GRA1767 GEOMETRIA_ DESENHO E FORMA

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GEOMETRIA: DESENHO E FORMAGEOMETRIA: DESENHO E FORMA
GEOMETRIA PLANAGEOMETRIA PLANA
Autor: Drª . Roberta Paye Bara
Revisor : Roberta Paye Bara
I N I C I A R
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introdução
Introdução
Nesta unidade, será apresentada a disciplina “Geometria: desenho e forma”.
Após a apresentação, serão listados alguns softwares livres pertinentes para
acompanhar as atividades e aperfeiçoar suas habilidades, e, em seguida,
iremos de�nir os tópicos de geometria plana que serão fundamentais em
toda a disciplina.
A parte da geometria plana que será abordada neste capítulo trata dos
detalhes de de�nição e construção dos elementos primitivos (ponto, reta e
plano) para, em seguida, utilizá-los na análise de medidas, distâncias, ângulos
e na construção de circunferências, bem como de polígonos.
A compreensão das �guras planas, suas de�nições e o método de construção,
seja este manual ou digital, é fundamental na aplicação pro�ssional de
engenheiros, arquitetos e designers de produto.
Vamos começar!
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A palavra geometria vem da união das palavras gregas: terra (geo) e medir
(métron). A etimologia da palavra geometria fornece uma hipótese de origem
dessa área da matemática. E essa nomenclatura grega se difundiu juntamente
com a expansão europeia, por meio das colonizações. Contudo, não se pode
a�rmar que em outros povos e continentes já não ocorresse o estudo da
geometria, com outro nome e outras técnicas. Tales de Mileto (624 a.C.-546
a.C.) é considerado o precursor da geometria na Grécia Antiga, no entanto é
impossível não criar a hipótese de que, na África, já existia um profundo
conhecimento sobre geometria séculos antes. O fato que reforça isso é a
datação da construção das pirâmides, como a pirâmide de Queóps, com data
de 2560 a.C. (BOYER; MERZBACH, 2012; MLODNOW, 2004).
Geometria: Desenho e FormaGeometria: Desenho e Forma
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O matemático e �lósofo grego Pitágoras (aproximadamente 570 a.C.-495 a.C.)
passou muitos anos no Egito, estudando e aprendendo antes de publicar seu
teorema. Pitágoras disseminava o conhecimento com outras pessoas que, em
algumas referências, chamam de pitagóricos ou discípulos de Pitágoras.
Outros consideravam os encontros rituais religiosos, talvez por isso tenham
sido perseguidos (MLODNOW, 2004).
Euclides estruturou e organizou todo o conhecimento que havia disponível na
época sobre geometria e, assim, desenvolveu novas informações que são a
base para a geometria euclidiana até hoje. As contribuições de Euclides se
deram na demonstração e dedução de toda a base da geometria. Tudo isso
foi publicado em sua obra Os elementos, com 13 volumes, sendo os seis
primeiros sobre geometria plana e com um rigor de demonstração e dedução
que fez com que muitos não acreditassem que havia sido escrito por uma
única pessoa.
Além de toda a base da geometria euclidiana, ele desenvolveu a geometria
esférica e pesquisas no campo da física. Também é conhecido como “Euclides
de Alexandria”, pois foi em Alexandria onde lecionou por anos, embora
existam indícios que tenha nascido na Síria. Não há certeza sobre seu
nascimento e falecimento, e algumas pessoas ao longo da história não
acreditam que ele tenha existido. Estimam que tenha nascido por volta de
330 a. C., e que tenha trabalhado como professor de matemática, em
Alexandria, e que sua obra Os elementos tenha sido publicada por volta de 300
a. C. (BOYER; MERZBACH, 2012).
Figura 1.1 - Pirâmides Quéops, Quéfren e Miquerinos 
Fonte: Maielo / Wikimedia Commons.
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Atualmente, a geometria é de�nida como a área da matemática que estuda o
espaço e as formas nele contidas.
Quando observamos os detalhes arquitetônicos e estruturais utilizados no
passado, a riqueza dos detalhes mostra o uso da geometria para planejar a
construção. Assim, o fato de terem resistido ao tempo mostra a qualidade do
projeto estrutural. Temos como exemplo a Cisterna Basílica de Istambul, uma
Figura 1.2 - Os elementos, de Euclides, em espanhol, publicado em 1689 
Fonte: Kresa / Wikimedia Commons.
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Há construções com arquitetura inspirada em polígonos e poliedros, o que as
torna pontos turísticos em suas localidades. Para ver alguns exemplos, assista ao
vídeo.
ASS I ST IR
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obra do império Romano, que acreditam ter sido construída entre 527-564
d.C. A cisterna possui uma área de 140x70m, contando com 336 colunas de
mármore. Muitas dessas colunas com uma riqueza de detalhes mostram que
o material foi reutilizado de templos de povos dominados pelos romanos,
como as colunas que possuem cabeças de medusa.
Além de construções históricas, obras de arte também são fontes de
inspiração, contribuindo para a análise de desenhos e formas utilizadas.
Figura 1.3 - Cisterna Basílica de Istambul 
Fonte: qwesy / Wikimedia Commons.
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Geometria Dinâmica
A tecnologia permite agilidade na construção de projetos arquitetônicos, na
elaboração do design de peças e objetos, e também trouxe agilidade e
e�ciência na simulação das informações projetadas. A geometria dinâmica é o
estudo da geometria por meio de softwares que permitem uma análise
dinâmica das �guras construídas, por exemplo: construir um triângulo e, com
o mouse, arrastar um dos vértices desse triângulo e assim analisar as
mudanças na �gura.
Antes da existência de softwares com essa funcionalidade, seria necessário
desenhar manualmente cada uma das opções de alteração no triângulo.
Existem diversos softwares que podem ser utilizados no estudo da geometria
plana, espacial e na geometria descritiva. A seguir, serão apresentados três
softwares livres que você poderá utilizar para treinar os exercícios desta
disciplina, de forma dinâmica. Inclusive, as imagens das �guras geométricas
utilizadas nesta disciplina foram criadas utilizando esses softwares.
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É possível realizar visitas virtuais em museus e construções históricas para poder
observar os detalhes arquitetônicos. Por exemplo, visitar on-line pelo Google
Maps as pirâmides de Gizé e o Museu Oscar Niemeyer (localizado em Curitiba).
Outros locais possuem tour virtual em seus sites próprios, como no site do museu
do Louvre, em Paris, e a Capela Sistina no Museu do Vaticano.
ACESSAR
http://m.museivaticani.va/content/museivaticani-mobile/en/collezioni/musei/cappella-sistina/tour-virtuale.html
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Recomendamos que abra cada um dos softwares, explore as funções, os
botões e depois escolha qual sente mais interesse em utilizar. Há softwares
pagos que possuem mais funcionalidades que esses, e que você poderá testar
por um tempo limitado como estudante ou ter contato no seu futuro
ambiente pro�ssional, visto que algumas empresas adquirem a licença de uso
para seus funcionários. Os mais utilizados no campo de projetos de objetos e
projetos arquitetônicos são o AutoCad e o Revit da Autodesk.
Software Tabulae
O software Tabulae apresenta ferramentas para a construção de �guras
planas, como os trêsprimeiros botões da barra da esquerda: criar ponto, criar
reta e criar círculo. Em criar ponto, é possível alterar a formatação do ponto,
como cor e estilo. Em “criar reta”, usa-se a de�nição: para de�nir uma reta,
são necessários dois pontos. O mesmo ocorre para criar a reta no Tabular;
precisa-se de�nir dois pontos. Assim como para desenhar uma circunferência,
é preciso primeiro clicar no local onde será o centro da circunferência e
depois o segundo click de�ne o raio.
Software GeoGebra
No software GeoGebra, há a possibilidade de visualização com eixos
cartesianos, grade ou tela em branco. Além disso, existe a possibilidade de
Figura 1.4 - Tela inicial do software Tabulae 
Fonte: Elaborada pela autora.
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“visualizar na janela 3D” para �guras tridimensionais. Os botões possuem
várias opções de formatação e também seguem a linha de construção de
elementos conforme de�nição.
Software Sweet Home 3D
O software Sweet Home 3D possui ferramentas especí�cas para a criação de
projetos arquitetônicos. Observe que, no primeiro quadrante à esquerda, há
Figura 1.5 - Software GeoGebra 
Fonte: Elaborada pela autora.
reflitaRe�ita
Qual a importância em aprender geometria utilizando instrumentos de desenho
geométrico? Os softwares de geometria dinâmica reproduzem as construções que
podem ser realizadas com régua, compasso e esquadro. Quando aprende com os
instrumentos de desenho, a pessoa acaba tendo mais facilidade em usar o software.
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pastas com as seguintes opções: banheiro, cozinha, escadas, iluminação,
portas e janelas, quarto, sala de estar e variados.
Cada uma das pastas possui algumas opções de itens. Além das opções da
barra de ferramentas superior, é possível clicar com o botão direito do mouse
sobre o objeto e alterar cores, dimensões e importar imagens para estampar
os objetos. Para inserir um item no projeto, basta clicar no nome do item na
pasta, arrastar para a tela com a grade e posicionar. Na tela a seguir, é
possível mudar o ângulo de visualização 3D.
Figura 1.7 - Exemplo de elaboração de projeto no software Sweet Home 3D 
Fonte: Elaborada pela autora.
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Na visualização 3D, a imagem pode ser rotacionada em diversas direções,
utilizando o botão com as setas (no canto superior esquerdo da janela de
visualização 3D).
praticar
Vamos Praticar
A palavra geometria tem origem grega, com Tales de Mileto (624 a.C.-546 a.C.),
considerado o precursor da geometria na Grécia Antiga, mesmo sendo impossível
a�rmar a data exata da origem da geometria. Considerando isso, assinale a
alternativa correta que explica por que Euclides de Alexandria é considerado o pai
da geometria:
a) Ele não é considerado o pai da Geometria, e alguns nem acreditam que ele existiu.
b) Porque ele organizou, estruturou, deduziu e demonstrou toda a base da geometria.
c) Porque, graças às suas contribuições em Os elementos, foi possível construir a pirâmide de
Quéops.
d) Porque ele organizou todas as publicações de geometria publicadas até aquele momento.
e) Porque ele estruturou e organizou todas as publicações de geometria publicadas até aquele
momento.
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A geometria plana, como o próprio nome indica, trata do estudo das �guras
geométricas planas. A compreensão da geometria plana é fundamental para a
compreensão futura da geometria espacial.
Elementos Primitivos da Geometria Plana
Os elementos primitivos da geometria plana são: ponto, reta e plano. A partir
da combinação desses, será possível construir as demais �guras geométricas
planas. Recomendamos que, para cada elemento primitivo de geometria
plana e suas combinações que forem apresentadas, recrie a imagem no
software livre de geometria dinâmica de sua escolha ou manualmente com
instrumentos de desenho no papel.
Ponto
O ponto é um elemento geométrico de dimensão zero, e sua representação
em desenho geométrico, quando feita manualmente no papel, é o encontro
de duas pequenas semirretas, visto que o encontro de duas retas não
Geometria PlanaGeometria Plana
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congruentes é de�nido por um único ponto. Nos softwares de geometria, há
várias representações, porque não existe o risco da imprecisão que ocorre no
desenho geométrico manual. Os pontos são nomeados por letras latinas
maiúsculas (LEITE; CASTANHEIRA, 2014). 
Reta
A reta possui in�nitos pontos, mas, para de�nir uma reta, bastam dois pontos
de�nidores do sentido da reta e sua posição. A reta é um elemento de
dimensão 1 (elemento linear, não possui área e é maior que um ponto). A
identi�cação da reta é feita escrevendo uma letra minúscula (do alfabeto
latino), em uma das extremidades de sua representação visível, já que não é
possível visualizar em um pequeno espaço os in�nitos pontos que a
compõem (LEITE; CASTANHEIRA, 2014).
Plano
É um elemento geométrico primitivo com in�nitos pontos, dimensão 2 (veja
que a área de um plano geralmente corresponde à unidade de medida ao
Figura 1.8 - Representação de um ponto 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 1.9 - Representação de uma reta 
Fonte: Elaborada pela autora.
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quadrado). É representado por letras minúsculas do alfabeto grego
posicionadas em seu interior em um dos cantos de sua representação. Para
de�nir um plano, são necessários três pontos, ou suas combinações (um
ponto e uma reta ou duas retas) (LEITE; CASTANHEIRA, 2014).
Posição Entre Retas
A posição entre as retas refere-se à direção das retas e à existência de ponto
ou pontos em comum. Quando as retas estão no mesmo plano, são
denominadas coplanares.
Segue a classi�cação da posição entre retas:
Figura 1.10 - Representação de um plano 
Fonte: Elaborada pela autora.
Figura 1.11 - Posição entre retas 
Fonte: Elaborada pela autora.
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a. Paralelas: são retas coplanares, com mesma direção e nenhum ponto
em comum.
b. Concorrentes: são retas coplanares, com diferente direção e um
ponto em comum.
c. Perpendiculares: são retas coplanares, um ponto em comum,
diferente direção de tal forma em que o ângulo entre as retas seja
90°.
d. Congruentes: são retas coplanares, com mesma direção e todos os
pontos em comum.
e. Reversas: são retas não coplanares, com direções diferentes e
nenhum ponto em comum.
f. Ortogonais: são retas não coplanares, nenhum ponto em comum,
com direções diferentes formando um ângulo reto (90°) entre as
retas.
A posição entre retas na geometria plana não contém a posição reversa e
ortogonal, já que são posições entre retas que estão em planos distintos, por
isso só ocorrem na geometria espacial.
Resolução de Problemas de Equidistância
Equidistância signi�ca mesma distância. Para veri�car se as distâncias são
iguais, é necessário calcular a distância. Caso seja entre três pontos, basta
traçar segmentos de reta unindo esses pontos (nos softwares já irá aparecer a
medida), pois a menor distância entre dois pontos é um segmento de reta
que os contém. Para calcular a distância entre um ponto e uma reta, é preciso
traçar uma reta que passe por esse ponto e seja perpendicular à reta dada.
Figura 1.12 - Distância entre reta f e o ponto A 
Fonte: Elaborada pela autora.28/04/2021 Ead.br
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No Geogebra, tendo o ponto A e a reta f, basta ir ao botão de inserir reta,
selecionar a opção reta perpendicular e clicar no ponto A e na reta f que a
reta g será criada. Deve-se ir ao botão de ângulo e selecionar a opção
medição, clicar no ponto A e no ponto de interseção entre as retas g e f.
Resolução de Problemas de Paralelismo
Problemas de paralelismo só vão ocorrer na análise da posição entre retas.
Para isso, use a de�nição: mesma direção e nenhum ponto em comum.
Também pode utilizar que a distância entre qualquer ponto de uma das retas
em relação à outra reta sempre será a mesma (porque a distância entre retas
paralelas é constante). O que cai no problema de distância entre ponto e reta.
Resolução de Problemas de Perpendicularismo
Problemas de perpendicularismo só ocorrem na relação de posição entre
duas retas. Para isso, além de analisar que entre as duas retas há um único
ponto em comum, é necessário provar que o ângulo formado entre as duas
retas é um ângulo reto (90°).
No GeoGebra, basta ir na opção ângulo da barra superior e selecionar as duas
retas f e g.
Teorema de Tales
Tales de Mileto observou que as sombras dos objetos eram proporcionais às
suas respectivas alturas e, com isso, elaborou seu teorema no qual a�rma
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que: feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por retas transversais
formam segmentos de retas proporcionais.
Ângulos
Ângulo é a medida da abertura entre duas retas concorrentes. Essa
graduação pode ser de�nida em graus ou em radianos. Uma volta completa
equivale a 360° (em graus) ou 2π (em radianos).
Classi�icação dos Ângulos
Os ângulos são classi�cados conforme o seu valor independente da unidade
utilizada (graus ou radianos).
Ângulo reto: quando a medida do ângulo forma 90° ( radianos).
Ângulo agudo: quando o ângulo é maior que 0° e menor que 90°.
Ângulo obtuso: quando o ângulo é maior que 90° e menor que 180°.
Ângulo raso: quando o ângulo é 180° (π radianos).
Transporte de Ângulos
Figura 1.14 - Teorema de Tales: reta f representa o chão e a reta r, o feixe de
luz solar em determinado local e hora 
Fonte: Elaborada pela autora.
π
2
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No transporte de ângulos e no transporte de medidas, utilizam-se o conceito
de circunferência e, manualmente, o compasso. A�nal, a ponta seca do
compasso corresponde ao centro da circunferência e a abertura do compasso
corresponde ao raio. Também são utilizados os conceitos de lugar geométrico
(que será visto a seguir).
Para transferir um ângulo formado por duas retas, deve-se, primeiramente,
colocar a ponta seca do compasso no encontro das retas e com uma abertura
qualquer riscar uma curva de forma que corte as duas retas (r e s) em dois
pontos (1 e 2). Para transferir esse ângulo, desenhe uma reta (r’) e marque um
ponto para que este seja o vértice. Com a mesma abertura usada antes (para
traçar 1 e 2), risque uma curva com a ponta seca do compasso nesse novo
vértice (na reta r’). Em seguida, retorne com o compasso nas retas r e s, ponta
seca na intersecção 1 e abertura na interseção 2; transporte essa medida para
a nova reta, de�nindo o segundo ponto da reta s’ (porque para de�nir uma
reta são necessários dois pontos, e o primeiro é o vértice); e �nalize marcando
a reta s’.
Divisão de Ângulos
Figura 1.15 - Passo a passo: transporte de ângulo 
Fonte: Elaborado pela autora.
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A divisão de um ângulo remete a de�nição do lugar geométrico denominado
de bissetriz, conforme de�nição que será exposta a seguir.
Lugares Geométricos
Seja para analisar distâncias, posições ou para construir �guras, os problemas
de geometria resumem-se a obter pontos. E, para de�nir um ponto, é
necessário e su�ciente encontrar o cruzamento de duas retas que contém
esse ponto. Existe o método de lugares geométricos, em que cada lugar
geométrico possui uma propriedade. Logo, se o ponto pertencer a esse lugar
geométrico, então ele também terá essa propriedade. Assim como vale a
recíproca: todo ponto que possui essa propriedade pertencerá a esse lugar
geométrico. E isso é utilizado para construir novas �guras e resolver
problemas de geometria. A seguir, serão listados alguns lugares geométricos
(LEITE; CASTANHEIRA, 2014; PUTNOKI, 1990; PUTNOKI, 2007).
Circunferência
É o lugar geométrico em que todos os pontos são equidistantes de um único
ponto denominado centro da circunferência. Essa distância é denominada
raio da circunferência, que manualmente é construída utilizando o compasso,
de�nindo o centro da circunferência onde será inserida a ponta seca do
compasso, e a abertura do compasso corresponde ao raio da circunferência.
Os softwares de geometria possuem a função circunferência e/ou função
compasso.
Mediatriz
É a reta perpendicular a um segmento de reta, passando pelo ponto médio
desse segmento de reta. Logo, qualquer ponto da mediatriz é equidistante
das extremidades do segmento de reta.
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No GeoGebra, basta selecionar na opção Reta Mediatriz e clicar no segmento
de reta.
Bissetriz
Bissetriz é a reta que divide um ângulo em duas partes iguais e passa pelo
vértice desse ângulo. Todo ponto da bissetriz é equidistante das retas que
formam o ângulo que ela divide.
No GeoGebra, será necessário inserir um ponto no vértice do ângulo (ponto
E), selecionar a opção Reta Bissetriz e clicar em uma das retas que forma o
ângulo, no ponto do vértice e na outra reta que forma o ângulo.
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praticar
Vamos Praticar
A circunferência é o lugar geométrico em que todos os pontos são equidistantes de
um único ponto denominado centro da circunferência, e essa distância é
denominada raio da circunferência. Com o compasso, é possível construir uma
circunferência. Assinale a alternativa correta em relação ao objetivo de de�nir
lugares geométricos:
a) Para definir e compreender cada figura geométrica no plano.
b) Para suporte na construção de instrumentos de desenho geométrico como o compasso.
c) Somente para caracterizar cada figura geométrica.
c) Somente definir as propriedades que caracterizam cada lugar geométrico.
e) Definir as propriedades que caracterizam cada lugar geométrico para utilizá-las para definir
outros ou resolver problemas.
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As linhas poligonais são �guras planas formadas por pontos e segmentos de
reta que podem ou não ser regulares (todos os segmentos de reta com
mesma medida). São classi�cadas conforme a posição entre os pontos e os
segmentos de reta: linha poligonal aberta simples, linha poligonal fechada
simples, linha poligonal aberta não simples e linha poligonal fechada não
simples. Uma linha poligonal é dita aberta quando há pontos que não são
interceptados por dois segmentos de reta. E é denominada linha poligonal
simples quando os segmentos de reta que a compõem não se interceptam. 
PolígonosPolígonos
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Polígonos
A palavra polígono vem do grego polloí, que signi�ca muitos, e goníes, que
signi�ca ângulos. É composto de uma linha poligonal simples e fechada,ou
seja, todos os pontos são interceptados por dois segmentos de reta e
nenhum segmento de reta que compõe a linha poligonal intercepta outro
segmento de reta. Logo, também é possível de�ni-lo como uma �gura plana
que possui o número de lados igual ao número de ângulos.
Polígonos Regulares
Polígonos regulares são �guras planas em que o número de ângulos é igual
ao número de lados e a medida dos lados é igual, bem como todos os ângulos
possuem a mesma medida. Essa igualdade entre os ângulos e entre os
segmentos de reta caracterizam um polígono regular. O nome de cada
polígono tem relação com o número de ângulos formados.
Figura 1.18 - Linha poligonal aberta simples (a), aberta não simples (b),
fechada simples (c) e fechada não simples (d) 
Fonte: Elaborada pela autora.
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Construção de Polígonos
Para a construção de polígonos regulares, basta dividir uma circunferência em
partes iguais. Utilizando o GeoGebra, basta clicar no botão Polígono Regular e
de�nir dois pontos que irão formar um dos lados. Contudo, muitos problemas
de geometria partem da construção de um polígono a partir de uma
circunferência dada. Nesse caso, é possível realizar a construção exata de
polígonos ou a construção de polígonos a partir da divisão de uma
circunferência em partes iguais. Recomendo que siga as orientações dos
passos descritos e construa os polígonos primeiro manualmente e depois
utilizando softwares.
Construção Exata de Polígonos Regulares
A divisão exata de polígonos consiste em processos em que é possível obter a
medida do lado de alguns polígonos regulares a partir de uma circunferência
dada que, por hipótese, está circunscrita ao polígono que se deseja obter.
Para obter o quadrado, basta traçar uma reta qualquer que corte a
circunferência em dois pontos e passe pelo centro da circunferência. Assim,
terá um segmento de reta correspondente ao diâmetro, que divide a
circunferência em duas partes. Desenhando uma reta perpendicular a esse
diâmetro passando pelo centro da circunferência, terá dividido a
circunferência em quatro partes (também pode construir a mediatriz do
Figura 1.19 - Alguns polígonos regulares 
Fonte: Elaborada pela autora.
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diâmetro). E se construir a bissetriz dos quatro quadrantes formados, terá
dividido a circunferência em oito partes iguais.
Na imagem, os traços realizados pelo movimento do compasso estão
representados em tracejado. No processo exato de construção do pentágono
e do decágono, é necessário realizar passos em que no �nal serão obtidas as
medidas do lado do pentágono e do decágono inscritos na circunferência
dada. Para construir cada um desses polígonos, basta transportar a medida
obtida utilizando o compasso a partir de um vértice, obtendo o vértice
seguinte, e sucessivamente transportar a medida para obter o vértice
seguinte até obter todos os vértices.
O método consiste em dividir a circunferência dada em quatro partes (como
descrito anteriormente), escolher um dos segmentos que representam o raio
e obter o ponto médio M e traçar uma circunferência de centro nesse ponto
médio e raio igual à distância entre esse ponto médio e o vértice
anteriormente de�nido e que não seja colinear à reta que contém o ponto
médio (que não pertence à mesma reta). Dessa forma, terá obtido as medidas
do lado do pentágono (L5) e do lado do decágono (L10), conforme a �gura a
seguir:
Figura 1.20 - Divisão exata da circunferência para construir quadrado e
octógono 
Fonte: Elaborada pela autora.
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Para construir um hexágono inscrito a uma circunferência dada, basta pegar a
medida do raio da circunferência com o compasso (pode partir da divisão da
circunferência em duas partes) e usar essa medida para desenhar mais duas
circunferências com centro nas extremidades do diâmetro e assim obter os
vértices seguintes. Esse processo também serve para construir o triângulo
inscrito; basta unir dois vértices não consecutivos obtidos no processo do
hexágono.
Divisão de Circunferência
Além dos processos exatos da divisão da circunferência, existe um método
geral, que se baseia na proporção de segmentos, descrita no teorema de
Figura 1.21 - Método exato para construção do pentágono e do decágono 
Fonte: Elaborada pela autora.
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Tales na de�nição de circunferência como lugar geométrico. Porém, pode
ocorrer imprecisão na construção manual, pois depende do transporte de
retas e muitos outros passos.
O transporte de retas usando instrumentos de desenho como régua e
esquadro consiste em posicionar um dos esquadros na reta que deseja
deslocar, de forma que o ângulo de 90° do esquadro esteja com um dos
catetos sobre a reta (a que deseja transportar). Em seguida, posicione uma
régua ou o outro esquadro encostado na hipotenusa. Tanto faz se será a
régua ou o qualquer lado do outro esquadro, porque servirão como apoio
para deslocar a reta. Em seguida, deslize o esquadro posicionado sobre a reta
para desenhar outra com mesma direção. Assim, é possível deslocar a reta e
construir uma reta paralela só utilizando esquadro e régua.
O método geral consiste em dividir a circunferência em duas partes, desenhar
uma reta concorrente à reta do diâmetro (segmento de reta entre A e B),
passando por um dos vértices já de�nidos. O ângulo que essa reta
concorrente forma é livre, abertura qualquer (pois será usada a
proporcionalidade). Em seguida, com uma medida qualquer no compasso,
divida essa reta concorrente no número de parte em que deseja dividir a
circunferência (se deseja um undecágono, divida a reta concorrente em 11
Figura 1.23 - Passo a passo: transporte de reta com régua e esquadro 
Fonte: Elaborada pela autora.
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partes iguais). Em seguida, una o último ponto de�nido na reta concorrente
com o vértice (B) da circunferência. Com transporte de retas, você irá dividir o
diâmetro em partes iguais (nesse caso 11). Em seguida, obtenha os pontos C e
D a partir da construção de duas semicircunferências de raio igual ao
diâmetro e centro nos pontos A e B. Considerando o ponto A um dos vértices,
trace retas entre o ponto D e os pontos pares obtidos na divisão do segmento
AB, de forma a cortar a circunferência no lado oposto à diagonal, pois estes
pontos serão os vértices do polígono. Faça o mesmo processo a partir do
ponto C para obter os demais vértices do polígono.
Em desenho geométrico, quando se trata de realizar uma construção
geométrica manual utilizando instrumentos de desenho (régua, compasso e
esquadro), considera-se que, quanto maior o número de passos para a
realização de um desenho, maior será a chance de ocorrer uma imprecisão
no �nal, pois uma pequena imprecisão inicial pode se acumular durante os
passos da construção.
ti
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praticar
Vamos Praticar
A palavra polígono vem do grego polloí, que signi�ca muitos, e goníes, que signi�ca
ângulos. Também é possível de�nir como uma �gura plana que possui o número de
lados igual ao número de ângulos. Dessa forma, assinale a a�rmativa correta em
relação a qual tipo de linha poligonal um polígono regular é composto:
a) Por uma linha poligonal perfeita e fechada.
b) Por uma linha poligonal não simples aberta.
c) Por uma linha poligonal não simples fechada.
d) Por uma linha poligonal simples efechada cujos segmentos são congruentes.
e) Por uma linha poligonal aberta e simples.
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Figuras planas são todas as �guras geométricas de dimensão 2, em que é
possível calcular a área que ocupam no espaço (como são �guras planas, não
possuem volume). As �guras planas podem ser triangulares (três lados),
quadrangulares (quatro lados) e circulares (não há lados).
A circunferência não tem perímetro (que é a soma dos lados de uma �gura
plana), pois não tem lado nem vértice. Mas é possível calcular o comprimento
da circunferência (2πR ou πD) e a área do círculo ( ), sendo R o raio e D o
diâmetro (pois ). Pois o círculo é uma �gura plana, formada por todos os
pontos cuja distância até o centro O da circunferência será 
(menor ou igual ao raio).
Figuras Triangulares
As �guras triangulares possuem 3 lados e 3 ângulos. Quando os 3 lados são
iguais, denomina-se triângulo equilátero. Quando somente dois lados são
iguais, denomina-se triângulo isósceles. E quando um dos ângulos internos do
triângulo é um ângulo reto (90°) é denominado triângulo retângulo.
Figuras PlanasFiguras Planas
πR2
2R = D
(x,y)   d (O, (x,y)) ≤ R
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A área de um triângulo é igual o lado multiplicado pela altura do triângulo
(altura em relação a esse lado), divididos por 2.
Figuras Quadrangulares
Figuras quadrangulares são �guras planas que possuem quatro lados e
quatro ângulos. Quando a �gura plana possui quatro lados e quatro ângulos
iguais, temos o retângulo. Quando a �gura possui quatro ângulos iguais e
quatro lados iguais, temos o quadrado. Quando a �gura possui os quatro
lados iguais, mas não possui os quatro ângulos iguais, temos o losango
regular. E existe também o trapézio, que possui dois lados paralelos e dois
lados concorrentes.
Área do quadrado é igual a lado vezes lado: 
Área do retângulo é igual à base vezes a altura: 
Figura 1.25 - Área �guras triangulares 
Fonte: Drini / 123RF.
l2
b.h
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Área do losango é igual à diagonal maior vez diagonal menor dividido
por dois: 
Área do trapézio é igual à base maior mais base menor, vezes a
altura, tudo isso dividido por dois: 
Cálculo da Área de Figuras Planas
Para calcular a área de qualquer �gura plana, basta dividir em formas de
�guras geométricas planas em que é conhecida a forma de obtenção do
cálculo da área. Por exemplo, a �gura a seguir, que pode ser dividida em
quadrado, semicircunferência e triângulo:
É possível calcular a área de polígonos regulares, como decágono, octógono e
vários outros, dividindo o polígono em triângulos. Basta traçar diagonais que
passem pelo centro (centro dos polígonos regulares é o mesmo que o centro
da circunferência inscrita ou circunscrita).
praticar
Vamos Praticar
D.d
2
(B+ ).hbm
2
Figura 1.27 - Figura plana 
Fonte: Elaborada pela autora.
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Quando se trata do cálculo da área de qualquer �gura plana, basta dividir em
formas de �guras geométricas planas onde é conhecida a forma de obtenção do
cálculo da área. Considerando isso, assinale a alternativa correta que corresponde à
área de uma �gura plana.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
l +2 (B+ ).hbm
2
2
l + (B+ ).hbm
2
2
πR +2 (B+ ).hbm2
l +3 (B+ ).hbm
2
2
2πR + (B+ ).hbm2
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indicações
Material Complementar
FILME
Euclides como o pai da geometria
Ano: 2011
Comentário: o vídeo é disponibilizado pelo canal Khan
Academy Brasil e aborda algumas das frases utilizadas
por Euclides, entre outros detalhes acerca da obra Os
elementos.
T R A I L E R
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LIVRO
A janela de Euclides
Leonard Mlodinow
Editora: Geração
Comentário: é um livro sobre história da Matemática,
em especí�co, sobre história da Geometria. Relata
várias curiosidades com leve toque de humor. A leitura
é agradável e muito interessante. O autor é PhD em
Física e Matemática.
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conclusão
Conclusão
O estudo da geometria teve seu início séculos atrás, antes do início do
cristianismo. Tinha como objeto de estudo a medição de distâncias, depois a
análise de formas e teve como consolidador de todo o processo de de�nição
e demonstração dos elementos geométricos Euclides de Alexandria, que é
considerado o pai da geometria. As características das �guras geométricas
contribuem para a de�nição das propriedades dos lugares geométricos, que
possibilitam a construção e a demonstração de outras �guras e propriedades.
referências
Referências Bibliográ�cas
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo:
Blucher, 2012.
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e trigonometria. Curitiba:
InterSaberes, 2014.
MLODNOW, L. A janela de Euclides: a história da geometria, das linhas
paralelas ao hiperespaço. São Pauo: Geração Editorial, 2004.
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PUTNOKI, J. C. Elementos de geometria e desenho geométrico. São Paulo:
Scipione, 1990. v. 1.
PUTNOKI, J. C. Elementos de geometria e desenho geométrico.São Paulo:
Scipione,  2007. v. 2.
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