Aula 03b - Sistemas

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Resumo geral 
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• Formulação linear dos modelos mesmo quando os 
sistemas são não-lineares 
• Análise de desempenho e projeto usam então a teoria de 
sistemas lineares 
• Amplo uso em engenharia elétrica em várias áreas: 
 Sistemas de controle 
 Processamento de sinais 
 Sistemas elétricos de potência 
 Eletrônica de potência 
 Biomédica 
• Teoria de sistemas lineares é formalizada usando 
conceitos matemático, especialmente da álgebra linear 
• Métodos avançados usam muitos destes conceitos 
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• Estudo de sistemas físicos descritos por modelos 
lineares 
• Aspectos qualitativos e quantitativos 
• Projeto da ação para alterar o desempenho 
• Muitos sistemas físicos são lineares em 
determinadas faixas de operação 
• O estudo de modelos lineares pode ser 
sistematizado (álgebra linear) 
• Ponto de partida para o estudo de sistemas 
físicos não lineares 
• Uso intensivo do computador para análise e 
projeto (capacidade crescente de cálculo e de 
memória) 
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. Uma vez definido um modelo para um sistema físico 
(chamado doravante de sistema), aplicam-se as leis da 
física para se obter uma descrição matemática do 
sistema 
• A modelagem pode ser: 
 1- Física: baseada nas Leis de Newton (sistemas 
mecânicos), Leis de Kirchhoff (tensão e corrente em 
cirtuitos elétricos), leis da Termodinâmica, etc. 
 2 - Experimental: baseada em relações entrada-saída 
• Um mesmo sistema pode ter diferentes descrições 
matemáticas 
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– Equação de diferença. 
– Equações de estado. 
– Resposta ao impulso (digital unitário). 
– Resposta em frequência. 
– Função de transferência. 
– Diagrama de blocos de complexidade 
genérica. 
– Diagrama de sistema ou realização ou 
estrutura: diagrama de blocos básicos e 
 diagrama de fluxo de sinal (grafo). 
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Os sistemas são entidades que manipulam ou 
respondem a um ou mais sinais para realizar 
uma função, gerando novos sinais. 
Exemplos: 
Tensões e correntes elétricas, como funções do 
tempo, são exemplos de sinais. 
Circuitos elétricos são exemplos de sistemas. 
Neste caso respondem às tensões e correntes 
elétricas. 
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A abordagem dos sinais e sistemas pode ser 
feita de várias maneiras, dependendo do 
contexto e dos objetivos. Vejamos algumas 
situações: 
• Análise de sistemas com vista à sua 
caracterização e conhecimento. 
• Desenhar sistemas para processar sinais 
em certos meios. Por exemplo, o radar 
recupera o sinal de eco produzido pelos 
objetos. 
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. Processar sinais com vista à sua restauração 
após terem sido sujeitos a um processo de 
degradação. 
Por exemplo nas telecomunicações ou na 
restauração de imagem recebidas dos 
satélites. 
• Atuar sobre os sistemas com vista a alterar 
as suas características segundo 
especificações desejadas. 
Por exemplo no controlo de processos. 
 
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- Memória: um sistema diz-se sem memória se a 
saída em cada instante de tempo depende da 
entrada apenas nesse mesmo instante de tempo. 
 
 Ex: y[n]=3x[n]-x2[n]. 
 
- Invariância temporal: se um deslocamento 
temporal da entrada causa também o mesmo 
deslocamento temporal na saída. 
 
 Ex: Se a entrada x1 (t) produz a saída y1 (t), 
 então a entrada x(t)=x1(t-t0) produz a 
 saída y(t)=y1(t-t0). 
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- Linearidade (aditividade e homogeneidade): 
se a entrada ax1(t)+bx2(t) produz a saída 
ay1(t)+by2(t). 
 
- Causalidade: se a saída em qualquer instante 
de tempo depende apenas da entrada nos 
 instantes de tempo presente ou passados. 
Ex: y[n]=x[n-2]. 
Contra exemplo: y[n]=x[n+1]. 
 
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- Estabilidade: se a resposta a uma entrada 
limitada é também limitada (Estabilidade 
 BIBO: “Bounded-Input Bounded-Output”) 
Ex: y[n] = 2x[n] 
 
Contra exemplo: 
 
Para x[n]=u[n] (entrada limitada), a saída, 
y[n]=(n+1)u[n] cresce sem limite com n. 
 
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 Sistema Linear Invariante no Tempo 
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1) Classifique quanto a memória 
1) y(t) = a.x(t) 
2) y[n] = x[n] – 3.x[n] 
3) y(t) = x(t-2) 
4) y[n] = x[n-1] + x[n-4] 
5) y(t) = Rx(t) 
6) 
 
 
 
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2) Classifique quanto a causalidade 
 1) y(t) = 2.x(t +1) 
 2) y[n] = x[n] + x[n-2] 
 
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3) Classifique quanto a linearidade 
 1) y(t) = Rx(t) 
 
 2) y(t) = x2(t) 
 
 3) y = cos(x) 
 
 4) 
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