Apostila de Sequências - Calculo

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Notas de Aula de Cálculo
Sequências Numéricas
Bárbara Rodriguez Cristiana Po�al
16 de abril de 2015
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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
1 Notas de aula de Cálculo - FURG
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Sumário
1 Sequências Numéricas 3
1.1 Uma breve introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Sequências numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Convergência de sequências numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Calculando limites de sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Sequências monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Sequência limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2 Sequência monótona e limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
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Capítulo 1
Sequências Numéricas
1.1 Uma breve introdução
Até a metade do século XVII, matemáticos tinham desenvolvido e ana-
lisado as séries numéricas. Sequências e séries de funções tiveram seu estudo impul-
sionado a partir das contribuições de Newton (1642�1727) e Leibniz (1646�1716).
Ambos desenvolveram representações de séries para funções. Usando métodos al-
gébricos e geométricos, Newton calculou as séries para as funções trigonométricas
sen(x) e cos(x) e para a função exponencial. Ele utilizou séries para desenvolver
muitos resultados do Cálculo, tais como área, comprimento de arco e volumes. Para
calcular áreas, por exemplo, ele, frequentemente, integrava uma função, primeira-
mente expressando-a como uma série, e então integrando cada termo.
A teoria de séries é uma ferramenta matemática importante na resolução
de equações diferenciais e na obtenção de resultados em computação numérica. Para
desenvolver a teoria de séries, estudam-se primeiro as chamadas sequências in�nitas.
A palavra sequência é usualmente empregada para representar uma su-
cessão em uma ordem determinada. Essa ordem pode ser de tamanho, de lógica,
de ordem cronológica, entre outros. Em matemática é utilizada comumente para
denotar uma sucessão de númeroscuja ordem é determinada por uma lei ou função.
1.2 Sequências numéricas
Uma sequência numérica, ou simplesmente, uma sequência, é uma suces-
são de números. Ela pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma
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1.2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
ordem de�nida a1, a2, a3, . . . , an, . . . .
Os valores a1, a2, a3, . . . , an, . . . são chamados termos da sequência. O
número a1 é chamado de primeiro termo, a2 é o segundo termo e, em geral, an é dito
o n-ésimo termo.
Observação 1.2.1. Em algumas ocasiões é conveniente denotar o primeiro termo da
sequência por a0. Neste caso, a sequência tem a seguinte forma: a0, a1, a2, . . . , an, . . . .
De�nição 1.2.1. Uma sequência de números reais (an) é uma função a : N → R
que associa a cada número natural n um número real an.
Observação 1.2.2. A notação (an) é muito utilizada para denotar uma sequência.
Também pode-se escrever (a1, a2, a3, . . .), (an)n∈N, {an} ou simplesmente an. Pode-se
também usar quaisquer outras letras, como por exemplo (bn) ou (cn).
Exemplo 1.2.1. Iniciando em n = 1, escreva os cinco primeiros termos de cada
uma das seguintes sequências cujos n-ésimos termos são representados por
a) an = 3 + (−1)n
b) bn =
2n
1 + n
c) cn =
n2
2n − 1
d) dn =
1
2n
.
Exemplo 1.2.2. Começando em n = 1, determine uma expressão para o n-ésimo
termo das sequências abaixo:
a) 1, 4, 7, 10, . . .
b)
2
3
,
3
4
,
4
5
,
5
6
, . . .
c) 2,−1, 1
2
,−1
4
,
1
8
, . . .
d) 2, 1 +
1
2
, 1 +
1
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4 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.3. CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Observação 1.2.3. Nem sempre é possível representar o termo geral de uma sequên-
cia por uma fórmula. Observe o exemplo da sequência dos números primos,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, . . . .
Não existe uma fórmula para o termo geral da sequência dos números primos, mas
todos eles estão determinados e podem ser encontrados, por exemplo, pelo chamado
�crivo de Erastóstenes�.
1.3 Convergência de sequências numéricas
Sequências cujos termos se aproximam de um valor limite são ditas
convergentes, enquanto que sequências que não possuem limites são ditas diver-
gentes.
De�nição 1.3.1. A sequência (an) converge para o número L se para todo número
positivo � existe um número inteiro N tal que para todo n
n > N ⇒ |an − L| < �.
Se este número L não existe, dizemos que (an) diverge.
Se uma sequência (an) converge para L, escreve-se
lim
n→+∞
an = L ou an → L quando n→ +∞,
e chamamos L de limite da sequência.
Observação 1.3.1. Observe que se uma sequência (an) converge para L, essa a�r-
mação, geometricamente, signi�ca que para todo � > 0, existe um ponto na sequência
a partir do qual todos os termos estão entre as retas y = L− � e y = L+ �.
Exemplo 1.3.1. Considere a sequência cujo termo geral é an =
n
n+ 1
. Neste caso,
lim
n→+∞
an = 1.
De fato, seja � > 0, observe que∣∣∣∣ nn+ 1 − 1
∣∣∣∣ < �⇔ 1n+ 1 < �⇔ n > 1� − 1.
A última desigualdade sugere escolher N como o primeiro natural maior do que
1
�
−1. Observe que outro número natural maior do que este N estabelecido também
atende a de�nição de convergência.
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1.4. CALCULANDO LIMITES DE SEQUÊNCIAS
1.4 Calculando limites de sequências
Como sequências são funções cujo domínio está restrito aos inteiros
positivos, propriedades e teoremas para limites de funções estudadas durante o curso
de Cálculo Diferencial possuem versões para sequências numéricas. A seguir estão
enunciadasalgumas das propriedades para o cálculo de limites.
Sejam (an) e (bn) sequências de números reais convergentes e tais que
lim
n→+∞
(an) = L, lim
n→+∞
(bn) = M e L, M e c números reais.
1. Regra da soma: lim
n→+∞
(an + bn) = L+M.
2. Regra da diferença: lim
n→+∞
(an − bn) = L−M.
3. Regra do produto: lim
n→+∞
(an · bn) = L ·M.
4. Regra da multiplicação por uma constante: lim
n→+∞
(c · an) = c · L.
5. Regra do quociente: lim
n→+∞
(
an
bn
)
=
L
M
, se M 6= 0.
Teorema 1.4.1. Teorema para convergência de sequências numéricas.
a) Se |c| < 1, então lim
n→+∞
cn = 0.
b) Se |c| > 1, então (cn) diverge.
O teorema a seguir nos permite aplicar a regra de L'Hôpital para encon-
trar o limite de algumas sequências.
Teorema 1.4.2. Suponha que f(x) seja uma função de�nida para todo x > n0 e
que (an) seja uma sequência de números reais tal que an = f(n) para n > n0. Então,
lim
x→+∞
f(x) = L⇒ lim
n→+∞
an = L.
Demonstração:
Suponha que lim
x→+∞
f(x) = L. Então, para cada número positivo � existe
um número M tal que para todo x,
x > M ⇒ |f(x)− L| < �.
Seja N um número inteiro maior que M e maior ou igual a n0. Então,
n > N ⇒ an = f(n) e |an − L| = |f(n)− L| < �.
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1.4. CALCULANDO LIMITES DE SEQUÊNCIAS
Exemplo 1.4.1. Calcule os limites das sequências cujos n-ésimos termos são:
a) an =
n
1− 2n
b) bn = (−1)n
c) cn =
2n
3n+1
d) dn = nsen
( pi
2n
)
.
Exemplo 1.4.2. Determine o n-ésimo termo da sequência e veri�que se a mesma é
convergente ou divergente.
an = 2,
4
3
,
8
5
,
16
7
,
32
9
, . . . .
Exercício 1.4.1. Iniciando em n = 1 represente gra�camente as sequências abaixo,
analisando o comportamento de cada uma delas:
a) (an) = (n+ 1)
b) (bn) = (−1)n+1
c) (cn) =
n
n+ 1
d) (dn) = 1 +
(
1
2
)n
.
Teorema 1.4.3. (Teorema do Confronto ou Sanduíche para sequências) Se an ≤
bn ≤ cn para todo n > n0 e
lim
n→+∞
an = lim
n→+∞
cn = L,
então
lim
n→+∞
bn = L.
Demonstração. A demonstração é análoga ao Teorema do Confronto para funções.
Observação 1.4.1. Suprimindo-se de uma sequência (an) um número �nito de seus
termos, o caráter da sequência, com n tendendo ao in�nito, não será alterado. Assim,
se a sequência original converge para L, ou diverge, a nova sequência terá o mesmo
comportamento, ou seja, convergirá para L ou divergirá, respectivamente.
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1.5. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS
Exemplo 1.4.3. Aplicando o teorema do confronto, calcule os limites das sequências
abaixo:
a) an =
cos(n)
n
b) bn =
1
2n
c) cn = (−1)n 1
n
.
1.5 Sequências monótonas
De�nição 1.5.1. Uma sequência (an) é denominada monótona crescente se, para
todo o número natural n, an ≤ an+1, isto é, a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ an ≤ . . ..
De�nição 1.5.2. Uma sequência (an) é denominada monótona decrescente se, para
todo o número natural n, an ≥ an+1, isto é, a0 ≥ a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . . ..
Observação 1.5.1. As sequências crescentes e decrescentes são denominadas de
sequências monótonas; caso contrário, são ditas não monótonas.
Exemplo 1.5.1. Determine se a sequênca abaixo é monótona crescente, monótona
decrescente ou não monótona.
a) an = 3 + (−1)n
b) bn =
2n
1 + n
c) cn =
2n+ 1
3n− 2 .
1.5.1 Sequência limitada
De�nição 1.5.3. Uma sequência (an) é limitada se existe um número real positivo
M tal que |an| ≤M , ∀n ∈ N. O númeroM é chamado de cota superior da sequência
(an).
Teorema 1.5.1. Se (an) é uma sequência convergente, então (an) é limitada.
Demonstração.
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1.5. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS
Seja (an) uma sequência convergente com limite L. Pela de�nição de
limite: seja � = 1, então existe um valor n0 ∈ N a partir do qual tem-se que
|an − L| < 1. Aplicando a desigualdade triangular, tem-se
|an| = |an − L+ L| ≤ |an − L|+ |L| < 1 + |L|,∀n ≥ n0. (1.5.1)
Os únicos termos da sequência (an), que possivelmente, não atendem à
condição representada pela equação (1.5.1) são: a1, a2, a3, . . . , an0−1. Considerando o
número real C como o maior entre todos os números 1+|L|, |a1|, |a2|, |a3|, . . . , |an0−1|,
tem-se |an| < C, ∀n ∈ N.
Observação 1.5.2. Pode-se veri�car que uma sequência não converge, mostrando
que ela não é limitada. Entretanto a recíproca do teorema 1.5.1 não é verdadeira,
isto é, existem sequências que são limitadas e divergentes. Por exemplo, a sequência
cujo termo geral é an = (−1)n é limitada, pois |an| ≤ 1,∀n ∈ N, porém é divergente,
uma vez que os valores desta sequência alternam de −1 para 1 inde�nidamente e
portanto, não existe lim
n→+∞
an.
1.5.2 Sequência monótona e limitada
Teorema 1.5.2. Toda sequência (an) monótona e limitada é convergente.
Demonstração.
O teorema será demonstrado para o caso de sequências não-decrescentes,
pois para o caso de sequências não-crescentes a demonstração é análoga.
Seja (an) uma sequência não-decrescente e com termos positivos. Como
a sequência é limitada, existe uma cota superior M tal que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤
an ≤M .
O conjunto dos números reais é completo, então existe um supremo L
tal que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ an ≤ L. Para provar que a sequência converge para
L, toma-se um número � > 0. Para � > 0, L − � < L, e portanto L − � não pode
ser uma cota superior para a sequência. Consequentemente, existe pelo menos um
an maior que L− �. Em outras palavras, L− � < aN para algum N inteiro positivo.
Como (an) é não-decrescente, segue que aN < an para todo n > N . Portanto,
L− � < aN < an ≤ L < L+ �,∀n > N.
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1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS
Logo, |an − L| < � para todo n > N o que signi�ca, por de�nição, que
(an) converge para L.
Exemplo 1.5.2. Determine se as sequências abaixo são limitadas, monótonas, con-
vergentes.
a) (an) =
(
1
n
)
b) (bn) = ((−1)n) .
Observação 1.5.3. Seja n um inteiro positivo, então n fatorial é de�nido por n! =
1 · 2 · 3 · 4 · . . . · (n− 1) · n.
Observação 1.5.4. Zero fatorial é, por de�nição, igual a 1, isto é, 0! = 1.
1.6 Lista de Exercícios
1. Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência cujos n-ésimos termos são
de�nidos por:
a) an =
√
n+ 1−√n
b) bn = n(−1)n
c) cn =
2n
2n + 1
2. Iniciando com n = 1, escreva uma expressão para o n-ésimo termo das sequên-
cias:
a) 1, 9, 25, 49, 81, . . .
b) 1,
1
2
,
1
6
,
1
24
,
1
120
, . . .
c) 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . .
3. Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites
nos casos em que há convergência.
a) {an} =
{
3n− 2
4n+ 7
}
b) {bn} =
{
sen
(npi
2
)}
c) {cn} =
{
n2
3n3 + 7
}
10 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS
d) {dn} =
{
n+
3
n
}
e) {fn} =
{
(−1)n
7n
}
f) {gn} =
{
2 + ln(n)
n
}
g) {hn} =
{
(−3)n
n!
}
h) {in} =
{
ln(n)
2n
}
i) {kn} =
{√
2n+ 3
3n− 1
}
j) {pn} =
{
n
√
2n− 4}
k) {qn} =
{(
n
1 + n
)n}
l) {rn} =
{(
1 +
1
n
)−n}
m) {sn} =
{
n+ 5
n
}
n) {tn} =
{(
1 +
7
n
)3n}
o) {un} =
{
ln(3n+ 1)
n
}
p) {vn} =
{(
1 +
1
n
)n}
q) {zn} =
{
3n
3n + 1
}
r) {αn} =
{√
n+ 1−√n
}
s) {βn} =
{
1 + 2 + 3 + . . .+ n
n2 + n
}
t) {φn} =
{
(2n)!
n!2
}
u) {ψn} =
{
n+ (−1)n
n− (−1)n
}
v) {σn} =
{
n2(−1)n}
w) {θn} =
{
ln(n2)
n
}
4. Determine se as sequências são monótonas.
11 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS
a) {an} =
{
4n
n+ 1
}
b) {bn} =
{
sen
(npi
6
)}
c) {cn} =
{
(−1)n
n
}
5. Um programa governamental, que custa atualmente R$2, 5 bilhões ao ano, vai
sofrer um corte em seu orçamento de 20% ao ano.
a) Expresse a quantia orçada para esse programa após n anos.
b) Calcule os orçamentos para os quatro primeiros anos.
c) Determine se a sequência de orçamentos com esse corte converge ou diverge.
Se ela convergir, calcule o seu limite.
12 Notas de aula de Cálculo - FURG