ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE (55)

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Notas de aula da disciplina Probabilidade e Estatística 
 
Professor M. Sc. André Luiz 
DAMAT - UTFPR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta apostila apresenta os tópicos principais abordados em sala de aula, contendo 
definições, teoremas, exemplos. Sua leitura não é obrigatória, porem auxilia no 
entendimento do conteúdo estudado. Referencias são feitas ao final do material, não 
aparecendo às citações no texto afim de não sobrecarregar a leitura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curitiba 
2012 
1 . Conceitos e definições 
1.1 O que é Estatística? 
 
Podemos entender o termo Estatística como sendo um conjunto de técnicas que permitem, 
de forma sistemática, organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos 
ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento. 
A grosso modo podemos dividir a Estatística em três áreas: 
 Estatística Descritiva 
 Probabilidade 
 Inferência Estatística 
 
1.1.1 Estatística Descritiva 
 
É, em geral, utilizada na etapa inicial da análise, quando tomamos contato com os dados 
pela primeira vez. Objetivando tirar conclusões de modo informal e direto, a maneira mais 
simples seria a observação dos valores colhidos. Assim, a estatística descritiva pode ser 
definida como um conjunto de técnicas destinadas a descrever e resumir os dados, a fim de 
que possamos tirar conclusões a respeito de características de interesse. 
 
1.1.2 Probabilidade 
 
Probabilidade pode ser pensada como a teoria matemática utilizada para estudar a incerteza 
oriunda de fenômenos de caráter aleatório. 
Observação. Alguns autores consideram a Probabilidade como uma das divisões da 
Estatística. 
 
1.1.3 Inferência Estatística 
 
É o estudo de técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, das 
informações e conclusões obtidas a partir de subconjuntos de valores, usualmente de 
dimensão muito menor. Deve ser notado que, se tivermos acesso a todos os elementos que 
desejamos estudar, não é necessário o uso das técnicas de inferência estatística. 
Entretanto, elas são indispensáveis quando existe a impossibilidade de acesso a todo o 
conjunto de dados, por razões de natureza econômica, ética ou física. 
Estudos complexos que envolver tratamento estatístico dos dados, usualmente, incluem as 
três áreas mencionadas anteriormente. 
 
1.2 Fases do Método Estatístico 
1.2.1 Definição do Problema e planejamento 
 
Descrição dos objetivos da pesquisa e identificação da população/amostra. 
Identificação das variáveis, método de investigação, técnicas de amostragem, apuração dos 
dados, pesquisa piloto e cronograma físico-financeiro. 
 
 
1.2.2 Coleta de Dados 
 
A coleta pode ser direta e indireta. É direta quando feita sobre elementos informativos de 
registros obrigatórios (nascimentos, casamentos, importação e exportação de mercadorias), 
elementos pertinentes aos prontuários dos alunos de uma escola, ou ainda, quando os 
dados são coletados pelo próprio pesquisador através de inquéritos e questionários, como é 
o caso das notas de verificação e de exames do censo demográfico, etc. 
A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em: 
a) contínua – também denominada registro, é feita continuamente, tal como a de 
nascimentos, casamentos e óbitos ou como no de vendas a vista de uma empresa 
comercial; 
b) periódica – quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos em geral 
(de 10 em 10 anos) e os balanços de uma empresa comercial; 
c) ocasional – quando feita de tal modo que não se considera o tempo em continuidade e 
nem periódico, a saber, independente do tempo e é feita quando a requer o estudo de um 
fenômeno. São realizadas a fim de atender a uma conjuntura ou a uma emergência, como 
no caso de epidemias que assolam ou dizimam rebanhos inteiros. 
A coleta se diz indireta quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou do 
conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Como por 
exemplo, podemos citar a pesquisa sobre a mortalidade infantil, que é feita através de dados 
colhidos por uma coleta direta. É coleta indireta também, a pesquisa sobre a duração de 
vida do ser humano que pode ser feita com os dados colhidos através da coleta direta, 
obtidos pelos cartórios ou os valores representativos das vendas de uma empresa que são 
extraídos das notas fiscais e do caixa. 
 
1.2.3 Crítica dos dados 
 
Com o propósito de identificar possíveis falhas e imperfeições que possam ocasionar erros 
grosseiros ou de certo vulto e assim, influenciar os resultados, os dados devem se 
cuidadosamente criticados. 
A crítica pode ser externa ou interna. 
a) Externa: quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má 
interpretação das perguntas que lhe foram feitas; 
b) Interna: quando visa observar os elementos originais dos dados da coleta. 
 
1.2.4 Apuração dos dados 
 
É o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação. 
Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica. 
 
1.2.5 Exposição ou apresentação dos dados 
 
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser 
apresentados sob forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame 
daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico e posterior obtenção de médias, 
modas, medianas, etc. 
 
1.2.6 Análise dos resultados 
 
Como já dissemos, o objetivo último da Estatística é tirar conclusões sobre o todo 
(população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra). 
Assim, realizadas as fases anteriores (Estatística Descritiva), fazemos uma análise dos 
resultados obtidos através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, que tem por 
base a indução ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões. 
 
1.3 Variável 
 
Seja o exemplo a seguir: 
Três pessoas estão em uma sala à espera para uma entrevista. Um questionário é entregue 
a cada uma dessas pessoas e deve ser entregue. No questionário existem 4 perguntas 
pessoais, sendo elas: 1. Gênero (Sexo); 2. Idade (em anos); 3. Altura (em cm) e 4. Fumante. 
As respostas foram colocadas em na tabela a seguir: 
 Gênero Idade Altura Fumante 
Pessoa 1 Masculino 19 1.79 Não 
Pessoa 2 Feminino 22 1.69 Sim 
Pessoa 3 Feminino 21 1.64 Não 
Cada uma das características perguntadas as pessoas, gênero, idade, altura e fumante, é 
denominada de variável. Assim a variável Gênero assume o valore masculino ou feminino, a 
variável idade os valores 19 anos, 22 anos e assim por diante. 
É fácil de verificar que as variáveis possuem naturezas diferentes em relação aos valores 
que podem assumir. Tal fato deve ser levado em consideração nas analises. 
Podemos dividir as variáveis em dois grupos qualitativas ou quantitativas: 
 
1.3.1 Variável qualitativa – quando seus valores são expressos por atributos: sexo 
(masculino – feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda), tamanho 
(pequeno, médio ou grande) etc. 
 
1.3.1.1 Qualitativa ordinal – tem uma ordenação natural, indicando intensidades 
crescentes de realização. Exemplo. Classe Social (baixa, média ou alta). 
 
1.3.1.2 Qualitativa nominal – quando não é possível estabelecer uma ordem natural. 
Exemplo. Fuma (sim, não). 
 
1.3.2 Variável quantitativa – quando seus valores são expressos em números (salários dos 
operários, idade dos alunos de uma escola etc.). 
 
1.3.2.1 Variável discreta 
 
Uma variável quantitativa que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto 
enumerável recebe o nome de variável discreta. 
Por exemplo, na determinação do número de alunos de certa turma, a variável, “número de 
alunos” é discreta. 
 
1.3.2.2 Variável contínua – uma variável quantitativa que pode assumir, teoricamente, 
qualquer valor entre dois limites, chama-se variável contínua. 
Por exemplo, na determinação das alturas dos adolescentes de uma escola, a variável 
“altura” é continua. Seja uma classe onde o menor alunopossui 155 cm e o mais alto 190 
cm, os demais alunos podem assumir qualquer altura nesse intervalo, digamos 168,5 cm. 
 
De um modo geral, as medições dão origem a variáveis contínuas e as contagens ou 
enumerações, a variáveis discretas. 
 
1.4 População e Amostra 
1.4.1 População Estatística ou Universo Estatístico 
 
É o conjunto de entes portadores de pelo menos uma característica comum. 
Por exemplo, os estudantes constituem uma população, apresentam pelo menos uma 
característica comum: são os que estudam. 
As populações podem ser finitas, como, por exemplo, os alunos matriculados em 
determinada matéria, ou infinitas, como por exemplo, os resultados obtidos quando se joga 
um dado sucessivamente. Existem populações que embora finita, são consideradas infinitas 
para qualquer finalidade prática. Como exemplo, imagine o número de grãos de areia de 
uma praia. 
Como em qualquer estudo estatístico temos em mente pesquisar uma ou mais 
características dos elementos de alguma população, esta característica deve estar 
perfeitamente definida. 
 
1.4.2 Amostra 
 
Por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou temporal, muitas vezes, limitamos as 
observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas uma parte da população. A 
essa parte proveniente da população em estudo denominamos amostra. 
“Uma amostra é um subconjunto finito de uma população” 
Exemplo: 
Se quisermos estudar as idades dos alunos matriculados em uma disciplina, então todos os 
alunos formão a população e se apenas tomarmos as idades dos alunos, estaríamos 
retirando uma amostra da população total. 
 
1.4.3 Amostragem 
 
É uma técnica especial para recolher amostras, de uma mesma população, que garanta, 
tanto quanto possível, o acaso na escolha. 
Dessa forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido, o 
que garante à amostra o caráter de representatividade, da população da qual foi extraída. 
Uma amostra é representativa de uma população quando é composta por elementos 
escolhidos de forma não tendenciosa, geralmente, por um procedimento que garanta a 
casualidade, procedimento importante para a confiabilidade dos resultados e necessário à 
inferência. 
Como é difícil conhecer a população dos indivíduos pesquisados, utilizamos a amostragem 
para tentar obter as características da população utilizando alguns indivíduos apenas. 
A amostragem deve ser usada quando: 
a) a população é particularmente grande ou infinita; 
b) as observações ou mensurações têm alto custo; 
c) as medidas exigem testes destrutivos; 
d) há necessidade de rapidez etc. 
 
1.4.4 Técnicas de Amostragem 
 
a) Amostragem casual ou aleatória simples 
Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico. 
Na pratica, a amostragem casual ou aleatória simples pode ser realizada numerando-se a 
população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, 
k números dessa seqüência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes à 
amostra. 
 
b) Amostragem proporcional estratificada 
Muitas vezes a população se divide em subpopulações (estratos). Como é provável que a 
variável em estudo apresente, de estrato, um comportamento heterogêneo e, dentro de 
cada estrato, um comportamento homogêneo, convém que o sorteio dos elementos da 
amostra leve em consideração tais estratos. 
É exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem proporcional 
estratificada, que, além de considerar a existência dos estratos, obtém os elementos da 
amostra proporcional ao número de elementos dos mesmos. 
A amostragem por estratificação tem as seguintes características: 
1) dentro de cada estrato há uma grande homogeneidade, ou então uma pequena 
variabilidade: 
2) entre os estratos há uma grande heterogeneidade, ou então uma grande variabilidade. 
 
c) Amostragem por Conglomerados 
A população é dividida em diferentes conglomerados (grupos). Seleciona-se um 
conglomerado e dentro dele são realizados os estudos. 
Há uma mudança fundamental na unidade de sorteio. Passamos de elemento para grupo. 
Consideramos conglomerados os grupos de elementos com as seguintes características: 
1) dentro de cada conglomerado há uma grande heterogeneidade, ou então uma grande 
variabilidade; 
2) entre os conglomerados há uma grande homogeneidade, ou então uma pequena 
variabilidade. 
 
d) Amostragem Sistemática 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de 
construir o sistema de referências. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os 
prédios de uma rua, as linhas de produção, etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que 
constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. A esse tipo 
de amostragem denominamos sistemática. 
Assim, no caso de uma linha de produção, podemos, a cada dez itens produzidos, retirar um 
para pertencer a uma amostra da produção diária. Neste caso, estaríamos fixando o 
tamanho da amostra em 10% da população. 
 
Exemplo 
Suponhamos uma rua contendo novecentos prédios, dos quais desejamos obter uma 
amostra formada por cinqüenta prédios. Podemos, neste caso, usar o seguinte 
procedimento: como 900/50 = 18, escolheremos por sorteio casual um número de 1 a 18 
(inclusive), o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais 
elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, se o número sorteado 
fosse o 4, tomaríamos, pelo lado direito da rua, o 4º prédio, o 22º, o 40º etc, até voltarmos 
ao início da rua, pelo lado esquerdo. 
 
1.4.5 Tendenciosidade da Amostra 
 
Sempre é possível que a amostra obtida seja tendenciosa ou viciada, isto é, não 
representativa da população. 
 
2. Apresentação de Dados 
 
Basicamente a apresentação de dados é feita através de tabelas, quadros e gráficos. 
Tabela é um arranjo de dados na forma de grade com laterais abertas enquanto o quadro 
possui as laterais fechadas. As tabelas são mais utilizadas para informações numéricas e 
os quadros para informações não numéricas. 
 
2.1 Componentes de uma tabela ou quadro 
 
a) Cabeçalho – informações sobre os dados da tabela/quadro. O que? Quando? Onde? 
b) Corpo – espaço interno à tabela/quadro destinado à apresentação dos dados. 
c) Rodapé – contém a fonte dos dados e demais informações necessárias ao entendimento, 
tais como, como notas ou chamadas. 
 
3. Distribuições de Frequências 
 
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem 
assumir, para que tenhamos uma visão ampla da variação dessa ou dessas variáveis. E 
isso ela consegue, inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos. 
 
3.1 Dados Brutos 
 
São aqueles que ainda não foram organizados. Um exemplo é o conjunto das alturas de 100 
estudantes tirado de uma lista alfabética do registro da universidade. 
 
3.2 Rol. 
 
É um arranjo de dados brutos em ordem crescente ou decrescente. Pode-se realizar a 
ordenação com o auxílio softwares, caso possua muitos dados, ou manualmente, quando o 
número de dados é reduzido. 
 
 
3.3 Frequência simples ou absoluta 
 
Frequência simples ou absoluta (fi) do valor xi é o número de vezes que a variável estatística 
assume o valor xi. 
 
Mas o processo dado pode ser inconveniente, já que exige muito espaço, mesmo quando o 
número de valores da variável é de tamanho razoável. Sendo possível, a solução mais 
aceitável, pela própria natureza da variável contínua, é o agrupamento de valores em vários 
intervalos. Deste modo, estaremos agrupando os valores da variável em intervalos, sendo 
que, em Estatística, preferimos chamar de classes. 
Chamando de frequência de uma classe o número de valores da variável pertencentes à 
classe. 
 
3.4 Classes de Frequência 
 
Classes de frequência ou, simplesmente, classes são intervalos de variação da variável. As 
classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3,....,k (onde k é o número 
total de classes da distribuição). 
 
3.5 Limite de Classe 
 
Denominamos de limite de classe os extremos de cadaclasse. O menor número é o limite 
inferior da classe ( ℓi ) e o maior número, o limite superior da classe(Li). 
 
Obs. Segundo Resolução 886/66 do IBGE o intervalo de classe deve ser fechado à 
esquerda e aberto à direita, e utiliza-se o símbolo |. 
 
3.6 Amplitude de um Intervalo de Classe 
 
Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe é a medida do 
intervalo que define a classe. 
Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e indicada por hi 
Assim: 
hi = Li – ℓi 
 
3.7 Ponto Médio de uma Classe 
 
É o ponto intermediário do intervalo de classe e é obtido somando-se o limite inferior ao 
limite superior e dividindo-se a soma por 2. 
 
3.8 Amplitude Total (R) 
 
É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo observados no conjunto de dados. 
Assim, no exemplo da seção 1.3 temos que a amplitude das idades dos entrevistados é: 
 
R = 22 – 19 = 3 
 
3.9 Somatório (∑) 
 
O símbolo ∑ é usado para escrever abreviadamente expressões que envolvem sucessivas 
adições. Assim, indicamos a adição dos termos fi, com i variando de 1 até k (k  N*), como: 
 


i
k
i
i fouf
1
 
 
3.9.1 Propriedades do somatório 
 
P1) Seja X = {xi}i = 1, ..., k uma variável e α uma constante, então,   ii xx . . 
P2) Seja α uma constante, então  .
1
k
k
 . 
P3) O somatório de uma soma de variáveis é igual à soma dos somatórios de cada uma das 
variáveis: 
    iiii yxyx 
 
P4) O somatório de uma diferença de variáveis é igual à diferença dos somatórios de cada 
uma das variáveis: 
    iiii yxyx 
 
3.10 Frequência Absoluta Acumulada 
 
Podemos completar a tabela de freqüências absolutas com uma coluna de freqüências 
absolutas acumuladas (fia) ou somente freqüência acumulada, cujos valores são obtidos 
adicionando a cada freqüência absoluta os valores das freqüências anteriores. 
 
3.11 Frequência Relativa 
 
Chama-se frequência relativa (fr) do valor de xi da variável o quociente entre a freqüência 
absoluta (fi) e o número de elementos N da amostra e é, geralmente, expressa em 
porcentagem, ou seja: 
N
f
f ir  
 
4. Representação Gráfica 
 
Após a coleta de dados em uma pesquisa, vimos que uma maneira de organizar dados de 
forma concisa é construir tabelas de frequências. Uma vez obtida a tabela de frequências 
podemos visualizar melhor os dados destas, construindo-se gráficos. 
A apresentação em gráficos, das distribuições de freqüências de uma variável em estudo, 
permite ao leitor uma visualização acurada dos resultados inseridos nas tabelas. 
Existem diversos tipos de gráficos e a escolha adequada depende basicamente do tipo de 
dado e da finalidade da apresentação. Os gráficos podem ser facilmente elaborados com 
uso de softwares específicos, tal como o software Excel. 
 
4.1 Gráfico de Linha 
 
Estudamos gráficos de linha desde o ensino fundamental, onde construímos os gráficos de 
funções de uma variável. Tais gráficos são feitos no chamado plano cartesiano (xy), onde 
confrontamos para cada valor de x, variável, com seu respectivo par y = f(x). Nos gráficos de 
linha de variáveis estatísticas são construídos da mesma maneira, ou seja, para cada 
variável xi temos um correspondente yi = f(xi). 
Os gráficos de linhas são muito utilizados para mostrar a evolução durante certo período 
(séries temporais). O gráfico permite visualizar muito bem o crescimento, o decréscimo ou a 
estabilidade do objeto a ser analisado. 
 
4.2 Gráfico de Barras. 
 
É um tipo de gráfico em que barras horizontais com larguras iguais e comprimentos 
proporcionais à frequência de cada dado. 
O gráfico de barras é apropriado para representar graficamente os dados qualitativos, porém 
pode, também, ser utilizado para representar dados quantitativos discretos. 
 
4.3 Gráfico de Colunas. 
 
É um tipo de gráfico em que barras verticais com larguras iguais e comprimentos 
proporcionais à frequência de cada dado. Os valores da variável são colocados no eixo 
horizontal, e as frequências no eixo vertical. Indicado para séries temporais, séries 
conjugadas, variáveis qualitativas e quantitativas discretas. 
 
4.5 Histograma. 
 
Para dados agrupados em classes, a representação gráfica da distribuição de frequências é 
feita por meio de um histograma, que é um gráfico formado por um conjunto de colunas 
retangulares. No eixo das abscissas marcamos as classes, cujas amplitudes correspondem 
às bases dos retângulos. No eixo das ordenadas marcamos as frequências absolutas ou 
relativas, que correspondem às alturas dos retângulos. Os pontos médios das bases dos 
retângulos coincidem com os pontos médios dos intervalos de classes. 
 
4.5.1 Roteiro para construção do histograma. 
 
a) Obtenha a tabela de frequência a partir dos dados, agrupando-os em classes; 
b) desenhe dois eixos ortogonais de bom tamanho; 
c) divida o eixo horizontal em tantas partes quanto for o número de classes mais dois 
(considere uma classe à esquerda da primeira classe e outra à direita da última classe, para 
deixar espaço suficiente para traçar o polígono de frequência, que veremos mais adiante), e 
marque os números correspondentes aos limites inferior e superior de cada classe; 
d) identifique a maior frequência da classe na tabela de frequência; escolha um número 
adequado, maior ou igual àquela frequência; marque esse número na extremidade do eixo 
vertical; divida o eixo vertical em algumas partes e marque os números correspondentes; 
e) para cada classe, desenhe um retângulo com largura igual a amplitude da classe com 
altura igual à frequência da classe. 
 
4.6 Gráfico Polígono de Frequência. 
 
O polígono de frequência também é estruturado a partir da tabela de frequência, tal qual o 
histograma. 
Define-se o gráfico polígono de frequência como um gráfico de linha, onde os pontos a 
serem conectados pela linha são os pontos médios dos intervalos de classe para as 
abscissas com as correspondentes frequências para as ordenadas. 
 
4.7 Gráfico Polígono de Frequências Acumuladas (Ogiva) 
 
A representação gráfica da frequência acumulada é denominada ogiva e é construída por 
segmentos de reta interligando os pontos definidos pela frequência acumulada e pelo 
limite superior de cada classe. 
 
5. Medidas de posição ou de tendência central 
 
A pretensão é de determinar as medidas que oferecem o posicionamento da distribuição dos 
valores de uma variável que desejamos analisar. Ou seja, são medidas utilizadas para 
representar fenômenos coletivos através de um único valor, fornecendo uma idéia geral a 
respeito do fato ou fenômeno analisado. 
 
Dividem-se em: 
 
Matemáticas: 
 
 Média aritmética; 
 Média geométrica; 
 Média harmônica. 
 
Não matemáticas: 
 
 Moda; 
 Mediana. 
 
5.1 Média aritmética 
 
i) É a mais comum e mais intuitiva das medidas de posição; 
ii) Tem uso generalizado, ou seja, aplica-se a um grande número de situações práticas; 
iii) Deve ser empregada com cautela, pois sofre influência de todos os valores 
presentes na amostra (série); 
iv) É representada por: 
 
x média da amostra; 
 média populacional. 
 
Calculo da média aritmética 
 
a) Série simples, lista de dados ou dados brutos (Amostra) 
 
Seja  nxxxx ...,,, 21 uma amostra com n observações, a média aritmética é: 
 
n
x
n
xxx
x
n
i
i
n



 121

. 
 
Média aritmética de uma população de tamanho nN  : 
 
N
x
N
xxxx
N
i
i
Nn



 121

 . 
 
b) Séries agrupadas ( if ) 







n
i
i
n
i
ii
n
nn
f
fx
fff
fxfxfx
x
1
1
21
2211


. 
 
Média aritmética de uma população de tamanho nN  : 
 







N
i
i
N
i
ii
Nn
NNnn
f
fx
ffff
fxfxfxfx
x
1
1
21
2211


. 
5.2 Média geométrica 
 
Deve ser utilizada sempre que a série (amostra): 
 Aproximar-se de uma Progressão Geométrica (PG); 
 Representa percentagens sucessivas (quando diferentes porcentagens incidem uma 
sobre as outras). 
 
Cálculo da média geométrica 
 
a) Série simples(amostra) 
 
Seja  nxxxx ...,,, 21 uma amostra com n observações no formato de uma PG, a média 
geométrica simples desse conjunto de dados é obtida por: 
 
n
n
i
i
n
n xxxxG 


1
21 ...  . 
 
b) Séries agrupadas ( if ) 
 
Seja  nxxxx ...,,, 21 uma amostra com n observações no formato de uma PG, onde 
podem ocorrer repetições nos valores observados. Temos que a média geométrica desse 
conjunto de dados é obtida por: 
 
 

i i
i n f
n
i
f
i
f fff
xxxxG
1
111 ...
211  . 
 
Podemos ver que quando trabalhamos com a média geométrica para séries agrupadas, 
temos a multiplicação de valores com uma potência relacionada, assim podendo conduzir a 
valores elevados. Uma solução alternativa que se apresenta nesses casos consiste em 
utilizar logaritmos e transformar as expressões para as que seguem: 
 
Série simples (amostra) Série agrupada ( if ) 
n
x
G
i

log
log 
  



i
ii
f
fx
G
log
log 
n
x
G
i

ln
ln 
  



i
ii
f
fx
G
ln
ln 
  GGanti x 10loglog   GeGanti x lnlog 
 
5.3 Média harmônica (H) 
 
É um tipo especial de média, deve ser usada quando a série apresentar uma relação inversa 
entre os dados, por exemplo, nos casos de cálculo de velocidade média ou consumo médio, 
pois, à medida que a velocidade ou consumo aumentam, o tempo envolvido diminui. 
 
”A média harmônica corresponde ao inverso da média aritmética com os dados invertidos.” 
 
Cálculo da média harmônica 
 
 
 
a) Série simples (amostra) 
 
Seja  nxxxx ...,,, 21 uma amostra com n observações, a média harmônica desse 
conjunto de dados é: 
 
 







ix
n
H
1
. 
 
b) Séries agrupadas ( if ) 
 
Se  nxxxx ...,,, 21 e  nffff ,,, 21  , então a média harmônica de x é: 
 











i
i
i
x
f
f
H . 
 
5.4 Mediana 
 
É utilizada para destacar o elemento central em um conjunto de dados, ou seja, a mediana é 
o elemento que divide uma série (amostra) em duas partes iguais. 
 
0% Me 100% 
 
 
Por estar no centro da série em termos da quantidade de elementos, a mediana não sofre 
interferência dos valores extremos. Por isso acaba sendo uma medida mais útil e mais 
interessante do que a própria média, principalmente para a análise e interpretação de fatos 
socioeconômicos, onde é frequente a presença de valores extremos fortemente 
diferenciados. 
 
Cálculo da mediana 
 
a) Série simples ( n ímpar) 
 
A mediana corresponde ao termo central. 
 
b) Série simples ( n par) 
 
A mediana corresponde a média aritmética simples dos valores dos dois termos centrais. 
 
c) Série Agrupada 
 
 n ímpar, a mediana será o elemento central 




 
2
1n
; 
 n par, a mediana será a média entre os elementos centrais 





2
n
 e 





1
2
n
. 
 
 
 
 
5.5 Moda (Mo) 
 
É utilizada para destacar o elemento que mais se repete num conjunto de dados, ou seja, 
moda é o elemento que tiver a maior frequência. 
 
Cálculo da moda 
 
a) Séries simples (amostra) 
 
A moda não é calculada, apenas indicada. 
 
b) Série agrupada ( if ) 
 
Basta identificar qual é o elemento que apresenta a maior frequência. 
 
6. Medidas de ordenação ou separatrizes 
 
São medidas utilizadas para fazer cortes ordenados em uma série (amostra), visando 
identificar características relevantes. Dividem-se em: 
 
 Mediana; 
 Quartis; 
 Decis; 
 Percentis. 
 
6.1 Mediana 
 
É o elemento que divide a série em partes iguais (50% abaixo e 50% acima do seu valor). 
 
6.2 Quartis 
 
São elementos que dividem a amostra (série) em quatro partes iguais, ou seja, de 25% em 
25%. 
 
6.3 Decis 
 
São elementos que dividem a série em dez partes iguais, ou seja, de 10% em 10%. 
 
6.4 Percentis 
 
São elementos que dividem a série em cem partes iguais, ou seja, de 1% em 1%. 
 
Podemos notar que a mediana, quartis e os decis são conjuntos de percentis, assim 
podemos substituir todas as separatrizes apenas pelos percentis. 
 
Decis Percentis 
D1 P10 
D2 P20 
  
D9 P90 
 
 
 
Quartis Percentis 
Q1 P25 
Q2 P50 
Q3 P75 
Mediana Percentis 
Me P50 
Tais medidas de ordenação são geralmente utilizadas nas distribuições de frequência de 
variáveis contínuas. Porém, é possível efetuar seu cálculo para séries simples e agrupadas 
de dados discretos. 
 
Cálculo de medidas de ordenação nas séries simples e agrupadas 
 
i) Ordena-se a série de forma crescente; 
ii) Atribui-se um número natural a cada posição do elemento, ou seja, 1ª posição recebe 
o número 1 e assim até a última posição n . 
 
Como podemos substituir qualquer uma das três medidas pelos percentis, apenas uma 
equação é necessária: 
 
%0
1
%0%100
1





p
xn
 
onde: 
 
 n é o número de observações; 
 x é a ordem de uma determinada observação; 
 p é o percentil desejado expresso em %. 
 
Ainda, sendo conhecido o percentil p , temos que: 
 
1
100
)1( 






p
nx . 
 
7. Medidas de dispersão 
 
São medidas utilizadas para avaliar o grau de dispersão, ou variabilidade, dos valores em 
torno da média. Servem para medir a representatividade da média. 
 
 
oux 
 
7.1 Amplitude total 
 
É a diferença entre os extremos, ou seja, a maior observação menos a menor: 
 
minmax xxR  . 
 
A amplitude é uma medida limitada, já que leva em consideração apenas os extremos, 
assim pode não indicar o tamanho da variabilidade das observações. 
 
7.2 Variância 
 
Quando analisamos a dispersão dos dados em relação à média estudamos os desvios id 
de cada valor ix em relação à média x ou  . Assim, se os id forem próximos à zero, 
teremos pouca dispersão. Caso contrário, a dispersão será alta. 
Podemos verificar que a soma dos desvios 0 id , assim, para o cálculo da variância 
utilizaremos o quadrado dos desvios 
2)( id , sendo que: 
 
xxd ii  ou  ii xd 
 
0 id 
 
22 )()( xxd ii  ou 
22 )()(  ii xd 
 
A variância é apresentada em dois conceitos: 
 
 Populacional – 
2 ; 
 Amostral – 
2S . 
 
A variância, 
2 , referente à população com N observações é igual a soma dos quadrados 
dos desvios dividido por N . Assim: 
 
2222
2
)(












N
x
N
x
N
x
N
d iiii 
 . 
Para dados agrupados: 
 
2222
2
)(












N
fx
N
fx
N
fx
N
fd iiiiiiii 
 
 
A variância, 
2S , de uma amostra com n observações é igual a soma dos quadrados dos 
desvios, dividido por )1( n , assim: 
 
 



















n
x
x
nn
xx
n
d
S
i
i
ii
2
2
22
2
1
1
1
)(
1
. 
Para dados agrupados: 
 
 



















n
fx
fx
nn
fxx
n
fd
S
ii
ii
iiii
2
2
22
2
1
1
1
)(
1
. 
 
7.3 Desvio Padrão 
 
Quando calculamos a variância, estamos estudando a dispersão de uma amostra, porém, 
como utilizamos os quadrados dos desvios, a variância acaba nos informando o valor da 
dispersão com uma dimensão a mais que a amostra. 
Por exemplo, se a variável em análise dor medida em metro, a variância será expressa por 
2m . 
Portanto, para deixar a na mesma dimensão da amostra, devemos extrair a raiz quadrada 
da variância, denominando de desvio padrão ou erro padrão: 
 
 
2  – desvio padrão populacional; 
 
2SS  – desvio padrão amostral. 
 
O desvio padrão reflete a variação média absoluta dos dados em torno da média aritmética. 
A teoria dos seis sigmas (seis desvios padrão) na área da qualidade, busca reduzir ainda 
mais a variabilidade dos processos produtivos, ou seja, busca reduzir a possibilidade do 
processo apresentar defeito. 
 
Interpretação do desvio padrão. 
 
1º) Regra Empírica: 
 
Para qualquer distribuição amostral ou populacional com média x ou  e desvio padrão S 
ou  , há: 
 
 O intervalo )( Sx  ou )(   contém entre 60% e 80% de todas as observações. A 
porcentagem se aproxima de 70% para distribuições aproximadamente simétricas,chegando a 90% para distribuições fortemente assimétricas; 
 O intervalo )2( Sx  ou )2(   contém aproximadamente 95% das observações 
para distribuições simétricas e aproximadamente 100% para distribuições com 
assimetria elevada; 
 O intervalo )3( Sx  ou )3(   contém aproximadamente 100% das observações, 
para distribuições simétricas. 
 
2º) Teorema de Tchebycheff 
 
Para qualquer distribuição com média e desvio padrão: 
 
 O intervalo )2( Sx  ou )2(   contém, no mínimo, 75% de todas as observações; 
 O intervalo )3( Sx  ou )3(   contém, no mínimo, 89% de todas as observações. 
 
7.4 Coeficiente de variação de Pearson 
 
É uma medida relativa de dispersão. O coeficiente de variação (CV) mede a dispersão 
relativa. Assim: 
 
100.
x
S
CV  ou 100.


CV . 
 
onde: 
 
 S é o desvio padrão amostral; 
  é o desvio padrão populacional; 
 x é a média amostral; 
  é a média populacional. 
 
Interpretação do Coeficiente de Variação. 
 
%15CV 
Existe baixa dispersão – boa representatividade para a média aritmética como medida 
como medida de posição; 
%30%15 CV 
Há média dispersão – a representatividade da média aritmética como medida de 
posição 
CV%30 
Há elevada dispersão – a representatividade da média aritmética como medida de 
posição é ruim. 
 
7.5 Escore padronizado 
 
Também é uma medida de dispersão relativa. 
 
S
xx
Z ii
)( 
 ou 

)( 
 ii
x
Z . 
 
O valor do escore padronizado reflete a dispersão da observação ix em relação à média. 
Um valor 0iZ indica que a observação ix está à esquerda da média, enquanto um 
escore positivo indica que a observação está à direita da média. 
 
7.6 Detectando Outliers 
 
Às vezes quando trabalhamos com amostras de observações reais podemos nos deparar 
valores extremos muito diferentes da media. Chamamos tais valores de outliers. 
Esses valores podem provocar distorções na análise dos resultados. Portanto, é 
interessante identificar-los, antes mesmo de iniciar as análises. 
 
1º Método: 
 
Podemos calcular o escore padronizado )( iZ e considerar outliers as observações com 
3iZ . 
 
2º Método: 
 
Podemos utilizar o conceito do gráfico boxplot presente em alguns softwares estatísticos. 
Analiticamente, primeiro precisamos calcular o primeiro e o terceiro quartil ( 251 PQ  e 
753 PQ  ). 
A diferença entre 3Q e 1Q é chamado intervalo interquartílico. 
 
13 QQI  . 
 
Os dados situados fora dos intervalos que serão anunciados a seguir, podem ser 
considerados dados extremos moderados. 
 
 Outliers moderados: 
 
)5,1()3( 11inf IQIQL  
)5,1()3( 33sup IQIQL  
 Outliers severos 
 
IQL 31inf  
IQL 31inf  
 
7.7 Medidas de assimetria 
 
É o grau de afastamento, de uma distribuição, da unidade de simetria. Em uma distribuição 
simétrica, há igualdade entre os valores da média, mediana e moda. 
 
 
Distribuição Simétrica 
 
oe MMx  
 
Distribuição Assimétrica Positiva 
 
xMM eo  
 
Distribuição Assimétrica Negativa 
 
oe MMx  
 
Cálculo do coeficiente de assimetria. 
 
1º Coeficiente de Pearson: 
 
S
Mx
AS
)( 0
1

 ou 

 )( 0
1
M
AS

 
 
2º Coeficiente de Pearson: 
 
13
13
1
2
QQ
MQQ
A eS


 
 
Interpretação quanto ao sinal: 
 
Se: 
 
 0SA , diz-se que a distribuição é simétrica; 
 0SA , diz-se que a distribuição é assimétrica positiva; 
 0SA , diz-se que a distribuição é assimétrica negativa. 
 
Interpretação quanto à intensidade (considerando os resultados em módulo): 
Se: 
 
 10 1  SA – Assimetria fraca; 
 11 SA – Assimetria forte. 
Ou 
 
 2.00 2  SA – Assimetria fraca; 
 12,0 1  SA – Assimetria forte. 
 
7.8 Medidas de Curtose 
 
É utilizado para calcular o achatamento de uma série estatística, podendo ocorrer três 
possibilidades: 
 
 
Para medir o grau de curtose, utilizamos o seguinte coeficiente de Kelley: 
 
)(2 1090
2575
PP
PP
K


 
 
Interpretação: 
 
 Se 263,0K – Curva Mesocúrtica; 
 Se 263,0K – Curva Leptocúrtica; 
 Se 263,0K – Curva Platicúrtica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Probabilidades 
 
8.1 Experiência aleatória 
 
Considere uma experiência comportando resultados imprevisíveis e mutuamente exclusivos, 
ou seja, em cada repetição dessa experiência é impossível prever, com absoluta certeza, 
qual o resultado será obtido, além disso, a ocorrência de um deles exclui os demais. 
Por exemplo: 
O lançamento de um dado de seis faces, cujos possíveis resultados são: }6,5,4,3,2,1{ . 
Toda experiência aleatória, e seus possíveis resultados, mutuamente exclusivos, são 
chamados de eventos simples. 
 
8.2 Espaço amostral 
 
É o conjunto de todos os eventos simples possíveis, ou seja, todos os valores que podem 
aparecer, no caso do dado, ou todos os fenômenos possíveis de acontecer. 
 
Exemplo: Na previsão do clima para uma cidade, temos três tipos de fenômenos possíveis: 
},,{ nubladosolchuvaC  , que é o espaço amostral para o clima. 
 
8.3 Medidas de probabilidade – escola objetivista 
 
Da definição clássica de probabilidade temos: 
Dado um espaço amostral finito }...,,,{ 21 naaaS  com )...,,1( niai  pontos amostrais que 
podem ter a mesma “chance” de acontecer, ou seja, são considerados equiprováveis. Então, 
todo subconjunto A do espaço amostral S é chamado de evento, com sua probabilidade 
calculada por: 
possíveiscasosdenúmero
favoráveiscasosdenúmero
n
m
AP )( 
 
Por exemplo: No caso dos dados, a probabilidade do número 3 sair é igual à: 
 
6
1
)3( P 
que é a probabilidade para qualquer outro número sair. 
 
8.4 Medidas de probabilidades – escola subjetivista 
 
Tal escola considera a probabilidade como a medida de uma crença pessoal de que 
determinado evento tenha ocorrido, ocorrerá ou esteja ocorrendo. 
Uma declaração do grau de crença em um acontecimento, com base em considerações 
pessoais, denomina-se probabilidade subjetiva. Quando um gerente declara que é de 80% a 
probabilidade de êxito do lançamento de um produto, ele está utilizando a probabilidade 
subjetiva em face do acontecimento de um evento, no caso, lançamento do produto. 
 
8.5 Regras básicas da probabilidade 
 
8.5.1 Campo de variação das possibilidades 
 
A probabilidade de um evento acontecer varia de 0 à 1. 
 
%100)(%01)(0  APAP 
 
8.5.2 Probabilidade do espaço amostral 
 
É sempre igual a 1: 
%100)(1)(  SPSP 
 
8.5.3 Regra da adição de probabilidades 
 
A probabilidade da ocorrência do evento A ou B (ou de ambos) é dada por: 
 
)()()()( BAPBPAPBAP  
 
caso A e B sejam mutuamente exclusivos, isto é, BA temos: 
 
)()()( BPAPBAP  . 
 
Podemos estender essa idéia para um conjunto )...,,,( 21
*
pAAAA  formado por eventos 
mutuamente exclusivos: 
 
 )()(...)()()...( 2121 ipp APAPAPAPAAAP . 
 
8.5.4 Probabilidade de um evento complementar 
 
Se 
cA é o evento complementar de A temos então: 
 
)(1)( APAP c  . 
 
8.6 Multiplicação de probabilidades e independência estatística 
 
Dois eventos são ditos estatisticamente independentes se a ocorrência de um deles não 
afetar a ocorrência do outro. Assim, num experimento de lançar uma moeda duas vezes, a 
probabilidade de sair cara, ou coroa, no segundo lançamento, não é afetada pelo resultado 
do primeiro. 
 
Assim temos que, dados dois eventos, A e B, a probabilidade da ocorrência conjunta é 
definida pela regra da multiplicação. 
 
)().()( BPAPBAP  . 
 
Generalizando, temos que para vários eventos )...,,,( 21
*
pAAAA  a probabilidade conjunta 
é definida por: 
 
 )()()...()()...( 2121 ipp APAPAPAPAAAP . 
 
8.6.1 Probabilidade condicionada 
 
Caso, em um experimento, a condição de independência de dois eventos não estiver 
estabelecida, estaremos trabalhando com um problema de probabilidade condicional. 
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de que o evento B ocorra, dado que o evento A 
já ocorreu, é a probabilidade condicionada de B a A, escrita por )/( ABP . Similarmente,podemos escrever a probabilidade da ocorrência de A, condicionada à ocorrência de B, 
como )/( BAP (lê-se probabilidade de A dado que B aconteceu, ou probabilidade de A 
condicionada à ocorrência de B). 
Portanto, dados dois eventos, A e B, que não são independentes, a probabilidade 
condicionada de A, dado que B aconteceu, é definida por: 
 
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP

 . 
 
8.6.2 Regra geral da multiplicação de probabilidades 
 
A partir da definição de probabilidade condicional, é possível enunciar a regra geral de 
multiplicação de probabilidade: 
 
“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço 
amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicionada 
do outro, dado o primeiro”. 
 
)/()()/()()( BAPBPABPAPBAP  . 
 
8.6.3 Independência de eventos 
 
Um evento B é dito independente do evento A se a probabilidade de B é igual a 
probabilidade condicional de B dado que A acontece, ou seja, se )/()( ABPBP  . 
 
Se: 
)/()()( ABPAPBAP  
 
com )/()( ABPBP  temos 
 
)()()( BPAPBAP  . 
 
8.7 Teorema de Bayes 
 
Sejam kEEE ...,,, 21 eventos mutuamente exclusivos, tais que 
1)(...)()( 21  kEPEPEP . Seja A um evento qualquer, que se sabe ocorrerá em 
conjunto com, ou em conseqüência, um dos eventos iE . Então, a probabilidade de 
ocorrência de um evento iE , dada a ocorrência de A, é dada por: 
 
)/()(...)/()()/()(
)/()(
)/(
2211 kk
ii
i
EAPEPEAPEPEAPEP
EAPEP
AEP

 . 
 
Este resultado relaciona a probabilidade a priori )( iEP com a probabilidade a posteriori 
)/( iEAP , probabilidade da ocorrência de A. 
 
9. Distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias discretas 
 
9.1 Variáveis aleatórias 
 
Seja  um experimento aleatório e S o espaço amostral associado ao experimento. Uma 
função X que associe a cada elemento Ss um número real )(sX é denominada variável 
aleatória (v.a.). 
 
9.1.1 Variável aleatória discreta 
 
Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X for finito ou infinito 
enumerável, denominaremos X de variável aleatória discreta. 
 
9.1.2 Variável aleatória contínua 
 
Seja X uma variável aleatória. Se o contra domínio de X é um intervalo, ou uma coleção 
de intervalos, denominaremos X de variável aleatória continua. 
 
9.2 Função de probabilidade 
 
Seja X uma variável aleatória discreta. Sejam ...,, 21 xx seus possíveis valores. A cada 
resultado ix associaremos um número )()( ii xXPxp  , denominando probabilidade de 
ix , tal que: 
 
a) ;;1)( ii xxp  
b) 1)(  ixp . 
 
Essa função é denominada função de probabilidade da variável aleatória X . 
A distribuição de probabilidade de X é dada pelos pares ...,2,1)],(;[ ixpx ii e poderá ser 
expressa por uma tabela, gráfico ou fórmula. 
 
9.3 Função de distribuição acumulada 
 
Dado X variável aleatória discreta, define-se função de distribuição acumulada em um 
ponto x , a soma das probabilidades dos valores ix menores ou iguais a x . 
 



xx
i
i
xpxF )()( . 
 
9.4 Esperança ou média de uma variável aleatória 
 
Seja x uma v. a. discreta, com valores kxxx ...,,, 21 , os valores esperados de x (ou 
esperança matemática de x ), ou média de x , é definida como: 
 



k
i
iix xpxxE
1
)( )(][ . 
 
9.5 Variância e desvio-padrão de uma variável aleatória discreta 
 
A definição de variância de uma v. a. discreta x é dada por: 
 
])[(][][ 22 )(   xExVxVarx , 
 
desenvolvendo o quadrado temos: 
 
222
)( ][   xEx 
 
onde  )(][ 22 ii xpxxE e  )( ii xpx . 
 
O desvio padrão é igual à raiz quadrada positiva da variância 
 
2
)()( xx   . 
 
9.6 Distribuição de Bernoulli 
 
É um modelo que da a probabilidade de sucesso quando se realiza um experimento que 
admite dois resultados – sucesso ou fracasso – com probabilidade  de sucesso e )1(  
para fracasso. 
 
9.6.1 Exemplo de experiência de Bernoulli 
 
Lançar uma moeda e verificar a face que cai voltada para cima. 
Se a moeda for não viciada, assumindo que a face voltada para cima seja cara como 
sucesso, temos que coroa é um fracasso. 
 
2
1p e 
2
1)1(  pq . 
 
Uma variável aleatória Bernoulli com  como probabilidade de “sucesso” tem função de 
probabilidade dada por: 
 
10;1,0;)1()()( 1    xxXPxP xxxx 
 
][xE e )1(][  xV . 
 
9.7 Distribuição Binomial 
 
Uma v. a. Y tem distribuição binomial com parâmetros n e  quando assume valores no 
conjunto }...,,2,1,0{ n e sua f. p. é dada pela expressão: 
 
10;...,2,1,0;)1()()( 





   y
y
n
yYPyP ynyYY , 
 
nxE ][ e )1(][   nxV . 
 
A v. a. binomial corresponde ao número de sucessos em n provas do tipo Bernoulli, 
independentes. 
 
Exemplos: 
 
1) Y conta o número de meninos em uma família com 5n crianças, com 
2
1 . 
2) Y conta o número de peças defeituosas em um lote com 20n peças, com 
probabilidade de defeitos 001,0 . 
 
 
 
 
 
9.8 Distribuição Hipergeométrica 
 
Uma v. a. X tem distribuição chamada Hipergeométrica se a sua função de probabilidade é 
dada por: 
 





















n
N
xn
KN
x
K
xXPx )( 
 
N
K
nxE ][ e 
1
..][



N
nN
N
KN
N
K
nxV , 
 
nx ...,,2,1,0 ; 
NK ...,,2,1,0 ; 
Nn ...,,2,1 ; 
...,2,1,0N . 
 
 
9.9 Distribuição de Poisson 
 
Uma v. a. X tem distribuição de Poisson quando a sua f. p. é da forma: 
 
0;...,2,1,0
!
.
)( 


 
x
x
e
xXP
x
x 
 
][xE e ][xV .