Fundamentos da Teoria Eletromagnética - John R Reitz

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EDITORA CAMPUS
John R. Reitz
Scientific Laboratory Ford Motor Company
Frederick J. Milford
Battelle Memoriallnstitute
Robert W. Christy
Dartmouth College
TRADUÇÃO
Renê Balduino Sander
Carlos Duarte
Professores do Departamento de Física
Universidade Federal de Santa Catarina
EDITORA CAMPUS LTOA.
Rio de Janeiro
~
SUMARIO
Prefácio 13
As seções e os capítulos assinalados com asterisco podem ser omitidos sem perda de
continuidade.
Capítulo 1. Análise Vetaria!
I -I Definições 15
I -2 Álgebra vetorial 16
I -3 Gradiente 19
1-4 ln tegração vetorial - . - 22
1-5 Divergente ' 24
1-6 Rotacional 26
I -7 Operador diferencial vetorial \l 28
1-8 Desenvolvimentos adicionais 30
I -9 Resumo 33
Problemas 33
Capítulo 2. Eletrostática
2- 1 Carga elétrica 36
2-2 Lei de Coulomb - 36
2-3 Campo elétrico 39
2-4 Potencial eletrostático 4 I
2-5 Condutores e isolantes 43
2-6 Lei de Gauss 44
2-7 Aplicação da lei de Gauss 47
2-8 DipoJo elétrico 49
2-9 Expansão multipolar dos campos elétricos 5 I
2-10 Função delta de Dirac 53
2-11 Resumo 55
Problemas' ' 57
Capítulo 3. Solução de Problemas Eletrostáticos
3-1 Equação de Poisson 60
3-2 Equação de Laplace : 61
3-3
34
3-5
3-6
*3·7
*3-8
3-9
3-10
3-11
3-12
3·13
3-14
Equação de Laplace com uma variável independente .
Soluções da equação de Laplace em coordenadas esféricas.
Harmônicos zonais .
Esfera condutora em um campo elétrico uniforme .
Harmônicos ci/ índricos .
Equação de Laplace em coordenadas retangulares .
Equação de Laplace em duas dimensões. Solução geral .
Imagens eletrostáticas .
Carga pun tual e esfera condutora .
Cargas lineares e imagens lineares .
Sistema de condutores. Coeficientes de potencial. .
Soluções da equação de Poisson .
Resumo .
Referências .
Problemas .
63
63
66
67
68
69
70
73
75
76
77
78
79
79
Capítulo 4. Campo Eletrostático em Meios Dielétricos
4-1 Polarização ··· 82
4-2 Campo externo a um meio dielétrico 84
4-3 Campo elétrico no interior de um dielétrico 87
44 Lei de Gauss em um dielétrico. Deslocamento elétrico 89
4-5 Susceptibilidade elétrica e constante dielétrica 92
4-6 Carga puntual em um fluido dielétrico 93
4-7 Condições de contamo sobre os vetares de campo 95
4-8 Problemas de valores de contorno que envolvem dielétricos 97
4-9 Esfera dielétrica em um campo elétrico uniforme 98
*4-10 Força atuante sobre uma carga puntual imersa num dielétrico : . 99
4-11 Resumo I OI
Problemas 103
Capítulo 5. Teoria Microscópica dos Dielétricos
5-1 Campo molecular em um dielétrico 106
5-2 Dipolos induzidos. Um modelo simples 109
*5·3 ~loléculas polares. Fórmula de Langevin-Debye 110
*54 Polarização permanente. Ferroeletricidade 113
5-5 Resumo 116
Problemas - 116
Capítulo 6. Energia Eletrostática
6·1 Energia potencial de um grupo de cargas puntuais 119
6-2 Energia eletrostática de uma distribuição de carga 120
6-3 Densidade de energia de um campo eletrostático 122
64 Energia de um sistema de condutores carregados.
Coeficien tes de potencial 124
6·5 Coeficien tes de capacitância e indução 125
6-6 Capacitares 126
6-7 Forças e torques 128
*6-8 Força atuante sobre uma distribuição de carga 131
*6-9 Interpretação termodinâmica da energia eletrostática .
6-10 Resumo .
Problemas .
Capítulo 7. Corrente Elétrica
7-1 Natureza da corrente .
7-2 Densidade de corrente. Equação da continuidade .
7-3 Lei de Ohm. Condutividade .
74 Correntes estacionárias em meios contínuos ',' .
7-5 Passagem para o equilíbrio eletrostático .
7-6 Redes de resistências e leis de Kirchhoff .
7-7 Teoria microscópica da condução .
7-8 Resumo .
Problemas , .
Capítulo 8. Campo Magnético de Correntes Estacionárias
8-1 Definição de indução magnética .
8·2 Forças atuantes sobre condutores em que circulam correntes .
8-3 Lei de Biot e Savart .
84 Aplicações elementares da lei de Biot e Savart .
8-5 Lei circuital de Ampere .
8-6 Potencial vetaria! magnético .
8-7 Campo magnético de um circuito distante .
8-8 Potencial escalar magnético .
8-9 Fluxo magnético .
8-1O Resumo " .
Problemas ' .
Capítulo 9. Propriedades Magnéticas da Matéria
9-1 Magnetização .
9-2 Campo magnético produzido por material magnetizado .
9-3 Potencial escalar magnético e densidade de pólo magnético .
94 Fontes de campo magnético. Intensidade magnética .
9-5 Equações de campo .
9-6 Susceptibilidade e permeabilidade magnéticas. Histerese .
9-7 Condições de contorno sobre os vetares de campo .
9-8 Problemas de valores de contorno que envolvem materiais magnéticos ..
9-9 Circuitos de corrente que contêm meios magnéticos .
*9-10 Circuitos magnéticos .
*9-11 Circuitos magnéticos que contêm ímãs permanentes .
9·12 Resumo .
Problemas .
Capítulo 10. Teoria Microscópica do Magnetismo
10-1 Campo molecular no interior da matéria .
10-2 Origem do diamagnetismo .
10-3 Origem do paramagnetismo .
104 Teoria do ferromagnetismo ; .
132
133134
137
139141 .. 1
143 I147 148152156157
161
164166168172175176178179180181
185
188191192193194199202206208211213214
218
219221222
___ k
10·5 Domínios ferromagnéticos 225
10-6 Ferrites 227
10-7 Resumo 228
Problemas 229
Capítulo 11. Indução Eletromagnética
11-1 Indução eletromagnética 230
11-2 Auto-indutância 234
11-3 Indutânciamútua 236
114 Fórmula de Neumann 237
11-5 Indutância em série e em paralelo 238
11-6 Resumo 240
Problemas 241
Capítulo 12. Energia Magnética
12-1 Energia magnética de circuitos acoplados 246
12-2 Densidade de energia no campo magnético 247
12-3 Forças e torques sobre circuitos rígidos 249
*124 Perdas por histerese .. " _ _ 252
12·5 Resumo 255
Problemas 256
Capítulo 13. Correntes que Variam Lentamente
13-1
13-2
13-3
134
13·5
13-6
13-7
13-8
* 13-9
*13-10
*13-11
13-12
Introdução .
Comportamento transitório e de estado estacionário .
Leis de Kirchhoff .
Comporumento transitório elementar .
Comportamento de estado estacionário de um circuito em série
simples .
Conexão de impedâncias em série e em paralelo .
Potência e fatores de potência .
Ressonância .
lndutâncias mútuas em circuitos c.a .
Equações de malhas e de nós .
Impedâncias de ponto de excitação e de transferência .
Resumo .
Problemas .
25<1
260
261
262
266
267
269
270
272
275
279
279
281
Capítulo 14. Física do Plasma
14-1 Neutralidade elétrica em um plasma 285
14-2 Órbitas das partículas e movimento de deslocamento em um plasma 287
14-3 Espelhos magnéticos ' 291
144 Equações hidromagnéticás 293
14-5 Efeito pinch 195
14-6 Sistemas de confinamento magnético para fusão termonuclear
controlada 297
14-7 Oscilações e movimento ondulatório do plasma 299
14·8 Uso de sondas em medidas de plasma 302
14-9 Resumo 306
Problemas 307
Capítulo 15. Propriedades Eletromagnéticas dos Supercondutores
15-1
15-2
15-3
15-4
* 15-5
15-6
História da supercondutividade .
Condutividade perfeita e diamagnetismo perfeito de supercondutores ..
Exemplos envolvendo exclusão de fluxo perfeito .
Equações de London .
Exemplos envolvendo as equações de London .
Resumo .
Problemas .
309
311
313
316
319
322
323
Capítulo 16. Equações de Maxwell
16-1 Generalização da lei de Ampere. Corrente de deslocamento 324
16-2 Equações de MaxwelJ e suas bases empíricas 326
16-3 Energia eletromagnética 327
16-4 Equação de onda 330
16-5 Condições de contorno , . 333
16-6 Equação de onda com fontes 337
16-7 Resumo 342
Problemas 343
..-"
Capítulo 17. Propagação de Ondas Eletromagnéticas
17-1
17-2
17-3
17-4
* 17-5
17-6
Ondas planas monocromáticas em meios não·condutores .
Polarização .
Densidade e fluxo de energia .
Ondas planas monocromáticas em meios condutores .
Ondas esféricas .
Resumo .
Problemas· .
346
350
352
354
359
365
367
Capítulo 18. Ondas em Regiões de Contorno
18-1
18-2
18-3
18-4
18-5
18-6
18-7
18-8
18-9
Reflexão e refração nos limites de dois meios não condutores.
Incidência normal .
Reflexão e refração nos limites de dois meios não condutores
Incidênciaoblíqua .
Ângulo de Brewster. Ângulo crítico .
Coeficientes complexos de Fresne!. Reflexão por um plano condutor ..
Reflexão e transmIssão por uma camada delgada .
Propagação entre placas condutoras paralelas .
Guia de ondas .
Ressonadores de cavidade .
Resumo .
Problemas .
369
372
377
380
387
393
398
401
402
404
Capítulo 19. Dispersão 6tica nos Materiais
19-1 Modelo do oscilador harmônico de Drude-Lorentz 407
19-2 Absorção na ressonância por cargas ligadas 412
19-3
*19-4
19-5
19-6
Teoria do elétron livre de Drude o ••••••••••••
Relaxação dielétrica. Condução eletrolítica o •••••••••••••••
Relações de Kramers-Kronig ..... o • o ••• o o •• o •••••••••••• o
Resumo o • o •••••••••••••••••• o ••••••••••••••••••
Problemas .
419
423
428
432
433
Capítulo 20. Emissão de Radiação
20-1 Radiação de um dipolo oscilante 435
20·2 Radiação de uma antena de meia onda o •••••••••••••••••• 438
20-3 Radiação de um grupo de cargas em movimento 440
*20-4 Campos em zonas próximas e intermediárias 444
20-5 Amortecimento de radiação. Seção transversal de Thomson 446
20-6 Resumo o •••••• o •• o ••••••••••••••••••••• o o • o • 448
Problemas o ••••••••••••••••••••••• o ••••••••••• 450
Capítulo 21. Eletrodinâmica
21-1 Potenciais de Lienard-Wiechert. o •••••••• o o •• o •• o ••• 452
21-2 Campo de uma carga puntual em movimento uniforme o o • o • o • o • o •• 454
21·3 Campo de uma carga puntual acelerada. o •••• o o • o • o ••• o ••• o • o 457
21-4 Campos de radiação para pequenas velocidades ... o ••••••• o •• o o • 460
21-5 Resumo. o o •• o ••• o • o ••• o •••• o o • o •••••• o o • o •••• o o ••• 462
Problemas _ , , . , , , 462
Capítulo 22. Teoria Especial da Relatividade
22-1 Física an tes de 1900 o • o •••• o •• o o •• o •••• o •• o •••• 464
22-2 Transformação de Lorentz e postulados da relatividade especial
de Einstein . o ••••••• o o o • o o o ••• o •• o o •••••••••• o 467
22·3 Geometria do espaço -tempo o ••••••••• o • o • o •• o o o •• o 471
22-4 Transformação de Loren tz como uma transformação ortogonal .... o o 472
22-5 Forma covariante das equações eletromagnéticas ... o • o ••••• o •••• 474
22-6 Lei de transformação para o campo eletromagnético 477
22-7 Campo de uma carga puntual em movimento uniforme o ••• o ••••••• 479
22-8 Resumo .... o o •• o • o o o ••• o • o o o o •••••• o o • o o o • o o o •• o •• 480
Problemas .. ' o •• 'o •••• o ••• o 482
Apêndice I. Transformações de Coordenadas, Vetores e Tensores o o •• o o • o • o 483
Apêndice 11. Sistemas de Unidades. o •• o o •• o •• o •••••••••••• o o o ••• o 488
Apêndice mo Operadores Diferenciais Vetoriais 492
Apêndice No Função Delta de Dirac . o o o •• o •••••• o ••• o o • o o • o • o •• o 494
Apêndice V. Eletrização Estática .... o ••••••• o o o o • o o ••• o ••••••••• 496
Respostas dos Problemas Ímpares o • 0'0 o •••• o • o • o o o • o o •••••• 498
índice Analítico o ••• o o •••••• o •• o •• o •• o ••• o o • o o •• o o ••••••••• 507
,.
PREFACIO
Embora as equações de Maxwell tenham sido formuladas há aproximadamente cem
anos atrás, o conteúdo do eletromagnetismo 'não permaneceu estático. Estudantes do ci-
cio profissional de graduação em ciências, a quem dedicamos nossa atenção, estudam
atualmente o conteúdo com uma compreensão qualitativa dos fenômenos atômicos. Ao
mesmo tempo, têm adquirido uma bóa base em matemática e, pela primeira vez, estão em
condições de resolver alguns dos problemas importantes da física clássica. Desenvolveu-se
o presente volume através do ensmo em cursos de eletricidade e magnetismo para alunos
de física no Case Institute of Technology e no Dartmouth College. Um curso de eletro-
magnetismo é bastante adequado para um desenvolvimento dos conceitos de análise ve-
torial, equações diferenciais parciais e problemas com valores de contorno. As seções que
envolvem estas técnicas estão escritas de tal forma que para compreendê-Ias faz-se necessá-
rio apenas um pequeno conhecimento prévio do seu conteúdo.
Acreditamos que a estruturação da eletricidade e do magnetismo a partir das leis
experimentais básicas seja o procedimento correto no nível intermediário e seguimos este
caminho através de uma rigorosa exposição dos fundamentos. Também tivemos o cuidado
de incluir uma quantidade considerável de exemplos apropriados para suprir a lacuna en-
tre o desenvolvimento formal do conteúdo e os problemas. Uma compreensão completa
dos campos elétrico e magnético no interior da matéria só poderá ser obtida após a apre-
ciação da natureza atômica dos materiais. Em conseqüência, usaremos com liberdade con-
ceitos atômicos elementares no desenvolvimento da teoria macroscópica.
Preferimos discutir o campo elétrico estático em um meio material imediatamente
após ao campo elétrico no vácuo e discutimos o campo magnetostático de maneira seme-
lhante. O leitor pode, entretanto, estudar ambos os casos, no vácuo, em conjunto, antes
de considerar os campos elétrico ou magnético na matéria, deixando os Capítulos 4,5,6,
7 (exceto as Seções 7.1 e 7.2),9 e 10 para ler após o Capítulo 8 ou ainda, após o Capítu-
lo 11. Tratou-se o comportamento macroscópico dos dielétricos, condutores, materiais
magnéticos, plasmas e supercondutores em capítulos separados (Capítulos 4,7,9, 14 e
15, respectivamente). Apresentou-se também uma exposição simples da teoria microscópi-
ca destas classes de matéria (exceto dos supercondutores), nos Capítulos 5, 7, 10 e 14.
A terceira edição do livro foi aumentada principalmente pela adição do material re-
lativo às ondas elerromagnéticas. Os dois antigos capítulos das equações de Maxwell fo-
ram desdobrados em cinco capítulos. O livro tornou-se então adaptável a um curso de
13
14 Prefácio
um semestre ou a um curso de dois semestreS, em que o segundo semestre dá ênfase à ge-
ração e propagação da radiação.
Uma grande parte da física móderna (e da engenharia) envolve campos eletrómag-
néticos dependentes do tempo, em que a corrente de deslocamento de Maxwell tem um
papel crucial. Os Capítulos 16 a 20 desenvolvem a aplicação em ondas ~ especialmente a
conexão com a ótica, que é o intervalo de freqüências que está sucedendo atualmente às
microondas no interesse tecnológico. Os Capítulos 16 e 17 ampliam o antigo tratamento
das equações de onda, introduzindo a idéia de transformações de calibre. As noções de
função dielétrica compleXa e índice de refração são enfatizadas, resultando em clareza
conceitual e simplificação de fórmulas. O Capítulo 18 amplia o tratamento dos próble-
mas de valores de contorno, para incluir exemplos de interesse em filtros óticos e guia de
ondas. O Capítulo 19 apresenta a teoria microscópica clássica da propagação de ondas
transversais na matéria (dielétricos, metais, plasmas); é uma extensão dos Capítulos 5 e 7
a campos dependentes do tempo. Também inclui uma exposição simples das relações de
dispersão de Kramers-Kronig para uma função resposta linear. O Capítulo 20, sobre a ge-
ração de radiação por antenas e cargas aceleradas, inclui novo material nos campos de in-
dução, no amortecimento de radiação e no espalhamento de Thomson.
O material no restante do livro foi ligeiramente redistribuído, de forma que a expo-
sição dos campos estáticos e das correntes estacionárias foi completada antes da introdu-
ção da lei de indução de Faraday, no Capítulo 11, seguida por suas aplicações a correntes
que variam lentamente em circuitos c.a., plasmas e supercondutores, nos Capítulos 13,
14 e 15. A formulação relativística do eletromagnetismo foi colocada no final, embora
possa ser estudada em qualquer lugar após o Capítulo 16. Alguns aspectos relativísticos
foram anteCipados em virtude dos novos tratamentos da força magnética (Capítulo 8) e
da lei de Faraday (Capítulo 11).
Outras modificações relacionadas a edições anteriores incluem a introdução da fun-
ção delta de Dirac, no Capítulo 2, e seu uso para simplificar várias deduções posteriores.
As transformações ortogonais foram colocadas num Apêndice, podendo ser estudadas
junto com o Capítulo 1 se assim for desejado. A notação do operadordeI é usada na dife·
renciação de vetores. Todas as tabelas de dados e referências a outros livros foram atuali-
zadas e unidades e notações do SI são usados sistematicamente do início ao fim (contudo,
também se fez referência às unidades gaussianas, uma vez que elas são largamente usadas
na literatura física corrente). Um resumo no fim de cada capítulo identifica as idéias e
fórmulas-chaves e cerca de cento e trinta problemas adicionais aplicam e ampliam os
conceitos.
Como ajuda ao leitor, os problemas mais difíceis estão indicados por um asterisco.
As seções e os capítulos do texto que estão assinalados com asterisco não são essenciais
ao desenvolvimento posterior e poderão ser omitidos se o curso, por alguma razão, for
abreviado.
Dearbom, Michigan
Co/umbus, Ohio
Hanover, New Hampshire
J. R. R.
F. J. M.
R. W.C.
CAPÍTULO 1
ANÁLISE VETORIAL
No estudo da eletricidade e do magnetismo, pode-se conseguir uma grande simplifi-
cação na complexidade da notação, utilizando-se a notação da análise vetorial. Ao propor-
cionar esta valiosa taquigrafia, a análise vetoria] também eleva, a primeiro plano, as idéias
físicas expressas pelas equações. O objetivo deste capítulo é dar uma breve, mas completa,
exposição da análise vetorial básica e proporcionar um conhecimento mais útil do campo
que seria necessário para um tratamento da eletricidade e do magnetismo. Aqueles que já
estiverem familiarizados com a análise vetorial verão que é uma revisão útil e uma introdu-
ção à notação do texto.
1-1 DEFINIÇÕES
No estudo da física elementar, várias espécies de quantidades têm sido encontradas;
em particular, fez-se a divisão em vetores e escalares. Para a finalidade que temos em vista
será suficiente definir um escalar da seguinte forma:
Um escalar é uma quantidade completamenze determinada por sua magniTude.
Exemplos de escalares são numerosos: massa, tempo, volume, etc. Uma simples ex-
tensão da idéia de um escalar é um campo escalar, isto é, uma função da posição que está
completamente especificada por sua magnitude em todos os pontos do espaço.
Um vetor pode ser definido como segue:
Um vetar é uma quantidade que está completamente caracterizada por seu módulo, direção e
sentido.
Como exemplos de vetores, citamos posição a partir de uma origem fixa, velocidade, ace-
leração, força, etc. A generalização para um campo vetoria] dá uma função da posição que
está completamente especificada por seu módulo, direção e sentido em todos os pontos
do espaço.
Estas definições podem ser mais precisas e ampliadas; na realidade, no Apêndice I
elas são substituídas por definições mais sutis em termos de propriedades de transforma-
ção. Além disso, espécies mais complicadas de quantidades, como os tensores, são às vezes
encontradas. Escalares e vetores serão contudo suficientes aos nossos propósitos até o
Capítulo 22.
15
/
16 Análise Vetorial
1-2 ÁLGEBRA VETORlAL
Como a álgebra dos escalares é familiar ao leitor, usá-la-emos para desenvolver aál-
gebra vetorial. Para continuar com este desenvolvimento convém possuir uma representa-
ção de vetores e, com este propósito, introduzimos um sistema coordenado cartesiano tri-
dimensional. Este sistema tridimensional será representado pelas três variáveis x,y, Z ou,
quando for mais conveniente, XI, X2, X3' Com respeito a este sistema de coordenadas, um
vetor será especificado por suas componentes X-, y- e Z-. Assim, um vetor* V será especifi-
cado por suas componentes Vx, Vy, Vz,onde Vx = IVI cos ai, Vy = IVI cos a2, Vz = IVI
cos a3, sendo a os ângulos entre V e os eixos coordenados apropriados. O escalar IV I =
VV~ + V~ + vi é o módulo do vetor V, ou seu comprimento. No caso dos campos veto-
riais, cada uma das componentes deve ser considerada como uma função de x,y e z. Deve-
se salientar aqui que introduzimos uma representação de vetores relativos a um sistema de
coordenadas cartesianas somente para simplificar e facilitar a compreensão; todas as defi-
nições e operações são, na realidade, independentes de qualquer escolha especial de coor-
denadas ..
Define-se a soma de dois vetares como o vetar cujas componentes são as somas das
componentes correspondentes dos vetores originais. Assim, se C for a soma de A e B, es-
creveremos
e
C=A+B (1-1)
( 1-2)
Esta definição da soma vetorial é completamente equivalente à conhecida regra do parale-
logramo para a adição de vetares.
Define-se a subtração vetarial em termos do negativo de um vetor, que é o vetor cu-
jas componentes são os negativos das componentes correspondentes do vetar original. As-
sim, se A for um vetor, - A será definido por
0-3)
A operação de subtração é então definida como a adição do negativo; o que é expresso
como
A-B=A+(-B). (1-4)
Uma vez que a adição de números reais é associativa e comutativa, segue-se que a
adição vetorial (e a subtração) também será associativa e comutativa. Na notação vetorial
isto se apresenta como
- A + (B + C) = (A + B) + C = (A + C) + B = A + B + C. (1-5)
Em outras palavras, os pllrênteses não são necessários, como se mostra na última forma.
Passando agora ao processo da multiplicação, notamos que o produto mais simples é
* As quantidades vetoriais serão impressas em negrito.
Álgebra Vetorial 17
o de um escalar multiplicado por um vetar. Esta operação tem como resultado um vetor
cujas componentes são o escalar multiplicado pela componente correspondente do vetor
original. Se c for um escalar e A um vetar, o produto cA será um vetar, B = cA, definido
por 1'.
(1-6)
É claro que se A for um campo vetorial e c um campo escalar, então B será um novo cam-
po vetorial que não é necessariamente um múltiplo constante do campo original.
Se, agora, dois vetares forem multiplicados, haverá duas possibilidades, conhecidas
como produtos escalar e vetorial. Consideqmdo em primeiro lugar o produto escalar, no-
tamos que este nome provém da natureza escalar do produto, apesar de os nomes alterna-
tivos, produto interno e produto ponto, serem algumas vezes usados. A definição do pro-
duto escalar, expresso por A • B, é
(l- 7)
Esta definição é equivalente à outra, talvez mais familiar, a saber: o produto dos módulos
dos vetores originais m,ultiplicado pelo co-seno do ângulo entre estes vetores. Se A e B fo-
rem perpendiculares um ao outro,
A·B=O
o produto escalar é comutativo. O comprimento de A é
IAI=~.
O produto vetorial de dois vetares é um vetar, o que explica o nome. Nomes alter-
nativos também usados são produtos externo e produto cruz. O produto vetorial é expres-
so por A x B; se C for o produto vetorial de A e B, então C = A x B, ou
Cx =AyBz - AzBy, Cy =AzBx - AxBz, Cz =AxBy - AyBz. (1-8)
É importante notar que o produto vetorial depende da ordem dos fatores; a troca da or-
dem introduz um sinal negativo:
Bx A=-Ax B
Conseqüentemente,
A x A =0.
Esta definição é equivalente à seguinte: o produto vetaria! é o produto dos módulos mul-
tiplicado pelo seno do ângulo entre os vetores originais, sendo o sentido dado pela regra
do parafuso de rosca direita (ou da mão direita)*.
O produto vetorial pode ser facilmente recordado em termos de um determinante.
Se i, j e k forem vetores unitários, isto é, vetares de módulo unitário, nas direções e senti-
•
Suponhamos que A gira até B pelo menor ângulo possível. Um parafuso de rosca direita girado
desta forma avançará numa direção perpendicular tanto a A como a B; o sentido déste ávanço é
o sentido de A X B. -
18 Análise Ve torial
dos positivos de x,y, z, respectivamente, teremos
i j k
A x B = I Ax Ay Az
Bx By Bz
(1-9)
~ ~e este determinante for resolvido pelas regras usuais, o resultado será precisamente nossa~efinição de produto vetorial.
\ As operações algébricas expostas acima podem ser combinadas de muitas formas. A
maioria dos resultados assim obtidos é óbvia; entretanto, há dois produtos triplos de im-
portância suficiente para merecer menção explícita. Vê-se facilmente que o produto esca-
lar triploD = A • B x C é dado pelo determinante
AxAyAz
D = A • B x C = I Bx
ByBz I = - B . A x C.
CxCyCz
(1-10)
Este produto não varia ao se fazer a permuta entre o ponto e a cruz ou uma permutação
cíclica dos três vetores; parênteses não são necessários, uma vez que o produto vetorial de
um escalar por um vetor não está definido. O outro produto triplo interessante é o produ-
to vetorial triplo O = A x (B x C). Através de uma aplicação repetida da definição de pro-
duto vetorial, Eq. (1-8), obtemos
o = A x (B x C) = B(A . C) - C(A • B), (l-lI)
que é freqüentemente conhecida como regra do fator médio. Deve-se observar que no pro-
duto vetorial os parânteses são vitais; sem eles, o produto não ficará corretamente defini-
do.
Neste ponto poder-se-ia perguntar sobre a possibilidade da divisão vetorial. A divi-
são de um vetar por um escalar pode ser naturalmente definida como a multiplicação pe-
lo recíproco do escalar. A divisão de um vetar por outro vetar, no entanto, somente será
possível se os dois vetores forem paralelos. Por outro lado, é possível expressar soluções
gerais de equações vetoriais e, desta forma, efetuar algo parecido com a divisão. Conside-
remos a equação
c=A' X, (1.12)
(1-13)
onde c é um escalar conhecido, A é um vetor conhecido e X é um vetor desconhecido.
Uma solução geral desta equação é
cAX=-- +B
A· A '
onde B é um vetar de módulo arbitrário, perpendicular a A, isto é, A • B = O. O que fize-
mos, foi muito semelhante a dividir c por A; mais corretamente, achamos a forma geral
do vetor X que satisfaz a Eq. (1-12). Não existe uma solução única e este fato explica o
vetor B. Do mesmo modo, podemos considerar a equação vetorial
C=A x X, (1-14)
onde A e C são vetores conhecidos e){ é um vetar desconhecido. A solução geral desta
equação será
(1 -16)
(1 -17b)
(1-l7c)
Gradiente 19
CxA
X = -~ + kA (1-15)A'A
se C ' A = O, onde k é um escalar arbitrário. Se C • A "* O não existirá nenhuma solução.
Isto, novamente, é quase o quociente de C por A; o escalar k leva em conta a não unicida-
de do processo. Se X for necessário para satisfazer tanto a Eq. (1-12) como a Eq. (1-14),
então o resultado será único (se existir) e dado por
X=CxA +~.
A'A A'A
1-3 GRADIENTE
As extensões das idéias introduzi das acima para a diferenciação e a integração, isto
é, para o cálculo vetorial, serão consideradas agora. A mais simples destas é a relação entre
um campo vetorial particular e as derivadas de um campo escalar. É conveniente introdu-
zir em primeiro lugar a idéia da derivada direcional de uma função de diversas variáveis.
Isto e'-e~atamente a taxa de variação da função em uma direção e sentido especificados. Aderivada 'ciirecional de uma função escalar I{) é usualmente representada por dl{)/ds; deve ser
entendido \flue ds representa um deslocamento infinitesimal na direção e sentido conside-
rados e que ds é o valor escalar de ds. Se ds tiver por componentes dx, dy, dz então
dcp = Iim cp(x +L1x, y + L1y, Z + L1Z) - cp(x. y. z)
ds ,is~o L1s
ocp dx ocp dy àcp dz--+--+--
ox ds oy ds cz ds'
Para esclarecer a idéia de uma derivada direcional, consideremos uma função escalar
de duas variáveis. Então, I{)(x,y) representa um campo escalar bidimensional. Podemos
construir o gráfico de I{) como função de x e y da mesma forma que na Fig. l-I foi feito
para a função I{) (x, y) = X2 + y2 . A derivada direcional no ponto Xo, Yo depende da dire-
ção e do sentido. Se escolhermos o sentido correspondente a dy/dx = - xo/Yo, obteremos
dCPI ocpdx ocpdy [ xo]dX' ()
- = -~. + - - = 2xo - 2yo - - = O. 1-l7a
ds xO.yo ox ds oy ds Yo ds
Alternativamente, se escolhermos dy/dx =Yo/xo, obteremos
dcp I ( Y6 ) x6 ,j 2 2-d = 2xo + 2 - 2 2 = 2 Xo + Yo,s XO.yo Xo Xo + Yo
uma vez que ds = v'(dx)2 + (dy)2. Como uma terceira possibilidade, escolhemos dy/dx =
Q, então
dCPI
- = (2xo + 2ayo)(1 + a2( 1/2.
ds Xo.yo
Se este resultado for diferenciado em relação a Q e a derivada feita igual a zero, o valor de
Q para o qual a derivada terá um máximo ou um mínimo terá sido achado. Quando efe-
tuarmos estas operações, obteremos Q = Yo/xo que significa simplesmente que a direção
de máxima taxa de variação da função I{) = X2 + y2 é a direção radial. Se o sentido for ra-
dialmente para fora, então o máximo será a taxa máxima de crescimento; se for radial-
/'
20 Análise Vetorial
mente para dentro .será uma taxa máxima de decréscimo ou taxa mínima de crescimento.
Na direção especificada por dyjdx = - xo/Yo, a taxa de variação de X2 + y2 é zero. Esta
direção é tangente ao círculo X2 + y2 = x6 + y6. Evidentemente, nesta curva, ..p = X2 +
y2 não varia. A direção em que d..p/ds se anula dá a direção da curva ..p= constante através
do ponto considerado. Estas linhas, que são círculos no caso da função X2 + y2 , sã~ com-
pletamente análogas às já familiares linhas de nível, ou linhas de altitude constante, que
aparecem nos mapas topográficos. A Fig. 1-2 ilustra a função <{! = X2 + y2 reconstituída
graficamente como uma curva de nível.
cp
-y I/
Figura l-I Gráfico da função .p(x,y) = x' +
y' em função de x e y em três dimensões.
Pode-se generalizar a idéia das curvas de nível estendendo-a a uma função de três va-
riáveis, em cujo caso as superfícies ..p(x,y, z) = constante são denominadas superficíes de
n(vel ou superf(cíes eqüipotenciais. O análogo tridimensional da Fig. 1·2 é a única manei-
ra prática de representar graficamente um campo escalar num espaço tridimensional.
!J
Figura 1-2 Função .p(x,y) da Fig. I-I expressa
em forma de curvas de nívélem duas dimen-
sões.
Gradiente 21
Pode-se agora definir o gradiente de uma função escalar como segue:
o gradiente de uma função escalar <p é um vetar cujo módu/o é a derivada direcional máxima no
ponto considerado e cujo senrido é o sentido da derivada direcional máxima neste ponto.
É claro que o gradiente tem uma direção normal à superfície de nível de 'P através do pon-
to em consideração. Os símbolos mais comuns para o gradiente são V e grad; destes, usa-
remos de preferência o último. Em termos de gradiente, a derivada direcionaJ é dada por
dep
- = I grad ep I cos e, (I-18)
ds
onde e é o ângulo entre o sentidre- ds e o sentido do gradiente. Isto é imediatamente
evidenciado pela geometria da Fig. 1-3. Se expressarmos o deslocamento vetorial de mó-
dulo ds por ds, a Eq. (I -18) poderá ser escrita como
dep ds
- = grad ep . -. (1-19)ds ds
Esta equação permite-nos achar a forma explícita do gradiente em qualquer sistema de co-
ordenadas em que conheçamos a forma de ds. Sabemos que, em coordenadas retangulares,
ds = idx +j dy + k dz. Também sabemos que
oep oep oep
dcp = ~ dx + - dy + ~ d:.
ox oy oz
Figura 1-3 Partes das duas superfícies de nível da
função 'fJ!:, y, z). O Igrad <p1 em P é igual ao limite
de !l<p/PQ quando PQ ...• O e d<p/ds é o limite coro'
responden te de !l'{'IPS ..
Desta e da Eq. (1-19), segue-se que
oq; ocp ccp
-o dx + -o dy + ~ dz = (grad ep)x dx + (grad q;)y dy + (grad cp L d:.x y 02
I'
Figura 1-4 Definição das coordenadas pola-
resr,e,q,.
22 Análise Vetorial
Igualando os coeficientes das diferenciais das variáveis independentes em ambos os lados
da equação, obtemos
d . aep . aep k aepgra ep = I - + j - + -
ax ay az
(1-20)
em coordenadas retangulares. Num caso mais complicado, o procedimento é o mesmo.
Em coordenadas polares esféricas, com r, e, cp como são definidos na Fig. 1-4, temos
e
aep aep aep
dep = ar dr +ae de + adJ d<jJ,
ds = ar dr + aer de + a.pr sen e d<jJ,
(1-21 )
(1-22)
onde aro ae e arp são vetares unitários nas direções e sentidos positivos de r, e e cp respecti-
vamen te. Aplicando a Eq. (1-19) e igualando os coeficientes das variáveis independentes,
temos
aep 1 aep 1 aep
grad ep = ar a; + ae -; 2e + acl> r sen e 2<jJ
em coordenadas esféricas.
(1-23)
1-4 INTEGRAÇÃO VETORIAL
Existem naturalmente outros aspectos da diferenciação que envolvem vetares; en-
tretanto, convém discutir em primeiro lugar a integração vetorial. Dentro do nosso objeti-
vo, podemos considerar três tipos de integrais: de linha, de superfície e de volume, de
acordo com a natureza da diferencial que aparece na integral. O integrandopode ser um
vetar ou um escalar; entretanto, certas combinações de integrandos e diferenciais dão ori-
gem a integrais sem interesse. As de maior interesse aqui são a integral escalar de linha de
um vetor, a integral escalar de superfície de um vetor e as integrais de volume de vetares
e escalares ..
Se F for um vetar, a integral de linha de F será expressa como
b
r F' dI, (1-24)
'ac
onde C é a curva ao longo da qual a integração é efetuada, a e b são os pontos inicial e fi-
nal da curva e di é um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva C. Como
F • dl é um escalar, está claro que a integral de linha é um escalar. A definição da integral
de linh~ é muito semelhante à definição de Riemann da integral definida. O segmento de
C entre a e b é dividido num grande número de pequenos incrementos Doli; para cada in-
cremento é escolhido um ponto interior e determinado o valor de F neste ponto. O pro-
duto escalar de cada incremento com o valor correspondente de F é determinado e a soma
destes computada. Define-se então a integral de linha como o limite desta soma à medida
que o número de incrementos se toma infinito, de forma a que cada incremento tenda a
zero. Pode-se expressar compactamente esta definição como
b N
J F· di = lirnI Fi' .1li·
Qc N-oo 1=1
lntegração Vetorial 23
É importante observar que a integral de linha em geral não depende apenas dos pontos ex-
tremos a e b mas também da curva C ao longo da qual se realiza a integração. A integral
de linha ao longo de uma curva fechada é de considerável importância, de maneira que
uma notação especial é usada, isto é,
f F· dI.. c (1.25)
A integral em tomo de uma superfície fechada pode ser zero ou não; a classe de vetares
para a qual a integral de linha em tomo de qualquer curva fechada é nula, é de grande in-
teresse. Por esta razão, freqüentemente se encontram integrais em tomo de percursos fe-
chados não indicados, por exemplo,
(1-26)
Esta notação é útil apenas nos casos em que a integral é independente do contorno C den-
tro de limites bastante amplos. Se qualquer ambigüidade for possível, será conveniente es-
pecificar o contorno. O procedimento básico para a solução de integrais de linha consiste
em obter uma descrição com um parâmetro da curva e então usar esta descrição para ex-
pressar a integral de linha como a soma de três integrais ordinárias unidimensionais. Em
todos os casos, exceto os mais simples, este é um procedimento longo e tedioso; mas, fe-
lizmente, raras vezes se torna necessário resolver as integrais desta forma. Como veremos
posteriormente, muitas vezes é possível mostrar que a integral de linha não depende da
trajetória entre os pontos extremos. Em último caso, pode-se escolher um percurso sim-
ples para simplificar a integração.
Se F for novamente um vetar, uma integral de superfície de F será expressa como
(1-27)
f F· n da.s
( F· n da,
'S
onde S é a superfície sobre a qual se efetua a integração, da é uma área infinitesimal em S
e n é uma normal unitária a da. Há uma dupla ambigüidade na escolha de n, que será eli-
minada, considerando-se n como sendo a normal dirigida para fora se S for uma superfície
fechada. Se S não for uma superfície fechada e for finita, terá um contorno, e o sentido
da normal será importante somente em relação ao sentido arbitrário positivo de atravessar
o contorno. O sentido positivo da normal é aquele em que um parafuso de rosca direita
avançaria se fosse girado no sentido positivo da curva de contorno. Isto está ilustrado na
Fig. l-S. A integral de superfície de F sobre uma superfície fechada S é, às vezes, repre-'
sentada por
Figura 1-5 Relação da normal n a uma su-
perfície e o sentido de giro do contorno.
24 Análise Vetaria!
Podem-se fazer comentários iguais aos feitos para a integral de linha para a integral de su-
perfície. Esta integral de superfície é evidentemente um escalar; depende geralmente da
superfície S e os casos em que não depende desta são particularmente importantes. A de-
finição da integral de superfície é feita de uma forma comparável à da integral de linha.
Apresentar-se-á como exercício essa formulação' pormenorizada.
Se F for um vetar e <pum escalar, então as duas integrais de volume em que estamos
interessados serão
J = r <p dv, K = f F dv. (1-28)·v v
Evidentemente, J é um escalar e K, um vetor. As definições destas integrais reduzem-se ra-
pidãmente à integral de Riemann em três dimensões exceto que em K se deve notar a exis-
tência de uma integral para cada componente de F. Estas integrais são suficientemente fa-
miliares de modo que não exigem nenhum outro comentário.
1-5 DIVERGENTE /
Um outro operador importante, que é essencialmente uma derivada, é o operador
divergente. O divergente do vetar F, escrito div F, é definido como segue:
O divergente de um vetor é o limite de sua integral de superflcie por unidade de volume quando
o. volume encerrado pela superflcie tende a zero. Isto é,
div F = lim ~, F· n da.v-o V Js
É incontestável que o divergente é uma função escalar puntual (campo escalar) que se de-
fine no ponto limite da superfície de integração. A definição acima tem várias vantagens:
é independente de qualquer escolha especial do sistema de coordenadas e pode ser usada
para encontrar a forma explícita do operador divergente em qualquer sistema particular
de coordenadas.
O elemento de volume t.x t.y t.z dá, em coordenadas retangulares, uma base con-
veniente para encontrar a forma explícita do divergente. Se um vértice do paralelepípedo
retangular se localizar no pon to Xo ,y o, zo, então
FAxo + ~x, y, z) = F,,(xo. y, z) + ~x oFx I 'ox xo.y.z
oF IFAx, Yo + ~.v, .:) = Fl'(, Yo, .:) + ~y -;;: ,Y x.yo.: (1-29)
eF_,
FJ\:, y, Zo + ~z) = FJ\:. y. zo) + ~z -- ,
. cz X.y.=o
onde termos de ordem maior em t.x, t.y e t.z foram omitidos. Como o elemento de área
.Lly.LlZ é perpendicular ao eixo x, t.z .LlX é perpendicular ao eixo y e t.x t.y é perpendi-
cular ao eixo z, a definição do divergente toma-se
div F = Iim A } -A \1 r F,,(xo, y, .:) dy d.:v-o uX uy uz .
+ ~x ~y ~z a~x + I Fl\:, Yo, z) dx dz
r
\
Divergente 25
3F -
+ Llx Lly Ll:a~~' + J FAx, y, zo) dx dy
?F_ I-+ Llx Lly Ll: ~ - FAxo. y, z) dy d:r: .
- r Fl', Yo, :) dx d: - J FJ" y, ':0) dx dY). (1-30)
o sinal menos associado com os últimos três termos expli6~ fato de que a normal dirigi-
da para fora está, nestes casos, no sentido negativo dos eixos. O limite é facilmente obtido
e o divergente encontrado, em coordenadas retangulares,_ é
d' F ?Fx ?Fy 2F= (131)lV = - + -~- + --~-. -
2x cy c.:
Em coordenadas esféricas, o procedimento é semelhante. O volume encerrado pelos
intervalos de coordenadas Llr, b.8, b.q; é escolhido como volume de integração. Este volu-
me é r2 sen 8 b.r b.8 b.cp. Como a área encerrada pelos intervalos de coordenadas depende
dos valores das coordenadas (note-se que este n-ão é o caso das coordenadas retangulares),
é melhor escrever F • n b.a em sua forma explícita:
(1-32)
É evidente, através desta expressão, que r2 Fr sen 8, ao invés de somente F" deve ser des-
dobrado em série de Taylor. De maneira semelhante, é o coeficiente dos produtos dos in-
tervalos de coordenadas que deve ser expandido em outros termos. Fazendo estas expan-
sões e usando-as para calcular a integral de superfície na definição do divergente, obtemos
div F = lim 2 8 ~ Ll8 LleP 1\: (F,r2 sen 8) Llr Ll8 LlePv-o r sen r vr
a a \
+ ao (For sen O) LlO Llr LleP + oqy (F c/> r) Llqy Llr LlO r
Tomando o limite, a forma explícita do divergente, em coordenadas esféricas, é
(1-33)
(1-34). 1 a 2 1 a ) 1 aF 4>
dlv F ="2 --;-(r Fr) + --O .::l0 (sen OFo + --O .::lr/-,'r vr r sen v r sen v 'I'
Este método de encontrar a forma explícita do divergente é aplicável a qualquer sistema
de coordenadas contanto que as formas dos elementos de volume e de superfície ou, alter-
nativamente, os elementos de comprimento sejam conhecidos.
Compreende-se logo o significado físico do divergente através de um exemplo toma-
do da mecânica dos fluidos. Se V for a velocidade de um fluido, dado comofunção da po-
sição, e p for sua densidade, então 1sPV • n da será evidentemente a quantidade líquida
de fluido, por unidade de tempo~ que deixa 0_ volume encerrado por S. Se o fluido for in-
compressível, a integral de superfície medirá a fonte total de fluido encerrada pela super-
fície. A definição anterior do divergente indica, então, que o mesmo pode ser interpreta-
do como o limite da intensidade da fonte por unidade de volume, ou a densidade da fonte
de um fluido incompressível.
26 AnáliseVetorial
Pode-se agora enunciar e demonstrar um teorema extremamente importante que en-
volve o divergente.
Teorema do divergente.A integral do divergente de um vetor sobre um volume V é igual à
integral de superficie da componente normal do vetor sobre a superficie que limita V. Isto é,
r div F dv =h F' n da.'v Js
Consideremos o volume a ser subdividido num grande número de pequenas alulàs~eja
LiVi o volume da célula de ordem i e suponhamos que o mesmo esteja limitado pela su-
perfície Si' É evidente que
~ti F . n da = t F . n da, (1-35)
onde em cada integral da esquerda, a normal se dirige para fora do volume considerado.
Como o sentido para fora de uma célula é o sentido para dentro da célula adjacente apro-
priada, todas as contribuições do lado esquerdo da Eq. (1-35) se cancelam, exceto as que
provêm da superfície S. Assim a Eq. (1.35) está essencialmente demonstrada. Obtém-se
agora o teorema do divergente fazendo o número de células ir ao infinito de forma a que
o volume de cada célula tenda a zero.
js F· n da = ~~i~O ~ (Li1V;.fsi F' n da}~V;. (1-36)
No limite, a soma sobre i converte-se numa integral sobre Ve a razao entre a integral so-
bre Si e LiVi toma-se o divergente de F. Assim,
1 F· n da = r div F dv, (1-37)Js 'V
que é o teorema do divergente. Teremos, freqüentemente, ocasião para tirar partido deste
teorema, tanto no desenvolvimento de aspectos teóricos da eletricidade e magnetismo
quanto na resolução prática de integrais.
1-6 ROTACIONAL
O terceiro operador vetorial diferencial que interessa é o rotacional. O rotacional de
um vetar, expresso por roí F, é definido como segue:
(1-38)
o rotacional de um vetor é o limite da razão entre a integral de seu produto vetarial com a
normal dirigida para fora. sobre uma superficie fechada. e o volume encerrado pela superficie
quando o volume tende a zero. Isto é,
1 .
roí F = lim - f n X F da.v-o V,s
É incontestável o paralelismo entre esta definição e a definição do divergente; ao invés do
produto escalar do vetor com a normal dirigida para fora. tem-se o produto vetaria!. No
mais, as definições são iguais. Uma definiçao diferente, mas de igual valor. será mais útil.
Esta definição alternativa é
(1-39)
I .
a • roí F = lim -5~ F' di,s-o 'c
A componente do rot F na direça-o do vetar unitán'o a é o limite de uma integral de linha por
unidade de área. quando a área encerrada tende a zero, sendo esta área perpendicular a a.
Isto é.
(1-40)
Rotacional 27
onde a curva C, que limita a superfície 5, está em um plano normal a a. É fácil ver a equi-
valência das duas definições, considerando uma curva plana C e o volume varrido por esta
curva quando esta for deslocada uma distância ~ na direção da normal a seu plano, como é
ilustrado na Fig. 1-6. Se a for normal a este plano, então, tomando-se o produto escalar
de a com a primeira definição do rotacional, Eq. (1-38), obtemos
1· ~
a . rot F = Iim -1 a' n x F da.
v-o V. s
)
~
IL
Figura 1-6 Volume varrido pelo desloca-
mento da curva plana C no sentido de sua
normal, a.
Como a é paralelo à normal em toda a superfície Iimitadora, exceto na estreita faixa Iimi.
tada por C e C', somente se deve considerar a integral sobre esta superfície. Observamos
que nesta superfície a x n da é exatamente ~ dI, onde dI é um deslocamento infinitesi-
mal ao longo de C. Uma vez que, além disso, V = ~5, limite da integral de volume, é exa-
tamente
. 1
a . rot F = lim 's t çF . di,1'-0 ç .
que se reduz à segunda forma de nossa definição após o cancelamento dos ~. Pode-se de-
monstrar esta equivalência sem o emprego do volume especial utilizado aqui; entretanto,
fazê-Ia assim, sacrifica muito a simplificação do que demonstramos anteriormente.
A forma do rotacional em vários sistemas de coordenadas pode ser calculada de ma-
neira semelhante à do divergente. Em coordenadas retangulares, é conveniente o volume
~x ~y ~z. Para a componente x do rotacional, somente contribuem as faces perpendicu-
lares aos eixos y e z. Recordando que j x k = -k x j = i, as contribuições não elimináveis
das faces do paralelepípedo à componente x do rotacional, dão
(rot F)x = Iim ~ {[- Fy(x, y, ;: + L1z) + FAx, y, z)] L1x L1yv-o V
+ [FAx, y + L1y, z) - FAx, y, z)] L1x L1z}. (1-41)
Fazendo-se uma expansão em série de Taylor e tomando-se o limite, obtém-se
(rot F)x = ê!z _ O!y (1-42)
0)1 oz
para a componente x do rotacional. As componentes y e z podem ser obtidas da mesma
forma. São elas
(rot F)y = aF x
az
(rot F)z = aFy
ax (1-43)
28 Análise Vetorial
Pode-se recordar facilmente a forma do rotacional em coordenadas retangulares, se obser-
varmos que ele é justamente a expansão de um determinante três por três, ou seja,
J
k
a
aa
rot F = 1- -
-
2.'( ay2z I (1-44)
Fx Fy F=
o problema de determinar a forma do rotacional em outros sistemas de coordenadas é li-
geiramente mais complicado e é deixado para exercícios como no caso do divergente,
encontramo-nos com um importante e útil teorema que envolve o rotacional, conhecido
como teorema de Stokes.
Teorema de Stokes. A integral de linha de um vetor segundo uma curva fechada é igual à
integral da componente normal de seu rotacional sobre qualquer superfície limitada pela
curva. Isto é,
t F· di = í rot F . n da.- c 'S (1-45)
onde C é uma curva fechada que limita a superfície S. A demonstração deste teorema é
bastante análoga à prova do teorema do divergente. A superfície S é dividida em grande
número de células. A superfície da célula de ordem i é denominada tlSi e a curva que a li-
mita é Ci.Uma vez que cada uma destas células deve ser atravessada no mesmo sentido, é
evidente que a soma das integrais de linha segundo os Ci é justamente a integral de linha
segundo a curva limitadora; todas as outras contribuições se cancelam. Como conseqüên-
cia,
J F· di = L f . F . dI.c i . C;
Falta apenas tomar o limite quando o.número de células tender ao infinito, de modo que
a área de cada uma tenda a zero. O resultado deste processo de limite é
. I .
J F· di = lim L - t F· di ó.Sic àS, -o i ó.Sj,c;
= í rot F . n da.
'S
que é o teorema de Stokes. Tal teorema, assim como o divergente, é útil tanto no desen-
volvimento da teoria eletromagnética, como na resolução de integrais. Talvez valha a pena
observar que ambos os teoremas, o do divergente e o de Stokes, são essencialmente int~-
grações parciais.
1-7 OPERADOR DIFERENCIAL VETORIAL V
Introduziremos agora uma notação alternativa para os três tipos de diferenciação
vetorial que expusemos - ou seja, gradiente, divergente e rotacional. Esta é expressa pelo
operador vetorial diferencial del, definido em coordenadas cartesianas como
Operador Diferencial Vetorial V
V .3 .0 kO=I-+J-+ -;;-.
OX oy c:
29
( 1-46)
DeI é um operador diferencial, já que é usado apenas frente a uma função de (x, y, z), que
ele diferencia; é um vetar, já que obedece às leis da álgebra vetaria!. * Em termos de deI, as
Eqs. (1-20), (1-31) e (1-44) são expressas como segue:
grad = V,
. oq> . oq> k oq;Vq>=I- +J~ + ~.
OX oy c:
div = V',
oFx oF)' oF:V·F=- +- +-,,-.
3x 3y oz
Tot = V x ,
jk
3
oo
V x F = I ox
-
3zoy
Fx
FyFz
(1-20)
(1-31)
(1-44)
/
As operações expressas com deI são independentes de qualquer escolha especial do siste-
ma de coordenadas. Quaisquer identidades que possam ser demonstradas através do uso
da representação cartesiana são independentes do sistema de coordenadas. DeI pode ser
expresso num sistema de coordenadas ortonormais não cartesiano (curvilíneo) de forma
análoga à Eq. (1-46) com os elementos de distância apropriados,mas deve-se relembrar,
ao aplicá-Io, que os vetares em tais sistemas de coordenadas são, eles próprios, funções de
posição e precisam ser diferenciados. ** Os teoremas integrais importantes, de acordo com
as Eqs. (1-19), (1-45) e (1-37), são
b b Ib
f Vq>' di = f dq> = q> = q>b - q>a,
ae a a
f V x F . n da =f F· di,s c
f V· F dv = f F· n da.v s
(1-47)
(1-45)
(1-37)
*
**
É também um vetor em termos de suas propriedades de transformação, como mostrado no
Apêndice L
Uma exposição elementar é feita por H. T. Yang, American Jaurnal af Physics, vaI. 40, p. 109
(1972).
30 Análise Vetoria!
Estes fornecem a integral de uma derivada de uma função, sobre uma região de n dimen·
sões, em termos de valores da própria função nos limites da região de ordem dimensional
(n - 1), para n = 1,2,3. Uma vez que o operador dei obedece às regras da álgebra veto-
rial, é conveniente usá-Io em cálculos que envolvam análise vetorial; daqui por diante, ex-
pressaremos o gradiente, o divergente e o rotacional em termos de V. Deve-se observar
que V será um operador linear:
V(a<p + bt/;) = aV<p + bVt/;,
V' (aF + bG) = aV . F + bV . G,
V x (aF + bG) = aV x F + bV x G,
se a e b forem escalares constantes.
1·8 DESENVOLVIMENTOS ADICIONAIS
As operações que consistem em tomar o gradiente, o divergente ou o ratacional de
espécies apropriadas de campos podem ser repetidas. Por exemplo, faz sentido tomar o di-
vergente do gradiente de um campo escalar. Algumas destas operações repetidas dão zero
para qualquer campo bem-comportado. Um é de tanta importância que tem um nome es·
pecial; os outros podem ser expressos em termos de operações mais simples. Importante
operação dupla é a do divergente do gradiente de um campo escalar. Este operador combi-
nado é conhecido como o operador laplaciano e é usualmente escrito '\{1,
Em coordenadas retangulares,
'\{2 _ 82q>
<p - 8x2 (1-48)
Este operador é de grande importância na eletrostática e será considerado pormenorizada-
mente no Capítulo 3.
O rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é nulo. Verifica-se este enun-
ciado mais facilmente expressando -o em coordenadas retangulares. Se o campo escalar
for .p,
jk
,8
88
= i (Ô2<p _ ô2q> ) + ... = O, (1-49)V x (Vq» = I ox
--
oy
ôz ôy ôz ôz ôy
ô<p
8<poq>
OX
oyoz
o que confirma o enunciado original. Em notação de operadores,
v x V = O.
O divergente de qualquer rotacional é também zero. Isto se verifica diretamente em coor-
Desenvolvimentos Adicionais 31
denadas retangulares, escrevendo-se
(l-50)
ou
v . V x F = V x V . F = O.
Outra possível operação de segunda ordem consiste em tomar o rotacionô,l do rotacional de
um campo vetoria\. Deixou-se como exercício a demonstração de que em coordenadas
retangulares,
onde o laplaciano de um vetor é o vetor cujas componentes retangulares são os laplacia-
nos das componentes retangulares do vetor original. Em qualquer sistema de coordenadas
que não seja o retangular, define-se o laplaciano de um vetor pela Eq. (l.51).
Outra maneira pela qual os operadores diferenciais vetoriais se podem desdobrar
consiste na sua aplicação a vários produtos de dois vetores e escalares. Existem seis possí-
veis combinações de operadores diferenciais e produtos; estão listadas na Tabela l-I.
Estas identidades podem ser facilmente verificadas em coordenadas retangulares, o que
é suficiente para assegurar sua validade em qualquer sistema de coordenadas. Uma deriva-
da de um produto de mais de duas funções, ou uma derivada maior do que a derivada de
segunda ordem de uma função, pode ser calculada por aplicações repetidas das identida-
des da Tabela 1-1, o que se constitui num processo exaustivo. As fórmulas podem ser rá-
cilmente recordadas a partir das regras da álgebra vetorial e da diferenciação ordinária; a
única ambigüidade poderia estar em (1-1-6) onde ocorre F ,V (não V o F).
V x (V x F) = V(V . F) - V2F,
Tabela l-I Identidades Vetoriais Diferenciais
V· Vip::: V2ip
V'VxF=O
V x Vip::: O
V X (V >( F) = V(V . F) - V2F
V(cpifi) = (Vip)ifi + IfJVifi
V(F' G) == (F . V)G + F x (V x G) + (G . V)F + G x (V x F)
V ' (IfJF) = (Vq;) . F + IfJV. F
V· (F x G)::: (V x F) . G - (V x G)' F
V x (cpF) = (Vip) x F + lfJV x F
V x (F x G) = (V' G)F - (V' F)G + (G· V)F - (F· V)G
(l-51)
(l-I-I)
(1-1-2)
(l-1-3)
(1-1-4)
(1-1-5)
(1-1-6)
P--1-7)
(l -1-8)
(1-1-9)
(1-1-10)
/
Alguns tipos particulares de funções surgem tantas vezes na teoria eletromagnética
que vale a pena anotar agora suas várias derivadas. Para a função F = r,
V' r = 3,
V x r = O,
G' Vr = G,
V2r = O.
(l-52)
32 Análise Vetarial
Para uma função que depende somente da distância r = Irl = y'x2 +y2 + Z2,
ep(r) ou F(r): V = ~~r dr
Para uma função que depende do argumento A o r, onde A é um vetar constante,
(1-53)
ep(A . r) ou
d
F(A . r): V = A d(A . r)
(1-54)
Para uma função que depende do argumento R = r - r', onde r' é tratado como uma ori-
gem constan te
V = VR;
V -i~ .~ k~
R - ax + J ar + az'
onde R = Xi + Yj + Zk. Se ao invés disso, r for tratado como constante,
V = -V'
onde
(l-55)
(l-56)
V, . a . a k a=1- +J- + -.
ax' ai ez'
Existem várias possibilidades para a extensão do teorema do divergente e do teore-
ma de Stokes. A mais interessante é o teorema de Green, que é
r (lj;VZep - q>Vzlj;) dv = i (lj;Vep - q>Vlj;) . n da.. v . s
Este teorema provém da aplicação do teorema do divergente ao vetor
F = Ij;Vq> - epVIj;.
Usando este F no teorema do divergente, obtemos
(l-57)
L V . [Ij;Vq> - epVIj;] dv ,; t (lj;Vep - epVlj;) • n da. (l-58)
Usando a identidade (Tabela 1-1) para o divergente de um escalar vezes um vetar, temos
(l-59)
Combinando as Eqs. (l-58) e (1-59), obtém-se o teorema de Green. Alguns outros teore-
mas de integrais estão listados na Tabela 1-2.
Isto conclui nossa breve exposição de análise vetaria\. Por concisão, as provas de
muitos resultados foram deixadas como exercícios. Nenhuma tentativa foi feita para al-
cançar um alto grau de rigor; baseou-se o procedimento num critério unicamente utilita-
rista. O necessário foi desenvolvido; tudo mais, omitido.
Problemas 33
Tabela 1-2 Teoremas Integrais Vetoriais
.,s"
f n x Vcp da = { cp dis . c
r Vcp dv = I cpn da. v J s
r v x F dv = f n x F da. v • s
t (V . G + G . V)F dv = L F(G . n) da
(1-2-1)
(1-2-2)
(1-2-3)
(1-2-4)
VxF=
1-9 RESUMO
Três espécies diversas de diferenciação de vetares podem ser expressas pejo opera-
dor diferencial vetorial deI, V, ou seja, gradiente, divergente e rotacional:
V . oqJ - oqJ k oqJqJ=I-+J-+ -
ox oy OZ'
V . F = aF" aFy aF,
ax + ay + az '
J k
o a .0- - -
ox oy oz
Fx F}, Fz
DeI é um operador linear. Suas aplicações repetidas ou suas aplicações a produtos de fun-
ções produzem fórmulas que podem ser deduzidas em coordenadas retangulares mas inde-
pendentes do sistema de coordenadas, Estas podem ser recordadas por meio das regras da
álgebra vetorial e da diferenciação ordinária. As derivadas de algumas funções especiais
merecem ser decoradas. Os teoremas integrais mais importantes relativos às derivadas são:
b Ibt VqJ . dI = qJ .'
r V x F· n da = J ,F· dI, (Teorema de Stokes)
Os Te
J v· F dv = J F' n da. (Teorema do divergente)v ls
que podemos considerar generalizações do teorema fundamental do cálculo.
PROBLEMAS
l-I Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C, D, são
A = i + j + k,
B = 2i + 3j,
C = 3i + Sj - 2k.
D = k - j.
34 Análise Vetorial
Demonstre que as linhas AS e CD são paralelas e encontre a razão entre seus comprimentos.
1-2 Demonstre que os seguintes vetares são perpendiculares:
A = i + 4j + 3k,
B = 4i + 2j - 4k.
1-3 Demonstre que os vetares
A = 2i - j + k,
B = i - 3j - 5k,
C = 3i - 4j - 4k
formam os lados de um triângulo reto.
1-4 Elevando ao quadrado ambos os lados da equação
A=B-C
e interpretando geometricamente o resultado, prove a "lei dos co-senos".
1-5 Demonstre que
A = i cos CI. + j sen 0:,
B = i cos t3 + j sen t3
.'
são vetores unitários no plano xy e formam ângulos a, 13 com o eixo x. Por meio de um produto esca-
lar, obtenha a fórmula cos(a - (3).
1-6 Se A for um vetor constante e r for o vetor que vai desde a origem até o ponto (x,y, z), demons-
tre que
(r-A)'A=O
será a equação de um plano.
1·7 Com A e r definidos como no Problema 1-6, demonstre que
(r-A)'r=O
é a equação de uma esfera.
1-8 Usando o produto escalar, encontre o co-seno do ângulo entre a diagonal principal de um cubo e
uma das arestas do cubo.
1-9 Demonstre a lei dos senos para um triângulo, usando o vetor produto vetoria] com A + C = B.
1·10 Se A, B, C forem vetores que vão desde a origem até os pontos A, 8, C, demonstre que
(A x B) + (B x C) + (C x A)
será perpendicular ao plano A8C.
1-11 Verifique que a Eq. (1-15) é uma solução da Eq. (1-14) por substituição direta. (Observe que a
Eq. (1-14) implica que C seja perpendicular a A.)
1·12 Demonstre que A, B e C não serão linearmente independentes se
A· B x C = O.
Serão os vetares
A = j + 3k,
Problemas 35
B = i - 2k,
C=i+j+k
lineannente independentes?
1-13 Demonstre que o vetor unitário normal à superfície .p(r) = constante é
n = Vrp/IVrpl.
Encontre n para o elipsóide
rp = ax2 + by2 + cz2.
1-14 Encontre o gradiente de .p em coordenadas cilíndricas, sabendo que ds = dr ar + r de ae + dz k.
Deve-se observar que r e e têm aqui significados diferentes dos que apresentam nas Eqs. (1-21) e
(1-22). Em coordenadas esféricas, r é o módu)o do raio vetor a partir da origem e e é o ângulo polar.
Em coordenadas cilíndricas, r é a distância perpendicular a partir do eixo do cilindro e e é o ângulo
azimutal em relação a este eixo.
1-15 A partir da definição do divergente, obtenha uma expressão para V • F'em coordenadas cilíndri-
cas.
1-16 Encontre o divergente do vetor
i(x2 + yz) + j(y2 + :x) + k(Z2 + xy).
Encontre também o rotacional.
1-17 V X F será necessariamente perpendicular a F para toda função vetarial F? Justifique sua respos-
ta.
1-18 Prove que, para duas funções escalares quaisquer,.p e >jJ,
V2(rpljJ) = rpV21jJ + IjJV2rp + 2Vrp • VIjJ.
1-19 Se r for o vetar que vai desde a origem ao pon to (x, y, z), demonstre as fórmulas
V' r = 3; V x r = O; -.(U . V)r = u.
V f(r) = ~d.f
r dr'
(Nota: u é qualquer vetor.)
1-20 Se A for um vetar constante, demonstre que
V(A . r) = A.
1-21 Demonstre as identidades (1-1-7) e (1-1-9) da Tabela l-L
1-22 Se r for o módulo do vetor que vai desde a origem até o ponto (x, y, z) e ter) for uma função ar-
bitrária de r, prove que
}-23 Prove que
1-24 Prove que
V . F(r) = ~. dFr dr'
se!'=A -r.
1-25 Verifique a Eq. (1-51) em coordenadas retangulares, onde V2 F nestas coordenadas está de acor-
do com a definição do texto.
1-26 Demonstre as identidades (1-2-2) e (1-2-4) da Tabela 1-2. (Sugestão: Use o teorema do divergen-
te e uma ou mais identidades da Tabela l-L)
CAPÍTULO 2
ELETROSTÁTICA
2-1 CARGA ELÉTRICA
A primeira observação da eletrificação de objetos por atrito perdeu-se na antiguida-
de; todavia, é experiência comum que ao se esfregar um pente de ebonite com um pedaço
de lã, a ebonite adquire a capacidade de levantar pequenos pedaços de papel. Como resul-
tado do ato de esfregar os dois objetos (estritamente falando, como conseqüência de pô-
Ios em contato), ambos, a ebonite e a lã, adquirem uma nova propriedade; estão carrega-
dos. Esta experiência serve para introduzir o conceito de carga. No entanto, a própria
carga não é criad'a durante este processo; a carga total, ou a soma das cargas nos dois cor-
pos, é ainda a mesma que antes da eletrificação. À luz da física moderna, sabemos que
partículas microscópicas carregadas, especificamente elétrons, são transferidas da lã para
a ebonite, deixando a lã positivamente carregada e o pente de ebonite negativamente car-
regado.
A carga é uma propriedade fundamental e característica das partículas elementares
que constituem a matéria. Com efeito, toda matéria é composta de prótons, nêutrons e
elétrons, e duas destas partículas possuem cargas. Porém, conquanto em uma escala mi-
croscópica a matéria seja composta por grande número de partículas carregadas, as poten-
tes forças elétricas associadas a estas partículas estão muito bem ocultas a uma observa-
ção macroscópica. A razão é que existem duas espécies de carga, a positiva e a negativa, e
um pedaço ordinário de matéria contém quantidades aproximadamente iguais de cada es-
pécie. Do ponto de vista macroscópico, a carga refere-se à carga líquida, ou excesso de
carga. Quando dizemos que um objeto está carregado, queremos dizer que ele tem um
excesso de cargas, um excesso de elétrons (negativo) ou um excesso de prótons (positivo).
Neste e nos capítulos seguintes, a carga será usualmente indicada pelo símbolo q.
Pela observação experimental sabemos que a carga não pode ser criada, nem destruí-
da. A carga total de um sistema isolado não pode variar. Do ponto de vista macroscópico,
as cargas podem ser reagrupadas e combinadas de modos diferentes; todavia, podemos es-
tabelecer que a carga liquida é conservada num sistema isolado.
2-2 LEI DE COULOMB
No final do século dezoito, as técnicas da ciência experimental alcançaram tal sofis-
ticação que permitiram fossem realizadas observações rigorosas das forças entre cargas elé-
tricas. Os resultados destas observações, que foram extremamente polêmicos na época,
36
Lei de Coulomb 37
podem ser resumidos em três afirmativas: (a) Existem duas e somente duas espécies de
carga elétrica, hoje conhecidas como positiva e negativa. (b) Duas cargas puntuais exer-
cem, entre si, forças que atuam ao longo da linha que as une e que são inversamente pro-
porcionais ao quadrado da distância entre elas. (c) Estas forças são também proporcionais
ao produto das cargas; são repulsivas para cargas de mesmo sinal e atrativas para cargas de
sinais opostos. As duas últimas afirmativas, com a primeira como preâmbulo, são conheci-
das como lei de Coulomb em homenagem a Charles Augustin de Coulomb (1736-1806),
que foi um dos principais estudantes de eletricidade do século dezoito. A lei de Coulomb
para cargas puntuais pode ser concisamente formulada segundo a notação vetarial do
Capítulo 1 como
(2-1 )
r12=r1-r2·
onde FI é a força sobre a carga q I, rl2 é o vetor que vai de q2 a ql , '12 é o módulo de rl2
e C é uma constante de proporcionalidade sobre a qual se falará mais tarde. Na Eq. (2-1)
foi formado um veto r unitário na direção e sentido de f12 ao dividir-se r12 por seu módu-
10, um artifício que será usado freqüentemente. Para achar a força que atua sobre q2, é
necessário apenas mudar os índices 1 para 2 e os índices 2 para 1. Entender esta notação
é importante, uma vez que em trabalhos futuros proporcionará uma técnica para seguir o
rastro das variáveis do campo e da fonte.
A lei de Coulomb aplica-se a cargas puntuais. No sentido macroscópico, uma "carga
puntual" é aquela cujas dimensões espaciais são muito pequenas em comparação a qual-
quer outro comprimento pertinente ao problema em consideração; usaremos o termo
"carga puntual" neste sentido. Até onde sabemos, a lei de Coulomb também se aplica às
interações de partículas elementares, como prótons e elétrons. A Eq. (2-1) aplica-se à re-
pulsão eletrostática entre núcleos a distâncias maiores que 10-14 metros, aproximadamen-
te; para distâncias menores, as forças nucleares, intensas, mas de curto alcance, dominam
c""
o quadro.
A Eq. (2-1) é uma lei experimental; contudo, existem evidências, tanto teóricas co-
mo experimentais, que indicam que a lei do inverso dos quadrados é exata, isto é, que o
expoente de '12 é exatamente 2. Por meio de uma experiência indireta, * foi demonstrado
que o expoente de '12 não pode diferir de 2 por mais do que uma parte em 1015.
A constante C na Eq. (2-1) requer algum comentário, uma vez que determina o sis-
tema de unidades. As unidades de força e distância são provavelmente as pertencentes a
um dos sistemas usados na mecânica; o procedimento mais direto aqui seria fazer C = 1 e
escolher a unidade de carga de forma a que a Eq. (2-1) concorde com a experiência. Este é
o procedimento adotado no sistema gaussiano de unidades. Outrosprocedimentos são
também possíveis e podem apresentar certas vantagens; por exemplo, a unidade de carga
pode ser especificada antecipadamente. Em 1901, Giorgi demonstrou que todas as unida-
des elétricas comuns, como o ampere, o volt, o ohm, o henry etc., podem-se combinar
com um dos sistemas mecânicos (o MKS ou sistema metro - quilograma - segundo) para
formar um sistema de unidades para todos os problemas elétricos e magnéticos. Uma van-
* E. R. Williarns, J. E. Faller e H. A. Hill,Phys. Rev. Letters, voI. 26, p. 721 (1971). Experiências
semelhantes foram realizadas anteriormente. Maxwell estabeleceu o expoente 2 com menos de uma
parte em 20.000.
38 Eletrostática
tagem deste sistema é que os resultados dos cálculos que envolvem circuitos elétricos es-
tão nas unidades elétricas que são usadas no laboratório; usaremos o sistema de unidades
MKS racionalizado ou sistema de Giorgi no presente volume, na forma conhecida como SI
(Sistema Internacional). Uma vez que neste sistema, q é medido em coulombs (C), r em
metros e F em newtons (N), é claro que C deve ter as dimensões de newton metro2 por
coulomb2. O valor da unidade de carga, o coulomb, é estabelecido por meio de experiên-
cias magnéticas; isto requer que C = 8,9874 X 109 N • m2 /C2 • Fazemos a substituição
aparentemente complicada, C = I /41T€0, no intuito de simplificar alguma das outras equa-
ções. A constante €o ocorrerá repetidamente, ela é conhecida como a permissividade do
espaço livre e é numericamente igual a 8,854 x 10-12 C2/N • m2• No Apêndice I, as defi-
nições do coulomb, do ampere, da permeabilidade e da permissividade do espaço livre es-
tão relacionadas umas às outras e à velocidade da luz de maneira lógica; como uma formu-
lação lógica destas definições requer um conhecimento dos fenômenos magnéticos e da
propagação da onda eletromagnética, não é apropriado fazê-Ias agora. No Apêndice II ex-
põe-se o sistema gaussiano de unidades. Até o Capítulo 4, todas as fórmulas podem ser
colocadas em unidades gaussianas simplesmente substituindo EO por 1/41T.
Se estiverem presentes mais do que duas cargas puntuais, as forças mútuas serão de-
terminadas pela aplicação repetida da Eq. (2-1). Particularmente, se for considerado um
sistema de N cargas, a força na carga de índice i será dada por
v r
Fi = qi L: 4qj 1, (2-2)j"'i 7Uo Tij
onde a soma à direita se estende sobre todas as cargas, exceto à de índice i. Este é justa-
mente o princípio da superposição de forças, que diz que a força total que atua sobre um
corpo é a soma vetorial das forças individuais que atuam sobre ele.
Uma simples extensão da idéia de N cargas puntuais interagentes consiste na intera-
ção de uma carga puntual com uma distribuição contínua de cargas. Escolhemos delibera-
damente esta configuração para evitar certas dificuldades que poderiam ser encontradas
quando a interação de duas distribuições contínuas de carga fosse considerada. Antes de
prosseguirmos, devemos examinar o significado de uma distribuição contínua de carga.
Sabe-se agora que a carga elétrica é encontrada sob a forma de múltiplos de uma carga bá-
sica: a carga do elétron. Em outras palavras, se qualquer carga fosse examinada minucio-
samente, sua magnitude seria um múltiplo inteiro do valor da carga eletrônica. Para os fins
da física macroscópica, o fato de a carga ser discreta não causa dificuldades, simplesmente
porque a carga eletrônic,a tem um valor igual a 1,6019 x 10-19 C, que é extremamente pe-
queno. A pequenez da unidade básica significa que as cargas macroscópicas são compostas
invariavelmente por um número muito grande de cargas eletrônicas; isto, por outro lado,
significa que numa distribuição macroscópica de carga, qualquer elemento de volume con-
tém um grande número de elétrons. Pode-se então descrever uma distribuição de cargas
em termos de uma função densidade de carga, definida como o limite da carga por unida-
de de volume quando o volume se torna infinitesimal. Entretanto, deve haver cuidado
quando se aplica este tipo de descrição a problemas atômicos, uma vez que, nestes casos,
somente um pequeno número de elétrons estando envolvido, o processo de aplicação do
limite não teria sentido. Deixando de lado estes casos atômicos, podemos proceder como
se um segmento de carga pudesse ser subdividido indefinidamente e descrever a distribui-
ção de cargas por meio de funções puntuais:
Campo Elétrico 39
uma densidade de carga volumétrica definida por
I' 11qp= Im-
.'.•.-0 11 V'
e uma densidade de carga superficial definida por
(J = lim 11q,
t>S-O 115
(2·3)
(2-4)
(2-5)
(2-6)
Do que foi dito a respeito de q, é evidente que p e a são densidades de cq.rga líquida ou de
excesso de carga. Vale a pena mencionar que em materiais sólidos típicos mesmo uma
densidade de carga p muito grande envolverá uma variação da densidade local de elétrons
de aproximadamente uma parte apenas em 109.
Se a carga estiver distribuída num volume V com uma densidade p e, na superfície S
que limita V com uma densidade a, a força exerci da por esta distribuição de cargas sobre
uma carga puntual q, locll.lízada em r, será obtida por meio da Eq. (2-2) pela substituição
de qj por Pj dv; (ou por aj daD, aplicando-se o limite:
q • r - r' q r r - r'
Fq = -4 - I I ' '13 p(r') dv' + -4 - I ,/3 o-(r') da',1Ho'V r-r 1tCo,s r-r
A variável r' é usada para localizar um ponto no interior da distribuição de carga, isto é,
faz o papel do ponto fonte rj na Eq. (2-2). Pode parecer, à primeira vista, que se o ponto
r estiver no interior da distribuição de cargas, a primeira integral da Eq.(2·5) divergirá.
Este não é o caso; a região de integração na vizinhança de r contribui com uma quantida-
de desprezível e a integral é bem-comportada (veja o Problema 2-5).
Está claro que a força sobre q, como é dada pela Eq. (2-5), é proporcional a q; o
mesmo é válido na Eq. (2-2). Esta observação leva-nos a introduzir um vetar campo que é
independente de q, ou seja, a força por unidade de carga. Este vetor campo, conhecido
como campo elétrico, será estudado pormenorizadamente na seção seguinte.
2-3 CAMPO ELÉTRICO
O campo elétrico num ponto é definido como o limite da seguinte razão: a força so-
bre uma carga teste, colocada no ponto, pela carga da carga teste; sendo que o limite to-
mado para o valor da carga teste tende a zero. O símbolo que se costuma empregar para o
campo elétrico é E. Em notação vetorial. a defmição de E torna-se
E = lim Fq,
q-O q
O limite está incluído na definição de E para assegurar que a carga teste não afete a distri·
buição de cargas produzidas por E. Se, por exemplo, uma carga positiva for distribuída
pela superfície de um condutor (um condutor é um material em que a carga se pode mo-
ver livremente), ao trazer-se uma carga teste para a vizinhança deste, a carga sobre o con-
dutor se redistribuirá. Se o campo elétrico for calculado, usando-se a razão entre a força e
a carga para uma carga teste finita, o campo obtido será aquele devido à carga redistribuí-
da, ao invés daquele devido à distribuição de carga original. No caso especial em que uma
das cargas da distribuição de carga pode ser usada como uma carga teste, o uso do limite é
desnecessário. Neste caso, o campo elétrico na posição da carga teste será aquele produzi·
do por todo o restante da distribuição de carga; não haverá, naturalmente, redistribuição
de cargas uma vez que a própria distribuição de carga se obtém sob a influência de toda a
(2-7)
40 Eletrostática
distribuição de cargas, inclusive a carga que está sendo usada como carga teste. Em alguns
outros casos, principalmente naqueles em que a distribuição de cargas é espedficada, a
força será proporcionà1 ao valor da carga. Também nestes casos, o uso do limite é desne-
cessário; entretanto, se existir qualquer dúvida, será sempre melhor aplicar o limite.
As Eqs. (2-2) e (2-5) proporcionam um meio rápido para se obter uma expressão
para o campo elétrico devido a uma já dada distribuição de cargas. Suponhamos que a dis-
tribuição de cargas consista de N cargas puntuais ql, q2,... , qN, localizadas nos pontos
rI, r2, ... , rN, respectivamente, e uma distribuição volumétrica de cargas especificada pe-
la densidade de carga p(r') no volume Ve uma distribuição superficial caracterizada pela
densidade de carga superficial a(r') sobre a superfície S. Se uma carga teste q estiver loca-
lizada no ponto r, ela experimentará uma força F dada por
q N r-r. q' r - r'
F = - L qi '3 + - I ' 13 p(r') dv'
41t(o i=1 Ir - ril 41!(o'v Ir - r
+ _q ( r - r'
41!(o 'S I r - r' 13 O'(r') da',
Ia}
Figura 2·1 Mapeamento de um cam-
po elétrico com o auxIlio de linhas de
força.
(2-9)
Potencial Eletrostático 41
por causa de uma dada distribuição de carga. O campo elétrico em r é o limite da razão
entre esta força e a carga teste q. Como a razão é independente de q, o campo elétrico em
r é exatamente I ,~. I'r-r- r-r
E(r) = 4~ L qi 1 '13 + 4-- I I '13 p(r') dv'11:(0i=1 r-r; 1Uo'V r-r
I - r - r' (2-8)
+ -4 - I, -,'--, 13 a(r') da'.7[(0 . S r - r
A Eq. (2-8) é bastante geral; em muitos casos, um ou mais termos ,não serão necessá-
rios.
A quantidade que acabamos de defmir, o campo elétrico, pode ser calculada em ca-
da ponto do espaço na vizinhança de um sistema de cargas ou de uma distribuição de car-
gas. Então E =E(r) é uma função vetorial puntual, ou um campo vetaria!. Este campo tem
muitas propriedades matemáticas interessantes, que exporemos nas seções seguintes e no
próximo capítulo. Como um auxIlio para visualizar a estrutura do campo elétrico associa-
do com uma distribuição particular de carga, Michel Faraday (1791-1867) introduziu o
conceito de linhas de força. Uma linha de força é uma linha (ou curva) imaginária traçada
de tal forma que sua direção e sentido em qualquer ponto sejam os do campo elétrico na-
quele ponto.
Consideremos, por exemplo, a estrutura do campo elétrico associado a uma só carga
puntual positiva q I. As linhas de força são linhas radiais que se dirigem para fora de q 1_
De forma semelhante, as linhas de força associadas a uma carga puntual negativa isolada
são também linhas radiais mas, neste caso, o sentido é para dentro (isto é, em direção à
carga negativa). Estes dois exemplos são extremamente simples, contudo, ilustram uma
propriedade importante das linhas de campo; as linhas de força terminam nas fontes do
campo elétrico, isto é, sobre as cargas que produzem o campo elétrico.
A Fig. 2-1 ilustra dois campos elétricos simples que foram traçados com o auxI1io
de linhas de força.
2-4 POTENCIAL ELETROSTÁTlCO
Observou-se no Capítulo I que se o rotacional de um vetar se anular, o vetar pode-
rá ser expresso como o gradiente de um escalar. O campo elétrico dado pela Eq. (2-8) sa-
tisfaz este critério. Para verificar isto, observamos que a aplicação do rotacional na Eq.
(2-8) implica diferenciação com re~eito a r. Esta variável aparece na equação somente em
funções da forma (r - r')j Ir - r'l e, portanto, será suficiente demonstrar que funções
desta forma têm rotacional nulo. Usando a fórmula do rotacional do produto (vetor vezes
escalar), da Tabela 1-1, obtemos
r - r' 1 ,[ 1] ,V x -,---;-13= I '13 V x (r - r ) + V I '13 x [r - r].r-r r-r r-r
De um cálculo direto (veja o Problema 1-19) resulta
e (veja o Problema 1-22) em
V x (r - r') = 0,
I r - r'
V I r - r' 13 = - 3 I r - r' 15 .
(2-10)
(2-11)
42 Eletrostática
Estes resultados, juntamente com a observação de que o produto vetorial de um vetor
com um vetor paralelo é nu~o, são suficientes para demonstrar que
r - r'
V x. ,11 = O. (2-12)r - r
Uma vez que cada contribuição da Eq. (2-8) para o campo elétrico é deste tipo, demons-
tramos que o rotacional do campo elétrico é zero. A Eq. (2-12) indica que existe uma fun-
ção escalar cujo gradiente é o campo elétrico, falta achar tal função. Isto é, sabemos agora
que existe uma função que satisfaz
E(r) = - Vep(r), (2-13)
temos, porém, que encontrar ainda a forma da função I.{J. Deve-se observar que é conven-
cional a inclusão do sinal negativo na Eq. (2-13) e a denominação de I.{J para o potencial
eletrostático.
e fácil encontrar-se o potencial eletrostático devido a uma carga puntual q 1; é exa-
tamente
(2-14)
como se pode verificar de modo rápido por diferenciação direta. Com esta indicação, é fá-
cil adivinhar que o potencial que dá o campo elétrico da Eq. (2-8) é
<p(r) = _1_ t _q_i _ + _1_ r _p_(_r')_ de'
41Uo i=l Ir - ri I 41tEo'v Ir - r'l (2-15)
+ ~_1_ f O'(r') da'
41tEo -s I r - r' I '
que também se verificaria facilmente por diferenciação direta. Pode parecer que as Eqs.
(2-14) e (2-15) foram obtidas de maneira um pouco arbitrária; entretanto, como tudo que
se requer de I.{J é que satisfaça a Eq. (2-13), e como isto foi verificado diretamente, não im-
porta a maneira pela qual se obteve I.{J.
O potencial eletrostático I.{J pode ser obtido diretamente assim que se admita sua
existência. Como sabemos que I.{J existe, podemos escrever
( E(r')' dr' = - ( Vep' dr',
~ref Wref
(2-16)
onde ref representa um ponto de referência em que I.{J seja nulo. Da definição do gradien-
. te,
Vep . dr' = dep. (2-17)
Ao se substituir a Eq. (2-17) na Eq. (2-16), esta se converte na integral de um diferencial
perfeito, facilmente resolvida. O resultado é
- ( Vep' dr' = -ep(r) = ( E(r')' dr',
Wref "'ref
(2-18)
que é realmente o inverso da Eq. (2-13). Se o campo elétrico devido a uma carga puntual
(2-19)
Condutores e Isolantes 43
for usado na Eq. (2-18) e o ponto de referência ou limite inferior da integral for conside-
rado como infinito, o potencial sendo nulo aí, o resultado será
q
ço(r) =4--'7[( o r
que, naturalmente, é apenas um caso especial da Eq. (2-14), ou seja, o caso onde rI é ze-
ro. Tal derivação pode ser ampliada para obter a Eq. (2-15); entretanto, o procedimento
é demasiado enfadonho para que o incluamos aqui.
Outro aspecto interessante e útil do potencial eletrostático é sua intima relação com
a energia potencial associada à força eletrostática conservativa. A energia potencial asso-
ciada a uma força conservativa arbitrária é
U(r) = - fr F(r')' dr',
• ref
(2-20)
onde U(r) é a energia potencial em r relativa ao ponto de referência em que a energia po-
tencial é arbitrariamente considerada zero. Uma vez que no caso eletrostático F = qE, se-
gue-se que se o mesmo ponto de referência for escolhido para o potencial eletrostático e
para a energia potencial, então o potencial eletrostático será somente a energia potencial
por unidade de carga. Esta idéia é algumas vezes usada para introduzir o potencial eletros-
tático; sentimos, entretanto, que a introdução em termos da Eq. (2-13) realça a importân-
cia do potencial eletrostático na determinação do campo elétrico. Não existe, naturalmen-
te, nenhuma dúvida sobre a equivalência dos dois métodos.
Pode-se compreender a utilidade do potencial eletrostático no cálculo dos campos
elétricos, comparando as Eqs. (2-8) e (2-15). A Eq. (2-8) é uma equação vetorial; para ob-
ter o campo elétrico a partir dela, é necessário resolver três somas ou três integrais para ca-
da termo. Na melhor das hipóteses, é um procedimento tedioso; em alguns casos, é quase
impossível resolver as integrais. A Eq. (2-15), por outro lado, é uma equação escalar e en-
volve somente uma soma ou integral por termo. Além disso, os denominadores que apa-
recem nesta equação são todos da forma I r - r' I" o que simplifica as integrais, em compa-
ração com as da Eq. (2-8). Tal simplificação é algumas vezes suficiente para estabelecer a
diferença entre a resolução e não resolução das integrais. Pode-se objetar que após resolver as
integrais da Eq. (2-15) será ainda necessário diferenciar o resultado; pode-se rejeitar pron-
tamente tal objeção, observando-se que a diferenciação pode ser sempre realizada, se a de-
rivada existir, e é realmente muito mais fácil que a integração. Observar-se-á, no Capítulo
3, que o potencial eletrostático é até mais importante nos problemas em que a distribui-
ção de carga não é especificada mas deve, ao contrário, ser determinada durante a resolu-
ção do problema.
No sistema MKS, a unidade