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1 Prefeitura de Serra-ES Resolução de problemas envolvendo frações, conjuntos, porcentagens, sequências (com números, com figuras, de palavras) .......................................................................................... 1 Raciocínio lógico-matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica, argumentos válidos .................................................................................................................. 8 Olá Concurseiro, tudo bem? Sabemos que estudar para concurso público não é tarefa fácil, mas acreditamos na sua dedicação e por isso elaboramos nossa apostila com todo cuidado e nos exatos termos do edital, para que você não estude assuntos desnecessários e nem perca tempo buscando conteúdos faltantes. Somando sua dedicação aos nossos cuidados, esperamos que você tenha uma ótima experiência de estudo e que consiga a tão almejada aprovação. Pensando em auxiliar seus estudos e aprimorar nosso material, disponibilizamos o e-mail professores@maxieduca.com.br para que possa mandar suas dúvidas, sugestões ou questionamentos sobre o conteúdo da apostila. Todos e-mails que chegam até nós, passam por uma triagem e são direcionados aos tutores da matéria em questão. Para o maior aproveitamento do Sistema de Atendimento ao Concurseiro (SAC) liste os seguintes itens: 01. Apostila (concurso e cargo); 02. Disciplina (matéria); 03. Número da página onde se encontra a dúvida; e 04. Qual a dúvida. Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhar em e-mails separados, pois facilita e agiliza o processo de envio para o tutor responsável, lembrando que teremos até cinco dias úteis para respondê-lo (a). Não esqueça de mandar um feedback e nos contar quando for aprovado! Bons estudos e conte sempre conosco! Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 1 NÚMEROS FRACIONÁRIOS 1Quando um todo ou uma unidade é dividido em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de várias formam o que chamamos de uma fração do todo. Para representar as frações serão necessários dois números inteiros: a) O primeiro, para indicar em quantas partes iguais foi dividida a unidade (ou todo) e que dá nome a cada parte e, por essa razão, chama-se denominador da fração; b) O segundo, que indica o número de partes que foram reunidas ou tomadas da unidade e, por isso, chama-se numerador da fração. O numerador e o denominador constituem o que chamamos de termos da fração. Observe a figura abaixo: A primeira nota dó é 14/14 ou 1 inteiro, pois representa a fração cheia; a ré é 12/14 e assim sucessivamente. Nomenclaturas das Frações Numerador → Indica quantas partes tomamos do total que foi dividida a unidade. Denominador → Indica quantas partes iguais foi dividida a unidade. Na figura acima lê-se: três oitavos. -Frações com denominadores de 1 a 10: meios, terços, quartos, quintos, sextos, sétimos, oitavos, nonos e décimos. -Frações com denominadores potências de 10: décimos, centésimos, milésimos, décimos de milésimos, centésimos de milésimos etc. - Denominadores diferentes dos citados anteriormente: Enuncia-se o numerador e, em seguida, o denominador seguido da palavra “avos”. Exemplos: 8 25 lê – se: oito: vinte e cinco avôs; 1CABRAL, Luiz Claudio; NUNES, Mauro César – Matemática básica explicada passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. Resolução de problemas envolvendo frações, conjuntos, porcentagens, sequências (com números, com figuras, de palavras) Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 2 2 100 lê – se: dois centésimos. Tipos de Frações - Frações Próprias: Numerador é menor que o denominador. Exemplos: 1 6 ; 5 8 ; 3 4 ; … - Frações Impróprias: Numerador é maior ou igual ao denominador. Exemplos: 6 5 ; 8 5 ; 4 3 ; … - Frações aparentes: Numerador é múltiplo do denominador. As mesmas pertencem também ao grupo das frações impróprias. Exemplos: 6 1 ; 8 4 ; 4 2 ; … - Frações particulares: Para formamos uma fração de uma grandeza, dividimos esta pelo denominador e multiplicamos pelo numerador. Exemplos: 1 – Se o numerador é igual a zero, a fração é igual a zero: 0/7 = 0; 0/5=0 2- Se o denominador é 1, a fração é igual ao numerador: 25/1 = 25; 325/1 = 325 ATENÇÃO: - Quando o denominador é zero, a fração não tem sentido, pois a divisão por zero não é definida. - Quando o numerador e denominador são iguais, o resultado da divisão é sempre 1. - Números mistos: Números compostos de uma parte inteira e outra fracionária. Podemos transformar uma fração imprópria na forma mista e vice e versa. Exemplos: 𝑨) 25 7 = 3 4 7 ⇒ 𝑩) 3 4 7 = 25 7 ⇒ - Frações equivalentes: Duas ou mais frações que apresentam a mesma parte da unidade. Exemplo: 4: 4 8: 4 = 1 2 ; 𝑜𝑢 4: 2 8: 2 = 2 4 ; 𝑜𝑢 2: 2 4: 2 = 1 2 As frações 4 8 , 2 4 e 1 2 são equivalentes. -Frações irredutíveis: Frações onde o numerador e o denominador são primos entre si. Exemplo: 5/11; 17/29; 4/3 Comparação e simplificação de frações Comparação: - Quando duas frações tem o mesmo denominador, a maior será aquela que possuir o maior numerador. Exemplo: 5/7 >3/7 - Quando os denominadores são diferentes, devemos reduzi-lo ao mesmo denominador. Exemplo: 7/6 e 3/7 Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 3 1º - Fazer o mmc dos denominadores → mmc(6,7) = 42 7.7 42 𝑒 3.6 42 → 49 42 𝑒 18 42 2º - Compararmos as frações: 49/42 > 18/42. Simplificação: É dividir os termos por um mesmo número até obtermos termos menores que os iniciais. Com isso formamos frações equivalentes a primeira. Exemplo: 4: 4 8: 4 = 1 2 Operações com frações - Adição e Subtração Com mesmo denominador: Conserva-se o denominador e soma-se ou subtrai-se os numeradores. Com denominadores diferentes: Reduz-se ao mesmo denominador através do mmc entre os denominadores. O processo é valido tanto para adição quanto para subtração. Multiplicação e Divisão - Multiplicação: É produto dos numeradores dados e dos denominadores dados. Exemplo: Podemos ainda simplificar a fração resultante: 288: 2 10: 2 = 144 5 - Divisão: O quociente de uma fração é igual a primeira fração multiplicada pelo inverso da segunda fração. Exemplo: Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 4 Simplificando a fração resultante: 168: 8 24: 8 = 21 3 Vamos agora encontrar as aplicações para o uso dessas frações. Teremos dois tipos, quando temos o todo e queremos encontrar as parte, ou quando tivermos a parte e formos encontrar o todo. Vamos lá para o primeiro tipo. Temos o todo e queremos encontrar a parte. Neste caso nós teremos o total correspondente a algum dado, produto, etc. e devemos encontrar uma parte desse valor, ou seja, uma fração deste valor. Exemplos 01. (EBSERH/ HUSM/UFSM/RS – Analista Administrativo – AOCP) Uma revista perdeu 1 5 dos seus 200.000 leitores. Quantos leitores essa revista perdeu? (A) 40.000. (B) 50.000. (C) 75.000. (D) 95.000. (E) 100.000. Observe que os 200.000 leitores representa o todo do determinado assunto que seria os leitores da revista, daí devemos encontrar 1 5 desses leitores. Para resolver este problema, devemos encontrar 1 5 de 200.000. 1 5 x 200.000 = 1𝑥200.000 5 = 200.000 5 = 40.000. Desta forma 40.000 representa a quantidade que essa revista perdeu, alternativa correta é a A. 02. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma pessoa está montando um quebra-cabeça que possui, no total, 512 peças. No 1.º dia foram montados 5 16 do número total de peças e, no 2.º dia foram montados 3 8 do número de peças restantes. O número de peças que ainda precisam sermontadas para finalizar o quebra-cabeça é: (A) 190. (B) 200. (C) 210. (D) 220. (E) 230. Neste exemplo temos que 512 é o total e queremos encontrar a parte, portanto é a mesma forma de resolução, porém temos uma situação problema onde teremos mais de um cálculo para encontrar a resposta, vamos ao primeiro: No 1.º dia foram montados 5 16 do número total de peças Logo é 5 16 de 512, ou seja: 5 16 𝑥512 = 5𝑥512 16 = 2560 16 = 160 Assim 160 representa a quantidade que foi montado no primeiro dia, daí para o segundo dia teremos 512 – 160 = 352 peças restantes, devemos agora encontrar 3 8 de 352, que foi a quantidade montada no segundo dia. 3 8 𝑥352 = 3𝑥352 8 = 1056 8 = 132 Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 5 Assim para encontrar quantas peças ainda precisam ser montadas iremos fazer 352 – 132 = 220. Alternativa D. Temos a parte e queremos encontrar o todo Neste caso nós teremos o valor correspondente da fração e devemos encontrar o todo. Exemplo 01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e Assessoria) João gastou R$ 23,00, equivalente a terça parte de 3/5 de sua mesada. Desse modo, a metade do valor da mesada de João é igual a: (A) R$ 57,50; (B) R$ 115,00; (C) R$ 172,50; (D) R$ 68,50. Repare que os 23 reais representa a terça parte de 3/5, assim: 1 3 𝑥 3 5 = 3 15 = 1 5 , então 23 representa 1 5 , que é a segunda forma de se resolver problemas com frações, fazemos o seguinte calculo: 23 : 1 = 23 23 x 5 = 115. Portanto a mesa de de João é 115, mas ele precisa saber o valor da metade, logo 115 : 2 = 57,50. Questões 01. (IPM/SP – Agente Administrativo – AOCP/2018) Dois colaboradores foram convocados para conferir o lançamento de notas fiscais arquivadas em 80 caixas e guardadas em um arquivo morto do setor de compras. Ao final da conferência, verificou-se que o primeiro colaborador conferiu 3/5 do total de caixas e o segundo conferiu o restante das caixas. Dessa forma, o número de caixas conferidas pelo segundo colaborador é (A) 28 (B) 32 (C) 42 (D) 58 (E) 45 02. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) João gastou R$ 23,00, equivalente a terça parte de 3/5 de sua mesada. Desse modo, a metade do valor da mesada de João é igual a: (A) R$ 57,50; (B) R$ 115,00; (C) R$ 172,50; (D) R$ 68,50; 03. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Dona Amélia e seus quatro filhos foram a uma doceria comer tortas. Dona Amélia comeu 2 / 3 de uma torta. O 1º filho comeu 3 / 2 do que sua mãe havia comido. O 2º filho comeu 3 / 2 do que o 1º filho havia comido. O 3º filho comeu 3 / 2 do que o 2º filho havia comido e o 4º filho comeu 3 / 2 do que o 3º filho havia comido. Eles compraram a menor quantidade de tortas inteiras necessárias para atender a todos. Assim, é possível calcular corretamente que a fração de uma torta que sobrou foi (A) 5 / 6. (B) 5 / 9. (C) 7 / 8. (D) 2 / 3. (E) 5 / 24. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 6 04. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) A mãe do Vitor fez um bolo e repartiu em 24 pedaços, todos de mesmo tamanho. A mãe e o pai comeram juntos, ¼ do bolo. O Vitor e a sua irmã comeram, cada um deles, ¼ do bolo. Quantos pedaços de bolo sobraram? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12 05. (FINEP – Assistente – CESGRANRIO) Certa praça tem 720 m2 de área. Nessa praça será construído um chafariz que ocupará 600 dm2. Que fração da área da praça será ocupada pelo chafariz? (A) 1 600 (B) 1 120 (C) 1 90 (D) 1 60 (E) 1 12 06. (EBSERH/ HUSM/UFSM/RS – Analista Administrativo – AOCP) Se 1 kg de um determinado tipo de carne custa R$ 45,00, quanto custará 7 5 desta mesma carne? (A) R$ 90,00. (B) R$ 73,00. (C) R$ 68,00. (D) R$ 63,00. (E) R$ 55,00. 07. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM) Paulo recebeu R$1.000,00 de salário. Ele gastou ¼ do salário com aluguel da casa e 3/5 do salário com outras despesas. Do salário que Paulo recebeu, quantos reais ainda restam? (A) R$ 120,00 (B) R$ 150,00 (C) R$ 180,00 (D) R$ 210,00 (E) R$ 240,00 08. (Câmara Legislativa/DF – Técnico Administrativo – FCC/2018) Um fotógrafo comprou 84 pacotes de folhas de papel fotográfico. Desse total, 3/4 dos pacotes eram de papel brilhante, 1/6 de papel com textura couro e o restante de papel com textura linho. Cada pacote de papel brilhante custou R$ 15,00, cada pacote de papel com textura couro custou R$ 12,50 e o valor total da compra foi de R$ 1.211,00. O custo de cada pacote de papel com textura linho, em reais, foi de (A) 11,50 (B) 13,00 (C) 12,50 (D) 12,00 (E) 13,50 Comentários 01. Resposta: B Vamos encontrar a quantidade que corresponde ao primeiro colaborador, pois temos a fração que ele conferiu, vamos lá: Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 7 Devemos encontrar 3/5 de 80, ou seja, 3 5 𝑥80 = 3𝑥80 5 = 240 5 = 48 Assim o primeiro colaborador conferiu 48, sobrando então 80 – 48 = 32 para o segundo colaborador. 02. Resposta: A Vamos chamar de x a mesada. Como ele gastou a terça parte 1/3 de 3/5 da mesada que equivale a 23,00. Podemos escrever da seguinte maneira: 1 3 . 3 5 𝑥 = 𝑥 5 = 23 → 𝑥 = 23.5 → 𝑥 = 115 Logo a metade de 115 = 115/2 = 57,50 03. Resposta: E Vamos chamar a quantidade de tortas de (x). Assim: * Dona Amélia: 𝟐 𝟑 . 𝟏 = 𝟐 𝟑 * 1º filho: 𝟑 𝟐 . 𝟐 𝟑 = 𝟏 * 2º filho: 𝟑 𝟐 . 𝟏 = 𝟑 𝟐 * 3º filho: 𝟑 𝟐 . 𝟑 𝟐 = 𝟗 𝟒 * 4º filho: 𝟑 𝟐 . 𝟗 𝟒 = 𝟐𝟕 𝟖 𝟐 𝟑 + 𝟏 + 𝟑 𝟐 + 𝟗 𝟒 + 𝟐𝟕 𝟖 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 + 𝟑𝟔 + 𝟓𝟒 + 𝟖𝟏 𝟐𝟒 = 𝟐𝟏𝟏 𝟐𝟒 = 𝟖 . 𝟐𝟒 𝟐𝟒 + 𝟏𝟗 𝟐𝟒 = 𝟖 + 𝟏𝟗 𝟐𝟒 Ou seja, eles comeram 8 tortas, mais 19/24 de uma torta. Por fim, a fração de uma torta que sobrou foi: 𝟐𝟒 𝟐𝟒 − 𝟏𝟗 𝟐𝟒 = 𝟓 𝟐𝟒 04. Resposta: B Primeiramente vamos sobrar as frações que corresponde a mãe, pai, os dois juntos comeram ¼ do bolo), Vitor e sua irmã comeu cada um deles ¼, ficando com uma equação assim: (pai e mãe) + Vitor + irmã = 1 4 + 1 4 + 1 4 = 3 4 Como eles comeram 3 4 significa que sobrou 1 4 para o total, logo vamos encontrar 1 4 de 24, ou seja, 1 4 𝑥24 = 1.24 4 = 24 4 = 6 Assim restaram 6 pedaços. 05. Resposta: B 600 dm² = 6 m² 6 720 ∶ 6 6 = 1 120 06. Resposta: D 7 5 . 45 = 7 . 9 = 63 Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 8 07. Resposta: B Aluguel:1000 ∙ 1 4 = 250 Outras despesas: 1000 ∙ 3 5 = 600 250 + 600 = 850 Restam :1000 – 850 = R$ 150,00 08. Resposta: B Para resolver esta questão devemos encontrar a quantidade de papel brilhante e de papel com textura couro, pois o restante será de textura linho, para assim encontrar o valor em dinheiro correspondente a cada um deles e descobrir o preço do papel textura linho, vamos lá! Papel brilhante: 3 4 𝑥84 = 3𝑥84 4 = 252 4 = 63 Papel com textura couro: 1 6 𝑥84 = 1𝑥84 6 = 84 6 = 14 Papel com textura linho: 63 + 14 = 77, 84 – 77 = 7 Vamos calcular os preços agora. Papel brilhante: 63𝑥15 = 945 Papel com textura couro: 14𝑥12,50 = 175 Papel com textura linho: Com os outros dois papeis ela já gastou 945 + 175 = 1120 E então 1211 – 1120 = 91 reais para dividir por 7 pacotes, logo cada pacote vai custar 91:7 = 13 reais. ESTRUTURAS LÓGICAS A lógica pela qual conhecemos hoje foi definida por Aristóteles, constituindo-a como uma ciência autônoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo, Raciocínio, Demonstração) do ponto de vista da sua estrutura ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material. A lógica matemática (ou lógica formal)estuda a lógica segundo a sua estrutura ou forma. As estruturas lógicas consistem em um sistema dedutivo de enunciados, que tem como objetivo criar um grupo de leis e regras para determinar a validade dos raciocínios. Assim, um raciocínio é considerado válido se é possível alcançar uma conclusão verdadeira a partir de premissas verdadeiras. O estudo das estruturas lógicas2, consiste em aprendermos a associar determinada proposição ao conectivo correspondente. Mas é necessário aprendermos alguns conceitos importantes para o aprendizado. Conceito de Proposição Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou uma ideia de sentido completo. Assim, as proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam, declaram fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados conceitos ou entes. Elas devem possuir além disso: - um sujeito e um predicado; - deve sempre ser possível atribuir um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F). Preenchendo esses requisitos estamos diante de uma proposição. Exemplos A) Júpiter é o maior planeta do sistema Solar Analisando temos: - Quem é o maior planeta do sistema Solar? Júpiter, logo tem um sujeito e um predicado; 2 CABRAL, L. C. D.; NUNES, M. C. de A. Raciocínio lógico passo a passo. Rio de Janeiro. Elsevier, 2013. ALENCAR FILHO, E. de. Iniciação a lógica matemática. São Paulo. Nobel, 2002. Raciocínio lógico-matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica, argumentos válidos Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 9 - É uma frase declarativa (a frase informa ou declara alguma coisa); - Podemos atribuir um valor lógico V ou F, independente da questão em si. B) Salvador é a capital do Brasil. - Quem é a capital do Brasil? Salvador (atenção, não estamos aqui para julgar), logo tem um sujeito e um predicado; - É uma frase declarativa (a frase informa ou declara alguma coisa); - Podemos atribuir um valor lógico V ou F, independente da questão em si. C) Todos os músicos são românticos. - Quem são românticos? Todos os músicos, logo tem um sujeito e um predicado; - É uma frase declarativa (a frase informa ou declara alguma coisa); - Podemos atribuir um valor lógico V ou F, independente da questão em si. Princípios Fundamentais da Lógica A Lógica matemática adota como regra fundamental três princípios3 (ou axiomas): I – PRINCÍPIO DA IDENTIDADE: uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. II – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa ao mesmo tempo. III – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa, verificamos sempre um desses casos, NUNCA existindo um terceiro caso. Se os princípios acimas não puderem ser aplicados, NÃO podemos classificar uma frase como proposição. Valores Lógicos das Proposições Chamamos de valor lógico de uma proposição: a verdade, se a proposição for verdadeira (V), e a falsidade, se a proposição for falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos verdade e falsidade respectivamente. Consideremos as seguintes proposições e os seus respectivos valores lógicos: a) A velocidade de um corpo é inversamente proporcional ao seu tempo. (V) b) A densidade da madeira é maior que a densidade da água. (F) A maioria das proposições são proposições contingenciais, ou seja, dependem do contexto para sua análise. Assim, por exemplo, se considerarmos a proposição simples: “Existe vida após a morte”, ela poderá ser verdadeira ou falsa, não importa no que nós pensamos, o que importa é que pode ser atribuído um valor lógico que será verdadeiro ou falso. Classificação das Proposições As proposições podem ser classificadas em: I - Proposições simples (ou atômicas): são formadas por uma única oração, sem conectivos, ou seja, elementos de ligação. Exemplos O céu é azul. Hoje é sábado. 3 Algumas bibliografias consideram apenas dois axiomas o II e o III. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 10 II - Proposições compostas (ou moleculares): possuem elementos de ligação (conectivos) que ligam as orações, podendo ser duas, três, e assim por diante. Exemplos O ceu é azul ou cinza. Se hoje é sábado, então vou à praia e jogo futebol. Observação: os termos em destaque são alguns dos conectivos (termos de ligação) que utilizamos em lógica matemática. Sentença aberta Quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas: a) Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem? b) Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso! c) Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão. d) Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é falsa” (expressão paradoxal); O cavalo do meu vizinho morreu (expressão ambígua); y + 6 = 4 (se y = - 2 é verdadeira, mas se y for igual a qualquer outro valor, será falsa e uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, princípio da não contradição). Proposição (sentença) fechada Quando a proposição admitir um único valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica. Questões 01. (TJ/PR – Técnico Judiciário – CESPE/2019) Considere as seguintes sentenças. I A ouvidoria da justiça recebe críticas e reclamações relacionadas ao Poder Judiciário do estado. II Nenhuma mulher exerceu a presidência do Brasil até o ano 2018. III Onde serão alocados os candidatos aprovados no concurso para técnico judiciário do TJ/PR? Assinale a opção correta. (A) Apenas a sentença I é proposição. (B) Apenas a sentença III é proposição. (C) Apenas as sentenças I e II são proposições. (D) Apenas as sentenças II e III são proposições. (E) Todas as sentenças são proposições. 02. (CEEE/RS – Técnico em Enfermagem do Trabalho – FUNDATEC/2019) Lista de símbolos: ⇒ Condicional ⇔ Bicondicional ∧ Conector “e” ∨ Conector “ou” ⊻ Conector “ou” exclusivo ¬ Negação da proposição Assinale a alternativa que apresenta um exemplo de proposição simples. DICA: Tire esse PESO de você! P: Perguntas; E: Exclamações; S: Sem sentido; O: Ordem. Não são consideradas proposições. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 11 (A) João é alto e Maria é baixa (B) Qual é o horário da missa? (C) Se João estuda, então Maria passa no concurso. (D) Dois é um número par se e somente se dez é um número ímpar. (E) Florianópolis é a capital do estado de Santa Catarina. 03. (Pref. de Guarulhos/SP – Inspetor Fiscal de Rendas – VUNESP/2019) Dentre as sentenças a seguir, aquela que é uma sentença aberta é (A) 3 ⋅ x + 4 – x – 3 – 2 ⋅ x = 0 (B) 7 + 3 = 11 (C) 0 ⋅ x = 5 (D) 13 ⋅ x = 7 (E) 43 – 1 = 42 04. (FDSBC – Oficial Administrativo – QUADRIX/2019) Das frases a seguir, a única que representa uma proposição é: (A) Ronaldo, venha até aqui, por favor. (B) Que tarde agradável! (C) Sim. (D) Maria preparou os documentos. (E) Onde estão os documentos? 05. (PM/RR – Soldado da Polícia Militar – UERR) Uma sentença aberta pode ser transformada numa proposição se for atribuído valor a uma variável. Dada a sentença aberta p(y): y2 > 10, assinale o valor a ser atribuído para tornar a proposição p(y) verdadeira: (A) x = 4 (B) y = -2 (C) y = 1 (D) x = 0 (E) y = 5 Comentários 01. Resposta: C I A ouvidoria da justiça recebe críticas e reclamações relacionadas ao Poder Judiciário do estado. É PROPOSIÇÃO. II Nenhuma mulher exerceu a presidência do Brasil até o ano 2018. É PROPOSIÇÃO. III Onde serão alocados os candidatos aprovados no concurso para técnico judiciário do TJ/PR? NÃO É UMA PROPOSIÇÃO, pois éuma pergunta. 02. Resposta: E (A) João é alto e Maria é baixa (proposição composta ligada pelo conectivo “e” conjunção) (B) Qual é o horário da missa? (Não é proposição, pois é uma pergunta) (C) Se João estuda, então Maria passa no concurso. (proposição composta ligada pelo conectivo se...então... condicional) (D) Dois é um número par se e somente se dez é um número ímpar. (proposição composta ligada pelo conectivo ...se, e somente se... bicondicional) (E) Florianópolis é a capital do estado de Santa Catarina. (é uma proposição simples) 03. Resposta: D (A) 3 ⋅ x + 4 – x – 3 – 2 ⋅ x = 0 (simplificando esta expressão teremos 0x + 1 = 0, logo será sentença fechada, pois qualquer que seja o valor para x, teremos sempre uma mesma resposta) (B) 7 + 3 = 11 (é uma sentença fechada, pois podemos assumir apenas um valor, F ou V) (C) 0 ⋅ x = 5 (é uma sentença fechada, pois qualquer que seja o valor de x, sempre podemos atribuir a mesma resposta, logo podemos valorar em V ou em F) (D) 13 ⋅ x = 7 (não é uma sentença fechada, pois um valor gera V e qualquer outro valor gera uma F) (E) 43 – 1 = 42 (é uma sentença fechada, pois podemos assumir apenas um valor, F ou V.) Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 12 04. Resposta: D (A) Ronaldo, venha até aqui, por favor. (Uma ordem, não é proposição) (B) Que tarde agradável! (Exclamação, não é uma proposição) (C) Sim. (não é proposição, não possui nem verbo) (D) Maria preparou os documentos. (É uma proposição, pois possui sentido e verbo, podendo atribuir V ou F) (E) Onde estão os documentos? (É uma pergunta, logo não é proposição) 05. Resposta: E Analisando as alternativas: A) x = 4, errado pois não temos a variável x. B) y = -2, errado, pois −22 = 4 < 10 C) y = 1, errado, pois 12 = 1 < 10 D) x = 0, não temos a variável x. E) y = 5, correto. 52 = 25 > 10 Conceito de Tabela Verdade É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. Partimos do Princípio do Terceiro Excluído, toda proposição simples é verdadeira ou falsa , tendo os valores lógicos V (verdade) ou F (falsidade). Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das proposições simples que a compõe. Número de Linhas de uma Tabela Verdade “A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simples componentes contém 2n linhas.” (* Algumas bibliografias utilizam o “p” no lugar do “n”) Os valores lógicos “V” e “F” se alteram de dois em dois para a primeira proposição “p” e de um em um para a segunda proposição “q”, em suas respectivas colunas, e, além disso, VV, VF, FV e FF, em cada linha, são todos os arranjos binários com repetição dos dois elementos “V” e “F”, segundo ensina a Análise Combinatória. Construção da tabela verdade de uma proposição composta Vamos começar contando o número de proposições simples que a integram. Se há n proposições simples componentes, então temos 2n linhas. Feito isso, atribuimos a 1ª proposição simples “p1” 2n / 2 = 2n -1 valores V , seguidos de 2n – 1 valores F, e assim por diante. Exemplos 1) Se tivermos 2 proposições temos que 2n =22 = 4 linhas e 2n – 1 = 22 - 1 = 2, temos para a 1ª proposição 2 valores V e 2 valores F se alternam de 2 em 2 , para a 2ª proposição temos que os valores se alternam ATENÇÃO: O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 13 de 1 em 1 (ou seja metade dos valores da 1ª proposição). Observe a ilustração, a primeira parte dela corresponde a árvore de possibilidades e a segunda a tabela propriamente dita. (Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) 2) Se tivermos 3 proposições simples, fazendo os cálculos temos: 2n =23 = 8 linhas e 2n – 1 = 23 - 1 = 4, temos para a 1ª proposição 4 valores V e 4 valores F se alternam de 4 em 4 , para a 2ª proposição temos que os valores se alternam de 2 em 2 (metade da 1ª proposição) e para a 3ª proposição temos valores que se alternam de 1 em 1(metade da 2ª proposição). (Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) Estudo dos Operadores e Operações Lógicas (Conectivos Lógicos) Quando efetuamos certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas, efetuamos cálculos proposicionais, semelhantes a aritmética sobre números, de forma a determinarmos os valores das proposições. 1) Negação ( ~ ): chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico oposto daquele de p. Pela tabela verdade temos: Exemplos Na primeira parte da tabela todas as afirmações são verdadeiras, logo ao negarmos os termos passam a ter como valor lógico a falsidade. Para negar algo que já possui o “não”, basta retirá-lo. A negação de “Mário não é palmeirense” será “Mário é palmeirense”. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 14 - Dupla negação (Teoria da Involução): vamos considerar as seguintes proposições primitivas, p:” Netuno é o planeta mais distante do Sol”; sendo seu valor verdadeiro ao negarmos “p”, vamos obter a seguinte proposição ~p: “Netuno NÃO é o planeta mais distante do Sol” e negando novamente a proposição “~p” teremos ~(~p): “NÃO É VERDADE que Netuno NÃO é o planeta mais distante do Sol”, sendo seu valor lógico verdadeiro (V). Logo, a dupla negação equivale a termos de valores lógicos a sua proposição primitiva. p ≡ ~(~p) 2) Conjunção “e” – produto lógico (^): chama-se de conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando as proposições, p e q, são ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. Simbolicamente temos: “p ^ q” (lê-se: “p E q”). Pela tabela verdade temos: Exemplos Sejam as seguintes proposições: p: Carlos é médico; (suponha que seja V) q: João é dentista; (suponha que seja F) r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) I – p: Carlos é médico; r: Ricardo é professor; Carlos é médico e Ricardo é professor. V e V Gera uma proposição composta Verdadeira. II – p: Carlos é médico; (suponha que seja V) q: João é dentista; (suponha que seja F) Carlos é médico e João é Dentista. V e F Gera uma proposição composta Falsa. III – r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) Manoel é jogador de futebol e Ricardo é professor. F e V Gera uma proposição composta Falsa. IV – q: João é dentista; (suponha que seja F) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) João é dentista e Manoel é jogador de futebol. F e F Gera uma proposição composta Falsa. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 15 3) Disjunção inclusiva “ou” – soma lógica – disjunção simples (v): chama-se de disjunção inclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando pelo menos uma das proposições, p e q, é verdadeira e falsidade (F) quando ambas são falsas. Simbolicamente: “p v q” (lê-se: “p OU q”). Pela tabela verdade temos: Exemplos Sejam as seguintes proposições: p: Carlos é médico; (suponha que seja V) q: João é dentista; (suponha que seja F) r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) I – p: Carlos é médico; r: Ricardo é professor; Carlos é médico ou Ricardo é professor. V ou V Gera uma proposição composta Verdadeira. II – p: Carlos émédico; (suponha que seja V) q: João é dentista; (suponha que seja F) Carlos é médico ou João é Dentista. V ou F Gera uma proposição composta Verdadeira. III – r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) Manoel é jogador de futebol ou Ricardo é professor. F ou V Gera uma proposição composta Verdadeira. IV – q: João é dentista; (suponha que seja F) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) João é dentista ou Manoel é jogador de futebol. F ou F Gera uma proposição composta Falsa. DICA: Na conjunção (e), só é Verdade se as duas partes forem V, caso contrário a conjunção será Falsa. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 16 4) Disjunção exclusiva ( v ): chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q, cujo valor lógico é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Simbolicamente: “p v q” (lê-se; “OU p OU q”; “OU p OU q, MAS NÃO AMBOS”). Pela tabela verdade temos: Exemplos Sejam as seguintes proposições: p: Carlos é médico; (suponha que seja V) q: João é dentista; (suponha que seja F) r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) I – p: Carlos é médico; r: Ricardo é professor; OU Carlos é médico ou Ricardo é professor. Ou V ou V Gera uma proposição composta Falsa. II – p: Carlos é médico; (suponha que seja V) q: João é dentista; (suponha que seja F) Ou Carlos é médico ou João é Dentista. Ou V ou F Gera uma proposição composta Verdadeira. III – r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) OU Manoel é jogador de futebol ou Ricardo é professor. Ou F ou V Gera uma proposição composta Verdadeira. IV – q: João é dentista; (suponha que seja F) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) Ou João é dentista ou Manoel é jogador de futebol. Ou F ou F Gera uma proposição composta Falsa. DICA: Na disjunção simples (ou), só é Falso se as duas partes forem F, caso contrário a disjunção simples será V, ou seja, uma parte sendo V já garante que ela seja V. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 17 5) Implicação lógica ou condicional (→): chama-se proposição condicional ou apenas condicional representada por “se p então q”, cujo valor lógico é falsidade (F) no caso em que p é verdade e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. Simbolicamente: “p → q” (lê-se: p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p). p é o antecedente e q o consequente e “→” é chamado de símbolo de implicação. Pela tabela verdade temos: Exemplos Sejam as seguintes proposições: p: Carlos é médico; (suponha que seja V) q: João é dentista; (suponha que seja F) r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) I – p: Carlos é médico; r: Ricardo é professor; Se Carlos é médico, então Ricardo é professor. V → V Gera uma proposição composta Verdadeira. II – p: Carlos é médico; (suponha que seja V) q: João é dentista; (suponha que seja F) Se Carlos é médico, então João é Dentista. V → F Gera uma proposição composta FALSA. III – r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) Se Manoel é jogador de futebol, então Ricardo é professor. F → V Gera uma proposição composta Verdadeira. IV – q: João é dentista; (suponha que seja F) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) Se João é dentista, então Manoel é jogador de futebol. F → F Gera uma proposição composta Verdadeira. DICA: Na disjunção exclusiva (ou...ou...), só é Falso se as duas partes forem F, ou se as duas partes forem V, ou seja, se as duas partes tiverem o mesmo valor lógico, o resultado será falso. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 18 6) Dupla implicação ou bicondicional (↔):chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas e a falsidade (F) nos demais casos. Simbolicamente: “p ↔ q” (lê-se: p é condição necessária e suficiente para q; q é condição necessária e suficiente para p). Pela tabela verdade temos: Exemplos Sejam as seguintes proposições: p: Carlos é médico; (suponha que seja V) q: João é dentista; (suponha que seja F) r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) I – p: Carlos é médico; r: Ricardo é professor; Carlos é médico se, e somente se Ricardo é professor. V ↔ V Gera uma proposição composta Verdadeira. II – p: Carlos é médico; (suponha que seja V) q: João é dentista; (suponha que seja F) Carlos é médico se, e somente se João é Dentista. V ↔ F Gera uma proposição composta FALSA. III – r: Ricardo é professor; (suponha que seja V) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) Manoel é jogador de futebol se, e somente se Ricardo é professor. F ↔ V Gera uma proposição composta FALSA. IV – q: João é dentista; (suponha que seja F) s: Manoel é jogador de futebol. (suponha que seja F) João é dentista se, e somente se Manoel é jogador de futebol. F ↔ F Gera uma proposição composta Verdadeira. DICA: Na condicional (Se...então...), só é Falso se a primeira parte (antecedente) for V e a segunda parte (consequente) for F, caso contrário será sempre Verdadeiro. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 19 Transformação da linguagem corrente para a simbólica Este assunto é muito abordado em provas, ou então, os candidatos(as) acabam utilizando para resolver as questões de lógica, eu particularmente, sempre transformo para a linguagem simbólica, pois acredito que facilita a resolução dos exercícios. Sejam as seguintes proposições simples denotadas por “p”, “q” e “r” representadas por: p: Luciana estuda. q: João bebe. r: Carlos dança. Sejam, agora, as seguintes proposições compostas denotadas por: “P”, “Q”, “R”, representadas por: P: Se Luciana estuda e João bebe, então Carlos não dança. Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana não estuda. R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. O primeiro passo é destacarmos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e as proposições. Depois reescrevermos de forma simbólica, vejamos: Juntando as informações temos que, P: (p ^ q) → ~r Continuando: Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana estuda. Simbolicamente temos: Q: ~ (q v r ^ ~p). R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. (p v r) ↔ ~q Observação: os termos “É falso que”, “Não é verdade que”, “É mentira que” e “É uma falácia que”, quando iniciam as frases negam, por completo, as frases subsequentes. O uso de parêntesis A necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições se deve a evitar qualquer tipo de ambiguidade, assim na proposição, p ^ q v r, nos dá as seguintes proposições: DICA: Na bicondicional (...se, e somente se...), só é Verdadeiro quando ambas forem iguais (FF ou VV), se for uma parcela verdadeira e a outra falsa, a bicondicional será falsa, é o contrário da disjunção exclusiva. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 20 (I) (p ^ q) v r - Conectivo principal é da disjunção simples. (II) p ^ (q v r) - Conectivo principal é da conjunção. As quais apresentam significados diferentes, pois os conectivos principais de cada proposição composta dão valores lógicos diferentes como conclusão. Agora observe a expressão: p ^ q → r v s, dá lugar, colocando parêntesisas seguintes proposições: a) ((p ^ q) → r) v s b) p ^ ((q → r) v s) c) (p ^ (q → r)) v s d) p ^ (q → (r v s)) e) (p ^ q) → (r v s) Aqui duas quaisquer delas não tem o mesmo significado. Porém existem muitos casos que os parêntesis são suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidade alguma venha a aparecer. Para isso a supressão do uso de parêntesis se faz mediante a algumas convenções, das quais duas são particularmente importantes: 1ª) A “ordem de precedência” para os conectivos é: (I) ~ (negação) (II) ̂ , v (conjunção “e” ou disjunção simples “ou”, têm a mesma precedência, operando-se o que ocorrer primeiro, da esquerda para direita). (III) v (disjunção exclusiva, ou...ou...) (III) → (condicional, se...então...) (IV) ↔ (bicondicional, ...se, e somente se...) Portanto o mais “fraco” é “~” e o mais “forte” é “↔”. Logo: Os símbolos → e ↔ têm preferência sobre ^ e v. Exemplos 1) p → q ↔ s ^ r, é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la numa condicional há que se usar parêntesis: p →( q ↔ s ^ r ) E para convertê-la em uma conjunção: (p → q ↔ s) ^ r 2ª) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda. Segundo estas duas convenções, as duas seguintes proposições se escrevem: - Outros símbolos para os conectivos (operadores lógicos): “¬” (cantoneira) para negação (~). “●” e “&” para conjunção (^). .(→) ferradura) para a condicional) ”כ“ Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões (Fonte: http://www laifi.com.) Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 21 Exemplo 1) Vamos construir a tabela verdade da proposição: P(p,q) = ~ (p ^ ~q) 1ª Resolução) Vamos formar o par de colunas correspondentes as duas proposições simples p e q. Em seguida a coluna para ~q , depois a coluna para p ^ ~q e a útima contendo toda a proposição ~ (p ^ ~q), atribuindo todos os valores lógicos possíveis de acordo com os operadores lógicos. 2ª Resolução) Vamos montar primeiro as colunas correspondentes a proposições simples p e q , depois traçar colunas para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que compõem a proposição composta. Depois completamos, em uma determinada ordem as colunas escrevendo em cada uma delas os valores lógicos. Observe que, vamos preenchendo a tabela com os valores lógicos (V e F), depois resolvemos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e obtemos em 4 os valores lógicos da proposição que correspondem a todas possíveis atribuições de p e q. 3ª Resolução) Resulta em suprimir a tabela verdade anterior as duas primeiras da esquerda relativas às proposições simples componentes p e q. Obtermos então a seguinte tabela verdade simplificada: Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 22 ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES4 Propriedades da Conjunção Sendo as proposições p, q e r simples, quaisquer que sejam t e w, proposições também simples, cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade), temos as seguintes propriedades: 1) Idempotente: p ^ p ⇔ p (o símbolo “⇔” representa equivalência). A tabela verdade de p ^ p e p, são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ p ↔ p é tautológica. 2) Comutativa: p ^ q ⇔ q ^ p A tabela verdade de p ^ q e q ^ p são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ q ↔ q ^ p é tautológica. 3) Associativa: (p ^ q) ^ r ⇔ p ^ (q ^ r) A tabela verdade de (p ^ q) ^ r e p ^ (q ^ r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ r) é tautológica. 4) Identidade: p ^ t ⇔ p e p ^ w ⇔ w A tabela verdade de p ^ t e p, e p ^ w e w são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ t ↔ p e p ^ w ↔ w são tautológicas. Estas propriedades exprimem que t e w são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente da conjunção. Propriedades da Disjunção Sendo as proposições p, q e r simples, quaisquer que sejam t e w, proposições também simples, cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade), temos as seguintes propriedades: 1) Idempotente: p v p ⇔ p A tabela verdade de p v p e p, são idênticas, ou seja, a bicondicional p v p ↔ p é tautológica. 4 CABRAL, L. C. D.; NUNES, M. C. de A. Raciocínio lógico passo a passo. Rio de Janeiro. Elsevier, 2013. ALENCAR FILHO, E. de. Iniciação a lógica matemática. São Paulo. Nobel, 2002. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 23 2) Comutativa: p v q ⇔ q v p A tabela verdade de p v q e q v p são idênticas, ou seja, a bicondicional p v q ↔ q v p é tautológica. 3) Associativa: (p v q) v r ⇔ p v (q v r) A tabela verdade de (p v q) v r e p v (q v r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p v q) v r ↔ p v (q v r) é tautológica. 4) Identidade: p v t ⇔ t e p v w ⇔ p A tabela verdade de p v t e p, e p v w e w são idênticas, ou seja, a bicondicional p v t ↔ t e p v w ↔ p são tautológicas. Estas propriedades exprimem que t e w são respectivamente elemento absorvente e elemento neutro da disjunção. Propriedades da Conjunção e Disjunção Sejam p, q e r proposições simples quaisquer. 1) Distributiva: - p ^ (q v r) ⇔ (p ^ q) v (p ^ r) - p v (q ^ r) ⇔ (p v q) ^ (p v r) A tabela verdade das proposições p ^ (q v r) e (p v q) ^ (p v r) são idênticas, e observamos que a bicondicional p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r) é tautológica. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 24 Analogamente temos ainda que a tabela verdade das proposições p v (q ^ r) e (p v q) ^ (p v r) são idênticas e sua bicondicional p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r) é tautológica. A equivalência p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r), exprime que a conjunção é distributiva em relação à disjunção, e a equivalência p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r), exprime que a disjunção é distributiva em relação à conjunção. Exemplo “Carlos estuda E Jorge trabalha OU viaja” é equivalente à seguinte proposição: “Carlos estuda E Jorge trabalha” OU “Carlos estuda E Jorge viaja”. 2) Absorção: - p ^ (p v q) ⇔ p - p v (p ^ q) ⇔ p A tabela verdade das proposições p ^ (p v q) e p, ou seja, a bicondicional p ^ (p v q) ↔ p é tautológica. Analogamente temos ainda que a tabela verdade das proposições p v (p ^ q) e p são idênticas, ou seja, a bicondicional p v (p ^ q) ↔ p é tautológica. Sinônimos dos Conectivos Lógicos Não é tão incomum utilizar alguns sinônimos para os conectivos lógicos, vamos ver alguns deles. Seja p: João é Dentista, q: João é paulista. João é dentista, mas é paulista. João é dentista e paulista. e = mas (conjunção) João não é dentista, nem paulista. João não é dentista e não é paulista. Nem = e + não Referências CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. Questões 01. (DOCAS/PB – Assistente Administrativo – IBFC) Se o valor lógico de uma proposição “P” é verdade e o valor lógico de uma proposição “Q” é falso, então o valor lógico do bicondicional entre as duas proposições é: (A) Falso (B) Verdade (C) Inconclusivo (D) Falso ou verdade Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 25 02. (DOCAS/PB – Assistente Administrativo – IBFC) Dentre as alternativas, a única correta é: (A) O valor lógico da conjunção entre duas proposições é verdade se os valores lógicos das duas proposições forem falsos. (B) O valor lógico do bicondicional entre duas proposições é verdade se os valores lógicos das duas proposições forem falsos. (C) O valor lógico da disjunção entre duas proposições é verdade se os valoreslógicos das duas proposições forem falsos. (D) O valor lógico do condicional entre duas proposições é falso se os valores lógicos das duas proposições forem falsos. 03. (EBSERH – Técnico em Citopatologia – AOCP) Considerando a proposição composta (p ∨ r), é correto afirmar que (A) a proposição composta é falsa se apenas p for falsa. (B) a proposição composta é falsa se apenas r for falsa. (C) para que a proposição composta seja verdadeira é necessário que ambas, p e r sejam verdadeiras. (D) para que a proposição composta seja verdadeira é necessário que ambas, p e r sejam falsas. (E) para que a proposição composta seja falsa é necessário que ambas, p e r sejam falsas. 04. (MEC – Conhecimentos básicos para os Postos 9,10,11 e 16 – CESPE) A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso. Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo. A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na posição horizontal é igual a ( ) Certo ( ) Errado 05. (FLAMA/SC – Geólogo – UNESC/2019) Considere verdadeiras as afirmações a seguir: I - Se Vivi é costureira, então Verônica não é advogada II - Se Verinha é bailarina, então Verônica é advogada III - Virna é professora IV - Ou Verinha é bailarina, ou Virna não é professora. Com base nessas afirmações podemos concluir corretamente que: (A) Se Virna é professora, então Verônica não é advogada (B) Se Verônica não é advogada, então Verinha não é bailarina (C) Virna é professora e Verônica não é advogada (D) Verônica não é advogada ou Vivi é costureira 06. (Pref. de Manaus/AM – Assistente Técnico Fazendário – FCC/2019) Aos domingos, − como pizza no jantar ou não tomo açaí, − corro ou jogo futebol e − tomo açaí ou não corro. Se, no último domingo, não joguei futebol, então Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 26 (A) corri e não comi pizza no jantar. (B) não corri e comi pizza no jantar. (C) não comi pizza no jantar e não tomei açaí. (D) não corri e não tomei açaí. (E) corri e tomei açaí. 07. (BRDE-Analista de Sistemas, Desenvolvimento de Sistemas – FUNDATEC) Qual operação lógica descreve a tabela verdade da função Z abaixo cujo operandos são A e B? Considere que V significa Verdadeiro, e F, Falso. (A) Ou. (B) E. (C) Ou exclusivo. (D) Implicação (se...então). (E) Bicondicional (se e somente se). 08. (TCE/SP – Auxiliar da Fiscalização Financeira II – FCC) Considere a afirmação condicional: Se Alberto é médico ou Alberto é dentista, então Rosa é engenheira. Seja R a afirmação: 'Alberto é médico'; Seja S a afirmação: 'Alberto é dentista' e Seja T a afirmação: 'Rosa é engenheira'. A afirmação condicional será considerada necessariamente falsa quando (A) R for verdadeira, S for falsa e T for verdadeira. (B) R for falsa, S for verdadeira e T for verdadeira. (C) R for falsa, S for falsa e T for falsa. (D) R for falsa, S for falsa e T for verdadeira. (E) R for verdadeira, S for falsa e T for falsa. 09. (TER-RJ – Analista Judiciário – CONSULPLAN) De acordo com algumas implicações lógicas, analise as afirmativas a seguir. I. Se p é verdadeira e q é verdadeira, então p Λ q é verdadeira. II. Se p é verdadeira ou q é verdadeira, então p V q é falsa. III. Se p é verdadeira e p ⟶ q é verdadeira, então q é verdadeira. IV. Se ~p é verdadeira e p V q é verdadeira, então q é verdadeira. V. Se ~q é verdadeira e p ⟶ q é verdadeira, então ~p é verdadeira. VI. Se p V q é verdadeira, p ⟶ r é verdadeira e q ⟶ r é verdadeira, então r é verdadeira. VII. p V [q Λ (~q)]⇔ p. VIII. p⟶ q⇔(~p) V p. Estão INCORRETAS apenas as afirmativas (A) I e II. (B) II e VIII. (C) I, II, VI e VIII. (D) III, IV, V e VI. 10. (ISGH - Médico Pediatra - Instituto Pró Município) Analise as seguintes proposições: Proposição I: 4 é número par; Proposição II: 2 > 5; Proposição III: 6 é número ímpar. Qual das proposições abaixo apresenta valor lógico verdadeiro? (A) Se 2 > 5 e 6 é número ímpar, então 4 é número par; (B) Se 2 > 5 ou 4 é número par, então 6 é número ímpar; Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 27 (C) Se 4 é número par ou 6 é número ímpar, então 2 > 5; (D) Se 4 é número par, então 2 > 5 ou 6 é número ímpar. 11. (Câm. de Indaiatuba/SP – Analista de Sistemas – VUNESP/2018) Considere verdadeiras as afirmações I e II, e falsa a afirmação III. I. Se Hugo é policial, então Beatriz é juíza. II. Se Fernando é vereador, então Vanessa é professora. III. Beatriz não é juíza ou Vanessa é professora. A alternativa que contém uma afirmação necessariamente verdadeira, com base nas afirmações apresentadas é: (A) Fernando não é vereador (B) Hugo é policial. (C) Hugo não é policial e Fernando é vereador. (D) Hugo é policial e Fernando não é vereador. (E) Hugo é policial ou Fernando é vereador. Comentários 01. Resposta: A Na tabela da bicondicional só será verdadeiro se a primeira parte for igual à segunda, ou seja, VV ou FF, neste exercício ele pergunta VF, portanto gera uma falsidade. 02. Resposta: B Vamos relembrar as tabelas verdades. Conjunção: Só é Verdadeiro se as duas partes forem verdadeiras (VV), caso contrário será FALSA. Disjunção Simples: Só é Falso se as duas partes forem falsas (FF), caso contrário será VERDADEIRA. Condicional: Só é Falso se for Verdade na primeira e falsidade na segunda (VF), caso contrário será VERDADEIRA. Bicondicional: Só é Verdadeiro se as duas partes forem iguais (VV ou FF), caso contrário será FALSA. Disjunção Exclusiva: É o contrário da bicondicional, é Falsa quando as duas partes forem iguais (VV ou FF), caso contrário será VERDADEIRA. Portanto a alternativa correta é a alternativa B. 03. Resposta: E O símbolo “v” é da disjunção simples, e ela só é falsa quando as duas proposições que a compõe são falsas. 04. Resposta: Certo Precisamos montar a tabela verdade de P v (Q↔R), como a bicondicional está entre parêntesis a última coluna será da disjunção simples, montando a tabela verdade temos: No enunciado a última coluna está na horizontal, mas a ordem é idêntica, logo está correta. 05. Resposta: B I - Se Vivi é costureira, então Verônica não é advogada II - Se Verinha é bailarina, então Verônica é advogada III - Virna é professora IV - Ou Verinha é bailarina, ou Virna não é professora. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 28 Como elas são verdadeiras, procuramos alguma proposição simples ou alguma conjunção, pois só existe uma possibilidade para elas serem verdadeiras, vamos iniciar pela III - Virna é professora, pois é uma proposição simples. Agora vamos pela: Como temos um Ou...ou... para ser verdadeiro sabendo que Virna não é professora é falso, resta que Verinha é bailarina será verdadeira. IV - Ou Verinha é bailarina, ou Virna não é professora. V F Agora vamos para a II II - Se Verinha é bailarina, então Verônica é advogada V V Verônica é advogada tem que ser verdadeira, pois caso contrário teríamos VF e na condicional isso é falso, agora vamos para I. I - Se Vivi é costureira, então Verônica não é advogada F F Verônica não é advogada será falso, pois Verônica é advogada era verdadeira, logo Vivi é costureira precisa ser falsa, senão teríamos um VF e na condicional isso é falso. Verinha é bailarina – VERDADEIRO Virna é professora – VERDADEIRO Verônica é advogada – VERDADEIRO Vivi é costureira – FALSO Vamos analisar as alternativas agora: (A) Se Virna é professora, então Verônica não é advogada V→F essa condicional é falsa (B) Se Verônica não é advogada, então Verinha não é bailarina F → F, essa condicional é verdadeira, logo é a alternativa correta. (C) Virnaé professora e Verônica não é advogada F e F a conjunção será FALSA (D) Verônica não é advogada ou Vivi é costureira F ou F, essa disjunção simples será falsa. 06. Resposta: E Repare que temos algumas premissas, portanto precisamos encontrar alguma destas premissas que contenha uma conjunção ou proposição simples, ou iniciar pela informação dada no enunciado, observe: Se, no último domingo, não joguei futebol, então Não jogar futebol será V, logo jogar Futebol será F, portanto partiremos daqui, agora utilizaremos a premissa que fala sobre futebol: − corro ou jogo futebol ? ou F, para a disjunção simples ser verdadeira o ? precisa obrigatoriamente ser V, logo correr é V. − tomo açaí ou não corro. ? ou F, repare que para a disjunção simples ser V o ? precisa obrigatoriamente ser V, logo tomo açaí é V. − como pizza no jantar ou não tomo açaí, ? ou F, novamente o ? precisa ser V, logo como pizza no jantar é V. Sendo assim teremos: Correr: VERDADEIRO Jogar futebol: VERDADEIRO Tomar açaí: VERDADEIRO Comer pizza no jantar: VERDADEIRO Vamos analisar as alternativas: (A) corri e não comi pizza no jantar. V e F, essa conjunção é FALSA. (B) não corri e comi pizza no jantar. F e V, essa conjunção é FALSA. (C) não comi pizza no jantar e não tomei açaí. F e F, essa conjunção é FALSA. (D) não corri e não tomei açaí. F e F, essa conjunção é FALSA. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 29 (E) corri e tomei açaí. V e V, essa conjunção é VERDADEIRA, logo é a alternativa correta. 07. Resposta: D Como Z é o operador, repare a tabela verdade, só temos 1 caso em que é falso, sendo assim já diminui nossas possibilidades, repare que no falso, os operandos temos VF e gera F, pensando na tabela verdade, teríamos uma condicional, vamos exemplificar: Observe novamente a tabela abaixo, considere A = p, B = q e Z = condicional. 08. Resposta: E RvS→T Para a condicional ser falsa, devemos ter: V→F Portanto a afirmação (T: Rosa é engenheira) tem que ser falsa. E para RvS ser verdadeira, as duas só não podem ser falsas. Lembrando pela tabela verdade de cada uma: Condicional Disjunção Desta forma, T é necessariamente falsa, já R, S só não pode ser ambas falsas, portanto a única alternativa em que T é falsa e R ou S não são falsas simultaneamente é a alternativa E. 09. Resposta: B Vamos analisar as informações. I. Se p é verdadeira e q é verdadeira, então p Λ q é verdadeira. Verdadeira, pois V e V gera uma verdade II. Se p é verdadeira ou q é verdadeira, então p V q é falsa. Na disjunção se uma for verdadeira já basta para a disjunção simples ser verdadeira. III. Se p é verdadeira e p ⟶ q é verdadeira, então q é verdadeira. Na condicional, p,q verdadeiras gera p ⟶ q verdadeira, correta. IV. Se ~p é verdadeira e p V q é verdadeira, então q é verdadeira. ~p é verdadeira, então p é falsa, com isso q é obrigatoriamente verdadeira, logo está correta. V. Se ~q é verdadeira e p ⟶ q é verdadeira, então ~p é verdadeira. ~q é verdadeira, então q é falsa, mas temos que p ⟶ q é verdadeira, logo p precisa ser falsa, sendo assim ~p vai ser verdadeira. Podemos até continuar mostrando cada uma delas, mas apenas com a I sendo verdadeira e II sendo falsa, a única alternativa que dá certo é a alternativa “B”. 10. Resposta: A Para solucionar essa questão, basta saber que na condicional (A ⟶ B), sendo B (Verdade) ela será sempre verdadeira. Pois na condicional somente é falso quando: (V ⟶ F = F) Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 30 Sabendo disso, Se 2 > 5 e 6 é número ímpar, então 4 é número par; Nem precisa fazer ⟶ V = Verdadeiro 4 é um número par então será verdadeiro, daí não importa o valor do antecedente (nesse caso 2 > 5 e 6 é número ímpar) a afirmação inteira já vai ser verdadeira. 11. Resposta: A No enunciado foi dado os valores lógicos das afirmações: I. Se Hugo é policial, então Beatriz é juíza. VERDADEIRA II. Se Fernando é vereador, então Vanessa é professora. VERDADEIRA III. Beatriz não é juíza ou Vanessa é professora. FALSA Precisamos descobrir o valor lógico de cada uma das proposições simples, vamos começar pela III, pois para a disjunção simples ser falsa, só tem uma possibilidade, que será ambas falsas, sendo assim Beatriz não é juíza FALSA Vanessa é professora FALSA Agora vamos para a afirmação II. II. Se Fernando é vereador, então Vanessa é professora ? ⟶ F, logo o ? precisa obrigatoriamente ser Falso, pois II é verdadeiro, sendo assim: Fernando é vereador FALSA Vamos analisar a afirmação I. I. Se Hugo é policial, então Beatriz é juíza. ? ⟶ V, independentemente do valor de ? a condicional sempre será verdadeira, logo não podemos afirmar nada sobre Hugo é policial. Portanto: Beatriz é juíza VERDADEIRO Vanessa não é professora VERDADEIRO Fernando não é vereador VERDADEIRO Hugo é policial – NADA podemos afirmar. Vamos analisar as afirmativas: (A) Fernando não é vereador Verdadeiro, portanto, é a alternativa correta. (B) Hugo é policial. Não podemos afirmar. (C) Hugo não é policial e Fernando é vereador. ? e F, independentemente de Hugo não ser policial, na conjunção se uma proposição já for falsa a conjunção já será falsa. (D) Hugo é policial e Fernando não é vereador. ? e V, para esta conjunção ser V, Hugo é policial deveria ser V, mas não podemos afirmar nada sobre ele, portanto não podemos concluir. (E) Hugo é policial ou Fernando é vereador. ? ou F, como temos uma disjunção simples, pelo menos uma das proposições precisa ser verdadeira, logo neste caso Hugo é policial deveria ser verdadeiro, mas não podemos afirmar nada sobre ele, portanto, não podemos concluir a veracidade desta afirmação. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS Diz-se que duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo estruturas lógicas diferentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade. Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são CONTRADIÇÕES, então são EQUIVALENTES. Exemplo Dada as proposições “~p → q” e “p v q” verificar se elas são equivalentes. Vamos montar a tabela verdade para sabermos se elas são equivalentes. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 31 Observamos que as proposições compostas “~p → q” e “p ∨ q” são equivalentes. ~p → q ≡ p ∨ q ou ~p → q ⇔ p ∨ q, onde “≡” e “⇔” são os símbolos que representam a equivalência entre proposições. Equivalências fundamentais (Propriedades Fundamentais): a equivalência lógica entre as proposições goza das propriedades simétrica, reflexiva e transitiva. 1 – Simetria (equivalência por simetria) a) p ^ q ⇔ q ^ p b) p v q ⇔ q v p c) p ∨ q ⇔ q ∨ p d) p ↔ q ⇔ q ↔ p 2 - Reflexiva (equivalência por reflexão) p → p ⇔ p → p 3 – Transitiva Se P(p,q,r,...) ⇔ Q(p,q,r,...) E Q(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) ENTÃO P(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) . Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 32 Equivalências notáveis 1 - Distribuição (equivalência pela distributiva) a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) b) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 2 - Associação (equivalência pela associativa) a) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r) b) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ (p ∨ r) Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 33 3 – Idempotência a) p ⇔ (p ∧ p) b) p ⇔ (p ∨ p) 4 - Pela contraposição: de uma condicional gera-se outra condicional equivalente à primeira, apenas invertendo-se e negando-se as proposições simples que as compõem. 1º caso – (p → q) ⇔ (~q → ~p) Exemplo p → q: Se André é professor, então é pobre. ~q → ~p: Se André não é pobre, então não é professor. 2º caso: (~p → q) ⇔ (~q → p) Exemplo~p → q: Se André não é professor, então é pobre. ~q → p: Se André não é pobre, então é professor. 3º caso: (p → ~q) ⇔ (q → ~p) Exemplo p → ~q: Se André é professor, então não é pobre. q → ~p: Se André é pobre, então não é professor. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 34 4 º Caso: (p → q) ⇔ ~p v q Exemplo p → q: Se estudo então passo no concurso. ~p v q: Não estudo ou passo no concurso. 5 - Pela bicondicional a) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p), por definição b) (p ↔ q) ⇔ (~q → ~p) ∧ (~p → ~q), aplicando-se a contrapositiva às partes c) (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) 6 - Pela exportação-importação [(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)] Proposições Associadas a uma Condicional (se, então) Chama-se proposições associadas a p → q as três proposições condicionadas que contêm p e q: – Proposições recíprocas: p → q: q → p – Proposição contrária: p → q: ~p → ~q – Proposição contrapositiva: p → q: ~q → ~p Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 35 Observe a tabela verdade dessas quatro proposições: Note que: Observamos ainda que a condicional p → q e a sua recíproca q → p ou a sua contrária ~p → ~q NÃO SÃO EQUIVALENTES. Exemplos p → q: Se T é equilátero, então T é isósceles. (V) q → p: Se T é isósceles, então T é equilátero. (F) Exemplo Vamos determinar: a) A contrapositiva de p → q b) A contrapositiva da recíproca de p → q c) A contrapositiva da contrária de p → q Resolução a) A contrapositiva de p → q é ~q → ~p A contrapositiva de ~q → ~p é ~~p → ~~q ⇔ p → q b) A recíproca de p → q é q → p A contrapositiva de q → p é ~p → ~q c) A contrária de p → q é ~p → ~q A contrapositiva de ~p → ~q é q → p Equivalência “NENHUM” e “TODO” 1 – NENHUM A é B ⇔ TODO A é não B. Exemplo: Nenhum médico é tenista ⇔ Todo médico é não tenista (= Todo médico não é tenista) 2 – TODO A é B ⇔ NENHUM A é não B. Exemplo: Toda música é bela ⇔ Nenhuma música é não bela (= Nenhuma música é bela) Referências ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 36 Questões 01. (MRE – Oficial de Chancelaria – FGV) Considere a sentença: “Corro e não fico cansado". Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é: (A) Se corro então fico cansado. (B) Se não corro então não fico cansado. (C) Não corro e fico cansado. (D) Corro e fico cansado. (E) Não corro ou não fico cansado. 02. (TCE/RN – Conhecimentos Gerais para o cargo 4 – CESPE) Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel". A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra" seja verdadeira, julgue o item seguinte. A proposição P é logicamente equivalente à proposição “O comprador escritura o imóvel, ou não o registra". ( ) Certo ( ) Errado Comentários 01. Resposta: A. A negação de P→Q é P ^ ~ Q A equivalência de P→Q é ~P v Q ou pode ser: ~Q-->~P 02. Resposta: Certo. Relembrando temos que: Se p então q = Não p ou q. (p → q = ~p v q) IMPLICAÇÃO LÓGICA Se uma proposição P (p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q (p,q,r,...) se Q (p,q,r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P (p,q,r,...) é verdadeira (V), ou seja, a proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia. Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos: P (p,q,r,...) ⇒ Q (p,q,r,...). A não ocorrência de VF na tabela verdade de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P → Q será sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia. Observação: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a condicional, que é um conectivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou não existir entre duas proposições. Exemplo A tabela verdade da condicional (p ^ q) → (p ↔ q) será: p q p ^ q p ↔ q (p ^ q) → (p ↔ q) V V V V V V F F F V F V F F V F F F V V Portanto, (p ^ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p ^ q) ⇒ (p ↔q). Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 37 Em particular: - Toda proposição implica uma Tautologia: p ⇒ p v ~p p p v ~p V V F V - Somente uma contradição implica uma contradição: p ^ ~p ⇒ p v ~p → p ^ ~p p ~p p ^ ~p p v ~p → p ^ ~p V F F F F V F F Propriedades da Implicação Lógica A implicação lógica goza das propriedades reflexiva e transitiva: Reflexiva: P (p,q,r,...) ⇒ P (p,q,r,...) Uma proposição complexa implica ela mesma Transitiva: Se P (p,q,r,...) ⇒ Q (p,q,r,...) e Q (p,q,r,...) ⇒ R (p,q,r,...), então P (p,q,r,...) ⇒ R (p,q,r,...) Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R Exemplificação e Regras de Inferência Inferência é o ato de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamente verdadeiras. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras já existentes. Vejamos as regras de inferência obtidas da implicação lógica: 1 – A tabela verdade das proposições p ^ q, p v q , p ↔ q é: A proposição “p ^ q” é verdadeira (V) somente na 1ª linha, e também nesta linha as proposições “p v q” e “p → q” também são. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições. Então: p ^ q ⇒ p v q p ^ q ⇒ p → q A tabela acima também demonstram as importantes Regras de Inferência: Adição – p ⇒ p v q e q ⇒ p v q Simplificação – p ^ q ⇒ p e p ^ q ⇒ q 2 – A tabela verdade das proposições p ↔ q, p → q e q → p, é: L p q p ↔ q p → q q → p 1ª V V V V V 2ª V F F F V 3ª F V F V F 4ª F F V V V Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 38 A proposição “p ↔ q” é verdadeira (V) na 1ª e 4ª linha e as proposições “p → q” e “q → p” também são verdadeiras. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições. Então: p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p 3 - Dada a proposição: (p v q) ^ ~p sua tabela verdade é: p q p v q ~p (p v q) ^ ~p V V V F F V F V F F F V V V V F F F V F Esta proposição é verdadeira somente na 3ª linha e nesta linha a proposição “q” também verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada Regra do Silogismo disjuntivo. (p v q) ^ ~p ⇒ q É válido também: (p v q) ^ ~q ⇒ p 4 – A tabela verdade da proposição (p → q) ^ p é: A proposição é verdadeira somente na 1ª linha, e nesta linha a proposição “q” também é verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, também denominada Regra de Modus ponens. (p → q) ^ p ⇒ q 5 – A tabela verdade das proposições (p → q) ^ ~q e ~p é: A proposição (p → q) ^ ~q é verdadeira somente na 4º linha e nesta a proposição “~p” também é verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada de Regra Modus tollens. (p → q) ^ ~q ⇒ ~p Observe que “~p” implica “p → q”, isto é: ~p ⇒ p → q Recapitulando as Regras de Inferência aplicadas a Implicação Lógica: Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 39 Adição p ⇒ p v q q ⇒ p v q Simplificação p ^ q ⇒ p p ^ q ⇒ q Silogismo disjuntivo (p v q) ^ ~p ⇒ q (p v q) ^ ~q ⇒ p Modus ponens (p → q) ^ p ⇒ q Modus tollens (p → q) ^ ~q ⇒ ~p Referência ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. Questões 01. (TJ/PI – Analista Judiciário – EscrivãoJudicial – FGV) Renato falou a verdade quando disse: • Corro ou faço ginástica. • Acordo cedo ou não corro. • Como pouco ou não faço ginástica. Certo dia, Renato comeu muito. É correto concluir que, nesse dia, Renato: (A) correu e fez ginástica; (B) não fez ginástica e não correu; (C) correu e não acordou cedo; (D) acordou cedo e correu; (E) não fez ginástica e não acordou cedo. 02. Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: (A) André é artista se e somente Bernardo não é engenheiro. (B) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. (C) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. (D) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. (E) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 03. Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista,” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: (A) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. (B) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. (C) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. (D) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. (E) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. Respostas 01. Resposta: D. Na disjunção, para evitarmos que elas fiquem falsas, basta por uma das proposições simples como verdadeira, logo: “Renato comeu muito” Como pouco ou não faço ginástica F V Corro ou faço ginástica V F Acordo cedo ou não corro V F Portanto ele: Comeu muito Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 40 Não fez ginástica Correu, e; Acordou cedo 02. Resposta D Na expressão temos ~p v q p → q ~q → ~p. Temos duas possibilidades de equivalência p → q: Se André não é artista , então Bernardo não é engenheiro. Porém não temos essa opção ~q → ~p: Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. Logo reposta letra d). 03. Resposta: A. Na expressão temos ~p v q p → q p → q: Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. Letra a). NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Quando se nega uma proposição composta primitiva, gera-se outra proposição também composta e equivalente à negação de sua primitiva. Obs.: O símbolo “⇔” representa equivalência entre as proposições. Vejamos: – Negação de uma disjunção exclusiva Por definição, ao negar-se uma DISJUNÇÃO EXCLUSIVA, gera-se uma BICONDICIONAL. ~ (p v q) ⇔ (p ↔ q) ⇔ (p → q) ^ (q → p) p q ~ (p v q) p ↔ q (p → q) ^ (q → p) V V V V F V V V V V V V V V V V V F F V V F V F F V F F F F V V F V F F V V F F V F V V F V F F F F V F F F F V F F V F V F V F - Negação de uma condicional Ao negar-se uma condicional, conserva-se o valor lógico de sua 1ª parte, troca-se o conectivo CONDICIONAL pelo conectivo CONJUNÇÃO e nega-se sua 2ª parte. ~ (p → q) ⇔ (p ^ ~q) ⇔ ~~ p ^ ~q p q ~ (p → q) p ^ ~q V V F V V V V F F V F V V F F V V V F V F F V V F F F F F F F V F F F V - Negação de uma bicondicional Ao negarmos uma bicondicional do tipo “p ↔ q” estaremos negando a sua fórmula equivalente dada por “(p → q) ∧ (q → p)”, assim, negaremos uma conjunção cujas partes são duas condicionais: “(p → q)” e “(q → p)”. Aplicando-se a negação de uma conjunção a essa bicondicional, teremos: ~ (p ↔ q) ⇔ ~ [(p → q) ∧ (q → p)] ⇔ [(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)] p q ~ (p ↔ q) ~ [(p → q) ^ (q → p)] (p ^ ~q) v (q ^ ~p) V V F V V V F V V V V V V V V F F F V F F V F V V F F V V F F F F V V V V V V F F F F V V F F V V F V V F V F F F F F V V V V F F F F V F F F V F V F V F F F V F F F V Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 41 DUPLA NEGAÇÃO (TEORIA DA INVOLUÇÃO) – De uma proposição simples: p ⇔ ~ (~p) p ~ (~ p) V V F V F F V F - De uma condicional: p → q ⇔ ~p v q A dupla negação de uma condicional dá-se por negar a 1ª parte da condicional, troca-se o conectivo CONDICIONAL pela DISJUNÇÃO e mantém-se a 2ª parte. Ao negarmos uma proposição primitiva duas vezes consecutivas, a proposição resultante será equivalente à sua proposição primitiva. NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES MATEMÁTICAS Considere os seguintes símbolos matemáticos: igual (“=”); diferente (“≠”); maior que (“>”); menor que (“<”); maior ou igual a (“≥”) e menor ou igual a (“≤”). Estes símbolos, associados a números ou variáveis, formam as chamadas expressões aritméticas ou algébricas. Exemplo a) 5 + 6 = 11 b) 5 – 3 ≠ 4 c) 5 > 1 d) 7< 10 e) 3 + 5 ≥ 8 f) y + 5 ≤ 7 Para negarmos uma sentença matemática basta negarmos os símbolos matemáticos, assim estaremos negando toda sentença, vejamos: Sentença Matemática ou algébrica Negação Sentença obtida 5 + 6 = 11 ~ (5 + 6 = 11) 5 + 6 ≠ 11 5 – 3 ≠ 4 ~ (5 – 3 ≠ 4) 5 – 3 = 4 5 > 1 ~ (5 > 1) 5 ≤ 1 7< 10 ~ (7< 10) 7≥ 10 3 + 5 ≥ 8 ~ (3 + 5 ≥ 8) 3 + 5 < 8 y + 5 ≤ 7 ~ (y + 5 ≤ 7) y + 5 > 7 É comum a banca, através de uma assertiva, “induzir” os candidatos a cometerem um erro muito comum, que é a negação dessa assertiva pelo resultado, utilizando-se da operação matemática em questão para a obtenção desse resultado, e não, como deve ser, pela negação dos símbolos matemáticos. Exemplo: Negar a expressão “4 + 7 = 16” não é dada pela expressão “4 + 7 = 11”, e sim por “4 + 7 ≠ 16” NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – LEIS DE MORGAN As Leis de Morgan ensinam - Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que pelo menos uma é falsa; - Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas. As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÃO transforma: Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 42 CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO e DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO Vejamos: – Negação de uma conjunção (Leis de Morgan) Para negar uma conjunção, basta negar as partes e trocar o conectivo CONJUNÇÃO pelo conectivo DISJUNÇÃO. ~ (p ^ q) ⇔ (~p v ~q) p q ~ (p ^ q) ~p v ~q V V F V V V F F F V F V V F F F V V F V V F F V V V F F F V F F F V V V - Negação de uma disjunção (Lei de Morgan) Para negar uma disjunção, basta negar as partes e trocar o conectivo DISJUNÇÃO pelo conectivo- CONJUNÇÃO. ~ (p v q) ⇔ (~p ^ ~q) p q ~ (p v q) ~p ^ ~q V V F V V V F F F V F F V V F F F V F V F F V V V F F F F V F F F V V V Exemplo Vamos negar a proposição “É inteligente e estuda”, vemos que se trata de uma CONJUNÇÃO, pela Lei de Morgan temos que uma CONJUNÇÃO se transforma em uma DISJUNÇÃO, negando-se as partes, então teremos: “Não é inteligente ou não estuda” Referências ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. Questões 01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV) Considere a afirmação: “Mato a cobra e mostro o pau" A negação lógica dessa afirmação é: (A) não mato a cobra ou não mostro o pau; (B) não mato a cobra e não mostro o pau; (C) não mato a cobra e mostro o pau; (D) mato a cobra e não mostro o pau; (E) mato a cobra ou não mostro o pau. 02. (CODEMIG – Advogado Societário – FGV) Em uma empresa, o diretor de um departamento percebeu que Pedro, um dos funcionários, tinha cometido alguns erros em seu trabalho e comentou: “Pedro está cansado ou desatento." A negação lógica dessa afirmação é: (A) Pedro está descansado ou desatento. (B) Pedro está descansado ou atento. (C) Pedro está cansado e desatento. Apostila gerada especialmente para: Nathan Gonçalves 148.811.597-47 43 (D) Pedro está descansado e atento. (E) Se Pedro está descansado então está desatento. 03 (TJ/AP-Técnico Judiciário / Área Judiciária e Administrativa- FCC) Vou à academia todos os dias da semana e corro três dias na semana.
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