UNIDADE I - Proposições, Conectivos e Operações Lógicas

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UNIIDADE I – PROPOSIÇÕES, CONECTIVOS E 
PROPOSIÇÕES LÓGICAS 
 Prof ª Elaine Gaspar 
 
1. Proposição 
Definição: é uma sentença declarativa, afirmativa e que deve exprimir um pensamento de sentido 
completo, podendo ser escrita de forma simbólica ou na linguagem usual ou corrente, que é possível ser 
considerada como verdadeira ou como falsa. 
Exemplos Contra Exemplos 
Tg 
 
 
 = 1 Tg 
 
 
 
Mosqueiro é uma ilha Mosqueiro 
Vera Smith é médica Vera 
Triângulo retângulo possui um ângulo reto Triângulo retângulo 
Baleia é um mamífero e jacaré é um réptil Baleia, jacaré 
Inês não é sardenta Inês 
Sete é um número primo ou doze é um número primo Sete 
Se 1 + 2 = 3, então 2 ≠ 1 1 + 2 
João joga futebol, se e somente se, joga tênis Tênis 
 
2. Princípios ou Regras Fundamentais do Pensamento ou da Lógica Matemática 
2.1 Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente “verdadeira” ou “falsa”. 
 
2.2 Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é so verdadeira ou só falsa, nunca ocorrendo um 
terceiro caso. 
 
Exemplos: 
4 é um quadrado perfeito (proposição verdadeira) 
Mosqueiro é uma ilha (proposição verdadeira) 
O número 15 é primo (proposição falsa) 
2 + 3 ≠ 3 + 2 (proposição falsa) 
 
3. Valor lógico de uma proposição 
Dizemos que o valor lógico de uma proposição é a verdade (V) se a proposição é verdadeira, e é a 
falsidade (F) se a proposição é falsa. 
 
 
 
 2 
Exemplos: 
4 é um quadrado perfeito (Valor lógico é a verdade) (V) 
Mosqueiro é uma ilha (Valor lógico é a verdade) (V) 
O número 15 é primo (Valor lógico é a falsidade) (F) 
2+3≠3+2 (Valor lógico é a falsidade) (F) 
 
Obs: Como as proposições tem o valor lógico a verdade ou a falsidade, dizemos que a lógica clássica é 
bivalente. 
 
4. Classificação das Proposições 
4.1 Proposições Simples ou Atômica: 
Definição: É a Proposição que possui apenas um pensamento de sentimento de sentido completo, que 
denota-se por letras minúsculas do nosso alfabeto, como: p, q, r, s, ... 
 
Exemplos: 
p: 4 é um quadrado perfeito 
q: Mosqueiro é uma ilha 
r: O número 15 é primo 
s: 2+3≠3+2 
 
 4.2 Proposição Composta ou Molecular: 
Definição: É proposição que é formada pela combinação de duas ou mais proposições simples, que se 
denota por letras maiúsculas do nosso alfabeto, como: P, Q, R, S, ... 
 
Exemplos: 
P: Baleia é um mamífero e Jacaré é um réptil 
Q: 7 é um número primo o u 12 é um número primo 
R: Se não e verdade que Maria é bonita, então Maria não é elegante ou não é estudiosa. 
 
Obs.: (1) Quando for conveniente indicar que uma proposição composta P é formada pelas proposições 
simples p, q, r, s.... escreve-se P(p, q, r, s,...) 
(2) As proposições componentes de uma proposição composta podem ser elas mesmas proposições 
compostas. 
 
 
 
 
 
 3 
5. Conectivos lógicos 
Definição: São palavras, expressões ou símbolos que se usam para formar novas proposições, a partir de 
proposições dadas. 
 
Exemplos: 
b: Inês não é sardenta 
P: Baleia é mamífero e jacaré é um réptil 
Q: Maria é bonita, mas não é estudiosa. 
R: Se João estuda, então sabe a matéria 
S: Carlos fala francês ou inglês 
T: O número 0 possui antecessor natural, se e somente se, o ano bissexto ocorre a cada seis meses. 
 Linguagem Corrente ou Usual Linguagem Simbólica 
não ~ 
e, mas ^ 
ou (inclusivo) ˅ 
ou (exclusivo) 
se ..., então... → 
..., se e somente se, ... ↔ 
 
6. Tabela Verdade 
Definição: È um quadro disposto em colunas e linhas onde figuram todas as possibilidades dos valores 
lógicos de uma proposição. As linhas são dispostas na horizontal e colunas na vertical. 
Elementos que formam uma tabela verdade: 
(1) n: número de letras proposicionais, ou seja, é a quantidade de proposições simples que compõe a 
proposição. 
(2) O número de linhas de uma tabela verdade é dado por 2n, onde n é o número de proposições 
componentes. 
(3) O número de colunas de uma tabela verdade é dado por n. 
(4) Distribuição dos valores lógicos se dá por cada letra proposicional (ordem alfabética). Vejamos: 
1ª letra proposicional na ordem alfabética: 2
n-1 
2ª letra proposicional na ordem alfabética: 2
n-2 
3ª letra proposicional na ordem alfabética: 2
n-3 
. 
. 
. 
Enésima letra proposicional na ordem alfabética: 2
n-n 
= 2
0
 = 1 
 
 
 4 
Obs.: Para construção das tabelas-verdades, consideraremos inicialmente apenas as proposições simples 
que compõem a proposição. 
 
1º caso: Quando a proposição possui apenas uma letra proposicional, ou seja, é simples. Denotando-a por p. 
 
n = 1 (nº de colunas) 
2
n
 = 2
1
 = 2 (nº de linhas) 
2
n-1
 = 2
1-1
 = 2
0
 = 1 (distribuição) 
 
 
 
 
2º caso: Quando a proposição possui duas letras proposicionais, ou seja, é composta por dois pensamentos. 
Denotando-a por P(p, q) 
 
n = 2 (nº de colunas) 
2
n
 = 2
2
 = 4 (nº de linhas) 
Para a primeira letra p: 2
n-1
 = 2
2-1
 = 2
1
 = 2 (distribuição) 
Para a segunda letra q: 2
n-2
 = 2
2-2 
= 2
0
 = 1 (distribuição) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º caso: Quando a proposição possui três letras proposicionais, ou seja, é composta de três pensamentos. 
Denotando-a por P(p, q, r) 
 
n = 3 (nº de colunas) 
2
n
 = 2
3
 = 8 (nº de linhas) 
Para a primeira letra p: 2
n-1
 = 2
3-1
 = 2
2
 = 4 (distribuição) 
Para a segunda letra q: 2
n-2
 = 2
3-2
 = 2
1
 = 2 (distribuição) 
Para a terceira letra r: 2
n-3
 = 2
3-3
 = 2
0
 = 1 (distribuição) 
p 
V 
F 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
p 
V 
F 
(Diagrama de árvore) 
p 
V 
F 
V 
V 
F 
F 
q 
q 
 
 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Notação para o valor lógico de uma proposição: 
Indica-se o valor lógico de uma proposição simples p por V(p). Assim, se p é verdadeiro, V(p) = V e se p 
é falsa, V(p) = F. 
No caso de uma proposição composta, indica-se V(P). 
 
8. Operadores Lógicos 
8.1 Negação 
Definição: 
Diz-se que a negação de uma proposição p é a proposição representada por “não p”, cujo valor lógico é a 
verdade (V) quando p é falso e é a falsidade quando p é verdadeiro. 
- A negação em linguagem simbólica se efetua colocando o símbolo ~ na frente da letra proposicional. 
- A negação em linguagem corrente se efetua da seguinte maneira: 
a) Usando a palavra não, colocando-a na frente do verbo. É exclusiva para negar proposições simples. 
Exemplos: 
1. p: Inês é sardenta 
~p: Inês não é sardenta 
 
2. q: Carlos fala inglês 
~q: Carlos não fala inglês 
 
 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
p 
V 
F 
V 
V 
F 
F 
q 
q 
r 
r 
r 
r 
V 
V 
V 
V 
F 
F 
F 
F 
 
 6 
3. r: 12 é um número primo 
~r: 12 não é um número primo 
 
b) Usando as palavras “não é verdade que”, “é falso que”, colocando-as na frente da proposição. Podem 
ser usadas tanto para proposições simples quanto para proposições compostas. 
Exemplos: 
1. P: Inês é sardenta 
~P: Não é verdade que Inês é sardenta 
 
2. Q: Baleia é mamífero e jacaré é um réptil 
~Q: Não é verdade que baleia é mamífero e jacaré é um réptil 
 
3. R: Se João estuda, então sabe a matéria. 
~R: É falso que se João estuda, então sabe a matéria. 
 
c) Usando o antônimo da palavra chave da proposição. É exclusivo para negar proposições simples. 
Exemplos: 
1. p: Maria é bonita 
~p: Maria é feia2. q: João é rico 
~q: João é pobre 
 
Tabela-verdade da negação 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. p: Mosqueiro é uma ilha; V(p) = V 
~p: Mosqueiro não é uma ilha; V(~p) = F 
 
2. q: 12 é um número primo; V(q) = F 
~q: 12 não é um número primo; V(~q) = V 
 
p ~p 
V F 
F V 
 
 7 
8.2 Conjunção 
Definição: Sejam p e q duas proposições quaisquer. Chama-se conjunção de p e q a proposição 
representada por “p e q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras 
e falsidade (F) nos demais casos. 
 
- A conjunção em linguagem simbólica se efetua colocando o símbolo ^ entre as letras proposicionais que 
a compõe; 
- A conjunção em linguagem corrente se efetua colocando a palavra e ou a palavra mas entre as 
proposições que a compõe. 
 
Exemplos: 
1. P: Baleia é um mamífero e jacaré é um réptil; P : p ^ q 
2. Q: Maria é bonita, mas é baixa; Q: r ^ s 
3. R: O número 164 é divisível por 2, mas 250 é divisível por 3; R: t ^ u 
 
Tabela-verdade da conjunção 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
V(P) = V(p ^ q) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V 
V(R) = V(t ^ u) = V(t) ^ V(u) = V ^ F = F 
 
8.3 Disjunção 
Definição: Sejam p e q duas proposições quaisquer. Chama-se de disjunção de p e q a proposição 
representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando pelo menos uma proposição p ou q é 
verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas. 
 
- A disjunção em linguagem simbólica se efetua colocando o símbolo ˅ entre as letras proposicionais que 
a compõe. 
- A disjunção em linguagem corrente se efetua colocando a palavra ou entre as proposições que a 
compõe. 
p q p ^ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 8 
Exemplos: 
1. P: 7 é um número primo ou 12 é um número primo; P: p ˅ q 
2. Q: Está chovendo ou está fazendo frio; Q: r ˅ s 
3. R: 0 > 1 ou √ = - 1; R: t ˅ u 
4. Renata é advogada ou é professora; S: x ˅ y 
 
Tabela-verdade da disjunção 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
V(P) = V(p v q) = V(p) v V(q) = V v F = V 
V(R) = V(t v u) = V(t) v V(u) = F v F = F 
 
8.4 Disjunção Exclusiva 
Definição: Sejam p e q duas proposições quaisquer. Chama-se de disjunção exclusiva de p e q a 
proposição cujo valor lógico é a verdade (V) quando V(p) ≠ V(q) e é a falsidade (F) quando V(p) = V(q). 
 
- A disjunção exclusiva em linguagem simbólica se efetua colocando o símbolo entre as letras 
proposicionais que a compõe. 
- A disjunção exclusiva em linguagem corrente se efetua das seguintes maneiras: 
a) “p ou q” 
b) “ou p ou q” 
c) “p ou q, mas não ambos” 
 
Exemplos: 
1. P: O professor João será nomeado embaixador na Espanha ou será reitor da Unama ;P : p q 
2. Q: Bianca vai ao supermercado ou vai a escola, mas não ambos; Q: r s 
3. R: Ou Renata é paraense ou é mineira; R: t u 
 
 
 
p q p v q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
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Tabela-verdade da disjunção exclusiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.5 Condicional 
Definição: Sejam p e q duas proposições quaisquer. Chama-se de condicional de p e q a proposição 
representada por se p, então q, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa, e 
a verdade (V) nos demais casos. 
 
Obs.: p é chamado de antecedente ou hipótese e q é chamada de consequente ou tese. 
 
- A condicional em linguagem simbólica se efetua colocando o antecedente (p) antes do símbolo → e o 
consequente (q) depois. 
- A condicional em linguagem corrente se efetua colocando a proposição antecedente (p) entre as palavras 
“se” e “então” e o consequente após a palavra “então” (se p, então q) 
 
Exemplos: 
1. P: Se a função f é derivável em um ponto de abscissa x, então a função é continua neste ponto; P: p → q 
2. Q: Se o triângulo é o polígono que não têm diagonais, então o quadrado tem quatro diagonais; Q: r → s 
3. R: Se o número 0 possui antecessor natural, então o ano bissexto ocorre a cada seis anos; R: t → u 
 
Leitura: 
A leitura de p → q se faz das seguintes maneiras: 
(1) p é condição suficiente para q 
(2) q é condição necessária para p 
Tabela-verdade da condicional 
 
 
 
 
 
 
 
p q p q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
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Exemplos: 
V(Q) = V(r → s) = V(r) → V(s) = V → F = F 
V(R) = V(t → u) = V(t) → V(u) = F → F = V 
Obs.: Em uma demonstração matemática de um teorema com este conectivo (p → q) consiste em supor as 
condições relacionadas em p e procurar provar as condições em q, ou ainda, trabalha-se da hipótese para a 
tese que é chamada de prova direta. 
 
8.6 Bicondicional 
Definição: Sejam p e q duas proposições quaisquer chama-se de bicondicional de p e q a proposição 
representada por p, se e somente se, q, cujo valor lógico é a verdade (V) quando V(p) = V(q) e é a falsidade 
(F) quando V(p) ≠ V(q). 
 
 - A bicondicional em linguagem simbólica se efetua colocando o símbolo ↔ no meio das letras 
proposicionais. 
 - A bicondicional em linguagem corrente se efetua colocando as palavras “se e somente se” no meio das 
proposições que a compõe. 
 
Exemplos: 
1. P: 25 é um quadrado perfeito ,se e somente se, o ano bissexto ocorre a cada 4 anos; P : p ↔ q 
2. Q: Roma fica na Ásia , se e somente se , a neve é branca; Q : r ↔ s 
3. R:Um interior X é par , se e somente se, X + l é impar; R: t ↔ u 
 
Leitura: 
A leitura de p ↔ q se faz das seguintes maneiras: 
(1) p é condição necessária e suficiente para q 
(2) q é condição necessária e suficiente para p 
 
Tabela-verdade da bicondicional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
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Exemplos: 
V(P) = V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V 
V(Q) = V(r ↔ s) = V(r) ↔ V(s) = F ↔ V = F 
Obs.: Em uma demonstração matemática de um teorema com este conectivo (p ↔ q) consiste em provar 
duas afirmações da forma se ..., então ... . Prova-se que se p, então q, e também que se q, então p. 
Exemplo: 
R: Um inteiro x é par, se e somente se, x + 1 é ímpar 
O arcabouço da prova é o seguinte: 
(→) se um inteiro x é par, então x + 1 é impar 
(←) se um inteiro x + 1 é impar, então x é par 
 
9. Exemplos de negação de uma proposição composta e transformação de linguagem 
 
Tomando: {
 
 
 
 
 
(1) P: Se Maria é estudiosa e é bonita, então é elegante 
Linguagem simbólica: _______________________________ 
 
(2) Q: Não é verdade que se Maria é estudiosa e é bonita, então é elegante 
Linguagem simbólica: _______________________________ 
 
(3) R: Se não é verdade que Maria é estudiosa e é bonita, então é elegante 
Linguagem simbólica: _______________________________ 
 
(4) S: Se Maria não é estudiosa e não é bonita, então não é elegante 
Linguagem simbólica: _______________________________ 
 
(5) T: Maria é feia e se Maria é estudiosa, então não e elegante 
Linguagem simbólica: _______________________________ 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
1. Marque os itens que são proposições: 
a) Velocidade média ( ) 
b) Rodrigo é metaleiro ( ) 
c) Vendedor de frutas ( ) 
d) Os alunos tocam instrumento de sopro ou de corda ( ) 
e) Escreva um verso ( ) 
 
2. Classifique as proposições abaixo em simples ou compostas: 
a) O sol brilha e queima as plantas 
b) O relógio da parede da casa de João bate as horas. 
c) Se Ana é advogada, então Sandra é secretária 
d) Paula é professora3. Determine o valor lógico das proposições: 
a) p: o número 36 é um quadrado perfeito 
b) q: o galo põe ovo 
c) P: O Brasil situa-se na América do Sul e a Argentina é uma nação europeia 
d) Q: Se o mês de dezembro tem 31 dias, então todo número primo é impar ou no triangulo pode-se 
traçar três diagonais. 
e) R: 0, 33333... é um número racional e se – 2 > - 3, então o quilometro tem 100 metros 
f) S: 2 + 2 = 4 → (3 + 3 = 7 ↔ 1 = 1 = 4) 
g) T: 43 64 ~(Brasília é a capital do Brasil, se e somente se, 21 é um número primo) 
 
4. Sejam as proposições, p: Ana é advogada, q: Sandra é secretária e r: Paula é professora. Traduza para 
a linguagem simbólica as proposições abaixo: 
a) P: Se Ana não e advogada e Sandra não é secretária, então Paula é professora 
b) Q: Não é verdade que se Paula é professora, então não é verdade que Ana é advogada e Sandra não é 
secretária. 
c) R: Não é verdade que Sandra não é secretaria e se Paula não é professora, então Ana não é advogada 
ou Paula é professora. 
d) S: Paula não é professora, se e somente se, não é verdade que Ana é advogada, mas Sandra não é 
secretária. 
 
5. Sejam as proposições, p: os preços são altos, q: Os estoques são grandes e r: As vendas estão 
diminuindo. Traduza para a linguagem corrente as proposições abaixo: 
a) P : ~ p ^ q → ~ r 
 
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b) Q: ~ (~ q → p v ~ r) 
c) R: ~ r ^ (~ (q v r) → ~ p) 
d) S: ~ (q v ~ r) → ~ p ^ q 
 
6. Determinar V(q) nos casos abaixo, sabendo-se que: 
a) V(p) = V e V(p → q) = F 
b) V(p) = F e V(~ p ^ q) = F 
c) V(p) = V e V(~ p → ~ q) = V 
d) V(p) = F e V(~ (~ p v q) = F 
 
7. Determinar V(q) e V(p) nos casos abaixo, sabendo-se que: 
a) V(p → q) = V e V(~ p v ~ q) = V 
b) V(p ↔ q) = F e V(p ^ ~ q) = F 
c) V(~ p q) = V e V(~ (p → q)) = F 
d) V(~ q → p) = V e V(~ p ^ q) = F 
 
8. Determinar o valor lógico das proposições abaixo, de acordo com os dados ao lado de cada item, caso 
seja possível. No caso de não ser possível, justifique sua resposta: 
a) P: p → ~ q ↔ ~ q ^ r, onde V(p) = V(r) = F 
b) Q: p → (~ q ↔ ~ q ^ r), onde V(q) = F 
c) R: (~ p → q) ^ (q ˅ ~ r),onde V(q) = V 
 
9. Construa a tabela verdade das proposições abaixo, em seguida determine seu valor lógico e 
classifique-as em tautologia, contradição ou em contingência: 
a) P: (p v (q → ~ p)) ^ (~ p v (q ↔ ~ q)) 
b) Q: p ^ ~ q→ q ^ ~((p ↔ ~ q) → (q ~ p)) 
c) R: (~ p → q ^ ~ q) → p v ~ q 
d) S: ~ (~ p ^ ~ q → q ^ (~ q → p)) 
 
10. Eliminar o maior número possível de parênteses nas proposições abaixo: 
a) P: (((~ p → (q ^ ~ p)) v p) ^ (~ q ↔ ~ p)) 
b) Q: ~ (((q ~ p) ^ (~ p v q)) → (~(~ p) v ~ q)) 
c) R: (((p ^ q) ↔ (~ r)) v ((((~ q) v p) ^ q) 
 
11. Colocar parênteses nas proposições abaixo, de acordo com o que se pede, caso seja necessário: 
a) ~ p → q ^ ~ p ↔ ~ p v q (negação de conjunção) 
b) ~ p → q ^ ~ p ↔ ~ p v q (condicional) 
 
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c) ~ p → q ~ p ↔ ~ p v q 
 
12. Sejam as proposições p: ele é um bom professor, q: ele ensina bem seus alunos, r: ele é brasileiro, P: 
ele ensina bem seus alunos e é brasileiro, Q: Se ele é um bom professor, então ensina bem seus alunos. 
Verifique se P ⇒ Q usando a definição, justifique sua resposta. 
 
13. Sejam as proposições P: ~ p v q e Q: ~ q → p ^ q. Verifique se P ⇒ Q através do teorema, justifique 
sua resposta. 
 
14. Sejam as proposições p: João tem dinheiro, q: João compra fiado, r: João trabalha, P: Se João tem 
dinheiro e trabalha então não compra fiado, Q: Se João trabalha e compra fiado, então João não tem dinheiro. 
Verifique se P ⇔ Q através da definição, justifique sua resposta. 
 
15. Sejam as proposições P: p → ~ p ˅ ~ q e Q: q ^ ~ r. Verifique se P ⇔ Q através do teorema, 
justificando sua resposta. 
 
16. Dada a proposição P: Se Paula é professora, então não é verdade que Ana não é advogada ou Sandra é 
secretária. Determine: 
a) A recíproca 
b) A contrapositiva 
c) A contrária 
d) A contrária da contrapositiva 
 
17. Seja P: ~ p ^ r → ~ q. Determine: 
a) A contrapositiva da recíproca 
b) A contrária da contrapositiva 
 
18. Construir a tabela verdade das proposições abaixo, em seguida, determine seu valor lógico, 
classificando-a em tautologia, contradição ou contingência. 
a) R: ((p ↑ ~ q) ↑ ~ p) ↑ ~ (~ p ↑~ (~ p ↑~ q)) 
b) Q: ~ ((p ↓ q) ↑ p) ↓ q 
c) P: ((~ p ↑ ~ q) ↓ ~ p) ↑(~ (p → ~ q) ~ q) 
 
19. Determinar uma proposição equivalente a proposição dada abaixo em função dos conectivos 
especificados ao lado de cada item de forma mais simples possível: 
a) P: (p → p) ^ (p → q), em função apenas de ↑ 
b) Q: (p ~p) ^ ~ p, em função de ~ 
c) R: p ˅ q → p ˅ q ↔ ~ p, em função de ~ 
d) S: (p ↑ ~p) ^ (p ↑ ~ p) ˅ ~ p, sem conectivo 
 
 15 
CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE DE PROPOSIÇÕES COMPPOSTAS 
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊN CIA 
FFALTA DIGITAR