Modelos Teóricos Discretos e Contínuos em Estatística

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ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
MODELOS TEÓRICOS DISCRETOS 
 
 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
Um experimento binomial deve preencher os seguintes critérios: 
I. O experimento é repetido por um número fixo de tentativas, onde cada tentativa é 
independente das outras (n) 
II. Há apenas dois resultados possíveis de interesse para cada tentativa. Os resultados 
podem ser classificados como sucesso (S) ou fracasso (F) 
III. A probabilidade de um sucesso P(S) é a mesma para cada tentativa. 
IV. A variável aleatória x contabiliza o número de tentativas com sucesso. 
 
 
 
  xnxqp
x
n
xXP 






 
onde x=0,1,2,...,n 
 
sendo: 
 P(X= x) a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas; 
 p a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova – sucesso; 
 q a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova – fracasso; 
com: 
  !!
!
xnx
n
x
n







 
 
Medidas descritivas 
 
 
  qpnXDP
qpnXVAR
npXE
..
..



 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLOS 
 
 
1) Sabe-se que o processo de usinagem de uma peça ainda não está perfeitamente ajustado, o 
que faz com que uma peça em cada dez saia da produção com defeito. Tiradas 10 peças da 
linha de produção, quais são as probabilidades de que apresentem: 
a) três peças defeituosas; 
b) nenhuma peça defeituosa; 
c) menos de duas peças defeituosas. 
 
2) Um desportista pratica tiro ao alvo, tentando acertar, em sequências de cinco pratos, um por 
vez. A probabilidade de acertar em uma dada tentativa é de 0,95. Determinar a probabilidade de 
que o desportista acerte 5 pratos em uma sequência. 
 
3) Uma pesquisa indica que 41% das mulheres nos Estados Unidos tem a leitura como 
atividade de lazer preferida. Você escolhe, aleatoriamente, quatro mulheres norte-americanas e 
pergunta se elas tem a leitura como atividade de lazer preferida. Encontre a probabilidade de 
que: 
a) exatamente duas delas respondam sim. 
b) no mínimo duas delas respondam sim. 
c) menos que duas delas respondam sim.
 
 
 
 
 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se você busca a probabilidade de que 
um número específico de ocorrências aconteça dentro de uma dada unidade de tempo ou 
espaço. 
 
!x
e
xXP
x


 
Onde: 
X => é o número de ocorrências 
e => é a base dos logaritmos naturais (e = 2,71828) 
 => é a taxa média por unidade 
 
Medidas descritivas 
 
  



XVAR
XE
 
 
 
 
 
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EXEMPLOS 
 
1) Um posto de pedágio, ao qual sabe-se que chegam três carros, em média, a cada 10 
segundos. Qual a probabilidade de chegarem ao pedágio em um certo intervalo de 10 segundos: 
a) no máximo 2 carros; 
b) no mínimo 2 carros. 
 
2) Um taxi atende, em média, dois clientes por hora. Qual a probabilidade de atender: 
a) 1 ou 2 clientes, em 1 hora; 
b) 4 ou 5 clientes, em 2 horas; 
c) nenhum cliente em meia hora. 
 
3) Chamadas telefônicas chegam à razão de 48 por hora no balcão de reservas da PTW. 
Encontre a probabilidade de chegarem: 
a) 3 chamadas em um intervalo de tempo de cinco minutos; 
b) exatamente 10 chamadas em 15 minutos. 
 
 
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MODELOS TEÓRICOS CONTÍNUOS 
 
 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
De modo geral, as variáveis aleatórias cujos valores resultam de algum processo de 
mensuração são contínuas. 
Ex.: 
- peso e altura das pessoas de uma cidade; 
- tempo de vida de uma lâmpada; 
- o diâmetro de rolamentos de esferas. 
 
Curva normal é unimodal, em forma de sino, em que o valor da média é igual a moda e à 
mediana. A média é o centro da curva. 
 Característica do modelo: 
i. A distribuição normal é completamente determinada por dois parâmetros: 
 - Média da população =  
 - Desvio padrão da população =  
 
ii. A distribuição é simétrica em relação à média. 
iii. A curva é assintótica, se prolonga de -  à +  
iv. A área total sob a curva é igual a 1, ou 100%, com exatos 50% distribuídos à esquerda da 
média e 50% à sua direita. 
v. A área sob a curva normal contida entre... é igual a: 
 ± 1  68,26% (a) 
 ± 2  95,44% (b) 
 ± 3  99,74% (c) 
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X ~ N ( ; ²) 
2
2
2
)(
22
1
)( 





x
exf 
 
 Distribuição Normal Padrão 
Todas as curvas normais podem ser transformadas em uma curva normal padrão, usando o 
desvio padrão () como unidade de medida indicativa dos desvios dos valores da variável em 
estudo ( X ), em relação à média ( ). 
A variável aleatória Z é caracterizada pela média  = 0 e 2 = 1. 
 
Z ~ N(0 ; 1) 
 



X
Z
 
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A tabela z tem em suas margens os valores de z, com o valor inteiro e primeira casa após a 
vírgula na coluna e a segunda casa após a vírgula na linha. 
 
 
 
 
 
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EXEMPLOS 
 
1) Determine as probabilidades de: 
a) P(0 < z < 0,40) 
b) P(0 < z < 1,57) 
c) P(0 < z < -2,33) 
d) P(z > 1,82) 
e) P(z > -2,47) 
f) P(-1,65 < z < 2,54) 
g) P(-1,33 < z < -0,95) 
 
2) Uma grandeza X comporta-se de acordo com uma distribuição normal com média 10 e 
desvio padrão 2. Encontrar a probabilidade de que um dado valor da variável: 
a) esteja entre 10 e 12,5; 
b) esteja entre 9 e 10; 
c) seja maior que 11,5; 
d) seja menor que 7; 
e) esteja entre 7,5 e 11,5. 
 
3) Um Ford Focus de transmissão manual percorre uma média de 24 milhas por galão (mpg) na 
cidade, dirigindo com um desvio médio de 1,6 mpg. Um Focus é selecionado aleatoriamente. 
Qual a probabilidade que percorra mais do que 28 milhas por galão? Suponha que a 
quilometragem da gasolina seja normalmente distribuída. 
 
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EXERCÍCIOS 
1) Calcular a área compreendida entre os seguintes pares de pontos, para uma curva normal: 
a) z = 0 e z = 1,40 b) z = 0 e z = 1,75 c) z = 0 e z = 0,75 
d) z = 0 e z = -0,75 e) z = -1,20 e z = 1,60 f) z = 0,70 e z = 1,30 
g) z = -1,00 e z = 1,00 h) z = -2,00 e z = 2,00 i) z = -3,00 e z = 3,00 
j) z = 0 e z = 1,20 k) z = 0 e z = -0,90 l) z = 0 e z = 1,60 
 m) z = 0 e z = 1,46 n) z = 0 e z = -0,42 o) z = 0 e z = -1,44 
p) z = 0 e z = 2,01 q) z = 0,30 e z = 1,56 r) z = 0,20 e z = -0,20 
s) z = 0,88 e z = 1,85 t) z = 0,31 e z = 1,63 u) z = 1,21 e z = 1,75 
v) z = 1,30 e z = 1,74 
2) Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com média 
300h e desvio padrão 20h. Se a empresa garantiu uma vida útil de pelo menos 280h para uma 
das unidades vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade? 
 
3) Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostram que o lucro realizado 
distribui-se normalmente com média 48.000u.m. e desvio padrão 8.000u.m.. Qual a 
probabilidade de que: 
a) na próxima semana o lucro seja maior que 50.000 u.m.? 
b) na próxima semana o lucro esteja entre 40.000 u.m. e 45.000 u.m.? 
 
4)Ache o ponto z0 tal que: 
 a) P(Z>z0) = 0,025 b) P(Z<z0) = 0,8051 c) P(Z<z0) = 0,1314 
 d) P(- z0<Z<z0) = 0,6046 e) P(Z<z0) = 0,05 f) P(- z0<Z<z0) = 0,90 
 g) P(- z0<Z<z0) = 0,99 h) P(z>z0) = 0,50 i) P(z<z0) = 0,8643 
 
5) As alturas de 10.000 alunos de um colégio tem distribuição aproximadamente normal com 
média 170cme desvio padrão de 5cm. 
a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165cm? 
b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos? 
 
6) Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D1 e D2, tenham 
distribuições N(42; 36) e N(45; 9), respectivamente. Se os aparelhos são feitos para serem 
usados por um período de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido? E se for por um 
período de 49h? 
 
 
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7) Suponha a altura de 800 estudantes com altura média de 1,68m e desvio padrão de 0,13m. 
Encontre o número n de estudantes com as alturas: 
a) entre 1,65m e 1,91m; b) maior ou igual à 1,83m. 
8) Suponha que a temperatura durante um mês é normalmente distribuída com média 20O C 
e desvio padrão 2o C. Encontre a probabilidade em que a temperatura está entre 21o C e 
27o C. 
 
9) Em indivíduos sadios, o consumo renal de oxigênio tem distribuição normal de média 13 
cm3/min e desvio padrão 1,5cm3/min. 
a) Determinar a proporção de indivíduos sadios com consumo: 
inferior a 10cm3/min 
superior a 8cm3/min 
entre 9,4 e 13,2cm3/min 
igual a 11,6cm3/min 
entre 10 e 13cm3/min ou entre 12,5 e 14 cm3/min 
b) Determinar o valor do consumo renal que é superado por 98,5% dos indivíduos sadios. 
 
10) Uma máquina de empacotar determinado produto apresenta variações de peso com desvio 
padrão de 20g. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para que apenas 
10% tenham menos de 400g? Supor distribuição normal dos pacotes. 
 
11) Num determinado processo industrial, as peças com mais de 22kg e menos de 18kg são 
consideradas defeituosas. O processo atual tem 30% de defeituosas. Foi proposta a troca 
por um processo com média de 21kg e variância de 0,81kg2. Deve ser feita a troca? 
 
12) Seja um teste de inteligência aplicado a um grupo de 50 adolescentes do 3º. ano colegial. 
Obteve-se uma distribuição normal com média 50 e desvio padrão 6. Pergunta-se: 
a) qual a proporção de alunos com notas superiores a 60? 
b) qual o número de alunos com notas entre 35 e 45? 
c) qual é a nota abaixo da qual estão 75% dos alunos? 
 
13) Seja um teste de inteligência aplicado a um grupo de 1000 alunos de uma escola superior. 
Obteve-se uma distribuição normal, com média de 32 e desvio padrão de 4. Pergunta-se. 
a) Qual o número de alunos com notas superiores a 38? 
b) Qual o número de alunos com notas inferiores a 35? 
c) Qual o número de alunos com notas compreendidas entre 27 e 31? 
 
14) A renda anual média de uma grande comunidade pode ser aproximada por uma 
distribuição normal com média de R$ 7.000,00 e desvio padrão de R$ 3.000,00. 
 a) Que porcentagem da população terá renda superior a R$ 13.000,00? 
 b) Abaixo de qual renda temos 15% da população? 
 
 
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GABARITO 
1) a) 41,92% b) 45,99% c) 27,34% d) 27,34% e) 83,01% f) 14,52% 
 g) 68,26% h) 95,44% i) 99,74% j) 38,49% k) 31,59% l) 44,52% 
 m) 42,79% n) 16,28% o) 42,51% p) 47,78% q) 32,27% r) 15,86% 
 s) 15,72% t) 32,67% u) 7,30% v) 5,59% 
2) 15,87% 
3) a) 40,13% b) 19,33% 
4) a) 1,96 b) 0,86 c) - 1,12 d) 0,85 e) - 1,645 f) 1,645 
 g) 2,575 h) 0 i) 1,10 
5) a) 8.413 alunos b) de 164,25cm à 175,75cm 
6) O aparelho D2 de ser preferível. O aparelho D1 de ser preferível. 
7) a) 442 estudantes b) 100 estudantes 
8) 30,83% 
9) a) 2,28% 99,96% 54,35% 0 85,51% 
b) 9,75 cm3/min 
10) 425,6g 
11) Sim. 
12) a) 4,75% b) 10 pessoas c) 54,02 
13) a) 67 b) 773 c) 296 
14) a) 2,28% b) R$ 3.880,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Indicação de Leitura Específica 
Revisar os conceitos ministrados na disciplina Probabilidade e Estatística, prioritariamente nos 
tópicos dessa aula. 
Recomendação de leitura do livro da bibliografia básica: 
WALPOLE, Ronald E Et Al. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PARA ENGENHARIA E 
CIÊNCIAS. São Paulo: Pearson, 2014. 
Capítulo 5 - páginas 92 à 94 e páginas 104 à 106 
 
 
Avaliação 
Exercícios: 
Livro: WALPOLE, Ronald E Et Al. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PARA 
ENGENHARIA E CIÊNCIAS. São Paulo: Pearson, 2014. 
Páginas: 96 , 97, 106 , 107 e 119 a 121 
Exercícios: 5.5(a)(b), 5.7, 5.9, 5.11, 5.13, 5.15, 5.69, 5.71, 5.73, 5.75, 5.77 
Gabarito Apêndice B páginas 476 e 477