ARTIGO 03-Lugares geometricos

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LUGARES GEOMÉTRICOS . p ro fa . C láud ia Amara l 1/14 
ESTUDO DA EXPRESSÃO GRÁFICA 
TEORIA E PRÁTICA 
 
v o c ê e s t á e m p r e e n d e n d o u m a e x p e r i ê n c i a e d u c a c i o n a l 
g r a t i f i c a n t e q u e t e r á v a l o r r e a l e m s u a f o r m a ç ã o p r o f i s s i o n a l 
 
p r o f a . C l á u d i a A m a r a l 
 
 
 
L U G A R E S G E O M É T R I C O S 
c o n j u n t o d e p o n t o s e m u m p l a n o o u e s p a ç o q u e g o z a m d e u m a m e s m a p r o p r i e d a d e 
 
Os problemas em desenho geométrico resumem-se em encontrar pontos, e para determinar um 
ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas. 
 
Os lugares geométricos podem ser dados por retas, curvas e superfícies. Um exemplo simples de 
lugar geométrico é a circunferência, que é o lugar geométrico de todos os pontos que guardam a 
mesma distância de um ponto chamado centro. Outro exemplo é a elipse, que é o lugar geométrico 
dos pontos cujas distâncias somadas aos dois focos é constante. Além das circunferências e elipses, 
temos outros lugares geométricos importantes para o estudo e aplicações em desenhos técnicos, 
tais como: perpendiculares, mediatriz, paralelas, ângulos e bissetriz. Estudar estes lugares 
geométricos implica em realizarmos construções fundamentais para aplicações em engenharia. 
 
 
O D E S E N H O T É C N I C O E A E N G E N H A R I A 
 
Apesar da evolução tecnológica e dos meios disponíveis pela computação gráfica, o ensino de 
Desenho Técnico ainda é imprescindível na formação de qualquer modalidade de engenheiro 
porque, além do aspecto da linguagem gráfica que permite que as ideias concebidas por alguém 
sejam executadas por terceiros, o Desenho Técnico desenvolve o raciocínio, o senso de rigor 
geométrico, o espírito de iniciativa e de organização. Assim, o aprendizado ou o exercício de 
qualquer modalidade de engenharia irá depender, de uma forma ou de outra, do Desenho Técnico. 
 
 
G E O M E T R I A P L A N A N E C E S S A R I A A O D E S E N H I S T A 
 
Desenho é a expressão gráfica da forma, e deste modo não é possível desenhar sem o 
conhecimento das formas a serem representadas. Para melhor aproveitamento do estudo de 
Desenho Técnico, devemos expor as noções indispensáveis de Geometria. 
 
Todas as coisas que estamos habituados a ver, se apresentam como formas geométricas. O estudo 
destas formas, se realiza pela sua comparação com uma série de formas geométricas padrões. A 
linha sinuosa, os triângulos, a esfera e muitas outras, são formas geométricas padrões. Quando se 
fala no percurso de um rio, associamos de imediato a sua forma à da linha sinuosa da geometria e 
automaticamente realizamos a comparação que é em síntese, o estudo morfológico. 
 
Elementos básicos da geometria: ponto, linha, plano, espaço 
 
• O ponto não tem dimensão – não tem comprimento, nem largura e nem altura. 
• Um fio de linha tem uma só dimensão – o comprimento. 
• Uma folha de papel tem 2 dimensões – comprimento e largura. 
• Um bloco tem 3 dimensões - comprimento, largura e altura. 
 
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS - tudo que nos rodeia têm massa, cor, forma, e outras propriedades 
físicas, e ocupam certa porção do espaço. Se considerarmos apenas sua forma e espaço ocupado, 
teremos o sólido geométrico. Figura espacial limitada em todos os sentidos, tem três dimensões 
(comprimento, largura, altura) 
 
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SUPERFÍCIE - separa o corpo do espaço adjacente (contíguo, vizinho, lados opostos ou comuns). 
Limite do corpo com o espaço. Extensão bidimensional, face, ou área. Forma geométrica com 2 
dimensões (comprimento, largura). Pode ser lisa, rugosa, polida, curva, plana. 
 
PLANO - superfície particular, Ilimitado em comprimento e largura e nulo em altura. Divide o espaço 
em duas regiões adjacentes (têm o plano como fronteira comum). 
 
LINHA - a linha é um conjunto de pontos que se sucedem uns aos outros, numa sequência infinita. 
Interseção de duas superfícies ou faces (assim também chamada aresta). Interseção de 2 planos. 
Tem uma só dimensão (comprimento). Pode ser fechada, aberta, ilimitada, limitada, reta, curva, 
mista, quebrada, contínua, tracejada, traço-ponto, pontilhada. A reta se desenvolve mantendo 
sempre a mesma direção. Isso quer dizer que uma reta tem determinada direção. A reta é sempre 
nomeada por letra latina minúscula. Infinitas retas passam por um ponto. Dois pontos determinam 
uma única reta. Quanto à posição absoluta (sem compará-la a outras), uma reta pode ser: horizontal, 
vertical, obliqua (inclinada). A posição relativa de uma reta é sua posição em relação a outra reta. 
Duas retas podem ter as seguintes posições relativas: concorrentes perpendiculares (tem um ponto 
comum), concorrentes obliquas (tem um ponto comum), paralelas (nenhum ponto comum), 
coincidentes (todos os pontos comuns). Semi-reta é um subconjunto da reta, ilimitada em um 
sentido, pois tem um ponto de origem. Segmento de reta é uma parte limitada da reta, pois tem duas 
extremidades. Quanto à posição relativa, os segmentos de reta podem ser: colineares (mesma reta 
suporte), não colineares, consecutivos (possuem uma extremidade comum), não consecutivos 
 
PONTO - elemento geométrico mais simples, separa 2 regiões adjacentes de uma linha. Nomeamos 
um ponto sempre por uma letra latina maiúscula. Um ponto pode ser representado por uma pequena 
marca feita com a ponta do lápis, ou uma pequena bolinha ou ainda pela interseção de 2 traços. Não 
tem dimensão. Ponto comum é um ponto que pertence ao mesmo tempo a duas ou mais retas. 
Pontos colineares são pontos que pertencem à mesma reta. 
 
ÂNGULO - figura geométrica formada por 2 semi-retas que partem do mesmo ponto. A grandeza de 
um ângulo depende da abertura de seus lados (e não do comprimento, que se supõe indefinido). A 
geração do ângulo se dá pelo movimento de uma das semi-retas que o formam, girando ao redor do 
vértice (quanto maior a rotação, tanto maior o ângulo). 
 
FIGURA GEOMÉTRICA - representação gráfica de linha, superfície ou volume. Representação visual 
(esculpida, pintada, gravada, desenhada) de uma forma inspirada na realidade ou na imaginação. 
Abstrações de objetos materiais. 
 
A GEOMETRIA estuda as propriedades das figuras (morfologia) e a medição de sua extensão. Este 
estudo divide-se em 2 partes: Geometria plana, que se ocupa das figuras cujos pontos ficam num 
mesmo plano (triângulo, quadrado, círculo...) e Geometria espacial que trata das figuras cujos 
elementos não estão no mesmo plano (pirâmide, cubo, esfera...). 
 
 
M E D I R S I G N I F I C A C O M P A R A R , E S T A B E L E C E R D I F E R E N Ç A S E S E M E L H A N Ç A S 
 
A consulta e/ou definição das dimensões lineares (comprimento, largura e altura) nas representações 
gráficas, se dá mediante instrumentos de medição próprios – régua (graduada em centímetro) ou 
escalímetro (graduado em metro). 
 
As dimensões lineares são verificadas pelas distâncias entre dois pontos, a partir de régua plana ou 
triangular, tomando como referência as graduações e unidades adequadas à leitura desejada. Para 
uniformizar as medidas, usa-se o sistema métrico decimal. 
 
Dois segmentos são congruentes quando possuem a mesma medida. 
A distância entre os pontos A e B corresponde à medida de AB ... 
 
O ponto médio é aquele que divide o segmento em duas partes congruentes, ou seja, de mesma 
medida... 
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Duas retas que se cortam, dividem o plano em 4 partes. Cada uma destas partes, recebe o nome de 
ângulo. 
O ponto comum das 2 retas recebe o nome de vértice... (P = vértice) 
 
Um ângulo pode ser mais ou menos aberto, e esta abertura é que dá o valor ao ângulo: 
 
• O ângulo reto corresponde à quarta-parteda circunferência; tem sempre 90º. 
• O ângulo raso tem dois retos, logo 2 x 90 = 180º. 
• O ângulo agudo, por ser menor que o ângulo reto, tem sempre menos de 90º. 
• O ângulo obtuso, por estar entre o raso e o reto, tem sempre mais de 90º e menos de 180º. 
• O ângulo côncavo, por ser maior do que o raso, tem sempre mais de 180º. 
 
Reto Raso Agudo Obtuso Côncavo 
 
Para estabelecer medidas para o ângulo, partimos de uma circunferência de qualquer tamanho e 
dizemos ter a mesma 360 graus (360º). Para encontrar o grau, divide-se a metade da circunferência 
em 180 partes. 
 
A consulta e/ou definição das angulações (inclinações das linhas) nas representações gráficas, se 
dá mediante instrumento de medição próprio – o transferidor. 
 
 
 abertura angular 
 
Para usarmos o transferidor corretamente, colocamos este sobre o ângulo, com o vértice 
exatamente no index, um dos lados desse ângulo apoiado na linha de fé, e a medida do ângulo 
determinada pelo seu outro lado, lida no limbo (graduação) do transferidor. 
 
Quando medimos o comprimento de um objeto, estamos comparando-o com outro, considerado 
como a unidade de medida. A régua graduada, por exemplo, nos fornece unidades de medida para 
compararmos com os objetos os quais desejamos medir. 
 
 
 
 régua plana régua triangular 
 
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A G R A F I A C O M P U T A C I O N A L 
r e c u r s o s d i g i t a i s p a r a d e s e n h o T É C N I C O 
 
O sistema CAD é uma poderosa ferramenta de trabalho para a execução de desenhos técnicos e 
seu usuário deve conhecer profundamente o objeto de seu trabalho que é o desenho; 
desconhecendo os fundamentos, as normas e os procedimentos técnicos envolvidos na execução 
dos desenhos técnicos, a ferramenta se tornará ineficaz e inadequada ao usuário. 
 
Muitos, em defesa de uma pretensa modernidade, defendem o ensino do CAD em substituição ao 
ensino tradicional do desenho técnico, esquecendo-se de que estão querendo ensinar o uso de uma 
ferramenta antes de ensinar o próprio ofício: há tremendo equívoco conceitual em se condenar os 
métodos tradicionais de ensino do desenho, cujo objetivo é desenvolver a capacidade de leitura e 
interpretação gráfica do meio tridimensional num meio bidimensional que é o plano, quer seja uma 
folha de papel ou a tela do computador. 
 
Ao futuro profissional não bastará dominar uma ferramenta que simplifica uma tarefa executiva 
como a execução de desenhos; deverá dominar toda uma forma de comunicação gráfica, que o 
acompanhará no dia a dia de sua vida profissional. 
 
Na realidade, um sistema CAD contém, entre seus inúmeros recursos, um editor gráfico com 
capacidade de criar e editar elementos gráficos; edita textos e símbolos, montando uma folha de 
engenharia. Os desenhos são salvos em arquivos de computador, o que torna seu manuseio fácil e 
seguro. O que mais encanta aos iniciantes é justamente esta capacidade de criação de desenhos 
sem o uso dos instrumentos tradicionais como régua, esquadro, compasso e borracha. Mas estes 
conhecimentos são muito simples e podem ser aprendidos em poucas horas de trabalho junto ao 
computador, desde que o estudante saiba o que deve ser feito em termos de desenho. 
 
A habilidade de produzir desenhos no computador é uma necessidade proeminente, porém, os 
princípios e fundamentos do desenho de engenharia permanecem iguais. 
 
 
C O N S T R U Ç Õ E S G E O M É T R I C A S F U N D A M E N T A I S 
 
 
A geometria é utilizada por engenheiros, arquitetos e artistas para descrever seus projetos, no 
trabalho construtivo, na interpretação de desenhos e na inspeção e verificação, e sendo assim o 
conhecimento total dos princípios da geometria é considerado necessário. Estudaremos algumas 
construções de desenho geométrico, com o intuito de criar uma sistematização de comportamento, 
proporcionando-lhe o conjunto de experiências e conhecimentos básicos de conteúdo e método de 
desenho. A prática destes procedimentos clássicos, para solução de problemas concretos, dispensa 
pré-requisitos, os dados são proposições verdadeiras dentro de um sistema lógico, e seu legado é o 
raciocínio e a visualização espacial, o que realmente nos interessa fomentar. Aqui, reproduzimos 
princípios geométricos relacionados à reta e à circunferência, figuras geométricas simples. Um 
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entendimento desses princípios é necessário para apreciar aplicações posteriores do desenho 
técnico. 
 
PROCESSO GEOMÉTRICO: nas construções geométricas são permitidos apenas a régua (não 
graduada) e o compasso. A régua serve apenas para desenhar uma reta passando por dois pontos 
dados e o compasso serve apenas para desenhar uma circunferência cujo raio é dado por um 
segmento e cujo centro é um ponto dado. 
 
PROCESSO TÉCNICO: para tornar as construções mais práticas podemos utilizar de instrumentos 
impuros - os esquadros. Eles são elaborados para facilitar e agilizar o traçado das construções de 
paralelas, perpendiculares e obliquas. Eles são de dois tipos: com ângulos de 90o, 45o, 45o e outro 
com ângulos de. 90o, 60o, 30o 
 
Para traçarmos retas paralelas, perpendiculares ou obliquas pelo processo técnico, usamos o 
esquadro de 45º e o esquadro de 30º, 60º, mantendo fixo um dos esquadros, que serve de apoio, 
enquanto o outro é deslocado. 
 
 traçado de paralelas traçado de perpendiculares 
 
 
A distância de um ponto a uma reta é a menor distância entre esse ponto e um ponto da reta. 
Determinamos a distância de um ponto a uma reta, traçando uma perpendicular que passe por este 
ponto até encontrar a reta. Indicação da distância entre um ponto e uma reta dada: 
 
1º passo: Constrói-se uma perpendicular à reta, passando pelo ponto (traçado de perpendiculares 
com auxílio dos esquadros). 
2º passo: Indica-se a medida do segmento perpendicular traçado como sendo a distância 
procurada. 
 
A distância entre 2 retas paralelas é igual à distância de um ponto de uma das retas à outra reta. 
Delimitação da distância entre duas retas dadas: 
 
1º passo: Marca-se um ponto qualquer numa das retas dadas. 
2º passo: traça-se uma perpendicular que passe por este ponto até o encontro com a outra reta. 
3º passo: Indica-se a medida do segmento perpendicular traçado como sendo a distância 
procurada. 
 
 
Obtenção de reta paralela a outra reta, tal que a distância entre as duas seja conhecida: 
 
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1º passo: Marca-se um ponto qualquer na reta dada. 
2º passo: traça-se uma perpendicular que passe por este ponto. 
3º passo: Localiza-se um ponto na reta perpendicular traçada, com a distância desejada da reta 
dada. 
4º passo: Traça-se, pelo ponto marcado, uma reta paralela (traçado de perpendiculares com o 
auxílio dos esquadros). 
 
A mediatriz é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio. Para o traçado da 
mediatriz: 
 
1º passo: Determina-se o ponto médio do segmento (metade de sua medida). 
2º passo: Traça-se a perpendicular que passa pelo ponto médio, com auxílio dos esquadros ou com 
transferidor, colocando-se o index posicionado sobre o ponto médio e marcando 90º. 
A reta obtida é a mediatriz. 
 M é o ponto médio de r é a mediatriz de 
 
Bissetriz é uma semi-reta que tem origem no vértice de um ângulo, dividindo-o em 2 ângulos 
congruentes (medidas iguais). 
 
 
TRAÇADO DE PERPENDICULARES 
 
 PROCESSO TÉCNICO (ESQUADROS E RÉGUA) 
 
 
PERPENDICULARPOR PONTO FORA 
PROCESSO GEOMÉTRICO (COMPASSO E RÉGUA) 
 
1- Centro do compasso em P, abertura qualquer, descreve-
se um arco determinando os pontos 1 e 2 sobre x. 
 
2 - Centrar o compasso em 1, com abertura qualquer, maior 
que a metade de 12, descreve-se um arco abaixo do 
segmento dado. 
 
3 - Centro em 2, com a mesma abertura repete-se a 
operação anterior. 
 
4 - No cruzamento dos arcos determina-se o ponto 3, que 
ligado ao ponto P determinarão a reta y perpendicular à reta 
x que passa por um ponto P fora da reta. 
 
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PERPENDICULAR PELO EXTREMO 
PROCESSO GEOMÉTRICO (COMPASSO E RÉGUA) 
 
1- Centrar o compasso no ponto P, abertura qualquer, 
descreve-se um arco determinando o ponto 1 sobre x. 
 
2 - Com mesma abertura, centrar o compasso em 1, 
descreve-se um arco determinando o ponto 2, 
 
3 - Centro em 2 e descreve-se um arco determinando o 
ponto 3, ainda sobre o arco inicial. 
 
4 - Centro em 3 e descreve-se um arco determinando o 
ponto 4. 
 
5 - Ligando o ponto 4 ao ponto P determina-se a reta y 
perpendicular a reta x que passa por um ponto P sobre a 
reta. 
 
MEDIATRIZ 
PROCESSO GEOMÉTRICO (COMPASSO E RÉGUA) 
 
1 - Centrar o compasso em A, com abertura qualquer, maior 
que a metade de AB, descreve-se um arco acima e outro 
abaixo do segmento dado. 
 
2 - Centro em B, com a mesma abertura repete-se a 
operação anterior. 
 
3 - Nos cruzamentos dos arcos determinam-se os pontos 1 e 
2, que ligados determinarão a mediatriz. 
 
 
 
TRAÇADO DE PARALELAS 
 
 PROCESSO TÉCNICO (ESQUADROS E RÉGUA) 
 
 
 
 
 
 
PROCESSO GEOMÉTRICO (COMPASSO E RÉGUA) 
 
1 - Centro em A, abertura qualquer AP, descreve-se um arco 
determinando-se B. 
 
2 - Centro em B, mesma abertura, determina-se arco. 
 
3- Centro em P, mesma abertura, determina-se C. 
 
4 - Com a união dos pontos P e C, obtém-se a reta paralela 
a reta g. 
 
 
 
 
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TRAÇADO E MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 
 
PROCESSO TÉCNICO 
 
COM O PAR DE ESQUADROS PODEMOS MARCAR ANGULOS MÚLTIPLOS DE 15O... 
 
 
 
 
 
 
 
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PROCESSO GEOMÉTRICO (COMPASSO E RÉGUA) 
 
PARA TRAÇAR ÂNGULOS COM RÉGUA E COMPASSO, NA MAIORIA DAS VEZES TEMOS QUE USAR A 
BISSETRIZ COMO INSTRUMENTO AUXILIAR... 
 
 BISSETRIZ DE 90O= 45O 
 “ÂNGULO “CURINGA” = 60 O 
 
 
 BISSETRIZ DE 60O = 30O BISSETRIZ DE 30O = 15O 
 
 
 
DIVISÃO DE SEGMENTOS EM N PARTES 
 
1. Traçar ângulo agudo ao segmento à dividir 
2. Marcar o número de partes sobre o ângulo 
3. Interligar a última parte ao final do segmento a ser dividido 
4. Traçar, com auxilio dos esquadros, um feixe de paralelas ao segmento a ser divido 
 
 
TRAÇADO DE TANGENTES E CIRCULARES 
 
DETERMINAR O CENTRO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 
centro = encontro de 2 mediatrizes 
 
1. Traçar dois segmentos quaisquer na circunferência (cordas) 
2. Traçar a mediatriz de cada um dos segmentos 
3. Prolongar as mediatrizes até que se cortem, determinando o centro da circunferência 
 
 
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CONCORDÂNCIA: dificilmente encontramos nos objetos que manuseamos, quinas e arestas vivas. 
Eles geralmente têm um contorno suave o qual agrada o nosso tato. Isto nada mais é que o estudo e 
a aplicação de concordância, que, por sua vez, é uma aplicação direta de TANGÊNCIA. 
 
CONCORDÂNCIA DE 2 RETAS POR MEIO DE UM ARCO DE RAIO CONHECIDO: 
 
 
1. Traçar uma paralela, numa distância igual ao raio de concordância desejado, a cada uma 
das retas dadas 
 
2. Prolongar as paralelas traçadas até que se cortem, determinando o centro da concordância 
 
3. Traçar o arco tangente às retas, com centro no ponto encontrado e raio igual à distância das 
paralelas traçadas 
 
 
CONCORDÂNCIA DE 2 CIRCUNFERÊNCIAS POR MEIO DE 1 ARCO TANGENTE DE RAIO 
CONHECIDO: 
 
1. Traçar dois arcos auxiliares, concêntricos à cada uma das circunferências dadas e raios 
iguais aos de cada circunferência + o raio desejado para concordância - o cruzamento destes 
arcos é o centro da concordância a ser traçada... 
 
2. Traçar o arco tangente às circunferências, com centro no ponto encontrado e raio de 
concordância. 
 
CONCORDÂNCIA ENTRE RETAS E ARCOS: 
 
Se queremos, concordar uma semi-reta com origem em A, com um arco de circunferência, 
precisamos determinar o centro da circunferência tangente à semi-reta em A. Os candidatos a centro 
estarão na perpendicular à semi-reta que passa por A e vários arcos poderão ser determinados. 
 
 
Concordar uma semi-reta com um arco passando por um ponto: 
Queremos uma circunferência que passe pelo ponto B e que tangencie a semi-reta na sua origem A. 
Sabemos que o centro O, dessa circunferência, deverá estar na perpendicular à semi-reta pelo ponto 
A e que , isto é, O pertence também à mediatriz de AB. 
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Concordar duas retas concorrentes por arcos de raios arbitrários: 
Queremos concordar duas retas concorrentes r e s por vários arcos. Como, os arcos devem ter seus 
centros a uma mesma distância das duas retas, deverão estar na bissetriz do ângulo agudo formado 
por r e s. Traçando retas perpendiculares a r ou s, nos pontos de concordância desejados, suas 
interseções com a bissetriz serão os centros dos arcos procurados. 
 
 
 
 
Concordar duas retas concorrentes por um arco de raio dado: 
A circunferência procurada deverá ser tangente à reta r num ponto S e ter uma tangente comum com 
a circunferência dada em P. Sabemos que o centro X de concordância pertence à reta que passa por 
O e P e que . Traçando uma reta t, tangente à circunferência no ponto P, teremos t 
concorrente à reta r num ponto Q. Com isso, podemos perceber, que o ponto X terá que ser 
equidistante às duas retas, isto é, pertence à bissetriz do ângulo agudo formado por elas e será a 
interseção da bissetriz com a reta OP. 
 
 
Concordar duas retas concorrentes por meio de um arco tangente a uma terceira reta: 
Queremos concordar a reta r e a circunferência dada através de um arco AB que tenha raio a. 
Temos que encontrar o centro de concordância X, que já sabemos, pertence à reta que passa por O 
e A, e também, determinar em r um ponto B de forma que . 
Se traçarmos uma reta s paralela à reta r de forma que a distância entre r e s seja a, qualquer um de 
seus pontos estará a uma distância a da reta r. Se traçarmos uma circunferência com centro em O e 
raio , qualquer ponto dessa nova circunferência estará a uma distância a de qualquer ponto 
da circunferência de raio OA. Logo, o ponto X estará na interseção da circunferência de raio 
com a reta s. Observe que temos uma outra interseção X’ e que a perpendicular à reta r passando 
por X’ determina em r o ponto B’ e que a circunferência de centro em X’ e raio X’B’ nos dará na 
circunferência de raio OA o outro ponto de concordância A’. 
 
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Concordar uma reta e um arco de circunferência por um outro arco: 
Queremos construir uma circunferência de raio a tangente às retas r e s. Para isso, precisamos 
determinaro centro X dessa circunferência e os pontos de tangência P e Q nas retas r e s 
respectivamente, sabendo que Por um ponto B qualquer da reta r podemos traçar uma 
perpendicular à r e nela determinar o ponto R de forma que , o mesmo podemos fazer por 
um ponto C da reta s e obter o ponto S tal que . Como qualquer ponto da reta paralela à 
r passando por R e da reta paralela à s passando por S, está a uma distância a de r e s, 
respectivamente, o ponto X de interseção dessas paralelas será o centro de concordância procurado. 
Traçando por X uma perpendicular à reta r obteremos em r, o ponto de tangência P e a 
circunferência de centro X e raio XP nos dará o outro ponto de tangência Q na reta s e o arco de 
concordância PQ procurado. 
 
 
 
Concordar uma reta e um arco por meio de um arco de raio dado: 
Neste caso, temos três retas concorrentes e queremos um arco concordando duas delas, r e s, e 
tangente à terceira t.Como o centro X do arco procurado deverá estar à mesma distância de r e t e 
simultaneamente, à uma mesma distância das retas s e t, temos que determinar as bissetrizes dos 
ângulos agudos formados por esses pares de retas. A interseção das bissetrizes nos dará o ponto X 
centro de concordância procurado e o raio será determinado pela interseção da reta perpendicular à 
reta t passando por X. 
 
Concordar duas semi-retas paralelas de mesmo sentido, por meio de dois arcos em 
concordância: 
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Se queremos concordar duas semi-retas paralelas nas suas origens A e B, devemos traçar, por 
esses pontos, as retas r e s perpendiculares à ambas, que não sejam coincidentes. Neste caso, 
teremos necessidade de dois arcos concordantes, pois os centros de concordância que procuramos 
pertencem às retas r e s.Inicialmente vamos procurar o ponto F de concordância dos dois arcos. 
Determinando o ponto E, médio de e por ele traçando uma paralela às semi-retas dadas, 
podemos determinar nessa paralela o ponto F tal que . Sabemos que na reta r deve 
existir um ponto O tal que e que na reta s deve existir um ponto O’ de forma que 
, que são facilmente obtidos com as mediatrizes de e . 
A manipulação dos pontos A e B sobre as retas suportes das semi-retas permite outras construções, 
inclusive aquela em que r e s coincidem e a concordância passa a ser feita por um único arco. 
 
Concordar duas semi-retas paralelas, de sentidos opostos, por meio de dois arcos em 
concordância: 
Traçando por A e B, respectivamente, as retas r e s perpendiculares às semi-retas dadas, de forma 
que não sejam coincidentes, sabemos que nessas retas estarão os centros de concordância que 
procuramos. Como os arcos concordantes têm sentidos contrários, podemos tomar, no segmento AB 
um ponto E qualquer, como ponto de concordância desses dois arcos. O arco que tem concordância 
em A deve ter seu centro O na interseção da reta r e da mediatriz de e o centro O’ do arco que 
tem concordância em B, na interseção da reta s com a mediatriz de . 
A manipulação deverá propiciar outras construções, inclusive aquela em que r e s coincidem. 
 
Unir duas semi-retas paralelas, de mesmo sentido por uma curva sinuosa: 
Precisamos encontrar os centros O e O’ das circunferências que compõem a curva sinuosa e o ponto 
C de tangência entre essas circunferências.Já sabemos que o centro O deve estar na reta r, 
perpendicular às semi-retas passando por A e que . E também, que o centro O’ deve estar 
na retas s, perpendiculares às semi-retas passando por B e que . 
Assim, se tomarmos um ponto C qualquer, o ponyo O será a interseção de r com a mediatriz de 
e o ponto O’, interseção da reta s com a mediatriz de . 
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REFERENCIAL TEÓRICO: 
 
 
1. AMARAL, Cláudia Silveira . Coletânea de notas de aulas 
 
 
 
ESTUDO DA FORMA 
aplicações de lugares geométricos 
 
ponto A = posicionado no centro da folha (cruzamento de duas linhas diagonais, interligando os 
cantos da folha – área útil, acima do selo) 
pontos B e C = Circunferência = centro A ; raio 4cm / interseções da circunferência com uma das 
linhas anteriores 
pontos D e E = vértices de um quadrado inscrito na circunferência, tendo B e C como os outros dois 
vértices 
ponto F = distante do segmento DC 7.5cm, equidistante dos pontos D e C 
ponto G = interseção de uma paralela ao segmento DC com a reta BC, passando por F 
ponto H = 60o com segmento FG; distante de G 7cm 
ponto I = 180o com o segmento GH; interseção com linha diagonal à folha 
pontos J e K = vértices de um triângulo equilátero IJK, cuja medida dos lados é 4cm 
ponto L = ponto médio do segmento BE (interligar J e L) 
ponto M = ponto sobre a bissetriz do ângulo JLB, distante de L 5cm 
ponto N = centro de uma circunferência de raio MN 2cm 
pontos O, P, Q , R, S, M = vértices de um hexágono inscrito na circunferência de centro N 
ponto T = centro de uma circunferência que passa pelos pontos I, J e K 
ponto U = ponto tangente à circunferência de centro A, interligado ao ponto F 
pontos V, W, X, Y = divisões do segmento FG em 5 partes iguais (método geométrico demonstrado) 
Ponto Z = tripartição do angulo TUV (por processo geral)