Resposta em Frequencia

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UNIVERSIDADE GAMA FILHO
PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CONTROLE E AUTOMAÇÃO
Professor Leonardo Gonsioroski
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Professor Leonardo Gonsioroski
Definição
O termo “resposta em frequência” significa resposta em regime estacionário de um sistema com entrada senoidal.
Um sistema LIT sujeito a uma entrada senoidal, produzirá em regime estacionário uma saída senoidal com a mesma frequência da entrada, mas sua amplitude e fase serão diferentes do sinal senoidal de entrada.
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Professor Leonardo Gonsioroski
Definição
Podemos verificar essa afirmação, aplicando transformadas de Laplace.
Aplicando Frações parciais
Então:
Frações Parciais – Rever Aula 3 – Transformadas 
de Laplace e Equações Diferenciais
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fazendo:
Aplicando transformada inversa teremos:
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Professor Leonardo Gonsioroski
Diagrama de Bode
Os Diagramas de Bode são 2 gráficos traçados em relação à frequência em escala logarítmica:
 Um gráfico do Módulo em dB da Função de Transferência
 Um gráfico do ângulo de fase da Função de Transferência
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Professor Leonardo Gonsioroski
Ganho em Decibel
Frequência em Escala Logarítimica
Fase em Graus
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Professor Leonardo Gonsioroski
Diagrama de Bode
Uma Função de Transferência normalmente é composta por um ou mais dos fatores básicos mencionados abaixo:
 Ganho K
 Fatores puramente integral e derivativo (jω)±1
 Fatores de primeira ordem (1+jωT)±1
 Fatores quadráticos [1+2ξ (jω / ωn)+(jω / ωn)2]±1
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Professor Leonardo Gonsioroski
Ganho K
 Quando o Ganho é um número maior que uma unidade, ele irá possuir um valor positivo em decibéis.
 Quando o Ganho for um número menor que uma unidade, ele irá possuir um valor negativo em decibéis.
 A curva de módulo em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20 log K decibéis.
 O ângulo de fase do ganho K é zero. 
 Por Exemplo: A representação em Diagramde de Bode de um Ganho K = 3
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Professor Leonardo Gonsioroski
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator Integral e Fator Derivativo
O valor do Módulo em dB do fator Integral é:
O ângulo de fase do fator integral é: 
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator Integral
Módulo do fator Integral em dB 
Ângulo de fase do fator integral 
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator Derivativo
 Como é de se esperar o Módulo
e a fase do fator derivativo serão:
Módulo do fator derivativo em dB 
Ângulo de fase do fator derivativo 
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator de primeira ordem tipo integral
O módulo em dB para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é:
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator de primeira ordem tipo integral
Analisando o módulo para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) temos:
Para baixas freqüências, como w << 1/T
Para altas freqüências, como w >>1/T
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator de primeira ordem tipo integral
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator de primeira ordem tipo integral
A fase para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é:
Parte Imaginária
Parte Real
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator de primeira ordem tipo integral
A fase para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é:
Para a freqüências, igua a zero, w = 0
Para freqüência de canto w = 1/T
Para altas freqüências
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Fator de primeira ordem tipo integral
Para a freqüências, igua a zero, w = 0
Para freqüência de canto w = 1/T
Para altas freqüências
Professor Leonardo Gonsioroski
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Fator de primeira ordem tipo integral
Professor Leonardo Gonsioroski
Frequência de Corte
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Vamos Relembrar …
Professor Leonardo Gonsioroski
Função de Transferência de um Filtro RC passa baixa 
Filtro RC 
Passa Baixa
Função de Transferência do Filtro
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Vamos Relembrar …
Professor Leonardo Gonsioroski
Função de Transferência de um Filtro RC passa baixa 
Filtro RC 
Passa Baixa
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator de primeira ordem tipo derivativo
O módulo em dB para o fator de primeira ordem (1+jwT) é:
A fase para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é:
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator de primeira ordem tipo derivativo
Fazendo a mesma análise, chegamos a conclusão de que o Diagrama de Bode será:
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Professor Leonardo Gonsioroski
Funções de Transferência com Fatores de 2a. Ordem
As funções de Transferência frequentemente possuem fatores quadráticos.
Quando os pólos de uma função de transferência de 2a. Ordem são reais, podemos considerar que a função de transferência é composta de dois fatores de primeira ordem.
Agora como fazer se os pólos forem complexos??
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator quadrático do tipo integral
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Para baixas freqüências, como w << wn
Para altas freqüências, como w >>wn
Professor Leonardo Gonsioroski
Fator quadrático do tipo integral
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator quadrático do tipo integral
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator quadrático do tipo integral
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Professor Leonardo Gonsioroski
Fator quadrático do tipo integral
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Fator quadrático do tipo integral
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Fator quadrático do tipo integral
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Frequência de Ressonância
g(w)
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Frequência de Ressonância
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Frequência de Ressonância
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Frequência de Ressonância
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Frequência de Ressonância
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Procedimento Geral para Construção de um Diagrama de Bode
Revisar os diagramas de bode de todos os fatores básicos. (Escrever no quadro)
Para escrever o diagrama de bode de uma função de transferência qualquer temos que primeiramente expandí-la em seus fatores básicos.
Depois desenharemos os diagramas de bode de cada fator básico separadamente 
E por último realizamos a soma das contribuições de cada diagrama de bode de cada fator básico.
Fazer Exemplo no Quadro
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Professor Leonardo Gonsioroski
Determinação Experimental de Função de Transferência 
de Fase Mínima.
1) O primeiro passo é traçar retas assintotas as curvas de módulo do diagrama de bode. AS assíntotas devem ter inclinações múltiplas de + ou – 20 dB/década.
2) Nas baixas frequências a inclinação de 0 dB, -20 dB/dec ou -40 dB/dec, indica a existência de nenhum, um ou dois pólos na origem do sistema, respectivamente.
3) Nas altas frequências, observar as mudanças na inclinação das curvas de módulo. Se a curva mudar em -20 dB/década é porque existe um fator de primeira ordem na frequência em que ocorreu a mudança.
Se a mudança for de -40 dB/decada é porque existe um fator quadrático nesta frequência.
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Professor Leonardo Gonsioroski
Determinação Experimental de Função de Transferência 
de Fase Mínima.
4) Os ângulos de fase nas frequências muito altas para sistemas de fase mínima são -90º (q – p), isso nos dá uma noção da diferença do grau do numerador para o denominador da função de transferência.
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Professor Leonardo Gonsioroski
Exemplo:
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Sistemas de Fase Mínima e Sistemas de Fase não Mínima
 As funções de Transferência que não possuem pólos nem zeros no semi-plano direito do plano complexo, são ditas de fase mínima.
 As funções de transferência que possuem pólos e/ou zeros no semi plano direito do plano complexo, são ditas de fase não mínima.
Professor Leonardo Gonsioroski
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Professor Leonardo Gonsioroski
 Para um sistema de fase mínima o ângulo de fase, quando a frequência tende ao infinito, vale:
 Num sistema de fase não mínima, a fase do sistema quando a frequência tende ao infinito, difere desse valor.
 Em ambos
os casos a curva de módulo em dB, quando a frequencia tende ao infinito, vale:
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Professor Leonardo Gonsioroski
Margem de Fase
 A Margem de fase é o atrase de fase adicional, na frequência de cruzamento de ganho, necessária para que o sistema atinja o limiar de instabilidade. 
 A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo da função de transferência de malha aberta é unitário.
 A margem de fase é 180 graus mais o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta na frequência de cruzamento de ganho.
 Para que um sistema de fase mínima seja estável a margem de fase deve ser positiva.
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Professor Leonardo Gonsioroski
Margem de Ganho
 A Margem de ganho é a diferença de 0 dB e o valor do módulo, na frequência de cruzamento de fase.
 A frequência de cruzamento de fase é a frequência na qual a fase da função de transferência de malha aberta é -180 graus.
 Se a margem de ganho for positiva, o sitema será estável.
 Se a margem de ganho for negativa, o sitema será instável.
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Professor Leonardo Gonsioroski
 Num sistema de fase não mínima, para termos estabilidade as margens de fase e ganho devem ser negativas.
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Professor Leonardo Gonsioroski
Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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Ma entrada senoidal
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