Apostila Vibrações Mecânicas_prof Vinicius (EEST)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI
Curso de Engenharia Mecânica
Prof. Dr. Vinicius A. D. Silva
Vibrações Mecânicas
São João del-Rei
2018
Lista de Ilustrações
1.1 Quebra devido à fadiga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Utilização da análise de vibrações na manutenção preditiva. . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Análise modal realizada na porta de um automóvel (DIAS JR., 2011). . . . . . . . 7
1.4 Torre de transmissão e modelos idealizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Automóvel e seus modelos idealizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Sistema de 1GDL, mola não distendida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Sistema de 1GDL, posição de equilíbrio estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Diagrama de corpo livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Sistema de 1GDL genérico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Forma geral do movimento harmônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Resposta livre amortecida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Exemplo decremento logarítmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1 Sistema de 2 GDL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Sistema semi-definido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Esquema da massa principal e absorvedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Sumário
Lista de Ilustrações 2
Sumário 3
1 INTRODUÇÃO 5
1.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Aplicação na indústria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Manutenção preditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Análise Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Conceitos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Elementos de um sistema vibratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Inércia (massa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Molas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Viga engastada com massa na extremidade . . . . . . . . . . . . . . . 9
Viga bi-apoiada com uma massa na sua metade . . . . . . . . . . . . . 10
Barra submetida à tração e massa na extremidade . . . . . . . . . . . . 10
Sistema torcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Associação de molas em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Associação de molas em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.4 Amortecedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Idealização de modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Procedimento para análise de vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO (EDM) 16
2.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 VIBRAÇÃO DE SISTEMAS DE 1GDL 27
3.1 Vibração livre conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Vibração livre amortecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 Classificação de sistemas amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Sistemas Subamortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Sistemas Criticamente Amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Sistemas Super Amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Interpretação das raízes do polinômio característico . . . . . . . . . . 41
3.2.3 Decremento logarítmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Vibração forçada harmonicamente de um sistema conservativo . . . . . . . . . . . 46
3.4 Vibração forçada harmonicamente de um sistema dissipativo . . . . . . . . . . . . 53
3.4.1 Frequência em amplitude máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.2 Características do ângulo de fase (✓) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.3 Transmissibilidade de força (da massa para o solo) . . . . . . . . . . . . . 61
Razão de frequência onde a amplitude é máxima . . . . . . . . . . . . 64
Exercício: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Excitação pela base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6 Desbalanceamento rotativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 VIBRAÇÃO DE SISTEMAS DE 2GDL 80
4.1 Exemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2 Autovalores e autovetores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3 Etapas para solução da vibração livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4 Sistema semi-definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 Sistema não conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6 Sistema forçado harmonicamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Exemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.7 Absorvedores de vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.7.1 Equacionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7.2 Absorvedor de vibração não amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.8 Lista de exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 REGRAS E INFORMAÇÕES DAS AULAS PRÁTICAS 114
5.1 Precaução de segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2 Danos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3 Limpeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 Vestimenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.5 Relatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.6 Envio do relatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.7 Critério de avaliação do relatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Referências e Bibliografia 117
5
1 INTRODUÇÃO
Qualquer movimento que se repete depois de um intervalo de tempo é chamado de vibração
ou oscilação. A teoria de vibrações trata do estudo dos movimentos oscilatórios dos corpos e das
forças associadas aos mesmos.
Um sistema vibratório inclui um meio de armazenar energia potencial (mola ou elasticidade
dos materiais), um meio de armazenar energia cinética (massa ou inércia) e um meio pelo qual a
energia é dissipada (amortecedor ou atrito).
A vibração de um sistema ocorre pela transformação de energia potencial em energia cinética
e de energia cinética em energia potencial alternadamente. Se o sistema for amortecido, alguma
energia é dissipada em cada ciclo de vibração e precisa ser reposta por uma fonte externa se o
estado de vibração é para ser mantido.
1.1 Definição
Vibração é um movimento oscilatório de uma partícula, sistema de partículas ou corpo em
torno de uma posição de equilíbrio.
Ela faz partedo sistema. Desta forma é tarefa de um engenheiro decidir se a vibração apresen-
tada por uma máquina ou estrutura é necessária, indesejável ou tolerável. Baseado nesta decisão, é
sua tarefa manter os níveis de vibração dentro de limites aceitáveis. Infelizmente, muitos sistemas
podem apresentar um comportamento vibratório diferente daquele previsto, devido a problemas na
construção, desgaste, má utilização, erros no projeto entre outros.
Consequências de níveis de vibração excessiva:
• Funcionamento indesejável: vibrações em máquinas ferramentas podem impedir a obtenção
de um bom acabamento;
• Quebra de componente devido a vibração excessiva: como ocorreu na ponte do Estreito de
Tacoma;
• Quebra do componente devido a fatiga: como ocorre em virabrequins e palhetas de turbinas.
6
Figura 1.1: Quebra devido à fadiga.
1.2 Aplicação na indústria
Dentre as diversas aplicações que o estudo de vibrações mecânicas tem na indústria pode-se
destacar as aplicações em: Manutenção preditiva e Análise Modal Experimental (AME).
1.2.1 Manutenção preditiva
Consiste no acompanhamento periódico de equipamentos ou máquinas, através de dados co-
letados por meio de monitoração ou inspeções. A presença de defeitos pode alterar o comporta-
mento vibratório de uma máquina de forma a se tornar diferente do seu comportamento padrão.
Figura 1.2: Utilização da análise de vibrações na manutenção preditiva.
7
1.2.2 Análise Modal
A análise modal experimental consiste em extrair os chamados parâmetros modais de um
sistema mecânico. Os parâmetros modais são parâmetros característicos do sistema e são compos-
tos por frequências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrar. Com a obtenção dos
parâmetros modais é útil para, por exemplo, identificar propriedades elásticas de materias, fazer
modificações estruturais, convalidar modelos numéricos e experimentais, entre outros.
Figura 1.3: Análise modal realizada na porta de um automóvel (DIAS JR., 2011).
1.3 Conceitos importantes
Movimento oscilatório: É qualquer padrão de movimento onde o sistema observado move-se
para frente e para trás em torno de certa posição de equilíbrio.
Movimento periódico: É um tipo específico de movimento oscilatório em que um movimento
8
padrão repete-se em iguais intervalos de tempo. Este intervalo de tempo uniforme é chamado de
período. O inverso do período é chamado de frequência dada em ciclos/s ou Hertz.
Movimento harmônico: É um caso particular de movimento periódico em que o padrão de
movimento pode ser descrito por uma função seno ou cosseno dado em rad/s.
Frequência natural (!n): É a frequência com que um sistema não amortecido tende a oscilar
quando sujeito a condições iniciais e não submetido à excitações externas. Uma vez que não há
amortecimento, o sistema oscila indefinidamente.
Frequência natural amortecida (!d): É a frequência com que um sistema amortecido tende a
oscilar quando sujeito a condições iniciais e não submetido à excitações externas. Uma vez que há
amortecimento, a resposta do sistema, com o passar do tempo, tende a zero. A frequência natural
amortecida é sempre menor que a frequência natural, na prática, como os níveis de amortecimento
não são, em geral, muito elevados, não se faz distinção entre estes dois termos.
A condição de ressonância ocorre quando a frequência da excitação externa coincide com
uma das frequências naturais do sistema. Em geral, esta é uma condição indesejada e que pode
fazer com que o sistema apresente grandes níveis de vibração.
O número de Graus de Liberdade (GDL) de um sistema é o número mínimo de coordena-
das independentes capaz de descrever a configuração espacial do sistema em qualquer instante de
tempo.
1.4 Elementos de um sistema vibratório
1.4.1 Inércia (massa)
A inércia de um corpo é responsável pela resistência à variação da velocidade (linear ou
angular) do corpo. Um corpo rígido pode executar movimentos de translação, rotação pura (em
torno de um eixo fixo) ou movimento geral. Este elemento é responsável por armazenar energia
cinética e potencial elástica.
1.4.2 Rigidez
Apesar de esquematicamente e conceitualmente ser representada por uma mola, ela define
a propriedade da estrutura de armazenar energia de deformação. Caso a força de mola obedeça a
relação F = k�, sendo k a rigidez e � a deformação da estrutura, diz-se que esta mola é linear.
No estudo básico de vibrações, utiliza-se uma mola linear ideal (sem massa) para representar
9
qualquer componente do sistema que exerça uma força que tenda a retornar o sistema ao seu estado
de referência.
1.4.3 Molas equivalentes
Na análise de sistema vibratórios, pode ser conveniente substituir elementos elásticos por
molas equivalentes.
Viga engastada com massa na extremidade
Sendo P = mg o peso do bloco, E o módulo de elasticidade e I o momento de inércia da
seção transversal.
A rigidez equivalente é obtida na forma:
k =
P
�
=
P
P l3
3EI
=
3EI
l3
(1.1)
Assim o sistema pode ser representado pelo sistema equivalente:
10
Viga bi-apoiada com uma massa na sua metade
A rigidez equivalente é obtida na forma:
k =
P
�
=
P
P l3
48EI
=
48EI
l3
(1.2)
Barra submetida à tração e massa na extremidade
Sendo A a área da seção transversal.
A rigidez equivalente é obtida na forma:
k =
P
�
=
P
P l
AE
=
EA
l
(1.3)
11
Sistema torcional
Sendo J o momento de inércia de polar da barra, G o modulo de elasticidade transversal, T
o torque, l o comprimento da barra e kt a rigidez torcional.
A rigidez equivalente é obtida na forma:
kt =
T
✓
=
T
T l
GJ
=
GJ
l
(1.4)
Associação de molas em paralelo
Equilíbrio estático da massa m:
P = K1�+K2�+ · · ·+Kn� = (K1 +K2 + · · ·+Kn)� = ke� (1.5)
Ou seja, a rigidez equivalente vale:
ke =
nX
i=1
ki (1.6)
Assim o sistema pode ser representado pelo sistema equivalente:
12
Associação de molas em série
Todas as molas estão submetidas a uma força de tração P , assim:
P = K1� = K2� = · · · = Kn� (1.7)
A deformação de todas as molas é:
� = �1 = �2 = · · · = �n (1.8)
Logo:
P
ke
=
P
k1
+
P
k2
+ · · ·+ P
kn
) 1
ke
=
1
k1
+
1
k2
+ · · ·+ 1
kn
(1.9)
Ou seja, a rigidez equivalente vale:
1
ke
=
nX
i=1
1
ki
(1.10)
1.4.4 Amortecedor
Enquanto o efeito da inércia e das forças elásticas é o de manter o movimento oscilatório, o
amortecedor tem função de dissipar a energia presente no sistema.
13
O modelo de amortecimento a ser adotado na modelagem de um sistema é baseado em dois
aspectos: observação do fenômeno e objetivo da análise. Existem, basicamente, três tipos de mo-
delos de dissipação de energia:
• Amortecimento viscoso
• Amortecimento estrutural
• Atrito de Coulomb (seco)
O modelo de amortecimento mais utilizado é o viscoso. Isto se deve a dois fatores:
• É o mais simples de se tratar na modelagem matemática;
• Em geral, mesmo que este não seja o melhor modelo do processo de dissipação de energia
observado, é possível obter um coeficiente de amortecimento equivalente.
Caso a força de amortecedor obedeça a relação: F = c�̇, sendo c o coeficiente de amorteci-
mento e �̇ a velocidade das extremidades do amortecedor, diz-se que este amortecedor é linear.
1.5 Idealização de modelo
A compreensão do comportamento dinâmico de sistemas mecânicos (máquinas e componen-
tes) é uma das tarefas mais árduas do engenheiro. Em geral, os problemas são apresentados ao
engenheiro de forma vaga e imprecisa, por pessoal não técnico que tem necessidade do produto ou
processo.
É tarefa do engenheiro transformar um problema complexo e impreciso em um problema
específico que possa, em alguns casos, ser analisado através de modelos matemáticos. O processo
de entendimento do funcionamento do sistema real e de como ele pode ser modelado inicia-se por
uma etapa chamada de idealização do sistema.
A idealização de um modelo está relacionada com a utilização dos 3 elementos: inércia,
rigidez e amortecimento. A finalidade é representar todos os aspectos importantes do sistema com
o propósito de se obter as equações matemáticas que governamo comportamento do sistema. Deve-
se incluir detalhes suficientes para descrever o sistema sem torna-lo muito complexo, podendo ser
aperfeiçoado gradativamente.
Nas Figuras 1.4 e 1.5, tem-se o exemplo da idealização de estruturas reais em modelos idea-
lizados.
14
Figura 1.4: Torre de transmissão e modelos idealizados.
Figura 1.5: Automóvel e seus modelos idealizados.
15
1.6 Procedimento para análise de vibrações
• Etapa 1: Modelagem física.
• Etapa 2: Modelagem matemática.
• Etapa 3: Solução das equações governantes.
• Etapa 4: Interpretação dos resultados.
16
2 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO (EDM)
Seja o seguinte sistema de 1GDL, discretizado em massa e mola:
Figura 2.1: Sistema de 1GDL, mola não distendida.
A coordenada y descreve a posição do bloco de massa m à partir de uma posição original
onde a mola não esta deformada. Porém quando o sistema for solto, o peso do bloco fará com ele
desça até o momento em que a força da mola se igualar com a força peso do bloco, nesta nova
posição descrita pele coordenada x, a mola possui uma deflexão estática, e esta posição é chamada
de posição e equilíbrio estático.
Figura 2.2: Sistema de 1GDL, posição de equilíbrio estático.
Analisando o bloco à partir da posição original (y), pode-se aplicar a 2ª Lei de Newton da
forma:
17
Figura 2.3: Diagrama de corpo livre.
X
Fy = may ) mg � ky = mÿ
mÿ + ky = mg Equação de movimento
A solução total de uma equação diferencial ordinária (EDO) é formada por duas parcelas: a
solução homogênea e a solução particular.
• A solução homogênea representa a resposta natural do sistema.
• A solução particular dependerá da parcela do lado direito da EDO. Em vibrações, esta solução
inclui a excitação externa e representa a resposta forçada do sistema.
Assim a solução é:
yt = yh + yp Solução total
Solução homogênea: mÿ + ky = 0
Propondo uma solução harmônica tipo seno:
yh = A sin(!t)
ÿh = �!2A sin(!t)
18
Substituindo na EDO:
m(�!2A sin(!t)) + k(A sin(!t)) = 0
(�m!2 + k)A sin(!t) = 0
Para a equação ser válida em todo instante de tempo:
(�m!2 + k)A sin(!t) = 0 ) !2 = k
m
! = !n =
r
k
m
Frequência Natural
Solução particular: mÿ + ky = mg
A solução proposta para a solução particular deve ter a mesma forma da excitação. Como a
excitação é uma constante (mg), a solução proposta também deve ser:
yp = C
ÿp = 0
Logo: m · 0 + kC = mg ) C = mg/k
yp =
mg
k
solução particular
Solução total:
yt = A sin(!nt) +
mg
k
19
1 %Codigo do Matlab
2 A = 1;
3 m = 4;
4 k = 400;
5 wn = sqrt(k/m);
6 t = 0:0.01:10;
7 g = 9.81;
8 yh = A*sin(wn*t);
9 yp = (m*g)/k;
10 y = yh+yp;
11 plot(t,y,'Linewidth',2)
12 grid on
13 xlabel('Tempo[s]')
14 ylabel('Resposta total')
0 2 4 6 8 10
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo[s]
R
es
po
st
a 
to
ta
l
Observe que devido a deflexão estática a oscilação não ocorre em torno de zero.
Equilíbrio estático:
Quando a mola sofre a deflexão estática, o sistema entra em equilíbrio. Assim:
X
Fy = 0 ) mg � kyst = 0 ) yst =
mg
k
yst = y � x ) y = x+ yst ) ÿ = ẍ
Substituindo este resultado na EDM:
mÿ + ky = mg ) mẍ+ k
⇣
x+
mg
k
⌘
= mg
mẍ+ kx+
k
k
mg �mg = 0 ) mẍ+ kx = 0 EDM posição eq. estático
Desta forma a EDM pode ser escrita à partir da posição de equilíbrio estático (x), a força
peso é compensada pela força da mola.
2.1 Exemplos:
Obtenha a equação de movimento.
27
3 VIBRAÇÃO DE SISTEMAS DE 1GDL
O sistema mecânico mais básico é sistema de 1 GDL, que é caracterizado pelo fato de que
seu movimento é descrito por uma única variável ou coordenada. O movimento do sistema de 1
GDL é regido por uma única equação diferencial ordinária, que relaciona o deslocamento x(t) à
força F (t), referidas como resposta e excitação respectivamente.
A excitação pode ser dividida em dois tipos: excitações iniciais e as forças aplicadas. Em
virtude do princípio da superposição, para sistemas lineares com coeficientes constantes, a resposta
à excitações iniciais e a resposta à forças aplicadas podem ser obtidas separadamente e depois
combinadas linearmente.
A vibração de um sistema em resposta à excitações iniciais, constituídas por deslocamentos
e/ou velocidades iniciais, é comumente conhecido como vibração livre. Para se obter a resposta à
excitação inicial, deve-se resolver uma equação diferencial homogênea, ou seja, zerando as forças
aplicadas. A vibração provocada pelas forças aplicadas é referida como vibração forçada, e repre-
senta um problema mais amplo do que o de vibração livre, devido à grande variedade de forças
aplicadas.
Embora poucos sistemas reais possam ser modelados com sucesso como sistemas de 1 GDL,
estes sistemas são importantes pois:
• Um sistema linear de múltiplos graus de liberdade pode sempre ser representado por uma
combinação linear de múltiplos sistemas de 1 GDL.
• Inúmeros métodos de estimação de parâmetros modais são baseados nos conceitos de siste-
mas de 1 GDL.
3.1 Vibração livre conservativa
Seja o sistema vibratório:
Figura 3.1: Sistema de 1GDL genérico.
28
A EDM é dada por:
mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = F (t)
Para a vibração livre (F (t) = 0) de um sistema conservativo (c = 0), a EDM se resume a:
mẍ(t) + kx(t) = 0
A solução desta equação diferencial de segunda ordem é assumida como sendo uma solução
harmônica, devido à observação física da resposta ser harmônica.
Assumindo a solução homogênea na forma:
xh(t) = x(t) = Ae
st
ẋ(t) = sAest e ẍ(t) = s2Aest
Substituindo na EDM:
ms2Aest + kAest = 0
(ms2 + k)Aest = 0
Para que este produto triplo seja igual a zero, qualquer um dos termos deve ser zero. Anali-
sando cada caso:
• Para A = 0; se zerar a amplitude de movimento, tem-se a solução trivial, que indica fisica-
mente ausência de movimento e não é interessante.
• Para est = 0; em condições especiais pode-se substituir por seno e cosseno, e que por sua vez
só valem zero em alguns instantes de tempo, porém busca-se uma solução que seja válida em
todos os instantes de tempo.
Desta forma:
ms2 + k = 0 polinômio característico
As raízes do polinômio característico são:
s1,2 = ±
r
k
m
= ±|!n [rad/s]
Sendo !n definida como a frequência natural (não amortecida), s1,2 são também conhecidas
como autovalores. Uma vez que s1 e s2 satisfazem a equação ms2+k = 0, então a seguinte solução
29
geral pode ser escrita:
x(t) = A1e
s1t + A2e
s2t = A1e
|!nt + A2e
�|!nt
As raízes aparecem em pares complexos conjugados por se tratar se um sistema oscilatório.
Utilizando a relação de Euler: e|↵ = cos(↵)± | sin(↵)
x(t) = A1e
|!nt + A2e
�|!nt
x(t) = A1[cos(!nt) + | sin(!nt)] + A2[cos(!nt)� | sin(!nt)]
x(t) = (A1 + A2) cos(!nt) + |(A1 � A2) sin(!nt)
x(t) = A3 cos(!nt) + A4 sin(!nt)
Assim a resposta livre é escrita na forma:
x(t) = A sin(!nt+ �) resposta livre conservativa
Sendo:
A =
q
A23 + A
2
4 =
p
(A1 + A2)2 + [|(A1 � A2)]2
� = tan�1
✓
A3
A4
◆
Esta solução representa um movimento harmônico de frequência de oscilação !n e amplitude
A.
Figura 3.2: Forma geral do movimento harmônico.
A e � são encontrados através de condições iniciais.
30
Sejam as condições iniciais em termo da posição x(t = 0) = x0 e da velocidade
ẋ(t = 0) = v0, é possível escrever:
x(t = 0) = x0 = A sin(!n · 0 + �) = A sin(�) (3.1)
ẋ(t = 0) = v0 = !nA cos(!n · 0 + �) = !nA cos(�) (3.2)
Da Equação (3.2) tem-se que:
A =
v0
!n cos(�)
(3.3)
Substituindo na Equação (3.1) obtém:
x0 =
v0
!n
· sin(�)
cos(�)
=
v0
!n
tan(�)
� = tan�1
✓
x0!n
v0
◆
Utilizando a identidade trigonométrica na Equação (3.3):
cos(�) =
1p
1 + tan2(�)
A =
v0
!n · 1p
1+tan2(�)
=
v0
!n · 1r
1+
⇣
x0!n
v0
⌘2
=
v0
r
1 +
⇣
x0!n
v0
⌘2
!n
Elevando ao quadrado:
A2 =
v20
✓
1 +
⇣
x0!n
v0
⌘2◆
!2
n
=
v20 +
v
2
0x
2
0!
2
n
v20
!2
n
A =
s
v20
!2
n
+ x20
31
1 %% Sistema Conservativo 1GDL
2 t = 0:0.01:5;
3 m = 4;
4 k = 400;
5 omegan = sqrt(k/m);
6 xo = 1;
7 vo = 0;
8 A = sqrt((vo^2/omegan^2)+xo^2);
9 phi = atan(xo*omegan/vo);
10 x = A*sin(omegan*t+phi);
11 plot(t,x,'Linewidth',2)
12 grid on
13 xlabel('Tempo[s]')
14 ylabel('Deslocamento [mm]')
0 12 3 4 5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo[s]
D
es
lo
ca
m
en
to
 [m
m
]
3.2 Vibração livre amortecida
Seja o sistema vibratório da Figura 3.1, a EDM para o sistema em vibração livre é:
mẍ+ cẋ+ kx = 0
A solução proposta é:
xh(t) = x(t) = Ae
st
Suas derivadas: ẋ(t) = sAest e ẍ(t) = s2Aest.
Substituindo na EDM:
m(s2Aest) + c(sAest) + k(Aest) = 0
(ms2 + cs+ k)Aest = 0
Para a solução diferente da trivial, tem-se:
ms2 + cs+ k = 0 polinômio característico
As raízes são:
s1,2 = �
c
2m
±
r⇣ c
2m
⌘2
� k
m
32
3.2.1 Definições
Frequência natural (não amortecida)
Frequência com que um sistema conservativo em vibração livre irá oscilar.
!n =
r
k
m
[rad/s]
Coeficiente de amortecimento crítico
Coeficiente de amortecimento que o sistema deveria ter para que dada um condição inicial o
sistema pare sem oscilar.
⇣ c
2m
⌘2
� k
m
= 0 ) c
2
4m2
=
k
m
c2 = 4m2
k
m
) ccr =
p
4mk
ccr = 2
p
mk ) ccr = 2m!n [Ns/m]
Razão ou fator de amortecimento
Relação entre o amortecimento que o sistema possui e o coeficiente de amortecimento crítico.
⇣ =
c
ccr
Frequência natural amortecida
Frequência com que um sistema amortecido em vibração livre irá oscilar.
!d = !n
p
1� ⇣2
Parâmetros físicos
Massa, amortecimento e rigidez: m, c, k.
33
Parâmetros modais
Frequência natural, fator de amortecimento: !n, ⇣ .
OBS.: o terceiro parâmetro modal chamado de modo de vibrar será visto quando estudada a
vibração de sistemas com mais de um GDL
Manipulando as raízes do polinômio característico em função dos parâmetros modais:
s1,2 = �
c
2m
±
r⇣ c
2m
⌘2
� k
m
÷ !n
s1,2
!n
= � c
2m!n| {z }
ccr
±
vuuut(
c
2m!n| {z }
ccr
)2 � k
m|{z}
!2n
· 1
!2
n
s1,2
!n
= � c
ccr|{z}
⇣
±
vuuut(
c
ccr|{z}
⇣
)2 � !
2
n
!2
n
s1,2
!n
= �⇣ ±
p
⇣2 � 1 ) s1,2 = �⇣!n ± !n
p
⇣2 � 1
Na prática, a maior parte dos sistemas possuem fator de amortecimento menor que 1, logo:
s1,2 = �⇣!n ± !n
p
�1 · (1� ⇣2)
Assim tem-se:
s1,2 = �⇣!n ± |!n
p
1� ⇣2 Autovalores
Esta forma de representar as raízes do polinômio característico tem duas vantagens:
• Existem diversas combinações m, c e k que fornecem os mesmos valores para os parâme-
tros modais, ou seja, frequência natural e fator de amortecimento. Assim, esta representação
permite “agrupar” sistemas que apresentam as mesmas características vibratórias mas que
possuem parâmetros físicos diferentes.
• É possível verificar o comportamento vibratório do sistema analisando apenas o valor de ⇣ .
Algumas interpretações podem ser feita de acordo com a característica dos autovalores:
s1,2 = �⇣!n| {z }
Real
±| !n
p
1� ⇣2| {z }
Imaginário
A parcela imaginária carrega informação relativa ao caráter oscilatório. Sistemas oscilatórios
34
possuem autovalores que aparecem em pares complexos conjugados. Já a parcela real trás informa-
ções sobre decaimento da resposta e estabilidade do sistema.
3.2.2 Classificação de sistemas amortecidos
Os sistema amortecidos são classificados em 3 grupos de acordo com o fator de amorteci-
mento que possuem:
• Subamortecidos: sistemas com fator de amortecimento 0 < ⇣ < 1.
• Criticamente amortecidos: sistemas com fator de amortecimento ⇣ = 1.
• Super amortecidos: sistemas com fator de amortecimento ⇣ > 1.
Sistemas Subamortecidos
Neste grupo a equação dos autovalores é dada por:
s1,2 = �⇣!n ± |!n
p
1� ⇣2
A solução proposta é:
x(t) = A1e
s1t + A2e
s2t
x(t) = A1e
(�⇣!n+|!n
p
1�⇣2)t + A2e
(�⇣!n�|!n
p
1�⇣2)t
x(t) = e�⇣!nt
⇣
A1e
|!n
p
1�⇣2t + A2e
�|!n
p
1�⇣2t
⌘
x(t) = e�⇣!nt
�
A1e
|!dt + A2e
�|!dt
�
Utilizando a relação de Euler, obtém-se:
x(t) = Ae�⇣!nt sin(!dt+ �) Resposta harmônica subamortecida
Para se obter o valor de A e �:
x(t) = Ae�⇣!nt sin(!dt+ �)
ẋ(t) = �A⇣!ne�⇣!nt sin(!dt+ �) + !dAe�⇣!nt cos(!dt+ �)
35
Aplica-se as condições iniciais x0 e v0.
x0 = Ae
�⇣!n·0 sin(!d · 0 + �) = A · 1 · sin(�) = A sin(�)
v0 = �A⇣!ne�⇣!n·0 sin(!d · 0 + �) + !dAe�⇣!n·0 cos(!d · 0 + �) = �A⇣!n sin(�) + A!d cos(�)
Da Equação (3.4):
A =
x0
sin(�)
Da Equação (3.4):
v0 = �
x0
sin(�)
⇣!n sin(�) +
x0
sin(�)
!d cos(�) = �x0⇣!n +
x0!d
tan(�)
x0!d
tan(�)
= v0 + x0⇣!n ) tan(�) =
x0!d
v0 + x0⇣!n
Logo:
� = tan�1
✓
x0!d
v0 + x0⇣!n
◆
Adotando a identidade trigonométrica:
sin(�) =
tan(�)p
1 + tan2(�)
Assim:
sin(�) =
tan(�)p
1 + tan2(�)
=
x0!d
v0 + x0⇣!n
· 1r
1 +
⇣
x0!d
v0+x0⇣!n
⌘2
sin(�) =
x0!d
v0 + x0⇣!n
· 1q
(v0+x0⇣!n)2+(x0!d)2
(v0+x0⇣!n)2
sin(�) =
x0!dp
(v0 + x0⇣!n)2 + (x0!d)2
Aplicando na equação de A:
A =
x0
sin(�)
=
x0 ·
p
(v0 + x0⇣!n)2 + (x0!d)2
x0!d
36
Obtém-se a relação final:
A =
s
(v0 + x0⇣!n)2 + (x0!d)2
!2
d
1 %% Sistema Subamortecido 1GDL
2 t = 0:0.01:5;
3 zeta = 15/100;
4 m = 4;
5 k = 400;
6 omegan = sqrt(k/m);
7 omegad = omegan*sqrt(1-zeta^2);
8 xo = 1;
9 vo = 0;
10 A = sqrt(((vo+xo*zeta*omegan)
^2+(xo*omegad)^2)/(omegad^2))
;
11 phi = atan((xo*omegad)/(vo+xo*
zeta*omegan));
12 x = A*exp(-zeta*omegan*t).*sin(
omegad*t+phi);
13 plot(t,x,'Linewidth',2)
14 grid on
15 xlabel('Tempo[s]')
16 ylabel('Deslocamento [mm]')
0 1 2 3 4 5
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo[s]
D
es
lo
ca
m
en
to
 [m
m
]
Algumas considerações sobre os sistemas subamortecidos:
• Os sistemas com amortecimento oscilam mais lentamente que sistemas conservativos.
• As raízes ou autovalores tem que obrigatoriamente aparecerem em pares complexos conju-
gados, caso contrário o sistema não é oscilatório.
• Se a parte real for positiva o sistema é instável pois a amplitude da resposta cresce com o
tempo.
37
EDM genérica de sistemas de 1GDL
A equação de movimento tem a função de obter a massa, amortecimento e rigidez equivalente
do sistema:
meqẍ+ ceqẋ+ keqx = 0 ÷meq
ẍ+
ceq
meq
ẋ+
keq
meq
x = 0
ẍ+
ceq
ccr
· ccr
meq
ẋ+
keq
meq
x = 0
Utilizando as relações:
⇣ =
ceq
ccr
ccr = 2meq!n !n =
s
keq
meq
Assim a EDM pode ser escrita na forma modal:
ẍ+ 2⇣!nẋ+ !
2
n
x = 0
Exemplo:
Obtenha a equação de movimento, a frequência natural e os autovalores para o sistema da
Figura 3.3.
Figura 3.3: Exemplo
Vinicius Silva
Vinicius Silva
Sistemas Criticamente Amortecidos
Vinicius Silva
Neste grupo, como ζ = 1 a equação dos autovalores se resume a: s1,2 = −ωn
39
Da teoria de equações diferenciais, quando as raízes são iguais, tem-se:
x(t) = A1e
s1t + A2e
s2t
x(t) = (A1 + tA2)e
�!nt
Para aplicar as condições iniciais:
x(t) = A1e
�!nt + A2te
�!nt
ẋ(t) = �!nA1e�!nt � !nA2te�!nt + A2e�!nt
Para as condições iniciais x0 e v0.
x0 = A1
v0 = �!nA1 + A2 ) A2 = v0 + !nx0
Assim:
x(t) = x0e
�!nt + (v0 + !nx0)te
�!nt
1 %% Sistema Criticamente
Amortecido 1GDL
2 t = 0:0.01:5;
3 m = 4;
4 k = 400;
5 omegan = sqrt(k/m);
6 xo = 1;
7 vo = 0;
8 x = xo*exp(-omegan*t)+(vo+omegan
*xo)*t.*exp(-omegan*t);
9 plot(t,x,'Linewidth',2)
10 grid on
11 xlabel('Tempo[s]')
12 ylabel('Deslocamento [mm]')
0 1 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo[s]
D
es
lo
ca
m
en
to
 [m
m
]
40
Sistemas Super Amortecidos
Neste grupo com ⇣ > 1 a equação dos autovalores retorna a sua forma original:
s1,2 = �⇣!n ± !n
p
⇣2 � 1
Para a solução geral:
x0 = A1e
(�⇣!n+!n
p
⇣2�1)t + A2e
(�⇣!n�!n
p
⇣2�1)t
x0 = e
�⇣!nt
⇣
A1e
!n
p
⇣2�1t + A2e
�!n
p
⇣2�1t
⌘
Para aplicar as condições iniciais:
x0 = A1e
(�⇣!n+!n
p
⇣2�1)t + A2e
(�⇣!n�!n
p
⇣2�1)t
ẋ0 = �⇣!ne�⇣!nt
⇣
A1e
!n
p
⇣2�1t + A2e
�!n
p
⇣2�1t
⌘
+
e�⇣!nt
⇣
!n
p
⇣2 � 1A1e!n
p
⇣2�1t � !n
p
⇣2 � 1A2e�!n
p
⇣2�1t
⌘
Para as condições iniciais x0 e v0.
x0 = A1 + A2 ) A1 = x0 � A2
v0 = �⇣!n(A1 + A2) + !n
p
⇣2 � 1(A1 � A2)
Manipulando as equações obtém-se:
A1 =
v0 + (⇣ +
p
⇣2 � 1)x0!n
2!n
p
⇣2 � 1
A2 =
�v0 + (�⇣ +
p
⇣2 � 1)x0!n
2!n
p
⇣2 � 1
41
1 %% Sistema Superamortecido 1GDL
2 t = 0:0.01:5;
3 zeta = 200/100;
4 m = 4;
5 k = 400;
6 omegan = sqrt(k/m);
7 xo = 1;
8 vo = 0;
9 A1 = (vo+(zeta+sqrt(zeta^2-1))*
xo*omegan)/(2*omegan*sqrt(
zeta^2-1));
10 A2 = (-vo+(-zeta+sqrt(zeta^2-1))
*xo*omegan)/(2*omegan*sqrt(
zeta^2-1));
11 x = A1*exp(-zeta*omegan*t+omegan*sqrt(zeta^2-1)*t)+A2*exp(-
zeta*omegan*t-omegan*sqrt(
zeta^2-1)*t);
12 plot(t,x,'Linewidth',2)
13 grid on
14 xlabel('Tempo[s]')
15 ylabel('Deslocamento [mm]')
0 1 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo[s]
D
es
lo
ca
m
en
to
 [m
m
]
Interpretação das raízes do polinômio característico
s1,2 = �⇣!n ± |!n
p
1� ⇣2
• Se ⇣ = 0; s1,2 são complexos conjugados com parte real nula.
• Se 0 < ⇣ < 1; s1,2 são complexos conjugados com parte real negativa.
• Se ⇣ = 1; s1,2 são reais negativas e iguais.
• Se ⇣ > 1; s1,2 são reais negativas e distintas.
42
3.2.3 Decremento logarítmico
Uma técnica para estimar o amortecimento é o decremento logarítmico, que representa a taxa
de redução da amplitude da resposta de uma vibração livre amortecida.
0 1 2 3 4 5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo[s]
x(
t)
xj+N
xj
tj tj+N
e−ζωnt
T = 2π/ωd
Figura 3.4: Resposta livre amortecida.
A técnica consiste em selecionar um valor de pico qualquer, conta-se um número inteiro de
períodos e seleciona-se outro valor de pico.
Resposta em tj:
x(tj) = Ae
�⇣!ntj sin(!dtj + �) (3.4)
Resposta em tj+N , sendo tj+N = tj +NT :
x(tj+N) = Ae
�⇣!ntj+N sin(!dtj+N + �) (3.5)
Dividindo Equação (3.4) pela Equação (3.5):
xj
xj+N
=
e�⇣!ntj
e�⇣!n(tj+NT )
=
e�⇣!ntj
e�⇣!ntj · e�⇣!nNT
43
Logo:
xj
xj+N
=
1
e�⇣!nNT
) ln
✓
xj
xj+N
◆
= ln
✓
1
e�⇣!nNT
◆
ln
✓
xj
xj+N
◆
= � ln
�
e�⇣!nNT
�
ln
✓
xj
xj+N
◆
= ⇣!nNT ÷
1
N
⇣!nT =
1
N
ln
✓
xj
xj+N
◆
Definindo � = ⇣!nT :
� =
1
N
ln
✓
xj
xj+N
◆
Decremento logarítmico
Usando a definição:
� = ⇣!nT = ⇣!n
2⇡
!d
= ⇣!n
2⇡
!n
p
1� ⇣2
� =
⇣2⇡p
1� ⇣2
)
p
1� ⇣2� = ⇣2⇡ Elevando ao quadrado
⇣
�
p
1� ⇣2
⌘2
= (2⇡⇣)2 ) �2(1� ⇣2) = 4⇡2⇣2
�2 � �2⇣2 = 4⇡2⇣2 ) �2 = ⇣2(4⇡2 + �2)
Isolando ⇣ , o fator de amortecimento pode ser estimado à partir do decremento logarítmico
segundo a equação:
⇣ =
�p
�2 + 4⇡2
Exemplo:
A partir da medição da resposta livre de um sistema de 1GDL mostrada no gráfico da Fi-
gura 3.5, pede-se:
(a) Estime o valor da frequência natural e do fator de amortecimento do sistema.
(b) Estime o valor de t a partir do qual a magnitude do deslocamento |x(t)| não exceda a 0,01 mm.
Vinicius Silva
46
3.3 Vibração forçada harmonicamente de um sistema conservativo
Excitação harmônica refere-se a uma força externa senoidal de frequência única aplicada ao
sistema. Excitações harmônicas são uma fonte muito comum de força externa aplicada à máquinas
e estruturas. Máquinas rotativas como ventiladores, motores elétricos e outros, transmitem uma
força senoidal variável para os componentes adjacentes.
A EDM de um sistema de 1 GDL conservativo e submetido a esforços externos é dada por:
mẍ+ kx = F (t)
Adotando uma força harmônica do tipo F (t) = F0 cos(!t). Sendo ! a frequência da força
excitadora externa, tem-se:
mẍ+ kx = F0 cos(!t)
Pelo princípio da superposição a resposta total pode ser obtida pela soma das respostas
homogênea e particular.
Resposta homogênea:
Soluciona-se a EDM zerando-se as forças externas.
mẍ+ kx = 0
xh(t) = Ae
st e ẍh(t) = s2Aest
ms2Aest + kAest = 0
(ms2 + k)Aest = 0 ) ms2 + k = 0
s1,2 = ±|
r
k
m
= ±|!n
xh(t) = A1e
s1t + A2e
s2t
xh(t) = Ac cos(!nt) + As sin(!nt)
Resposta particular:
Soluciona-se a EDM completa.
mẍ+ kx = F0 cos(!t) (3.6)
Na análise da resposta particular pode ocorrer 2 casos: ! 6= !n ou ! = !n.
Caso 1: ! 6= !n
47
Pela força ser descrita por uma função harmônica, a solução proposta particular deve ser
harmônica também. Propondo uma solução harmônica genérica do tipo:
xp(t) = Bs sin(!t) + Bc cos(!t)
Derivando
ẍp(t) = �!2[Bs sin(!t) + Bc cos(!t)]
Substituindo na Equação (3.6).
m(�!2[Bs sin(!t) + Bc cos(!t)]) + k(Bs sin(!t) + Bc cos(!t)) = F0 cos(!t)
Separando em um sistema de equações, uma descrita em seno e outra em cosseno:
8
<
:
(�m!2 + k)Bs = 0
(�m!2 + k)Bc = F0
Logo: Bs = 0 e Bc = F0k�m!2 .
Observe que sistemas lineares respondem com a mesma função da força excitadora.
Assim a resposta particular é:
xp(t) =
F0
k �m!2 cos(!t)
Resposta total:
Soma linear da duas respostas:
x(t) = xh(t) + xp(t)
x(t) = Ac cos(!nt) + As sin(!nt) +
F0
k �m!2 cos(!t)
As amplitudes Ac e As, são obtidas através as condições iniciais.
x(t) = Ac cos(!nt) + As sin(!nt) +
F0
k �m!2 cos(!t)
ẋ(t) = �!nAc sin(!nt) + !nAs cos(!nt)�
F0!
k �m!2 sin(!t)
48
Aplicando-se as condições iniciais x(t = 0) = x0 e ẋ(t = 0) = v0.
x0 = Ac cos(0) + As sin(0) +
F0
k �m!2 cos(0) = Ac +
F0
k �m!2
v0 = �!nAc sin(0) + !nAs cos(0)�
F0!
k �m!2 sin(0) = !nAs
Logo:
As =
v0
!n
Ac = x0 �
F0
k �m!2
Assim a resposta total fica:
x(t) =
✓
x0 �
F0
k �m!2
◆
cos(!nt) +
✓
v0
!n
◆
sin(!nt)
| {z }
parcela homogênea
+
F0
k �m!2 cos(!t)| {z }
parcela permanente
para ! 6= !n
Observe que as condições iniciais não são mais necessárias para iniciar o movimento. A
força externa já é suficiente, e garante que exista, além da parcela particular, a parcela homogênea
também.
49
1 % 1GDL Forçado conservativo
2 t = 0:0.01:5;
3 m = 4; k = 400;
4 F0 = 15;
5 omegan = sqrt(k/m);
6 omega = 5;
7 xo = 1; vo = 0;
8 As = vo/omegan;
9 Ac = xo-(F0/(k-m*omega^2));
10 xh = Ac*cos(omegan*t)+As*sin(
omegan*t);
11 xp = (F0/(k-m*omega^2))*cos(
omega*t);
12 x = xh+xp;
13 plot(t,x,'Linewidth',2)
14 grid on
15 xlabel('Tempo[s]')
16 ylabel('resposta total')
0 1 2 3 4 5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo[s]
re
sp
os
ta
 to
ta
l
Ainda no caso onde ! 6= !n. Se a frequência da força excitadora for muito próximo da
frequência natural, porém ainda diferente, tem-se um caso particular conhecido por batimento.
Batimento: ! ⇡ !n
Considerando um caso particular onde x0 = 0 e v0 = 0, apenas por simplicidade, pois a
generalidade é mantida.
As duas condições para haver batimento são:
• O sistema ser conservativo (na prática amortecimento desprezível).
• ! ⇡ !n
x(t) =
✓
� F0
k �m!2
◆
cos(!nt) +
F0
k �m!2 cos(!t)
x(t) =
✓
F0
k �m!2
◆
[cos(!t)� cos(!nt)] (3.7)
50
Para trabalhar a Equação (3.7), serão utilizadas as fórmulas de Prostaférese.
8
<
:
cos(a+ b) = cos(a) cos(b)� sin(a) sin(b)
cos(a� b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
Subtraindo as duas tem-se:
cos(a+ b)� cos(a� b) = �2 sin(a) sin(b)
Considerando (a+ b) = q e (a� b) = p.
(a+ b)� (a� b) = q � p
a+ b+�a+ b = q � p
2b = q � p
b =
q � p
2
a� b = p
a = p+ b
a = p+
q � p
2
a =
q + p
2
Logo:
cos(a+ b)� cos(a� b) = �2 sin(a) sin(b)
cos(q)� cos(p) = �2 sin
✓
q + p
2
◆
sin
✓
q � p
2
◆
multiplicando por(�1)
cos(p)� cos(q) = 2 sin
✓
q + p
2
◆
sin
✓
q � p
2
◆
Considerando p = !t e q = !nt.
cos(!t)� cos(!nt) = 2 sin
✓
!n + !
2
�
t
◆
sin
✓
!n � !
2
�
t
◆
Assim:
x(t) =
2F0
k �m!2 sin
✓
!n + !
2
�
t
◆
sin
✓
!n � !
2
�
t
◆
51
Desta forma a resposta do sistema terá a forma de uma componente de alta frequência
(!n +!)/2 cuja amplitude é modulada por uma componente de frequência bem baixa (!n �!)/2.
1 % Batimento
2 t = 0:0.01:100;
3 m = 4; k = 400;
4 F0 = 15;
5 omegan = sqrt(k/m);
6 omega = 9.8;
7 xo = 0; vo = 0;
8 As = vo/omegan;
9 Ac = xo-(F0/(k-m*omega^2));
10 xh = Ac*cos(omegan*t)+As*sin(
omegan*t);
11 xp = (F0/(k-m*omega^2))*cos(
omega*t);
12 x = xh+xp;
13 plot(t,x)
14 grid on
15 xlabel('Tempo[s]')
16 ylabel('x(t)')
0 20 40 60 80 100
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Tempo[s]
x(
t)
Caso 2: ! = !n
Quando a frequência da força excitadora se iguala à frequência natural do sistema, o sistema
entra em ressonância. Nesta situação a contribuição da resposta devido à força excitadora na
resposta total é muito maior que a contribuição da resposta homogênea, assim:
Resposta particular:
mẍ+ kx = F0 cos(!t) como ! = !n
mẍ+ kx = F0 cos(!nt)
A solução proposta,
xp(t) = Bs sin(!t) + Bc cos(!t) = Bs sin(!nt) + Bc cos(!nt)
52
Não irá funcionar pois é idêntica à solução homogênea, neste caso:
xp(t) = t[Bs sin(!nt) + Bc cos(!nt)]
Derivando
ẍp(t) = Bs[�!2nt sin(!nt) + 2!n cos(!nt)] + Bc[�!2nt cos(!nt)� 2!n sin(!nt)]
Substituindo na EDM:
(�m!2
n|{z}
k
Bst�2m!nBc +Bskt) sin(!nt) + (2m!nBs � Bc m!2n|{z}
k
t+Bckt) cos(!nt) = F0 cos(!nt)
�2m!nBc sin(!nt) + 2m!nBs cos(!nt) = F0 cos(!nt)
Separando:
8
<
:
�2m!nBc = 0
2m!nBs = F0
Logo: Bc = 0 e Bs = F02m!n .
A resposta particular será:
xp(t) =
F0t
2m!n
sin(!nt)
1 %% Ressonâcia 1GDL
2 t = 0:0.01:10;
3 m = 4; k = 400;
4 F0 = 15;
5 omegan = sqrt(k/m);
6 xo = 0;
7 vo = 0;
8 xr = ((F0*t)/(2*m*omegan)).*sin(
omegan*t);
9 reta = (F0*t)/(2*m*omegan);
10 plot(t,xr,t,reta,'r',t,-reta,'r'
,'Linewidth',2)
11 grid on
12 xlabel('Tempo[s]')
13 ylabel('x(t)')
0 2 4 6 8 10
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Tempo[s]
x(
t)
53
Se observar a derivada da parcela particular:
ẋp(t) =
F0t
2m!n
!n cos(!nt) =
F0t
2m
cos(!nt)
A velocidade esta em fase com a excitação.
3.4 Vibração forçada harmonicamente de um sistema dissipativo
O caso mais completo de sistemas de 1 GDL, a EDM é dada por:
mẍ+ cẋ+ kx = F (t)
A resposta total é:
x(t) = xh(t) + xp(t)
A parcela homogênea é obtida utilizando a EDM homogênea, ou seja, sem considerar as
forças externas. Para a parcela particular será considerada uma excitação harmônica do tipo:
F (t) = F0e|!t. Assim:
mẍ+ cẋ+ kx = F0e
|!t
A parte real da solução corresponderá à solução física de x(t).
A solução proposta para encontrar a resposta particular é:
xp(t) = Xe
|!t ẋp(t) = |!Xe
|!t ẍp(t) = �!2Xe|!t
Substituindo na EDM:
m(�!2Xe|!t) + c(|!Xe|!t) + k(Xe|!t) = F0e|!t
(�m!2 + |c! + k)Xe|!t = F0e|!t ÷ e|!t
(�m!2 + |c! + k)X = F0
Assim a amplitude da resposta particular é dada por:
X =
F0
(k �m!2) + |c! em função dos parâmetros físicos (3.8)
54
De uma forma compacta: Assim a amplitude da resposta particular é dada por:
X = H(|!)F0
Sendo H(|!) uma função de transferência denominada de Função de Resposta em Frequên-
cia (FRF).
Para manipular a Equação (3.8) para parâmetros modais faz-se:
X =
F0
(k �m!2) + |c! ·
1/k
1/k
E utiliza as seguintes relações:
!2
n
=
k
m
;
c!
k
=
c
ccr
· ccr!
k
= ⇣
2
p
km
k
! = 2⇣
r
km
k2
! = 2⇣
!
!n
Obtém-se:
X =
✓
F0
k
◆
1✓
1�
⇣
!
!n
⌘2◆
+ |2⇣ !
!n
em função dos parâmetros modais
X é uma função complexa, portanto possui amplitude e fase. Assim pode-se escrever:
X = |X|e|✓
Sendo
|X| =
p
<{x}2 + ={x}2
✓ = tan�1
✓
={x}
<{x}
◆
A fase ✓ representa o ângulo/fase entre a excitação e a resposta.
Calculando obtém-se as seguintes relações:
|X| =
✓
F0
k
◆
1s✓
1�
⇣
!
!n
⌘2◆2
+
⇣
2⇣ !
!n
⌘2
✓ = tan�1
0
B@
2⇣
⇣
!
!n
⌘
1�
⇣
!
!n
⌘2
1
CA
Como:
xp(t) = Xe
|!t = |X|e�|✓e|!t = |X|e|(!t�✓)
55
Adotando:
r =
!
!n
Razão de frequências
Tem-se as expressões finais:
|X| =
✓
F0
k
◆
1p
(1� r2)2 + (2⇣r)2
E,
✓ = tan�1
✓
2⇣r
1� r2
◆
A fim de analisar o comportamento da resposta independente da magnitude da força excita-
dora, pode-se considerar uma amplitude normalizada:
X = H(r, ⇣) · F0
k
Normalizando:
Xk
F0
= H(r, ⇣)
Logo:
|H(r, ⇣)| = 1p
(1� r2)2 + (2⇣r)2
FRF
A resposta particular será dada por:
xp(t) =
F0
k
1p
(1� r2)2 + (2⇣r)2
e|(!t�✓)
A resposta total é:
x(t) = Ae�⇣!nt sin(!dt+ �) +
F0
k
1p
(1� r2)2 + (2⇣r)2
e|(!t�✓)
Sendo:
A =
x0 �X cos ✓
sin�
� = tan�1
✓
!d(x0 �X cos ✓)
v0 + (x0 �X cos ✓)⇣!n � !X sin ✓
◆
Na resposta total, a parcela homogênea é também chamada de parcela transiente, pois
ela irá desaparecer devido aos efeitos do amortecimento. A parcela particular é referida como
56
permanente, pois a contribuição desta parcela para o deslocamento do sistema só terminará se a
força externa for removida.
57
1 %% Forçado dissipativo
2 t = 0:0.01:10;
3 m = 2; c = 5; k = 4000;
4 wn = sqrt(k/m); z = c/(2*m*wn);
5 wd = wn*sqrt(1-z^2);
6 F0 = 50; w = 20; r = w/wn;
7 x0 = 0.1; v0 = 0;
8 X = (F0/k)*(1/sqrt((1-r^2)^2+(2*
z*r)^2));
9 theta = atan((2*z*r)/(1-r^2));
10 xp = X*cos(w*t-theta);
11 phi = atan((wd*(x0-X*cos(theta))
)/(v0+(x0-X*cos(theta))*z*wn-
w*X*sin(theta)));
12 A = (x0-X*cos(theta))/(sin(phi))
;
13 xh = A*exp(-z*wn*t).*sin(wd*t+
phi);
14 xt = xh+xp;
15 subplot(3,1,1)
16 plot(t,xh,'b','Linewidth',2);
grid on
17 xlabel('Tempo [s]'); ylabel('x_h
(t)')
18 subplot(3,1,2)
19 plot(t,xp,'r','Linewidth',2);
grid on
20 xlabel('Tempo [s]'); ylabel('x_p
(t)')
21 subplot(3,1,3)
22 plot(t,xt,'k','Linewidth',2);
grid on
23 xlabel('Tempo [s]'); ylabel('x(t
)')
0 2 4 6 8 10
−0.1
0
0.1
Tempo [s]
x h
(t)
0 2 4 6 8 10
−0.02
0
0.02
Tempo [s]
x p
(t)
0 2 4 6 8 10
−0.1
0
0.1
Tempo [s]
x(
t)
58
3.4.1 Frequência em amplitude máxima
Para o ponto de máximo deriva-se |X| e iguala-se a zero.
@|X|
@r
=
F0
k
· �(8r⇣
2 + 4r(r2 � 1))
2[(r2 � 1)2 + (2⇣r)2]3/2 = 0
Simplificando:
@|X|
@r
=
F0
k
·�1
2
(2(1� r2)(�2r) + 2(2⇣r)(2⇣))
[(1� r2)2 + (2⇣r)2]3/2 = 0
@|X|
@r
=
F0
k
· 2r(1� r
2 � 2⇣2)
[(1� r2)2 + (2⇣r)2]3/2 = 0
Para ser ponto de máximo, ou seja, 2r(1� r2 � 2⇣2) = 0, pode ocorrer basicamente 2 casos:
• r = 0
• 1� r2 � 2⇣2 = 0
Caso 1: r = 0
Para verificar se é ponto de máximo ou mínimo deve-se derivar novamente. Lembrando que
a amplitude normalizada é: |Xk
F0
|. Se:
@2|Xk
F0
|
@r2
> 0 ) ponto de máximo
@2|Xk
F0
|
@r2
< 0 ) ponto de mínimo
Logo:
@[2r(1� r2 � 2⇣2)]
@r
= �6r2 � 4⇣2 + 2 para r = 0
@2|Xk
F0
|
@r2
= 2(1� 2⇣2)
Assim:
Mínimo:
@2|Xk
F0
|
@r2
> 0 ) 1� 2⇣2 > 0 ) ⇣ <
p
2
2
Máximo:
@2|Xk
F0
|
@r2
< 0 ) 1� 2⇣2  0 ) ⇣ �
p
2
2
59
Caso 2: 1� r2 � 2⇣2 = 0
r2 = 1� 2⇣2 ) r =
p
1� 2⇣2 ) !
!n
=
p
1� 2⇣2
! = !n
p
1� 2⇣2
Observe que a amplitude máxima ocorre numa frequência menor que a frequência natural.
Abaixo tem-se a FRF de um sistema de 1GDL variando-se o amortecimento.
1 %% FRF
2 zeta = [0 0.1 0.3 0.5 0.707 0.9
1.1];
3 r = 0:0.01:3;
4 for l = 1:length(zeta)
5 for i = 1:length(r)
6 H(i,l) = 1/sqrt((1-(r(i)
)^2)^2+(2*zeta(l)*r(i
))^2);
7 [Hmax,ind] = max(H);
8 end
9 end
10 figure
11 plot(r,H,'LineWidth',2)
12 xlabel('r = \omega/\omega_n')
13 ylabel('Amplitude Normalizada')
14 legend('\zeta = 0','\zeta = 0.1'
,'\zeta = 0.3','\zeta = 0.5',
'\zeta = 0.707','\zeta = 0.9'
,'\zeta = 1.1')
15 ylim([0 6]);grid on;hold on;
16 plot(r(ind(1:5)),Hmax(1:5),'ko')
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
6
r = ω/ωn
Am
pl
itu
de
 N
or
m
al
iz
ad
a
 
 
ζ = 0
ζ = 0.1
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.707
ζ = 0.9
ζ = 1.1
3.4.2 Características do ângulo de fase (✓)
Para um sistema não amortecido, ou seja, ⇣ = 0, o ângulo de fase é 0� para 0 < r < 1 e 180�
para r > 1. Antes da ressonância (r = !/!n = 1) a resposta do sistema está na mesma direção da
excitação, após passar pela ressonância a resposta está em oposição de fase com a excitação.
60
Para sistemas amortecidos, tem-se:
• Para ⇣ > 0 e 0 < r < 1, o ângulo de fase é dado por 0� < ✓ < 90�. A resposta se atrasa em
relação à excitação.
• Para ⇣ > 0 e r > 1, o ângulo de fase é dado por 90� < ✓ < 180�. A resposta se adianta em
relação à excitação.
• Para ⇣ > 0 e r = 1, o ângulo de fase é 90�. A resposta está defasada de 90� em relação à
excitação.
• Para ⇣ > 0 e r � 1, ✓ ! 180�.
Abaixo tem-se a representação da fase ✓ da FRF de um sistema de 1GDL variando-se o
amortecimento.
1 %% Fase (theta)
2 zeta = [0 0.1 0.3 0.5 0.707 0.9
1.1];
3 r = 0:0.01:3;
4 for l = 1:length(zeta)
5 for i = 1:length(r)
6 theta(i,l) = atan2((2*
zeta(l)*r(i)),(1-(r(i
))^2));
7 end
8 end
9 figure
10 plot(r,theta*180/pi,'LineWidth'
,2)
11 xlabel('r = \omega/\omega_n')
12 ylabel('\theta')
13 legend('\zeta = 0','\zeta = 0.1'
,'\zeta = 0.3','\zeta = 0.5',
'\zeta = 0.707','\zeta = 0.9'
,'\zeta = 1.1','Location','
SouthEast')
14 grid on; ylim([0 200]);
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Fase
r = ω/ωn
θ
 
 
ζ = 0
ζ = 0.1
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.707
ζ = 0.9
ζ = 1.1
61
Observe que todos os sistemas invertem de fase em r = 1. Com amortecimento a inversão de
fase é mais suave. Uma vez que a obtenção da FRF pode ser feita experimentalmente, o gráfico de
fase é útil para identificar regiões de ressonância, mesmo que as frequências sejam próximas.
3.4.3 Transmissibilidade de força (da massa para o solo)
Seja o sistema vibratório:O diagrama de corpo livre é:
A EDM é dada por:
mẍ(t) + cẋ(t) + kx(t) = F (t)
A força é transmitida para base através das molas e amortecedores, assim a força transmitida
é:
FT (t) = cẋ(t) + kx(t) (3.9)
Considerando a força harmônica do tipo: F (t) = F0e|!t.
A solução particular será: xp(t) = Xe|!t.
62
Substituindo na Equação (3.9):
FT (t) = c(|!Xe
|!t) + k(Xe|!t)
FT (t) = (k + |c!)Xe
|!t
Sendo:
X = |X|e|✓
✓ = tan�1
⇣!c
k
⌘
= tan�1(2⇣r)
O módulo da força transmitida é:
|FT | =
p
<{FT}2 + ={FT}2
|FT | =
p
(kX)2 + (c!X)2 = X
p
k2 + (c!)2
Assim:
FT (t) = |FT |e|!t =
p
k2 + (c!)2Xe|!t
A força máxima ocorre quando e|!t = 1, assim:
FT = |FT | =
p
k2 + (c!)2X
Foi visto que:
|X| = F0p
(k �m!2)2 + (c!)2
Assim, a expressão da força transmitida máxima é:
FT =
F0
p
k2 + (c!)2p
(k �m!2)2 + (c!)2
Em parâmetros modis, e normalizando:
FT
F0
=
p
1 + (2⇣r)2p
(1� r2)2 + (2⇣r)2
Transmissibilidade de força para o solo
Essa transmissibilidade representa o quanto da força aplicada à massa é transmitida para o
solo.
63
1 % Transmis. de força da massa
para o solo
2 zeta = [0 0.1 0.3 0.5 0.707 1];
3 r = 0:0.01:3;
4 for l = 1:length(zeta)
5 for i = 1:length(r)
6 FT(i,l) = sqrt((1+(2*
zeta(l)*r(i))^2)
/((1-(r(i))^2)^2+(2*
zeta(l)*r(i))^2));
7 [Hmax,ind] = max(FT);
8 end
9 end
10 figure
11 plot(r,FT,'LineWidth',2)
12 xlabel('r = \omega_b/\omega_n')
13 ylabel('Amplitude Normalizada (|
F_T|/F_0)')
14 legend('\zeta = 0','\zeta = 0.1'
,'\zeta = 0.3','\zeta = 0.5',
'\zeta = 0.707','\zeta = 1')
15 ylim([0.01 6]);grid on;hold on;
16 plot(sqrt(2),1,'ko','MarkerSize'
,8,'MarkerFaceColor','r')
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
r = ωb/ωn
Am
pl
itu
de
 N
or
m
al
iz
ad
a 
(|F
T|
/F
0)
 
 
ζ = 0
ζ = 0.1
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.707
ζ = 1
Quando o amortecimento é nulo, a transmissibilidade se resume a:
FT
F0
=
1
|(1� r2)|
Ficando entendido que o valor de r a ser usado é sempre maior que
p
2 para haver isolamento.
64
Razão de frequência onde a amplitude é máxima
Para se obter o ponto de inflexão:
@
⇣
FT
F0
⌘
@r
=
4⇣2rp
1 + (2⇣r)2
p
(1� r2)2 + (2⇣r)2
�
p
1 + (2⇣r)2(�4r + 4r3 + 8⇣2r)
2[1� 2r2 + r4 + 4⇣2r2]3/2 = 0
@
⇣
FT
F0
⌘
@r
= �2 r(2⇣
2r4 � 1 + r2)p
1 + (2⇣r)2[1� 2r2 + r4 + 4⇣2r2]3/2
= 0
Ponto de máximo ou mínimo:
• r = 0
• 2⇣2r4 � 1 + r2 = 0
No caso onde 2⇣2r4 � 1 + r2 = 0 e fazendo r2 = a, tem-se:
2⇣2a2 + a� 1 = 0
a1,2 =
�1±
p
1 + 8⇣2
4⇣2
a1 ) resposta Real
a2 ) resposta complexa
Utilizando a raíz real, o ponto de máxima amplitude é:
r =
q
�1 +
p
1 + 8⇣2
2⇣
rmáx < 1
Exercício:
Seja uma máquina com o peso de 1000N e suportada por molas com rigidez total de a
80000N/m, tem uma força perturbadora de 300N a uma frequência de rotação de 3000rpm. Su-
pondo um fator de amortecimento de 0,20, determinar:
a) amplitude do movimento.
b) transmissibilidade.
c) força transmitida.
Vinicius Silva
66
3.5 Excitação pela base
Muitas vezes máquinas ou parte de máquinas são harmonicamente excitadas através de apoio
elásticos, que podem ser modelados por molas e amortecedores. Por exemplo, um sistema de sus-
pensão de um automóvel pode ser excitado harmonicamente pela superfície de uma estrada.
Seja o sistema vibratório com excitação harmônica pela base:
EDM: mẍ+ c(ẋ� ẏ) + k(x� y) = 0.
Assumindo o movimento da base harmonicamente na forma: y(t) = Y e|!bt. A solução parti-
cular proposta fica:
xp(t) = Xe
|!bt; ẋp(t) = |!bXe
|!bt; ẍp(t) = �!2bXe|!bt
Substituindo na EDM:
m(�!2
b
Xe|!bt) + c(|!bXe
|!bt � |!bY e|!bt) + k(Xe|!bt � Y e|!bt) = 0
⇥
�!2
b
mX + |!bc(X � Y ) + k(X � Y )
⇤
e|!bt = 0
�!2
b
mX + |!bcX � |!bcY + kX � kY = 0
(�!2
b
m+ |!bc+ k)X = (|!bc+ k)Y
X =
k + |!bc
(k � !2
b
m) + |!bc
Y
Escrevendo em função de r e ⇣:
X =
1 + |2⇣r
(1� r2) + |2⇣rY
67
X é uma função complexa, assim: X = |X|e|✓.
X =
Y + |2⇣rY
(1� r2) + |2⇣r ·
(1� r2)� |2⇣r
(1� r2)� |2⇣r
X =
Y � Y r2 � |2⇣rY + |2⇣rY � |2⇣r3Y + (2⇣r)2Y
(1� r2)2 + (2⇣r)2
X =
Y (1� r2 + (2⇣r)2)� |2⇣r3Y
(1� r2)2 + (2⇣r)2
<{X} = 1� r
2 + (2⇣r)2
(1� r2)2 + (2⇣r)2Y
={X} = � 2⇣r
3
(1� r2)2 + (2⇣r)2Y
|X| =
p
<{X}2 + ={X}2
✓ = tan�1
✓
={X}
<{X}
◆
Assim:
|X|
Y
=
s
1 + (2⇣r)2
(1� r2)2 + (2⇣r)2 Transmissibilidade de deslocamento
✓ = tan�1
✓
2⇣r3
(1� r2) + (2⇣r)2
◆
Por fim a resposta particular fica:
xp(t) = Y
s
1 + (2⇣r)2
(1� r2)2 + (2⇣r)2 · e
|

!bt�tan�1
✓
2⇣r3
(1�r2)2+(2⇣r)2
◆�
A transmissibilidade de deslocamento representa a razão da magnitude da máxima resposta
à magnitude do deslocamento de entrada. Ela é usada para descrever como o movimento é
transmitido da base para a massa em função da razão de frequências (r = !b/!n).
68
1 % Transmissibilidade de
deslocamente do base para a
massa
2 zeta = [0 0.1 0.3 0.5 0.707 1];
3 r = 0:0.01:3;
4 for l = 1:length(zeta)
5 for i = 1:length(r)
6 X(i,l) = sqrt((1+(2*zeta
(l)*r(i))^2)/((1-(r(i
))^2)^2+(2*zeta(l)*r(
i))^2));
7 theta(i,l) = atan2(2*
zeta(l)*r(i)^3,1-(r(i
))^2+(2*zeta(l)*r(i))
^2);
8 [Hmax,ind] = max(X);
9 end
10 end
11 figure
12 plot(r,X,'LineWidth',2)
13 xlabel('r = \omega_b/\omega_n')
14 ylabel('Amplitude Normalizada (|
X|/Y)')
15 legend('\zeta = 0','\zeta = 0.1'
,'\zeta = 0.3','\zeta = 0.5',
'\zeta = 0.707','\zeta = 1')
16 ylim([0 6]);grid on;hold on;
17 plot(sqrt(2),1,'ko','MarkerSize'
,8,'MarkerFaceColor','r')
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
4
5
6
r = ωb/ωn
Am
pl
itu
de
 N
or
m
al
iz
ad
a 
(|X
|/Y
)
 
 
ζ = 0
ζ = 0.1
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.707
ζ = 1
Para valores de r <
p
2/2, a razão de transmissibilidade é maior que 1, indicando que o
movimento da massa é uma amplificação do movimento da base. E quanto maior o valor de ⇣
menor é a razão de transmissibilidade.
Para valores de r >
p
2/2, a razão de transmissibilidade é menor que 1, e o movimento da
massa terá amplitude menor que a amplitude da base. Em altas frequências de excitação, indepen-
dente do amortecimento, a razão de transmissibilidade tende a zero.
69
O ponto de máxima amplitude ocorrerá em:
r =
q
�1 +
p
1 + 8⇣2
2⇣
Outra quantidade de interesse no problema de excitação pela base é a força transmitida para
a massa como resultado do deslocamento harmônico da base. A força é transmitida para a massa
através das molas e dos amortecedores.
EDM: mẍ+ c(ẋ� ẏ) + k(x� y) = 0.
Adotando: ft(t) = c(ẋ� ẏ) + k(x� y) ) ft(t) = �mẍ.
E propondo: xp(t) = Xe|!bt e ft(t) = FT e|!bt.
Logo:
ft(t) = �mẍ ) FT e|!bt = �m(�!2bXe|!bt)
FT = m!
2
b
X
FT = m!
2
b
✓
k + |!bc
(k � !2
b
m) + |!bc
◆
Y ÷ k
FT
k
=
m
k
!2
b
 
k
k
+ |!bc
k
(k
k
� !2
b
m
k
) + |!bc
k
!
Y
FT = r
2
✓
1 + |2⇣r
(1� r2) + |2⇣r
◆
kY
FT é complexo: FT = |FT |e|✓. Assim, o modulo da amplitude fica:
|FT | = r2
s
1 + (2⇣r)2
(1� r2)2 + (2⇣r)2kY
Normalizando tem-se:
|FT |
kY
= r2
s
1 + (2⇣r)2
(1� r2)2 + (2⇣r)2 Transmissibilidade de força
✓ = tan�1
✓
2⇣r3
(1� r2) + (2⇣r)2
◆
A razão de transmissibilidade de força, representa como a amplitude Y do deslocamento da
base resulta na magnitude da força aplicada na massa. Repare que a força transmitida está em fase
com o deslocamento da massa.
70
1 % Transmissibilidade de força da
base para a massa
2 zeta = [0 0.1 0.3 0.5 0.707 1];
3 r = 0:0.01:3;
4 for l = 1:length(zeta)
5 for i = 1:length(r)
6 FT(i,l) = sqrt((r(i))
^2*(1+(2*zeta(l)*r(i)
)^2)/((1-(r(i))^2)
^2+(2*zeta(l)*r(i))
^2));
7 theta(i,l) = atan2(2*
zeta(l)*r(i)^3,1-(r(i
))^2+(2*zeta(l)*r(i))
^2);
8 [Hmax,ind] = max(FT);
9 end
10 end
11 figure
12 plot(r,FT,'LineWidth',2)
13 xlabel('r = \omega_b/\omega_n')
14 ylabel('Amplitude Normalizada (|
F_T|/kY)')
15 legend('\zeta = 0','\zeta = 0.1'
,'\zeta = 0.3','\zeta = 0.5',
'\zeta = 0.707','\zeta = 1')
16 ylim([0.01 5]);grid on;hold on;
17 plot(sqrt(2),sqrt(2),'ko','
MarkerSize',8,'
MarkerFaceColor','r')
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
r = ωb/ωn
Am
pl
itu
de
 N
or
m
al
iz
ad
a 
(|F
T|
/k
Y)
 
 
ζ = 0
ζ = 0.1
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.707
ζ = 1
Diferente da transmissibilidade de deslocamento,a força transmitida, necessariamente não
decresce para r >
p
2. Na verdade, à medida que o amortecimento cresce, a força transmitida
aumenta drasticamente para r >
p
2.
As expressões para transmissibilidade de força e deslocamento, são muito úteis no projeto de
sistemas que protegem de vibrações indesejáveis.
71
3.6 Desbalanceamento rotativo
É uma fonte muito comum de vibrações em máquinas rotativas. Muitas máquinas e disposi-
tivos tem componentes rotativos, usualmente acionados por motores elétricos. Pequenas irregulari-
dades na distribuição de massa nos componentes rotativos podem causar vibração. Isto é chamado
de desbalanceamento rotativo.
Seja o sistema vibratório com desbalanceamento rotativo:
O disco desbalanceado pode ser analisado com se segue:
Na análise à partir da posição de equilíbrio estático o peso é compensado pelas molas.
Para a massa girante:
X
~F = m~aG
Sendo ~aG a aceleração absoluta do centro de massa. Para decompor o movimento, considere
o sistema de coordenadas móvel (x1, y1) fixo ao ponto O (centro de giro). Desta forma a aceleração
72
absoluta pode ser escrita como:
~aG = ~aO + ~aG/O
Sendo ~aO a aceleração absoluta da origem do sistema de coordenadas móvel e ~aG/O a acele-
ração relativa do centro de massa em relação à origem do sistema de coordenadas móvel.
Logo:
~aO = ẍ~j1
~aG/O = ~̇!r ⇥ ~rG/O + ~!r ⇥ (~!r ⇥ ~rG/O) para !r constante
~aG/O = ~!r ⇥ (~!r ⇥ ~rG/O) = !r~k ⇥ (!r~k ⇥ e[cos(!rt)~i1 + sin(!rt)~j1])
~aG/O = !r~k ⇥ [e!r cos(!rt)~j1 � e!r sin(!rt)~i1]
~aG/O = �e!2r cos(!rt)~i1 � e!2r sin(!rt)~j1
~aG/O = �!2re(cos(!rt)~i1 + sin(!rt)~j1)
Assim:
X
~F = ~F = m~aG
~F = m{ẍ~j1 + [�!2re(cos(!rt)~i1 + sin(!rt)~j1)]}
Para a massa não girante:
X
~Fy1 = Mbay1 ) �Fy1 � cẋ� kx = Mbẍ
Mbẍ+ cẋ+ kx = �[mẍ�m!2re sin(!rt)]
A EDM fica:
(Mb +m)ẍ+ cẋ+ kx = m!
2
r
e sin(!rt)
73
A força excitadora é seno, logo a solução proposta é:
xp(t) = X sin(!rt) ou xp(t) = ={Xe|!rt}
pois, e|✓ = cos(✓) + | sin(✓) ) sin(✓) = ={Xe|!rt}
Assim
X =
me!2
r
(k �M!2
r
) + |c!r
Sendo M = Mb+m, me o momento de desbalanceamento, !n =
p
k/(Mb +m) =
p
k/M ,
ccr = 2
p
kM .
Escrevendo em função de r e ⇣:
X =
me
M
r2
(1� r2) + |2⇣r
A transmissibilidade de deslocamento será:
|X|
me
M
=
r2p
(1� r2)2 + (2⇣r)2
Transmissibilidade de deslocamento
✓ = tan�1
✓
2⇣r
1� r2
◆
É possível observar que a deflexão máxima é menor ou igual a 1 para sistemas com ⇣ > 1.
Isto indica que o aumento da amplitude de vibração devido ao desbalanceamento pode ser
eliminado aumentando-se o amortecimento do sistema. No entanto, valores de amortecimento
muito altos não são praticáveis. Se a frequência de rotação !r estiver numa região onde r � 1, o
efeito do desbalanceamento é limitado (autocentragem).
74
1 % Des.b rotativo transmis. de
deslocamento
2 zeta = [0 0.1 0.3 0.5 0.707 1];
3 r = 0:0.01:3;
4 for l = 1:length(zeta)
5 for i = 1:length(r)
6 X(i,l) = (r(i))^2/sqrt
((1-(r(i))^2)^2+(2*
zeta(l)*r(i))^2);
7 theta(i,l) = atan2(2*
zeta(l)*r(i),1-(r(i))
^2);
8 end
9 end
10 figure
11 plot(r,X,'LineWidth',2)
12 xlabel('r = \omega_r/\omega_n')
13 ylabel('Amplitude Normalizada (|
X|/(me/M))')
14 legend('\zeta = 0','\zeta = 0.1'
,'\zeta = 0.3','\zeta = 0.5',
'\zeta = 0.707','\zeta = 1')
15 ylim([0.01 6]);grid on
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
r = ωr/ωn
Am
pl
itu
de
 N
or
m
al
iz
ad
a 
(|X
|/(
m
e/
M
))
 
 
ζ = 0
ζ = 0.1
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.707
ζ = 1
Outra quantidade que se deve analisar é a transmissão de força.
Sabe-se que:
FT =
F0
p
k2 + (c!)2p
(k �m!2)2 + (c!)2
Substituindo F0 por me!2r e m por M , tem-se:
FT =
me!2
r
p
k2 + (c!r)2p
(k �M!2
r
)2 + (c!r)2
Em função de r e ⇣:
FT
mek
M
=
r2
p
1 + (2⇣r)2p
(1� r2)2 + (2⇣r)2
Transmissibilidade de força
75
1 % Desb rotativo transmis. de
força
2 zeta = [0 0.1 0.3 0.5 0.707 1];
3 r = 0:0.01:3;
4 for l = 1:length(zeta)
5 for i = 1:length(r)
6 FT(i,l) = ((r(i))^2*sqrt
(1+(2*zeta(l)*r(i))
^2))/sqrt((1-(r(i))
^2)^2+(2*zeta(l)*r(i)
)^2);
7 end
8 end
9 figure
10 plot(r,FT,'LineWidth',2)
11 xlabel('r = \omega_r/\omega_n')
12 ylabel('Amplitude Normalizada (|
FT|/(mek/M))')
13 legend('\zeta = 0','\zeta = 0.1'
,'\zeta = 0.3','\zeta = 0.5',
'\zeta = 0.707','\zeta = 1')
14 ylim([0.01 6]);grid on;hold on;
15 plot(sqrt(2),2,'ko','MarkerSize'
,8,'MarkerFaceColor','r')
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
r = ωr/ωn
Am
pl
itu
de
 N
or
m
al
iz
ad
a 
(|F
T|
/(m
ek
/M
))
 
 
ζ = 0
ζ = 0.1
ζ = 0.3
ζ = 0.5
ζ = 0.707
ζ = 1
Observe agora que o amortecimento atenua os efeitos da força transmitida na passagem pela
ressonância. Porém em frequências de rotação maiores que a frequência natural, o aumento do
amortecimento aumenta fortemente a força transmitida.
3.7 Lista de exercícios
1) Um pequeno motor possui massa m = 1,2 kg e está montado sobre molas de rigidez total k =
8500 N/m. Determinar a frequência natural em rad/s, Hz e rpm (rotações por minuto).
2) Um oscilador harmônico possui massa m = 10 kg e período de vibração natural, medido por um
osciloscópio, igual a 35ms. Determine a constante da mola.
3) Uma pequena máquina rotativa de massa m = 1 kg está apoiada sobre uma suspensão de rigidez
Vinicius Silva
80
4 VIBRAÇÃO DE SISTEMAS DE 2GDL
Anteriormente foi introduzido o modelo discretizado mais simples de um sistema, chamado
de sistema de 1 grau de liberdade, capaz de descrever o comportamento do mesmo de forma mais
básica possível. A vantagem desta abordagem é que ela permite entender muito dos conceitos
básicos de vibrações e seus significados físicos.
Contudo, a maior parte dos sistemas e estruturas reais não podem ser modelados satisfato-
riamente assumindo-se um modelo de 1GDL. Ao contrário, estas estruturas são sistemas elásticos
contínuos que possuem um número infinito de graus de liberdade. Portanto, a sua análise exige
uma aproximação que consiste em descrever o seu comportamento dinâmico através da utilização
de um número finito de graus de liberdade, tantos quanto sejam necessários para garantir a precisão
desejada.
Assim, a escolha adequada das coordenadas utilizadas para a descrição do movimento é uma
decisão de fundamental importância da qual depende o sucesso, ou não, das análises subsequentes.
Normalmente sistemas contínuos são aproximados por sistemas de massas concentradas (discreti-
zados) de múltiplos graus de liberdade. Considerando o sistema de 2GDL:
Figura 4.1: Sistema de 2 GDL.
Obtenha as equações de movimento em função das coordenadas x1 e x2.
Resolução:
82
De uma forma compacta e genéricas, as EDMs podem ser escritas na forma matricial como:
[M] ¨{x}+ [C] ˙{x}+ [K]{x} = {F}
Considerando a vibração livre de sistemas conservativos, ou seja, [C] = [0] e {F} = {0}, as
equações do sistema anterior fica:
"
m1 0
0 m2
#(
ẍ1
ẍ2
)
+
"
k1 + k2 �k2
�k2 k2 + k3
#(
x1
x2
)
=
(
0
0
)
Propondo um solução do tipo:
{x(t)} = {X}est )
(
x1(t)
x2(t)
)
=
(
X1
X2
)
est
É importante observar que esta solução impõem que todo o sistema vibre harmonicamente na
mesma frequência. Experimentalmente, isto é o que se observa quando o sistema oscila em uma de
suas frequências naturais.
Derivando a solução proposta tem-se:
{ẋ(t)} = s{X}est {ẍ(t)} = s2{X}est
Substituindo a solução proposta e suas derivadas na EDM, obtém-se:
 "
m1 0
0 m2
#
s2 +
"
k1 + k2 �k2
�k2 k2 + k3
#!(
X1
X2
)
est =
(
0
0
)
Como est não vale zero em todos os instantes de tempo. Logo:
 "
m1 0
0 m2
#
s2 +
"
k1 + k2 �k2
�k2 k2 + k3
#!(
X1
X2
)
=
(
0
0
)
Escrevendo de uma forma genérica:
�
[M]s2 + [K]
�
{X} = {0} Problema de autovalor
4.1 Exemplos:
Obtenha a equação de movimento.
89
4.2 Autovalores e autovetores de uma matriz
Por definição, são autovetores de uma matriz os vetores que se projetam sobre si mesmos na
transformação linear definida pela matriz, sendo os autovalores as relações que existem entre as
normas dos vetores projetados e dos originais. Portanto, são auto vetores de umamatriz [A]N⇥N, N
valores � que satisfazem a equação:
[A]{X} = �{X}
([A]� �[I]) {X} = {0}
Sendo � e {X} as incógnitas. Esta equação representa um sistema homogêneo, e portanto
terão soluções não triviais somente se o determinante for nulo. Para chegar a esta conclusão seja:
Se a solução {X} existe, então r{X}, sendo r uma constante arbitrária diferente de zero, também
existe. Pré multiplicando os dois lados por ([A]� �[I])�1, obtém-se:
([A]� �[I])�1 ([A]� �[I])| {z }
[I]
{X} = {0}
Portanto: [I]{X} = {0} ) {X} = {0} solução trivial!
Uma vez que a solução trivial não interessa pois ela indica ausência de movimento, para
evitar cair na solução trivial deve-se garantir que o sistema não tenha inversa. Pela definição:
[A]�1 =
adj ([A])
det ([A])
Portanto, para que uma matriz não possua inversa, seu determinante deve ser nulo.
Para se obter a solução:
det
�
[M]s2[K]
�
= 0
A expressão resultante da expansão deste determinante é chamado de equação ou polinômio
característico. Trata-se de um polinômio de ordem 2 ⇥ N�GDL cujas as raízes são os autovalores
do sistema e que, por sua vez, estão correlacionadas com as frequências naturais.
Neste caso o polinômio característico é dado por:
m1m2s
2 + [m1(k2 + k3) +m2(k1 + k2)]s
2 + k1k2 + k1k3 + k2k3 = 0
90
Cujas raízes (autovalores) são dadas por:
s21,2 = �
✓
k1 + k2
2m1
+
k2 + k3
2m2
◆
±
s✓
k1 + k2
2m1
� k2 + k3
2m2
◆2
+
k22
m1m2
Sendo
s1 = �|!1; s⇤1 = +|!1; s2 = �|!2; s⇤2 = +|!2
As frequências naturais do sistema são !1 e !2.
Uma vez obtidos os autovalores do sistema (sr, com r = 1, 2), é necessário determinar os
autovetores associados ({X}r). Estes autovetores constituem o terceiro parâmetro modal e são
chamados de modos ou formas modais do sistema vibratório.
Assim, considera-se novamente o sistema de equações algébricas:
 "
m1 0
0 m2
#
s2 +
"
k1 + k2 �k2
�k2 k2 + k3
#!(
X1
X2
)
=
(
0
0
)
Reduzindo:
"
m1s2 + k1 + k2 �k2
�k2 m2s2 + k2 + k3
#(
X1
X2
)
=
(
0
0
)
Eq. linearmente dependente (4.1)
Desta forma não é possível obter os valores de X1 e X2, apenas uma relação entre eles
(modos). Para se obter os autovetores basta substituir o valor de sr naEquação (4.1) e encontrar
o valor de {X}r correspondente.
O autovalor (modo) associado ao autovetor s21 é:
"
m1s21 + k1 + k2 �k2
�k2 m2s21 + k2 + k3
#(
X1
X2
)
1
=
(
0
0
)
Logo o autovetor associado ao primeiro autovalor, ou seja, o modo de vibração na primeira
frequência natural é:
X21
X11
=
m1s21 + k1 + k2
k2
=
k2
m2s21 + k2 + k3
= u1 (4.2)
E o autovetor associado ao segundo autovalor, ou seja, o modo de vibração na segunda
frequência natural é:
X22
X12
=
m1s22 + k1 + k2
k2
=
k2
m2s22 + k2 + k3
= u2 (4.3)
91
As equações 4.2 e 4.3 representam as amplitudes relativas da resposta de cada massa quando
o sistema está vibrando em cada uma das frequências naturais (!1 e !2). Estas razões definem
os modos de vibrar do sistema. As frequências naturais, os fatores de amortecimento e os modos
próprios definem os parâmetros modais do sistema.
Utilizando-se o princípio da superposição, pode-se escrever a resposta temporal do sistema
da seguinte forma:
(
x1(t)
x2(t)
)
= A1
(
X1
X2
)
1
e�|!1t + A2
(
X1
X2
)
2
e+|!1t + A3
(
X1
X2
)
1
e�|!2t + A4
(
X1
X2
)
2
e+|!2t
Utilizando a relação de Euler:
(
x1(t)
x2(t)
)
= B1
(
X1
X2
)
1
cos(!1t) + B2
(
X1
X2
)
2
sin(!1t) + B3
(
X1
X2
)
1
cos(!2t) + B4
(
X1
X2
)
2
sin(!2t)
Sendo: B1 = (A1 + A2), B2 = |(�A1 + A2), B3 = (A3 + A4) e B4 = |(�A3 + A4).
A resposta pode ser escrita na forma:
(
x1(t)
x2(t)
)
= C1
(
X1
X2
)
1
cos(!1t� �1) + C2
(
X1
X2
)
2
cos(!2t� �2)
Em cada uma das formas de apresentação da resposta do sistema existem quatro constantes
que são determinadas a partir das condições iniciais de deslocamento e velocidade de cada uma das
massas.
Exemplo
Para o exemplo da figura abaixo, determine as frequências naturais, os modos de vibrar e as
respostas livre, considerando os dados físicos: m1 = 10kg, m2 = 1kg, k1 = 30N/m, k2 = 5N/m,
k3 = 0N/m, c1,2,3 = 0Ns/m. Com as seguintes condições iniciais: x1(t = 0) = 1, x2(t = 0) = 0,
ẋ1(t = 0) = 0 e ẋ2(t = 0) = 0.
94
Solução computacional:
1 %% Autovetores e Autovalores
2 M = [10 0;0 1];
3 K = [35 -5;-5 5];
4 [X,s] = eig(K,-M);
5 wn = abs(sqrt(diag(s)));
6 w1 = wn(1)
7 w2 = wn(2)
8 X1 = X(:,1)
9 X2 = X(:,2)
1 % Resposta livre 2GDL
2 t = 0:0.1:30;
3 x1 = (5/7)*cos(1.58*t)+(2/7)*cos
(2.45*t);
4 x2 = (10/7)*cos(1.58*t)-(10/7)*
cos(2.45*t);
5 plot(t,x1,'b',t,x2,'r','
linewidth',2)
6 legend('massa 1','massa 2')
7 xlabel('Tempo')
8 ylabel('Amplitude') 0 5 10 15 20 25 30
−3
−2
−1
0
1
2
3
Tempo
Am
pl
itu
de
 
 
massa 1
massa 2
95
1 %% Animação do movimento
2 %Aguarde o codigo terminar, logo após uma janela animada restará
3 %feche esta janela e um video será salvo
4 t=0:0.1:30;
5 x1=(5/7)*cos(1.58*t)+(2/7)*cos(2.45*t);
6 x2=(10/7)*cos(1.58*t)-(10/7)*cos(2.45*t);
7 for i = 1:length(t)
8 pause(0.1);clf;
9 plot(x1(i),ones(length(t),1),'MarkerFaceColor',[0 0 1],'
MarkerEdgeColor',[0 0 1],'MarkerSize',20,'Marker','square
');
10 hold all
11 plot(3+x2(i),ones(length(t),1),'MarkerFaceColor',[1 0 0],'
MarkerEdgeColor',[1 0 0],'MarkerSize',20,'Marker','square
');
12 ylim([0 2]);xlim([-3 7]);F(i)=getframe;
13 end
14 movie(F,4,5);
15 movie2avi(F,['resposta sistema 2GDL','.avi']);
Observações gerais:
• Caso geral de sistemas 1GL: movimento resultante é harmônico;
• Caso geral de sistemas 2GL: movimento periódico não harmônico. Pode ser harmônico de-
pendendo das condições iniciais.
4.3 Etapas para solução da vibração livre
1. Obter a EDM e escrever na forma matricial.
2. Propor solução do tipo harmônica e substituir esta e suas derivadas na EDM na forma matri-
cial.
3. Montar o problema de autovalor.
4. Obter o polinômio característico, encontrar suas raízes (autovalores) e, consequentemente, as
frequências naturais do sistema.
96
5. Substituir cada um dos autovalores na equação do problema de autovalor e obter os autove-
tores (modos).
6. Escrever a resposta temporal e aplicar as condições iniciais.
7. Obter a resposta temporal final.
4.4 Sistema semi-definido
Considere que o sistema da Figura 4.1 possua k1 = k3 = 0, a vibração livre conservativa
pode ser analisada conforme a Figura 4.2.
Figura 4.2: Sistema semi-definido.
O problema de autovalor pode ser escrito na forma:
 "
m1 0
0 m2
#
s2 +
"
k2 �k2
�k2 k2
#!(
X1
X2
)
=
(
0
0
)
E o polinômio característico torna-se:
m1m2s
4 + (m1 +m2)k2s
2 = 0
Cujas raízes são:
s21 = 0; s
2
2 = �
m1 +m2
m1m2
k2
Percebe-se que uma das frequências naturais do sistema é igual a zero. Isso significa que o
sistema, quando operando neste modo, movimenta-se em uma trajetória retilínea e com velocidade
constante (ambas as massas) e sem movimento oscilatório. Isto ocorre devido à falta de vinculação
do sistema e um referencial fixo. Todos os sistema que possuem uma ou mais frequências naturais
iguais a zero são denominados sistemas semi-definidos.
97
4.5 Sistema não conservativo
Seja o sistema:
A EDM na forma matricial fica:
"
m1 0
0 m2
#(
ẍ1
ẍ2
)
+
"
c1 + c2 �c2
�c2 c2 + c3
#(
ẋ1
ẋ2
)
+
"
k1 + k2 �k2
�k2 k2 + k3
#(
x1
x2
)
=
(
0
0
)
Propõem-se a solução:
{x(t)} = {X}est {ẋ(t)} = s{X}est {ẍ(t)} = s2{X}est
Substituindo na EDM:
 "
m1 0
0 m2
#
s2 +
"
c1 + c2 �c2
�c2 c2 + c3
#
s+
"
k1 + k2 �k2
�k2 k2 + k3
#!(
X1
X2
)
est =
(
0
0
)
De uma forma genérica:
�
[M]s2 + [C]s+ [K]
�
{X} = {0}
Para que o sistema tenha solução diferente da trivial:
det
�
[M]s2 + [C]s+ [K]
�
= 0
Calculando:
a4s
4 + a3s
3 + a2s
2 + a1s+ a0 = 0
98
Sendo:
a4 = m1m2
a3 = m1(c2 + c3) +m2(c1 + c2)
a2 = m1(k2 + k3) +m2(k1 + k2) + (c1 + c2)(c2 + c3)� c22
a1 = (c1 + c2)(k2 + k3) + (c2 + c3)(k1 + k2)� 2c2k2
a0 = (k1 + k2)(k2 + k3)� k22
Existem 3 combinações de possíveis soluções (raízes) para o polinômio característico.
• quatro raízes reais e negativas.
• duas raízes reais e negativas e um par de raízes complexasconjugadas com parte real negativa.
• dois pares de raízes complexas conjugadas com parte real negativa.
A última representa o caso de sistemas subamortecidos. Este caso será melhor analisado um
vez que grande parte das estruturas encontradas na prática são pouco amortecidas.
Assim, seja as 4 raízes do polinômio característico dadas por:
s1 = ��1 + |!d1 s2 = ��2 + |!d2
s⇤1 = ��1 � |!d1 s⇤2 = ��2 � |!d2
Analogamente ao que foi feito em sistemas de 1 GDL, pode-se escrever cada um dos autova-
lores da seguinte forma:
sr = ��r + |!dr
Sendo:
�r = ⇣r + !nr Caráter oscilatório
!dr = !nr
p
1� ⇣2
r
Decaimento da resposta
A frequência natural já tinha sido mostrada que varia de acordo com o modo (!nr ) sendo o r
o indicador do modo. Porém é importante observar que o fator de amortecimento também é modal
(⇣r).
99
4.6 Sistema forçado harmonicamente
Assim como para um sistema linear de 1 GDL, a resposta forçada de um sistema linear
com muitos GDL é dada pela soma das respostas livre e forçada. A resposta livre depende das
propriedades do sistema e das condições iniciais, enquanto a resposta forçada depende da forma
da excitação externa. No caso de excitações periódicas, a resposta livre é geralmente ignorada
por constituir um transiente. Já no caso de excitações do tipo choque, a resposta livre é muito
importante.
Considerando o caso de um sistema massa–mola–amortecedor submetido a uma força harmô-
nica. O modelo matemático mais geral de um sistema de 2 GDL é:
"
m11 m12
m21 m22
#(
ẍ1
ẍ2
)
+
"
c11 c12
c21 c22
#(
ẋ1
ẋ2
)
+
"
k11 k12
k21 k22
#(
x1
x2
)
=
(
F1
F2
)
Considerando a força harmônica do tipo: Fi(t) = F0ie|!t, sendo i = 1, 2 (neste caso com 2
GDL) indica o grau de liberdade considerado. Pode-se escrever a resposta permanente na forma:
xpi(t) = Xie
|!t i = 1, 2
Observe que agora Xi não indica os modos de vibrar, está se estudando a resposta particular,
assim, indica a amplitude de vibração devido à força excitadora.
Substituindo esta solução e suas derivadas na EDM, tem-se:
"
�!2m11 + |!c11 + k11 �!2m12 + |!c12 + k12
�!2m21 + |!c21 + k21 �!2m22 + |!c22 + k22
#(
X1
X2
)
=
(
F01
F02
)
Os termos da matriz podem ser escritos de uma forma geral:
Zrs(|!) = �!2mrs + |!crs + krs r, s = 1, 2
Assim a EDM é reescrita como:
[Z(|!)]~X = ~F0
Sendo:
[Z(|!)] =
"
Z11(|!) Z12(|!)
Z21(|!) Z22(|!)
#
~X =
(
X1
X2
)
~F0 =
(
F01
F02
)
100
Para encontrar as amplitudes deve-se calcular a inversa da matriz [Z(|!)].
[Z(|!)]~X = ~F0 ) ~X = [Z(|!)]�1~F0
Logo:
8
<
:
X1(|!)
X2|!)
9
=
; =
2
4
Z22
Z11Z22�Z21Z12
�Z12
Z11Z22�Z21Z12
�Z21
Z11Z22�Z21Z12
Z11
Z11Z22�Z21Z12
3
5
8
<
:
F01
F02
9
=
;
Assim as amplitudes pode ser escritas como:
X1(|!) =
Z22F01 � Z12F02
Z11Z22 � Z21Z12
X2(|!) =
Z11F02 � Z21F01
Z11Z22 � Z21Z12
Finalmente a solução particular será:
xp1(t) =
✓
Z22F01 � Z12F02
Z11Z22 � Z21Z12
◆
e|!t
xp2(t) =
✓
Z11F02 � Z21F01
Z11Z22 � Z21Z12
◆
e|!t
Exemplo:
Obter as frequências naturais e as amplitudes
X1(|!) e X2(|!) do sistema da figura ao lado.
103
1 %% FRF exercício
2 wn1 = 5;wn2 = 9;
3 r = 0:0.01:3; %expressões
deduzidas para r = w/wn1
4 for i = 1:length(r)
5 H1(i) = (2-(r(i))^2)/(((wn2/
wn1)^2-(r(i))^2)*(1-(r(i)
)^2));
6 H2(i) = 1/(((wn2/wn1)^2-(r(i
))^2)*(1-(r(i))^2));
7 end
8 figure
9 plot(r,20*log10(abs(H1)),'b','
linewidth',2)
10 grid on
11 xlabel('r = \omega/\omega_{n_1}'
)
12 ylabel('Amplitude Normalizada (|
X_1|k/F)')
13 figure
14 plot(r,20*log10(abs(H2)),'r','
linewidth',2)
15 xlabel('r = \omega/\omega_{n_1}'
)
16 ylabel('Amplitude Normalizada (|
X_2|k/F)')
17 grid on
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
r = ω/ωn
1
Am
pl
itu
de
 N
or
m
al
iz
ad
a 
(|X
1|k
/F
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
r = ω/ωn
1
Am
pl
itu
de
 N
or
m
al
iz
ad
a 
(|X
2|k
/F
)
4.7 Absorvedores de vibração
Se um sistema mecânico for excitado por uma força de frequência constante, que opera nas
proximidade da ressonância, a amplitude de vibração aumenta, atingindo valores que podem even-
tualmente provocar falha do sistema.
A fim de solucionar tal situação, pode-se tentar:
• Mudar a massa e/ou rigidez do sistema para sair da condição de ressonância, o que nem
104
sempre é prático ou possível, ou ainda, adicionar amortecimento para diminuir os picos na
região de ressonância.
• Na tentativa de reduzir os efeitos da transmissibilidade, pode-se projetar isoladores entre a
base e a máquina.
Uma outra possibilidade é a utilização de absorvedores dinâmicos de vibração. O uso de um
absorvedor está indicado para máquinas que operam com velocidade constante. Basicamente o ab-
sorvedor adiciona 1 grau de liberdade ao sistema. Existem basicamente dois tipos de absorvedores
de vibração:
• Sintonizados: utilizados para minimizar a vibração da massa principal (máquina) em uma
frequência específica.
• Não sintonizados: utilizados para minimizar a vibração da massa principal em uma grande
faixa de frequências.
Os absorvedores ainda podem se amortecidos ou não.
4.7.1 Equacionamento
Considere o sistema de 2 GDL mostrado na Figura 4.3. Assume-se que a massa m1 não
apresenta movimento de rotação, somente de translação.
Figura 4.3: Esquema da massa principal e absorvedor.
105
A EDM deste sistema na forma matricial é:
"
m1 0
0 m2
#(
ẍ1
ẍ2
)
+
"
c1 + c2 �c2
�c2 c2
#(
ẋ1
ẋ2
)
+
"
k1 + k2 �k2
�k2 k2
#(
x1
x2
)
=
(
F1
0
)
O problema de absorção de vibração através da utilização de um absorvedor, consiste em
projetar um sistema auxiliar (de massa m2, rigidez k2 e coeficiente de amortecimento c2), com
o intuito de minimizar a vibração apresentada pelo sistema principal (máquina) ou estrutura de
massa m1 e apoiada sobre calços de rigidez k1 e coeficiente de amortecimento c1. Esta máquina ou
estrutura está sendo excitada por uma força excitadora harmônica F1(t).
Considerando a excitação F1(t) aplicada na massa m1 do tipo: F1(t) = F0e|!t.
Utilizando os resultados vistos na Seção 4.6, pode-se escrever:
X1(|!) =
Z22F01 � Z12F02
Z11Z22 � Z21Z12
) X1(|!)
F01
=
�m22!2 + |!c22 + k22
Z11Z22 � Z21Z12
X1(|!)
F01
=
�m2!2 + |!c2 + k2
Z11Z22 � Z21Z12
X2(|!) =
Z11F02 � Z21F01
Z11Z22 � Z21Z12
) X2(|!)
F01
=
�(m21!2 + |!c21 + k21)
Z11Z22 � Z21Z12
X2(|!)
F01
=
|!c2 + k2
Z11Z22 � Z21Z12
Sendo
det[A] = Z11Z22 � Z21Z12
det[A] = (�!2m11 + |!c11 + k11)(�!2m22 + |!c22 + k22)�
[(�!2m21 + |!c21 + k21)(�!2m12 + |!c12 + k12)]
det[A] = (�!2m1 + |!(c1 + c2) + (k1 + k2))(�!2m2 + |!c2 + k2)�
[(�!2 · 0 + |!(�c2)� k2)(�!2 · 0 + |!(�c2)� k2)]
det[A] = (�!2m1 + |!(c1 + c2) + k1 + k2)(�!2m2 + |!c2 + k2) + (|!c2 + k2)2
A análise da resposta do sistema pode ser sistematizada através de algumas manipulações das
106
equações anteriores. Para tanto, considere as seguintes definições:
!p =
r
k1
m1
freq. nat. do sistema principal sem absorvedor
!a =
r
k2
m2
freq. nat. do absorvedor sozinho
ccrr = 2mr!nr corf. de amort. crit. associado a massa r
⇣r =
cr
ccrr
razão de amort. associado a massa r
r1 =
!
!p
razão de frequências
r2 =
!
!a
razão de frequências
b =
!a
!p
razão de frequências naturais
µ =
m2
m1
razão de massa
Rearranjando os termos do determinante em parte real e parte imaginária:
det[A] = [(k1 + k2 �m1!2)(k2 �m2!2)� (c1c2 + c22)!2 + c22!2 + k22] +
|[(k1 + k2 �m1!2)!c2 + (k2 �m2!2)!(c1 + c2)� 2!c2k2]
Simplificando
det[A] = [(k1 �m1!2)(k2 �m2!2)� k2m2!2 � c1c2!2] +
|[(k1 �m1!2)!c2 + (k2 �m2!2)!c1 �m2c2!3]
Multiplicando por (m1m2)/(m1m2).
det[A] = m1m2
✓
k1 �m1!2
m1
k2 �m2!2
m2
� k2
m2
m2
m1
!2 � c1
m1
c2
m2
!2
◆�
+
|m1m2
✓
k1 �m1!2
m1
!
c2
m2
+
k2 �m2!2
m2
!
c1
m1
� m2
m1
c2
m2
!3
◆�
Utilizando as definições:
det[A] = m1m2
�⇥
(!2
p
� !2)(!2
a
� !2)� !2
a
µ!2 � 2⇣1!p2⇣2!a!2
⇤ 
+
|m1m2
�⇥
(!2
p
� !2)2⇣2!a! + (!2a � !2)2⇣1!p! � µ2⇣2!a!3
⇤ 
107
Multiplicando por !4
p
/!4
p
.
det[A] = m1m2!
4
p
⇢
(!2
p
� !2)
!2
p
(!2
a
� !2)
!2
p
� !
2
a
!2
p
µ
!2
!2
p
� 2⇣1
!p
!p
2⇣2
!a
!p
!2
!2
p
��
+
|m1m2!
4
p
⇢
(!2
p