Cálculo: Funções de uma e várias variáveis - Exercicioscap6-7

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Cálculo – funções de uma e várias variáveis Editora Saraiva
Capítulo 7
Integrais
Integrais Definidas
 é a primitiva de 
.
Exercício 1
a) 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
f)
 
g)
 
h)
 
i)
 
j) 
k)
 
l)
 
m) 
n) 
o) 
p)
 
q)
 
r)
 
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4
Exercício 5
Exercício resolvido no livro
Exercício 6
Exercício 7
Exercício 8
a)
b)
Exercício 9
a)
b)
Exercício 10 
	
Exercício 11
a)
	
b)
Exercício 12
a)
b)
Exercício 13
a)
b)
Exercício 14
a concavidade está voltada para baixo.
Exercício 15
Exercício 16
Exercício 17
Se 
Exercício 18
Exercício 19
Exercício 20
a)
b)
c)
Exercício 21
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Exercício 22
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Exercício 23
a)
b)
c)
�� EMBED Equation.3 
�
Exercício 24
	Este Exercício está no livro.
Exercício 25
a)
b)
c)
Exercício 26
Processo de extração 
O cálculo da receita total ao longo de 
 pode ser feita por aproximação. 
Quanto menores forem os intervalos de tempo adotados, mais preciso será o cálculo da área total que corresponde à receita total por tonelada.
Se 
(intervalo de tempo) tende a zero, podemos aplicar o conceito de integral.
Exercício 27
Exercício 28
 (preço por tonelada)
 (receita)
 (preço total)
Exercício 29
Ponto de Equilíbrio
b)
c)
Exercício 30
a)
b)
c)
Exercício 31
a)
b)
c)
Exercício 32
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Exercício 33
Exercício 34
a)
b)
Integração por Partes
 são funções diferenciáveis.
Exercício 35
a)
b)
c)
d)
e)
f)
 g)
Sabendo que 
, logo:
Exercício 36
a)
Analogamente, temos
Substituindo (II) e (III) em (I), teremos:
b)
De (II) e (III) em (I), teremos:
Exercício 37
	
Chama-se solução de uma equação diferencial qualquer função f que, substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade.
Exercício 38
Exercício 39
Exercício 40
Exercício 41
Exercício 42
Exercício 43
Exercício 44
Exercício 45
d)
�� EMBED Equation.3 
Substituindo (II) e (III) em (I), teremos,
Exercício 46
a)
b)
 
c)
d)
e)
Exercício 47
Exercício 48
Exercício 49
Exercício 50
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
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cap6.doc
Cálculo – funções de uma e várias variáveis Editora Saraiva
Capítulo 6
Aplicações de Derivadas
Exercício 1:
a) 
b) 
c) 
 
 
d) 
 
e) 
 
 2 
f) 
 
 1 2 
 
g) 
 3 4 
 
h) 
 -2 2 
 
i) 
 
 0 8 
 
j) 
k) 
l) 
 
m) 
 
n) 
o) 
p) 
q) 
r) 
 -1 1 
s) 
 
 
 
Exercício 2:
 
 2,5 
 
 
Exercício 3:
 
 10 
 
Exercício 4:
 
 9,5
 
Exercício 5:
 
 
 -0,65 -4,65
 
Exercício 6:
 
 
 
 
2 
 
 
Exercício 7:
 
a) 
 24
 
Exercício 8:
 
 5
 
Exercício 9:
 
4 
 
Exercício 10:
 
 
	Não existem raízes de x, isto é, a não se faz zero nunca, portanto, qualquer seja o valor de x ela será sempre positiva.
Por tratar-se de uma custo, não tem sentido considerar valores negativos de x.
Considerando isso o domínio desta questão é: 
Exercício 11
Exercício 12
A função 
não possui raízes reais, portanto ela é sempre positiva, quaisquer que sejam os valores de x.
Se C´(x)= 
é sempre positiva, a função é uma função crescente sempre.
Exercício 13
Exercício 14
Exercício 15
Exercício 16
 
Exercício 17
Exercício 18
Exercício 19
Entretanto, como a produção semestral é igual a 200 não podemos utilizar o valor 378,3.
Devemos utilizar 
 para calcular o valor de p(x)
 
Exercício 20
Exercício 21
Exercício 22
Exercício 23
Exercício 24
Exercício 25
Exercício 26
Exercício 27
 mil habitantes
 N aumenta em relação a t a taxas decrescentes.
mil habitantes
Exercício 28
 A produtividade marginal (p´(N)) decresce à medida que N aumenta.
Exercício 29
 
Exercício 30
Exercício 31
Exercício 32
 f é côncava para cima sem pontos de inflexão.
 f é côncava para baixo sem pontos
de inflexão.
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
x=3
ponto de inflexão.
f(x) é côncava para cima no intervalo 
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
x=4
ponto de inflexão.
f(x) é côncava para cima no intervalo 
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
x=-2,67 
ponto de inflexão.
f(x) é côncava para cima no intervalo 
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
x1=1 e x2 =3 são pontos de inflexão.
 não existe para x=0
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
x1=-1 e x2 =1 são pontos de inflexão.
não existe para x=1
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
Exercício 33
1) Determinação do Domínio.
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
		 
 equação de difícil solução
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
	
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
x=2,5 é ponto de inflexão
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	Não há pontos de descontinuidade nesta função. 
	Não há pontos de mínimo ou máximos absolutos.
1) determinação do Domínio.
2)Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
 
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
x=0 é ponto de inflexão
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	Não há pontos de descontinuidade nesta função. 
	Não há pontos de mínimos ou máximos absolutos.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
=0
 equação de difícil solução
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
x=0 é ponto de inflexão
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	Não há pontos de descontinuidade nesta função.
 
	Não há pontos de mínimos ou máximos absolutos.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
 equação de difícil solução
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
 
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
 é ponto de inflexão
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	Não há pontos de descontinuidade nesta função.
 
	Não há pontos de máximos ou de mínimos absolutos.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
 são pontos de inflexão.
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	Não há pontos de descontinuidade nesta função.
	
 são pontos de mínimos absolutos.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
	Não há pontos de inflexão.
	
 é côncava para baixo no intervalo.
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	Não há pontos de descontinuidade nesta função.
	
 é ponto de máximo absoluto.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
 
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
 é ponto de inflexão
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
Não há pontos de descontinuidade nesta função.
	
	Não há pontos de mínimos ou máximos absolutos.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
	
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
f(x) é côncava para cima no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	Não há pontos de descontinuidade nesta função.
 é ponto de mínimo absoluto.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
Intersecção com o eixo y
x=0
não corta o eixo y.
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
	
nunca é igual a zero.
	
é uma função decrescente nos intervalos 
.
	Não há pontos de mínimos nem de máximos.
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
	
nunca é igual a zero.
	Não há pontos de inflexão.
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
f(x) nunca “corta” o eixo x.
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
	
nunca é igual a zero.
	
é uma função decrescente nos seguintes intervalos: 
.
	Não há pontos de mínimo nem de máximo.
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
	
nunca é igual a zero.
	Não há pontos de inflexão.
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	
	
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
não “corta” o eixo x.
Intersecção com o eixo y
x=0
não “corta” o eixo y.
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
é uma função crescente nos seguintes intervalos:
.
é uma função decrescente nos seguintes intervalos: 
.
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
	
nunca é igual a zero.
	Não há pontos de inflexão.
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
não “corta” o eixo x.
Intersecção com o eixo y
x=0
não “corta” o eixo y.
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
	
é uma função crescente nos seguintes intervalos: 
.
é uma função decrescente nos seguintes intervalos: 
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
nunca é igual a zero.
Não há pontos de inflexão.
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
Intersecção com o eixo y
x=0
não “corta” o eixo y.
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
		
	
é uma função crescente nos seguintes intervalos: 
.
é uma função decrescente nos seguintes intervalos: 
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
nunca é igual a zero.
Não há pontos de inflexão.
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
Intersecção com o eixo y
x=0
nunca “corta” o eixo y.
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
é uma função crescente nos seguintes intervalos: 
.
é uma função decrescente nos seguintes intervalos: 
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
nunca é igual a zero.
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	
1) Determinação do Domínio.
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
não “corta” o eixo x.
Intersecção com o eixo y
x=0
não “corta” o eixo y.
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
é uma função crescente nos seguintes intervalos: 
.
é uma função decrescente nos seguintes intervalos: 
Levando em consideração que o domínio é 
, temos:
é uma função crescente nos seguintes intervalos: 
.
é uma função decrescente nos seguintes intervalos: 
.
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
	
nunca é igual a zero.
	Não há pontos de inflexão.
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
f(x) é côncava para cima no intervalo 
5) Determinação dos limites nos extremos
do domínio e possíveis assíntotas.
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
é uma função crescente nos seguintes intervalos: 
.
é uma função decrescente nos seguintes intervalos: 
.
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
.
f(x) é côncava para cima no intervalo 
.
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
não “corta” o eixo x.
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
	
é uma função crescente nos seguintes intervalos: 
.
é uma função decrescente nos seguintes intervalos: 
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
.
f(x) é côncava para cima no intervalo 
.
 são pontos de inflexão.
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	Não há pontos de descontinuidade nesta função.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
é uma função crescente nos seguintes intervalos: 
.
é uma função decrescente nos seguintes intervalos: 
.
 são pontos de mínimo e máximo respectivamente.
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
.
f(x) é côncava para cima no intervalo 
.
 são pontos de inflexão.
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	Não há pontos de descontinuidade nesta função.
1) Determinação do Domínio.
	
2) Determinação da intersecção com os eixos, quando possível.
Intersecção com o eixo x
y=0
Intersecção com o eixo y
x=0
3) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento e possíveis pontos de máximos e mínimos.
	
	
 é uma função crescente no seguinte intervalo: 
.
4) Determinação dos intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo e de possíveis pontos de inflexão.
	
	
é côncava para baixo no seguinte intervalo: 
.
	Não há pontos de inflexão.
5) Determinação dos limites nos extremos do domínio e possíveis assíntotas.
	
6) Determinação dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (quando houver) e possíveis assíntotas.
	Não há pontos de descontinuidade nesta função.
Exercício 34
Domínio
Intersecção com os eixos
Intervalos de crescimento e decrescimento.
 é uma função crescente no seguinte intervalo: 
.
Concavidade.
f(x) é côncava para baixo no intervalo 
.
f(x) é côncava para cima no intervalo 
.
 é ponto de inflexão.
Limites nos Extremos do Domínio.
Limites Laterais.
Não há pontos de descontinuidade nesta função.
Exercício 34
b. 1) Domínio.
b. 2) Intersecção com os eixos.
 não “corta” o eixo y.
b. 3) Intervalos de crescimento e decrescimento.
	
	
 é uma função decrescente no seguinte intervalo: 
.
b. 4) Concavidade
	
	
 é côncava para cima nos seguinte intervalos: 
.
b. 5) Limites nos Extremos de Domínio.
	
b. 6) Limites Laterais.
	
c)
Exercício 36
a. 1) Domínio.
a. 2) Intersecção com os eixos.
 não “corta” o eixo x.
a. 3) Intervalos de crescimento e decrescimento.
	
	
 é uma função decrescente no seguinte intervalo: 
.
	
 é uma função crescente no seguinte intervalo: 
.
	
 é um ponto de mínimo.
	
a. 4) Concavidade
	
	
 é côncava para cima nos seguinte intervalos: 
.
a. 5) Limites nos Extremos de Domínio.
	
a. 6) Limites Laterais.
	Não há pontos de descontinuidade.
b. 1) Domínio.
b. 2) Intervalos de crescimento e decrescimento.
	
b. 3) Intersecção com os eixos.
 não “corta” o eixo x.
b. 4) Concavidade
	
	
 é côncava para cima nos seguinte intervalos: 
.
b. 5) Limites nos Extremos de Domínio.
	
b. 6) Limites Laterais.
	Não há pontos de descontinuidade.
c)
ponto de mínimo de função custo médio.
ponto de mínimo da função custo marginal.
Exercício 37
a. 1) Domínio.
a. 2) Intersecção com os eixos.
 não “corta” o eixo x.
a. 3) Intervalos de crescimento e decrescimento.
	
	
a. 4) Concavidade
	
	
 é côncava para cima nos seguinte intervalos: 
.
a. 5) Limites nos Extremos de Domínio.
	
a. 6) Limites Laterais.
	Não há pontos de descontinuidade.
b. 1) Domínio.
b. 2) Intervalos de crescimento e decrescimento.
	
b. 3) Intersecção com os eixos.
 não “corta” o eixo x.
b. 4) Concavidade
	
	
 é côncava para cima nos seguinte intervalos: 
.
b. 5) Limites nos Extremos de Domínio.
	
b. 6) Limites Laterais.
	Não há pontos de descontinuidade.
c)
Exercício 38
concavidade para cima.
 é um ponto de mínimo.
concavidade para baixo.
 é um ponto de máximo.
 concavidade para baixo.
 concavidade para cima.
 ponto de máximo.
 ponto de mínimo.
 concavidade para cima.
 concavidade para baixo.
 ponto de mínimo.
 ponto de máximo.
concavidade para baixo.
concavidade para cima.
 ponto de máximo.
 ponto de mínimo.
concavidade para cima.
ponto de mínimo.
Exercício 39
concavidade para cima.
 é um ponto de mínimo.
Exercício 40
concavidade
para baixo.
ponto de máximo.
Exercício 42
concavidade para baixo.
Exercício 43
 concavidade para cima.
 ponto de mínimo.
Exercício 44
concavidade para baixo.
Exercício 45
concavidade para cima.
Exercício 46
 a concavidade é para cima.
Exercício 41
 a concavidade é para cima.
Exercício 47
a concavidade é para cima.
Exercício 48
a concavidade é para cima.
Exercício 49
a concavidade está voltada para baixo.
a concavidade está voltada para cima.
Exercício 50
a concavidade está voltada para baixo.
ponto de máximo.
Se considerarmos que a função custo é 
, então:
a concavidade está voltada para baixo.
ponto de máximo.
		
	
Exercícios 51
a concavidade está voltada para cima.
a concavidade está voltada para baixo.
ponto de máximo.
		
 
	
Exercício 52
a concavidade está voltada para cima.
a concavidade está voltada para baixo.
ponto de máximo.
		
	
Exercício 53
	
Para que o lucro seja máximo, então 
 deve ser igual a zero.
	
	
 
Exercício 54
 a concavidade está voltada para baixo.
 é ponto de máximo.
Exercício 55
a concavidade da função 
 está voltada para baixo.
é um ponto de máximo.
Exercício 56
a concavidade da função 
está voltada para baixo.
ponto de máximo.
Exercício 57
a concavidade de função está voltada para baixo.
ponto de máximo.
Exercício 58
a concavidade de função está voltada para baixo.
ponto de máximo.
Exercício 59
a concavidade está voltada para baixo.
ponto de máximo. 
Exercício 60
 a concavidade está voltada para baixo.
ponto de máximo.
Exercício 61
 a concavidade está voltada para baixo.
ponto de máximo.
Exercício 62
 EMBED Equation.3 ��
a concavidade da função 
 está voltada para baixo.
ponto de máximo.
a concavidade da função está voltada para baixo.
ponto de máximo.
Exercício 63
 a concavidade está voltada para baixo.
ponto de máximo.
a concavidade da função está voltada para baixo.
ponto de máximo.
Exercício 64
 EMBED Equation.3 ��
ponto de inflexão.
b)
função marginal
a concavidade da função está voltada para cima.
ponto de mínimo.
Exercício 65
Custo do terreno
a concavidade está voltada para cima.
ponto de mínimo.
Exercício 66
a concavidade da função está voltada para baixo.
ponto de máximo. 
Exercício 67
 a concavidade da função está voltada para baixo.
ponto de máximo.
Exercício 68
 EMBED Equation.3 ��� EMBED Equation.3 ��
ponto de inflexão.
a concavidade está voltada para baixo.
ponto de máximo.
Exercício 69
Exercício 70
a concavidade está voltada para baixo.
ponto de máximo.
Exercício 71
	
concavidade para baixo.
ponto de máximo.
	
Exercício 72
Exercício 73
Exercício resolvido no livro.
Exercício 74
Custo para manter estoque
Custo para pedir
 = 
 + 
a concavidade está voltada para cima.
ponto de mínimo.
Exercício 75
 quantidade anual consumida de um item.
 custo anual de manter uma unidade.
 custo de cada pedido.
a concavidade da função está voltada para cima.
ponto de mínimo.
Exercício 76
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