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Engenharia de Controle e Automação
Física III
Prof. D.Sc. Adriano Jorge Figueira
Instituto Federal Fluminense
Campus Macaé
Livros – Texto: Halliday Vol.3 (10º ed.)
Serway
H. Moysés Nussenzveig Vol.3
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 1 / 87
1 Introdução
2 O Campo Eletrostático e a Lei de Coulomb
3 O Campo Elétrico de Distribuições contínuas de Carga
4 Dipolos e Campos Elétricos
5 Fluxo de Campo Elétrico e a Lei de Gauss
6 Potencial Elétrico e Energia Potencial Elétrica
7 Potencial Elétrico de Distribuições contínuas de carga
8 Propriedades Elétricas dos Materiais
9 Capacitores
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 2 / 87
1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica
→Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica →Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica →Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica →Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica →Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!
Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica →Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!
Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica →Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica →Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica →Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica →Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica →Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Mecânica
→Clássica →Quântica
Newtoniana
Relativística
Não Relativística
Relativística
Problemas!Teoria Quântica
de Campos
Interação ("força")
Mecânica:
descrição do movimento (evolução) de um dado sistema.
OBS: O EM. Clássico é uma Teoria Clássica de Campos
quantização
Q.E.D
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte
=⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte
=⇒ Q.C.D
Eletromagnética
=⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte
=⇒ Q.C.D
Eletromagnética
=⇒ Q.E.D
Fraca
=⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte
=⇒ Q.C.D
Eletromagnética
=⇒ Q.E.D
Fraca
=⇒ Fermi
Gravitacional
=⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética
=⇒ Q.E.D
Fraca
=⇒ Fermi
Gravitacional
=⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação:possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca
=⇒ Fermi
Gravitacional
=⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional
=⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1:
Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação:
Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.1: Motivação
Interações Fundamentais
Forte =⇒ Q.C.D
Eletromagnética =⇒ Q.E.D
Fraca =⇒ Fermi
Gravitacional =⇒ Rel. Geral (clássica) =⇒ · · · =⇒ ?
obs1: Unificação: Modelo Padrão −→ GUTs −→ · · · −→ “Strings”
obs2: Cargas e Campos:
São necessárias para gerar campos e “detectá-los”
Mediadores da interação: possuem natureza e dinâmicas próprias
(radiação)
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1. Introdução 1.2: Carga elétrica
Propriedades da carga elétrica
1 A carga elétrica vem em duas formas: “+” e “−” (nomes) e estas tendem a
cancelar-se: (+q) e (−q) em um mesmo ponto cancelam-se eletricamente.
↪→ Não é óbvio!!!
Em particular, em Q.C.D temos 3 cargas (R, G, B).
↪→ Fato interessante:
A matéria macroscópica tende a ser neutra com grande precisão.
2 A carga é conservada localmente.
↪→ importante p/ Teorias de Gauge.
3 A carga é quantizada.
↪→ Quarks possuem cargas ±1
3
e, ±2
3
e, porém são sempre confinados no
interior de Hádrons c/ cargas que são múltiplas de e.
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1. Introdução 1.2: Carga elétrica
Propriedades da carga elétrica
1 A carga elétrica vem em duas formas: “+” e “−” (nomes) e estas tendem a
cancelar-se: (+q) e (−q) em um mesmo ponto cancelam-se eletricamente.
↪→ Não é óbvio!!!
Em particular, em Q.C.D temos 3 cargas (R, G, B).
↪→ Fato interessante:
A matéria macroscópica tende a ser neutra com grande precisão.
2 A carga é conservada localmente.
↪→ importante p/ Teorias de Gauge.
3 A carga é quantizada.
↪→ Quarks possuem cargas ±1
3
e, ±2
3
e, porém são sempre confinados no
interior de Hádrons c/ cargas que são múltiplas de e.
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1. Introdução 1.2: Carga elétrica
Propriedades da carga elétrica
1 A carga elétrica vem em duas formas: “+” e “−” (nomes) e estas tendem a
cancelar-se: (+q) e (−q) em um mesmo ponto cancelam-se eletricamente.
↪→ Não é óbvio!!!
Em particular, em Q.C.D temos 3 cargas (R, G, B).
↪→ Fato interessante:
A matéria macroscópica tende a ser neutra com grande precisão.
2 A carga é conservada localmente.
↪→ importante p/ Teorias de Gauge.
3 A carga é quantizada.
↪→ Quarks possuem cargas ±1
3
e, ±2
3
e, porém são sempre confinados no
interior de Hádrons c/ cargas que são múltiplas de e.
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1. Introdução 1.2: Carga elétrica
Propriedades da carga elétrica
1 A carga elétrica vem em duas formas: “+” e “−” (nomes) e estas tendem a
cancelar-se: (+q) e (−q) em um mesmo ponto cancelam-se eletricamente.
↪→ Não é óbvio!!!
Em particular, em Q.C.D temos 3 cargas (R, G, B).
↪→ Fato interessante:
A matéria macroscópica tende a ser neutra com grande precisão.
2 A carga é conservada localmente.
↪→ importante p/ Teorias de Gauge.
3 A carga é quantizada.
↪→ Quarks possuem cargas ±1
3
e, ±2
3
e, porém são sempre confinados no
interior de Hádrons c/ cargas que são múltiplas de e.
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1. Introdução 1.2: Carga elétrica
Propriedades da carga elétrica
1 A carga elétrica vem em duas formas: “+” e “−” (nomes) e estas tendem a
cancelar-se: (+q) e (−q) em um mesmo ponto cancelam-se eletricamente.
↪→ Não é óbvio!!!
Em particular, em Q.C.D temos 3 cargas (R, G, B).
↪→ Fato interessante:
A matéria macroscópica tende a ser neutra com grande precisão.
2 A carga é conservada localmente.
↪→ importante p/ Teorias de Gauge.
3 A carga é quantizada.
↪→ Quarks possuem cargas ±1
3
e, ±2
3
e, porém são sempre confinados no
interior de Hádrons c/ cargas que são múltiplas de e.
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1. Introdução 1.2: Carga elétrica
Propriedades da carga elétrica
1 A carga elétrica vem em duas formas:“+” e “−” (nomes) e estas tendem a
cancelar-se: (+q) e (−q) em um mesmo ponto cancelam-se eletricamente.
↪→ Não é óbvio!!!
Em particular, em Q.C.D temos 3 cargas (R, G, B).
↪→ Fato interessante:
A matéria macroscópica tende a ser neutra com grande precisão.
2 A carga é conservada localmente.
↪→ importante p/ Teorias de Gauge.
3 A carga é quantizada.
↪→ Quarks possuem cargas ±1
3
e, ±2
3
e, porém são sempre confinados no
interior de Hádrons c/ cargas que são múltiplas de e.
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1. Introdução 1.2: Carga elétrica
Propriedades da carga elétrica
1 A carga elétrica vem em duas formas: “+” e “−” (nomes) e estas tendem a
cancelar-se: (+q) e (−q) em um mesmo ponto cancelam-se eletricamente.
↪→ Não é óbvio!!!
Em particular, em Q.C.D temos 3 cargas (R, G, B).
↪→ Fato interessante:
A matéria macroscópica tende a ser neutra com grande precisão.
2 A carga é conservada localmente.
↪→ importante p/ Teorias de Gauge.
3 A carga é quantizada.
↪→ Quarks possuem cargas ±1
3
e, ±2
3
e, porém são sempre confinados no
interior de Hádrons c/ cargas que são múltiplas de e.
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1. Introdução 1.2: Carga elétrica
Propriedades da carga elétrica
1 A carga elétrica vem em duas formas: “+” e “−” (nomes) e estas tendem a
cancelar-se: (+q) e (−q) em um mesmo ponto cancelam-se eletricamente.
↪→ Não é óbvio!!!
Em particular, em Q.C.D temos 3 cargas (R, G, B).
↪→ Fato interessante:
A matéria macroscópica tende a ser neutra com grande precisão.
2 A carga é conservada localmente.
↪→ importante p/ Teorias de Gauge.
3 A carga é quantizada.
↪→ Quarks possuem cargas ±1
3
e, ±2
3
e, porém são sempre confinados no
interior de Hádrons c/ cargas que são múltiplas de e.
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1. Introdução 1.2: Carga elétrica
Propriedades da carga elétrica
1 A carga elétrica vem em duas formas: “+” e “−” (nomes) e estas tendem a
cancelar-se: (+q) e (−q) em um mesmo ponto cancelam-se eletricamente.
↪→ Não é óbvio!!!
Em particular, em Q.C.D temos 3 cargas (R, G, B).
↪→ Fato interessante:
A matéria macroscópica tende a ser neutra com grande precisão.
2 A carga é conservada localmente.
↪→ importante p/ Teorias de Gauge.
3 A carga é quantizada.
↪→ Quarks possuem cargas ±1
3
e, ±2
3
e, porém são sempre confinados no
interior de Hádrons c/ cargas que são múltiplas de e.
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Operações vetoriais (3D - coord. cart.)
produto escalar: ~a · ~b ≡ axbx + ayby + azbz
produto vetorial:
~a× ~b ≡ (aybz − azby ) xˆ + (azbx − axbz) yˆ + (axby − aybx ) zˆ
produtos triplos:
~a · (~b × ~c) = ~c · (~a× ~b) = ~b · (~c × ~a)
~a× ~b × ~c ≡ ~b(~a · ~c)− ~c(~a · ~b)
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Elementos infinitesimais
comprimento:
cart.: d ~`= dxxˆ + dyyˆ + dzzˆ
superfície:
pol.: dS ≡ d2r = r dϕdr
cil.: dS ≡ d2r = r dϕdz
esf.: dS ≡ d2r = r2 sin θ dθ dϕ
volume:
cart.: dV ≡ d3r = dx dy dz
cil.: dV ≡ d3r = r dr dz dϕ
esf.: dV ≡ d3r = r2 sin θ dθ dϕdr
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Derivadas Vetoriais (3D - coord. cart.)
operador ∇: ∇ ≡ xˆ ∂
∂x
+ yˆ
∂
∂y
+ zˆ
∂
∂z
gradiente: ∇f ≡ xˆ ∂ f
∂x
+ yˆ
∂ f
∂y
+ zˆ
∂ f
∂z
−→ df = (∇f ) · d ~`
divergente: ∇ · ~v ≡ ∂
∂x
vx +
∂
∂y
vy +
∂
∂z
vz
rotacional: ∇× ~v ≡
(
∂
∂y
vz − ∂
∂z
vy
)
xˆ + (· · · ) yˆ + (· · · ) zˆ
Laplaciano: ∇2f ≡ ∂
2
∂x2
f +
∂2
∂y2
f +
∂2
∂z2
f
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Derivadas Vetoriais (3D - coord. cart.)
operador ∇: ∇ ≡ xˆ ∂
∂x
+ yˆ
∂
∂y
+ zˆ
∂
∂z
gradiente: ∇f ≡ xˆ ∂ f
∂x
+ yˆ
∂ f
∂y
+ zˆ
∂ f
∂z
−→ df = (∇f ) · d ~`
divergente: ∇ · ~v ≡ ∂
∂x
vx +
∂
∂y
vy +
∂
∂z
vz
rotacional: ∇× ~v ≡
(
∂
∂y
vz − ∂
∂z
vy
)
xˆ + (· · · ) yˆ + (· · · ) zˆ
Laplaciano: ∇2f ≡ ∂
2
∂x2
f +
∂2
∂y2
f +
∂2
∂z2
f
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Derivadas Vetoriais (3D - coord. cart.)
operador ∇: ∇ ≡ xˆ ∂
∂x
+ yˆ
∂
∂y
+ zˆ
∂
∂z
gradiente: ∇f ≡ xˆ ∂ f
∂x
+ yˆ
∂ f
∂y
+ zˆ
∂ f
∂z
−→ df = (∇f ) · d ~`
divergente: ∇ · ~v ≡ ∂
∂x
vx +
∂
∂y
vy +
∂
∂z
vz
rotacional: ∇× ~v ≡
(
∂
∂y
vz − ∂
∂z
vy
)
xˆ + (· · · ) yˆ + (· · · ) zˆ
Laplaciano: ∇2f ≡ ∂
2
∂x2
f +
∂2
∂y2
f +
∂2
∂z2
f
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Derivadas Vetoriais (3D - coord. cart.)
operador ∇: ∇ ≡ xˆ ∂
∂x
+ yˆ
∂
∂y
+ zˆ
∂
∂z
gradiente: ∇f ≡ xˆ ∂ f
∂x
+ yˆ
∂ f
∂y
+ zˆ
∂ f
∂z
−→ df = (∇f ) · d ~`
divergente: ∇ · ~v ≡ ∂
∂x
vx +
∂
∂y
vy +
∂
∂z
vz
rotacional: ∇× ~v ≡
(
∂
∂y
vz − ∂
∂z
vy
)
xˆ + (· · · ) yˆ + (· · · ) zˆ
Laplaciano: ∇2f ≡ ∂
2
∂x2
f +
∂2
∂y2
f +
∂2
∂z2
f
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Derivadas Vetoriais (3D - coord. cart.)
operador ∇: ∇ ≡ xˆ ∂
∂x
+ yˆ
∂
∂y
+ zˆ
∂
∂z
gradiente: ∇f ≡ xˆ ∂ f
∂x
+ yˆ
∂ f
∂y
+ zˆ
∂ f
∂z
−→ df = (∇f ) · d ~`
divergente: ∇ · ~v ≡ ∂
∂x
vx +
∂
∂y
vy +
∂
∂z
vz
rotacional: ∇× ~v ≡
(
∂
∂y
vz − ∂
∂z
vy
)
xˆ + (· · · ) yˆ + (· · · ) zˆ
Laplaciano: ∇2f ≡ ∂
2
∂x2
f +
∂2
∂y2
f +
∂2
∂z2
f
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Derivadas Vetoriais (3D - coord. cart.)
operador ∇: ∇ ≡ xˆ ∂
∂x
+ yˆ
∂
∂y
+ zˆ
∂
∂z
gradiente: ∇f ≡ xˆ ∂ f
∂x
+ yˆ
∂ f
∂y
+ zˆ
∂ f
∂z
−→ df = (∇f ) · d ~`
divergente: ∇ · ~v ≡ ∂
∂x
vx +
∂
∂y
vy +
∂
∂z
vz
rotacional: ∇× ~v ≡
(
∂
∂y
vz − ∂
∂z
vy
)
xˆ + (· · · ) yˆ + (· · · ) zˆ
Laplaciano: ∇2f ≡ ∂
2
∂x2
f +
∂2
∂y2
f +
∂2
∂z2
f
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Teoremas Fundamentais
Teorema Fundamental do Gradiente:
∫ b
a
(∇f ) · d ~`= f (b)− f (a)
a
b
Teorema Fundamental da Divergência (Gauss, Green):
∫
V
(∇ · ~v) dV =
∮
S
~v · nˆ dS
nˆ
V
S
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Teoremas Fundamentais
Teorema Fundamental do Gradiente:
∫ b
a
(∇f ) · d ~`= f (b)− f (a)
a
b
Teorema Fundamental da Divergência (Gauss, Green):
∫
V
(∇ · ~v) dV =
∮
S
~v · nˆ dS
nˆ
V
S
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Teoremas Fundamentais
Teorema Fundamental do Gradiente:
∫ b
a
(∇f ) · d ~`= f (b)− f (a)
a
b
Teorema Fundamental da Divergência (Gauss, Green):
∫
V
(∇ · ~v) dV =
∮
S
~v · nˆ dS
nˆ
V
S
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Teoremas Fundamentais
Teorema Fundamental do Gradiente:
∫ b
a
(∇f ) · d ~`= f (b)− f (a)
a
b
Teorema Fundamental da Divergência (Gauss, Green):
∫
V
(∇ · ~v) dV =
∮
S
~v · nˆ dS
nˆ
V
S
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Teoremas Fundamentais
Teorema Fundamental do Gradiente:
∫ b
a
(∇f ) · d ~`= f (b)− f (a)
a
b
Teorema Fundamental da Divergência (Gauss, Green):
∫
V
(∇ · ~v) dV =
∮
S
~v · nˆ dS
nˆ
V
S
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1. Introdução 1.3: AnáliseVetorial
Teoremas Fundamentais
Teorema Fundamental do Gradiente:
∫ b
a
(∇f ) · d ~`= f (b)− f (a)
a
b
Teorema Fundamental da Divergência (Gauss, Green):
∫
V
(∇ · ~v) dV =
∮
S
~v · nˆ dS
nˆ
V
S
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Teoremas Fundamentais
Teorema Fundamental do Gradiente:
∫ b
a
(∇f ) · d ~`= f (b)− f (a)
a
b
Teorema Fundamental da Divergência (Gauss, Green):
∫
V
(∇ · ~v) dV =
∮
S
~v · nˆ dS
nˆ
V
S
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Teoremas Fundamentais
Teorema Fundamental do Rotacional (Stokes):
∫
S
(∇× ~v) · nˆ dS =
∮
C
~v · d ~`
S : Superfície arbitrária
>
<
C
S
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1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Teoremas Fundamentais
Teorema Fundamental do Rotacional (Stokes):
∫
S
(∇× ~v) · nˆ dS =
∮
C
~v · d ~`
S : Superfície arbitrária
>
<
C
S
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 10 / 87
1. Introdução 1.3: Análise Vetorial
Teoremas Fundamentais
Teorema Fundamental do Rotacional (Stokes):
∫
S
(∇× ~v) · nˆ dS =
∮
C
~v · d ~`
S : Superfície arbitrária
>
<
C
S
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2. Campo Elétrico 2.1: Problema Fundamental da Eletrodinâmica
2.1 - Problema Fundamental da Eletrodinâmica
q4
q3
q1
q2
“cargas fonte”
Q
“carga teste”
Conhecidas as posições das cargas
fonte, ~ri(t), que forças estas exercem
sobre a carga teste?
↪→Cálculo da trajetória de Q.
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2. Campo Elétrico 2.1: Problema Fundamental da Eletrodinâmica
2.1 - Problema Fundamental da Eletrodinâmica
q4
q3
q1
q2
“cargas fonte”
Q
“carga teste”
Conhecidas as posições das cargas
fonte, ~ri(t), que forças estas exercem
sobre a carga teste?
↪→Cálculo da trajetória de Q.
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 11 / 87
2. Campo Elétrico 2.1: Problema Fundamental da Eletrodinâmica
2.1 - Problema Fundamental da Eletrodinâmica
q4
q3
q1
q2
“cargas fonte”
Q
“carga teste”
Conhecidas as posições das cargas
fonte, ~ri(t), que forças estas exercem
sobre a carga teste?
↪→Cálculo da trajetória de Q.
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2. Campo Elétrico 2.1: Problema Fundamental da Eletrodinâmica
2.1 - Problema Fundamental da Eletrodinâmica
q4
q3
q1
q2
“cargas fonte”
Q
“carga teste”
Conhecidas as posições das cargas
fonte, ~ri(t), que forças estas exercem
sobre a carga teste?
↪→Cálculo da trajetória de Q.
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2. Campo Elétrico 2.2: A Lei de Coulomb
O
q1
q2
~r1 ~r2
~r21
~F21 =
1
4pi�0
q1 q2
r221
rˆ21
�0 ≡ 8.854 187 817 · 10−12 C
2
Nm2
=
107
4pic2
Permissividade elétrica no vácuo
c = 299 792 458 m/s (exato)
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2. Campo Elétrico 2.2: A Lei de Coulomb
O
q1
q2
~r1 ~r2
~r21
~F21 =
1
4pi�0
q1 q2
r221
rˆ21
�0 ≡ 8.854 187 817 · 10−12 C
2
Nm2
=
107
4pic2
Permissividade elétrica no vácuo
c = 299 792 458 m/s (exato)
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2. Campo Elétrico 2.2: A Lei de Coulomb
O
q1
q2
~r1 ~r2
~r21
~F21 =
1
4pi�0
q1 q2
r221
rˆ21
�0 ≡ 8.854 187 817 · 10−12 C
2
Nm2
=
107
4pic2
Permissividade elétrica no vácuo
c = 299 792 458 m/s (exato)
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2. Campo Elétrico 2.2: A Lei de Coulomb
O
q1
q2
~r1 ~r2
~r21
~F21 =
1
4pi�0
q1 q2
r221
rˆ21
�0 ≡ 8.854 187 817 · 10−12 C
2
Nm2
=
107
4pic2
Permissividade elétrica no vácuo
c = 299 792 458 m/s (exato)
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2. Campo Elétrico 2.2: A Lei de Coulomb
O
q1
q2
~r1 ~r2
~r21
~F21 =
1
4pi�0
q1 q2
r221
rˆ21
�0 ≡ 8.854 187 817 · 10−12 C
2
Nm2
=
107
4pic2
Permissividade elétrica no vácuo
c = 299 792 458 m/s (exato)
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2. Campo Elétrico 2.3: Princípio da Sobreposição
Princípio da Sobreposição:
A interação entre qualquer par de cargas não é afetada pela presença
de outras cargas fonte.
(consequência da dependência linear de ~FEM na carga fonte total)
Logo, a força exercida sobre Q pode ser decomposta como:
~F = ~F1 + ~F2 + · · ·
Dificuldade!
Em geral, a força exercida sobre Q depende não apenas da distância entre qi e Q,
mas também da velocidade e da aceleração de qi em um instante no passado.
(c é finita)
Eletrostática =⇒ Todas as cargas fonte são estacionárias!
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2. Campo Elétrico 2.3: Princípio da Sobreposição
Princípio da Sobreposição:
A interação entre qualquer par de cargas não é afetada pela presença
de outras cargas fonte.
(consequência da dependência linear de ~FEM na carga fonte total)
Logo, a força exercida sobre Q pode ser decomposta como:
~F = ~F1 + ~F2 + · · ·
Dificuldade!
Em geral, a força exercida sobre Q depende não apenas da distância entre qi e Q,
mas também da velocidade e da aceleração de qi em um instante no passado.
(c é finita)
Eletrostática =⇒ Todas as cargas fonte são estacionárias!
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2. Campo Elétrico 2.3: Princípio da Sobreposição
Princípio da Sobreposição:
A interação entre qualquer par de cargas não é afetada pela presença
de outras cargas fonte.
(consequência da dependência linear de ~FEM na carga fonte total)
Logo, a força exercida sobre Q pode ser decomposta como:
~F = ~F1 + ~F2 + · · ·
Dificuldade!
Em geral, a força exercida sobre Q depende não apenas da distância entre qi e Q,
mas também da velocidade e da aceleração de qi em um instante no passado.
(c é finita)
Eletrostática =⇒ Todas as cargas fonte são estacionárias!
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2. Campo Elétrico 2.3: Princípio da Sobreposição
Princípio da Sobreposição:
A interação entre qualquer par de cargas não é afetada pela presença
de outras cargas fonte.
(consequência da dependência linear de ~FEM na carga fonte total)
Logo, a força exercida sobre Q pode ser decomposta como:
~F = ~F1 + ~F2 + · · ·
Dificuldade!
Em geral, a força exercida sobre Q depende não apenas da distância entre qi e Q,
mas também da velocidade e da aceleração de qi em um instante no passado.
(c é finita)
Eletrostática =⇒ Todas as cargas fonte são estacionárias!
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2. Campo Elétrico 2.3: Princípio da Sobreposição
Princípio da Sobreposição:
A interação entre qualquer par de cargas não é afetada pela presença
de outras cargas fonte.
(consequência da dependência linear de ~FEM na carga fonte total)
Logo, a força exercida sobre Q pode ser decomposta como:
~F = ~F1 + ~F2 + · · ·
Dificuldade!
Em geral, a força exercida sobre Q depende não apenas da distância entre qi e Q,
mas também da velocidade e da aceleração de qi em um instante no passado.
(c é finita)
Eletrostática =⇒ Todas as cargas fonte são estacionárias!
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2. Campo Elétrico 2.3: Princípio da Sobreposição
Princípio da Sobreposição:
A interação entre qualquer par de cargas não é afetada pela presença
de outras cargas fonte.
(consequência da dependência linear de ~FEM na carga fonte total)
Logo, a força exercida sobre Q pode ser decomposta como:
~F = ~F1 + ~F2 + · · ·
Dificuldade!
Em geral, a força exercida sobre Q depende não apenas da distância entre qi e Q,
mas também da velocidade e da aceleração de qi em um instanteno passado.
(c é finita)
Eletrostática =⇒ Todas as cargas fonte são estacionárias!
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2. Campo Elétrico 2.3: Princípio da Sobreposição
Princípio da Sobreposição:
A interação entre qualquer par de cargas não é afetada pela presença
de outras cargas fonte.
(consequência da dependência linear de ~FEM na carga fonte total)
Logo, a força exercida sobre Q pode ser decomposta como:
~F = ~F1 + ~F2 + · · ·
Dificuldade!
Em geral, a força exercida sobre Q depende não apenas da distância entre qi e Q,
mas também da velocidade e da aceleração de qi em um instante no passado.
(c é finita)
Eletrostática =⇒ Todas as cargas fonte são estacionárias!
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2. Campo Elétrico 2.3: Princípio da Sobreposição
Princípio da Sobreposição:
A interação entre qualquer par de cargas não é afetada pela presença
de outras cargas fonte.
(consequência da dependência linear de ~FEM na carga fonte total)
Logo, a força exercida sobre Q pode ser decomposta como:
~F = ~F1 + ~F2 + · · ·
Dificuldade!
Em geral, a força exercida sobre Q depende não apenas da distância entre qi e Q,
mas também da velocidade e da aceleração de qi em um instante no passado.
(c é finita)
Eletrostática =⇒
Todas as cargas fonte são estacionárias!
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2. Campo Elétrico 2.3: Princípio da Sobreposição
Princípio da Sobreposição:
A interação entre qualquer par de cargas não é afetada pela presença
de outras cargas fonte.
(consequência da dependência linear de ~FEM na carga fonte total)
Logo, a força exercida sobre Q pode ser decomposta como:
~F = ~F1 + ~F2 + · · ·
Dificuldade!
Em geral, a força exercida sobre Q depende não apenas da distância entre qi e Q,
mas também da velocidade e da aceleração de qi em um instante no passado.
(c é finita)
Eletrostática =⇒ Todas as cargas fonte são estacionárias!
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
q4
q3
q1
q2
qi
O
Q (Ponto P0)
~ri ~r0
~r0i
~F (P0) ≡ ~F0 =
∑
i
~Fi =
∑
i
1
4pi�0
qi Q
r 20i
rˆ0i
~F0 = Q
(∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i
)
~F0 = Q ~E
onde,
~E(P0) ≡
∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i ↪→ ~E é um campo vetorial dependente da posição e
determinado pela distribuição de cargas fonte. =⇒ Realidade Física!
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
q4
q3
q1
q2
qi
O
Q (Ponto P0)
~ri ~r0
~r0i
~F (P0) ≡ ~F0 =
∑
i
~Fi =
∑
i
1
4pi�0
qi Q
r 20i
rˆ0i
~F0 = Q
(∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i
)
~F0 = Q ~E
onde,
~E(P0) ≡
∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i ↪→ ~E é um campo vetorial dependente da posição e
determinado pela distribuição de cargas fonte. =⇒ Realidade Física!
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
q4
q3
q1
q2
qi
O
Q (Ponto P0)
~ri ~r0
~r0i
~F (P0) ≡ ~F0 =
∑
i
~Fi =
∑
i
1
4pi�0
qi Q
r 20i
rˆ0i
~F0 = Q
(∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i
)
~F0 = Q ~E
onde,
~E(P0) ≡
∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i ↪→ ~E é um campo vetorial dependente da posição e
determinado pela distribuição de cargas fonte. =⇒ Realidade Física!
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 14 / 87
2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
q4
q3
q1
q2
qi
O
Q (Ponto P0)
~ri ~r0
~r0i
~F (P0) ≡ ~F0 =
∑
i
~Fi =
∑
i
1
4pi�0
qi Q
r 20i
rˆ0i
~F0 = Q
(∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i
)
~F0 = Q ~E
onde,
~E(P0) ≡
∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i ↪→ ~E é um campo vetorial dependente da posição e
determinado pela distribuição de cargas fonte. =⇒ Realidade Física!
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
q4
q3
q1
q2
qi
O
Q (Ponto P0)
~ri ~r0
~r0i
~F (P0) ≡ ~F0 =
∑
i
~Fi =
∑
i
1
4pi�0
qi Q
r 20i
rˆ0i
~F0 = Q
(∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i
)
~F0 = Q ~E
onde,
~E(P0) ≡
∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i ↪→ ~E é um campo vetorial dependente da posição e
determinado pela distribuição de cargas fonte. =⇒ Realidade Física!
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
q4
q3
q1
q2
qi
O
Q (Ponto P0)
~ri ~r0
~r0i
~F (P0) ≡ ~F0 =
∑
i
~Fi =
∑
i
1
4pi�0
qi Q
r 20i
rˆ0i
~F0 = Q
(∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i
)
~F0 = Q ~E
onde,
~E(P0) ≡
∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i
↪→ ~E é um campo vetorial dependente da posição e
determinado pela distribuição de cargas fonte. =⇒ Realidade Física!
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 14 / 87
2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
q4
q3
q1
q2
qi
O
Q (Ponto P0)
~ri ~r0
~r0i
~F (P0) ≡ ~F0 =
∑
i
~Fi =
∑
i
1
4pi�0
qi Q
r 20i
rˆ0i
~F0 = Q
(∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i
)
~F0 = Q ~E
onde,
~E(P0) ≡
∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i ↪→ ~E é um campo vetorial dependente da posição e
determinado pela distribuição de cargas fonte.
=⇒ Realidade Física!
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
q4
q3
q1
q2
qi
O
Q (Ponto P0)
~ri ~r0
~r0i
~F (P0) ≡ ~F0 =
∑
i
~Fi =
∑
i
1
4pi�0
qi Q
r 20i
rˆ0i
~F0 = Q
(∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i
)
~F0 = Q ~E
onde,
~E(P0) ≡
∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i ↪→ ~E é um campo vetorial dependente da posição e
determinado pela distribuição de cargas fonte. =⇒
Realidade Física!
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
q4
q3
q1
q2
qi
O
Q (Ponto P0)
~ri ~r0
~r0i
~F (P0) ≡ ~F0 =
∑
i
~Fi =
∑
i
1
4pi�0
qi Q
r 20i
rˆ0i
~F0 = Q
(∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i
)
~F0 = Q ~E
onde,
~E(P0) ≡
∑
i
1
4pi�0
qi
r 20i
rˆ0i ↪→ ~E é um campo vetorial dependente da posição e
determinado pela distribuição de cargas fonte. =⇒ Realidade Física!
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
DPL
Ler/Estudar (Moysés): 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, 2.3 e 2.5
Ler/Estudar (Halliday): cap. 21
Perguntas (Cap.21): 1, 3, 4, 5 e 8
Problemas (Cap.21): 3, 5, 10, 12, 27, 49, 73
Moysés (Cap.2): 1, 4, 5 e 9
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
DPL
Ler/Estudar (Moysés): 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, 2.3 e 2.5
Ler/Estudar (Halliday): cap. 21
Perguntas (Cap.21): 1, 3, 4, 5 e 8
Problemas (Cap.21): 3, 5, 10, 12, 27, 49, 73
Moysés (Cap.2): 1, 4, 5 e 9
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
DPL
Ler/Estudar (Moysés): 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, 2.3 e 2.5
Ler/Estudar (Halliday): cap. 21
Perguntas (Cap.21): 1, 3, 4, 5 e 8
Problemas (Cap.21): 3, 5, 10, 12, 27, 49, 73
Moysés (Cap.2): 1, 4, 5 e 9
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
DPL
Ler/Estudar (Moysés): 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, 2.3 e 2.5
Ler/Estudar (Halliday): cap. 21
Perguntas (Cap.21): 1, 3, 4, 5 e 8
Problemas (Cap.21): 3, 5, 10, 12, 27, 49, 73
Moysés (Cap.2): 1, 4, 5 e 9
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
DPL
Ler/Estudar (Moysés): 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, 2.3 e 2.5
Ler/Estudar (Halliday): cap. 21
Perguntas (Cap.21): 1, 3, 4, 5 e 8
Problemas(Cap.21): 3, 5, 10, 12, 27, 49, 73
Moysés (Cap.2): 1, 4, 5 e 9
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X :
Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z :
Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z =E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ
∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
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2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 16 / 87
2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 16 / 87
2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
Ex1: Dipolo Elétrico
Duas cargas puntiformes, +q e −q, estão situadas no vácuo, separadas por uma
distância 2d . Com que força atuam sobre uma terceira carga q′, situada sobre a
mediatriz do seguimento que liga as duas cargas, a uma distância D do ponto médio
deste seguimento?
q′
−q
+q
Z
X
d
d
D
θ
~E2 ~E1
~E = Ex xˆ + Ez zˆ
X : Ex = E1x − E2x = E1 sin θ − E2 sin θ
Mas, E1 = E2 ≡ E =⇒ Ex = 0
Z : Ez = E1z + E2z = E1 cos θ + E2 cos θ
=⇒ Ez = 2E cos θ ∴ Ez = 2 ·
(
1
4pi�0
q
r 2
)
· d
r
=⇒ Ez = p4pi�0 ·
(
d2 + D2
)− 32
onde:
p ≡ 2q d : Momento de dipolo elétrico
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 16 / 87
2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
DPL
Exercícios (Cap. 25): 12, 13, 25, 26, 28
Ler/Estudar (Halliday): 25.6, 26.1→ 26.3
Exercícios (Cap.26): 7, 8, 9, 10, 11
Problemas (Cap. 26): 4*
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 17 / 87
2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
DPL
Exercícios (Cap. 25): 12, 13, 25, 26, 28
Ler/Estudar (Halliday): 25.6, 26.1→ 26.3
Exercícios (Cap.26): 7, 8, 9, 10, 11
Problemas (Cap. 26): 4*
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 17 / 87
2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
DPL
Exercícios (Cap. 25): 12, 13, 25, 26, 28
Ler/Estudar (Halliday): 25.6, 26.1→ 26.3
Exercícios (Cap.26): 7, 8, 9, 10, 11
Problemas (Cap. 26): 4*
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 17 / 87
2. Campo Elétrico 2.4: O Campo Eletrostático
DPL
Exercícios (Cap. 25): 12, 13, 25, 26, 28
Ler/Estudar (Halliday): 25.6, 26.1→ 26.3
Exercícios (Cap.26): 7, 8, 9, 10, 11
Problemas (Cap. 26): 4*
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 17 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 18 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 18 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 18 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 18 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 19 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 19 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 20 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 20 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
Linhas de Campo NUNCA se cruzam;
Informações sobre a intensidade
contida na densidade de linhas;
Originam-se em cargas positivas e
terminam em cargas negativas (ou no
infinito);
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 21 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
Linhas de Campo NUNCA se cruzam;
Informações sobre a intensidade
contida na densidade de linhas;
Originam-se em cargas positivas e
terminam em cargas negativas (ou no
infinito);
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 21 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
Linhas de Campo NUNCA se cruzam;
Informações sobre a intensidade
contida na densidade de linhas;
Originam-se em cargas positivas e
terminam em cargas negativas (ou no
infinito);
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 21 / 87
2. Campo Elétrico 2.5: Linhas de Campo
Linhas de Campo NUNCA se cruzam;
Informações sobre a intensidade
contida na densidade de linhas;
Originam-se em cargas positivas e
terminam em cargas negativas (ou no
infinito);
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 22 / 87
3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 22 / 87
3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.1: Fio Retilíneo Infinito Uniformemente Carregado
Y
X
dq
dy
y
P
x
r
θ
d~E
d ~Ex
d ~Ey
Por simetria, só há componente x .
dEx = dE cos θ =
1
4pi�0
dq
r2
x
r
Mas, dq = λdy
dEx =
λ
4pi�0
x
(y2 + x2)3/2
dy ∴
Ex =
λ
4pi�0
∫ +∞
−∞
x
(y2 + x2)3/2
dy
=⇒ Ex = λ2pi�0x
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕr
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ
=⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 23 / 87
3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz
=⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ
∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.2: Anel Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
dϕ
r
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, só há componente z.
dEz = dE cos θ =⇒ dEz = 14pi�0
dq
r2
z
r
∴
dEz =
z
4pi�0
λd`
r3
=⇒ dEz = λ4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
d` ∴
dEz =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
Rdϕ
E =
∫
fio
dEz =⇒ Ez = λR4pi�0
z
(z2 + R2)3/2
∫
fio
dϕ ∴
E(z) =
λ
2�0
Rz
(z2 + R2)3/2
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3. Distribuições Contínuas 3.3: Disco Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
r
dϕ
`
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, o campo resultante está sobre o eixo Z .
dEz =
1
4pi�0
dq
`2
cos θ ∴ dEz =
1
4pi�0
z
(z2 + r 2)3/2
dq *
* ~E de um anel de raio r uniformemente carregado
com carga dq. (ver Moysés 3. Seção 3.2, exemplo 2).
Mas, dq = σdA = σ(rdϕdr). Ou seja:
dEz =
σz
4pi�0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
∫
Disco
dEz ∴ E =
σz
4pi�0
∫ R
0
∫ 2pi
0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
σz
2�0
∫ R
0
r
(z2 + r 2)3/2
dr ∴
E =
σz
2�0
1
|z|
[
1− |z|
(z2 + r 2)1/2
]
. Para (z > 0) temos:
~E =
σ
2�0
(
1− z
(z2 + R2)1/2
)
zˆ
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3. Distribuições Contínuas 3.3: Disco Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
r
dϕ
`
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, o campo resultante está sobre o eixo Z .
dEz =
1
4pi�0
dq
`2
cos θ ∴ dEz =
1
4pi�0
z
(z2 + r 2)3/2
dq *
* ~E de um anel de raio r uniformemente carregado
com carga dq. (ver Moysés 3. Seção 3.2, exemplo 2).
Mas, dq = σdA = σ(rdϕdr). Ou seja:
dEz =
σz
4pi�0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
∫
Disco
dEz ∴ E =
σz
4pi�0
∫ R
0
∫ 2pi
0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
σz
2�0
∫ R
0
r
(z2 + r 2)3/2
dr ∴
E =
σz
2�0
1
|z|
[
1− |z|
(z2 + r 2)1/2
]
. Para (z > 0) temos:
~E =
σ
2�0
(
1− z
(z2 + R2)1/2
)
zˆ
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3. Distribuições Contínuas 3.3: Disco Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
r
dϕ
`
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, o campo resultante está sobre o eixo Z .
dEz =
1
4pi�0
dq
`2
cos θ ∴ dEz =
1
4pi�0
z
(z2 + r 2)3/2
dq *
* ~E de um anel de raio r uniformemente carregado
com carga dq. (ver Moysés 3. Seção 3.2, exemplo 2).
Mas, dq = σdA = σ(rdϕdr). Ou seja:
dEz =
σz
4pi�0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
∫
Disco
dEz ∴ E =
σz
4pi�0
∫ R
0
∫ 2pi
0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
σz
2�0
∫ R
0
r
(z2 + r 2)3/2
dr ∴
E =
σz
2�0
1
|z|
[
1− |z|
(z2 + r 2)1/2
]
. Para (z > 0) temos:
~E =
σ
2�0
(
1− z
(z2 + R2)1/2
)
zˆ
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3. Distribuições Contínuas 3.3: Disco Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
r
dϕ
`
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, o campo resultante está sobre o eixo Z .
dEz =
1
4pi�0
dq
`2
cos θ ∴ dEz =
1
4pi�0
z
(z2 + r 2)3/2
dq *
* ~E de um anel de raio r uniformemente carregado
com carga dq. (ver Moysés 3. Seção 3.2, exemplo 2).
Mas, dq = σdA = σ(rdϕdr). Ou seja:
dEz =
σz
4pi�0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
∫
Disco
dEz ∴ E =
σz
4pi�0
∫ R
0
∫ 2pi
0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
σz
2�0
∫ R
0
r
(z2 + r 2)3/2
dr ∴
E =
σz
2�0
1
|z|
[
1− |z|
(z2 + r 2)1/2
]
. Para (z > 0) temos:
~E =
σ
2�0
(
1− z
(z2 + R2)1/2
)
zˆ
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3. Distribuições Contínuas 3.3: Disco Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
r
dϕ
`
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, o campo resultante está sobre o eixo Z .
dEz =
1
4pi�0
dq
`2
cos θ ∴ dEz =
1
4pi�0
z
(z2 + r 2)3/2
dq *
* ~E de um anel de raio r uniformemente carregado
com carga dq. (ver Moysés 3. Seção 3.2, exemplo 2).
Mas, dq = σdA = σ(rdϕdr). Ou seja:
dEz =
σz
4pi�0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
∫
Disco
dEz ∴ E =
σz
4pi�0
∫ R
0
∫ 2pi
0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
σz
2�0
∫ R
0
r
(z2 + r 2)3/2
dr ∴
E =
σz
2�0
1
|z|
[
1− |z|
(z2 + r 2)1/2
]
. Para (z > 0) temos:
~E =
σ
2�0
(
1− z
(z2 + R2)1/2
)
zˆ
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3. Distribuições Contínuas 3.3: Disco Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
r
dϕ
`
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, o campo resultante está sobre o eixo Z .
dEz =
1
4pi�0
dq
`2
cos θ ∴ dEz =
1
4pi�0
z
(z2 + r 2)3/2
dq *
* ~E de um anel de raio r uniformemente carregado
com carga dq. (ver Moysés 3. Seção 3.2, exemplo 2).
Mas, dq = σdA = σ(rdϕdr). Ou seja:
dEz =
σz
4pi�0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
∫
Disco
dEz ∴ E =
σz
4pi�0
∫ R
0
∫ 2pi
0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
σz
2�0
∫ R
0
r
(z2 + r 2)3/2
dr ∴
E =
σz
2�0
1
|z|
[
1− |z|
(z2 + r 2)1/2
]
. Para (z > 0) temos:
~E =
σ
2�0
(
1− z
(z2 + R2)1/2
)
zˆ
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3. Distribuições Contínuas 3.3: Disco Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
r
dϕ
`
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, o campo resultante está sobre o eixo Z .
dEz =
1
4pi�0
dq
`2
cos θ ∴ dEz =
1
4pi�0
z
(z2 + r 2)3/2
dq *
* ~E de um anel de raio r uniformemente carregado
com carga dq. (ver Moysés 3. Seção 3.2, exemplo 2).
Mas, dq = σdA = σ(rdϕdr). Ou seja:
dEz =
σz
4pi�0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
∫
Disco
dEz ∴ E =
σz
4pi�0
∫ R
0
∫ 2pi
0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
σz
2�0
∫ R
0
r
(z2 + r 2)3/2
dr ∴
E =
σz
2�0
1
|z|
[
1− |z|
(z2 + r 2)1/2
]
. Para (z > 0) temos:
~E =
σ
2�0
(
1− z
(z2 + R2)1/2
)
zˆ
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3. Distribuições Contínuas 3.3: Disco Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
r
dϕ
`
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, o campo resultante está sobre o eixo Z .
dEz =
1
4pi�0
dq
`2
cos θ ∴ dEz =
1
4pi�0
z
(z2 + r 2)3/2
dq *
* ~E de um anel de raio r uniformemente carregado
com carga dq. (ver Moysés 3. Seção 3.2, exemplo 2).
Mas, dq = σdA = σ(rdϕdr). Ou seja:
dEz =
σz
4pi�0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
∫
Disco
dEz ∴ E =
σz
4pi�0
∫ R
0
∫ 2pi
0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
σz
2�0
∫ R
0
r
(z2 + r 2)3/2
dr ∴
E =
σz
2�0
1
|z|
[
1− |z|
(z2 + r 2)1/2
]
. Para (z > 0) temos:
~E =
σ
2�0
(
1− z
(z2 + R2)1/2
)
zˆ
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3. Distribuições Contínuas 3.3: Disco Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
r
dϕ
`
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, o campo resultante está sobre o eixo Z .
dEz =
1
4pi�0
dq
`2
cos θ ∴ dEz =
1
4pi�0
z
(z2 + r 2)3/2
dq *
* ~E de um anel de raio r uniformemente carregado
com carga dq. (ver Moysés 3. Seção 3.2, exemplo 2).
Mas, dq = σdA = σ(rdϕdr). Ou seja:
dEz =
σz
4pi�0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
∫
Disco
dEz ∴ E =
σz
4pi�0
∫ R
0
∫ 2pi
0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
σz
2�0
∫ R
0
r
(z2 + r 2)3/2
dr ∴
E =
σz
2�0
1
|z|
[
1− |z|
(z2 + r 2)1/2
]
. Para (z > 0) temos:
~E =
σ
2�0
(
1− z
(z2 + R2)1/2
)
zˆ
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3. Distribuições Contínuas 3.3: Disco Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
r
dϕ
`
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, o campo resultante está sobre o eixo Z .
dEz =
1
4pi�0
dq
`2
cos θ ∴ dEz =
1
4pi�0
z
(z2 + r 2)3/2
dq *
* ~E de um anel de raio r uniformemente carregado
com carga dq. (ver Moysés 3. Seção 3.2, exemplo 2).
Mas, dq = σdA = σ(rdϕdr). Ou seja:
dEz =
σz
4pi�0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
∫
Disco
dEz ∴ E =
σz
4pi�0
∫ R
0
∫ 2pi
0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
σz
2�0
∫ R
0
r
(z2 + r 2)3/2
dr ∴
E =
σz
2�0
1
|z|
[
1− |z|
(z2 + r 2)1/2
]
. Para (z > 0) temos:
~E =
σ
2�0
(
1− z
(z2 + R2)1/2
)
zˆ
afigueira@iff.edu.br Física III - 2018/01 24 / 87
3. Distribuições Contínuas 3.3: Disco Circular de Raio R Uniformemente Carregado
Z
R
P
z
dq
r
dϕ
`
θ
d~E
d~Ex
d~Ez
Por simetria, o campo resultante está sobre o eixo Z .
dEz =
1
4pi�0
dq
`2
cos θ ∴ dEz =
1
4pi�0
z
(z2 + r 2)3/2
dq *
* ~E de um anel de raio r uniformemente carregado
com carga dq. (ver Moysés 3. Seção 3.2, exemplo 2).
Mas, dq = σdA = σ(rdϕdr). Ou seja:
dEz =
σz
4pi�0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr
E =
∫
Disco
dEz ∴ E =
σz
4pi�0
∫ R
0
∫ 2pi
0
r
(z2 + r 2)3/2
dϕ dr