Aula 06

Prévia do material em texto

ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ 
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϭ�ĚĞ�ϳϲ 
AULA 06: Medidas de comprimento, área, volume, 
massa e tempo. Proporcionalidade direta e inversa. 
�
�
Observação importante: este curso é protegido por direitos autorais 
(copyright), nos termos da Lei 9.610/98, que altera, atualiza e consolida a 
legislação sobre direitos autorais e dá outras providências. 
Grupos de rateio e pirataria são clandestinos, violam a lei e prejudicam os 
professores que elaboram os cursos. Valorize o trabalho de nossa equipe 
adquirindo os cursos honestamente através do site Estratégia Concursos ;-) 
SUMÁRIO PÁGINA
1. Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo 01 
2. Proporcionalidade Direta e Inversa 16 
3. Exercícios comentados nesta aula 63 
4. Gabarito 76 
1 – Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo 
Esse assunto é um dos mais tranquilos, pois muitas coisas que vemos aqui estão 
presentes no nosso dia a dia. Primeiramente é importante lembrar que medir 
alguma coisa significa comparar com alguma grandeza padrão. Assim, quando 
dizemos que uma pessoa mede 2 metros de altura quer dizer que ele tem 2 vezes 
o comprimento do padrão estabelecido para 1 metro. A título de curiosidade, a 
medida de 1 metro é padronizada como sendo “o comprimento do trajeto 
percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 
458.792.299
1 de 
segundo”. 
Existem alguns sistemas de medidas padronizados no planeta, mas no nosso 
curso, trataremos do Sistema Internacional de Unidades (SI), que é o sistema 
adotado no Brasil. Não veremos as medidas utilizadas na Inglaterra ou nos 
Estados Unidos, como a polegada, a jarda, etc., até porque estas medidas, hoje 
em dia, são padronizadas em função das medidas do SI. 
Medidas de Comprimento 
O metro (m) é a unidade padrão de medida de comprimento no SI. Assim, o mais 
importante para o nosso estudo é conhecermos seus múltiplos e submúltiplos 
decimais. Comecemos com os submúltiplos decimais: 
1 decímetro (1 dm) = 0,1 metro (0,1 m) = 10-1 m 
1 centímetro (1 cm) = 0,01 metro (0,01 m) = 10-2 m 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������Ϯ�ĚĞ�ϳϲ
1 milímetro (1 mm) = 0,001 metro (0,001 m) = 10-3 m 
Essas são as três subdivisões mais importantes. Temos ainda o seguinte: 
1 décimo de milímetro = 0,0001 metro (0,0001 m) = 10-4 m. 
1 centésimo de milímetro = 0,00001 metro (0,00001 m) = 10-5 m. 
1 milésimo de milímetro = 1 micrômetro (1 μm) = 0,000001 m = 10-6 m. 
Agora, vejamos os múltiplos do metro: 
1 decâmetro (1 dam) = 10 metros. 
1 hectômetro (1 hm) = 100 metros = 102 m. 
1 quilômetro (1 km) = 1.000 metros = 103 m. 
Resumindo: 
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
km hm dam m dm cm mm 
Para passar de uma subdivisão para outra se multiplica (ou divide) por 10. Por 
exemplo, para sabermos quantos decâmetros vale uma medida x em hectômetro, 
multiplicamos essa medida por 10. 
x = 5 hectômetros, que corresponde a: 5 × 10 = 50 decâmetros. 
Medidas de Área (ou superfície) 
O metro quadrado (m2) é a unidade padrão de medida de área no SI, pois deriva 
do padrão de comprimento (é o produto de duas dimensões de comprimento: 
largura e profundidade). Esta área corresponde a um quadrado com cada lado 
medindo 1 metro. Aqui também vale destacar seus múltiplos e submúltiplos 
decimais. Comecemos com os submúltiplos decimais: 
1 decímetro quadrado (1 dm2) = 0,01 metro quadrado (0,01 m2) = 10-2 m2. 
1 centímetro quadrado (1 cm2) = 0,0001 metro quadrado (0,0001 m2) = 10-4 m2. 
1 milímetro quadrado (1 mm2) = 0,000001 m2 = 10-6 m2. 
Agora, vejamos os múltiplos do metro quadrado: 
1 decâmetro quadrado (1 dam2) = 100 metros quadrados = 102 m2
1 hectômetro quadrado (1 hm2) = 10.000 metros quadrados = 104 m2
1 quilômetro quadrado (1 km2) = 1.000.000 metros quadrados = 106 m2
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10 
÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϯ�ĚĞ�ϳϲ
Resumindo: 
Quilômetro 
quadrado 
Hectômetro 
quadrado 
Decâmetro 
quadrado 
Metro 
quadrado
Decímetro 
quadrado
Centímetro 
quadrado 
Milímetro 
quadrado
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
 
Para passar de uma subdivisão para outra se multiplica (ou divide) por 100. 
Vale a pena mencionar algumas medidas de área que são muito utilizadas no 
Brasil quando nos referimos a terrenos (fazendas): 
1 are (1 a) = 1 dam2 = 100 m2
1 hectare (1 ha) = 1 hm2 = 10.000 m2
Medidas de Volume 
O metro cúbico (m3) é a unidade padrão de medida de volume no SI, também por 
derivar do comprimento (é o produto de três dimensões de comprimento: largura, 
profundidade e altura). Esta volume corresponde a um cubo com cada aresta 
medindo 1 metro. Aqui também vale destacar seus múltiplos e submúltiplos 
decimais. Comecemos com os submúltiplos decimais: 
1 decímetro cúbico (1 dm3) = 0,001 metro cúbico (0,001 m3) = 10-3 m2. 
1 centímetro cúbico (1 cm3) = 0,000001 m3 = 10-6 m2. 
1 milímetro cúbico (1 mm3) = 0,000000001 m3 = 10-9 m2. 
Agora, vejamos os múltiplos do metro cúbico: 
1 decâmetro cúbico (1 dam3) = 1.000 metros cúbicos = 103 m3
1 hectômetro cúbico (1 hm3) = 1.000.000 metros cúbicos = 106 m3
1 quilômetro cúbico (1 km3) = 1.000.000.000 metros cúbicos = 109 m3
Resumindo: 
Quilômetro 
cúbico 
Hectômetro 
cúbico 
Decâmetro 
cúbico 
Metro 
cúbico 
Decímetro 
cúbico 
Centímetro 
cúbico 
Milímetro 
cúbico 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
×100 ×100 ×100 ×100 ×100 ×100 
÷100 ÷100 ÷100 ÷100 ÷100 ÷100 
×1.000 ×1.000 ×1.000 ×1.000 ×1.000 ×1.000 
÷1.000 ÷1.000 ÷1.000 ÷1.000 ÷1.000 ÷1.000 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϰ�ĚĞ�ϳϲ
Para passar de uma subdivisão para outra se multiplica (ou divide) por 1.000. 
Para volume, também costumamos nos referir da seguinte forma: 
1 cm3 = 1 mililitro (1 mL) 
1 dm3 = 1 litro (1 L) 
1 m3 = 1.000 litros (1.000 L) 
A título de curiosidade, antigamente definiu-se o litro como sendo “o volume 
ocupado por 1 quilograma de água pura em sua densidade máxima e sob pressão 
atmosférica normal”. Ocorre que este volume e o volume de 1 decímetro cúbico 
apresentam uma diferença da ordem de 18 milionésimos. Assim, decidiu-se abolir 
esta definição para litro e passou-se a adotar que 1 litro corresponde a 1 
decímetro cúbico.
Medidas de Massa 
Vamos falar agora das medidas de massa. No Sistema Internacional de Unidades, 
a unidade padrão para se medir a massa é o quilograma (kg). No nosso dia a dia 
costumamos chamar de peso, o que na verdade se trata de massa. Quando 
falamos que nosso peso é 80 kg, por exemplo, na verdade estamos nos referindo 
a nossa massa. O certo seria falarmos que nossa massa mede 80 kg. Como 
exceção do SI, os múltiplos e submúltiplos das medidas de massa são baseados 
no grama. Vejamos: 
1 decigrama (1 dg) = 0,1 grama (0,1 g) = 10-1 g 
1 centigrama (1 cg) = 0,01 grama (0,01 g) = 10-2 g 
1 miligrama (1 mg) = 0,001 grama (0,001 g) = 10-3 g 
Agora, vejamos os múltiplos do grama: 
1 decagrama (1 dag) = 10 gramas. 
1 hectograma (1 hg) = 100 gramas = 102 g. 
1 quilograma (1 kg) = 1.000 gramas = 103 g. 
Temos ainda: 
1 tonelada (1 t) = 1.000 quilogramas (103 kg) = 1.000.000 gramas (106 g) 
1 arroba = 15 quilogramas (15 kg). 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�ϬϲWƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϱ�ĚĞ�ϳϲ
Resumindo: 
Quilograma Hectograma Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama
kg hg dag g dg cg mg 
Para passar de uma subdivisão para outra se multiplica (ou divide) por 10. 
Medidas de Tempo 
A unidade padrão de tempo do SI é o segundo (s). A título de curiosidade, o 
segundo é definido como 
400.86
1 do dia solar médio. Aqui, temos também seus 
múltiplos e submúltiplos, só que um pouco diferente do que vimos até agora. 
Vejamos: 
1 décimo de segundo = 0,1 segundo (0,1 s) = 10-1 s 
1 centésimo de segundo = 0,01 segundo (0,01 s) = 10-2 s 
1 milésimo de segundo = 0,001 segundo (0,001 s) = 10-3 s 
Temos também: 
1 minuto (1 min) = 60 segundos (60 s). 
1 hora (1 h) = 60 minutos (60 min) = 3.600 segundos (3.600 s). 
1 dia (1 d) = 24 horas (24 h) = 1.440 min = 86.400 s. 
Dia Hora Minuto Segundo
d h min S 
Bom, chega de teoria e vamos às questões! 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
01 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Cem mil centímetros cúbicos correspondem a 
um metro cúbico.
Solução:
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10 
÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 
×24 ×60 ×60 
÷24 ÷60 ÷60 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϲ�ĚĞ�ϳϲ
Vimos que: 
1 m = 102 cm = 100 cm 
1 m2 = 104 cm2 = 10.000 cm2
1 m3 = 106 cm3 = 1.000.000 cm3
Portanto, um metro cúbico corresponde a 1 milhão de centímetros cúbicos. Item 
errado. 
02 - (Prefeitura de Vila Velha - 2008 / CESPE) O volume de 0,5 dm3 é igual a 
50 mL. 
Solução:
Sabemos que: 
1 dm3 = 1 litro 
1 cm3 = 1 mL 
1 dm3 = 103 cm3 = 1.000 cm3
Assim, temos: 
0,5 dm3 = 0,5 × 1.000 cm3
0,5 dm3 = 500 cm3 = 500 mL 
Portanto, o item está errado. 
03 - (Prefeitura de Rio Branco - 2007 / CESPE) Se a área de um terreno 
retangular é igual a 1 hectare (ha) e o comprimento de um dos seus lados é 
igual a 80 m, então, o perímetro desse terreno é superior a 450 m. 
Solução:
O único problema desta questão é saber que a área de um terreno retangular é 
dada pelo produto dos seus dois lados distintos. Além disso, devemos saber que: 
1 hectare (ha) = 10.000 m2
Assim, se um dos lados mede 80 m, temos: 
L × 80 = 10.000 
L = 
80
10000
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϳ�ĚĞ�ϳϲ
L = 125 m 
Assim, temos: 
Lembrando que o perímetro de uma figura geométrica é igual a soma das medidas 
de seus lados, temos:
Perímetro = 125 + 125 + 80 + 80 = 410 m 
Portanto, o item está errado. 
(Texto para a questão 04) Uma dona de casa, ao preparar uma massa de pão, 
constatou que a receita indicava as quantidades dos ingredientes em gramas 
e, não possuindo balança para as medições necessárias, resolveu usar um 
copo graduado em mililitros para medir as quantidades dos ingredientes. 
Com base nessa situação hipotética, julgue o item seguinte. 
04 - (CBM/DF - 2011 / CESPE) A ação da dona de casa se justifica pois, 
independentemente do ingrediente, o número que representa a sua massa, 
em gramas, será o mesmo, em mililitros. 
Solução:
Podemos perceber que esta questão está errada, pois está dizendo que as 
medidas de volume (mililitros) e de massa (gramas) podem ser usados para o 
mesmo fim, que é medir a massa de um ingrediente. Ora, pensem num exemplo: 
uma xícara cheia de algodão e outra cheia de chumbo possuem a mesma massa? 
Lógico que não, o que elas possuem é o mesmo volume.
05 - (Prefeitura de Rio Branco - 2007 / CESPE) Considere que o tanque de um 
veículo tem capacidade para 52 L de combustível. Com o tanque cheio, o 
veículo pesa 1.120 kg e, com o tanque abastecido até 
4
3 de sua capacidade, 
1.100,5 kg. Nessa situação, é correto afirmar que o veículo, com o tanque 
vazio, pesa mais de 1.040 kg. 
Solução:
125 m 
125 m 
 80 m 80 m 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϴ�ĚĞ�ϳϲ
Bom, podemos perceber que ao retirar 
4
1 de combustível do tanque, o peso do 
veículo reduziu de 1.120 para 1.100,5 kg. Assim, podemos concluir que: 
4
1 de 52 L de combustível pesa 1.120 – 1.100,5 = 19,5 kg 
Logo, 
52 L de combustível pesam 4 × 19,5 kg = 78 kg 
Com isso, o veículo com o tanque vazio irá pesar: 
Peso do veículo com tanque vazio = 1120 – 78 kg = 1.042 kg 
Portanto, o item está correto. 
(Texto para as questões 06 e 07) Uma cliente comprou café, em pacotes de 
500 g, a R$ 5,20 cada pacote, e açúcar, em pacotes de 5 kg, a R$ 8,50 o 
pacote. Pelos produtos, que pesaram 18 kg, a cliente pagou R$ 56,70. 
Considerando essa situação, julgue os itens subsequentes. 
06 - (PM/DF - 2009 / CESPE) Pelo açúcar comprado, a cliente pagou menos 
de R$ 27,00. 
Solução:
Nessa questão, a primeira premissa para não errarmos nas contas é transformar 
as medidas para uma mesma unidade. Assim: 
500 g = 0,5 kg 
Agora, devemos descobrir qual a quantidade de cada produto que a cliente 
comprou. Chamando de A a quantidade de pacotes de açúcar e de C a de café, 
temos: 
pesaram 18 kg 
0,5.C + 5.A = 18 
0,5.C = 18 – 5.A 
Multiplicando tudo por 2, 
C = 36 – 10.A 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϵ�ĚĞ�ϳϲ
Sabemos, também, que: 
a cliente pagou R$ 56,70 
5,2.C + 8,5.A = 56,70 
Substituindo o valor de C encontrado acima: 
5,2.C + 8,5.A = 56,70 
5,2.(36 – 10.A) + 8,5.A = 56,70 
187,2 – 52.A + 8,5.A = 56,70
187,2 – 56,70 = 52.A – 8,5.A
130,5 = 43,5.A
A = 
5,43
5,130
A = 3 
Assim, podemos concluir que a cliente pagou: 
Total pago pelo açúcar = 3 × 8,5 = R$ 25,50 
Item correto. 
07 - (PM/DF - 2009 / CESPE) A cliente comprou mais de 3.500 g de café. 
Solução:
Utilizando as informações da questão anterior, vimos que a cliente comprou 3 
pacotes de açúcar. Assim: 
C = 36 – 10.A 
C = 36 – 10 × 3 
C = 36 – 30 = 6
Portanto, a cliente comprou 6 pacotes de 500 g de café:
Total comprado de café = 6 × 500 g = 3.000 g 
Item errado. 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϭϬ�ĚĞ�ϳϲ
08 - (TRT 23ª Região - 2007 / FCC) No almoxarifado de certa empresa há um 
rolo de arame cujo fio mede 0,27 km de comprimento. Se todo o fio desse 
rolo for cortado em pedaços iguais, cada qual com 120 cm de comprimento, 
o número de partes que serão obtidas é 
(A) 225 
(B) 205 
(C) 180 
(D) 160 
(E) 155 
Solução:
A primeira coisa a se fazer nessa questão é colocar tudo numa mesma unidade de 
comprimento. Passando o comprimento do rolo de arame de km para cm, temos: 
0,27 km = 270 m = 27.000 cm 
Com isso, resta descobrirmos quantos pedaços de 120 cm podemos retirar desse 
rolo de arame: 
Total de pedaços = 
120
000.27
Total de pedaços = 225 pedaços 
Resposta letra A. 
09 - (TRT 22ª Região - 2004 / FCC) Certo dia, um auxiliar gastou 5.040 
segundos para entregar as correspondências de diferentes setores do 
Tribunal. Se essa tarefa teve início às 8 horas e 56 minutos e foi executada 
ininterruptamente, então ele finalizou a entrega das correspondências às 
(A) 10 horas. 
(B) 10 horas e 5 minutos. 
(C) 10 horas e 20 minutos. 
(D) 10 horas e 36 minutos. 
(E) 10 horas e 45 minutos. 
Solução:Nessa questão, o melhor a fazer é passar os 5.040 segundos para o formato hora, 
minuto, segundo: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϭϭ�ĚĞ�ϳϲ
5.040 segundos = 
60
040.5 minutos 
5.040 segundos = 84 minutos 
84 minutos = 
60
84 horas 
84 minutos = 1 hora e 24 minutos 
Agora, se a tarefa iniciou às 8 horas e 56 minutos, e durou 1 hora e 24 minutos, 
podemos encontrar o horário em que a tarefa terminou: 
Horário de término = 8 horas e 56 minutos + 1 hora e 24 minutos 
Horário de término = 9 horas e 80 minutos 
Horário de término = 9 horas + 1 hora e 20 minutos 
Horário de término = 10 horas e 20 minutos 
Resposta letra C. 
10 - (TRT 22ª Região - 2004 / FCC) Sabe-se que a água existente no interior 
de um recipiente X ocupa 
5
2 de sua capacidade. Se, usando toda essa água, 
é possível encher 18 garrafas, cada qual com volume de 1.250 cm3, a 
capacidade de X, em litros, é 
(A) 55,75 
(B)) 56,25 
(C) 56,50 
(D) 56,75 
(E) 57,25 
Solução:
Nessa questão, a primeira coisa a fazer é saber o volume em litros de cada 
garrafa. Assim, temos: 
1 cm3 = 1 mL = 0,001 litro 
1.250 cm3 = 1.250 mL = 1,25 litro 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϭϮ�ĚĞ�ϳϲ
Com isso, podemos encontrar o volume total de água: 
Volume total de água = 1,25 × 18 
Volume total de água = 22,5 litros 
Por fim, se 22,5 litros corresponde a 
5
2 da capacidade de X, temos: 
5
2 de X = 22,5 
5
X.2 = 22,5 
2.X = 5 × 22,5 
2.X = 112,5 
X = 
2
5,112
X = 56,25 litros 
Resposta letra B. 
11 - (TRT 15ª Região - 2009 / FCC) Num dado momento, observou-se que o 
volume de água no interior da caixa d’água de um edifício ocupava 
3
1 de sua 
capacidade e que, se lá fossem colocados mais 0,24 m3 de água, o volume 
de água na caixa passaria a ocupar os 
5
2 de sua capacidade. Considerando 
que não foi colocada água no interior da caixa, então, no momento da 
observação, o número de litros de água que seriam necessários para enchê-
la era 
(A) 1.800 
(B) 2.400 
(C) 2.500 
(D) 3.200 
(E) 3.600 
Solução:
Nessa questão, vamos começar passando a quantidade 0,24 m3 de água para 
litros: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϭϯ�ĚĞ�ϳϲ
1 m3 = 1.000 L 
0,24 m3 = 240 L 
Assim, sabendo que ao acrescentar 240 litros de água na caixa d’água, seu 
volume passou de 
3
1 de sua capacidade para 
5
2 de sua capacidade, e chamando 
a capacidade da caixa d’água de X, temos: 
3
1 de X + 240 = 
5
2 de X 
3
X + 240 = 
5
X.2
5
X.2 – 
3
X = 240 
15
600.3X.5X.6 =−
X = 3.600 litros 
Agora, o que queremos é o número de litros de água que seriam necessários para 
encher a caixa d’água no momento da observação. Nesse momento o volume de 
água no interior da caixa d’água ocupava 
3
1 de sua capacidade. Assim, 
concluímos que para enchê-la, faltavam 
3
2 de sua capacidade: 
Quantidade que faltava para encher a caixa d’água = 
3
2 de X 
Quantidade que faltava para encher a caixa d’água = 
3
2
× 3.600 
Quantidade que faltava para encher a caixa d’água = 2.400 litros 
Resposta letra B. 
12 - (PROMINP – 2010 / CESGRANRIO) Uma empresa aluga bicicletas para 
passeios na orla de certa cidade. O cliente paga R$ 12,00 pela primeira hora 
e mais R$ 2,00 a cada período de 15 minutos adicionais, completos ou não. 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϭϰ�ĚĞ�ϳϲ
Por exemplo, uma pessoa que utilizar a bicicleta por 1h e 25 min pagará R$ 
16,00 (a primeira hora mais dois períodos de 15 minutos). João alugou uma 
bicicleta e pagou R$ 22,00 pelo passeio, mas poderia ter passeado por mais 
7 minutos pelo mesmo preço. Durante quanto tempo João utilizou a 
bicicleta? 
(A) 1h 45min 
(B) 1h 53min 
(C) 2h 8min 
(D) 2h 15min 
(E) 2h 22min 
Solução: 
Nessa questão, devemos entender que a primeira hora custa R$ 12,00 e a partir 
da segunda hora, o custo passa a ser de R$ 2,00 por cada período de 15 minutos. 
Assim, sabendo que foi gasto R$ 22,00, podemos concluir de cara que João 
pedalou por mais de 1 hora. Assim, temos: 
1ª hora: R$ 12,00 
Tempo adicional: R$ 22,00 – R$ 12,00 = R$ 10,00
Total de períodos de 15min utilizados por João após a 1ª hora: 
2
10 = 5 períodos 
Tempo total pago por João: 1h + 5 × 15min = 1h + 75min 
Como 1 hora possui 60 minutos, temos 
Tempo total pago por João: 1h + 75min = 1h + 1h + 15min = 2h + 15min 
Por fim, como foi dito que ainda restavam 7 minutos para João, podemos 
encontrar o tempo total que João utilizou a bicicleta: 
Tempo total utilizando a bicicleta: 2h + 15min – 7min = 2h + 8min 
Resposta letra C. 
13 - (METRÔ/SP – 2015 / FCC) O registro de segurança de um equipamento 
deve ser verificado manualmente a cada 8 minutos e 40 segundos. Pedro é 
um funcionário que assumiu às 15h 30min 00s a tarefa de fazer a verificação 
desse registro. Sabendo-se que a última vez que o registro foi verificado 
antes do turno de Pedro aconteceu às 15h 24min 56s, a primeira verificação 
que Pedro fará depois das 16h 00min 00s deverá acontecer às 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϭϱ�ĚĞ�ϳϲ
(A) 16h 07min 36s. 
(B) 16h 04min 16s. 
(C) 16h 08min 16s. 
(D) 16h 06min 36s. 
(E) 16h 07min 56s. 
Solução: 
Nessa questão, podemos encontrar os horários em que a verificação deve ocorrer, 
adicionando o tempo de 8min e 40s ao instante da verificação anterior: 
1ª verificação de Pedro = 15h 24min 56s + 8min e 40s 
1ª verificação de Pedro = 15h 32min 96s 
1ª verificação de Pedro = 15h 32min + 1min e 36s 
1ª verificação de Pedro = 15h 33min 36s 
2ª verificação de Pedro = 15h 33min 36s + 8min e 40s 
2ª verificação de Pedro = 15h 41min 76s 
2ª verificação de Pedro = 15h 41min + 1min e 16s 
2ª verificação de Pedro = 15h 42min 16s 
3ª verificação de Pedro = 15h 42min 16s + 8min e 40s 
3ª verificação de Pedro = 15h 50min 56s 
4ª verificação de Pedro = 15h 50min 56s + 8min e 40s 
4ª verificação de Pedro = 15h 58min 96s 
4ª verificação de Pedro = 15h 58min + 1min e 36s 
4ª verificação de Pedro = 15h 59min 36s 
5ª verificação de Pedro = 15h 59min 36s + 8min e 40s 
5ª verificação de Pedro = 15h 67min 76s 
5ª verificação de Pedro = 15h 67min + 1min e 16s 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϭϲ�ĚĞ�ϳϲ
5ª verificação de Pedro = 15h 68min 16s 
5ª verificação de Pedro = 15h + 1h 8min 16s 
5ª verificação de Pedro = 16h 8min 16s 
Resposta letra C. 
14 - (Associação Paranaense de Reabilitação - 2008 / UFPR) Uma telefonista 
encarregada de dar um aviso aos clientes gasta, pelo menos, 3 minutos e 18 
segundos em cada telefonema. Para fazer 20 telefonemas ela gastará, pelo 
menos
(A) Uma hora e 06 minutos. 
(B) Uma hora, 36 minutos e 36 segundos. 
(C) Uma hora e 54 minutos. 
(D) Duas horas, 06 minutos e 20 segundos. 
(E) Duas horas e 12 minutos 
Solução:
Nessa questão, vamos passar o tempo de cada ligação para segundo, em seguida 
multiplicar esta quantidade por 20, pois foram feitas 20 ligações, e por fim,transformar o tempo total encontrado para o formato de horas, minutos e 
segundos: 
3 minutos e 18 segundos = 3 × 60 + 18 = 180 + 18 = 198 segundos 
Como foram feitas 20 ligações, o tempo total gasto foi: 
Tempo total = 20 × 198 segundos = 3.960 segundos 
Por fim, passamos este valor para o formato horas, minutos e segundos: 
3.960 segundos = 
60
960.3 minutos = 66 minutos = 1 hora e 6 minutos. 
Resposta letra A. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2 – Proporcionalidade Direta e Inversa 
Vamos começar falando de razões e proporções. Dados dois números reais 
quaisquer x e y, com y ≠ 0, chamamos de razão entre x e y (nessa ordem) o 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϭϳ�ĚĞ�ϳϲ
quociente x ÷ y ou 
y
x . Chamamos de proporção a igualdade entre duas razões. 
Vejamos um exemplo: 
Na Bahia, num jogo de futebol entre os times do Bahia e do Vitória na Arena Fonte 
Nova, havia 300 torcedores na fila para a compra de ingressos. Desses 300 
torcedores, 200 estavam com a camisa do Bahia e 100 estavam com a camisa do 
Vitória. Assim, a razão entre o número de torcedores do Bahia e o número de 
torcedores do Vitória era igual a 
100
200 = 2 (podemos dizer que para cada 200 
torcedores do Bahia havia 100 torcedores do Vitória, ou então, que a cada 300 
torcedores, 200 eram do Bahia e 100 eram do Vitória). Na semana seguinte, outro 
jogo entre Bahia e Vitória, mas dessa vez no Barradão. Havia 30 torcedores na 
fila, sendo 20 torcedores do Bahia e 10 torcedores do Vitória. Assim, a razão entre 
o número de torcedores do Bahia e do Vitória era igual a 
10
20 = 2. Com isso, 
podemos dizer que a razão entre os torcedores do Bahia e do Vitória nos dois 
jogos eram iguais e podem ser mostradas da seguinte forma: 
100
200 = 
10
20
Essa igualdade entre duas razões, como vimos acima, é o que chamamos de 
proporção. Podemos dizer que “200 está para 100 assim como 20 está para 10”. 
Assim, dadas duas razões 
b
a e 
d
c , com b e d diferentes de zero, à sentença de 
igualdade 
b
a = 
d
c chamamos de proporção. Os valores a e d são chamados de 
extremos e os valores b e c denominados meios. Podemos definir a propriedade 
da proporção da seguinte forma: 
Se 
b
a = 
d
c , então a × d = b × c, ou seja, em toda proporção, o produto dos 
extremos é igual ao produto dos meios. Resumidamente, essa propriedade pode 
ser expressa dizendo-se que, em toda proporção, os produtos cruzados são 
iguais: 
b
a = 
d
c
Assim, a × d = b × c (a vezes d é igual a b vezes c). 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϭϴ�ĚĞ�ϳϲ
Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão 
entre a medida “x” de uma das grandezas e a medida “y” da outra grandeza for 
constante e diferente de zero, ou seja, 
y
x = k (com y ≠ 0) 
onde “k” é uma constante diferente de zero. 
Exemplo: O ingresso para um show de Rock custa R$ 30,00. Se tivermos um só 
pagante, a receita gerada será de R$ 30,00. Se tivermos 2 pagantes, a receita 
será de 2 × 30 = R$ 60,00, e assim por diante. Vamos chamar de “y” a receita 
proveniente da venda dos ingressos e de “x” a quantidade de ingressos vendidos 
correspondente: 
x 1 2 3 4 ... n 
y R$ 30,00 R$ 60,00 R$ 90,00 R$ 120,00 ... R$ n × 30,00
Perceba que quando x dobra de valor, y também dobra de valor, quando x triplica 
de valor, y também triplica de valor, e assim sucessivamente, com a razão entre x 
e y se mantendo constante. Ou seja, na medida que uma das grandezas aumenta 
de valor, a outra grandeza também aumenta de valor, na mesma proporção. Por 
isso dizemos que as duas grandezas são diretamente proporcionais. 
Por outro lado, dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais
quando o produto entre a medida “y” de uma das grandezas e a medida “x” da 
outra grandeza for constante e diferente de zero, ou seja, 
y × x = k 
onde “k” é uma constante diferente de zero. 
Exemplo: A distância entre Brasília e Goiânia é de aproximadamente 200 km. Se 
um ônibus deseja sair de Brasília e chegar a Goiânia com uma velocidade média 
“x”, em km/h, ele levará um tempo “y”, em horas. Podemos então construir uma 
tabelinha com a velocidade do ônibus e seu tempo correspondente: 
x 10 km/h 20 km/h 50 km/h 100 km/h ... V km/h 
y 20 h 10 h 4 h 2 h ... 200/V horas
Perceba que quando x dobra de valor, y reduz pela metade seu valor, quando 
multiplicamos o valor de x por 5, o valor de y divide por 5, e assim 
sucessivamente, com o produto ente x e y se mantendo constante. Ou seja, na 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϭϵ�ĚĞ�ϳϲ
medida que uma das grandezas aumenta de valor, a outra grandeza diminui de 
valor, de forma proporcional. Por isso dizemos que as duas grandezas são 
inversamente proporcionais. 
Uma observação importante é que se x e y forem inversamente proporcionais, 
podemos dizer que x é diretamente proporcional ao inverso de y. 
x × y = k (x e y são inversamente proporcionais) 
¸¸¹
·
¨¨©
§
y
1
x = k (x é diretamente proporcional ao inverso de y) 
Vamos ver como isso já foi cobrado. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
15 - (Correios - 2004 / UFPR) Uma empresa transportadora tem 180 
encomendas para serem entregues em vários endereços da cidade. 
Observou-se que foram entregues 30 delas em 2 horas e 15 minutos. Se for 
mantida essa média de tempo gasto, para entregar todas as encomendas 
serão necessárias exatamente: 
(A) 15 horas e 15 minutos. 
(B) 14 horas e 30 minutos. 
(C) 14 horas. 
(D) 13 horas e 30 minutos. 
(E) 13 horas e 15 minutos. 
Solução:
Nessa questão, primeiramente vamos passar o tempo de 2 horas e 15 minutos 
para minutos: 
2 horas e 15 minutos = 2 × 60 + 15 = 120 + 15 = 135 minutos 
Agora, podemos montar a seguinte proporção: 
utosmin135
encomendas30 = 
t
encomendas180
t = 
30
135180 ×
t = 6 × 135 = 810 minutos. 
Concurseiros Unidos MAIOR RATEIO de MATERIAIS
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϮϬ�ĚĞ�ϳϲ
Por fim, podemos passar este tempo total para o formato horas e minutos: 
810 minutos = 
60
810 horas = 13,5 horas = 13 horas e 30 minutos 
Resposta letra D.
16 - (TRT 5ª Região – 2003 / FCC) O primeiro andar de um prédio vai ser 
reformado e os funcionários que lá trabalham serão removidos. Se 
3
1 do 
total dos funcionários deverão ir para o segundo andar, 
5
2 do total para o 
terceiro andar e os 28 restantes para o quarto andar, o número de 
funcionários que serão removidos é 
(A) 50 
(B) 84 
(C) 105 
(D) 120 
(E) 150 
Solução: 
Nessa questão, vamos chamar o total de funcionários de x. Assim, temos: 
3
1 de x deverão ir para o segundo andar
5
2 de x deverão ir para o terceiro andar 
28 funcionários restantes deverão ir para o quarto andar 
Assim, podemos montar a seguinte equação: 
3
x + 
5
x.2 + 28 = x 
Tirando o mmc entre 3 e 5, que é igual a 15, temos: 
15
x.15420x.6x.5 =++
11.x + 420 = 15.x 
15.x – 11.x = 420 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������Ϯϭ�ĚĞ�ϳϲ4.x = 420 
x = 
4
420 = 105 
Resposta letra C.
17 - (TRT 5ª Região – 2003 / FCC) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho 
decorridos 
18
5 de um dia e retornou à sua casa decorridos 
16
13 do mesmo 
dia. Permaneceu fora de casa durante um período de 
(A) 14 horas e 10 minutos. 
(B) 13 horas e 50 minutos. 
(C) 13 horas e 30 minutos. 
(D) 13 horas e 10 minutos. 
(E) 12 horas e 50 minutos. 
Solução: 
Nessa questão, nós devemos entender que essa pessoa ficou fora de casa no 
período correspondente à diferença entre o horário que ela voltou e o horário que 
ela saiu. Assim: 
Período fora de casa = 
16
13 de 24 horas – 
18
5 de 24 horas 
Período fora de casa = (
16
13 – 
18
5 ) × 24 
Período fora de casa = (
144
40117 − ) × 24 
Período fora de casa = (
144
77 ) × 24 
Período fora de casa = 
6
77 = 12 + 
6
5 = 12 horas e 50 minutos 
Resposta letra E. 
18 - (TRT 1ª Região – 2011 / FCC) A figura indica uma caixa de fósforos 
utilizada em uma maquete para representar um galpão. A escala horizontal 
dessa maquete é 1:1200, e escala vertical 1:250. 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϮϮ�ĚĞ�ϳϲ
As dimensões reais do galpão representado na maquete pela caixa de 
fósforo são 
(A) 5 m por 24 m por 48 m. 
(B) 5 m por 60 m por 120 m. 
(C) 12,5 m por 60 m por 120 m. 
(D) 50 m por 60 m por 120 m. 
(E) 50 m por 240 m por 480 m. 
Solução: 
Nessa questão, devemos saber primeiramente como interpretar uma escala. 
Quando temos a informação de que a maquete está na escala 1:1200 (lemos 1 
para mil e duzentos) devemos entender que cada centímetro da maquete 
representa 1200 centímetros do tamanho real. Assim, temos: 
Escala vertical: 1:250 
Altura: 2 cm, que equivale a 2 × 250 = 500 cm, ou 5 metros
Escala horizontal: 1:1200 
Largura: 5 cm, que equivale a 5 × 1.200 = 6.000 cm, ou 60 metros 
Profundidade: 10 cm, que equivale a 10 × 1.200 = 12.000 cm, ou 120 metros 
Resposta letra B. 
19 - (CREF/4ª Região – 2013 / Cetro) A idade de um avô está para a idade de 
seu neto como 6 está para 
4
3 . Se a soma das idades é 81, então, o neto tem 
(A) 9 anos. 
(B) 10 anos. 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������Ϯϯ�ĚĞ�ϳϲ
(C) 12 anos. 
(D) 15 anos. 
(E) 18 anos. 
Solução: 
Nessa questão, vamos chamar de A a idade do avô e de N a idade do neto. 
Assim, sabendo que a soma das idades é igual a 81, temos: 
A + N = 81 
Além disso, foi dito que a idade do Avô está para a idade do neto assim como 6 
está para 
4
3 . Assim: 
N
A = 
4
3
6
N
A = 6 ×
3
4
N
A = 8 
A = 8.N 
Substituindo o valor de A na primeira equação, temos: 
A + N = 81 
8.N + N = 81 
9.N = 81 
N = 
9
81
N = 9 
Resposta letra A. 
20 - (MPE/MA – 2012 / FCC) Um motor funciona durante 3 horas consecutivas 
com 1 litro do combustível A, e 2,5 horas consecutivas com 1 litro do 
combustível B. Admita que esse motor funcione com qualquer mistura dos 
combustíveis A e B, e sempre com rendimento diretamente proporcional ao 
tempo de funcionamento com cada combustível quando utilizado 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������Ϯϰ�ĚĞ�ϳϲ
isoladamente. O tempo de funcionamento desse motor com uma mistura de 
500 mL de combustível A e 500 mL de combustível B será de 2 horas e 
(A) 42 minutos. 
(B) 52 minutos. 
(C) 48 minutos. 
(D) 40 minutos. 
(E) 45 minutos. 
Solução: 
Nessa questão, vamos calcular qual o tempo de funcionamento de cada motor 
com cada combustível isoladamente e depois somar os resultados: 
Combustível A. 
litro1
horas3 = 
litro5,0
horasA
A = 0,5 × 3 
A = 1,5 hora 
Combustível B. 
litro1
horas5,2 = 
litro5,0
horasB
B = 0,5 × 2,5 
B = 1,25 hora 
Por fim, podemos calcular o total de tempo que o motor funcionou com essa 
mistura: 
Tempo total = 1,5 + 1,25 
Tempo total = 2,75 horas 
Tempo total = 2 horas + 0,75 × 60 minutos 
Tempo total = 2 horas + 45 minutos 
Resposta letra E.
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������Ϯϱ�ĚĞ�ϳϲ
21 - (METRÔ/SP – 2007 / FCC) Habitualmente, no preparo de 22 litros de café 
com leite em uma lanchonete, são usados café e leite, cujas respectivas 
quantidades estão entre si assim como 4 está para 7. Quantos litros de café 
com leite poderiam ser preparados se, mantida a quantidade habitual de 
café, a proporção passasse a ser de duas partes de café para cinco partes de 
leite? 
(A) 28 
(B) 27 
(C) 26 
(D) 25 
(E) 24 
Solução: 
Chamando a quantidade inicial de café de C e a quantidade inicial de leite de L, 
temos: 
L + C = 22 (equação 1) 
Além disso, temos a seguinte proporção entre C e L: 
L
C = 
7
4
C = 
7
L.4
Substituindo o valor de C na equação 1, temos: 
L + C = 22 
L + 
7
L.4 = 22 
7
L.4L.7 + = 22 
11.L = 7 × 22 
L = 14 
Voltando para a equação 1, temos: 
L + C = 22 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������Ϯϲ�ĚĞ�ϳϲ
14 + C = 22 
C = 22 – 14 
C = 8 
Agora, chamando de X a nova quantidade de leite necessária para que, mantida a 
quantidade de café, a proporção passe a ser 2 para 5, temos: 
X
C = 
5
2
X
8 = 
5
2
2.X = 8 × 5 
X = 
2
40
X = 20 
Portanto, a nova quantidade de café com leite passará a ser a seguinte: 
Nova quantidade de café com leite = C + X 
Nova quantidade de café com leite = 8 + 20 
Nova quantidade de café com leite = 28 
Resposta letra A. 
22 - (Assembleia Legislativa/SP – 2010 / FCC) Considere que Tancredo gasta, 
em média, 
8
N horas para analisar N documentos fiscais. Assim sendo, para 
cada 10 documentos a mais que Tancredo analisar, o acréscimo de tempo na 
análise dos documentos será de 
(A) 2 horas e 30 minutos. 
(B) 2 horas e 15 minutos. 
(C) 1 hora e 45 minutos. 
(D) 1 hora e 30 minutos. 
(E) 1 hora e 15 minutos. 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������Ϯϳ�ĚĞ�ϳϲ
Solução: 
Nessa questão, devemos entender que cada documento analisado por Tancredo 
leva 
8
1 de hora. Com isso, para analisar 10 documentos Tancredo levará: 
Tempo gasto para análise de 10 documentos = 
8
10 hora 
Tempo gasto para análise de 10 documentos = 1,25 hora 
Tempo gasto para análise de 10 documentos = 1 hora + 0,25 × 60 minutos 
Tempo gasto para análise de 10 documentos = 1 hora + 15 minutos 
Resposta letra E. 
23 - (TRF 3ª Região – 2014 / FCC) Um tanque com 5.000 litros de capacidade 
estava repleto de água quando, às 00:00 hora de um certo dia, a água 
começou a escapar por um furo à vazão constante. À 01:00 hora desse 
mesmo dia, o tanque estava com 4.985 litros de água, e a vazão de escape da 
água permaneceu constante até o tanque se esvaziar totalmente, dias 
depois. O primeiro instante em que o tanque se esvaziou totalmente ocorreu 
em um certo dia às 
(A) 14 horas e 20 minutos. 
(B) 21 horas e 20 minutos. 
(C) 18 horas e 40 minutos. 
(D) 14 horas e 40 minutos. 
(E) 16 horas e 20 minutos. 
Solução: 
Nessa questão, podemos perceber que a vazãoda água se dá na proporção de 
5.000 – 4.985 = 15 litros por hora. Com isso, podemos montar a seguinte 
proporção: 
hora1
litros15 = 
horasX
litros000.5
15.X = 5.000 
X = 
15
000.5
X = 333,333... horas 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������Ϯϴ�ĚĞ�ϳϲ
X = 
24
...333,333 dias 
X = 13,888... dias 
X = 13 dias + 0,888... × 24 horas 
X = 13 dias + 21,333... horas 
Aqui já temos a resposta, pois só uma alternativa apresenta a quantidade de horas 
igual a 21. Se quisermos encontrar o valor exato, temos: 
X = 13 dias + 21 horas + 0,333... × 60 minutos 
X = 13 dias + 21 horas + 20 minutos
Resposta letra B. 
24 - (TRT 15ª Região – 2009 / FCC) Ao concorrer à licitação na modalidade 
Pregão, é contratada a empresa que oferecer o menor preço pelos seus 
serviços. Sabe-se que, das empresas cadastradas para concorrer à licitação 
em tal modalidade, para a contratação de empresa especializada para 
fornecimento de doses de vacina contra a gripe, apenas três (X, Y e Z) foram 
julgadas habilitadas a participar da fase de lances. Encerrado o Pregão, com 
relação aos três últimos lances feitos para o valor da dose da vacina, 
observou-se que: 
í�YDORU�GR�ODQFH�GH�;�H[FHGLD�R�GH�<�HP�5��������
− a razão entre o valor do lance de Y e o valor do de Z era, nesta ordem, igual 
a 
5
4 ; 
− os valores dos lances de X e Z totalizavam R$ 24,50. 
Considerando que a Pregoeira encaminhou ao licitante que apresentou o 
lance mais vantajoso, uma contraproposta de preço no valor de R$ 9,50, 
então a diferença entre o valor do lance e o da contraposta é de 
(A) R$ 0,98 
(B) R$ 0,94 
(C) R$ 0,82 
(D) R$ 0,74 
(E) R$ 0,72 
Solução: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������Ϯϵ�ĚĞ�ϳϲ
Nessa questão temos o seguinte: 
í�YDORU�GR�ODQFH�GH�;�H[FHGLD�R�GH�<�HP�5��������
X – Y = 1,46 
X = Y + 1,46 (equação 1) 
− a razão entre o valor do lance de Y e o valor do de Z era, nesta ordem, igual 
a 
5
4
Z
Y = 
5
4
4.Z = 5.Y 
Z = 
4
Y.5
Z = 1,25.Y (equação 2) 
− os valores dos lances de X e Z totalizavam R$ 24,50. 
X + Z = 24,5 (equação 3) 
Substituindo os valores de X e de Z das equações 1 e 2 na equação 3, temos: 
X + Z = 24,5 
Y + 1,46 + 1,25.Y = 24,5 
2,25.Y = 24,5 – 1,46 
2,25.Y = 23,04 
Y = 
25,2
04,23
Y = 10,24 
Agora, podemos encontrar X e Z: 
X = Y + 1,46 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϯϬ�ĚĞ�ϳϲ
X = 10,24 + 1,46 
X = 11,7 
Z = 1,25.Y 
Z = 1,25 × 10,24 
Z = 12,8 
Como se desejava o menor preço, a proposta mais vantajosa para a pregoeira era 
a proposta Y. Percebam que não precisávamos encontrar os valores de X e de Z 
para chegarmos a essa conclusão, pois X era igual a Y + 1,46, ou seja, X era 
maior que Y, e Z era igual a Y multiplicado por 1,25, o que também resultaria 
certamente em um valor maior que Y. 
Por fim, podemos calcular o valor que a proposta Y excedia a contraproposta da 
pregoeira: 
Diferença = Y – 9,5 
Diferença = 10,24 – 9,5 = R$ 0,74
Resposta letra D.
25 - (METRÔ/SP – 2012 / FCC) Relativamente aos acidentes que podem 
ocorrer durante a operação das linhas de trens metropolitanos, suponha 
que: de cada 20 acidentes ocorridos, 12 são em decorrência de falhas 
humanas e que, a cada 12 ocorrências deste último tipo, 4 acontecem em 
virtude da não observância das normas técnicas estabelecidas. Assim 
sendo, mantida a proporção inicial, então, no caso de ocorrerem 60 
acidentes, o esperado é que o número daqueles que deverão ocorrer em 
virtude da não observância das normas técnicas estabelecidas seja 
(A) 6. 
(B) 9. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 15. 
Solução: 
Nessa questão, vamos chamar de A o número de acidentes, de B o número de 
acidentes em decorrência de falhas humanas e de C o número de acidentes em 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϯϭ�ĚĞ�ϳϲ
virtude da não observância das normas técnicas estabelecidas. Com isso, temos 
as seguintes proporções: 
B
A = 
12
20
A = 
12
B.20 (equação 1) 
C
B = 
4
12
B = 3.C (equação 2) 
Substituindo o valor de B da equação 2 na equação 1, temos: 
A = 
12
B.20
A = 
12
C.320 ×
A = 5.C 
Por fim, para um total de 60 acidentes, ou seja, para A = 60, temos: 
A = 5.C 
60 = 5.C 
C = 
5
60
C = 12 
Resposta letra D. 
26 - (MPE/SE – 2010 / FCC) Relativamente aos candidatos inscritos num dado 
Concurso, sabe-se que o total supera 10.000 unidades e a razão entre o 
número de mulheres e o de homens, nesta ordem, é igual a 
5
4 . Assim sendo, 
se o total de candidatos for o menor possível, de quantas unidades o número 
de homens inscritos excederá o de mulheres inscritas? 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϯϮ�ĚĞ�ϳϲ
(A) 1.112. 
(B) 1.118. 
(C) 1.124. 
(D) 1.128. 
(E) 1.132. 
Solução: 
Nessa questão, temos a razão entre a quantidade de homens (H) e a quantidade 
de mulheres (M) e sabemos que a soma dos dois é maior que 10.000, sendo o 
menor número possível. Assim, temos: 
H
M = 
5
4
Isso significa que para cada 9 pessoas, 4 são mulheres e 5 são homens. Assim, 
podemos concluir que o total de pessoas deverá ser um número divisível por 9, 
sabendo que este total deve ser o menor possível e maior que 10.000. Assim, o 
menor número maior que 10.000 e divisível por 9 é 10.008 (para um número ser 
divisível por 9 a soma de seus algarismos deve ser divisível por 9). Com isso, 
temos: 
9
008.10 = 1.112 
Total de mulheres = 4 × 1.112 = 4.448 
Total de homens = 5 × 1.112 = 5.560 
Por fim, resta calcularmos a diferença entre o total de homens e de mulheres: 
H – M = 5.560 – 4.448 = 1.112 
Resposta letra A. 
27 - (TRT 24ª Região – 2011 / FCC) De um curso sobre Legislação 
Trabalhista, sabe-se que participaram menos de 250 pessoas e que, destas, 
o número de mulheres estava para o de homens na razão de 3 para 5, 
respectivamente. Considerando que a quantidade de participantes foi a 
maior possível, de quantas unidades o número de homens excedia o de 
mulheres? 
(A) 50. 
(B) 55. 
(C) 57. 
(D) 60. 
(E) 62. 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϯϯ�ĚĞ�ϳϲ
Solução: 
Nessa questão, temos a razão entre a quantidade de homens (H) e a quantidade 
de mulheres (M) e sabemos que a soma dos dois é menor que 250, sendo o maior 
número possível. Assim, temos: 
H
M = 
5
3
Isso significa que para cada 8 pessoas, 3 são mulheres e 5 são homens. Assim, 
podemos concluir que o total de pessoas deverá ser um número divisível por 8, 
sabendo que este total deve ser o maior possível e menor que 250. Assim, o maior 
número menor que 250 e divisível por 8 é 248. Com isso, temos: 
8
248 = 31 
Total de mulheres = 3 × 31 = 93 
Total de homens = 5 × 31 = 155 
Por fim, resta calcularmos a diferença entre o total de homens e de mulheres: 
H – M = 155 – 93 = 62 
Resposta letra E. 
28 - (CETAM – 2014 / FCC) A razão entre as idades de Roberta e Renato é a 
mesma que a razão entre 
5
3 e 
3
2 . Aidade dos dois juntos, somadas, é menor 
que 60 anos, mas supera os 40 anos. O número de anos que Renato tem a 
mais que Roberta é igual a 
(A) 5. 
(B) 4. 
(C) 2. 
(D) 1. 
(E) 3. 
Solução: 
Nessa questão, vamos chamar de A a idade de Roberta e de B a idade de Renato. 
Assim, temos: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϯϰ�ĚĞ�ϳϲ
B
A = 
3
2
5
3
B
A = 
5
3
×
2
3
B
A = 
10
9
Isso significa que para cada 19 anos da soma, 9 são de Roberta e 10 são de 
Renato. Assim, podemos concluir que soma das idades deverá ser um número 
divisível por 19, sabendo que este total deve ser maior que 40 e menor que 60. 
Com isso, temos: 
2 × 19 = 38 (não serve pois é menor que 40) 
3 ×××× 19 = 57 (serve) 
4 × 19 = 76 (não serve pois é maior que 60) 
Aqui concluímos que A + B = 57. Assim temos: 
19
57 = 3 
Idade de Roberta (A) = 3 × 9 = 27 
Idade de Renato (B) = 3 × 10 = 30 
Por fim, resta calcularmos a diferença entre a idade de Renato e a idade de 
Roberta: 
B – A = 30 – 27 = 3 
Resposta letra E. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
�
Divisão em partes diretamente proporcionais 
Dividir um número X qualquer em partes diretamente proporcionais aos números 
a, b, c, ..., etc., significa encontrar os números A, B, C, ..., etc., tais que: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϯϱ�ĚĞ�ϳϲ
a
A = 
b
B = 
c
C = ... 
Exemplo: Deseja-se dividir o número 120 em partes diretamente proporcionais a 3 
e 5. 
Temos duas opções para resolver esse tipo de questão: 
1ª opção: 
Vimos que podemos montar a seguinte proporção, chamando de A e B as partes 
que queremos encontrar: 
3
A = 
5
B
A = 
5
B.3 = 0,6.B 
Além disso, sabemos que A + B = 120. Assim, substituindo o A encontrado acima, 
temos: 
A + B = 120 
0,6.B + B = 120 
1,6.B = 120 
B = 
6,1
120
B = 75 
Agora, podemos encontrar o A: 
A = 0,6.B 
A = 0,6 × 75 
A = 45 
2ª opção: 
Chamando de A e B as partes que queremos encontrar, temos: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϯϲ�ĚĞ�ϳϲ
A = 3.p e B = 5.p 
Onde “p” é a unidade das partes de 120 (a cada 8 partes, 3 pertencem a A e 5 
pertencem a B) 
Além disso, sabemos que: 
A + B = 120 
Assim, 
3.p + 5.p = 120 
8.p = 120 
p = 15 
Com isso, podemos encontrar A e B: 
A = 3.p = 3 × 15 = 45 
B = 5.p = 5 × 15 = 75 
Essa segunda opção é muito útil quando temos uma divisão proporcional a mais 
de dois números. 
Divisão em partes inversamente proporcionais 
Analogamente ao que já vimos até aqui, dividir um número X qualquer em partes 
inversamente proporcionais aos números a, b, c, ..., etc., significa encontrar os 
números A, B, C, ..., etc., tais que: 
A × a = B × b = C × c = ... 
Exemplo: Deseja-se dividir o número 66 em partes inversamente proporcionais a 
3 e 8. 
Aqui também temos duas opções para resolvermos a questão: 
1ª opção: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϯϳ�ĚĞ�ϳϲ
Chamando de A e B as partes que queremos encontrar, temos: 
A × 3 = B × 8 
A = 
3
B.8
Além disso, sabemos que A + B = 66. Assim, substituindo o A encontrado acima, 
temos: 
A + B = 66 
3
B.8 + B = 66 
3
B.3B.8 + = 66 
3
B.11 = 66 
11.B = 3 × 66 
11.B = 198 
B = 
11
198 = 18 
Agora, podemos encontrar o A: 
A = 
3
B.8
A = 
3
188 ×
A = 48 
2ª opção: 
Já vimos que dizer que uma grandeza é inversamente proporcional a outra é o 
mesmo que dizer que ela é diretamente proporcional ao inverso da outra. Assim, 
temos: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϯϴ�ĚĞ�ϳϲ
Chamando de A e B as partes que queremos encontrar, temos: 
A = 
3
1 .p e B = 
8
1 .p 
Além disso, sabemos que: 
A + B = 66 
Assim, 
3
1 .p + 
8
1 .p = 66 
24
p.3p.8 + = 66 
24
p.11 = 66 
11.p = 24 × 66 
p = 24 × 6 = 144 
Com isso, podemos encontrar A e B: 
A = 
3
1 .p = 
3
1
× 144 = 48 
B = 
8
1 .p = 
8
1
× 144 = 18 
Essa segunda opção também é muito útil quando temos uma divisão proporcional 
a mais de dois números. 
Vamos ver umas questões. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
29 - (TRT 4ª Região – 2006 / FCC) Dois analistas judiciários devem emitir 
pareceres sobre 66 pedidos de desarquivamento de processos. Eles 
decidiram dividir os pedidos entre si, em quantidades que são, ao mesmo 
tempo, diretamente proporcionais às suas respectivas idades e 
inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϯϵ�ĚĞ�ϳϲ
Tribunal Regional do Trabalho. Se um deles tem 32 anos e trabalha há 4 anos 
no Tribunal, enquanto que o outro tem 48 anos e lá trabalha há 16 anos, o 
número de pareceres que o mais jovem deverá emitir é 
(A) 18 
(B) 24 
(C) 32 
(D) 36 
(E) 48 
Solução: 
Nessa questão, nós temos: 
Mais jovem (A): 32 ×
4
1 = 8 
Mais velho (B): 48 ×
16
1 = 3 
Portanto, para cada 8 pareceres que o mais jovem emite, o mais velho emite 3 
pareceres: 
8
A = 
3
B
B = 
8
3 .A (equação 1)
Além disso, o total de pareceres é 66. Assim: 
A + B = 66 (equação 2)
Substituindo o valor de B da equação 1 na equação 2, temos: 
A + 
8
3 .A = 66 
8
528A.3A.8 =+
11.A = 528 
A = 
11
528
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϰϬ�ĚĞ�ϳϲ
A = 48 
Resposta letra E. 
30 - (TRT 5ª Região – 2003 / FCC) Três funcionários, A, B e C, decidem dividir 
entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 420 formulários. A divisão 
deverá ser feita na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no 
Tribunal. Se A, B e C trabalham no Tribunal há 3, 5 e 6 anos, 
respectivamente, o número de formulários que B deverá conferir é 
(A) 100 
(B) 120 
(C) 200 
(D) 240 
(E) 250 
Solução: 
Nessa questão, podemos chamar de “a” a quantidade de formulários do 
funcionário A, de “b” a quantidade de formulários do funcionário B e de “c” a 
quantidade de formulários do funcionário C. Assim: 
a + b + c = 420 (equação 1)
Além disso, foi dito que a distribuição dos formulários foi feita na ordem inversa 
dos tempos de serviço de A, B e C, que são 3, 5 e 6 anos respectivamente. Assim: 
3.a = 5.b = 6.c 
Com isso, podemos ter o seguinte: 
3.a = 5.b 
a = 
3
5 .b (equação 2)
Além disso: 
5.b = 6.c 
c = 
6
5 .b (equação 3)
Agora, podemos substituir os valores de a e c, das equações 2 e 3, na equação 1: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϰϭ�ĚĞ�ϳϲ
a + b + c = 420 
3
5 .b + b + 
6
5 .b = 420 
6
520.2b.5b.6b.10 =++
21.b =2.520 
B = 
21
520.2
b = 120 
Resposta letra B. 
31 - (MPE/RS – 2010 / FCC) A tabela a seguir mostra as participações dos 
três sócios de uma empresa na composição de suas ações. 
Sócio Total de ações
Paulo Silva 15.000 
Maria Oliveira 10.000 
Carlos Braga 7.000 
Os lucros da empresa em determinado ano, que totalizaram R$ 560.000,00, 
foram divididos entre os três sócios proporcionalmente à quantidade de 
ações que cada um possui. Assim, a sócia Maria Oliveira recebeu nessa 
divisão 
(A) R$ 17.500,00. 
(B) R$ 56.000,00. 
(C) R$ 112.000,00. 
(D) R$ 140.000,00. 
(E) R$ 175.000,00 
Solução: 
Nessa questão, podemos chamar de “P” a quantia destinada a Paulo, de “M” a 
quantia destinada a Maria e de “C” a quantia destinada a Carlos. Assim: 
P + M + C = 560.000 (equação 1)
Além disso, foi dito que a distribuição dos lucros foi feita de forma proporcional 
(entenda diretamente proporcional) à quantidade de ações de cada um. Assim: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϰϮ�ĚĞ�ϳϲ
000.15
P = 
000.10
M = 
000.7
C
Com isso, podemos ter o seguinte: 
000.15
P = 
000.10
M
P = 
000.10
M.000.15
P = 1,5.M 
Além disso, temos: 
000.7
C = 
000.10
M
C = 
000.10
M.000.7
C = 0,7.M 
Com isso, podemos substituir os valores de P e de C na equação 1: 
P + M + C = 560.000 
1,5.M + M + 0,7.M = 560.000 
3,2.M = 560.000 
M = 
2,3
000.560
M = R$ 175.000,00 
Resposta letra E. 
32 - (MPE/RS – 2008 / FCC) Certo dia, coube a dois agentes administrativos – 
Percival e Joviano – prestar atendimento ao público. Ao final do expediente 
desse dia, eles observaram que: 
– juntos, haviam atendido 81 pessoas pela manhã e 56 pessoas à tarde; 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϰϯ�ĚĞ�ϳϲ
– as quantidades de pessoas que haviam atendido pela manhã eram 
diretamente proporcionais às suas respectivas idades: 32 e 40 anos; 
– os números de pessoas atendidas à tarde eram inversamente 
proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Ministério Público: 
8 e 6 anos 
Nessas condições, se Percival era o mais jovem e Joviano trabalhava há 
menos tempo no Ministério, comparando-se o total de pessoas atendidas 
apenas por Percival e o total das atendidas apenas por Joviano, é correto 
afirmar que Percival atendeu 
(A) 25 pessoas a mais que Joviano. 
(B) 21 pessoas a menos que Joviano. 
(C) 21 pessoas a mais que Joviano. 
(D) 17 pessoas a menos que Joviano. 
(E) 17 pessoas a mais que Joviano. 
Solução: 
Nessa questão, vamos chamar de PM e PT as quantidades de pessoas atendidas 
por Percival pela manhã e pela tarde respectivamente. Vamos chamar também de 
JM e JT as quantidades de pessoas atendidas por Joviano pela manhã e pela 
tarde respectivamente. Assim, temos: 
PM + JM = 81 (equação 1) 
PT + JT = 56 (equação 2) 
Além disso, sabendo que as quantidades de pessoas que haviam atendido pela 
manhã eram diretamente proporcionais às suas respectivas idades: 32 e 40 anos; 
e que Percival era o mais jovem, temos o seguinte: 
32
PM = 
40
JM
PM = 
40
JM.32
PM = 0,8.JM 
Substituindo o valor de PM na equação 1, temos: 
PM + JM = 81 
0,8.JM + JM = 81
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϰϰ�ĚĞ�ϳϲ
1,8.JM = 81
JM = 
8,1
81
JM = 45 
Voltando para a equação 1, temos: 
PM + JM = 81 
PM + 45 = 81 
PM = 81 – 45 
PM = 36 
Sabemos também que os números de pessoas atendidas à tarde eram 
inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Ministério 
Público: 8 e 6 anos e que Joviano trabalhava há menos tempo no Ministério. 
Assim: 
8.PT = 6.JT 
PT = 
8
JT.6
PT = 0,75.JT 
Substituindo o valor de PT na equação 2, temos: 
PT + JT = 56 
0,75.JT + JT = 56
1,75.JT = 56
JT = 
75,1
56
JT = 32 
Voltando para a equação 2, temos: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϰϱ�ĚĞ�ϳϲ
PT + JT = 56 
PT + 32 = 56 
PT = 56 – 32 
PT = 24 
Por fim, podemos encontrar o total de pessoas atendidas por Percival e por 
Joviano: 
Total de pessoas atendidas apenas por Percival = PM + PT 
Total de pessoas atendidas apenas por Percival = 36 + 24 = 60 pessoas 
Total de pessoas atendidas apenas por Joviano = JM + JT 
Total de pessoas atendidas apenas por Percival = 45 + 32 = 77 pessoas 
Assim, podemos afirmar que Percival atendeu 17 pessoas a menos que Joviano.
Resposta letra D. 
33 - (METRÔ/SP – 2007 / FCC) Certo dia, três funcionários da Companhia do 
Metropolitano de São Paulo foram incumbidos de distribuir folhetos 
informativos contendo orientações aos usuários dos trens. Para executar tal 
tarefa, eles dividiram o total de folhetos entre si, em partes inversamente 
proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Metrô: 2 anos, 9 
anos e 12 anos. Se o que trabalha há 9 anos ficou com 288 folhetos, a soma 
das quantidades com que os outros dois ficaram foi 
(A) 448 
(B) 630 
(C) 954 
(D) 1.512 
(E) 1.640 
Solução: 
Nessa questão, vamos chamar de A, B e C as quantidades de folhetos que cada 
funcionário ficou. Assim, sabendo que essas quantidades eram inversamente 
proporcionais a 2, 9 e 12 anos, temos: 
2.A = 9.B = 12.C 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϰϲ�ĚĞ�ϳϲ
Sabendo que B = 288, temos: 
2.A = 9.B 
2.A = 9 × 288 
A = 9 × 144 
A = 1.296 
Temos também o seguinte: 
9.B = 12.C 
12.C = 9 × 288 
C = 9 × 24 
C = 216 
Assim, podemos encontrar a soma das quantidades com que os outros dois 
ficaram: 
A + C = 1.296 + 216 = 1.512 
Resposta letra D. 
34 - (BAHIAGÁS – 2010 / FCC) Para realizar a partilha de uma herança de 
R$ 28.500,00, quatro irmãos, que nasceram em dias diferentes, marcaram 
encontro em um sábado. O testamento determinava que eles receberiam 
partes diretamente proporcionais às respectivas idades, em anos completos, 
que nesse sábado seriam: 15, 17, 21 e 22 anos. O irmão mais novo só 
compareceu no domingo, um dia depois do combinado, e que era 
exatamente o dia de seu aniversário. Supondo que a partilha tenha sido feita 
no domingo, a quantia somada que os dois irmãos mais velhos deixaram de 
receber por conta do adiamento de um dia é: 
(A) R$ 50,00. 
(B) R$ 155,00. 
(C) R$ 180,00. 
(D) R$ 205,00. 
(E) R$ 215,00. 
Solução: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϰϳ�ĚĞ�ϳϲ
Nessa questão, vamos calcular qual o valor que os dois irmãos mais velhos 
receberiam inicialmente para depois calcular a quantia que efetivamente 
receberam e verificar quanto eles perderam. Chamando de A, B, C e D as partes 
que caberiam a cada um dos quatro irmãos em ordem crescente de suas idades, 
no sábado, temos: 
A = 15.p, B = 17.p, C = 21.p e D = 22.p 
Onde “p” é a unidade das partes de R$ 28.500,00. 
Além disso, sabemos que: 
A + B + C + D = 28.500 
Assim, temos: 
15.p + 17.p + 21.p + 22.p = 28.500 
75.p = 28.500 
p = 
75
500.28
p = 380 
Assim, temos: 
C = 21.p 
C = 21 × 380 = R$ 7.980,00 
D = 22.p 
D = 22 × 380= R$ 8.360,00 
C + D = 7.980 + 8.360 = R$ 16.340,00 
Agora, chamando de X, Y, Z e W as partes que caberiam a cada um dos quatro 
irmãos em ordem crescente de suas idades, no domingo, temos: 
A = 16.q, B = 17.q, C = 21.q e D = 22.q 
Onde “q” é a unidade das partes de R$ 28.500,00. 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϰϴ�ĚĞ�ϳϲ
Além disso, sabemos que: 
X + Y + Z + W = 28.500 
Assim, temos: 
16.q + 17.q + 21.q + 22.q = 28.500 
76.q = 28.500 
p = 
76
500.28
p = 375 
Assim, temos: 
Z = 21.q 
Z = 21 × 375 = R$ 7.875,00 
W = 22.q 
W = 22 × 375 = R$ 8.250,00 
Z + W = 7.875 + 8.250 = R$ 16.125,00 
Diferença = 16.340 – 16.125 = R$ 215,00
Resposta letra E. 
35 - (METRÔ/SP – 2014 / FCC) Um rico empresário resolveu presentear seus 
bisnetos com uma grande fortuna. A fortuna deve ser repartida a cada 
bisneto em partes inversamente proporcionais à idade de cada um. Sabe-se 
que as idades dos bisnetos correspondem exatamente aos divisores de 18, 
exceto o menor dos divisores, e que não há bisnetos que sejam gêmeos, 
trigêmeos etc. Dividindo a fortuna dessa maneira, coube ao último bisneto, o 
mais novo, 
(A) o mesmo que a todos os outros somados. 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϰϵ�ĚĞ�ϳϲ
(B) o dobro do que coube ao mais velho somado com o que coube ao 
segundo mais velho. 
(C) o triplo do que coube ao segundo mais velho. 
(D) o mesmo do que coube ao penúltimo e antepenúltimo bisnetos somados. 
(E) um terço da fortuna. 
Solução: 
Essa questão é bastante interessante. A primeira coisa a se fazer é encontrar as 
idades dos bisnetos, que são os divisores de 18, exceto o menor dos divisores: 
Divisores de 18 = 18, 9, 6, 3, 2, 1 
Portanto, excluímos o “1” e concluímos que as idades dos bisnetos são 18, 9, 6, 3 
e 2 anos. 
Agora, vamos calcular qual a parcela que coube a cada bisneto, de uma herança 
que chamarei de H, sabendo que essa herança foi dividida de forma inversamente 
proporcional às idades dos bisnetos. Chamando de “p” a unidade das partes de H, 
temos: 
Bisneto mais velho = 
18
p
2º Bisneto mais velho = 
9
p
3º Bisneto mais velho = 
6
p
4º Bisneto mais velho = 
3
p
Bisneto mais novo = 
2
p
Com isso, temos o seguinte: 
18
p + 
9
p + 
6
p + 
3
p + 
2
p = H 
18
p.9p.6p.3p.2p ++++ = H 
18
p.21 = H 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϱϬ�ĚĞ�ϳϲ
p = 
21
H.18
Agora, podemos encontrar qual a fração de H que coube a cada bisneto: 
Bisneto mais velho = 
18
p = 
21
H.18
×
18
1 = 
21
H
2º Bisneto mais velho = 
9
p = 
21
H.18
×
9
1 = 
21
H.2
3º Bisneto mais velho = 
6
p = 
21
H.18
×
6
1 = 
21
H.3
4º Bisneto mais velho = 
3
p = 
21
H.18
×
3
1 = 
21
H.6
Bisneto mais novo = 
2
p = 
21
H.18
×
2
1 = 
21
H.9
Como 
21
H.9 = 
21
H.6 + 
21
H.3 , podemos concluir que coube ao último bisneto, o mais 
novo, o mesmo do que coube ao penúltimo e antepenúltimo bisnetos somados 
Resposta letra D. 
36 - (TRT 15ª Região – 2009 / FCC) Certo dia, Aléa e Aimar, funcionários de 
uma unidade do T.R.T. receberam 50 petições e 20 processos para analisar e, 
para tal, dividiram entre si todos esses documentos: as petições, em 
quantidades diretamente proporcionais às suas respectivas idades, e os 
processos, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no 
Tribunal. Se Aléa tem 24 anos de idade e trabalha há 4 anos no Tribunal, 
enquanto que Aimar tem 36 anos de idade e lá trabalha há 12 anos, é correto 
afirmar que 
(A) Aléa deve analisar 5 documentos a mais do que Aimar. 
(B) Aléa e Aimar devem analisar a mesma quantidade de documentos. 
(C) Aimar deve analisar 20 petições e 5 processos. 
(D) Aléa deve analisar 10 petições e 20 processos. 
(E) Aimar deve analisar 30 petições e 15 processos. 
Solução: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϱϭ�ĚĞ�ϳϲ
Vamos começar calculando a quantidade de petições que coube a cada um. 
Chamando de P1 a quantidade de petições de Aléa e de P2 a quantidade de 
petições de Aimar, temos: 
P1 + P2 = 50 (equação 1) 
Além disso, sabendo que as petições foram divididas em quantidades diretamente 
proporcionais às suas respectivas idades, que eram 24 e 36 anos, temos: 
24
1P = 
36
2P
P1 = 
36
2P.24
Substituindo o valor de P1 na equação 1, temos: 
P1 + P2 = 50 
36
2P.24 + P2 = 50 
36
2P.362P.24 + = 50 
60.P2 = 50 × 36 
6.P2 = 180 
P2 = 
6
180
P2 = 30 petições 
Voltando para a equação 1, temos: 
P1 + P2 = 50 
P1 + 30 = 50 
P1 = 50 – 30 
P1 = 20 petições 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϱϮ�ĚĞ�ϳϲ
Agora, vamos chamar de R1 a quantidade de processos de Aléa e de R2 a 
quantidade de processos de Aimar: 
R1 + R2 = 20 (equação 2) 
Além disso, sabendo que os processos foram divididos em quantidades 
inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço, que eram 4 e 
12 anos, temos: 
4.R1 = 12.R2 
R1 = 
4
2R.12
R1 = 3.R2 
Substituindo o valor de R1 na equação 2, temos: 
R1 + R2 = 20 
3.R2 + R2 = 20 
4.R2 = 20 
R2 = 
4
20
R2 = 5 processos 
Voltando para a equação 2, temos: 
R1 + R2 = 20 
R1 + 5 = 20 
R1 = 20 – 5 
R1 = 15 processos 
Por fim, podemos calcular o total de documentos que coube a cada um: 
Documentos de Aléa = P1 + R1 = 20 + 15 = 35 documentos 
Documentos de Aimar = P2 + R2 = 30 + 5 = 35 documentos 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϱϯ�ĚĞ�ϳϲ
Resposta letra B. 
37 - (TRT 24ª Região – 2011 / FCC) Dois Analistas Judiciários de uma 
Unidade do Tribunal Regional do Trabalho − Felício e Marieta − foram 
incumbidos de analisar 56 processos. Decidiram, então, dividir o total de 
processos entre si, em partes que eram, ao mesmo tempo, diretamente 
proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Tribunal e 
inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se na ocasião, 
Felício era funcionário do Tribunal há 20 anos e tinha 48 anos idade, 
enquanto que Marieta lá trabalhava há 8 anos, então, se coube a Marieta 
analisar 21 processos, a sua idade 
(A) era inferior a 30 anos. 
(B) estava compreendida entre 30 e 35 anos. 
(C) estava compreendida entre 35 e 40 anos. 
(D) estava compreendida entre 40 e 45 anos. 
(E) era superior a 45 anos. 
Solução: 
Nessa questão, vamos chamar de F a quantidade de processos que coube a 
Felício. Sabendo que a quantidade de processos que coube a Marieta foi 21, de 
um total de 56 processos, temos: 
F + 21 = 56 
F = 56 – 21 
F = 35 processos. 
Além disso, sabendo que os 56 processos foram divididos entre eles na razão 
direta de seus tempos de serviço, que eram 20 e 8 anos respectivamente, e na 
razão inversa de suas idades, que para Felício era 48 anos, e chamando de M a 
idade de Marieta, temos: 
20
35
× 48 = 
8
21
× M 
84 = 
8
M.21
M = 
21
848 ×
M = 8 × 4 = 32 anos 
Resposta letra B. 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϱϰ�ĚĞ�ϳϲ
38 - (TRF 4ª Região – 2004 / FCC) Duas bibliotecárias receberam 85 livros 
para catalogar. Dividiram o total entre si na razão direta de seus respectivos 
tempos de serviço na empresa e na razão inversa de suas respectivas 
idades. Se uma tem 24 anos e trabalha há 6 anos na empresa e a outra, tem 
36 anos e trabalha há 8, o número de livros que a mais jovem catalogou foi 
(A) 35 
(B) 40 
(C) 45 
(D) 48 
(E) 50 
Solução: 
Vamos chamar de A e B as quantidades de livros que cada bibliotecária deveria 
catalogar. Assim, temos: 
A + B = 85 (equação 1) 
Além disso, eles dividiram os 85 livros entre si na razão direta de seus respectivos 
tempos de serviço e na razão inversa de suas respectivas idades, sendo que a 
funcionária que ficou com a quantidade A tem 24 anos e trabalha há 6 anos na 
empresa e a outra, que ficou com a quantidade B, tem 36 anos e trabalha há 8 na 
empresa. Assim, temos: 
6
A
× 24 = 
8
B
× 36 
4.A = 
2
B.9
A = 
8
B.9
Substituindo o valor de A na equação 1, temos: 
A + B = 85 
8
B.9 + B = 85 
8
B.8B.9 + = 85 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϱϱ�ĚĞ�ϳϲ
17.B = 85 × 8 
B = 5 × 8 
B = 40 
Voltando para a equação 1, temos: 
A + B = 85 
A + 40 = 85 
A = 85 – 40 
A = 45 
Portanto, a mais jovem catalogou 45 livros. 
Resposta letra C. 
39 - (Assembleia Legislativa/RN – 2013 / FCC) Os três vendedores mais bem-
sucedidos em uma loja receberão um bônus, em dinheiro, diretamente 
proporcional ao seu desempenho com vendas. Eles venderam, 
respectivamente, 63, 42 e 35 unidades de determinado produto. Sabe-se que 
o total do bônus a ser dividido entre os três é de R$ 3.220,00. A diferença, em 
reais, entre o maior e o menor valor recebido, nessa ordem, é igual a 
(A) 644,00. 
(B) 780,00. 
(C) 483,00. 
(D) 161,00. 
(E) 1.449,00. 
Solução: 
Nessa questão, chamando de A, B e C as quantias que caberiam a cada um dos 
três vendedores em ordem decrescente de suas vendas, temos: 
A = 63.p, B = 42.p e C = 35.p 
Onde “p” é a unidade das partes de R$ 3.220,00. 
Além disso, sabemos que: 
A + B + C = 3.220 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϱϲ�ĚĞ�ϳϲ
Assim, temos: 
63.p + 42.p + 35.p = 3.220 
140.p = 3.220 
p = 
140
3.220
p = 23 
Com isso, temos: 
A = 63.p 
A = 63 × 23 = R$ 1.449,00 
C = 35.p 
C = 35 × 23 = R$ 805,00 
A – C = 1.449 + 805 = R$ 644,00 
Resposta letra A. 
40 - (METRÔ/SP – 2012 / FCC) Um casal, José e Maria, são trabalhadores 
autônomos e recebem, respectivamente, R$ 20,00 e R$ 25,00 por hora de 
prestação de serviços. Em fevereiro de 2012, eles observaram que, no mês 
anterior, os tempos de prestação de serviços dos dois totalizavam 176 horas 
e que as quantidades de horas que cada um havia trabalhado, eram 
inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Assim, se José tem 
30 anos e Maria tem 25 anos, então, juntos, eles receberam no mês de 
janeiro 
(A) R$ 3.800,00. 
(B) R$ 3.895,00. 
(C) R$ 4.000,00. 
(D) R$ 4.265,00. 
(E) R$ 4.695,00. 
Solução: 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϱϳ�ĚĞ�ϳϲ
Nessa questão, chamando de J o total de horas trabalhadas por José e de M o 
total de horas trabalhadas por Maria, em janeiro, temos: 
J + M = 176 (equação 1) 
Além disso, sabendo que as quantidades de horas que cada um havia trabalhado, 
eram inversamente proporcionais às suas respectivas idades, que eram 30 e 25 
anos, para José e Maria respectivamente, temos: 
30.J = 25.M 
J = 
30
M.25
Substituindo o valor de J na equação 1, temos: 
J + M = 176 
30
M.25 + M = 176 
30
M.30M.25 + = 176 
30
M.55 = 176 
11.M = 6 × 176 
M = 6 × 16 
M = 96 
Voltando para a equação 1, temos: 
J + M = 176 
J + 96 = 176 
J = 176 – 96 
J = 80 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϱϴ�ĚĞ�ϳϲ
Por fim, sabendo que João recebe R$ 20,00 por hora e Maria recebe R$ 25,00 por 
hora, podemos encontrar o total recebido pelo casal: 
Total recebido = 20.J + 25.M 
Total recebido = 20 × 80 + 25 × 96 
Total recebido = 1.600 + 2.400 
Total recebido = R$ 4.000,00 
Resposta letra C. 
41 - (PGE/BA – 2013 / FCC) Uma faculdade irá inaugurar um novo espaço 
para sua biblioteca, composto por três salões. Estima-se que, nesse espaço, 
poderão ser armazenados até 120.000 livros, sendo 60.000 no salão maior, 
15.000 no menor e os demais no intermediário. Como a faculdade conta 
atualmente com apenas 44.000 livros, a bibliotecária decidiu colocar, em 
cada salão, uma quantidade de livros diretamente proporcional à respectiva 
capacidade máxima de armazenamento. Considerando a estimativa feita, a 
quantidade de livros que a bibliotecária colocará no salão intermediário é 
igual a 
(A) 17.000 
(B) 17.500 
(C) 16.500 
(D) 18.500 
(E) 18.000 
Solução: 
Aqui temos três salões, um com capacidade para 60.000 livros, outro com 
capacidade para 15.000 livros e um terceiro com capacidade para: 
120.000 – 60.000 – 15.000 = 45.000 livros 
Assim, queremos encontrar quantos dos 44.000 livros serão armazenados no 
salão com capacidade para 45.000 livros. Sabendo que a divisão será feita na 
proporção direta de suas capacidades, e chamando de A, B e C as quantidades 
de livros que serão colocados nos salões em ordem decrescente de suas 
capacidades, temos: 
A = 60.000.p, B = 45.000.P e C = 15.000.p 
Aqui nós podemos dividir tudo por 1.000, para facilitar as contas: 
A = 60.p, B = 45.p e C = 15.p 
ZĂĐŝŽĐşŶŝŽ�>ſŐŝĐŽ�Ɖͬ�d�DͲZ:�
dĞŽƌŝĂ�Ğ�ĞdžĞƌĐşĐŝŽƐ�ĐŽŵĞŶƚĂĚŽƐ�
WƌŽĨ�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�ʹ��ƵůĂ�Ϭϲ
WƌŽĨ͘�DĂƌĐŽƐ�WŝŹŽŶ�������������������ǁǁǁ͘ĞƐƚƌĂƚĞŐŝĂĐŽŶĐƵƌƐŽƐ͘ĐŽŵ͘ďƌ������������������������ϱϵ�ĚĞ�ϳϲ
Com isso, temos: 
60.p + 45.p + 15.p = 44.000 
120.p = 44.000 
p = 
120
000.44
Por fim, podemos encontrar o valor de B: 
B = 45.p 
B = 45 ×
120
000.44
B = 3 × 5.500 
B = 16.500 livros 
Resposta letra C. 
(Texto para as questões 42 a 44) Para realizar uma determinada tarefa, uma 
empresa contrata quatro funcionários e aluga um equipamento cujo valor do 
aluguel é determinado por lotes de tempo de sua utilização. Não há 
possibilidade de se pagar fração de lotes. Por exemplo: se o equipamento for 
utilizado durante 3 lotes e um terço de lote será cobrado o equivalente a 4 
lotes de tempo de utilização. Sendo assim, os funcionários resolveram 
trabalhar em turnos contínuos, um indivíduo imediatamente após o outro. O 
primeiro funcionário trabalhou o equivalente a quatro terços de um lote; o 
segundo funcionário trabalhou três quartos do tempo que o primeiro havia 
trabalhado; o terceiro funcionário ficou em ação três meios do tempo que o 
segundo havia ficado e o quarto funcionário terminou a tarefa gastando a 
terça parte do tempo que o terceiro havia gasto. A empresa contratante do 
serviço destinou a quantia de R$ 19.500,00 para pagamento dos funcionários 
que realizassem a tarefa. O pagamento foi feito proporcionalmente ao tempo 
despendido em serviço pelos quatro funcionários individualmente. 
42 - (MPE/PE – 2012 / FCC) O número de lotes que serão cobrados pelo uso 
desse equipamento é: 
(A) 4. 
(B)