Eletromagnetismo - Campo Elétrico e Lei de Gauss

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Eletromagnetismo
Silvestre Ragusa 1
IFSC–USP
1Esta apostila foi reescrita a partir da versa˜o preliminar de 1987 das notas de aula escritas originalmente pelo
Professor Silvestre Ragusa. As modificac¸o˜es que foram feitas sa˜o todas no sentido de dar a` linguagem do texto
uma forma contemporaˆnea. Procurou-se manter, essencialmente, a mesma distribuic¸a˜o original para os to´picos
apresentados. Tambe´m foi tomado o cuidado de preservar todas as abordagens e discusso˜es feitas de forma u´nica,
contidas em nenhum outro texto dida´tico. Esmerindo Bernardes, Sa˜o carlos, 26 de Fevereiro de 2002.
2
Conteu´do
I Eletrosta´tica 5
1 O Campo Ele´trico 7
1.1 A lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 O campo ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 A lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Equac¸o˜es do campo eletrosta´tico no va´cuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Expansa˜o em multipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Energia eletrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Diele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Campo Magnetosta´tico 11
2.1 Lei de Coulomb para o campo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Lei de Biot-Savart e de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Forc¸as entre correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Meios magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Induc¸a˜o Eletromagne´tica 13
3.1 Lei de Faraday-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Energia magne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3
4 CONTEU´DO
Parte I
Eletrosta´tica
5
Cap´ıtulo 1
O Campo Ele´trico
1.1 A lei de Coulomb
Coulomb verificou experimentalmente que duas cargas puntiformes exercem mutuamente uma forc¸a de re-
pulsa˜o (cargas de mesmo sinal) ou de atrac¸a˜o (cargas de sinais opostos), na direc¸a˜o da reta que as une,
cuja intensidade e´ inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia entre elas. Chamando a constante
de proporcionalidade de 1/ε, e considerando as coordenadas apresentadas na Fig. ??, tem-se
F =
1
ε
qQ
R2
Rˆ, R = r− r′. (1.1)
Este resultado, obtido experimentalmente por Charles Augustin de Coulomb (1736–1806), e´ conhecido como
lei de Coulomb para as forc¸as eletrosta´ticas. Ele e´ va´lido no va´cuo ou num diele´trico (meio material condutor)
homogeˆneo (mesmas propriedades em todos os pontos ao longo de uma determinada direc¸a˜o) e isotro´pico
(mesmas propriedades em todas as direc¸o˜es a partir de um determinado ponto). A constante ε e´ denominada
de constante diele´trica do meio condutor. No sistema CGS (gaussiano) de unidades, o seu valor no va´cuo e´
ε = ε0 = 1 (adimensional). Neste mesmo sistema de unidades, distaˆncias sa˜o medidas em cm, forc¸as em
dyne e cargas em stat-coulomb.
Outro fato experimental, conhecido por princ´ıpio da superposic¸a˜o, e´ que a forc¸a em q devido a uma
distribuic¸a˜o de cargas e´ a soma vetorial de todas as forc¸as individuais. Para uma distribuic¸a˜o discreta de
cargas Qk, tem-se
F =
∑
k
Fk =
∑
k
qQk
R2k
Rˆk, Rk = r− r′k. (1.2)
Quando a distribuic¸a˜o de cargas for cont´ınua, cada carga Qk e´ substitu´ıda por uma carga infinitesimal dQ:
F =
∫
dF =
∫
qdQk
R2
Rˆ, R = r− r′. (1.3)
No caso de uma distribuic¸a˜o cont´ınua de cargas, tem-se treˆs situac¸o˜es relevantes para as demais discusso˜es:
I) uma distribuic¸a˜o volume´trica caracterizada pela densidade volume´trica de carga ρ,
dQ = ρ(r′)dV ′, (1.4)
onde Q e´ a carga total contida no volume V ′; II) uma distribuic¸a˜o superficial caracterizada pela densidade
superficial de carga σ,
dQ = σ(r′)dA′, (1.5)
onde Q e´ a carga total contida na superf´ıcie S′ e III) uma distribuic¸a˜o linear caracterizada pela densidade
linear de carga λ,
dQ = λ(r′)dC ′, (1.6)
onde Q e´ a carga total contida na curva C ′.
7
8 1. O Campo Ele´trico
1.2 O campo ele´trico
Dividindo a forc¸a ele´trica F pela carga q, a qual sera´ denominada de carga de prova ou de teste, obtem-se
uma quantidade vetorial, denominada de campo vetorial, que so´ depende da distribuic¸a˜o de cargas e da
posic¸a˜o da carga de prova considerados:
E =
F
q
. (1.7)
Naturalmente, a carga de prova q deve ser suficientemente pequena para na˜o pertubar a distribuic¸a˜o (por
induc¸a˜o) para a qual se quer definir o campo vetorial E.
No caso de uma fonte puntiforme com carga Q, resulta de (1.1) o campo ele´trico (com ε = 1) de uma
carga puntiforme:
E =
Q
R2
Rˆ, R = r− r′. (1.8)
No caso de uma distribuic¸a˜o de cargas, o campo ele´trico e´ derivado de (1.2) ou (1.3), dependendo se a distri-
buic¸a˜o e´ discreta ou cont´ınua. Evidentemente, o vetor campo ele´trico satisfaz a propriedade de superposic¸a˜o.
Por exemplo, o campo ele´trico de uma distribuic¸a˜o volume´trica de cargas, considerando a (1.4), e´
E =
∫
dV ′ρ(r′)
r− r′
|r− r′|3 , (1.9)
onde a integral deve ser efetuada em todo o volume da distribuic¸a˜o. Duas propriedades importantes a respeito
deste campo de uma distribuic¸a˜o volume´trica: ele e´ sempre finito e sempre cont´ınuo. A demosntrac¸a˜o destas
duas propriedades foge ao escopo do presente texto. No caso de uma distribuic¸a˜o superficial σ ou linear λ,
tem-se expresso˜es ana´logas a` (1.9) com σ dA′ ou λ dC ′, respectivamente, no lugar de ρ dV ′.
A expressa˜o (1.9) do campo ele´trico de uma distribuic¸a˜o volume´trica reduz-se a` expressa˜o (1.8) do campo
de uma carga puntiforme no limite V ′ → 0. De fato, considere uma distribuic¸a˜o de cargas ocupando um
volume muito pequeno em torno de um ponto r0 fixo. Neste caso |r − r′| ≈ |r − r0| e a Eq. (1.9) pode ser
escrita como:
E ≈
∫
dV ′ρ(r′)
r− r0
|r− r0|3 = Q
r− r0
|r− r0|3 . (1.10)
De forma ana´loga, mostra-se que o campo (1.9) longe da origem reduz-se ao campo de uma carga puntiforme
localizada na origem. Neste caso, na regia˜o distante da origem r >> r′, |r − r′| ≈ r e a Eq. (1.9) pode ser
escrita como:
E ≈
∫
dV ′ρ(r′)
r
r3
= Q
r
r3
. (1.11)
1.3 A lei de Gauss
Em geral, o ca´lculo do campo ele´trico pela definic¸a˜o (1.9) (e suas formas equivalentes para distribuic¸o˜es
superficiais e lineares) e´ muito dif´ıcil, tornando-a de pouca utilidade em muitas situac¸o˜es de interesse. Uma
alternativa via´vel ao uso da integral em (1.9), principalmente em distribuic¸o˜es exibindo algum tipo de
simetria, e´ dada pelo ca´lculo do fluxo do vetor campo ele´trico. O fluxo Φ de qualquer campo vetorial E
atrave´s de uma superf´ıcie S e´ definido como a integral da componente normal de E a` superf´ıcie S:
Φ =
∫
S
E · nˆ dA, (1.12)
onde nˆ e´ a normal e dA e´ o elemento de a´rea da superf´ıcie S. Este fluxo tambe´m sera´ u´til em muitas outras
situac¸o˜es que sera˜o discutidas neste texto.
Considere primeiramente o caso de uma fonte puntiforme para ilustrar o uso do fluxo para o ca´lculo do
campo ele´trico. Sejam α o aˆngulo entre a normal nˆ e o campo ele´trico. Seja tambe´m dΩ o aˆngulo so´lido
subentendido pela a´rea infinitesimal dA, situada a uma distaˆncia r da carga Q, definido por
dΩ =
rˆ · nˆ
r2
dA =
cosα
r2
dA. (1.13)
1. A lei de Gauss 9
Usando esta definic¸a˜o, o campo de uma carga puntiforme pode ser reescrito na seguinte forma:
E · nˆ dA = Qrˆ · nˆ
r2
dA = QdΩ. (1.14)
Substituindoeste resultado em (1.12), tem-se
Φ =
∫
S
E · nˆ dA = Q
∫
S
dΩ. (1.15)
Esta integral em dΩ e´ o aˆngulo so´lido compreendido pela superf´ıcie S. Em geral, as superf´ıcies fechadas sa˜o
aquelas de utilidade pra´tica no ca´lculo do campo ele´trico. Se a carga Q for interna a uma superf´ıcie fechada,
enta˜o o aˆngulo so´lido cobre todo o espac¸o: Ω = 4pi. Se a carga Q estiver na superf´ıcie, enta˜o o aˆngulo so´lido
cobre apenas uma metade do espac¸o: Ω = 2pi. Se a carga Q estiver localizada externamente, enta˜o, por
simetria, conforme indicado na Fig, Ω = 0. Portanto, a (1.15) torna-se em
Φ =
∫
S
E · nˆ dA =

4piQ se Q for interno a` superf´ıcie S,
2piQ se Q estiver na superf´ıcie S,
0 se Q estiver fora da superf´ıcie S.
(1.16)
A utilidade deste fluxo para determinar o campo ele´trico pode ser exemplificada da forma seguinte. Sabendo
que o campo E de uma carga puntiforme Q e´ radial, isto e´, da forma
E(r) = E(r)
r
r
= E(r) rˆ, (1.17)
enta˜o a superf´ıcie fechada mais adequada para que a integral em (1.16) seja efetuada, e´ uma superf´ıcie
esfe´rica de raio r, centrada na carga Q. Nesta superf´ıcie esfe´rica, o mo´dulo do campo, E(r), e´ constante e
rˆ = nˆ. Isto nos possibilita calcular a integral em (1.16) explicitamente:∫
S
E · nˆ dA =
∫
S
E(r) dA = 4pir2E(r) = 4piQ ⇒ E(r) = Q
r2
. (1.18)
Esta e´ a mesma expressa˜o obtida em (1.8) para o campo ele´trico de uma carga puntiforme Q, com a carga
na origem (r′ = 0). Este exemplo mostra a utilidade do fluxo para os casos envolvendo distribuic¸o˜es de carga
com simetria.
Embora o fluxo resultante em (1.16) tenha sido calculado para uma u´nica carga puntiforme Q, ele e´
completamente geral devido ao princ´ıpio da superposic¸a˜o. Se a superf´ıcie contiver mais cargas, totalizando
QI , bem como uma quantidade QS de cargas superficiais, o campo resultante sera´ a soma vetorial dos campos
individuais e, portanto, o fluxo resultante sera´ tambe´m a soma dos fluxos. Assim, a (1.16) pode ser reescrita
como: ∫
S
E · nˆ dA = 4piQI + 2piQS . (1.19)
Este resultado e´ conhecido como lei de Gauss (Johann Carl Friedrich Gauss, 1777–1855) para o campo ele´trico.
Ela independe se as cargas interna QI e superficial QS sejam discretas ou cont´ınuas.
Exerc´ıcio 1
Use a lei de Gauss (1.19) para calcular o campo de uma distribuic¸a˜o esfe´rica (de raio a) uniformemente
carregada, ρ(r) = ρ0, em todo o espac¸o. Verifique que o campo resultante e´ cont´ınuo e finito em todo o
espac¸o. Repita este exerc´ıcio para uma distribuic¸a˜o cil´ındrica.
Exerc´ıcio 2
Repita o exerc´ıcio anterior para uma distribuic¸a˜o plana, infinita e com uma desnsidade superficial constante
σ0. Mostre que neste caso, o campo resultante em todo o espac¸o tem duas discontinuidades. Esta dupla
discontinuidade presente no campo de distribuic¸o˜es superficiais e´ tambe´m um resultado geral.
10 1. O Campo Ele´trico
1.4 Equac¸o˜es do campo eletrosta´tico no va´cuo
1.5 Expansa˜o em multipolos
1.6 Energia eletrosta´tica
1.7 Diele´tricos
Cap´ıtulo 2
Campo Magnetosta´tico
2.1 Lei de Coulomb para o campo magne´tico
2.2 Lei de Biot-Savart e de Ampe`re
2.3 Forc¸as entre correntes
2.4 Meios magne´ticos
11
12 2. Campo Magnetosta´tico
Cap´ıtulo 3
Induc¸a˜o Eletromagne´tica
3.1 Lei de Faraday-Neumann
3.2 Energia magne´tica
13
	I Eletrostática
	O Campo Elétrico
	A lei de Coulomb
	O campo elétrico
	A lei de Gauss
	Equações do campo eletrostático no vácuo
	Expansão em multipolos
	Energia eletrostática
	Dielétricos
	Campo Magnetostático
	Lei de Coulomb para o campo magnético
	Lei de Biot-Savart e de Ampère
	Forças entre correntes
	Meios magnéticos
	Indução Eletromagnética
	Lei de Faraday-Neumann
	Energia magnética