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31/05/2019 Eletromagnetismo - Parte 2 - Capítulo 9 - Linhas de Transmissão
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Eletromagnetismo - Parte II
Capítulo 9
Linhas de Transmissão
 
 
 
 
Eduardo Fontana, PhD
Professor Titular
Departamento de Eletrônica e Sistemas
Universidade Federal de Pernambuco
 
 1a. Edição - Versão 1.0 - 09/03/2013
 Versão atual - 1.5 - 01/08/2013
 Copyright 2011/2012/2013 by Eduardo Fontana
 
 
Recife, 2011-2013
 
Índice
Capítulo 9 - Linhas de Transmissão
9.1 Introdução
9.2 Modos TEM em linhas de transmissão sem perdas
9.2.1 Método formal de determinação de campos em linhas de transmissão
9.2.2 Grandezas representativas de linhas de transmissão
A. Tensão e corrente
B. Capacitância por unidade de comprimento da linha de transmissão
C. Indutância por unidade de comprimento
D. Impedância característica
E. Velocidade de fase
F. Fluxo de potência
9.2.3 Linhas de transmissão com perdas
A. Perdas por condução
B. Perdas dielétricas
C. Obtenção da atenuação diretamente do teorema de Poynting
D. Circuito equivalente de um trecho longitudinal diferencial de uma linha
de transmissão
9.3 Modelagem de linhas de transmissão por parâmetros distribuídos
9.3.1 Equações diferenciais para tensão e corrente na linha de transmissão
9.3.2 Solução no regime harmônico
9.4 Análise de linhas de transmissão sem perdas no regime harmônico
 9.4.1 Soluções para V e I
9.4.2 Linha de transmissão terminada em uma carga
A. Coeficiente de reflexão
B. Impedância de entrada
9.4.3 Características da função impedância e do coeficiente de reflexão
A. Impedância e admitância normalizadas
B. Coeficiente de reflexão
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C. Tensão e corrente ao longo da linha
9.5 Transformação e casamento de impedâncias com a carta de Smith
9.5.1 A carta de Smith
9.5.2 O aplicativo SmartSmith
9.5.3 Exemplos com o emprego do aplicativo SmartSmith
9.5.4 Propriedades adicionais da carta de Smith
A. Carga casada
B. Curto circuito
C. Circuito aberto
D. Uso da carta de Smith como carta de admitâncias
9.5.4 Casamento de impedâncias com estube simples
Problemas
 
 
Capítulo 9 - Linhas de Transmissão
 
9.1 Introdução
 
 Linhas de transmissão e guias de onda são estruturas guiantes, longitudinais, utilizadas para
o transporte de informação e energia. Linhas de transmissão formam uma classe especial de guias
de onda, em que o campo eletromagnético se propaga na direção longitudinal da estrutura, sendo
assim guiado por esta. A diferença de terminologias se dá em função dos tipos de modos que uma
ou outra estrutura pode suportar. Linhas de transmissão, com estruturas típicas mostradas na
Fig.9.1, compostas por uma configuração longitudinal de dois ou mais condutores imersos em um
dielétrico homogêneo, podem suportar modos transversais eletromagnéticos (TEM) em que os
campos elétrico e magnético são inteiramente contidos no plano ortogonal à direção de propagação.
Esse regime de operação se dá até uma certa freqüência, acima da qual modos de ordem superior
podem ser excitados na linha de transmissão. Outras estruturas guiantes que suportam
exclusivamente modos eletromagnéticos em que os campos têm de ter uma componente
longitudinal, são tratados separadamente no Capítulo 10.
 
 Linhas de transmissão são utilizadas em aplicações de baixa potência para o transporte de
informação em sistemas de telecomunicações, no transporte de dados entre diferentes porções de
circuitos integrados e processadores, e no caso de alta potência, para o transporte de energia em
sistemas de alta tensão.
 
 
 
 Cabos paralelos
 
 
 
 
 
Cabo coaxial
 
 
 
 
Linha de fita - um dielétrico
 
Fig.9.1 – Algumas estruturas típicas de linhas de transmissão.
 
 
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9.2 Modos TEM em linhas de transmissão sem perdas
 
 No método formal de obtenção de campos em linhas de transmissão tratado a seguir,
assume-se, em uma primeira aproximação que os condutores constituintes da linha de transmissão
sejam condutores perfeitos, i.e., com condutividade infinita. Nesse regime, e no caso variante no
tempo, a profundidade de penetração no condutor, que é inversamente proporcional à condutividade
é nula e os campos eletromagnéticos não penetram nos condutores. A corrente elétrica que é
proporcional ao campo elétrico fica assim confinada inteiramente na superfície dos condutores.
 
 
9.2.1 Método formal de determinação de campos em linhas de transmissão
 
 A Fig. 9.2 mostra a seção transversal da estrutura de dois condutores de uma linha de
transmissão. Estruturas desse tipo suportam configurações de campos elétrico e magnético,
inteiramente contidas no plano transversal. Esses modos são denominados de modos TEM, i.e.,
modos transversais eletromagnéticos. Seja portanto a existência de um modo TEM para a estrutura
da Fig.9.2, i.e., com . Uma vez que a estrutura é ilimitada na direção z, a dependência
com essa coordenada, corresponde a uma onda viajante no sentido +z, sendo do tipo exponencial
complexa. Assim, os campos na estrutura podem ser postos nas formas
 
 , (9.1)
 
 
 , (9.2)
 
em que é denominada de constante de propagação, um parâmetro ainda a ser determinado. 
Inserindo essas expressões em (7.213) vem
 
 
 .
 
Decompondo o operador na forma
 
 , (9.3)
 
 
e inserindo na expressão anterior, fornece
 
 
 . (9.4)
 
 
 
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 Igualando as componentes vetoriais de ambos os membros de (9.4) fornece
 
 (9.5)
 
 
 (9.6)
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Fig.9.2 – Estrutura de uma linha de transmissão de dois condutores.
 
 Observa-se dessa relação que uma vez obtido , pode ser determinado.
 
 Da Eq. de Maxwell em uma região livre de fontes, dada por (7.214) e para um meio de
transmissão linear, homogêneo e isotrópico tem-se
 
 . (9.7)
 
Utilizando (9.1) e (9.3) em (9.7) fornece
 
 
 
Dado que , obtém-se
 
 . (9.8)
 
De (9.5) a componente transversal do campo elétrico pode ser posta na forma
 
 , (9.9)
 
que inserida em (9.8), fornece. (9.10)
 
 Ou seja, a função de duas variáveis satisfaz à Eq. de Laplace. Isso implica que no
plano xy, o campo elétrico transversal tem características de um campo estático. Em particular a
circulação do campo transversal ao longo de uma trajetória fechada no plano é nula, i.e.,
 
 
 
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 (9.11)
 
 
ou seja, a diferença de potencial entre dois pontos no plano independe do caminho de integração
nesse plano. 
 
 Uma segunda propriedade das expressões (9.5) e (9.8) é obtida da identidade vetorial
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 ,
 
que em vista de (9.5) e (9.8) reduz-se a
 
 
 (9.12)
 
 
 Essa expressão permite determinar o parâmetro . Para isso, vale lembrar que as equações
de Maxwell no regime harmônico (7.213)-(7.216) levam à Eq. de Helmholtz (7.217) para os
campos elétrico ou magnético. Para o campo elétrico (7.127) é da forma
 
 (9.13)
 
com , , . O parâmetro
 
 , (9.14)
 
 
que já foi introduzido no Capítulo 7, será denominado a partir deste ponto a permissibilidade do
meio (não confundir com os parâmetros permissividade ou permeabilidade ).
 Correspondentemente, o parâmetro é a permessibilidade relativa do meio.
 
 Para o campo elétrico tem-se
 
 
Dado que o laplaciano pode ser escrito na forma
 
 
 
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 , (9.15)
 
e com o emprego de (9.1) obtém-se
 
 
 (9.16)
 
 
 Dada a condição (9.10) essa última relação reduz-se a
 
 . (9.17)
 
Para , essa equação tem como solução
 
 (9.18)
 
 
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 A solução de sinal positivo (negativo) corresponde a uma onda que se propaga no sentido +z
. Ou seja, o modo TEM, que corresponde à solução de mais baixa ordem em uma linha de
transmissão tem uma constante de propagação, ou número de onda, igual a de uma onda plana se
propagando no mesmo sentido em um meio ilimitado tendo as mesmas propriedades
eletromagnéticas, representadas pelo índice de refração n.
 
 Obtida a constante de propagação de (9.18), o campo pode ser obtido de (9.4). Após
algumas manipulações algébricas obtém-se
 
 
 , (9.19)
com
 
 (9.20)
 
 
 
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representando a impedância de onda do modo TEM. É importante observar que esse resultado
implica que a impedância de onda dos campos associados ao modo TEM é a mesma de uma
onda plana em um meio ilimitado.
 
 
 Assim, a determinação de campos em linhas de transmissão pode ser obtida da seguinte
forma:
 
1. Obtém-se a função potencial resolvendo a Eq. de Laplace bidimensional (9.10)
2. Obtém-se o campo elétrico de (9.9)
3. Obtém-se o campo magnético de (9.19)
 
 As propriedades eletromagnéticas da linha de transmissão podem então ser obtidas das
soluções para os campos, conforme mostrado no exemplo a seguir.
Exemplo 9.1: Determinação dos campos do modo TEM em um cabo coaxial infinitamente longo.
 
 A Fig.9.3 mostra um pequeno trecho longitudinal de um cabo coaxial que consiste de um
condutor central cilíndrico de raio a, e uma malha condutora cilíndrica externa de raio interno b. A
região é preenchida com um meio de permissividade elétrica e permeabilidade magnética
. Admite-se que a estrutura seja muito longa e que o cabo seja excitado na entrada com uma fonte
com freqüência angular . De acordo com a formulação descrita nesta seção, essa estrutura pode
suportar uma onda eletromagnética TEM. Em cada plano z = constante, pode-se obter uma função
potencial que assuma valores constantes nas circunferências r = a e r = b. Seja por exemplo a
solução de (9.10) em z = 0, sujeita às condições de contorno
 
 
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Fig.9.3 – Trecho longitudinal de um cabo coaxial.
 
 ,
 
 .
 
 Em coordenadas cilíndricas (9.10) assume a forma
 
 , (9.21)
 
 
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e tendo em vista a simetria de translação na direção z, esta última equação reduz-se a
 , (9.22)
 
 
cuja solução já obtida no Capítulo 3 tem a forma geral
 
 
 . (9.23)
 
 
Aplicando as condições de contorno, obtém-se A e B e (9.23) assume a forma
 
 . (9.24)
 
 
Em (9.24), (Volts) pode ser determinado da potência de saída da fonte que alimenta o cabo
coaxial.
 
De (9.9), a amplitude do campo elétrico, pode ser escrita na forma
 
 , 
 
e de (9.24), obtém-se
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 . (9.25)
 
 
 O campo magnético transversal é obtido de (9.19), o que fornece
 
 . (9.26)
 
 
 
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Os campos no cabo coaxial, obtidos de (9.1) e (9.2), são portanto
 
 
 , (9.27), (9.28)
 
 
 
com e Z dado por (9.20).
 
 
9.2.2 Grandezas representativas de linhas de transmissão
 
A. Tensão e corrente
 
 As grandezas elétricas características de uma linha de transmissão podem ser obtidas das
grandezas de campo. Considere a seção transversal de uma linha de transmissão ilustrada na
Fig.9.4, localizada no plano z = 0. Assume-se que um dos condutores esteja submetido ao potencial
V0, e que o segundo esteja aterrado. Uma vez que em cada seção transversal de uma linha de
transmissão a distribuição de potencial obedece à Eq. de Laplace, e está diretamente relacionada à
solução para o campo elétrico, que varia longitudinalmente de acordo com (9.27), e dado que em z
= 0, a tensão entre eletrodos é V0, a tensão ao longo do cabo é da forma
 . (9.29)
 
 Raciocínio análogo se aplica à corrente que flui, por exemplo, no sentido +z, considerado o
condutor à esquerda na Fig.9.4. É importante observar que não há componente z do campo elétrico,
e por conseguinte do vetor densidade de fluxo elétrico. Isso implica que não há componente z da
densidade de corrente de deslocamento. Consequentemente, a corrente elétrica no condutor à
esquerda na Fig.9.4 pode ser obtida da lei de Ampère, i.e.,
 
 , (9.30)
 
 
 
 
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em que C é o caminho fechado aí indicado. Essa expressão mostra que a corrente varia
longitudinalmente na forma
 , (9.31)
com I0 dada por
 . (9.32)
 
Fig.9.4 – Configuração da linha de transmissão no plano z = 0.
 
 
B. Capacitância por unidade de comprimento da linha de transmissão
 
 A capacitância por unidade de comprimento pode ser calculada com base na formulação
desenvolvida no Capítulo 3, para obtenção da capacitância como solução de um problema de
valores de fronteira. Basta apenas calcular a densidade superficial de cargas no condutor submetido
ao potencial V0 indicado na Fig.9.4, que é simplesmente
 
 , (9.33)
 
em que é o vetor unitário dirigido para o exterior do condutor, e é sua superfície. A carga de
superfície em uma seção diferencial de comprimento do condutor submetido ao potencial
V0 é simplesmente
 
 
 
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 , (9.34)
 
 
ou alternativamente, em vista de (9.9)
 
 . (9.35)
 
 A capacitância por unidade de comprimento
 
 , (9.36) 
 
com o emprego de (9.34) é portanto
 
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 (9.37)
 
 
 
 Uma vez que o numerador dessa expressão é proporcional a V0, a capacitância por unidade
de comprimento é função apenas da permissividade elétrica e da geometria transversal da linha de
transmissão. Em essência a capacitância por unidade de comprimento é calculada com a formulação
já desenvolvida no Capítulo 3 para a solução de problemas de valores de fronteira.
 
 Uma segunda forma de calcular a capacitância, que mostra a analogia com o cálculo de
indutância, pode ser obtida por meio da energia elétrica armazenada em um comprimento
diferencial longitudinal da linha de transmissão. Com base em (7.88) e (7.93) a energia elétrica
média armazenada em um volume entre condutores tendo comprimento longitudinal diferencial é
dada por
 
, (9.38)
 
 
 
em que é a área da seção transversal externa aos condutores, mostrada na Fig.9.4. A expressão
(3.15) para a energia armazenada, no regime fasorial fornece
 
 , (9.39)
 
e para um comprimento , (9.39), expressa em termos da capacitância por unidade de
comprimento, assume a forma
 
 . (9.40)
 
Combinando (9.39) e (9.40) obtém-se finalmente
 
 , (9.41)
 
 
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C. Indutância por unidade de comprimento
 
 Para um comprimento da linha de transmissão tem-se uma indutância série que pode ser
obtida a partir das expressões para a energia magnética armazenada nesse comprimento diferencial.
A energia magnética média armazenada no volume de comprimento longitudinal , obtida de
(7.89) e (7.94) pode ser posta na forma
 
 , (9.42)
 
 
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ou equivalentemente, com emprego da relação constitutiva , e notando que a
permeabilidade magnética é real,
 . (9.43)
 
 
 A energia magnética média do trecho de comprimento diferencial com emprego da
indutância por unidade de comprimento, é obtida a partir de (6.34) e assume a forma
 
 . (9.44)
 
Igualando (9.43) e (9.44) resulta em
 
 . (9.45)
 
 
D. Impedância característica
 
 A impedância característica da linha de transmissão é a razão entre as ondas de tensão e
corrente que se propagam em um dado sentido ao longo da linha, como por exemplo no sentido +z,
i.e.,
 
 ,
 
 
 
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ou equivalentemente, com o emprego de (9.29) e (9.31),
 
. (9.46)
 
 
 Uma vez que o campo magnético transversal é proporcional ao parâmetro V0, a razão em
(9.33) fica dependente apenas da geometria transversal da linha de transmissão e dos parâmetros
eletromagnéticos do meio de imersão dos condutores.
 
 Uma conexão direta entre impedância característica, capacitância e indutância pode ser
obtida com base nas relações entre campos elétrico e magnético e com o emprego de (9.41) e
(9.45). Dessas expressões, tem-se
 ,
 
 
 
 
e utilizando (9.19) e (9.46) resulta em31/05/2019 Eletromagnetismo - Parte 2 - Capítulo 9 - Linhas de Transmissão
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 ,
que em vista de (9.20) reduz-se a
 .
 
 
 
 
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 Em vista de (9.19), (9.30) e (9.37) e do fato de Cl ser um parâmetro real, a impedância
característica da linha de transmissão sem perdas também é real e a última expressão pode ser
escrita na forma
 
 . (9.47)
 
 
 A expressão (9.47) mostra a importância dos parâmetros distribuídos Ll e Cl na
determinação da impedância característica de uma linha de transmissão.
 
 
E. Velocidade de fase
 
 Para uma onda plana em um meio linear sem perdas a velocidade de fase obtida de (7.224) é
dada por
 
 . (9.48)
 
 
Esse parâmetro em uma linha de transmissão é diretamente relacionado com a indutância e
capacitância. Para verificar isso, seja a expressão para a corrente no condutor submetido ao
potencial V0. Inserindo (9.19) em (9.32) vem
 
 ,
 
 
em que C é o caminho fechado indicado na Fig.3.4 e a orientação de corresponde à orientação do
caminho. Em vista da propriedade (1.39) para o produto misto essa integral pode ser posta na forma
 .
 
 
Da Fig.9.4 tem-se e portanto
 
 . (9.49)
 
 
 
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De (9.34) e notando da lei de Gauss que
 
 ,
 
 
 
com C+ sendo o caminho fechado mostrado na Fig,9.4, (9.49) pode ser posta na forma
 
 . (9.50)
 
 
Utilizando (9.36) e (9.46) em (9.50) fornece
 
 , (9.51)
 
 
e de (9.48) a velocidade de fase também pode ser escrita na forma
 
 . (9.52)
 
 
F. Fluxo de potência
 
 A potência eletromagnética transportada pela onda eletromagnética guiada pela linha de
transmissão pode ser obtida por integração do vetor de Poynting na área da seção transversal da
linha de transmissão, ou seja,
 
 ,
e de (9.19)
 
 (9.53)
 
 
 
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Das relações anteriores, com alguma manipulação algébrica, e como já discutido no Capítulo 7,
para meios sem perdas, pode-se mostrar que as energias elétrica e magnética em um comprimento
diferencial da linha de transmissão são iguais, ou seja,
 
 , (9.54)
em que 
 (9.55)
 
 
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é a energia eletromagnética total armazenada no volume considerado. Com o emprego de (9.53) e
(9.55), com o auxílio de (9.20), pode-se mostrar que
. (9.56)
 
 Essa última relação pode ser utilizada para obtenção de uma expressão alternativa para a
potência que flui na linha de transmissão em função da tensão e corrente no plano z = 0. Para isso,
das expressões (9.40) e (9.44) tem-se
 
 . (9.57)
 
 
Utilizando (9.52) e (9.56) em (9.57) resulta em
 
 . (9.58)
 
 
 Essa última expressão evidencia a conexão entre fluxo de potência e as grandezas
tradicionais tensão e corrente, utilizadas na teoria de circuitos.
Exemplo 9.2: Parâmetros característicos do cabo coaxial
 
 Para o cabo coaxial da Fig.9.3, a capacitância por unidade de comprimento, obtida de (9.37)
com o auxílio de (9.25) é dada por
 ,
e portanto 
 
 (9.59)
 
 
 
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 Para obtenção da indutância por unidade de comprimento, pode-se utilizar (9.51) em (9.59)
por exemplo, o que fornece
 
 . (9.60)
 
 
 Note que esse resultado corresponde à indutância externa do cabo coaxial, dada por (6.44)
para o caso . A impedância característica do cabo coaxial é obtida com o emprego de (9.59) e
(9.60) em (9.47), o que fornece
 
 , (9.61)
 
 
ou alternativamente
 
 
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9.2.3 Linhas de transmissão com perdas
 
A. Perdas por condução
 
 Uma questão importante ao se considerar o emprego de linhas de transmissão no transporte
de informação ou energia é a atenuação introduzida pelas perdas dissipativas nos condutores, bem
como, pelas perdas dielétricas ou magnéticas. O cálculo desse parâmetro é importante, pois impõe
limitações de distância na transmissão seja de energia ou de informação entre pontos remotos. 
Nesta seção as perdas nos condutores são analisadas.
 
 A solução para os campos guiados por uma linha de transmissão no caso em que os
condutores exibem perdas, é de difícil obtenção, uma vez que seria necessário resolver um
problema de valores de fronteira em que os campos no interior dos condutores também teriam de
ser determinados. No entanto, para o caso de pequenas perdas, em que os condutores têm alta
condutividade, e no regime em que a penetração nestes é muito pequena relativamente às dimensões
envolvidas, uma boa aproximação é utilizar a solução para os campos obtidas no caso de condutores
perfeitos. Com base nessa solução, pode-se obter, com muito boa aproximação, a atenuação devido
às perdas de condução. Uma forma de analisar essa questão é através do conceito de resistência de
folha, desenvolvido no Capítulo 8. Alternativamente, o teorema de Poynting pode ser usado para
determinaras perdas tanto de condução quanto dielétricas/magnéticas.
 
 
 De acordo com a discussão do Capítulo 8 os efeitos de dissipação em condutores imersos
em uma região de campos variantes no tempo, na aproximação do condutor exibir alta
condutividade, podem se levadas em conta com o emprego do conceito de resistência de folha. Esse
conceito pode ser utilizado, de forma aproximada quando a profundidade pelicular é muito menor
que o raio de curvatura do condutor.
 
 A solução para os campos guiados por uma linha de transmissão no caso em que os
condutores exibem perdas tem uma dificuldade analítica, uma vez que seria necessário resolver um
problema de valores de fronteira em que os campos no interior dos condutores também teriam de
ser determinados. No entanto
 
 
 Para uma onda TEM a densidade de corrente superficial no condutor pode ser obtida de
(8.175), i.e.,
 
 , (9.63)
 
em que é o vetor unitário normal à superfície do condutor e dirigido para o seu interior. 
 
 A Fig.9.5 ilustra a disposição dos vetores que compõem (9.63), em cada superfície
condutora de uma linha de transmissão. Como discutido no Capítulo 8, essa corrente de superfície é
na realidade o efeito integral da densidade de corrente volumétrica no condutor, que por sua vez é
paralela ao campo elétrico no condutor. Isso implica que existe uma componente longitudinal do
campo elétrico, paralela ao vetor . 
 
 
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Fig.9.5 – Disposição dos vetores de campo nas superfícies condutoras.
 
 O campo elétrico longitudinal pode ser obtido na aproximação em que o raio de curvatura
do condutor é grande comparado à profundidade de penetração . Nessas condições, pode-se
admitir que o campo eletromagnético penetra no condutor na forma de uma onda plana com
incidência frontal, exponencialmente decrescente conforme discutido no final do Capítulo 8. Essa
situação está ilustrada na Fig.9.6. 
 
Fig.9.6 – Orientação relativa dos campos no interior de um condutor.
 
 
 No interior do condutor, o campo magnético é dado por
 
 (9.64)
 
 
 
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com representando o campo elétrico no condutor e, conforme (8.158), i.e.,
 
 , 
 
a impedância do condutor, em que é a resistência de folha, dada por (8.159), i.e.,
 
 , 
 
com representando a profundidade de penetração, dada por (8.157).
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 Note que, levando em conta que o campo de fato penetra no condutor, a condição de
contorno original seria
 
 , (9.65)
 
uma vez que o campo é aquele obtido na condição de condutores perfeitos, sendo portanto
tangencial em cada ponto das superfícies condutoras.
 
 Fazendo o produto vetorial em ambos os membros tem-se
 
 
 .
 
 
 
Usando a identidade vetorial (1.40), reproduziad abaixo
 
 , (1.40)
 
obtém-se
 
 .
 
Dado que
 
 
 
vem
 
 
 
ou equivalentemente
 
 
o que fornece
 
 (9.66)
 
 De acordo com a discussão no final do Capítulo 8, a resistência de uma porção
longitudinal de comprimento tendo segmento transversal atravessado pela corrente no
condutor, conforme ilustrado na Fig.9.7, pode ser obtida pela relação (8.172), ou seja,
 
 
 
 
 
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Fig.9.7 – Geometria para o cálculo da resistência de uma porção do condutor.
 
 
 O resultado (8.168), para a potência ativa dissipada no volume de penetração dos campos do
condutor pode ser generalizado para determinar a potência dissipada em um volume diferencial do
condutor, subtendido por um segmento diferencial atravessado ortogonalmente pela corrente de
superfície , conforme ilustrado na Fig. 9.8. Essa porção fornece uma corrente
 
 
 . (9.67)
 
Utilizando (8.168) e (8.172), obtém-se para um segmento longitudinal uma potência dissipada
 
 (9.68)
 
Inserindo (9.67) em (9.68) obtém-se
 
 
 
 
 
 Essa expressão permite obter a atenuação da onda ao se propagar na linha de transmissão. 
Se as superfícies dos condutores têm perímetros , conforme mostrado na Fig.9.8, a potência
dissipada em um comprimento , pode ser obtida de
 
 
 , (9.69)
 
 
em que o sinal + está associado ao condutor em que a corrente flui no sentido +z . É
importante observar que essas integrais são positivas definidas. Ou seja, o caminho de integração
sempre é realizado de forma que o resultado seja positivo.
Fig.9.8 – Geometria para cálculo da potência dissipada nos condutores de uma linha de transmissão.
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 Na situação simples em que a corrente de superfície tem densidade constante em cada
condutor (9.969) reduz-se a
 
 
 , (9.70)
 
 
com representando os perímetros dos caminhos . No caso em que os condutores são idênticos,
i.e., , e notando que nessa hipótese , (9.70) reduz-se a
 
 , (9.71)
 
com
 
 (9.72)
 
 
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representando um perímetro equivalente àqueles dos dois condutores.
 
 Resta determinar a atenuação da potência eletromagnética. De acordo com o teorema de
Poynting, flui uma potência ativa, que em um ponto de coordenada z, é dada por
 
 .(9.73)
 
A expressão (9.73) ou seus casos particulares, mostra que a potência ativa cai a uma taxa
 
 (9.74)
Utilizando (9.70) obtém
 
 
 . (9.75)
 
 
Devido às perdas, a potência deve decair exponencialmente com uma constante de atenuação ,
tal que
 
 (9.76)
 
o que equivale a uma taxa de variação
 
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 , (9.77)
 
 
ou equivalentemente, a uma constante de atenuação de amplitude
 
 . (9.78)
 
 
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 Substituindo (9.73) e (9.75) em (9.78), fornece a expressão procurada para a constante de
atenuação
 
 . (9.79)
 
 
 
 
 Alternativamente, essa expressão pode ser escrita em termos do campo magnético
tangencial, calculado para o caso ideal. É importante observar que
 
 ,
 
 
e portanto (9.79) pode ser escrita na forma
 
 . (9.80)
 
 
 
 
 
 
 
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em que representa o campo tangencial na superfície do condutor correspondente. É importante
observar que o resultado independe da corrente, uma vez que o campo magnético é uma função
linear da corrente em cada condutor.
 
 Por exemplo, na hipótese de os dois condutores forem de mesmo material e com
distribuição de corrente superficial constante, em que é válida a expressão (9.67), (9.80) reduz-se a
 
 . (9.81)
 
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 Essa expressão demonstra a importância dos conceitos de resistência de folha e impedância
característica da linha, dada, entre outras coisas, a relação direta destes com a constante de
atenuação da linha de transmissão.
 
Exemplo 9.2 Determinação da constante de atenuação de um cabo coaxial devido às perdas de
condução.
 
 Para o cabo coaxial ilustrado na Fig.9.3 em que os condutores interno e externo têm a 
mesma condutividade, e assumindo válida a hipótese , as correntes de superfície em ambos
os condutores são uniformes. Assim, (9.81) pode ser utilizada. De (9.72), tem-se
 
 
 
e (9.81) fornece
 
 
 . (9.82)
 
B. Perdas dielétricas
 
 Levando em conta apenas o efeito de perdas de natureza dielétrica ou magnética, a constante
de propagação na linha de transmissão assume a forma complexa
 
 , (9.83)
 
em que o índice de refração complexo é dado, em termos da permissibilidade relativa
 
 , (9.84)
com
 
 . (9.85)
 
Como mostrado no Capítulo 7, para pequenas perdas,
 
 , (9.86)
 
 . (9.87)
 
 Assim, (9.83) assume a forma
 
 , (9.88)
em que
 
 
 (9.89)
 
é a constante de fase e
 
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 , (9.90)
 
 
 
é a constante de atenuação devido às perdas dielétricas e magnéticas no meio de preenchimento.
Note que na aproximação de pequenas perdas, e para o modo TEM em uma linha de transmissão, a
constante de atenuação, devido às perdas materiais no meio de preenchimento, independe dos
parâmetros geométricos da linha de tranmissão.
 
 A constante de atenuação na linha de transmissão, levando em conta tanto as perdas nos
condutores, quanto aquelas no meio de preenchimento é obtida simplesmente pela adição de (9.79)
e (9.90), i.e.,
 
 . (9.91)
 
 
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C. Obtenção da atenuação diretamente do teorema de Poynting
 
 Para pequenas perdas, o teorema de Poynting permite obter a constante de atenuação, com
base no emprego da solução para os campos obtidos no caso sem perdas. Essa forma de obtenção de
parâmetros, a partir da solução não perturbada para os campos, é a essência da Teoria da
Perturbação, válida no regime de pequenas perdas.
 
 A potência ativa que flui ao longo da direção de propagação, é assumida na forma
(9.76), i.e,
 
 , (9.92)
 
em que é a constante de atenuação e P0 é a potência obtida em z = 0, assumindo os campos
obtidos para uma linha sem perdas, i.e.,
 
 ,
 
 
o que equivale a uma das formas alternativas
 
 , (9.93a)
 
 . (9.94b)
 
Nessas expressões, Z é a impedância de onda, obtida na ausência de perdas, i.e.,
 
 ,. (9.95)
 
 A expressão (9.92), implica na relação
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 .
Em z = 0, por exemplo
 
 . (9.96)
 
 
 
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 Seja a aplicação do teorema de Poynting dado por (7.93) para um comprimento da linha
de transmissão, que encerra as superfícies e caminhos mostrados na Fig.9.9. A diferença entre
potências ativas que fluem através das superfícies transversais localizadas em z e é dada por
 
 
 
 . (9.96)
 
 
Em termos das potências ativas dissipadas no volume enos condutores, tem-se
 
 , (9.97)
 
 
em que, de acordo com (7.93),
 
 
Fig.9.9 – Geometria para cálculo de perdas em um trecho longitudinal de uma linha de transmissão.
 
 , (9.98)
 
 (9.99)
e
 
 . (9.100)
 
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Em (9.99) e (9.100) os campos são aqueles obtidos no caso ideal. Em (9.98) os campos são aqueles
no interior de cada metal, e calculados na respectiva superfície e é o vetor ortogonal ao
segmento , dirigido para o interior do condutor correspondente, conforme ilustrado na Fig.9.9.
Admitindo que o raio de curvatura mínimo de cada caminho seja grande relativamente à
profundidade de penetração, pode-se admitir que os campos no condutor satisfaçam à condição de
onda plana, i.e.,
 
 . (9.101)
 
 
Além disso, o campo magnético no metal, satisfaz à condição de contorno
 
 , (9.102)
 
 
em que representa o campo tangencial na superfície do condutor correspondente, calculado no
regime sem perdas. Utilizando (9.101) com o emprego de (9.102) e de (1.41), tem-se
 
 . (9.103)
 
 
Substituindo (9.103) em (9.98), com o auxílio de (1.41) fornece
 
 .
 
 
 
Com base em (8.158) essa relação pode ser posta na forma
 
 
 . (9.104)
 
 
De (9.99) tem-se
 
 
 .
 
 
Dado que e , e com base em (9.92) essa última expressão assume a forma
 
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e
 
 . (9.105)
 
 
De forma semelhante, para (9.100) obtém-se
 
 
 .
 
 
 
 
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Dado que , e com base em (9.92), obtém-se
 
 . (9.106)
 
 
A soma de (9.105) com (9.106) fornece
 
 . (9.107)
 
 
Considere o termo entre parêntesis no segundo membro dessa expressão. Dado que na
aproximação de pequenas perdas , tem-se
 
 ,
 
 
 
 
e inserindo esse resultado em (9.107) obtém-se
 
 . (9.108)
 
 
 
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Para identificar melhor o significado de (9.108), a permissibilidade relativa é re-escrita na forma
 
 ,
 
donde
 
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 . (9.109)
Em primeira ordem
 
 , (9.110)
 
 . (9.111)
 
e (9.108) pode ser posta na forma
 
 . (9.112)
 
 
 
A constante de atenuação é obtida com base em (9.95)-(9.97), (9.104) e (9.112), o que fornece
(9.91), reproduzida abaixo
 
 ,
com
 
 , (9.113)
 
 
 . (9.114)
 
 
Utilizando (9.93a) e (9.104) em (9.113) obtém-se
 
 . (9.115)
 
 
 
 
Note que (9.115) tem denominador diferente de (9.80), mas é fácil mostrar que ambas as formas são
equivalentes.
 
 Utilizando (9.112) em (9.114), fornece
 
 , (9.116)
 
 
 
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que é o resultado expresso em (9.90).
 
D. Circuito equivalente de um trecho longitudinal diferencial de uma linha de transmissão
 
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 A discussão das seções anteriores mostrou que um trecho longitudinal de uma linha de
transmissão de comprimento contém os elementos de armazenamento de energia elétrica e
magnética, representados, respectivamente por um capacitor em paralelo com capacitância 
 entre os condutores e um indutor em série com indutância , conforme ilustrado na Fig.9.10. 
As expressões (9.41) e (9.45), por exemplo, permitem obter os parâmetros e .
 
 Dois canais de perdas estão presentes. Um deles é aquele devido às perdas nos condutores
que equivale a um resistor série de resistência , com representando a resistência por unidade
de comprimento. Além disso, há uma perda no meio de preenchimento, que corresponderia a um
vazamento de corrente devido às perdas dielétricas e magnéticas. Isso equivale a um resistor
conectado entre os condutores da linha de transmissão com condutância . 
 
 Para obter a resistência por unidade de comprimento , note que
 
 . (9.117)
 
 
Fig.9.10 – Circuito equivalente de um trecho longitudinal diferencial de uma linha de transmissão.
 
 
 
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Por outro lado, de (9.58), tem-se
 
 .
 
 
Inserindo essa última expressão em (9.117), fornece
 
 . (9.118)
 
 
Utilizando (9.113) em (9.118) obtém-se
 
 . (9.119)
 
 
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 Para obtenção da condutância, note que a potência dissipada em um volume do meio de
preenchimento de comprimento pode ser calculada de
 
 (9.120)
 
De (9.58), tem-se
 
 ,
 
com, (9.121)
 
 
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representando a admitância característica da linha de transmissão. Inserindo a penúltima expressão
em (9.120) fornece
 
 ,
 
 
e com base em (9.114) obtém-se
 
 . (9.122)
 
 As expressões (9.119) e (9.122) mostram a conexão entre os elementos de circuito
representativos das perdas na linha de transmissão e as constantes de atenuação correspondentes.
9.3 Modelagem de linhas de transmissão por parâmetros distribuídos
 
9.3.1 Equações diferenciais para tensão e corrente na linha de transmissão
 
Das seções anteriores, foi mostrado que associadas aos campos elétrico e magnético em uma
linha de transmissão, existem ondas de tensão e corrente que se propagam ao longo da linha. Além
disso, foi mostrado que a linha de transmissão pode ser considerada como consistindo de elementos
de circuito distribuídos ao longo da linha, conforme ilustrado na Fig. 9.11. Essa equivalência
permite o emprego de teoria de circuitos na análise de linhas de transmissão. As características da
linha ficam estabelecidas totalmente em função de seus parâmetros distribuídos.
 
Seja a aplicação das leis de Kirchoff de tensão e corrente para a malha da linha de
transmissão da Fig. 9.11, localizada entre os pontos de coordenada z e z + dz, que fornece
 
 
 , (9.123)
 
 . (9.124)
 
 
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Equivalentemente,
 
 , (9.125)
 
 
 
Fig. 9.11 – Representação de uma linha de transmissão por parâmetros distribuídos.
 
 
 
 
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 . (9.126)
 
 
 As equações (9.125) e (9.126) são equações acopladas, e podem ser combinadas para
obtenção de uma equação diferencial em uma das variáveis. Para isso, derivando (9.125) em relação
a z fornece
 
, 
 
 
e utilizando (9.126) obtém-se
 
 , (9.127)
 
com
 
 . (9.128)
 
 
 Derivando (9.125) em relação a z e utilizando procedimento semelhante fornece uma
equação diferencial de segunda ordem para a corrente i, ou seja
 
 (9.129)
 
 
 
 Nota-se que (9.127) e (9.129) têm a mesma forma geral da equação da onda, com uma
diferença devida a existência no segundo membro de termos lineares na variável e em sua derivada
 
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temporal. Observe que esses termos estão presentes devido à inclusão das perdas condutoras e
dielétricas, incluídas na análise. É de se esperar, portanto, que no regime de pequenas perdas, a
solução dessas equações corresponda a uma onda viajante de tensão ou corrente, em consonância
com o que foi discutido nas seções anteriores. 
 
 
9.3.2 Solução no regime harmônico
 
 Admitindo o regime harmônico senoidal em que
 
 (9.130)
e
 ,
 
 
as equações (9.125) e (9.126) assumem as formas
 
, (9.131)
 
. (9.132)
 
 
 Derivando (9.131) em relação a z e utilizando (9.132) fornece
 
 , (9.133)
com
 
 , (9.134)
 
 
representando a constante de propagação complexa associada à onda harmônica. Repetindo o
procedimento, com a aplicação da derivação em z em (9.132) e com emprego de (9.131) fornece
uma equação semelhante para I, ou seja,
 . (9.135)
 
 
 A solução de (9.133) é uma combinação de exponenciais da forma
 
 . (9.136)
 
 A constante de propagação complexa pode ser escrita na forma
 
 , (9.137)
 
com representando a constante de atenuação e , a constante de fase, ambas positivas. Com
essa decomposição do parâmetro , (9.137) assume a forma
 
 . (9.138)
 
 
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 O primeiro termo de (9.138) representa uma onda viajante no sentido +z que decai
exponencialmente com atenuação caracterizada pelo parâmetro e oscilação determinada pela
constante de fase . O segundo termo representa uma onda viajante se propagando no sentido
oposto com decaimento nesse sentido tendo a mesma constante de atenuação e oscilação
caracterizada pela mesma constante de fase.
 
 A solução para a corrente I tem a mesma forma geral de (9.136), mas sua conexão com a
onda de tensão (9.138) pode ser obtida diretamente de (9.131), o que fornece
 
 ,
 
 
que em vista de (9.134) reduz-se a
 
 . (9.139)
com
 , (9.140)
 
 
representando a impedância característica da linha de transmissão com perdas.
 
 A expressão (9.140) mostra que a impedância característica de uma linha de transmissão
com perdas é uma grandeza complexa. Além disso, a solução completa para as ondas de tensão e
corrente, contendo ondas viajando em sentidos opostos, irá ocorrer se a linha de transmissão for
terminada em uma carga que reflita parte da onda incidente, da mesma forma que uma onda
eletromagnética sofre reflexão parcial ao incidir em uma interface entre meios materiais distintos. 
 
 Finalmente, como já discutido em várias pontos de seções anteriores, a velocidade de fase é
diretamente obtida a partir da razão entre freqüência angular e constante de fase, i.e.,
 , (9.141)
 
 
com obtidada parte imaginária (positiva) de (9.134).
 
9.4 Análise de linhas de transmissão sem perdas no regime harmônico
 
 A análise de linhas de transmissão no regime sem perdas fornece as características e
propriedades básicas dessas estruturas, conforme descrito a seguir.
 
9.4.1 Soluções para V e I
 
Para LT sem perdas a constante, tem-se e , e (9.134) fornece
 
 ,
 
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e de (9.137) a constante de fase se torna
 
 . (9.142)
 
 De (9.140), a impedância característica fica puramente real e dada por
 
 . (9.143)
 
 
 Note que os resultados (9.142) e (9.143) são aqueles previstos pela análise de campos em
linhas de transmissão tratada em seções anteriores. No regime sem perdas, e com base em (9.142)
as ondas de tensão e corrente ao longo da linha assumem as formas
 
 (9.144)
 
 . (9.145)
 
 
9.4.2 Linha de transmissão terminada em uma carga
 
A. Coeficiente de reflexão
 Na hipótese de a linha de transmissão ser infinitamente extensa ou altenativamente, ser
terminada por uma carga que não produz reflexão de onda, admitindo que a propagação ocorra no
sentido +z, as ondas de tensão e corrente se tornam
 
 (9.146)
 (9.147)
 
 
 
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 Se, por outro lado, a linha é terminada por uma carga arbitrária, um certo grau de reflexão
de onda pode ocorrer e (9.144) e (9.145) devem ser utilizadas para as ondas de tensão em corrente.
Para analisar essa questão assume-se que a carga esteja localizada em z = 0, e que o ponto onde se
mede a tensão e corrente na linha esteja a uma distancia l da carga, tendo portanto coordenada 
, conforme ilustrado na Fig.9.12. De (9.144) e (9.145), em z = 0, a tensão e corrente na carga são,
respectivamente,
 
 , (9.148)
 , (9.149)
 
 
em que o subscrito L nessas expressões é a inicial da palavra carga (do inglês load ).
 
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 Definindo o coeficiente de reflexão na carga na forma
 
 , (9.150)
 
as expressões (9.148) e (9.149) podem ser re-escritas nas formas
 
 , (9.151)
. (9.152)
 
 
 Uma vez que sobre a carga tem-se
 , (9.153)
 
 
pode-se determinar o coeficiente de reflexão, inserindo (9.151) e (9.152) em (9.153), o que fornece
 
 . (9.154)
 
 
 
Fig.9.12 - Representação de uma linha de transmissão terminada por uma carga.
 
 
 
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 Note que (9.154) tem a mesma forma da expressão obtida para o coeficiente de reflexão de
uma onda plana com incidência normal sobre uma interface, conforme descrito no Capítulo 8, com
as impedâncias de onda naquela formulação, substituídas pelas impedâncias convencionais da teoria
de circuitos.
 
B. Impedância de entrada
 
 A impedância de entrada Zin é calculada da razão entre tensão e corrente em . 
Utilizando (9.144) e (9.145), essa razão é
 
, (9.155)
 
 
que após algumas manipulações algébricas reduz-se a
 
 
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 . (9.156)
 
 
 Alternativamente, a de entrada pode ser calculada invertendo essa expressão, o que fornece
 
 , (9.157)
em que
 
 (9.158)
 
é a admitância característica da linha e
 
 (9.159)
 
 
 
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é a admitância da carga.
 
 Alternativamente a formulação pode ser feita relacionando diretamente a impedância
(admitância) de entrada com o coeficiente de reflexão de entrada, definido como a razão entre
ondas refletida e incidente em , i.e.,
 
 . (9.160)
 
 
Utilizando (9.150), essa expressão pode ser posta na forma
 
 , (9.161)
 
que mostra que o coeficiente de reflexão de entrada tem o dobro da freqüência angular espacial das
ondas de tensão e corrente. Em termos do coeficiente de reflexão de entrada dado por (9.161), a
impedância de entrada expressa por (9.155) pode ser posta na forma
 
 . (9.162)
 
 
Essa expressão pode ser re-escrita de forma a explicitar a dependência do coeficiente de reflexão
em termos da impedância de entrada na forma
 , (9.163)
 
 
que tem estrutura idêntica a (9.154). Em termos das admitâncias, tem-se
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 . (9.164)
 
 
9.4.3 Características da função impedância e do coeficiente de reflexão
 
A. Impedância e admitância normalizadas
 
 Algumas propriedades e características da função impedância, do coeficiente de reflexão e
das formas de onda de tensão e corrente são exploradas nesta seção. Essas características ficam
melhorelucidadas com a normalização da função impedância. Para o caso da função impedância,
define-se a impedância de entrada normalizada por
 
 , (9.165)
 
e com isso as expressões (9.156), (9.163) e (9.162) fornecem, respectivamente,
 
 , (9.166)
 
 (9.167)
e
 
 , (9.168)
com
, (9.169)
 
 
 
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 Para o caso da admitância normalizada, obtida invertendo (9.166) as expressões resultantes
são
 
 . (9.170)
 
 
B. Coeficiente de reflexão
 
 O coeficiente de reflexão na carga é um parâmetro complexo bem definido e pode ser
escrito na forma
, (9.171)
 
em que
 (9.172)
 
 
 
 
 
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é o módulo e é a fase. É importante observar que esses parâmetros dependem exclusivamente dos
valores da impedância de carga e impedância característica e sendo assim, tem valores fixos em
uma dada freqüência. De (9.171) e (9.172), o coeficiente de reflexão tem uma variação ao longo da
linha de transmissão dada por 
 
 
 . (9.173)
 
 
 Ou seja, o módulo do coeficiente de reflexão é constante ao longo da linha e sua fase varia
linearmente com a distância à carga. Isso implica que pode ser representado por uma circunferência
no plano complexo, como discutido mais detalhadamente na Seção 9.5.
 
C. Tensão e corrente ao longo da linha
 
 
 É importante analisar de que forma a tensão e corrente variam ao longo da linha de
transmissão, uma vez que essa variação pode ser medida em laboratório, permitindo assim
caracterizar a carga alimentada pela linha de transmissão, um problema importante, por exemplo,
em Engenharia de Microondas. De (9.144), com o emprego de (9.160) tem-se
 
 . (9.174)
 
O módulo quadrado dessa expressão pode ser calculado de
 
 ,
 
 
ou equivalentemente, com o emprego de (9.173),
 
 . (9.175)
 
 
 Desenvolvimento semelhante para a forma de onda da corrente, obtida a partir de (9.145)
com auxílio de (9.160) fornece
 
 . (9.176)
 
 
Algumas características podem ser extraídas de (9.175) e (9.176), conforme detalhado a seguir.
 
Pontos de máximo e mínimo de tensão ou corrente
 
 Valores extremos das funções (9.175) e (9.176) são obtidos determinando os extremos da
função trigonométrica nessas expressões. Assim, os máximos de tensão, que correspondem aos
mínimos de corrente ocorrem nos pontos
 
 , (9.177)
 
com m = 0, 1, 2, .... Com , com representando o comprimento de onda no meio de
preenchimento da linha de transmissão, (9.177) pode ser posta na forma
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 . (9.178)
 
 
 De (9.178), a distância entre máximos ou entre mínimos é simplesmente
 
 . (9.179)
 
 
 
 
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Localização do primeiro máximo de tensão
 
 O primeiro máximo de tensão, ocorre para m =0 em (9.178), o que fornece
 
 . (9.180)
 
 
 É importante observar que há linhas de transmissão e guias de onda especiais, denominados
de linhas fendidas, que permitem deslocar de forma controlada uma ponta de prova ao longo da
linha e assim medir as localizações dos máximos e mínimos de tensão. Assim, medindo-se a
localização do primeiro máximo l0 de tensão permite obter a fase da carga de (9.180), i.e.,
 . (9.181)
 
 
Valores extremos de tensão, corrente e da impedância de entrada
 
 Os valores máximo e mínimo da tensão ao longo da linha são obtidos fazendo a função
cosseno assumir os valores em (9.175), o que fornece
 
 (9.182)
 
em que (não confundir com ) representa os dois valores extremos, com os sinais (+) e (–)
associados ao máximo e mínimo, respectivamente. De forma semelhante, em um ponto de máximo
de tensão ocorre um mínimo de corrente e vice-versa. Os extremos de corrente são dados por
 . (9.183)
 
 
 
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 A Fig.9.13 mostra a variação de tensão e corrente com o comprimento ao longo da linha,
admitindo uma carga fictícia tendo coeficiente de reflexão . Como pode ser aí observado a
distancia entre máximos (ou entre mínimos) é e os máximos de tensão ocorrem nos pontos de
mínimos de corrente e vice-versa. Além disso, o primeiro máximo de tensão ocorre no ponto 
, conforme previsto por (9.180).
 
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Fig.9.13 – Ondas estacionárias de tensão e corrente em uma linha de transmissão.
 
 
 É importante observar na análise de linhas de transmissão que mesmo que esta esteja
terminada por uma carga puramente resistiva, a impedância de entrada em um ponto arbitrário da
linha de transmissão é uma grandeza complexa, conforme se pode concluir de (9.156). 
Correspondentemente, a reatância de entrada varia de um valor nulo, em cima da carga, para
valores não nulos, tanto positivos (reatância indutiva) quanto negativos (reatância capacitiva). Além
disso, de forma periódica, a impedância de entrada volta a ser puramente resistiva. Esses pontos,
ocorrem na realidade nos pontos de máximo e mínimo da tensão na linha. Para verificar isso,
considere por exemplo o cálculo da impedância de entrada em um ponto de máximo, i.e., para 
satisfazendo (9.178). Nesse