MEC_APL_-_ESA - AULA 2 - Estática básica

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Aula 02:
Estática básica
Prof. Dr. Paulo Junges
DENC – FAET - UFMT
Revisão aula anterior
• Forças são grandezas vetoriais;
• Vetores são expressões matemáticas
que têm intensidade, direção e sentido
e que se somam conforme a lei do
paralelogramo (lei do triângulo);
• Pode-se decompor um vetor em dois
componentes perpendiculares de forma
que o paralelogramo resultante é um
retângulo:
�� = ��. ��+ ��	�
�� = � cos 
�� = � sen 
Forças Externas e Internas
Forças Externas
• Representam a ação de outros corpos
sobre o corpo rígido em consideração;
• São inteiramente responsáveis pelo
comportamento externo do corpo
rígido;
• As forças externas vão causar o
movimento do corpo ou garantir que o
mesmo permaneça em repouso;
• Se não for contrabalanceada, cada uma
das forças externas pode imprimir ao
corpo rígido um movimento de
translação ou de rotação, ou ambos.
Diagrama de corpo livre
Forças Externas e Internas
Forças Internas
• São as forças que mantêm juntas as
partículas que formam o corpo rígido;
• Se o corpo rígido é formado
estruturalmente por várias partes, as
forças que mantêm juntas as parte
componentes são definidas como
forças internas.
Princípio da Transmissibilidade: Forças 
Equivalentes
Princípio da Transmissibilidade
• As condições de equilíbrio ou de movimento de
um corpo não se modificam ao se transmitir a
ação de uma força ao longo de sua linha de ação;
• Para o caminhão, o fato de mudar o ponto de
aplicação da força F para o para-choque traseiro
não altera o seu movimento e nem interfere nas
ações das demais forças que nele atuam.
Princípio da Transmissibilidade: Forças 
Equivalentes
Princípio da Transmissibilidade
• O princípio da transmissibilidade pode ser usado livremente na
determinação das condições de movimento ou de equilíbrio de corpos
rígidos e no cálculo das forças externas que atuam sobre esses corpos;
• Esse princípio deve ser evitado ou usado com cautela quando utilizado
para calcular as forças internas e deformações (corpos deformáveis).
Vetor posição
• Um vetor posição �� é definido como
um vetor fixo que posiciona um ponto
no espaço em relação a outro ponto:
�� = �. ��+ �. 	�+ �. �
• No caso mais geral, o vetor posição
pode ser direcionado de um ponto A
para um ponto B no espaço:
��� = �� − ��
�� = ��. �� + ��. 	� + ��. �
�� = ��. �� + �� . 	� + �� . �
��� = �� − �� . �� + �� − �� . 	� + �� − �� . �
Vetor posição
Exemplo
Produto Vetorial de dois Vetores
• O produto vetorial de dois vetores � e � é
definido como o vetor � que satisfaz às
seguintes condições:
• A linha de ação de � é perpendicular ao plano
que contém � e � ;
• A intensidade de � é: � = �� sen 
;
• A direção e o sentido de � são obtidos pela
regra da mão direita.
• Produtos vetoriais:
• não são comutativos: � × � = − � × �
• são distributivos: � × �� × �� = − � × �
• não são associativos
Produto Vetorial de dois Vetores
• Produto vetorial de vetores unitários
• Produto vetorial em termos de componentes
retangulares:
0
0
0
=×=×−=×
−=×=×=×
=×−=×=×
kkikjjki
ijkjjkji
jikkijii
��
�
�
��
�
�
��
�
��
�
��
��
��
����
+
( ) ( )kQjQiQkPjPiPV zyxzyx ������� ++×++=
( ) ( )
( )kQPQP
jQPQPiQPQP
xyyx
zxxzyzzy
�
��
−+
−+−=
zyx
zyx
QQQ
PPP
kji
�
��
=V
Exemplo
BEER, JOHNSTON, MAZUREK, EINSENBERG. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9 ed. 
Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2012.
Problema 3.17 (modificado). Os vetores � = −7��+ 3	�− 3� e � = 2��+ 2	�+
5� constituem dois lados adjacentes de um paralelogramo. Determine o
produto vetorial � × �.
Produto Escalar de dois Vetores
• O produto escalar de dois
vetores � e � é definido como:
• Produtos escalares:
• são comutativos:
• são distributivos:
• não são associativos:
• Produtos escalares em termos
de componentes cartesianas:
( )escalar resultadocosθPQQP =• ��
PQQP ���� •=•
( ) 2121 QPQPQQP ������� •+•=+•
( ) indefinido =•• SQP ���
( ) ( )kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx �������� ++•++=• 2222 PPPPPP
QPQPQPQP
zyx
zzyyxx
=++=•
++=•
��
��
000111 =•=•=•=•=•=• ikkjjikkjjii ������������
Produto Escalar de dois Vetores
Aplicações
• Ângulo entre dois vetores:
• Projeção de um vetor sobre um
dado eixo:
PQ
QPQPQP
QPQPQPPQQP
zzyyxx
zzyyxx
++
=
++==•
θ
θ
cos
cos
��
OL
OL
PPQ
QP
PQQP
OLPPP
==
•
=•
==
θ
θ
θ
cos
cos
 eixo o sobre de projeção cos
��
��
�
Produto Escalar de dois Vetores
Aplicações
• Projeção de um vetor sobre um
eixo definido por um vetor
unitário:
zzyyxx
OL
PPP
PP
θθθ
λ
coscoscos ++=
•=
��
Exemplo
BEER, JOHNSTON, MAZUREK, EINSENBERG. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9 ed. 
Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2012.
Problema 3.35. Dados os vetores � = 3��− 	�+ 2�, � = 4��+ 5	�− 3� e #� =
− 2��+ 3	�− �, calcule os produtos escalares:
a) �.�
b) �. #�
c) �. #�
Produto triplo misto de três Vetores
• Produto triplo misto de três vetores:
• Os seis produtos triplos mistos que podem ser
formados com #�, � e � têm o mesmo valor absoluto,
mas não necessariamente o mesmo sinal:
• Analisando o produto triplo misto tem-se:
( ) escalar resultado=ו QPS ���
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )SPQQSPPQS
PSQSQPQPS
��������
���������
ו−=ו−=ו−=
ו=ו=ו
#� • � × � = #� ���( − �(�� + #� �(�� − ���(
 +#( ���� − ����
=
#� #� #(
�� �� �(
�� �� �(
Exemplo
BEER, JOHNSTON, MAZUREK, EINSENBERG. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9 ed. 
Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2012.
Problema 3.35 (modificado). Dados os vetores � = 3��− 	�+ 2�, � = 4��+
5	�− 3� e #� = −2��+ 3	�− �, calcule os produtos mistos:
a) �. � × #�
b) �. � × #�
c) #�. � × �
Momento de uma força em relação a um 
ponto
• Uma força é representada por um vetor que
define sua intensidade, sua direção e seu
sentido. Seu efeito em um corpo rígido
depende também do seu ponto de
aplicação;
• Omomento de uma força �� em relação a um
ponto O é definido como:
*+ = �� × ��
• O vetor momento *+ é perpendicular ao
plano que contém o ponto O e a força ��, ou
seja, o vetor momento é o resultado de um
produto vetorial de dois vetores;
Momento de uma força em relação a um 
ponto
• A intensidade de*+ expressa a tendência da
força de causar rotação em torno de um eixo
dirigido ao longo de*+ .
• O sentido do momento pode ser
determinado pela regra da mão direita;
• Qualquer força �′ que tem a mesma
intensidade, direção e sentido de �� , é
equivalente a ela se também tem sua
mesma linha de ação e portando, gera o
mesmo momento.
*- = �� sen 
 = �.
Momento de uma força em relação a um 
ponto
Estruturas bidimensionais
• Estruturas bidimensionais têm comprimento
e largura, mas profundidade desprezável e
estão sujeitas a forças contidas no plano da
estrutura;
• O plano da estrutura contém o ponto O e a
força ��.*+, o momento da força em relação
a O, é perpendicular ao plano;
• Se a força tende a girar a estrutura no
sentido anti-horário, o vetor momento
aponta para fora do plano da estrutura e a
intensidade do momento é positiva;
Momento de uma força em relação a um 
ponto
Estruturas bidimensionais
• Componentes retangulares do momento de
uma força:
*- = ��� − ��� �
*- = */ = ��� − ���
( ) ( )[ ]
( ) ( ) xBAyBAB
xBAyBAB
FyyFxxM
kFyyFxxM
−−−=
−−−=
��
Exemplo
BEER, JOHNSTON, MAZUREK, EINSENBERG. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9 ed. 
Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2012.
Problema resolvido 3.1. Uma força vertical de
450 N é aplicada na extremidade de umaalavanca que está ligada ao eixo em O.
Determine:
a) o momento da força em relação a O;
b) a força horizontal aplicada em A que gera o
mesmo momento;
c) a força mínima aplicada em A que gera o
mesmo momento;
d) a posição de uma força vertical de 1.080 N
para que ela gere o mesmo momento;
e) se alguma das forças obtidas nas partes b, c
e d é equivalente à força original
Momento de uma força em relação a um 
dado eixo
• Momento *+ de uma força ��
aplicada no ponto A em relação a
um ponto O:
• O momento *-0 em relação a um
eixo OL é a projeção do momento
*+ sobre esse eixo, ou seja:
• Momentos de �� em relação aos
eixos coordenados:
FrMO
�
�
�
×=
( )FrMM OOL ����� ו=•= λλ
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
−=
−=
−=
Momento de uma força em relação a um 
dado eixo
• Momento de uma força em relação
a um eixo arbitrário:
• O resultado é independente do
ponto B escolhido sobre o eixo
dado.
( )
BABA
BA
BBL
rrr
Fr
MM
���
�
�
�
��
−=
ו=
•=
λ
λ
Exemplo
BEER, JOHNSTON, MAZUREK, EINSENBERG. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9 ed. 
Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2012.
Problema resolvido 3.5 (modificado). Um
cubo sofre a ação de uma força � conforme
mostrado. Determine o momento de � :
a) Em relação a A;
b) Em relação à aresta AB;
c) Em relação à diagonal AG do cubo.
Exercícios
BEER, JOHNSTON, MAZUREK, EINSENBERG. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9 ed. 
Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2012.
Problema 3.1. Uma válvula de pedal para um sistema pneumático é
articulada em B. Sabendo que 1 = 28°, determine o momento de uma força
de 16 N em relação a B decompondo a força em componentes horizontal e
vertical.
Exercícios
BEER, JOHNSTON, MAZUREK, EINSENBERG. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9 ed. 
Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2012.
Problema 3.4. A força de 300 N é
aplicada em A como mostrado na
figura. Determine (a) o momento
da força de 300 N sobre D, (b) a
intensidade e sentido da força
horizontal aplicada em C que cria
o mesmo momento sobre D, (c) a
menor força aplicada em C que
cria o mesmo momento em D.
Exercícios
BEER, JOHNSTON, MAZUREK, EINSENBERG. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9 ed. 
Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2012.
Problema 3.40. Considere a rede de
voleibol mostrada na figura. Determine
o ângulo formado pelos cabos de
sustentação AC e AD.
Exercícios
BEER, JOHNSTON, MAZUREK, EINSENBERG. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9 ed. 
Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2012.
Problema 3.47. A tampa ABCD de uma
caixa de armazenagem, de 0,61 m x 1,0
m, é articulada ao longo do lado AB e
mantida aberta com uma corda DEC
laçada sem atrito a um gancho em E.
Sabendo-se que a tração na corda é 66
N, determine o momento em relação a
cada um dos eixos de coordenadas da
força exercida pela corda em D.
DESAFIO!
BEER, JOHNSTON, MAZUREK, EINSENBERG. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9 ed. 
Porto Alegre: Editora McGraw-Hill, 2012.
Problema 3.41. Sabendo que a força no
cabo AC é 1.260 N, determine (a) o
ângulo entre o cabo AC e a barra AB, (b)
a projeção em AB da força exercida pelo
cabo AC no ponto A.