
Os Percentis dividem em 100 partes de 1% da série. Os percentis são: 
.
Cálculo das separatrizes em uma Distribuição de Freqüências
A fórmula para se determinar o termo de uma série que represente uma Separatriz é análoga à fórmula usada para a determinação da Mediana. Até mesmo porque, a Mediana é ela própria uma Separatriz.
Qualquer Separatriz é determinada pela fórmula:
Onde: S – Separatriz desejada
 
 - limite inferior da classe que contém a separatriz.
 
- freqüência acumulada na classe anterior à classe que contém a separatriz
 
- amplitude da classe que contém a separatriz.- freqüência da classe que contém a separatriz.
 P – posição da separatriz, sendo P calculado por 
, sendo i o número percentual da separatriz.
Exercício: A tabela abaixo representa as taxas de colesterol (mg/dl) de 90 indivíduos da Cidade de Framingham, EUA em 1998.
	Classes
	Fi
	 100 |----- 150
 150 |----- 200
 200 |----- 250
 250 |----- 300
 300 |----- 350
 350 |----- 400
 400 |----- 450
 450 |----- 500
	2
24
35
14
10
3
1
1
	Total (n)
	90
Agora, pede-se:
média aritmética
moda
mediana
o 1º quartil
acima de qual taxa encontram-se 80% dos indivíduos? Qual o percentil correspondente?
Capítulo IV - Medidas de Dispersão
Servem para verificarmos a representatividade das medidas de posição, pois é muito comum encontrarmos séries que, apesar de terem mesma média, são compostas de maneira distinta.
Assim para as séries:
a) 20, 20, 20, 20, 20
b) 15, 10, 20, 25, 30
temos 
.
Note que os valores da série “a” se concentram totalmente na média 20, enquanto que os valores da série “b” se dispersam em torno do mesmo valor. Ou seja, a série “a” não apresenta dispersão entre os valores e os valores da série “b” estão dispersos em torno de 20. Vamos agora medir o grau de concentração ou dispersão dos dados em torno da média. 
- Desvio Médio e Variância
Desvio Médio – Neste caso considera-se o módulo de cada desvio 
, evitando com isso que 
. Assim o Desvio Médio é dado por:
Trata-se da média aritmética dos desvios considerados em módulos.
Variância – Neste caso considera-se o quadrado de cada desvio 
, evitando com isso que 
. Assim, a definição da variância é dada por:
Obs: 
indica variância e lê-se sigma ao quadrado e 
é a média da população.
Para o caso do cálculo da variância de valores amostrais é conveniente usarmos a seguinte fórmula:
Como podemos notar, as diferenças entre as fórmulas são: para o caso da variância populacional 
, utiliza-se a média populacional 
 tendo como denominador o tamanho da população N. Para o cálculo da variância amostral 
, utiliza-se a média amostral 
 tendo no denominador o tamanho da amostra menos um. 
Temos também outras fórmulas para o cálculo da variância:
- Desvio Padrão
O Desvio Padrão de um conjunto de dados é uma medida que nos fornece a variação dos valores em relação à média aritmética.
Para o cálculo do Desvio Padrão deve-se primeiramente determinar o valor da variância e, em seguida extrair a raiz quadrada desse resultado.
 é o desvio padrão populacional
 é o desvio padrão amostral
- Coeficiente de Variação
Trata-se de uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. É dado por:
C.V = 
 ou 
Obs: Geralmente multiplica-se a coeficiente de variação por 100, para darmos o resultado em porcentagem.
Para classificarmos uma distribuição em relação à sua variabilidade, usaremos o seguinte critério:
Baixa dispersão: CV ( 15%
Média dispersão: 15% < CV < 30%
Alta dispersão: CV ( 30%
Exercícios:
Dada a distribuição de freqüência:
	Classes
	Fi
	 100 |----- 150
 150 |----- 200
 200 |----- 250
 250 |----- 300
 300 |----- 350 
	5
24
26
15
10
	Total (n)
	80
 De acordo com a amostra. Pede-se:
a) construir o histograma e o polígono de frequência
b) calcular a média (225,62)
c) calcular a mediana (205,08)
d) calcular o desvio médio (43,36)
e) determinar a variância e o desvio-padrão (S2=3.132,52 e S=55,97) 
f) qual é o coeficiente de variação (24,81%)
g) D2 , P75 , Q1 (D2=155,5 e P75=254 e Q1=157,5)
2) Na série abaixo que representa o peso de um grupo de 440 pessoas, determinar:
	Classes
	Fi
	Fac
	60 |--- 66
66 |--- 72
72 |--- 78
78 |--- 84
 84 |---|90
	120
180
80
40
20
	120
300
380
420
440
	 
	440
	
Média, Mediana e Moda (70,36 e 69,33 e 68,25)
A separatriz que representa o 3º quartil (74,25)
A separatriz que representa o 9º decil (80,4)
Acima de que peso estão situadas 20% das pessoas (75,9)
A variância e o Desvio Padrão Amostral 
(S2=42,418733 e S=6,51)
O coeficiente de variação e sua classificação (9,3%)
3) Uma pesquisa realizada em uma certa comunidade, com relação a uma amostra de 500 pessoas revelou a seguinte série com relação a idade da população:
	Classes
	Fi
	Fac
	0 |--- 12
12 |--- 24
24 |--- 36
36 |--- 48
 48 |---|60
	60
140
180
80
40
	60
200
380
460
500
	 
	500
	
Determine:
A idade média (27,6)
A idade que aparece com maior freqüência (27,43)
A idade mediana (27,33)
A separatriz que representa o 4º Decil (24)
Acima de que idade estão 25% da comunidade (35,67)
O Desvio Médio e sua interpretação (10,56)
A Variância (173,1463)
O Desvio Padrão e sua interpretação (13,16)
O Coeficiente de Variação e classifique o grau de dispersão. (47,67%)
4) Dada a Distribuição abaixo:
 Tempo de auditoria de uma empresa
	Tempo de auditoria
(em Min)
	NºBalanços
Fi
	10 |-----20
20 |----- 30
30 |----- 40
40 |----- 50
50 |-----|60
	5
3
12
10
20
	Total (n)
	50
Determine:
O tempo médio dos balanços
A Moda
A Mediana
O percentil 20 e sua interpretação
O desvio médio e sua interpretação
O desvio padrão e sua interpretação
O coeficiente de variação e sua classificação
Capítulo V – Medidas de Assimetria e Curtose
5.1. Observações sobre a Distribuição Normal
	Muitas medidas extraídas de pesquisas na área biomédica, medidas de produtos fabricados em série e também os erros de algumas medidas dão origem a gráficos semelhantes ao apresentado na figura abaixo. Todas essas medidas têm distribuições que se aproximam da Distribuição Normal. 
A Distribuição Normal é uma distribuição conhecida e muito estudada, tendo inclusive todas as suas probabilidades calculadas. Assim, é importante sabermos se uma distribuição está próxima da Normal, pois, neste caso recairíamos em uma distribuição muito conhecida, onde poderíamos estudar a distribuição inicial utilizando a distribuição normal.
5.2. Assimetria
	Denominamos assimetria o grau de deslocamento lateral de uma distribuição em relação a uma distribuição simétrica, denominada distribuição normal.
	
- Coeficiente de Assimetria de Pearson
	Este coeficiente determina o grau de deslocamento lateral de uma distribuição normal e será calculado através da fórmula:
As = 
- Classificação quanto à Assimetria
Para classificarmos uma distribuição quanto à intensidade de sua assimetria, usaremos o seguinte critério:
Assimetria muito fraca: 0 < |As| ( 0,5
Assimetria fraca: 0,5 < |As| ( 1,5
Assimetria forte: |As| > 1,5
Obs: Se uma distribuição de freqüência for assimétrica muito forte, a medida de posição mais adequada para ser utilizada é a mediana.
5.3. Curtose
	Denominamos curtose o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição simétrica, denominada curva normal.
- Coeficiente de Curtose
	Este coeficiente determina o grau de achatamento de uma distribuição normal e será calculado através da fórmula:
	
K = 
- Classificação quanto à Curtose
Para classificarmos uma distribuição quanto à curtose, usaremos o seguinte critério:
K = 0,263 ( distribuição mesocúrtica (achatamento normal)
K < 0,263 ( distribuição leptocúrtica (achatamento pequeno)
K > 0,263 ( distribuição platicúrtica (achatamento grande)
Exercício: Uma pesquisa sobre a renda anual familiar realizada com uma amostra de 1000 pessoas na cidade de Tangará resultou na seguinte distribuiçãode freqüência. Calcule a assimetria e a curtose com as suas classificações.
	Salário Anual
(Em R$1000)
	Fi
	0,00 |---- 10,00
10,00 |---- 20,00
20,00 |---- 30,00
30,00 |---- 40,00
40,00 |---- 50,00
50,00 |---- 60,00
60,00 |---- 70,00
70,00 |---- 80,00
	250
300
200
120
60
40
20
10
	 Total
	1000
Capítulo VI – Correlação e Regressão Linear
6.1. Análise de Regressão Linear e de Correlação
Esta parte da Estatística, lida com uma amostra (parte de uma população) de dados emparelhados, o objetivo principal da análise de regressão é predizer o valor de uma variável (a variável dependente), dado que seja conhecido o valor de uma variável associada (variável independente). A equação de regressão é a fórmula algébrica pela qual se determina o valor previsto da variável dependente.
	
6.2. Equação de Regressão Linear para dados de uma amostra:
 
 é o valor estimado da variável dependente, dado um valor específico da variável independente X
a é o ponto de interseção da linha de regressão linear com o eixo Y (X = 0)
b é a declividade (inclinação) da linha de regressão
6.3. Método dos Mínimos Quadrados para ajustar uma linha de regressão:
Pelo critério dos mínimos quadrados, a linha (e a equação) de regressão que melhor ajusta é aquela que é mínima a soma dos quadrados dos desvios entre os valores observados e estimados da variável dependente.
As fórmulas de cálculo pelas quais os valores de a e b da equação linear podem ser determinados, de tal forma que satisfaça o critério dos mínimos quadrados é:
 
 
 
onde:
é a média aritmética dos valores da variável X, isto é, 
;
é a média aritmética dos valores da variável Y, isto é, 
.
Uma vez formulada a equação de regressão, podemos utilizá-la para estimar o valor da variável dependente Y dado um valor da variável independente X . Contudo, tal estimação deve ser feita apenas dentro do intervalo de variações dos valores amostrais.
6.4. Coeficiente de Correlação Linear de Pearson:
O coeficiente de correlação linear de Pearson (r), mede o grau de relacionamento linear entre os valores de duas variáveis em uma amostra.
Para calcularmos o coeficiente de correlação de Pearson, entre duas variáveis (X e Y), usaremos a fórmula abaixo:
Obs.: 
Devemos arredondar o coeficiente de correlação linear (r) para três casas decimais
O valor de r poderá variar de -1 a 1, isto é, -1 ( r ( 1.
Se r ( 0, diremos que a correlação linear é positiva.
Se r ( 0, diremos que a correlação linear é negativa.
Se r = 0, diremos que não existe correlação linear entre as variáveis.
6.5. Diagrama de Dispersão:
É um gráfico no qual cada ponto plotado representa um par observado de valores para as variáveis dependente e independente.
Variável independente – X
Variável dependente – Y
A forma da relação representada pelo diagrama de dispersão pode ser curvilínea em lugar de linear, o que não trataremos aqui.
Exemplos:
 
 
Uma linha de regressão com uma inclinação positiva, indica uma relação direta entre as variáveis;
Uma linha de regressão com uma inclinação negativa, indica uma relação inversa entre as variáveis; e
Uma inclinação nula indica que a s variáveis não estão relacionadas.
Além disso, a extensão da dispersão dos pontos com relação à linha de regressão indica o grau de relacionamento entre as variáveis.
6.6. Erro Padrão de Estimação e intervalos de predição
	O erro padrão de estimação é uma medida das diferenças (ou distâncias) entre os valores amostrais Y observados e os valores preditos 
obtidos através da reta de regressão. Este erro será calculado através da seguinte fórmula:
 
 
Para fins de cálculos, é mais conveniente uma versão alternativa da fórmula que não requer a determinação do desvio entre casa valor observado de Y e o valor sobre a linha de regressão 
, é ela:
 
O erro padrão de estimação
, pode ser usado para estabelecer um intervalo de predição para a variável dependente, dado um valor específico da variável independente:
 
 
 Intervalo de predição para a variável dependente Y . Os graus de liberdade para a distribuição t são n-2 .
Quando 
, podemos utilizar a distribuição normal:
 
Exercícios:
1) Um analista toma uma amostra aleatória de 10 carregamentos recentes por caminhão feitos por uma companhia e anota a distância em quilômetros e o tempo de entrega ao meio-dia mais próximo:
	
Carregamento amostrado
	
1
	
2
	
3
	
4
	
5
	
6
	
7
	
8
	
9
	
10
	Distância X, em km
Tempo de Entrega Y, em dias
	825
3,5
	215
1,0
	1070
4,0
	550
2,0
	480
1,0
	920
3,0
	1350
4,5
	325
1,5
	670
3,0
	1215
5,0
Construir o diagrama de Dispersão
Determinar a Equação de regressão de mínimos quadrados 
Usando a equação de regressão desenvolvida acima, estimar o tempo de entrega para um carregamento para 1.000 Km.
 Resp: 
= 3,72 dias
Esta equação de regressão poderia ser usada para estimar o tempo de entrega para um carregamento de 2.500 Km?
Calcular o erro padrão de estimação para o problema de análise do tempo de entrega.
 Resp:
= 0,42
Calcular o Coeficiente de Correlação
Construir um intervalo estimado de predição de 95% para o tempo de entrega, envolvendo um carregamento para 1.000 Km, sem considerar a incerteza associada com a própria posição da linha de regressão.
 Resp: 
= 3,72 
 (2,306).(0,42) = 3,72 
 0,96 = 2,76 a 4,68 dias 
2) A tabela abaixo apresenta dados de uma amostra referentes ao número de horas de estudo fora de classe para determinados alunos de um curso de Estatística de 3 semanas, bem como suas notas obtidas em uma prova no final do curso:
	Estudante Amostrado
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	Horas de estudo, X
	20
	16
	34
	23
	27
	32
	18
	22
	Nota na prova, Y
	64
	61
	84
	70
	88
	92
	72
	77
Construir o diagrama de Dispersão
Determinar a Equação de regressão de mínimos quadrados 
 Resp:
Usando a equação de regressão desenvolvida acima, estimar a nota na prova de um aluno que estudou 30 horas fora da classe
 Resp:
= 85
Esta equação de regressão poderia ser usada para estimar a nota de um aluno que estudo 40 horas fora de classe? Porquê?
Calcular o erro padrão de estimação.
Construir um intervalo estimado de predição de 90% para a nota na prova, dado que o aluno estudou 30 horas fora da classe.
Capítulo VII – Probabilidade
7.1. Exemplos de Experimentos Não-Determinísticos (aleatórios)
Experimentos Aleatórios (E) são aquelas que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
 
Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.
Jogue uma moeda quatro vezes e observe o número de caras obtido.
Jogue uma moeda quatro vezes e observe a seqüência de caras e coroas.
Em uma linha de produção, fabrique peças em série e conte o número de peças defeituosas produzidas em um período de 24 horas.
Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. O número total de peças fabricadas é contado.
De uma urna, que só contém bolas pretas, tira-se umabola e verifica-se sua cor.
7.2. O Espaço Amostral
Definição: Para cada experimento 
 do tipo que estamos considerando, definiremos o espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de E. Geralmente representamos esse conjunto por S.
Vamos considerar cada um dos experimentos acima e descrever um espaço amostral para cada um deles. O espaço amostral 
 se refere ao experimento 
.
	
	
	
	, onde N é o número máximo que pode ser produzido em 24 horas.
A fim de descrever um espaço amostral associado a um experimento, devemos ter uma idéia bastante clara daquilo que estamos mensurando ou observando. Por isso, devemos falar de “um’ espaço amostral associado a um experimento e não de “o” espaço amostral.
7.3. Eventos
Outra noção fundamental é o com eito de evento. Um evento A (relativo a um particular espaço amostral S, associado a um experimento E) é simplesmente um conjunto de resultados possíveis. Na terminologia de conjuntos, um evento é um subconjunto de um espaço amostral. Qualquer resultado individual pode ser considerado como um evento.
.
; isto é duas caras ocorrem.
; isto é, mais caras do que coroas ocorrem.
; isto é, todas as peças são perfeitas.
Agora, poderemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (isto é, eventos), os quais já apresentamos anteriormente.
Se A e B forem eventos, 
será o evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrerem.
Se A e B forem eventos, 
será o evento que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem.
Se A for um evento
será o evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer.
Se 
for qualquer coleção finita de eventos, então, 
será o evento que ocorrerá se, e somente se, ao menos um dos eventos 
 ocorrer.
Se 
for qualquer coleção finita de eventos, então, 
será o evento que ocorrerá se, e somente se, todos os eventos 
 ocorrerem.
Definição: Dois eventos A e B são denominados mutuamente excludentes, se eles não puderem ocorrer juntos. Escrevemos isso como 
, isto é, a interseção de A e B é o conjunto vazio.
7.4. Noções Fundamentais de Probabilidade
Definição: Seja E um experimento. Seja S um espaço amostral associado a E. A cada evento A associaremos um número real representado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça as seguintes propriedades:
	(1) 
.
	(2) P(S) = 1.
	(3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, 
	(4) Se 
,.... forem dois a dois eventos mutuamente excludentes, então,
 
Teorema 1: Se 
 for o conjunto vazio, então 
.
Teorema 2: Se 
o evento complementar de A, então 
.
Teorema 3: Se A e B forem dois eventos quaisquer, então 
 
.
Teorema 4: Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então 
.
Teorema 5: Se 
.
7.5. Probabilidade de um evento ocorrer:
O método de avaliar P(A) é freqüentemente enunciado da seguinte maneira: 
.
7.6. Probabilidade Condicionada
Vamos examinar agora a diferença entre extrair peças de um lote ao acaso, com ou sem reposição.
C/ reposição S/ reposição 
 
Definição: Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Denotaremos P(A/B) a probabilidade condicionada do evento B dado que o evento A ocorreu, e definimos como:
Teorema da Multiplicação
( 
( 
( 
( 
Ex1: Suponha que o escritório possua 100 máquinas de calcular. Algumas dessas máquinas são elétricas (E), enquanto outras manuais (M); e algumas são novas (N) e outras usadas (U). A tabela abaixo dá o número de máquina de cada categoria. Uma pessoa entra no escritório, pega uma máquina ao acaso, e descobre que é nova. Qual será a probabilidade de que seja elétrica?
P(E/N) = ?
	
	E
	M
	
	N
	40
	30
	70
	U
	20
	10
	30
	 
	60
	40
	100
Definição: Dizemos que os eventos 
 representam uma partição do espaço amostral S quando: 
a) 
b) 
c) 
 
Por exemplo: Na jogada de um dado:
 
Representam uma partição. Como os 
 são eventos mutuamente excludentes, podemos escrever:
Assim;
Ex2: Consideremos o lote de 20 peças defeituosas e 80 não defeituosas, do qual extrairemos duas peças sem reposição. Sejam A e B os eventos:
A = {a primeira peça extraída é defeituosa}
B = {a segunda peça extraída é defeituosa}
Podemos agora calcular P(B), assim:
Ex3: Uma determinada peça é manufaturada por três fábricas, digamos 1, 2 e 3. Sabe-se que 1 produz o dobro de peças que 2, e 2 e 3 produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% das peças produzidas por 1 e 2 são defeituosas, enquanto 4% daquelas produzidas por 3 são defeituosas. Todas as peças produzidas são colocadas em um depósito, e depois uma peça é extraída ao caso. Qual é a probabilidade de que essa peça seja defeituosa?
Vamos introduzir os seguintes eventos:
D = {a peça é defeituosa}
= {a peça provém de 1}
= {a peça provém de 2}
 = {a peça provém de 3}	
Pede-se P(D), então podemos escrever:
Suponha agora que a peça retirada é defeituosa. Calcular a probabilidade dela ter sido manufaturada pela fábrica 1?
 ?
7.7.Teorema de Bayes
Seja 
 uma partição do espaço amostral S e seja A um evento associado a S. Aplicando a definição de probabilidade condicionada, podemos escrever:
Este resultado é conhecido como Teorema de Bayes.
Assim voltando ao problema anterior:
Exercício: Dadas 5 caixas , contendo bolas brancas e bolas pretas. Temos duas caixas do tipo I, duas caixas do tipo II e uma caixa do tipo III; a caixa do tipo I possui 2 bolas brancas e 4 bolas pretas, a caixa do tipo II possui 3 bolas brancas e 3 bolas pretas e a caixa do tipo III só possui bolas brancas. Se retirarmos ao acaso uma bola branca, qual a probabilidade dessa bola ter vindo da caixa III?
 37,5%
7.8. Eventos Independentes 
Dois eventos A e B são eventos independentes quando estão inteiramente não relacionados. Saber que B ocorreu não fornece qualquer informação sobre a ocorrência de A. 
Assim a probabilidade absoluta (ou não condicionada) P(A) é igual à probabilidade condicionada P(A/B).
Daí poderíamos dizer que A e B serão independentes se, e somente se, P(A/B) = P(A) e 
P(B/A) = P(B).
Assim:
Logo:
Definição: A e B serão eventos independentes se, e somente se, 
.
Exercícios 
1) Um grupo de 50 elementos apresenta a seguinte composição:
	
	Homens
	Mulheres
	Menores
	 15
	 5
	Adultos
	 18
	 12
Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se:
Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade de ser homem?
Dada que a escolhida é mulher, qual é a probabilidade de ser menor?
c) Qual a probabilidade de ser menor e mulher? 
 a) 60% b) 29% c) 10% 
2) Um lote é formado de 25 artigos bons, 10 com defeitos menores e 5 com defeitos graves. Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que:
ele não tenha defeitos? 62,5%
ele não tenha defeitos graves? 87,5%
ele ou seja perfeito ou tenha defeitos graves? 75%
3) Três jornais, A, B e C são publicados em uma cidade e uma recente pesquisa entre os leitores indica o seguinte:
 20% lêem A
 26% lêem B
 14% lêem C
 8% lêem A e B
 5% lêem A e C
 4% lêem B e C
 2% lêem A,Be C
Para um adulto escolhido ao acaso, calcule a probabilidade de que:
ele não leia qualquer dos jornais? 55%
ele leia exatamente um dos jornais? 32%
ele leia somente o jornal A ? 9%
ele leia pelo menos dois jornais? 13%
ele leia apenas dois jornais? 11%
f) ele leia pelo menos um jornal? 45%
 
4) Uma Faculdade tem 1000 alunos. Desses, 200 estudam Matemática, 180 estudam Física, 150 estudam Química, 20 estudam Matemática, Física e Química, 50 estudam Física e Química, 70 estudam somente Química, 50 estudam Matemática e Química, 60 estudam Matemática e Física. Um aluno dessa Faculdade foi escolhido ao acaso. Qual a probabilidade dele estudar só Matemática?
5) Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 35%, 40% e 25% do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 6%, 5% e 3%, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se ser defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? Da B? Da C?
 P(A/D) = 43,3% P(B/D) = 41,2% P(C/D) = 15,5%
6) Dada 6 caixas todas contendo bolas brancas e bolas pretas, temos 2 caixas do tipo I, 3 caixas do tipo II e 1 caixa do tipo III. A caixa I possui 2 bolas brancas e 4 bolas pretas, a caixa II possui 3 bolas brancas e 3 bolas pretas e a caixa III só possui bolas brancas. Se extrairmos uma bola ao acaso e verificamos que ela é preta. Qual a probabilidade dessa bola ter vindo da caixa II? 53%
7) Suponha que você tenha duas moedas em seu bolso, sabe-se que uma é honesta e a outra apresenta duas cara. Extraindo ao acaso uma moeda e jogando-a obtém-se cara. Qual a probabilidade da moeda ser honesta? 33,33%
 
8) Em um certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que 1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?
9) Suponha que 5% das pessoas com sangue tipo O sejam canhotas, 10% das pessoas com outro tipo de sangue sejam canhotas, e 40% das pessoas tenham sangue tipo O. Selecionando um canhoto aleatoriamente, qual a probabilidade dele ter sangue tipo O? 25%
10) Suponha que 70% das pessoas com olhos castanhos, 20% das pessoas com olhos verdes e 5% das pessoas com olhos azuis tenham todas cabelos castanhos. Suponha ainda que 75% das pessoas tenham olhos castanhos, 5% tenham olhos azuis e 20% tenham olhos verdes. Qual é a probabilidade de uma pessoa de cabelos castanhos, escolhida ao acaso, ter olhos verdes?
11) Segundo a OMS existem dois exames (A e B) para detectar o vírus HPV. Além disso, informou-se que as probabilidades de ser detectado adequadamente a existência do vírus valem 0,90 e 0,95, se utilizado o exame A e B respectivamente. Por ser mais barato 70% das brasileiras optam por fazer o exame A. Dessa forma:
a) Qual a probabilidade de uma brasileira não ser detectada adequadamente) como tendo o vírus HPV? 8,5%
b) Que percentual das brasileiras, que foram detectadas como tendo HPV, optaram pelo exame B? 31,15%
 
 
12) Um aluno responde a um exame de múltipla escolha no qual cada questão tem quatro alternativas das quais uma resposta é correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta correta é de 60%. Caso contrário, ele seleciona ao caso uma resposta entre as quatro possíveis. Se o aluno seleciona a resposta correta para uma questão, qual é a probabilidade de que ele realmente saiba a resposta correta? 86%
13) Uma clínica especializada trata de 3 tipos de moléstias; X, Y e Z. 50% dos que procuram a clínica são portadores de X, 40% são portadores de Y e 10% de Z. As probabilidades de cura, nesta clínica, são:
moléstia X: 0,8
moléstia Y: 0,9
moléstia Z: 0,95
Um enfermo saiu curado desta clínica. Qual a probabilidade de que ele tenha sofrido a moléstia Y? 42%
14) A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é 
, de classe B é 
 e de classe C é 
. A probabilidade do indivíduo de classe A comprar um carro da marca D é 
; de B comprar da marca D é 
 e de C é 
. Em certa loja comprou-se um carro da marca D. Qual a probabilidade de que o indivíduo da classe B o tenha comprado? 52,63%
15) Suponha que esteja em curso uma eleição com dois candidatos, João e Pedro. Dos habitantes da cidade, 
 apóiam Pedro, mas 
 dos habitantes do interior apóiam João. Metade dos habitantes vivem no interior e metade na cidade. Se você inicia uma conversa com um eleitor que se revela a favor de Pedro, qual é a probabilidade desse eleitor viver no interior? 40%
16) Os analistas de acidentes de trânsito afirmam que a probabilidade de um motorista provocar um acidente vale 3/4 se ingerir alguma bebida alcoólica e 1/4, caso contrário. É sabido que no RJ (durante os fins de semana) 60% dos motoristas se servem de bebidas alcoólicas. Com essas informações:
a) Qual a probabilidade de um motorista do RJ não sofrer acidente no fim de semana? 45%
b) E sabendo que houve um acidente grave no RJ no sábado à noite, qual a probabilidade do motorista ter ingerido bebida alcoólica? 81,81%
17) Wallace, ao volante de seu conversível, encontra-se em uma encruzilhada numa zona rural. Ele sabe que uma dessas estradas leva à cidade mais próxima, para onde ele deseja ir, e que a outra leva até uma fazenda vizinha, porém não sabe qual é a correta a seguir. Na encruzilhada ele encontra quatro camponeses A, B, C e D que conhecem bem a estrada, e decide dirigir-se ao acaso a um deles para perguntar qual estrada deve seguir. O que ele não sabe é que, enquanto A fala sempre a verdade, B fala a verdade só 70% das vezes, C 50% das vezes e D sempre mente.
Determine a probabilidade de Wallace ser enviado ao caminho certo.
Se ele descobrir que foi enviado ao caminho errado, qual a probabilidade de que o camponês B tenha sido o que lhe deu a informação?
Mesma pergunta para o camponês C.
Mesma pergunta para o camponês D.
Capítulo VIII – Distribuição Normal
Coleta de
dados
Crítica de
dados
Apresenta-ção dos dados
Tabelas
Gráficos
Análise
Total ----360 graus
Parte ---- X graus
Qual a porcentagem das vendas em janeiro em relação a venda anual da empresa?
Qual a porcentagem das vendas em dezembro em relação a venda anual da empresa?
Em que mês houve uma maior queda percentual nas vendas? De quanto foi essa queda?
Polígono de freqüência
�
Distribuição assimétrica para a direita (ou distribuição assimétrica positiva): A média, e a mediana estão à direita da moda, isto é, As > 0.
Distribuição simétrica (ou assimetria nula): A média, a moda e a mediana coincidem, isto é, As = 0
Distribuição assimétrica para a esquerda (ou distribuição assimétrica negativa): A média, e a mediana estão à esquerda da moda, isto é, As < 0.
2 bolas
A = {1ª bola extraída é B}
B = {2ª bola extraídaé B}
7 V
3 B
� EMBED Equation.3 ���
o ponto médio da sexta classe;
a freqüência absoluta da quarta classe;
a freqüência relativa em percentual da classe com maior número de pacientes;
a freqüência acumulada da quinta classe;
o número de pacientes cuja altura não atinge 180 cm;
a percentagem de pacientes cuja altura não atinge 168cm;
a percentagem de pacientes cuja altura atinge e ultrapassa 162 cm, mas é inferior a 192 cm;
a classe do 52º paciente.
B1
B2
B3
B4
� EMBED Equation.3 ���
Teorema da Probabilidade Total
P(D) =0,025
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Gráfico1
		105361
		124791
		148818
		299585
		512900
REGIÕES
NÚMERO DE CRIANÇAS
CRIANÇAS NÃO-VACINADAS CONTRA A PÓLIO - BRASIL / 1989
Plan1
		
		
		
		
		
		
		Sul		105,361
		Centro-Oeste		124,791
		Norte		148,818
		Sudeste		299,585
		Nordeste		512,900
Plan1
		0
		0
		0
		0
		0
REGIÕES
NÚMERO DE CRIANÇAS
CRIANÇAS NÃO-VACINADAS CONTRA A PÓLIO - BRASIL / 1989
Plan2
		
Plan3
		
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Gráfico3
		29		29
		24		24
		21		21
		13.5		13.5
		12.5		12.5
AS ARMAS CONTRA O FUMO - CANADÁ / 1990
Plan1
		Goma de mascar com nicotina		29
		Internamentos em hospital		24
		Acupuntura		21
		Hipnose		13.5
		Injeções de Clonidina		12.5
				100
Plan1
		
AS ARMAS CONTRA O FUMO - CANADÁ / 1990
Plan2
		
Plan3
		
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Gráfico3
		259
		226
		185
		196
		130
		100
		144
		96
		82
		80
		82
		121
Plan1
		JAN		259
		FEV		226
		MAR		185
		ABR		196
		MAI		130
		JUN		100
		JUL		144
		AGO		96
		SET		82
		OUT		80
		NOV		82
		DEZ		121
Plan1
		
Plan2
		
Plan3
		
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Gráfico1
		865
		967
		1056
		920
		1069
		513
ANOS
NÚMERO DE PESSOAS
NÚMERO DE PESSOAS, ACIMA DE 40 ANOS ATENDIDAS NO SETOR DE CARDIOLOGIA DO HOSPITAL SÃO JORGE (RS) NO 1o. SEMESTRE DE CADA ANO (1994/1999)
Plan1
		1994		865
		1995		967
		1996		1056
		1997		920
		1998		1069
		1999		513
		
		
		865		1994
		967		1995
		1056		1996
		920		1997
		1069		1998
		513		1999
Plan1
		
ANOS
NÚMERO DE PESSOAS
NÚMERO DE PESSOAS, ACIMA DE 40 ANOS ATENDIDAS NO SETOR DE CARDIOLOGIA DO HOSPITAL SÃO JORGE (RS) NO 1o. SEMESTRE DE CADA ANO (1994/1999)
Plan2
		
Plan3