03_Raciocinio_Logico

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AGU 
 
1. Princípio da Regressão ou Reversão. .............................................................................................. 1 
2. Lógica dedutiva, argumentativa e quantitativa. ................................................................................ 6 
3. Lógica matemática qualitativa, sequências lógicas envolvendo números, letras e figuras. ............ 44 
4. Geometria básica. .......................................................................................................................... 66 
5. Álgebra básica e sistemas lineares. ............................................................................................. 122 
6. Calendários. ................................................................................................................................. 209 
7. Numeração. ................................................................................................................................. 213 
8. Razões especiais. ........................................................................................................................ 214 
9. Análise combinatória e probabilidade. .......................................................................................... 214 
10. Progressões Aritmética e Geométrica. ....................................................................................... 233 
11. Conjuntos. 11.1. As relações de pertinência. 11.2. Inclusão e igualdade. 11.3. Operações entre 
conjuntos, união, interseção e diferença. .............................................................................................. 240 
12. Comparações............................................................................................................................. 251 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Candidatos ao Concurso Público, 
O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dúvidas 
relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom 
desempenho na prova. 
As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar 
em contato, informe: 
- Apostila (concurso e cargo); 
- Disciplina (matéria); 
- Número da página onde se encontra a dúvida; e 
- Qual a dúvida. 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O 
professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. 
Bons estudos! 
 
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Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante 
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica 
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores@maxieduca.com.br 
 
Princípio da regressão 
 
Este princípio tem como objetivo resolver determinados problemas de forma não algébrica, mas 
utilizando uma técnica baseada em raciocínio lógico, conhecida como princípio da regressão ou 
reversão. 
Esta técnica consiste em determinar um valor inicial pedido pelo problema a partir de um valor final 
dado. Utiliza-se para resolução dos problemas as operações matemáticas básicas com suas respectivas 
reversões. 
 
- Fundamento da regressão 
Utilizando as quatro operações fundamentais, podemos obter uma construção quantitativa lógica 
fundamentada no princípio da regressão, cujo objetivo é obter o valor inicial do problema proposto através 
da operação inversa. 
 
Soma ↔ a regressão é feita pela subtração. 
Subtração ↔ a regressão é feita pela soma. 
Multiplicação ↔ a regressão é feita pela divisão. 
Divisão ↔ a regressão é feita pela multiplicação. 
 
Veja os exemplos abaixo: 
 
1 – Uma pessoa gasta metade do seu capital mais R$ 10,00, ficando sem capital algum. Quanto ela 
possuía inicialmente? 
Solução: 
 
No problema acima, a pessoa gastou em dinheiro (– R$ 10,00), ou seja, houve uma perda. Pelo 
princípio da regressão, iremos supor que ele recuperará o dinheiro, para que possamos chegar à situação 
inicial (+ R$ 10,00). Posteriormente, ele gasta metade do seu capital (÷2). Para voltarmos a situação inicial 
devemos multiplicar por 2 o valor em dinheiro que ele possuía. Logo, 2 × R $10,00 = R$ 20,00. 
 
2 – Um indivíduo fez uma promessa a São Sebastião, se este dobrar o seu dinheiro, ele doará R$ 
20,00 para a igreja, no final da 3º dobra, nada mais lhe restara, quanto possuía o indivíduo inicialmente? 
(A) 14,50 
(B) 15,50 
1. Princípio da Regressão ou Reversão 
 
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(C) 16,50 
(D) 17,50 
(E) 18,50 
 
Solução: 
 
a) Solução Algébrica 
Valor que possuía inicialmente: x 
1º dobra: 2x – 20 
2° dobra: 2(2x – 20) – 20 
3° dobra: 2[2(2x – 20) – 20] – 20 = 0 
Resolvendo a equação encontramos x = 17,50 
 
Resposta: Inicialmente o indivíduo possui R$17,50 
 
b) Solução pelo método da regressão 
 
Pelo método da regressão, vamos abordar o problema do final para o início, ou seja, partiremos do 
passo IV até o passo I. 
IV) Se no final restou 0, significa que todo o dinheiro foi doado. 
III) No terceiro passo, ele dobrou o capital que tinha e deu 20 reais para a igreja, fazendo a regressão, 
podemos dizer se ele deu 20 reais para a igreja (representar – 20), então, ele os possuía inicialmente 20 
(representar +20). Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (20 ÷ 2) = 10. 
Conclusão: na terceira etapa ele possuía 10 reais, que dobrados originaram 20 reais. Como doou 20 
reais, ficou com nada no quarto passo. 
II) No segundo passo, ele já possuía 10 reais, mas doou 20 para a igreja (-20) e ao recuperá-lo ficou 
com 10 + 20 = 30. Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (30 ÷ 2) = 15. 
Conclusão: na segunda etapa ele possuía 15 reais, que dobrados originaram 30 reais. Como doou 20 
reais, ficou com 10 no terceiro passo. 
I) Inicialmente, ele possuirá os 15 reais mais 20 reais que serão recuperados, ou seja, 35 reais e reduzir 
o capital pela metade (35 ÷ 2) = 17,50. 
 
Resposta: Inicialmente, possuía R$ 17,50. 
Gabarito: D 
 
Outros métodos: 
2- Tabela verdade e equivalência lógica, negação e validade de um argumento. 
3- Regras de Inferência 
4- Diagramas de Euller-Venn 
 
Explicações do item 2,3,4. 
O candidato deve ficar atento, após o entendimento da tabela verdade, este deve saber aplicar as 
regras de inferência, diagramas de Venn, equivalência e negação, assim ele verificará que não existe 
lógica pelas frases ou suas interpretações, veja o modelo abaixo (caso 1 e 2). 
 
Caso 1: validade de um argumento 
Um argumento é válido caso satisfaça duas condições: 
I – A proposição 1, a proposição 2 e a conclusão (p1, p2, C), têm pelo menos uma linha verdadeira 
quando construída a sua tabela-verdade. 
II – (p1 p2) → C é tautológica, caso contrário, temos um sofisma. 
 
Nota: argumento possui 3 premissas no mínimo e uma conclusão e silogismo 2 premissas e 
uma conclusão, assim de início chamarei o silogismo de argumento sem o rigor da definição, pois 
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a preocupação é quanto a validade, e percebe que não há correlação com o português, mas sim 
com a estrutura. 
Exemplo: 
Verifique se o argumento (silogismo) abaixo é válido: 
Premissa 1 (P1): p q 
Premissa 2 (P2): ~q 
Conclusão (C): p 
 
Condição I: P1, P2 e C devem ter pelo menos uma linha da tabela-verdade toda verdadeira.P1: p q P2: ~q C: p 
V F V 
V V V 
V F F 
F V F 
 
Condição II: (p1 p2) → C deve ser tautológica 
 
(p q) ~q → p 
F V V 
V V V 
F V F 
F V F 
 
Resposta: O argumento é válido, pois satisfaz as duas condições. 
 
1) Verifique se os argumentos abaixo são válidos: 
P1: hoje é sábado ou domingo. 
P2: hoje não é sábado. 
C: hoje é domingo. 
 
Solução: 
Construindo a tabela, temos: 
p1: p v q p2: ~p C: q 
V F V 
V F F 
V V V 
F V F 
 
De acordo com a tabela, podemos garantir que o argumento é válido, pois existe pelo menos uma linha 
toda verdadeira (V, V, V) e a verdade das premissas (V, V) garante a verdade da conclusão (V). 
Gabarito: V, pois o argumento é válido. 
 
2) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: 
P1: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um bom emprego. 
P2: Ela conseguiu um bom emprego. 
C: Portanto, Célia tem um bom currículo. 
Solução: 
p1: p → q p2: q C: p 
V V V 
F F V 
V V F 
V F F 
 
Neste caso, a primeira condição é satisfeita, ou seja, temos uma linha toda verdadeira (V, V, V). No 
entanto, a verdade das premissas, além de garantir a verdade da conclusão, também garantiu a sua 
falsidade, havendo assim uma contradição (também conhecido como princípio do terceiro excluído). 
Exemplo: 
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p1 p2 C 
V V V 
V V F 
 
A conclusão não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, logo o argumento não é válido. 
Gabarito: F 
 
Caso 2 
 
DIAGRAMAS DE VENN - EULLER - EXPRESSÕES CATEGÓRICAS 
 
As expressões categóricas são: 
TODO 
ALGUM 
NENHUM 
 
NOTA: Deve ficar claro que a negação destas expressões não tem nenhuma relação com a gramática, 
língua Portuguesa ou relação com o seu antônimo como todo, nenhum ou coisa do gênero, na verdade a 
negação destas expressões tem relação direta com a cisão topológica do diagrama, podendo ainda ser 
associada à mecânica dos fluidos no que se refere a volume de controle, para não entramos no contexto 
da física será feito apenas uma abordagem topológica da estrutura. 
 
Caso 1: Negação da expressão Nenhum 
Qual a negação da proposição: “Nenhum rondoniense é casado” 
i) deve ficar claro que a negação de nenhum não é todo ou pelo menos um ou qualquer associação 
que se faça com o português, a topologia da estrutura nos fornecerá várias respostas, vejamos: 
Possíveis negações: Negar a frase é na verdade verificar os possíveis deslocamentos dos círculos. 
I) pelo menos 1 rondoniense é casado 
II) algum rondoniense é casado 
III) existe rondoniense casado 
IV) Todo rondoniense é casado 
V) Todo casado é rondoniense 
Definir: 
A = Rondoniense 
B= Casado 
 
CONCLUSÃO: Topologicamente o pelo menos 1 é a condição mínima de existência; algum e existe 
estão no mesmo nível de importância e o todo é a última figura sendo assim topologicamente possível 
mas a última, em termos de importância. 
 
Questões 
 
01. Uma senhora levava uma caixa de chocolates para dar aos seus netos. Ao primeiro ela deu a 
metade dos chocolates que levava mais meio chocolate. Ao segundo, deu a metade do que restou e mais 
meio chocolate. Por último, ao terceiro neto ela deu a metade do que ainda sobrou e mais meio chocolate, 
não sobrando nenhum com ela. Quantos chocolates havia inicialmente na caixa? 
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02. Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou R$ 1,00 a mais 
do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja? 
 
03. Um feirante vendeu 1/3 das frutas que possuía mais duas. A seguir, vendeu 4/5 das restantes mais 
uma, ficando, assim, com três frutas. Se n é o número inicial de frutas, então: 
(A) n > 100 
(B) 90 < n < 100 
(C) 70 < n < 90 
(D) 50 < n < 70 
(E) 30 < n < 50 
 
04. (SENAI 2015) O Sr. Altair deu muita sorte em um programa de capitalização bancário. Inicialmente, 
ele apresentava um saldo devedor X no banco, mas resolveu depositar 500 reais, o que cobriu sua dívida 
e ainda lhe sobrou uma certa quantia A. Essa quantia A, ele resolveu aplicar no programa e ganhou quatro 
vezes mais do que tinha, ficando então com uma quantia B. Uma segunda vez, o Sr. Altair resolveu aplicar 
no programa, agora a quantia B que possuía, e novamente saiu contente, ganhou três vezes o valor 
investido. Ao final, ele passou de devedor a credor de um valor de R$ 3 600,00 no banco. Qual era o 
saldo inicial X do Sr. Altair? 
(A) -R$ 350,00. 
(B) -R$ 300,00. 
(C) -R$ 200,00. 
(D) -R$ 150,00. 
(E) -R$ 100,00. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: 
 
 
 
02. Resposta: 
 
 
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03. Resposta: 
 
 
04. Resposta: C. 
Devemos partir da última aplicação. Sabemos que a última aplicação é 3B, logo: 
3B = 3600 → B = 3600/3 → B = 1200 
A 1º aplicação resultou em B e era 4A: B = 4A → 1200 = 4A → A = 1200/4 → A = 300 
A é o saldo que sobrou do pagamento da dívida X com o 500 reais: A = 500 – X → 300 = 500 – X → 
-X = 300 – 500 → -X = -200. (-1) → X = 200. 
Como o valor de X representa uma dívida representamos com o sinal negativo: a dívida era de R$ -
200,00. 
 
 
 
OBS.: Caros alunos, neste momento iremos abordar as estruturas lógicas, a argumentação 
lógica e tudo mais que precisarem para compreender sobre Lógica dedutiva, argumentativa e 
quantitativa. 
 
ESTRUTURAS LÓGICAS 
 
A lógica pela qual conhecemos hoje foi definida por Aristóteles, constituindo-a como uma ciência 
autônoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo, Raciocínio, Demonstração) 
do ponto de vista da sua estrutura ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material. 
Falar de Lógica durante séculos, era o mesmo que falar da lógica aristotélica. Apesar dos enormes 
avanços da lógica, sobretudo a partir do século XIX, a matriz aristotélica persiste até aos nossos dias. A 
lógica de Aristóteles tinha objetivo metodológico, a qual tratava de mostrar o caminho correto para a 
investigação, o conhecimento e a demonstração científica. O método científico que ele preconizava 
assentava nas seguintes fases: 
 
1. Observação de fenômenos particulares; 
2. Intuição dos princípios gerais (universais) a que os mesmos obedeciam; 
3. Dedução a partir deles das causas dos fenômenos particulares. 
 
Por este e outros motivos, Aristóteles é considerado o pai da Lógica Formal. 
 
A lógica matemática (ou lógica formal) estuda a lógica segundo a sua estrutura ou forma. As estruturas 
lógicas consiste em um sistema dedutivo de enunciados, que tem como objetivo criar um grupo de leis e 
regras para determinar a validade dos raciocínios. Assim, um raciocínio é considerado válido se é possível 
alcançar uma conclusão verdadeira a partir de premissas verdadeiras. 
Em sentido mais amplo podemos dizer que a Lógica está relacionada a maneira específica de 
raciocinar de forma acertada, isto é, a capacidade do indivíduo de resolver problemas complexos que 
2. Lógica dedutiva, argumentativa e quantitativa 
 
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envolvem questões matemáticas, as sequências de números, palavras, entre outros e de desenvolver 
essa capacidade de chegar a validade do seu raciocínio. 
O estudo das estruturas lógicas, consiste em aprendemos a associar determinada proposição ao 
conectivo correspondente. Mas é necessário aprendermos alguns conceitos importantes para o 
aprendizado. 
 
Conceito de proposição 
 
Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou 
uma ideia de sentido completo. Assim, as proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam,declaram fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados conceitos ou entes. 
Elas devem possuir além disso: 
- um sujeito e um predicado; 
- e por último, deve sempre ser possível atribuir um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F). 
Preenchendo esses requisitos estamos diante de uma proposição. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
A) Júpiter é o maior planeta do sistema Solar 
Analisando temos: 
- Quem é o maior planeta do sistema Solar? Júpiter, logo tem um sujeito e um predicado; 
- É uma frase declarativa (a frase informa ou declara alguma coisa) e; 
- Podemos atribuir um valor lógico V ou F, independente da questão em si. 
 
B) Salvador é a capital do Brasil. 
C) Todos os músicos são românticos. 
 
A todas as frases podemos atribuir um valor lógico (V ou F). 
 
TOME NOTA!!! 
 
Uma forma de identificarmos se uma frase simples é ou não considerada frase lógica, ou sentença, 
ou ainda proposição, é pela presença de: 
- sujeito simples: "Carlos é médico"; 
- sujeito composto: "Rui e Nathan são irmãos"; 
- sujeito inexistente: "Choveu" 
- verbo, que representa a ação praticada por esse sujeito, e estar sujeita à apreciação de julgamento 
de ser verdadeira (V) ou falsa (F), caso contrário, não será considerada proposição. 
 
Atenção: orações que não tem sujeito, NÃO são consideradas proposições lógicas. 
 
Princípios fundamentais da lógica 
 
A Lógica matemática adota como regra fundamental três princípios1 (ou axiomas): 
 
 
I – PRINCÍPIO DA IDENTIDADE: uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição 
falsa é falsa. 
 
II – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa 
ao mesmo tempo. 
 
III – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa, 
verificamos sempre um desses casos, NUNCA existindo um terceiro caso. 
 
 
Se esses princípios acimas não puderem ser aplicados, NÃO podemos classificar uma frase como 
proposição. 
 
1 Algumas bibliografias consideram apenas dois axiomas o II e o III. 
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Valores lógicos das proposições 
 
Chamamos de valor lógico de uma proposição: a verdade, se a proposição for verdadeira (V), e a 
falsidade, se a proposição for falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos 
verdade e falsidade respectivamente. 
 
Consideremos as seguintes proposições e os seus respectivos valores lógicos: 
a) A velocidade de um corpo é inversamente proporcional ao seu tempo. (V) 
b) A densidade da madeira é maior que a densidade da água. (F) 
 
A maioria das proposições são proposições contingenciais, ou seja, dependem do contexto para sua 
análise. Assim, por exemplo, se considerarmos a proposição simples: 
 
“Existe vida após a morte”, ela poderá ser verdadeira (do ponto de vista da religião espírita) ou falsa 
(do ponto de vista da religião católica); mesmo assim, em ambos os casos, seu valor lógico é único — ou 
verdadeiro ou falso. 
 
Classificação das proposições 
 
As proposições podem ser classificadas em: 
 
1) Proposições simples (ou atômicas): são formadas por uma única oração, sem conectivos, ou seja, 
elementos de ligação. Representamos por letras minusculas: p, q, r,... . 
 
Exemplos: 
O céu é azul. 
Hoje é sábado. 
 
2) Proposições compostas (ou moleculares): possuem elementos de ligação (conectivos) que ligam 
as orações, podendo ser duas, três, e assim por diante. Representamos por letras maiusculas: P, Q, R, 
... . 
 
Exemplos: 
O ceu é azul ou cinza. 
Se hoje é sábado, então vou à praia. 
 
Observação: os termos em destaque são alguns dos conectivos (termos de ligação) que utilizamos 
em lógica matemática. 
 
3) Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou 
valorar a proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas: 
a) Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem? 
b) Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso! 
c) Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão. 
d) Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é verdadeira” 
(expressão paradoxal) – O cavalo do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 3 + 7 
 
Exemplos 
 
1. 
94:)( xxp
 
A sentença matemática 
94 x
 é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. 
Obviamente, apenas um deles, 
5x
, torna a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros 
números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como 
.5x
 
 
2. 
3:)( xxq
 
Dessa maneira, na sentença 
3x
, obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, 
alguns são verdadeiros, como 
2x
, e outros são falsos, como 
.7x
 
 
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4) Proposição (sentença) fechada: quando a proposição admitir um único valor lógico, seja ele 
verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica. 
 
Observe os exemplos: 
 
Sentenças representadas por variáveis 
a) x + 4 > 5; 
b) Se x > 1, então x + 5 < 7; 
c) x = 3 se, e somente se, x + y = 15. 
 
Observação: Os termos “atômicos” e “moleculares” referem-se à quantidade de verbos presentes na 
frase. Consideremos uma frase com apenas um verbo, então ela será dita atômica, pois se refere a 
apenas um único átomo (1 verbo = 1 átomo); consideremos, agora, uma frase com mais de um verbo, 
então ela será dita molecular, pois se refere a mais de um átomo (mais de um átomo = uma molécula). 
 
Questões 
 
01. (INPI - Tecnologista em Propriedade Industrial – CESPE) Um órgão público pretende organizar 
um programa de desenvolvimento de pessoas que contemple um conjunto de ações de educação 
continuada. Quando divulgou a oferta de um curso no âmbito desse programa, publicou, por engano, um 
anúncio com um pequeno erro nos requisitos. Em vez de “os candidatos devem ter entre 30 e 50 anos e 
possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público” (anúncio 1), publicou “os candidatos devem 
ter entre 30 e 50 anos ou possuir mais de cinco anos de experiência no serviço público”. 
Considere que X = o conjunto de todos os servidores do órgão; A = o conjunto dos servidores do órgão 
que têm mais de 30 anos de idade; B = o conjunto dos servidores do órgão que têm menos de 50 anos 
de idade e C = o conjunto dos servidores do órgão com mais de cinco anos de experiência no serviço 
público. Sabendo que X, A, B, e C têm, respectivamente, 1.200, 800, 900 e 700 elementos, julgue os itens 
seguintes. Sejam p(x) e q(x) sentenças abertas com universo X dadas respectivamente por “o servidor x 
tem entre 30 e 50 anos de idade” e “o servidor x possui mais de cinco anos de experiência no serviço 
público”. 
Então, se C é subconjunto de A∩B, então o conjunto verdade associado à sentença aberta p(x)→q(x) 
coincide com o conjunto universo X. 
(A) Certo (B) Errado 
 
02. (PM/RR - Soldado da Polícia Militar – UERR) Uma sentença aberta pode ser transformada numa 
proposição se for atribuído valor a uma variável. Dada a sentença aberta p(y): y2 > 10, assinale o valor a 
ser atribuído para tornar a proposição p(y) verdadeira: 
(A) x = 4 
(B) y = -2 
(C) y = 1 
(D) x = 0 
(E) y = 5 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Se C é subconjunto de A∩B, então todos os servidores com mais de 5 anos de experiência têm entre 
30 e 50 anos de idade. 
Logo, a sentença p(x)→q(x) é verdadeira. 
Mas, se o servidor escolhido tiver uma idade menor que 30 anos ou maior que 50, mesmo sendo p(x) 
falsa, dada a tabela verdade, a sentença p(x) →q(x) também será verdadeira. 
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Logo, para todas as idades dos servidores, a sentença p(x) →q(x) será verdade. 
Sendo assim, o conjunto verdade associado à sentença aberta p(x)→q(x) coincide com o conjunto 
universo X. 
 
02. Resposta: E. 
Analisando as alternativas: 
A) x = 4, errado pois não temos a variável x. 
B) y = -2, errado, pois −22 = 4 < 10 
C) y = 1, errado, pois 12 = 1 < 10 
D) x = 0, não temos a variável x. 
E) y = 5, correto. 52 = 25 > 10 
 
Conceito de Tabela Verdade 
 
É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada 
proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. Partimos do Princípio do 
Terceiro Excluído, toda proposição simples é verdadeira ou falsa , tendo os valores lógicos V (verdade) 
ou F (falsidade). 
Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das 
proposições simples que a compõe. 
 
 
 
O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores 
lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE 
determinados. 
 
Número de linhas de uma Tabela Verdade 
 
Definição: 
“A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simples componentes 
contém 2n linhas.” (* Algumas bibliografias utilizam o “p” no lugar do “n”) 
Os valores lógicos “V” e “F” se alteram de dois em dois para a primeira proposição “p” e de um em um 
para a segunda proposição “q”, em suas respectivas colunas, e, além disso, VV, VF, FV e FF, em cada 
linha, são todos os arranjos binários com repetição dos dois elementos “V” e “F”, segundo ensina a Análise 
Combinatória. 
 
Construção da tabela verdade de uma proposição composta 
Vamos começar contando o número de proposições simples que a integram. Se há n proposições 
simples componentes, então temos 2n linhas. Feito isso, atribuimos a 1ª proposição simples “p1” 2n / 2 = 
2n -1 valores V , seguidos de 2n – 1 valores F, e assim por diante. 
 
Exemplos 
 
1) Se tivermos 2 proposições temos que 2n =22 = 4 linhas e 2n – 1 = 22 - 1 = 2, temos para a 1ª proposição 
2 valores V e 2 valores F se alternam de 2 em 2 , para a 2ª proposição temos que os valores se alternam 
de 1 em 1 (ou seja metade dos valores da 1ª proposição). Observe a ilustração, a primeira parte dela 
corresponde a árvore de possibilidades e a segunda a tabela propriamente dita. 
 
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. 11 
 
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) 
 
2) Neste caso temos 3 proposições simples, fazendo os cálculos temos: 2n =23 = 8 linhas e 2n – 1 = 23 
- 1 = 4, temos para a 1ª proposição 4 valores V e 4 valores F se alternam de 4 em 4 , para a 2ª proposição 
temos que os valores se alternam de 2 em 2 (metade da 1ª proposição) e para a 3ª proposição temos 
valores que se alternam de 1 em 1(metade da 2ª proposição). 
 
 
(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) 
 
Estudo dos Operadores e Operações Lógicas 
 
Quando efetuamos certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas, efetuamos 
cálculos proposicionais, semelhantes a aritmética sobre números, de forma a determinarmos os valores 
das proposições. 
 
1) Negação ( ~ ): chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico 
é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico 
oposto daquele de p. 
Pela tabela verdade temos: 
 
Simbolicamente temos: 
 ~V = F ; ~F = V 
V(~p) = ~V(p) 
 
Exemplos 
 
Na primeira parte da tabela todas as afirmações são verdadeiras, logo ao negarmos os termos passam 
a ter como valor lógico a falsidade. 
 
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. 12 
- Dupla negação (Teoria da Involução): vamos considerar as seguintes proposições primitivas, p:” 
Netuno é o planeta mais distante do Sol”; sendo seu valor verdadeiro ao negarmos “p”, vamos obter a 
seguinte proposição ~p: “Netuno NÃO é o planeta mais distante do Sol” e negando novamente a 
proposição “~p” teremos ~(~p): “NÃO É VERDADE que Netuno NÃO é o planeta mais distante do Sol”, 
sendo seu valor lógico verdadeiro (V). Logo a dupla negação equivale a termos de valores lógicos a sua 
proposição primitiva. 
p ≡ ~(~p) 
 
Observação: O termo “equivalente” está associado aos “valores lógicos” de duas fórmulas lógicas, 
sendo iguais pela natureza de seus valores lógicos. 
Exemplo: 
1. Saturno é um planeta do sistema solar. 
2. Sete é um número real maior que cinco. 
 
Sabendo-se da realidade dos valores lógicos das proposições “Saturno é um planeta do sistema solar” 
e “Sete é um número relativo maior que cinco”, que são ambos verdadeiros (V), conclui-se que essas 
proposições são equivalentes, em termos de valores lógicos, entre si. 
 
2) Conjunção – produto lógico (^): chama-se de conjunção de duas proposições p e q a proposição 
representada por “p e q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando as proposições, p e q, são ambas 
verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. 
Simbolicamente temos: “p ^ q” (lê-se: “p E q”). 
 
Pela tabela verdade temos: 
 
Exemplos 
 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ F = F 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
q: A seleção brasileira de futebol masculino é octacampeã mundial. (F) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ F = F 
 
(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número ímpar. (V) 
V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ V = F 
 
- O valor lógico de uma proposição simples “p” é indicado por V(p). Assim, exprime-se que “p” é 
verdadeira (V), escrevendo: 
V(p) = V 
 
- Analogamente, exprime-se que “p” é falsa (F), escrevendo: 
V(p) = F 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 13 
 
- As proposições compostas, representadas, por exemplo, pelas letras maiúsculas “P”, “Q”, “R”, “S” e 
“T”, terão seus respectivos valores lógicos representados por: 
V(P), V(Q), V(R), V(S) e V(T). 
 
3) Disjunção inclusiva – soma lógica – disjunção simples (v): chama-se de disjunção inclusiva de 
duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando 
pelo menos uma das proposições, p e q, é verdadeira e falsidade (F) quando ambas são falsas. 
Simbolicamente: “p v q” (lê-se: “p OU q”). 
 Pela tabela verdade temos: 
 
Exemplos 
 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = V v V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v F = F 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
q: A seleção brasileira de futebol masculino é octacampeã mundial. (F) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = V v F = V 
 
(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número ímpar. (V) 
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V 
 
4) Disjunção exclusiva ( v ): chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q, cujo valor 
lógico é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são 
ambas verdadeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. 
Simbolicamente: “p v q” (lê-se; “OU p OU q”; “OU p OU q, MAS NÃO AMBOS”). 
Pela tabela verdade temos: 
 
 
Para entender melhor vamos analisar o exemplo. 
p: Nathan é médico ou professor. (Ambas podem ser verdadeiras, ele pode ser as duas coisas ao 
mesmo tempo, uma condição não exclui a outra – disjunção inclusiva). 
Podemos escrever: 
Nathan é médico ^ Nathan é professor 
 
q: Mario é carioca ou paulista (aqui temos que se Mario é carioca implica que ele não pode ser paulista, 
as duas coisas não podem acontecerao mesmo tempo – disjunção exclusiva). 
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Reescrevendo: 
Mario é carioca v Mario é paulista. 
 
Exemplos 
 
a) Plínio pula ou Lucas corre, mas não ambos. 
b) Ou Plínio pula ou Lucas corre. 
 
5) Implicação lógica ou condicional (→): chama-se proposição condicional ou apenas condicional 
representada por “se p então q”, cujo valor lógico é falsidade (F) no caso em que p é verdade e q é falsa 
e a verdade (V) nos demais casos. 
 
Simbolicamente: “p → q” (lê-se: p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p). 
p é o antecedente e q o consequente e “→” é chamado de símbolo de implicação. 
 
Pela tabela verdade temos: 
 
 
Exemplos 
 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) 
V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F 
 
(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número ímpar. (V) 
V(p → q) = V(p) → V(q) = F → V = V 
 
6) Dupla implicação ou bicondicional (↔):chama-se proposição bicondicional ou apenas 
bicondicional representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando p e q são 
ambas verdadeiras ou falsas e a falsidade (F) nos demais casos. 
Simbolicamente: “p ↔ q” (lê-se: p é condição necessária e suficiente para q; q é condição necessária 
e suficiente para p). 
 
Pela tabela verdade temos: 
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. 15 
 
Exemplos 
 
(a) 
p: A neve é branca. (V) 
q: 3 < 5. (V) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V 
 
(b) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 6 < 5. (F) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V 
 
(c) 
p: Pelé é jogador de futebol. (V) 
q: A seleção brasileira de futebol masculino é octacampeã mundial. (F) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ F = F 
 
(d) 
p: A neve é azul. (F) 
q: 7 é número ímpar. (V) 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ V = F 
 
Transformação da linguagem corrente para a simbólica 
Este é um dos tópicos mais vistos em diversas provas e por isso vamos aqui detalhar de forma a 
sermos capazes de resolver questões deste tipo. 
 
Sejam as seguintes proposições simples denotadas por “p”, “q” e “r” representadas por: 
p: Luciana estuda. 
q: João bebe. 
r: Carlos dança. 
 
Sejam, agora, as seguintes proposições compostas denotadas por: “P”, “Q”, “R”, “S”, “T”, “U”, “V” e “X” 
representadas por: 
P: Se Luciana estuda e João bebe, então Carlos não dança. 
Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana não estuda. 
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. 
 
O primeiro passo é destacarmos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e as proposições. 
Depois reescrevermos de forma simbólica, vejamos: 
 
 
Juntando as informações temos que, P: (p ^ q) → ~r 
 
Continuando: 
 
Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana estuda. 
 
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. 16 
 
Simbolicamente temos: Q: ~ (q v r ^ ~p). 
 
R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. 
(p v r) ↔ ~q 
 
Observação: os termos “É falso que”, “Não é verdade que”, “É mentira que” e “É uma falácia que”, 
quando iniciam as frases negam, por completo, as frases subsequentes. 
 
- O uso de parêntesis 
A necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições se deve a evitar qualquer tipo de 
ambiguidade, assim na proposição, por exemplo, p ^ q v r, nos dá as seguintes proposições: 
 
(I) (p ^ q) v r - Conectivo principal é da disjunção. 
(II) p ^ (q v r) - Conectivo principal é da conjunção. 
 
As quais apresentam significados diferentes, pois os conectivos principais de cada proposição 
composta dá valores lógicos diferentes como conclusão. 
Agora observe a expressão: p ^ q → r v s, dá lugar, colocando parêntesis as seguintes proposições: 
a) ((p ^ q) → r) v s 
b) p ^ ((q → r) v s) 
c) (p ^ (q → r)) v s 
d) p ^ (q → (r v s)) 
e) (p ^ q) → (r v s) 
 
Aqui duas quaisquer delas não tem o mesmo significado. Porém existem muitos casos que os 
parêntesis são suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, 
ambiguidade alguma venha a aparecer. Para isso a supressão do uso de parêntesis se faz mediante a 
algumas convenções, das quais duas são particularmente importantes: 
 
1ª) A “ordem de precedência” para os conectivos é: 
(I) ~ (negação) 
(II) ^, v (conjunção ou disjunção têm a mesma precedência, operando-se o que ocorrer primeiro, da 
esquerda para direita). 
(III) → (condicional) 
(IV) ↔ (bicondicional) 
Portanto o mais “fraco” é “~” e o mais “forte” é “↔”. 
 
Logo: Os símbolos → e ↔ têm preferência sobre ^ e v. 
 
Exemplos 
 
01. p → q ↔ s ^ r, é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la 
numa condicional há que se usar parêntesis: 
p →( q ↔ s ^ r ) 
E para convertê-la em uma conjunção: 
(p → q ↔ s) ^ r 
 
2ª) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os 
parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda. 
 
Segundo estas duas convenções, as duas seguintes proposições se escrevem: 
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. 17 
 
- Outros símbolos para os conectivos (operadores lógicos): 
“¬” (cantoneira) para negação (~). 
“●” e “&” para conjunção (^). 
“ﬤ” (ferradura) para a condicional (→). 
 
Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões 
 
 
(Fonte: http://www laifi.com.) 
 
01. Vamos construir a tabela verdade da proposição: 
P(p,q) = ~ (p ^ ~q) 
 
1ª Resolução) Vamos formar o par de colunas correspondentes as duas proposições simples p e q. 
Em seguida a coluna para ~q , depois a coluna para p ^ ~q e a útima contento toda a proposição ~ (p ^ 
~q), atribuindo todos os valores lógicos possíveis de acordo com os operadores lógicos. 
 
 
2ª Resolução) Vamos montar primeiro as colunas correspondentes a proposições simples p e q , 
depois traçar colunas para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que compõem 
a proposição composta. 
 
Depois completamos, em uma determinada ordem as colunas escrevendo em cada uma delas os 
valores lógicos. 
 
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. 18 
Observe que vamos preenchendo a tabela com os valores lógicos (V e F), depois resolvemos os 
operadores lógicos (modificadores e conectivos) e obtemos em 4 os valores lógicos da proposição que 
correspondem a todas possíveis atribuições de p e q de modo que: 
 
P(V V) = V, P(V F) = F, P(F V) = V, P(F F) = V 
 
A proposição P(p,q) associa a cada um dos elementos do conjunto U – {VV, VF, FV, FF} com um 
ÚNICO elemento do conjunto {V,F}, isto é, P(p,q) outra coisa não é que uma função de U em {V,F} 
 
P(p,q): U → {V,F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte: 
 
 
 
3ª Resolução) Resulta em suprimir a tabela verdade anterior as duas primeiras da esquerda relativas 
às proposições simples componentes p e q. Obtermos então a seguinte tabela verdade simplificada: 
 
 
 
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 
 
Propriedades da Conjunção: Sendo as proposições p, q e r simples, quaisquer que sejam t e w, 
proposições também simples, cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F(falsidade), temos as 
seguintes propriedades: 
 
1) Idempotente: p ^ p ⇔ p (o símbolo “⇔” representa equivalência). 
A tabela verdade de p ^ p e p, são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ p ↔ p é tautológica. 
 
 
 
2) Comutativa: p ^ q ⇔ q ^ p 
A tabela verdade de p ^ q e q ^ p são idênticas,ou seja, a bicondicional p ^ q ↔ q ^ p é tautológica. 
 
 
3) Associativa: (p ^ q) ^ r ⇔ p ^ (q ^ r) 
A tabela verdade de (p ^ q) ^ r e p ^ (q ^ r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p ^ q) ^ r ↔ p ^ (q ^ 
r) é tautológica. 
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. 19 
 
 
4) Identidade: p ^ t ⇔ p e p ^ w ⇔ w 
A tabela verdade de p ^ t e p, e p ^ w e w são idênticas, ou seja, a bicondicional p ^ t ↔ p e p ^ w ↔ w 
são tautológicas. 
 
 
Estas propriedades exprimem que t e w são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente 
da conjunção. 
 
Propriedades da Disjunção: Sendo as proposições p, q e r simples, quaisquer que sejam t e w, 
proposições também simples, cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F(falsidade), temos as 
seguintes propriedades: 
 
1) Idempotente: p v p ⇔ p 
A tabela verdade de p v p e p, são idênticas, ou seja, a bicondicional p v p ↔ p é tautológica. 
 
 
2) Comutativa: p v q ⇔ q v p 
A tabela verdade de p v q e q v p são idênticas, ou seja, a bicondicional p v q ↔ q v p é tautológica. 
 
 
3) Associativa: (p v q) v r ⇔ p v (q v r) 
A tabela verdade de (p v q) v r e p v (q v r) são idênticas, ou seja, a bicondicional (p v q) v r ↔ p v (q v 
r) é tautológica. 
 
 
4) Identidade: p v t ⇔ t e p v w ⇔ p 
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. 20 
A tabela verdade de p v t e p, e p v w e w são idênticas, ou seja, a bicondicional p v t ↔ t e p v w ↔ p 
são tautológicas. 
 
Estas propriedades exprimem que t e w são respectivamente elemento absorvente e elemento neutro 
da disjunção. 
 
Propriedades da Conjunção e Disjunção: Sejam p, q e r proposições simples quaisquer. 
1) Distributiva: 
- p ^ (q v r) ⇔ (p ^ q) v (p ^ r) 
- p v (q ^ r) ⇔ (p v q) ^ (p v r) 
 
A tabela verdade das proposições p ^ (q v r) e (p v q) ^ (p v r) são idênticas, e observamos que a 
bicondicional p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r) é tautológica. 
 
 
Analogamente temos ainda que a tabela verdade das proposições p v (q ^ r) e (p v q) ^ (p v r) são 
idênticas e sua bicondicional p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r) é tautológica. 
 
A equivalência p ^ (q v r) ↔ (p ^ q) v (p ^ r), exprime que a conjunção é distributiva em relação à 
disjunção e a equivalência p v (q ^ r) ↔ (p v q) ^ (p v r), exprime que a disjunção é distributiva em relação 
à conjunção. 
Exemplo: 
“Carlos estuda E Jorge trabalha OU viaja” é equivalente à seguinte proposição: 
“Carlos estuda E Jorge trabalha” OU “Carlos estuda E Jorge viaja”. 
 
2) Absorção: 
- p ^ (p v q) ⇔ p 
- p v (p ^ q) ⇔ p 
 
A tabela verdade das proposições p ^ (p v q) e p, ou seja, a bicondicional p ^ (p v q) ↔ p é tautológica. 
 
 
Analogamente temos ainda que a tabela verdade das proposições p v (p ^ q) e p são idênticas, ou seja 
a bicondicional p v (p ^ q) ↔ p é tautológica. 
 
 
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Referências 
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 
ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. 
 
Questões 
 
01. (DOCAS/PB – Assistente Administrativo – IBFC) Se o valor lógico de uma proposição “P” é 
verdade e o valor lógico de uma proposição “Q” é falso, então o valor lógico do bicondicional entre as 
duas proposições é: 
(A) Falso 
(B) Verdade 
(C) Inconclusivo 
(D) Falso ou verdade 
 
02. (DOCAS/PB – Assistente Administrativo – IBFC) Dentre as alternativas, a única correta é: 
(A) O valor lógico da conjunção entre duas proposições é verdade se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
(B) O valor lógico do bicondicional entre duas proposições é verdade se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
(C) O valor lógico da disjunção entre duas proposições é verdade se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
(D) O valor lógico do condicional entre duas proposições é falso se os valores lógicos das duas 
proposições forem falsos. 
 
03. (EBSERH – Técnico em Citopatologia – INSTITUTO AOCP) Considerando a proposição 
composta ( p ∨ r ) , é correto afirmar que 
(A) a proposição composta é falsa se apenas p for falsa. 
(B) a proposição composta é falsa se apenas r for falsa. 
(C) para que a proposição composta seja verdadeira é necessário que ambas, p e r sejam verdadeiras. 
(D) para que a proposição composta seja verdadeira é necessário que ambas, p e r sejam falsas. 
(E) para que a proposição composta seja falsa é necessário que ambas, p e r sejam falsas. 
 
04. (MEC – Conhecimentos básicos para os Postos 9,10,11 e 16 – CESPE) 
 
 
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam 
proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso. 
Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo. 
 
A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na 
posição horizontal é igual a 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
05. (BRDE-Analista de Sistemas, Desenvolvimento de Sistemas – FUNDATEC) Qual operação 
lógica descreve a tabela verdade da função Z abaixo cujo operandos são A e B? Considere que V significa 
Verdadeiro, e F, Falso. 
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. 22 
 
 
(A) Ou. 
(B) E. 
(C) Ou exclusivo. 
(D) Implicação (se...então). 
(E) Bicondicional (se e somente se). 
 
06. (TCE/SP – Auxiliar da Fiscalização Financeira II – FCC) Considere a afirmação condicional: Se 
Alberto é médico ou Alberto é dentista, então Rosa é engenheira. 
Seja R a afirmação: 'Alberto é médico'; 
Seja S a afirmação: 'Alberto é dentista' e 
Seja T a afirmação: 'Rosa é engenheira'. 
 
A afirmação condicional será considerada necessariamente falsa quando 
(A) R for verdadeira, S for falsa e T for verdadeira. 
(B) R for falsa, S for verdadeira e T for verdadeira. 
(C) R for falsa, S for falsa e T for falsa. 
(D) R for falsa, S for falsa e T for verdadeira. 
(E) R for verdadeira, S for falsa e T for falsa. 
 
07. (TER-RJ – Analista Judiciário – CONSULPLAN/2017) De acordo com algumas implicações 
lógicas, analise as afirmativas a seguir. 
I. Se p é verdadeira e q é verdadeira, então p Λ q é verdadeira. 
II. Se p é verdadeira ou q é verdadeira, então p V q é falsa. 
III. Se p é verdadeira e p ⟶ q é verdadeira, então q é verdadeira. 
IV. Se ~p é verdadeira e p V q é verdadeira, então q é verdadeira. 
V. Se ~q é verdadeira e p ⟶ q é verdadeira, então ~p é verdadeira. 
VI. Se p V q é verdadeira, p ⟶ r é verdadeira e q ⟶ r é verdadeira, então r é verdadeira. 
VII. p V [q Λ (~q)]⇔ p. 
VIII. p⟶ q⇔(~p) V p. 
 
Estão INCORRETAS apenas as afirmativas 
(A) I e II. 
(B) II e VIII. 
(C) I, II, VI e VIII. 
(D) III, IV, V e VI. 
 
08. (ISGH - Médico Pediatra - Instituto Pró Município) Analise as seguintes proposições: 
Proposição I: 4 é número par; 
Proposição II: 2 > 5; 
Proposição III: 6 é número ímpar. 
Qual das proposições abaixo apresenta valor lógico verdadeiro? 
(A) Se 2 > 5 e 6 é número ímpar, então 4 é número par; 
(B) Se 2 > 5 ou 4 é número par, então 6 é número ímpar; 
(C) Se 4 é número par ou 6 é número ímpar, então 2 > 5; 
(D) Se 4 é número par, então 2 > 5 ou 6 é número ímpar. 
 
 
 
 
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Comentários 
 
01. Resposta: A. 
Pela tabela verdade da bicondicional 
 
 
02. Resposta: B. 
Pela tabela verdade: 
 
Tabela-verdade conjunção 
 
Tabela-verdade disjunção 
 
Tabela da condicional 
 
Tabela da bicondicional 
 
03. Resposta: E. 
Comojá foi visto, a disjunção só é falsa quando as duas proposições são falsas. 
 
04. Resposta: Certo. 
P v (Q↔R), montando a tabela verdade temos: 
 
 
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05. Resposta: D. 
Observe novamente a tabela abaixo, considere A = p, B = q e Z = condicional. 
 
 
06. Resposta: E. 
RvS→T 
Para a condicional ser falsa, devemos ter: 
V→F 
Portanto a afirmação (T: Rosa é engenheira) tem que ser falsa. 
E para RvS ser verdadeira, as duas só não podem ser falsas. 
Lembrando pela tabela verdade de cada uma: 
Condicional 
 
 
Disjunção 
 
 
07. Resposta: B. 
v e v = V (I) certo 
v ou f = F (II) ERRADO, logo por eliminação só nos resta a alternativa B. 
 
08. Resposta: A 
 Para solucionar essa questão, basta saber que na condicional (A ---> B), sendo B (Verdade) ela será 
sempre verdadeira. 
Pois na condicional somente é falso quando: 
(V ---> F = F) (‘vai-fugir”) 
 Sabendo disso, 
Se 2 > 5 e 6 é número ímpar, então 4 é número par; 
 Nem precisa fazer ----> V = Verdadeiro 
 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
 
A argumentação é a forma como utilizamos o raciocínio para convencer alguém de alguma coisa. A 
argumentação faz uso de vários tipos de raciocínio que são baseados em normas sólidas e argumentos 
aceitáveis. 
A lógica de argumentação é também conhecida como dedução formal e é a principal ferramenta 
para o raciocínio válido de um argumento. Ela avalia conclusões que a argumentação pode tomar e 
avalia quais dessas conclusões são válidas e quais são inválidas (falaciosas). O estudo das formas 
válidas de inferências de uma linguagem proposicional também faz parte da Teoria da argumentação. 
 
 
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Conceitos 
Premissas (proposições): são afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas. Com base nelas que 
os argumentos são compostos, ou melhor, elas possibilitam que o argumento seja aceito. 
 
Inferência: é o processo a partir de uma ou mais premissas se chegar a novas proposições. Quando 
a inferência é dada como válida, significa que a nova proposição foi aceita, podendo ela ser utilizada em 
outras inferências. 
 
Conclusão: é a proposição que contém o resultado final da inferência e que está alicerçada nas 
premissas. Para separa as premissas das conclusões utilizam-se expressões como “logo, ...”, “portanto, 
...”, “por isso, ...”, entre outras. 
 
Sofisma: é um raciocínio falso com aspecto de verdadeiro. 
 
Falácia: é um argumento inválido, sem fundamento ou tecnicamente falho na capacidade de provar 
aquilo que enuncia. 
 
Silogismo: é um raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a conclusão 
é verdadeira e deriva logicamente das duas primeiras premissas, ou seja, a conclusão é a terceira 
premissa. 
 
Argumento: é um conjunto finito de premissas – proposições –, sendo uma delas a consequência das 
demais. O argumento pode ser dedutivo (aquele que confere validade lógica à conclusão com base nas 
premissas que o antecedem) ou indutivo (aquele quando as premissas de um argumento se baseiam na 
conclusão, mas não implicam nela) 
O argumento é uma fórmula constituída de premissas e conclusões (dois elementos fundamentais da 
argumentação). 
 
Alguns exemplos de argumentos: 
 
1) 
Todo homem é mortal 
Premissas 
João é homem 
Logo, João é mortal Conclusão 
 
2) 
Todo brasileiro é mortal 
Premissas 
Todo paulista é brasileiro 
Logo, todo paulista é mortal Conclusão 
 
3) 
Se eu passar no concurso, então irei viajar 
Premissas 
Passei no concurso 
Logo, irei viajar Conclusão 
 
Todas as PREMISSAS tem uma CONCLUSÃO. Os exemplos acima são considerados silogismos. 
 
Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q, indica-se por: 
 
P1, P2, ..., Pn |----- Q 
 
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Argumentos Válidos 
Um argumento é VÁLIDO (ou bem construído ou legítimo) quando a conclusão é VERDADEIRA (V), 
sempre que as premissas forem todas verdadeiras (V). Dizemos, também, que um argumento é válido 
quando a conclusão é uma consequência obrigatória das verdades de suas premissas.Ou seja: 
 
A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. 
 
Um argumento válido é denominado tautologia quando assumir, somente, valorações verdadeiras, 
independentemente dos valores assumidos por suas estruturas lógicas. 
 
Argumentos Inválidos 
Um argumento é dito INVÁLIDO (ou falácia, ou ilegítimo ou mal construído), quando as verdades das 
premissas são insuficientes para sustentar a verdade da conclusão. 
Caso a conclusão seja falsa, decorrente das insuficiências geradas pelas verdades de suas premissas, 
tem-se como conclusão uma contradição (F). 
Um argurmento não válido diz-se um SOFISMA. 
Os argumentos falaciosos podem ter validade emocional, íntima, psicológica, mas não validade lógica. 
É importante conhecer os tipos de falácia para evitar armadilhas lógicas na própria argumentação e para 
analisar a argumentação alheia. 
 
- A verdade e a falsidade são propriedades das proposições. 
- Já a validade e a invalidade são propriedades inerentes aos argumentos. 
- Uma proposição pode ser considerada verdadeira ou falsa, mas nunca válida e inválida. 
- Não é possível ter uma conclusão falsa se as premissas são verdadeiras. 
- A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e 
conclusões. 
 
Critérios de Validade de um argumento 
Pelo teorema temos: 
 
Um argumento P1, P2, ..., Pn |---- Q é VÁLIDO se e somente se a condicional: 
(P1 ^ P2 ^ ...^ Pn) → Q é tautológica. 
 
Métodos para testar a validade dos argumentos2 
Estes métodos nos permitem, por dedução (ou inferência), atribuirmos valores lógicos as premissas 
de um argumento para determinarmos uma conclusão verdadeira. 
Também podemos utilizar diagramas lógicos caso sejam estruturas categóricas (frases formadas pelas 
palavras ou quantificadores: todo, algum e nenhum). 
 
Os métodos constistem em: 
 
1) Atribuição de valores lógicos: o método consiste na dedução dos valores lógicos das premissas 
de um argumento, a partir de um “ponto de referência inicial” que, geralmente, será representado pelo 
valor lógico de uma premissa formada por uma proposição simples. Lembramos que, para que um 
argumento seja válido, partiremos do pressuposto que todas as premissas que compõem esse 
argumento são, na totalidade, verdadeiras. 
Para dedução dos valores lógicos, utilizaremos como auxílio a tabela-verdade dos conectivos. 
 
 
 
Exemplo 
 
2 ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. 
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 
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. 27 
 
Sejam as seguintes premissas: 
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. 
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. 
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. 
P4: Ora, a rainha fica na masmorra. 
 
Se todos os argumentos (P1,P2,P3 e P4) forem válidos, então todas premissas que compõem o 
argumento são necessariamente verdadeiras (V). E portanto pela premissa simples P4: “a rainha fica 
na masmorra”; por ser uma proposição simples e verdadeira, servirá de “referencial inicial” para a 
dedução dos valores lógicos das demais proposições que, também, compõem esse argumento. Teremos 
com isso então: 
 
Já sabemos que a premissa simples “a rainha fica na masmorra” é verdadeira, portanto, tal valor lógicoconfirmará como verdade a 1a parte da condicional da premissa P3 (1º passo). 
 
 
Lembramos que, se a 1ª parte de uma condicional for verdadeira, implicará que a 2ª parte também 
deverá ser verdadeira (2º passo), já que a verdade implica outra verdade (vide a tabela-verdade da 
condicional). Assim teremos como valor lógico da premissa uma verdade (V). 
 
 
Confirmando-se a proposição simples “o bárbaro usa a espada” como verdadeira (3º passo), logo, a 
1ª parte da disjunção simples da premissa P1, “o bárbaro não usa a espada”, será falsa (4º passo). 
 
 
Como a premissa P1 é formada por uma disjunção simples, lembramos que ela será verdadeira, se 
pelo menos uma de suas partes for verdadeira. Sabendo-se que sua 1ª parte é falsa, logo, a 2ª parte 
deverá ser, necessariamente, verdadeira (5º passo). 
 
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. 28 
 
Ao confirmarmos como verdadeira a proposição simples “o príncipe não foge a cavalo”, então, 
devemos confirmar como falsa a 2a parte da condicional “o príncipe foge a cavalo” da premissa P2 (6o 
passo). 
 
 
E, por último, ao confirmar a 2a parte de uma condicional como falsa, devemos confirmar, também, sua 
1a parte como falsa (7o passo). 
 
 
Através da analise das premissas e atribuindo os seus valores lógicos chegamos as seguintes 
conclusões: 
- A rainha fica na masmorra; 
- O bárbaro usa a espada; 
- O rei não fica nervoso; 
- o príncipe não foge a cavalo. 
 
Observe que onde as proposições são falsas (F) utilizamos o não para ter o seu correspondente como 
válido, expressando uma conclusão verdadeira. 
 
Caso o argumento não possua uma proposição simples “ponto de referência inicial”, devem-se iniciar as 
deduções pela conjunção, e, caso não exista tal conjunção, pela disjunção exclusiva ou pela 
bicondicional, caso existam. 
 
2) Método da Tabela – Verdade: para resolvermos temos que levar em considerações dois casos. 
 
1º caso: quando o argumento é representado por uma fómula argumentativa. 
 
Exemplo 
 
A → B ~A = ~B 
 
Para resolver vamos montar uma tabela dispondo todas as proposições, as premissas e as conclusões 
afim de chegarmos a validade do argumento. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 29 
 
(Fonte: http://www.marilia.unesp.br) 
 
O caso onde as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa está sinalizada na tabela acima 
pelo asterisco.Observe também, na linha 4, que as premissas são verdadeiras e a conclusão é verdadeira. 
Chegamos através dessa análise que o argumento não é valido. 
 
2o caso: quando o argumento é representado por uma sequência lógica de premissas, sendo a última 
sua conclusão, e é questionada a sua validade. 
 
Exemplo: 
“Se leio, então entendo. Se entendo, então não compreendo. Logo, compreendo.” 
 
P1: Se leio, então entendo. 
P2: Se entendo, então não compreendo. 
C: Compreendo. 
Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa 
desse argumento: 
P1 ∧ P2 → C 
 
Representando inicialmente as proposições primitivas “leio”, “entendo” e “compreendo”, 
respectivamente, por “p”, “q” e “r”, teremos a seguinte fórmula argumentativa: 
P1: p → q 
P2: q → ~r 
C: r 
 
[(p → q) ∧ (q → ~r)] → r ou 
 
𝑝 → 𝑞
𝑞 → ~𝑟
𝑟
 
 
Montando a tabela verdade temos (vamos montar o passo a passo): 
 
 
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. 30 
 
 
 
Sendo a solução (observado na 5a resolução) uma contingência (possui valores verdadeiros e falsos), 
logo, esse argumento não é válido. Podemos chamar esse argumento de sofisma embora tenha 
premissas e conclusões verdadeiras. 
 
Implicações tautológicas: a utilização da tabela verdade em alguns casos torna-se muito trabalhoso, 
principlamente quando o número de proposições simples que compõe o argumento é muito grande, então 
vamos aqui ver outros métodos que vão ajudar a provar a validade dos argumentos. 
 
3.1 - Método da adição (AD) 
p
p ∨ q
 ou p → (p ∨ q) 
 
3.2 - Método da adição (SIMP) 
 
1º caso: 
p ∧ q
p
 ou (p ∧ q) → p 
 
2º caso: 
p ∧ q
p
 ou (p ∧ q) → q 
 
3.3 - Método da conjunção (CONJ) 
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. 31 
 
1º caso: 
 
p
q
p ∧ q
 ou (p ∧ q) → (p ∧ q) 
 
2º caso: 
 
p
q
q ∧ p
 ou (p ∧ q) → (q ∧ p) 
 
3.4 - Método da absorção (ABS) 
 
p → q
p → (p ∧ q)
 ou (p → q) → [p → p ∧ q)] 
 
3.5 – Modus Ponens (MP) 
 
p→q
p
q
 ou [(p → q) ∧ p] → q 
 
3.6 – Modus Tollens (MT) 
 
p→q
~q
~p
 ou [(p → q) ∧ ~q] → p 
 
3.7 – Dilema construtivo (DC) 
 
p → q
r → s
p ∨ r
q ∨ s
 ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r) ] → (q ∨ s) 
 
3.8 – Dilema destrutivo (DD) 
 
p → q
r → s
~q ∨ ~s
~p ∨ ~r
 ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s) ] → (~p ∨ ~r) 
 
3.9 – Silogismo disjuntivo (SD) 
 
1º caso: 
 
p ∨ q
~p
q
 ou [(p ∨ q) ∧ ~p] → q 
 
2º caso: 
 
p ∨ q
~q
p
 ou [(p ∨ q) ∧ ~q] → p 
 
3.10 – Silogismo hipotético (SH) 
 
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. 32 
p → q
q → r
p → r
 ou [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) 
 
3.11 – Exportação e importação. 
 
1º caso: Exportação 
 
(p ∧ q) → r
p → (q → r)
 ou [(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)] 
 
2º caso: Importação 
 
p → (q → r)
(p ∧ q) → r
 ou [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r] 
 
Produto lógico de condicionais: este produto consiste na dedução de uma condicional conclusiva 
– que será a conclusão do argumento –, decorrente ou resultante de várias outras premissas formadas 
por, apenas, condicionais. 
 
Ao efetuar o produto lógico, eliminam-se as proposições simples iguais que se localizam em partes 
opostas das condicionais que formam a premissa do argumento, resultando em uma condicional 
denominada condicional conclusiva. Vejamos o exemplo: 
 
 
 
Nós podemos aplicar a soma lógica em alguns casos, como por exemplo: 
 
1º caso - quando a condicional conclusiva é formada pelas proposições simples que aparecem apenas 
uma vez no conjunto das premissas do argumento. 
 
Exemplo 
 
Dado o argumento: Se chove, então faz frio. Se neva, então chove. Se faz frio, então há nuvens no 
céu. Se há nuvens no céu, então o dia está claro. 
Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: 
P1: Se chove, então faz frio. 
P2: Se neva, então chove. 
P3: Se faz frio, então há nuvens no céu. 
P4: Se há nuvens no céu, então o dia está claro. 
 
Vamos denotar as proposições simples: 
p: chover 
q: fazer frio 
r: nevar 
s: existir nuvens no céu 
t: o dia está claro 
Montando o produto lógico teremos: 
 
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. 33 
𝑥 {
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑝
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑝
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑞
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑞
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑟 → 𝑡 
 
Conclusão: “Se neva, então o dia está claro”. 
 
Observe que: As proposições simples “nevar” e “o dia está claro” só apareceram uma vez no conjunto 
de premissas do argumento anterior. 
 
2º caso - quando a condicional conclusiva é formada por, apenas, uma proposição simples que 
aparece em ambas as partes da condicional conclusiva, sendo uma a negação da outra. As demais 
proposições simples são eliminadas pelo processo natural do produto lógico. 
Neste caso, na condicional conclusiva, a 1ª parte deverá necessariamente ser FALSA, e a 2ª parte, 
necessariamente VERDADEIRA. 
 
Tome Nota: 
Nos dois casos anteriores, pode-se utilizar o recurso de equivalência da contrapositiva 
(contraposição)de uma condicional, para que ocorram os devidos reajustes entre as proposições 
simples de uma determinada condicional que resulte no produto lógico desejado. 
(p → q) ⇔ ~q → ~p 
 
Exemplo 
 
Seja o argumento: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. Se Carlos não viaja, então Beto não 
estuda. Se Carlos viaja, Ana trabalha. 
 
Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: 
P1: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. 
P2: Se Carlos não viaja, então Beto não estuda. 
P3: Se Carlos viaja, Ana trabalha. 
Denotando as proposições simples teremos: 
p: Ana trabalha 
q: Beto estuda 
r: Carlos viaja 
Montando o produto lógico teremos: 
 
{
𝑝 → ~𝑞
~𝑟 → ~𝑞
𝑟 → 𝑝
(𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) ⇒ 𝑥 {
𝑝 → ~𝑞
𝑞 → 𝑟
𝑟 → 𝑝
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → ~𝑞
𝑞 → 𝑟 ⇒ 𝑞⏟
𝐹
→ ~𝑞⏟
𝑉
 
 
Conclusão: “Beto não estuda”. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Tanguá/RJ- Fiscal de Tributos – MS CONCURSOS/2017) Qual das seguintes sentenças 
é classificada como uma proposição simples? 
(A) Será que vou ser aprovado no concurso? 
(B) Ele é goleiro do Bangu. 
(C) João fez 18 anos e não tirou carta de motorista. 
(D) Bashar al-Assad é presidente dos Estados Unidos. 
 
02. (IF/PA- Auxiliar de Assuntos Educacionais – IF/PA) Qual sentença a seguir é considerada uma 
proposição? 
(A) O copo de plástico. 
(B) Feliz Natal! 
(C) Pegue suas coisas. 
(D) Onde está o livro? 
(E) Francisco não tomou o remédio. 
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. 34 
03. (Cespe/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir: 
• “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” 
• A expressão x + y é positiva. 
• O valor de √4 + 3 = 7. 
• Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. 
• O que é isto? 
 
Há exatamente: 
(A) uma proposição; 
(B) duas proposições; 
(C) três proposições; 
(D) quatro proposições; 
(E) todas são proposições. 
 
04. (DPU – Agente Administrativo – CESPE) Considere que as seguintes proposições sejam 
verdadeiras. 
• Quando chove, Maria não vai ao cinema. 
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema. 
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio. 
• Quando Fernando está estudando, não chove. 
• Durante a noite, faz frio. 
Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o item subsecutivo. 
Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
05. (STJ – Conhecimentos Gerais para o cargo 17 – CESPE) Mariana é uma estudante que tem 
grande apreço pela matemática, apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo 
suficiente para estudar, Mariana é aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste 
semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada Introdução à Matemática Aplicada. No entanto, 
ela não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nessa disciplina. 
A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue o item a seguir, acerca das 
estruturas lógicas. 
Considerando-se as seguintes proposições: 
p: “Se Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1, então ela aprende o conteúdo de Química Geral"; 
q: “Se Mariana aprende o conteúdo de Química Geral, então ela é aprovada em Química Geral"; 
c: “Mariana foi aprovada em Química Geral", é correto afirmar que o argumento formado pelas 
premissas p e q e pela conclusão c é um argumento válido. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
06. (Petrobras – Técnico (a) de Exploração de Petróleo Júnior – CESGRANRIO) Se Esmeralda é 
uma fada, então Bongrado é um elfo. Se Bongrado é um elfo, então Monarca é um centauro. Se Monarca 
é um centauro, então Tristeza é uma bruxa. 
Ora, sabe-se que Tristeza não é uma bruxa, logo 
(A) Esmeralda é uma fada, e Bongrado não é um elfo. 
(B) Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro. 
(C) Bongrado é um elfo, e Monarca é um centauro. 
(D) Bongrado é um elfo, e Esmeralda é uma fada 
(E) Monarca é um centauro, e Bongrado não é um elfo. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Analisando as alternativas temos: 
(A) Frases interrogativas não são consideradas proposições. 
(B) O sujeito aqui é indeterminado, logo não podemos definir quem é ele. 
(C) Trata-se de uma proposição composta 
(D) É uma frase declarativa onde podemos identificar o sujeito da frase e atribuir a mesma um valor 
lógico. 
 
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. 35 
02. Resposta: E. 
Analisando as alternativas temos: 
(A) Não é uma oração composta de sujeito e predicado. 
(B) É uma frase imperativa/exclamativa, logo não é proposição. 
(C) É uma frase que expressa ordem, logo não é proposição. 
(D) É uma frase interrogativa. 
(E) Composta de sujeito e predicado, é uma frase declarativa e podemos atribuir a ela valores lógicos. 
 
03. Resposta: B. 
Analisemos cada alternativa: 
(A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não 
é uma sentença lógica. 
(B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica. 
(C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente 
do resultado que tenhamos 
(D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não 
estamos considerando a quantidade certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a 
sentença). 
(E) O que é isto? - como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase 
interrogativa. 
 
04. Resposta: Errado. 
A questão trata-se de lógica de argumentação, dadas as premissas chegamos a uma conclusão. 
Enumerando as premissas: 
A = Chove 
B = Maria vai ao cinema 
C = Cláudio fica em casa 
D = Faz frio 
E = Fernando está estudando 
F = É noite 
A argumentação parte que a conclusão deve ser (V) 
 
Lembramos a tabela verdade da condicional: 
 
 
A condicional só será F quando a 1ª for verdadeira e a 2ª falsa, utilizando isso temos: 
O que se quer saber é: Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. // B → ~E 
Iniciando temos: 
4º - Quando chove (F), Maria não vai ao cinema. (F) // A → ~B = V – para que o argumento seja válido 
temos que Quando chove tem que ser F. 
3º - Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V). // C → B = V - para que o argumento 
seja válido temos que Maria vai ao cinema tem que ser V. 
2º - Quando Cláudio sai de casa(F), não faz frio (F). // ~C → ~D = V - para que o argumento seja válido 
temos que Quando Cláudio sai de casa tem que ser F. 
5º - Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V). // E → ~A = V. – neste caso Quando 
Fernando está estudando pode ser V ou F. 
1º- Durante a noite(V), faz frio (V). // F → D = V 
Logo nada podemos afirmar sobre a afirmação: Se Maria foi ao cinema (V), então Fernando estava 
estudando (V ou F); pois temos dois valores lógicos para chegarmos à conclusão (V ou F). 
 
05. Resposta: Errado. 
Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa 
desse argumento: 
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P1 ∧ P2 → C 
Organizando e resolvendo, temos: 
A: Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1 
B: Mariana aprende o conteúdo de Química Geral 
C: Mariana é aprovada em Química Geral 
Argumento: [(A → B) ∧ (B → C)] ⇒ C 
Vamos ver se há a possibilidade de a conclusão ser falsa e as premissas serem verdadeiras, para 
sabermos se o argumento é válido: 
Testando C para falso: 
(A → B) ∧ (B →C) 
(A →B) ∧ (B → F) 
Para obtermos um resultado V da 2º premissa, logo B têm que ser F: 
(A → B) ∧ (B → F) 
(A → F) ∧ (F → F) 
(F → F) ∧ (V) 
Para que a primeira premissa seja verdadeira, é preciso que o “A” seja falso: 
(A → F) ∧ (V) 
(F → F) ∧ (V)(V) ∧ (V) 
 (V) 
Então, é possível que o conjunto de premissas seja verdadeiro e a conclusão seja falsa ao mesmo 
tempo, o que nos leva a concluir que esse argumento não é válido. 
 
06. Resposta: B. 
Vamos analisar cada frase partindo da afirmativa Tristeza não é bruxa, considerando ela como (V), 
precisamos ter como conclusão o valor lógico (V), então: 
(4) Se Esmeralda é uma fada(F), então Bongrado é um elfo (F) → V 
(3) Se Bongrado é um elfo (F), então Monarca é um centauro (F) → V 
(2) Se Monarca é um centauro(F), então Tristeza é uma bruxa(F) → V 
(1) Tristeza não é uma bruxa (V) 
 
Logo: 
Temos que: 
Esmeralda não é fada(V) 
Bongrado não é elfo (V) 
Monarca não é um centauro (V) 
Como a conclusão parte da conjunção, o mesmo só será verdadeiro quando todas as afirmativas forem 
verdadeiras, logo, a única que contém esse valor lógico é: 
Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro. 
 
CORRELAÇÃO DE ELEMENTOS / ASSOCIAÇÃO LÓGICA 
 
A Associação Lógica3 trata de problemas aos quais prestam informações de diferentes tipos, 
relacionado a pessoas, coisas, objetos entre outros e nosso objetivo ao resolver um problema desse é 
descobrir o correlacionamento entre os dados. 
Os problemas serão sobre descobrir quem usou o quê, quando, com quem, aonde, entre outros. 
Abaixo veremos um exemplo sobre resolução de problemas utilizando o correlacionamento entre os 
dados que será de grande ajuda na resolução desse tipo de problema. 
 
01. Célia e outros três parceiros fazem parte de um quarteto musical. Cada componente do grupo tem 
uma função diferente. Com base nas dicas a seguir, tente descobrir o nome de cada componente do 
quarteto, sua idade e função e o item que estava usando na última apresentação. 
1) Décio usou óculos escuros na apresentação. 
2) Célia é a vocalista. 
3) O que usou gravata tem 25 anos. 
4) O guitarrista» que não é Benício, tem 26 anos. 
5) O tecladista usou gola de pele. 
 
3 ROCHA, Enrique – Raciocínio lógico para concursos: você consegue aprender: teoria e questões – Niterói: Impetus – 2010. 
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. 37 
6) Roberto tem 28 anos e não toca bateria. 
7) Benício e mais velho que Célia. 
8) Um deles tem 23 anos. 
9) Um deles usou botas altas. 
 
1º passo – identificar os grupos. 
Nome: Benício, Célia, Décio, Roberto; 
Função: baterista, guitarrista, vocalista e tecladista; 
Idade: 23,25,26 e 28; 
Item: óculos, botas, golas e gravata. 
 
2º passo – Montarmos a tabela principal e a tabela gabarito. 
 
 
 
3º passo – vamos ao preenchimento da tabela principal e da tabela gabarito, com as informações mais 
óbvias, que não deixam margem a nenhuma dúvida, aquelas que constam no enunciado da questão. 
 
 
 
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. 38 
Observe que como Benício é mais velho que Célia, logo ele não pode ter 23 anos (idade do mais novo). 
Benício não é guitarrista; Guitarrista tem 26 anos; Benício não tem 26 anos (porque não é guitarrista e 
quem tem 26 anos é o guitarrista). 
 
4º passo - feitas as anotações das informações do problema, analise a tabela principal, procurando 
informações que levem a novas conclusões. 
Vamos analisar linha a linha (ou coluna a coluna) para não tirar nenhuma conclusão errada. 
Vejamos, linha da Célia: 
Célia (vocalista) → não tem 28 anos; não usa óculos, logo a vocalista não tem 28 anos. 
 
 
- Linha do Décio: (óculos) → não é vocalista e não tem 28 anos, logo quem usa óculos não tem 28 
anos (informação já marcada). 
- Linha do Roberto: (28 anos) → não é baterista, não é vocalista e não usa óculos, logo quem tem 28 
anos não é baterista. 
 
 
Observe que Na idade 28 anos sobrou apenas um espaço, sendo correspondente ao do Tecladista. 
Então o Tecladista tem 28 anos e Roberto tem 28 anos logo, Roberto é o Tecladista. 
 
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. 39 
 
 
Veja que agora temos que Décio é o Guitarrista, o que implica Benício ser o Baterista (a única função 
que estava faltando) 
 
 
 
 
Sabemos ainda pela tabela que o Guitarrista tem 26 anos, logo Décio tem 26 anos. Teremos ainda 
Célia com 23 anos e Benício com 25 anos. 
 
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. 40 
 
 
Na dica 3, o que usou gravata tem 25 anos, e olhando na tabela gabarito acima, podemos concluir que 
Benício usou gravata. 
Na dica 5, o tecladista usou gola de pele, descobrimos que Roberto usou gola de pele. 
Como já sabemos também que Décio usou óculos, podemos concluir que só ficou 
“Botas” para Célia. 
 
 
1º) Não se preocupe em terminar a tabela principal, uma vez que você tenha preenchido toda 
tabela gabarito. Ganhe tempo e parta para a próxima questão. 
 
2º) Nunca se esqueça de que essa técnica é composta por duas tabelas que devem ser 
utilizadas em paralelo, ou seja, quando uma conclusão for tirada pelo uso de alguma delas, as 
outras devem ser atualizadas. A prática de resolução de questões de variados níveis de 
complexidade vai ajudá-lo a ficar mais seguro. 
 
Questões 
 
01. (TRT-9ª REGIÃO/PR – Técnico Judiciário – FCC) Luiz, Arnaldo, Mariana e Paulo viajaram em 
janeiro, todos para diferentes cidades, que foram Fortaleza, Goiânia, Curitiba e Salvador. Com relação às 
cidades para onde eles viajaram, sabe-se que: 
 
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador; 
− Mariana viajou para Curitiba; 
− Paulo não viajou para Goiânia; 
− Luiz não viajou para Fortaleza. 
 
É correto concluir que, em janeiro, 
(A) Paulo viajou para Fortaleza. 
(B) Luiz viajou para Goiânia. 
(C) Arnaldo viajou para Goiânia. 
(D) Mariana viajou para Salvador. 
(E) Luiz viajou para Curitiba. 
 
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. 41 
02. (COLÉGIO PEDRO II – Engenheiro Civil – ACESSO PÚBLICO) Antônio, Eduardo e Luciano são 
advogado, engenheiro e médico, não necessariamente nessa ordem. Eles são casado, divorciado e 
solteiro, mas não se sabe qual o estado civil de quem. Porém, sabe-se que o casado é engenheiro, 
Eduardo é advogado e não é solteiro, e o divorciado não é médico. Portanto, com certeza: 
(A) Eduardo é divorciado. 
(B) Luciano é médico. 
(C) Luciano é engenheiro. 
(D) Antônio é engenheiro. 
(E) Antônio é casado. 
 
03. (Pref. de Belo Horizonte/MG – Assistente Administrativo – FUMARC) Três bolas A, B e C foram 
pintadas cada uma de uma única cor: branco, vermelho e azul, não necessariamente nessa ordem. Se a 
bola A não é branca nem azul, a bola B não é vermelha e a bola C não é azul, então é CORRETO afirmar 
que as cores das bolas A, B e C são, respectivamente: 
(A) azul, branco e vermelho. 
(B) branco, vermelho e azul. 
(C) vermelho, branco e azul. 
(D) vermelho, azul e branco. 
 
04. (MDS – Atividades Técnicas de Complexidade Intelectual – CETRO) Na loja de João, há 3 
caixas com canetas, sendo uma com 20 canetas, outra com 30 canetas e a outra com 50. Em cada caixa 
as canetas são de uma só cor. Essas caixas foram colocadas uma em cada prateleira. Diante do exposto, 
considere as seguintes informações: 
 
I. a caixa com canetas vermelhas ficou em uma prateleira mais baixa que a caixa com canetas azuis. 
II. a caixa com 30 canetas não é a que tem canetas azuis, e a caixa com 20 canetas ficou na prateleira 
mais alta. 
III. na prateleira mais baixa, encontra-se a caixa com mais canetas. 
 IV. a caixa com canetas azuis não foi colocada na prateleira do meio, e a caixa com mais canetas não 
é a de canetas pretas. 
 
 É correto afirmar que a quantidade de canetas das cores vermelhas, pretas e azuis é, 
respectivamente, 
(A) 50, 30 e 20. 
(B) 50, 20 e 30. 
(C) 30, 50 e 20.(D) 30, 20 e 50. 
(E) 20, 30 e 50. 
 
05. (Policia Federal – Agente de Polícia Federal – CESPE) 
Em um restaurante, João, Pedro e Rodrigo pediram pratos de carne, frango e peixe, não 
necessariamente nessa ordem, mas cada um pediu um único prato. As cores de suas camisas eram azul, 
branco e verde; Pedro usava camisa azul; a pessoa de camisa verde pediu carne e Rodrigo não pediu 
frango. Essas informações podem ser visualizadas na tabela abaixo, em que, no cruzamento de uma 
linha com uma coluna, V corresponde a fato verdadeiro e F, a fato falso. 
 
 Carne Frango Peixe João Pedro Rodrigo 
Azul V 
Branca 
Verde V 
João 
Pedro 
Rodrigo F 
 
Considerando a situação apresentada e, no que couber, o preenchimento da tabela acima, julgue o 
item seguinte. 
 
Das informações apresentadas, é possível inferir que Pedro pediu frango. 
( ) certo ( ) errado 
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. 42 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Vamos preencher a tabela: 
− Luiz e Arnaldo não viajaram para Salvador; 
 
 Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador 
Luiz N 
Arnaldo N 
Mariana 
Paulo 
 
− Mariana viajou para Curitiba; 
 
 Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador 
Luiz N N 
Arnaldo N N 
Mariana N N S N 
Paulo N 
 
− Paulo não viajou para Goiânia; 
 
 Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador 
Luiz N N 
Arnaldo N N 
Mariana N N S N 
Paulo N N 
 
− Luiz não viajou para Fortaleza. 
 
 Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador 
Luiz N N N 
Arnaldo N N 
Mariana N N S N 
Paulo N N 
 
Agora, completando o restante: 
Paulo viajou para Salvador, pois a nenhum dos três viajou. Então, Arnaldo viajou para Fortaleza e Luiz 
para Goiânia 
 
 Fortaleza Goiânia Curitiba Salvador 
Luiz N S N N 
Arnaldo S N N N 
Mariana N N S N 
Paulo N N N S 
 
02. Resposta: A. 
Sabemos que o casado é engenheiro 
 
 Advogado Engenheiro Médico 
Antônio 
Eduardo 
Luciano 
Casado N S N 
Divorciado N 
Solteiro N 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 43 
Eduardo é advogado e não é solteiro 
 
 Advogado Engenheiro Médico 
Antônio N 
Eduardo S N N 
Luciano N 
Casado N S N 
Divorciado N 
Solteiro N 
 
Se sabemos que o casado é engenheiro e Eduardo é advogado e não solteiro, ele só pode ser 
divorciado, assim nem precisamos usar a última frase e sabemos que o solteiro é médico. 
 
 Advogado Engenheiro Médico 
Antônio N 
Eduardo S N N 
Luciano N 
Casado N S N 
Divorciado S N N 
Solteiro N N S 
 
A única coisa que podemos afirmar com certeza é que Eduardo é advogado e divorciado 
 
03. Resposta: D. 
O enunciado diz: a bola A não é branca nem azul, isso quer dizer que ela é vermelha. 
 
 A B C 
Branca N 
Vermelha S N N 
Azul N 
 
A bola B não é vermelha e a bola C não é azul 
 
 A B C 
Branca N N S 
Vermelha S N N 
Azul N S N 
 
A bola A é vermelha, a bola B é azul e a bola C é branca. 
 
04. Resposta: A. 
I. a caixa com canetas vermelhas ficou em uma prateleira mais baixa que a caixa com canetas 
azuis. 
Isso quer dizer que a caixa com canetas azuis não está na mais baixa. 
PA=prateleira alta 
PM=prateleira do meio 
PB=prateleira mais baixa 
 
 PA PM PB 
Azul N 
Vermelha 
Preta 
 
 
 
 
 
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II. a caixa com 30 canetas não é a que tem canetas azuis, e a caixa com 20 canetas ficou na 
prateleira mais alta. 
 
 Azul Vermelha Preta PA PM PB 
20 N S N N 
30 N N 
50 N 
 
III. na prateleira mais baixa, encontra-se a caixa com mais canetas. 
 
 Azul Vermelha Preta PA PM PB 
20 N S N N 
30 N N S N 
50 N N S 
 
IV. a caixa com canetas azuis não foi colocada na prateleira do meio, e a caixa com mais canetas 
não é a de canetas pretas. 
 
 PA PM PB 
Azul S N N 
Vermelha N 
Preta N 
 
Podemos concluir que a azul está no prateleira mais alta e é a caixa com 20 canetas. 
Portanto, a caixa de canetas pretas está na prateleira do meio e tem 30 canetas (IV. A caixa com 
canetas azuis não foi colocada na prateleira do meio, e a caixa com mais canetas não é a de 
canetas pretas). 
E a caixa de canetas vermelhas está na prateleira do meio e tem 50 canetas (III. Na prateleira mais 
baixa, encontra-se a caixa com mais canetas). 
 
Vermelhas-50 
Pretas-30 
Azuis-20 
 
05. Resposta: Errado. 
 
 Carne Frango Peixe João Pedro Rodrigo 
Azul F F V F 
Branca F F 
Verde V F F F 
João 
Pedro 
Rodrigo F 
 
Ele pode ter pedido frango ou peixe. 
 
 
 
LÓGICA SEQUENCIAL OU SEQUÊNCIAS LÓGICAS 
 
Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método da Lógica matemática 
qualitativa, sequências lógicas envolvendo números, letras e figuras, este considerado instrumento 
puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, resumidamente o raciocínio pode 
ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da 
formação de conceitos e da solução de problemas. 
3. Lógica matemática qualitativa, sequências lógicas envolvendo números, letras 
e figuras 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 45 
 
Sequências Lógicas 
As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas 
de se estabelecer uma sequência, o importante é que existem pelo menos três elementos que caracterize 
a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua 
lógica. 
 
Sequência de Números 
 
Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número. 
 
 
 
Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número. 
 
 
 
Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão. 
 
 
 
Série de Fibonacci: Cada termo é igual à soma dos dois anteriores. 
 
1 1 2 3 5 8 13 
 
Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais. 
 
2 3 5 7 11 13 17 
 
Quadrados Perfeitos: Números naturais cujas raízes são naturais. 
 
1 4 9 16 25 36 49 
 
Sequência de Letras 
As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, devemos 
escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para 
entender a lógica proposta. 
 
A C F J O U 
 
Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão. 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U 
 
B1 2F H4 8L N16 32R T64 
 
Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 
1, 3, 1, 3 e 1 posições. 
 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 
 
Sequência de Pessoas 
Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão 
em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º, ...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 46 
ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º, ...). Sendo assim, a sequência se repete 
a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição. 
 
 
 
Sequência de Figuras 
Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente 
sofrer rotações, como nos exemplos a seguir. 
 
 
 
 
 
Sequência de Fibonacci 
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequêncianumérica: 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, 
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim 
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo 
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento 
de modelos explicativos de fenômenos naturais. 
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida 
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um 
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo 
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a 
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam 
a sequência de Fibonacci. 
 
 
 
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, 
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da 
sequência de Fibonacci. 
 
 
 
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. 47 
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do 
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma 
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada 
retângulo áureo ou retângulo de ouro. 
 
 
 
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
 (1). 
 
Como: b = y – a (2). 
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. 
Resolvendo a equação: 
 
𝑦 =
𝑎(1±√5
2
 em que (
1−√5
2
< 0) não convém. 
 
Logo: 
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875 
 
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 
 
𝜃 =
1 + √5
2
 
 
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo 
como o caso da fachada do Partenon. 
 
As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Veja os exemplos: 
 
Exemplo 1 
 
 
 
A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4. 
6 x 4 = 24 
24 x 4 = 96 
96 x 4 = 384 
384 x 4 = 1536 
 
 
 
 
 
 
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. 48 
Exemplo 2 
 
 
 
A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade. 
13 – 10 = 3 
17 – 13 = 4 
22 – 17 = 5 
28 – 22 = 6 
35 – 28 = 7 
 
Exemplo 3 
 
 
 
Multiplicar os números sempre por 3. 
1 x 3 = 3 
3 x 3 = 9 
9 x 3 = 27 
27 x 3 = 81 
81 x 3 = 243 
243 x 3 = 729 
729 x 3 = 2187 
 
Exemplo 4 
 
 
 
A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades. 
24 – 22 = 2 
28 – 24 = 4 
34 – 28 = 6 
42 – 34 = 8 
52 – 42 = 10 
64 – 52 = 12 
78 – 64 = 14 
 
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. 49 
Questões 
 
01. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte: 
 
 
 
A carta que está oculta é: 
 
 
02. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo um certo critério. 
 
 
Se tal critério for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 
15 deverá ser: 
(A) 69 
(B) 67 
(C) 65 
(D) 63 
(E) 61 
 
03. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ... 
(A) 800 
(B) 790 
(C) 780 
(D) 770 
 
04. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos, da figura abaixo, observa-se a 
ausência de um deles que pode ser: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 50 
 
(A) 76 
(B) 10 
(C) 20 
(D) 78 
 
05. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados 
conforme indicado abaixo: 
 
Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura? 
(A) 20 palitos 
(B) 25 palitos 
(C) 28 palitos 
(D) 22 palitos 
 
06. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um, números de 1 a 6. Ao montar 
o cubo, ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. A única alternativa cuja 
figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é: 
 
07. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo. 
 
 
Continuando essa sequência, obtém-se exatamente 16 círculos completos na: 
(A) 36ª figura 
(B) 48ª figura 
(C) 72ª figura 
(D) 80ª figura 
(E) 96ª figura 
 
08. Analise a sequência a seguir: 
 
 
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar 
que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 51 
 
09. Observe a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual é o próximo número? 
(A) 20 
(B) 21 
(C) 100 
(D) 200 
 
10. Observe a sequência: 3,13, 30, ... Qual é o próximo número? 
(A) 4 
(B) 20 
(C) 31 
(D) 21 
 
11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério. 
 
LACRAÇÃO  cal 
AMOSTRA  soma 
LAVRAR  ? 
 
Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é: 
(A) alar 
(B) rala 
(C) ralar 
(D) larva 
(E) arval 
 
12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão. 
 
 
 
Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é: 
 
13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de 
formação. 
 
 
Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a: 
(A) 40 
(B) 42 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 52 
(C) 44 
(D) 46 
(E) 48 
 
14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado 
critério. 
 
 
Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui 
corretamente o ponto de interrogação é: 
(A) P 
(B) O 
(C) N 
(D) M 
(E) L 
 
15. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e 
positivos, sem que os algarismos sejam separados. 
 
1234567891011121314151617181920... 
 
O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é: 
(A) 9 
(B) 8 
(C) 6 
(D) 3 
(E) 1 
 
16. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão. 
 
 
 
Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é: 
 
 
17. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros 
triângulos obedecem a um mesmo critério. 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 53 
 
Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto 
de interrogação é: 
(A) 32 
(B) 36 
(C) 38 
(D) 42 
(E) 46 
 
18. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108, ... O número que 
preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é: 
(A) 36, 
(B) 40, 
(C) 42, 
(D) 44, 
(E) 48 
 
19. Observando a sequência (1, 
1
2
 , 
1
6
 , 
1
12
 , 
1
20
 , ...) o próximo número será: 
(A) 
1
24
 
 
(B) 
1
30
 
 
(C) 
1
36
 
 
(D) 
1
40
 
 
20. Considere a sequência abaixo:BBB BXB XXB 
XBX XBX XBX 
BBB BXB BXX 
 
O padrão que completa a sequência é: 
 
(A) (B) (C) 
XXX XXB XXX 
XXX XBX XXX 
XXX BXX XXB 
 
(D) (E) 
XXX XXX 
XBX XBX 
XXX BXX 
 
21. Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos 
precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série 
é: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
22. Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte 
modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o “A” vira “E”, o 
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“B” vira “F”, o “C” vira “G” e assim por diante. O código é “circular”, de modo que o “U” vira “A” e assim 
por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li: 
(A) FAZ AS DUAS; 
(B) DIA DO LOBO; 
(C) RIO ME QUER; 
(D) VIM DA LOJA; 
(E) VOU DE AZUL. 
 
23. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para...” é melhor completada por: 
(A) 326187; 
(B) 876132; 
(C) 286731; 
(D) 827361; 
(E) 218763. 
 
24. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para...” é melhor completada pelo 
seguinte número: 
(A) 53452; 
(B) 23455; 
(C) 34552; 
(D) 43525; 
(E) 53542. 
 
25. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números 
de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um 
número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns 
números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse 
número tem em comum com o número procurado. 
 
Número 
dado 
Quantidade de 
números de 2 
algarismos em comum 
48.765 1 
86.547 0 
87.465 2 
48.675 1 
 
O número procurado é: 
(A) 87456 
(B) 68745 
(C) 56874 
(D) 58746 
(E) 46875 
 
26. Considere que os símbolos  e  que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações 
que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra 
na coluna da extrema direita. 
36  4  5 = 14 
48  6  9 = 17 
54  9  7 = ? 
 
Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído 
pelo número: 
(A) 16 
(B) 15 
(C) 14 
(D) 13 
(E) 12 
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27. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto 
de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – .... Considerando que no alfabeto 
usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá 
anteceder o número 12 é: 
(A) J 
(B) L 
(C) M 
(D) N 
(E) O 
 
28. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da 
tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal 
sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal. 
 
 
 
 
 
 
Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente 
aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos números que 
correspondem às letras que compõem o nome do animal é: 
(A) 37 
(B) 39 
(C) 45 
(D) 49 
(E) 51 
 
Nas questões 29 e 30, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A 
mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, 
ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética 
adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y. 
 
29. CASA: LATA: LOBO:? 
(A) SOCO 
(B) TOCO 
(C) TOMO 
(D) VOLO 
(E) VOTO 
 
30. ABCA: DEFD: HIJH:? 
(A) IJLI 
(B) JLMJ 
(C) LMNL 
(D) FGHF 
(E) EFGE 
 
31. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0, 1, 3, 4, 12, 
13, ...). Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número: 
(A) Menor que 200. 
(B) Compreendido entre 200 e 400. 
(C) Compreendido entre 500 e 700. 
(D) Compreendido entre 700 e 1.000. 
(E) Maior que 1.000. 
 
Para responder às questões de números 32 e 33, você deve observar que, em cada um dos dois 
primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo 
determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser 
colocada no lugar do ponto de interrogação. 
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32. Ardoroso  rodo 
 Dinamizar  mina 
 Maratona  ? 
(A) mana 
(B) toma 
(C) tona 
(D) tora 
(E) rato 
 
33. Arborizado  azar 
Asteroide  dias 
Articular  ? 
(A) luar 
(B) arar 
(C) lira 
(D) luta 
(E) rara 
 
34. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1, 1, 2, 
__, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __... 
 
35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de 
lá. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1 
metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço? 
 
36. Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas? 
 
37. Quantos quadrados existem na figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
38. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados. 
 
 
 
39. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo? 
 
 
 
40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais. 
 
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. 57 
 
 
41. Observe as multiplicações a seguir: 
12.345.679 × 18 = 222.222.222 
12.345.679 × 27 = 333.333.333 
... ... 
12.345.679 × 54 = 666.666.666 
 
Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto? 
 
42. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de 
frente para a estrada asfaltada. 
 
 
 
43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados. 
 
 
 
44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta 
que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1? 
 
 
 
45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito. 
 
 
 
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46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência 
abaixo? 
 
 
 
47. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos. 
 
 
 
48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas. 
 
 
 
49. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados. 
 
 
 
50. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos. 
 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor 
da 3ª carta e, além disso, o naipe não se repete. Assim, a 3ª carta, dentro das opções dadas só pode ser 
a da opção (A). 
 
02. Resposta: D. 
Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria, tem-se: 
Na figura 1: 01 ponto de cada lado  02 pontos no total. 
Na figura 2: 02 pontos de cada lado  04 pontos no total.Na figura 3: 03 pontos de cada lado  06 pontos no total. 
Na figura 4: 04 pontos de cada lado  08 pontos no total. 
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. 59 
Na figura n: n pontos de cada lado  2.n pontos no total. 
 
Em particular: 
Na figura 15: 15 pontos de cada lado  30 pontos no total. 
 
Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se: 
Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo  04 pontos no total. 
Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo  06 pontos no total. 
Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo  08 pontos no total. 
Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo  10 pontos no total. 
Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo  2.(n+1) pontos no total. 
 
Em particular: 
Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo  32 pontos no total. Incluindo o ponto central, que ainda não 
foi considerado, temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos. 
 
03. Resposta: B. 
Nessa sequência, observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10, entre 990 e 970 é 20, entre o 
970 e 940 é 30, entre 940 e 900 é 40, entre 900 e 850 é 50, portanto entre 850 e o próximo número é 60, 
dessa forma concluímos que o próximo número é 790, pois: 850 – 790 = 60. 
 
04. Resposta: D. 
Nessa sequência lógica, observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2, entre 28 e 24 é 4, entre 34 e 
28 é 6, entre 42 e 34 é 8, entre 52 e 42 é 10, entre 64 e 52 é 12, portanto entre o próximo número e 64 é 
14, dessa forma concluímos que o próximo número é 78, pois: 76 – 64 = 14. 
 
05. Resposta: D. 
Observe a tabela: 
Figuras 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 
N° de Palitos 4 7 10 13 16 19 22 
 
Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das três primeiras figuras. Feito isto, 
basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior 
acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade 
de palitos da 7ª figura. 
 
06. Resposta: A. 
Na figura apresentada na letra “B”, não é possível obter a planificação de um lado, pois o 4 estaria do 
lado oposto ao 6, somando 10 unidades. Na figura apresentada na letra “C”, da mesma forma, o 5 estaria 
em face oposta ao 3, somando 8, não formando um lado. Na figura da letra “D”, o 2 estaria em face oposta 
ao 4, não determinando um lado. Já na figura apresentada na letra “E”, o 1 não estaria em face oposta 
ao número 6, impossibilitando, portanto, a obtenção de um lado. Logo, podemos concluir que a 
planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado. 
 
07. Resposta: B. 
Como na 3ª figura completou-se um círculo, para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por 
16: 3. 16 = 48. Portanto, na 48ª figura existirão 16 círculos. 
 
08. Resposta: B. 
A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 
elementos. A figura de número 277 ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 
5n + 2, com n ∈ N. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”. 
 
09. Resposta: D. 
A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que 
inicia cada número. “Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o próximo só 
pode iniciar também com “D”: Duzentos. 
 
 
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10. Resposta: C. 
Esta sequência é regida pela inicial de cada número. Três, Treze, Trinta, ... O próximo só pode ser o 
número Trinta e um, pois ele inicia com a letra “T”. 
 
11. Resposta: E. 
Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem 
invertida. Da mesma forma, na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 
primeiras letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem 
invertida, obtém-se ARVAL. 
 
12. Resposta: C. 
Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. Na 3ª linha já 
há cabeças com círculo e com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado. 
As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as 
mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou 
abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que 
está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabeça 
quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda. 
 
13. Resposta: A. 
Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. Na 
parte superior, tem-se que: do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo 
para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 
10. Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º termo 
para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y = 30. 
Logo, X + Y = 10 + 30 = 40. 
 
14. Resposta: A. 
A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita 
para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª 
linha até a 2ª linha. Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra 
que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”. 
 
15. Resposta: B. 
A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Mas essa lista contém 
todos os algarismos dos números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os 
números 10, 11 e 12. Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. Do número 10 até o 
número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75 
algarismos. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, 
tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição 
é o número 8, que aparece no número 128. 
 
16. Resposta: D. 
Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo 
e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direito. Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de 
cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras. Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, 
mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em 
baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não 
terá orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª. 
 
17. Resposta: B. 
No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual 
à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 : 5 = 21 - 
13 = 8. 
A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 - 17 = 6. 
Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo: 
? ÷ 3 = 19 – 7 
? ÷ 3 = 12 
? = 12 x 3 = 36. 
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. 61 
18. Resposta: E. 
Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Dado os números 3, 12, 27, __, 75, 
108, obteve-se os seguintes 9, 15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7 
= 21 e 3x 9 = 27. Então: 21 + 27 = 48. 
 
19. Resposta: B. 
Observe que o numerador é fixo, mas o denominador é formado pela sequência: 
 
Primeiro SegundoTerceiro Quarto Quinto Sexto 
1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30 
 
20. Resposta: D. 
O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. Vejamos: 
 
BBB BXB XXB 
XBX XBX XBX 
BBB BXB BXX 
7B e 2X 5B e 4X 3B e 6X 
 
Vê-se, que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2; notem 
também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma 
forma, só que não estão sendo retirados, estão, sim, sendo colocados. Logo a 4ª figura é: 
 
XXX 
XBX 
XXX 
1B e 8X 
 
21. Resposta: D. 
Montando a série de Fibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... A resposta da questão é a 
alternativa “D”, pois como a questão nos diz, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois 
termos precedentes. 2 + 3 = 5 
 
22. Resposta: E. 
A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem, cada letra será substituída pela letra 
que ocupa a quarta posição, além disso, nos informa que o código é “circular”, de modo que a letra “U” 
vira “A”. Para decifrarmos, temos que perceber a posição do emissor e do receptor. O emissor ao escrever 
a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o 
receptor, deve fazer o contrário, contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. No caso, 
nos foi dada a frase para ser decifrada, vê-se, pois, que, na questão, ocupamos a posição de receptores. 
Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de 
modo que: 
VxzaB: B na verdade é V; 
OpqrS: S na verdade é O; 
UvxzA: A na verdade é U; 
DefgH: H na verdade é D; 
EfghI: I na verdade é E; 
AbcdE: E na verdade é A; 
ZabcD: D na verdade é Z; 
UvxaA: A na verdade é U; 
LmnoP: P na verdade é L; 
 
23. Resposta: B. 
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e, em seguida, nos traz uma 
sequência numérica. É perguntado qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência 
numérica fornecida, de maneira que, a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. 
Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as 
letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais é, do que a primeira 
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. 62 
palavra de trás para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequência 
numérica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta. 
 
24. Resposta: A. 
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra, e em seguida, nos traz uma 
sequência numérica. Foi perguntado qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de 
maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas 
palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete 
na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais é, do que a primeira palavra de trás 
para frente, de maneira que SALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida 
temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta. 
 
25. Resposta: E. 
Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. Do número 
48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas. 
Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. Como o único número apresentado nas 
alternativas que possui a sequência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado. 
 
26. Resposta: D. 
O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Portanto, na 1ª linha, tem-
se: 36  4 + 5 = 9 + 5 = 14. Na 2ª linha, tem-se: 48  6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 
54  9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído 
pelo número 13. 
 
27. Resposta: A. 
As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. Já a 
sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra “E”, e continua de acordo com a 
sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra: F, 6ª letra: G, 8ª letra: H, 10ª letra: I e 12ª letra: J. 
 
28. Resposta: D. 
Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO, na seguinte 
ordem: PERU, MARÁ, TATU e URSO, obtém-se na tabela: 
 
P E R U 
M A R A 
T A T U 
U R S O 
 
O nome do animal é PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14. 
Somando esses valores, obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49. 
 
29. Resposta: B. 
Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. Portanto, as vogais da 4ª sequência de 
letras deverão ser as mesmas da 3ª sequência de letras: “O”. A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra 
do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Portanto, na 4ª sequência de letras, a 3ª letra é 
a próxima letra depois de “B”, ou seja, a letra “C”. Em relação à primeira letra, tem-se uma diferença de 7 
letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª 
sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência 
é a letra “T”. Logo, a 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO. 
 
30. Resposta: C. 
Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1ª 
letra da sequência. Na 2ª sequência, continua-se da 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF, 
voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras 
HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L, 
continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4ª sequência da letra é: LMNL. 
 
 
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. 63 
31. Resposta: E. 
Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu 
a multiplicação do termo anterior por 3. E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 . 3 = 39. 8º 
termo = 39 + 1 = 40. 9º termo = 40 . 3 = 120. 10º termo = 120 + 1 = 121. 11º termo = 121 . 3 = 363. 12º 
termo = 363 + 1 = 364. 13º termo = 364 . 3 = 1.092. Portanto, podemos concluir que o 13º termo da 
sequência é um número maior que 1.000. 
 
32. Resposta: D. 
Da palavra “ardoroso”, retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem, definindo-se a palavra 
“rodo”. Da mesma forma, da palavra “dinamizar”, retiram-se as sílabas “na” e “mi”, definindo-se a palavra 
“mina”. Com isso, podemos concluir que da palavra “maratona”. Deve-se retirar as sílabas “ra” e “to”, 
criando-se a palavra “tora”. 
 
33. Resposta: A. 
Na primeira sequência, a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência, mas em ordem 
invertida. Já as letras “a” e “r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. A palavra “dias” foi obtida 
da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência, mas em ordem invertida. As letras “a” e 
“s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteroides”. Com isso, para a palavras “articular”, considerando 
as letras “i” e “u”, que estão na ordem invertida, e as 2 primeiras letras, obtém-se a palavra “luar”. 
 
34. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. O número que vem é sempre a soma dos dois 
números imediatamente atrás dele. A sequência correta é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... 
 
35. 
Dia Subida Descida 
1º 2m 1m 
2º 3m 2m3º 4m 3m 
4º 5m 4m 
5º 6m 5m 
6º 7m 6m 
7º 8m 7m 
8º 9m 8m 
9º 10m ---- 
 
Portanto, depois de 9 dias ela chegará na saída do poço. 
 
36. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99. 
Portanto, são necessários 20 algarismos. 
 
37. 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 64 
Portanto, há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados. 
38. 
 
 
39. Os símbolos são como números em frente ao espelho. Assim, o próximo símbolo será 88. 
 
40. 
 
 
41. 
12.345.679 × (2×9) = 222.222.222 
12.345.679 × (3×9) = 333.333.333 
... ... 
12.345.679 × (6×9) = 666.666.666 
Portanto, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por (9x9) = 81 
 
42. 
 
 
 
43. 
 
 
44. Sendo A = 1, J = 11, Q = 12 e K = 13, a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus 
sempre forma par com o naipe de espadas. Portanto, a carta que está faltando é o 6 de espadas. 
 
45. 
 
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. 65 
 
 
46. Observe que: 
 
 
Portanto, a próxima pedra terá que ter o valor: 15.120 x 8 = 120.960 
 
47. 
 
 
 
48. 
 
 
 
49. 
 
 
50. 
 
 
 
 
 
 
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. 66 
 
 
OBS.: Caros alunos como o edital não especificou o conteúdo apenas prescreveu geometria 
básica, iremos abordar os elementos principais das geometria plana, espacial e analítica. 
 
PONTO – RETA E PLANO 
 
Ao estudo das figuras em um só plano chamamos de Geometria Plana. 
A Geometria estuda, basicamente, os três princípios fundamentais (ou também chamados de “entes 
primitivos”) que são: Ponto, Reta e Plano. Estes três princípios não tem definição e nem dimensão 
(tamanho). 
 
Para representar um ponto usamos. e para dar nome usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
Exemplo: . A (ponto A). 
 
Para representar uma reta usamos ↔ e para dar nome usamos letras minúsculas do nosso alfabeto 
ou dois pontos por onde esta reta passa. 
Exemplo: t ( reta t ou reta 𝐴𝐵 ⃡ ). 
 
 
Para representar um plano usamos uma figura chamada paralelogramo e para dar nome usamos letras 
minúsculas do alfabeto grego (α, β, π, θ,...). 
Exemplo: 
 
 
Semiplano: toda reta de um plano que o divide em outras duas porções as quais denominamos de 
semiplano. Observe a figura: 
 
 
 
Partes de uma reta 
Estudamos, particularmente, duas partes de uma reta: 
 
- Semirreta: é uma parte da reta que tem origem em um ponto e é infinita. 
Exemplo: (semirreta 𝐴𝐵 ), tem origem em A e passa por B. 
 
 
- Segmento de reta: é uma parte finita (tem começo e fim) da reta. 
Exemplo: (segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ). 
 
 
Observação: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ . 
 
 
4. Geometria básica 
 
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. 67 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
- Retas concorrentes: duas retas são concorrentes quando se interceptam em um ponto. Observe 
que a figura abaixo as retas c e d se interceptam no ponto B. 
 
 
 
- Retas paralelas: são retas que por mais que se prolonguem nunca se encontram, mantêm a mesma 
distância e nunca se cruzam. O ângulo de inclinação de duas ou mais retas paralelas em relação a outra 
é sempre igual. Indicamos retas paralelas a e b por a // b. 
 
 
 
- Retas coincidentes: duas retas são coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos 
os pontos em comum. 
 
 
 
- Retas perpendiculares: são retas concorrentes que se cruzam num ponto formando entre si ângulos 
de 90º ou seja ângulos retos. 
 
 
PARALELISMO 
 
Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal 
 
Lembre-se: Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum. 
Vamos observar a figura abaixo: 
 
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. 68 
 
 
Ângulos colaterais internos: (colaterais = mesmo lado) 
 
 
A soma dos ângulos 4 e 5 é igual a 180°. 
 
A soma dos ângulos 3 e 6 é igual a 180° 
 
Ângulos colaterais externos: 
 
 
A soma dos ângulos 2 e 7 é igual a 180° 
 
 
 
A soma dos ângulos 1 e 8 é igual a 180° 
 
Ângulos alternos internos: (alternos = lados diferentes) 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 69 
 
Os ângulos 4 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 3 e 5 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos alternos externos: 
 
 
Os ângulos 1 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos correspondentes: são ângulos que ocupam uma mesma posição na reta transversal, um na 
região interna e o outro na região externa. 
 
 
Os ângulos 1 e 5 são congruentes (iguais) 
 
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. 70 
 
Os ângulos 2 e 6 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 3 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 4 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Questões 
 
01. Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
(A) 10° 
(B) 20° 
(C) 30° 
(D) 40° 
(E) 50° 
 
02. O valor de x na figura seguinte, em graus, é: 
 
(A) 32° 
(B) 32° 30’ 
(C) 33° 
(D) 33° 30’ 
(E) 34° 
 
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. 71 
03. Na figura abaixo, sabendo que o ângulo  é reto, o valor de 𝛼 é: 
 
(A) 20° 
(B) 30° 
(C) 40° 
(D) 50° 
(E) 60° 
 
04. Qual é o valor de x na figura abaixo? 
 
 
(A) 100° 
(B) 60° 
(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 110° 
 
05. Na figura seguinte, o valor de x é: 
 
(A) 20° 
(B) 22° 
(C) 24° 
(D) 26° 
(E) 28° 
 
06. (Pref. de Curitiba – Docência I – NC-UFPR) Sabendo que as retas r e s da figura ao lado são 
paralelas, o valor, em graus, de α - β é: 
 
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. 72 
(A) 12 
(B) 15 
(C) 20 
(D) 30 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Na figura, os ângulos assinalados são correspondentes, portanto são iguais. 
 
 
x + 2x + 30° = 180° 
3x = 180°- 30° 
3x = 150° 
x = 150° : 3 
x = 50° 
 
02. Resposta: B. 
Na figura dada os ângulos 47° e 2x – 18° são correspondentes e, portanto tem a mesma medida, 
então: 
2x – 18° = 47° → 2x = 47° + 18° → 2x = 65° → x = 65°: 2 
 
x = 32° 30’ 
 
03. Resposta: C. 
Precisamos traçar uma terceira reta pelo vértice A paralela às outras duas. 
 
 
 
Os ângulos são dois a dois iguais, portanto 𝛼 = 40° 
 
04. Resposta: A. 
Aqui também precisamos traçar um terceira reta pelo vértice. 
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. 73 
 
x = 80° + 20° → x = 100° 
Obs.: neste tipo de figura, o ângulo do meio sempre será a soma dos outros dois. 
 
05. Resposta: D. 
Os ângulos assinalados na figura, x + 20° e 4x + 30°, são colaterais internos, portanto a soma dos dois 
é igual a 180°. 
 
x + 20° + 4x + 30° = 180° → 5x + 50° = 180° → 5x = 180° - 30° → 5x = 130° 
x = 130° : 5 → x = 26° 
 
06. Resposta: D. 
O ângulo oposto a 138º vale 138º também, para saber o valor de α é só subtrair 138-54 = 84º. 
O ângulo oposto a 54º vale 54º também. Só subtrair agora α - β = 
84-54=30º. 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os 
catetos. 
 
 
 
No exemplo ao lado: 
- a é a hipotenusa. 
- b e c são os catetos. 
 
- “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
a2 = b2 + c2 
 
Exemplos 
 
01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu umpoema do qual extraímos 
o fragmento abaixo: 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma 
Incógnita. 
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. 74 
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base: uma figura Ímpar; olhos romboides, boca 
trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. 
Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. 
“Quem és tu” – indagou ele em ânsia Radical. 
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – 
Trinta Anos de Mim Mesmo). 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a 
seguinte resposta: 
(A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: D. 
 
02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 
5 milhas para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e 
finalmente 9 milhas para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de 
partida? 
(A) 3 milhas a sudoeste. 
(B) 3 milhas a sudeste. 
(C) 4 milhas ao sul. 
(D) 5 milhas ao norte. 
(E) 5 milhas a nordeste. 
 
Resposta: 
 
 
x2 = 32 + 42 
x2 = 9 + 16 
x2 = 25 
x = √25 = 5 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida 
do outro cateto? 
(A) 10 
(B) 11 
(C) 12 
(D) 13 
(E) 14 
 
Resposta: 
 
132 = x2 + 52 
169 = x2 + 25 
169 – 25 = x2 
x2 = 144 
x = √144 = 12 cm 
 
04. A diagonal de um quadrado de lado l é igual a: 
(A) 𝑙√2 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 75 
(B) 𝑙√3 
(C) 𝑙√5 
(D) 𝑙√6 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: 
 
 
𝑑2 = 𝑙2 + 𝑙2 
𝑑2 = 2𝑙2 
𝑑 = √2𝑙2 
𝑑 = 𝑙√2 
 
05. Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a certa 
altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo 
a uma distância de 3 m da base dele, conforme a figura abaixo. A que altura do solo se quebrou o poste? 
 
(A) 4 m 
(B) 4,5 m 
(C) 5 m 
(D) 5,5 m 
(E) 6 m 
 
Resposta: 
 
(9 – x)2 = x2 + 33 
92 – 2.9.x + x2 = x2 + 9 
81 – 18x = 9 
81 – 9 = 18x 
72 = 18x 
x =
72
18
 
x = 4 m 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Jacundá/PA – Psicólogo – INAZ) Em fase treino, um maratonista parte de um ponto 
inicial A percorrendo 2 km em linha reta até o ponto B, girando 90° para a esquerda e percorre mais 1,5 
km parando no ponto C. Se o maratonista percorresse em linha reta do ponto A até o ponto C, percorreria: 
(A) 3500 m 
(B) 500 m 
(C) 2500 m 
(D) 3000 m 
(E) 1800 m 
 
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. 76 
02. (IBGE – Agente de Pesquisas e Mapeamento – CESGRANRIO) Na Figura a seguir, PQ mede 6 
cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 cm. 
 
A distância entre os pontos P e T, em cm, mede: 
(A) 17 
(B) 21 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 19 
 
03. (UNIFESP – Técnico de Segurança do Trabalho – VUNESP) Um muro com 3,2 m de altura está 
sendo escorado por uma barra de ferro, de comprimento AB, conforme mostra a figura. 
 
O comprimento, em metros, da barra de ferro 
(A) 3,2. 
(B) 3,0. 
(C) 2,8. 
(D) 2,6. 
(E) 2,4. 
 
04. (Pref. de Marilândia/ES – Auxiliar Administrativo – IDECAN) Tales desenhou um triângulo 
retângulo com as seguintes medidas, todas dadas em centímetros. 
 
Qual é o perímetro deste triângulo? 
(A) 6 cm 
(B) 9 cm 
(C) 12 cm 
(D) 15 cm 
(E) 18 cm 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
AC representa a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são 2Km = 2000 m e 1,5Km = 1500m. 
AC² = 2² + 1,5² 
AC² = 4 + 2,25 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 77 
AC = 2,5Km = 2500 m. 
 
02. Resposta: A. 
Observe que PQ = 6 e RS= 9 e também são retas paralelas então podemos somar elas como se 
puxasse a reta RS pra cima formando uma reta só. Total 15cm. Ortogonalmente a reta QR fecha um 
triângulo retângulo com essa reta que fechamos juntando PQ e RS. Assim, ficamos com um triângulo 
retângulo com catetos 15 e 8. Aplicando Pitágoras, teremos a medida da hipotenusa que é a reta PT = 
17cm, que representa a distância ente P e T. 
 
03. Resposta: B. 
Observe que a altura do solo até o ponto B é dada por 3,2 -0,80 = 2,4m, agora basta utilizar o Teorema 
de Pitágoras para resolvermos esta questão: 
AB² = 1,8² + 2,4² 
AB² = 3,24 + 5,76 = 9 
AB = 3m. 
 
04. Resposta: C. 
Basta resolver pelo teorema de Pitágoras e depois resolver a equação que será formada. 
(x+1)² = (x-1)² + x² 
x² + 2x + 1 = x² - 2x +1 + x² 
x²-4x = 0 
x(x-4) = 0 
x = 0 (não convém utilizarmos pois o lado de um triângulo não pode ser nulo) 
ou x – 4 = 0 
x = 4. 
Assim os lados são: 
3, 4, 5, logo o perímetro será a soma de todos os lados: 3+ 4 + 5 = 12. 
 
TEOREMA DE TALES 
 
- Feixe de paralelas: é todo conjunto de três ou mais retas e paralelas entre si. 
- Transversal: é qualquer reta que intercepta todas as retas de um feixe de paralelas. 
- Teorema de Tales4: Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas então a razão 
entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as medidas dos 
segmentos correspondentes da outra. 
 
 
r//s//t//u (// → símbolo de paralelas); a e b são retas transversais. Então, temos que os segmentos 
correspondentes são proporcionais. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐹𝐺̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐺𝐻̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
𝐸𝐻̅̅ ̅̅
= ⋯. 
 
 
 
 
4
SOUZA, Joamir Roberto; PATARO, Patricia Moreno – Vontade de Saber Matemática 6º Ano – FTD – 2ª edição – São Paulo: 2012 
www.jcpaiva.net/ 
conteudoonline.objetivo.br 
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. 78 
Teorema da bissetriz interna 
 
“Em todo triângulo a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos 
proporcionais ao outros dois lados do triângulo”. 
 
 
Teorema da bissetriz externa 
 
Se a bissetriz BE de um ângulo externo de um triângulo ABC, não isósceles, intercepta a reta suporte 
do lado oposto, então a bissetriz determina nessa reta dois segmentos proporcionais (AE̅̅̅̅ e CE̅̅̅̅ ) aos lados 
adjacentes (AB̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ ) ao ângulo interno. 
 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Fortaleza – Matemática – Pref. de Fortaleza) Na figura abaixo, as retas são 
paralelas. Sabendo que o valor de x é: 
 
(A) 3 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 5 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
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. 79 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
03. Calcular o valor de x na figura abaixo. 
 
 
(A) 6 
(B) 5 
(C) 4 
(D) 3 
(E) 2 
 
04. Os valores de x e y, respectivamente, na figura seguinte é: 
 
 
(A) 30 e 8 
(B) 8 e 30 
(C) 20 e 10 
(D) 10 e 20 
(E) 5 e 25 
 
05. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
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. 80 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
 06. (PUC-RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB̅̅ ̅̅ = 21 e AC̅̅̅̅ = 20. BD̅̅ ̅̅ é a bissetriz 
do ângulo AB̂C. Quanto mede AD̅̅ ̅̅ ? 
(A) 42/5 
(B) 21/10 
(C) 20/21 
(D)9 
(E) 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
5/10 = (5-x)/3x 
15x = 50 - 10x 
25x = 50 
x = 2 
 
02. Resposta: B. 
2𝑥 − 3
𝑥 + 2
=
5
6
 
6.(2x – 3) = 5(x + 2) 
12x – 18 = 5x + 10 
12x – 5x = 10 + 18 
7x = 28 
x = 28 : 7 = 4 
 
03. Resposta: A. 
10
30
=
𝑥
18
 
 
30x = 10.18 
30x = 180 
x = 180 : 30 = 6 
 
04. Resposta: A. 
𝑥
45
=
20
30
 
3x = 45.2 
3x = 90 
x = 90 : 3 = 30 
𝑦
30
=
12
45
 
45y = 12.30 
45y = 360 
y = 360 : 45 = 8 
 
05. Resposta: D. 
𝑥−3
𝑥−2
=
𝑥
𝑥+2
 
(x – 3). (x + 2) = x.(x – 2) 
x2 + 2x – 3x – 6 = x2 – 2x 
-x – 6 = - 2x 
-x + 2x = 6 → x = 6 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 81 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos um triângulo retângulo em A, o vértice A é do ângulo reto. B e C pode ser em 
qualquer posição. E primeiro temos que determinar a hipotenusa. 
 
 
Teorema de Pitágoras: 
y2 = 212 + 202 
y2 = 441 + 400 
y2 = 841 
𝑦 = √841 
y = 29 
Pelo teorema da bissetriz interna: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
 
 
21
𝑥
=
29
20 − 𝑥
 
 
29. 𝑥 = 21(20 − 𝑥) 
29𝑥 = 420 − 21𝑥 
29𝑥 + 21𝑥 = 420 
50𝑥 = 420 
𝑥 =
420
50
=
42
5
 
 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 82 
 
 
Área é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 83 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
 
V) circunferência inscrita: 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas 
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, 
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 84 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
 
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito 
interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após 
uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular 
totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro 
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. 
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão 
capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
(A) 294000. 
(B) 38200. 
(C) 29400. 
(D) 3820. 
(E) 2940. 
 
05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA) Um terreno retangular de perímetro 200m está à 
venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro 
quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$ 115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, 
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O 
perímetro dessa sala, em metros, é de: 
(A) 21,2. 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6 
 
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A pipa, também conhecida como 
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para 
montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 85 
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas 
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique 
de fora. 
 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área 
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo for igual a 24 m², então a área total 
desse piso é, em m², igual a 
(A) 324 
(B) 400 
(C) 225 
(D) 256 
(E) 196 
 
Comentários 
 
01.Resposta: C. 
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
 d2 = l2 + l2 
 (2√7)
2
= 2l2 
 4.7 = 2l2 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 86 
 2l2 = 28 
 l2 =
28
2
 
 A = 14 cm2 
 
02. Resposta: A. 
- um quadrado terá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
 S =
x2+302−2.30.x+x2
16
 
 S =
x2+900−60x+x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice 
que e dado pela fórmula: x =
−b
2a
, então: 
 
 xv =
−(
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
 
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
03. Resposta: D. 
Observandoa figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.252 
St = 4,8.625 
St = 3000 
 
04. Resposta: E. 
Retângulo com as seguintes dimensões: 
Largura: 3,5 m = 350 cm 
Comprimento: 8,4 m = 840 cm 
A = 840.350 
A = 294.000 cm2 
Potência = 294.000.0,01 = 2940 
 
05. Resposta: D. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 87 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. 
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 
A = 26,4 m2 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 
x = 26,4 : 4 
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
 
07. Resposta: C. 
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. 
 
A = AT + AR 
 
A = 
32.20
2
+ 16.32 
 
A = 320 + 512 = 832 
 
08. Resposta: D. 
 
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale 
a 2x e a base menor x, portanto: 
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
∙ ℎ 
24 =
𝑥 + 2𝑥
2
∙ 𝑥 
 
48 = 3𝑥2 
X²=16 
Substituindo: A total =4x 4x=16x²=1616=256 m² 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 88 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de 
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem 
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende 
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então temos: 
 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa 
circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos 
o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como 
elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: 
 
 
 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma 
circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de 
um triângulo da área de um setor circular, então temos: 
 
 
 
Questões 
 
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra três círculos, cada 
um com 10 cm de raio, tangentes entre si. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 89 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) A área de um 
círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
03. (PETROBRÁS - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO) Quatro tanques de armazenamento de 
óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m 
de largura, como representados na figura abaixo. 
 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base 
de cada tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 
8 cm e AOB = 30°. 
 
Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? 
(A) 5,44 cm². 
(B) 6,43 cm². 
(C) 7,40 cm². 
(D) 8,41 cm². 
(E) 9,42 cm². 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 90 
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos 
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de 
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π) 
cm2. 
 
Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: 
(A) Primo 
(B) Divisível por 3. 
(C) Ímpar. 
(D) Divisível por 5. 
 
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com 
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? 
 
(A) 2(4 – π) cm2 
(B) 4 – π cm2 
(C) 4(4 – π) cm2 
(D) 16 cm2 
(E) 16π cm2 
 
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor 
igual a 60°: 
 
(A) 6 π - 6√3 cm² 
(B) 2. (2 π - 3√3) cm² 
(C) 3. (4 π - 3√3) cm² 
(D) 3. (1 π - 3√3) cm² 
(E) 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 
20 cm. Então a área a ser calculada será: 
 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 91 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
 
02. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 
 
03. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
 
4.πr2 = 
2
5
.496 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 
d = 2r =2.4 = 8 
 
04. Resposta: E. 
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área 
hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). 
Acoroa = 3,14.(102 – 82) 
Acoroa = 3,14.(100 – 64) 
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 
- como o ângulo dado é 30° 
360° : 30° = 12 partes iguais. 
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 
 
05. Resposta: D. 
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que 
a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual 
a 6 raios do círculo. Então: 
6r = L → r = L/6 
A = Aq – 9.Ac 
100 - 25π = L² - 9 π r² (substituir o r) 
100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9𝜋. (
𝐿
6
)
2
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9. 𝜋.
𝐿2
36
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 −
𝜋𝐿2
4
 
 
Colocando em evidência o 100 no primeiro membro de e L² no segundo membro: 
100. (1 −
𝜋
4
) = 𝐿2. (1 −
𝜋
4
) → 100 = 𝐿2 → 𝐿 = √100 = 10 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DEOLIVEIRA SEVERINO
 
. 92 
 
06. Resposta: C. 
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo 
de 90°). 
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 −
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
4
 → 𝐴 = 𝑙2 −
𝜋. 𝑟2
4
→ 𝐴 = 42 −
𝜋. 42
4
→ 𝐴 = 16 − 4𝜋 
 
Colocando o 4 em evidência: A = 4(4 – π) cm² 
 
07. Resposta: E. 
Asegmento = Asetor - Atriângulo 
Substituindo as fórmulas: 
𝐴𝑠𝑒𝑔 =
𝑎𝜋𝑟2
360°
−
𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
60°. 𝜋. 62
360°
−
6.6. 𝑠𝑒𝑛60°
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
36𝜋
6
− 6.3.
√3
2
 
 
Aseg = 6 π - 9√3 = 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
POLIEDROS 
 
Diedros 
Sendo dois planos secantes (planos que se cruzam) α e β, o espaço entre eles é chamado de diedro. 
A medida de um diedro é feita em graus, dependendo do ângulo formado entre os planos. 
 
 
 
Poliedros 
São sólidos geométricos5 ou figuras geométricas espaciais formadas por três elementos básicos: 
faces, arestas e vértices. Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, 
pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns 
exemplos: 
 
 
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices 
do poliedro. 
Cada vértice pode ser a interseção de três ou mais arestas. Observando a figura abaixo temos que em 
torno de cada um dos vértices forma-se um triedro. 
 
5
educacao.uol.com.br 
www.uel.br/cce/mat/geometrica/php/gd_t/gd_19t.php 
http://www.infoescola.com 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 93 
 
 
Convexidade 
Um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no 
máximo, dois pontos. Ele não possuí “reentrâncias”. E caso contrário é dito não convexo. 
 
 
Relação de Euler 
Em todo poliedro convexo sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de 
faces, valem as seguintes relações de Euler: 
 
1) Poliedro Fechado: V – A + F = 2 
 
2) Poliedro Aberto: V – A + F = 1 
 
Observação: Para calcular o número de arestas de um poliedro temos que multiplicar o número de 
faces F pelo número de lados de cada face n e dividir por dois. Quando temos mais de um tipo de face, 
basta somar os resultados. 
𝐴 =
𝑛. 𝐹
2
 
 
Podemos verificar a relação de Euler para alguns poliedros não convexos. Assim dizemos: 
 
Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo. 
 
 
Exemplos: 
1) O número de faces de um poliedro convexo que possui exatamente oito ângulos triédricos é? 
A cada 8 vértices do poliedro concorrem 3 arestas, assim o número de arestas é dado por 
 
𝐴 =
𝑛. 𝐹
2
→ 𝐴 =
3.8
2
= 12 
 
Pela relação de Euler: V – A + F = 2 → 8 - 12 + F = 2 → F = 6 (o poliedro possui 6 faces). Assim o 
poliedro com essas características é: 
 
 
Soma dos ângulos poliédricos: as faces de um poliedro são polígonos. Sabemos que a soma das 
medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo é dada por: 
S = (v – 2).360º 
 
Poliedros de Platão 
São poliedros que satisfazem as seguintes condições: 
- todas as faces têm o mesmo número n de arestas; 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 94 
- todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número m de arestas; 
- for válida a relação de Euler (V – A + F = 2). 
 
Exemplos: 
1) O prisma quadrangular da figura a seguir é um poliedro de Platão. 
 
 
Vejamos se ele atende as condições: 
- todas as 6 faces são quadriláteros (n = 4); 
- todos os ângulos são triédricos (m = 3); 
- sendo V = 8, F = 6 e A = 12, temos: 8 – 12 + 6 = 14 -12 = 2 
 
2) O prisma triangular da figura abaixo é poliedro de Platão? 
 
As faces são 2 triangulares e 3 faces são quadrangulares, logo não é um poliedro de Platão, uma vez 
que atende a uma das condições. 
 
- Propriedade: existem exatamente cinco poliedros de Platão (pois atendem as 3 condições). 
Determinados apenas pelos pares ordenados (m,n) como mostra a tabela abaixo. 
 
m n A V F Poliedro 
3 3 6 4 4 Tetraedro 
3 4 12 8 6 Hexaedro 
4 3 12 6 8 Octaedro 
3 5 30 20 12 Dodecaedro 
5 3 30 12 20 Icosaedro 
 
 
 
Poliedros Regulares 
Um poliedro e dito regular quando: 
- suas faces são polígonos regulares congruentes; 
- seus ângulos poliédricos são congruentes; 
Por essas condições e observações podemos afirmar que todos os poliedros de Platão são ditos 
Poliedros Regulares. 
Observação: 
 
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Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é poliedro regular. 
 
 
Por exemplo, uma caixa de bombom, como a da figura a seguir, é um poliedro de Platão (hexaedro), 
mas não é um poliedro regular, pois as faces não são polígonos regulares e congruentes. 
 
 
 
A figura se compara ao paralelepípedo que é um hexaedro, e é um poliedro de Platão, mas não é 
considerado um poliedro regular: 
 
 
 
- Não Poliedros 
 
 
 
 
Os sólidos acima são: Cilindro, Cone e Esfera, são considerados não planos pois possuem suas 
superfícies curvas. 
Cilindro: tem duas bases geometricamente iguais definidas por curvas fechadas em superfície lateral 
curva. 
Cone: tem uma só base definida por uma linha curva fechada e uma superfície lateral curva. 
Esfera: é formada por uma única superfície curva. 
 
- Planificações de alguns Sólidos Geométricos 
 
Poliedro Planificação Elementos 
 
Tetraedro 
 
- 4 faces triangulares 
- 4 vértices 
- 6 arestas 
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. 96 
 
Hexaedro 
 
- 6 faces quadrangulares 
- 8 vértices 
- 12 arestas 
 
Octaedro 
 
 
- 8 faces triangulares 
- 6 vértices 
- 12 arestas 
 
Dodecaedro 
 
-12 faces pentagonais 
- 20 vértices 
- 30 arestas 
 
Icosaedro 
 
- 20 faces triangulares 
- 12 vértices 
- 30 arestas 
 
Questões 
 
01. (POLÍCIA CIENTÍFICA/PR – Perito Criminal – IFBC/2017) A alternativa que apresenta o número 
total de faces, vértices e arestas de um tetraedro é: 
(A) 4 faces triangulares, 5 vértices e 6 arestas 
(B) 5 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas 
(C) 4 faces triangulares, 4 vértices e 7 arestas 
(D) 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas 
(E) 4 faces triangulares, 4 vértices e 5 arestas 
 
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. 97 
02. (ITA – SP) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces 
é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a: 
(A) 11 
(B) 32 
(C) 10 
(D) 22 
(E) 20 
 
03. (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro 
pentagonais. Logo a soma dos ângulos internos de todas as faces será: 
(A) 3240° 
(B) 3640° 
(C) 3840° 
(D) 4000° 
(E) 4060° 
 
04. Entre as alternativas abaixo, a relação de Euller para poliedros fechados é: 
(A) V – A + F = 1 
(B) V + A + F = 2 
(C) V – A + F = 2 
(D) V – A – F = 2 
(E) V + F – 2 = 2 
 
05. (Unitau) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o 
número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale: 
(A) 6. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 12. 
(E) 9. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
4 faces triangulares 
- 4 vértices 
- 6 arestas 
 
02. Resposta: D. 
Basta utilizar a fórmula da soma dos ângulos poliédricos. 
S = (V – 2).360° 
7200° = (V – 2).360° (passamos o 360° dividindo) 
7200° : 360° = V – 2 
20 = V – 2 
V = 20 + 2 
V = 22 
 
03. Resposta: A. 
Temos 2 faces triangulares, 2 faces quadrangularese 4 faces pentagonais. 
F = 2 + 2 + 4 
F = 8 
 
𝑨 =
𝟐.𝟑+𝟐.𝟒+𝟒.𝟓
𝟐
=
𝟔+𝟖+𝟐𝟎
𝟐
=
𝟑𝟒
𝟐
= 𝟏𝟕 
 
V – A + F = 2 
V – 17 + 8 = 2 
V = 2 + 17 – 8 
V = 11 
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A soma é: 
S = (v – 2).260° 
S = (11 – 2).360° 
S = 9.360° 
S = 3240° 
 
04. Resposta: C. 
 
05. Resposta: B. 
Do enunciado temos S = 720° e que 𝑭 =
𝟐𝑨
𝟑
. 
S = 720° 
(V – 2).360° = 720° 
V – 2 = 720° : 360° 
V – 2 = 2 
V = 2 + 2 
V = 4 
V – A + F = 2 
𝟒 − 𝑨 +
𝟐𝑨
𝟑
= 𝟐 (o mmc é igual a 3) 
 
𝟏𝟐−𝟑𝑨+𝟐𝑨
𝟑
=
𝟔
𝟑
 
 
- 3A + 2A = 6 – 12 
- A = - 6 x(- 1) multiplicando por -1 
A = 6 
 
Se A = 6  𝑭 =
𝟐.𝟔
𝟑
=
𝟏𝟐
𝟑
= 𝟒 
 
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
 
Sólidos Geométricos6 são figuras geométricas que possui três dimensões. Um sólido é limitado por 
um ou mais planos. Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera, dessas figuras 
podemos encontrar o seu volume, pois são figuras geométricas espaciais. 
 
I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases iguais e paralelas. 
 
 
Elementos de um prisma: 
a) Base: pode ser qualquer polígono. 
b) Arestas da base: são os segmentos que formam as bases. 
c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo. 
d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as faces laterais. 
e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas. 
f) Altura: distância entre as duas bases. 
 
 Classificação: 
Um prisma pode ser classificado de duas maneiras: 
 
 
6
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da matemática elementar – Vol 10 – Geometria Espacial, Posição e Métrica – 5ª edição – Atual 
Editora 
www.brasilescola.com.br 
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1- Quanto à base: 
- Prisma triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Prisma quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Prisma pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Prisma hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um ângulo reto (90°). 
- Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 Fórmulas: 
- Área da Base 
Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo 
calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim 
por diante. 
- Área Lateral: 
Soma das áreas das faces laterais 
- Área Total: 
At=Al+2Ab 
- Volume: 
V = Abh 
 
 Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte e que são chamados de prismas especiais, 
que são: 
 
a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um prisma que tem as seis faces retangulares. 
 
 
Temos três dimensões: a= comprimento, b = largura e c = altura. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 2.(ab + ac + bc) 
 
- Volume: V = a.b.c 
 
- Diagonal: D = √a2 + b2 + c2 
 
b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6 faces quadradas. 
 
As três dimensões de um cubo: comprimento, largura e altura são iguais. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 6.a2 
 
- Volume: V = a3 
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. 100 
- Diagonal: D = a√3 
 
II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior. 
 
 Elementos de uma pirâmide: 
 
A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base, arestas da base, face lateral, arestas 
laterais, vértice e altura. Além destes, ela também tem um apótema lateral e um apótema da base. 
Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema da base e o apótema lateral forma um 
triângulo retângulo, então pelo Teorema de Pitágoras temos: ap2 = h2 + ab2. 
 
 Classificação: 
Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras: 
1- Quanto à base: 
- Pirâmide triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Pirâmide quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Pirâmide pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Pirâmide hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do centro da base. 
- Pirâmide Obliqua: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜, como a base pode ser qualquer polígono não existe uma 
fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado 
calculamos a área desse quadrado, e assim por diante. 
- Área Lateral: 𝐴𝑙 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 
 
- Área Total: At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- TRONCO DE PIRÂMIDE 
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a 
figura: 
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. 101 
 
O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho. 
É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as 
bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre 
si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco. 
 
Cálculo das áreas do tronco de pirâmide. 
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. 
De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície 
lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, 
se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral. 
A área total do tronco de pirâmide é dada por: 
St = Sl + SB + Sb 
Onde: 
St → é a área total 
Sl → é a área da superfície lateral 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
Cálculo do volume do tronco de pirâmide. 
A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume 
de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. 
Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do 
tronco é: 
 
Onde, 
V → é o volume do tronco 
h → é a altura do tronco 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases iguais, paralelas e circulares. 
 
Elementos de um cilindro: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre as duas bases. 
d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral é formada por infinitas 
geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cilindro é um círculo, ele só pode ser classificado de acordo com 
a inclinação: 
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. 102 
- Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um ângulo reto (90°). 
- Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = 2.π.r.h 
 
- Área Total: At = 2.π.r.(h + r) ou At = Al + 2.Ab 
 
- Volume: V = π.r2.h ou V =Ab.h 
 
Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo centro do cilindro. O retângulo obtido através 
desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Logo a área da secção meridiana 
é dada pela fórmula: ASM = 2r.h. 
 
 
 
Cilindro Equilátero: um cilindro é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um 
quadrado, para isto temos que: h = 2r. 
 
IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base circular e vértice superior. 
 
Elementos de um cone: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre o vértice superior e a base. 
d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral e formada por infinitas 
geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cone é um círculo, ele só tem classificação quanto à inclinação. 
- Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro da base. 
- Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
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. 103 
 
 
 Fórmulas: 
- Área da base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = π.r.g 
 
- Área total: At = π.r.(g + r) ou At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝜋. 𝑟2. ℎ ou 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- Entre a geratriz, o raio e a altura temos um triângulo retângulo, então: g2 = h2 + r2. 
 
Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone. O triângulo obtido através desse corte é 
chamado de secção meridiana e tem como medidas, base é 2r e h. Logo a área da secção meridiana é 
dada pela fórmula: ASM = r.h. 
 
 
Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um triângulo 
equilátero, para isto temos que: g = 2r. 
 
TRONCO DE CONE 
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, 
teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone. 
 
Elementos 
- A base do cone é a base maior do tronco, e a seção transversal é a base menor; 
- A distância entre os planos das bases é a altura do tronco. 
 
Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior 
que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a 
medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na 
composição do tronco de cone. 
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. 104 
Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral 
(geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso 
da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso. 
 
 
Onde: 
h = altura 
g = geratriz 
 
Área da Superfície e Volume 
 
 
 
Exemplo: 
Os raios das bases de um tronco de cone são 6 m e 4 m. A altura referente a esse tronco é de 10 m. 
Determine o volume desse tronco de cone. Lembre-se que π = 3,14. 
 
 
V) ESFERA 
 
 
 Elementos da esfera 
- Eixo: é um eixo imaginário, passando pelo centro da esfera. 
- Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da esfera. 
- Paralelos: são “cortes” feitos na esfera, determinando círculos. 
- Equador: “corte” feito pelo centro da esfera, determinando, assim, o maior círculo possível. 
 
 Fórmulas 
 
 
 
- na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo (r), a distância do centro ao paralelo ao centro 
da esfera (d) e o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. Então, podemos aplicar o Teorema 
de Pitágoras: R2 = r2 + d2. 
- Área: A = 4.π.R2 
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. 105 
- Volume: V = 
4
3
. π. R3 
 
Fuso Esférico: 
 
Fórmula da área do fuso: 
𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 =
𝛼. 𝜋. 𝑅2
90°
 
 
Cunha Esférica: 
 
 
Fórmula do volume da cunha: 
𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 =
𝛼. 𝜋. 𝑅3
270°
 
 
Questões 
 
01. (IPSM – Analista de gestão Municipal – VUNESP/2018) Um tanque em formato de prisma reto 
retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está completamente cheio de água. Durante 3 
horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por minuto de água para fora do tanque. Lembre-se de que 1 
m3 é equivalente a 1000 litros. Após esse tempo, o número de litros de água que ainda permanecem no 
tanque é igual a 
(A) 980. 
(B) 1020. 
(C) 1460. 
(D) 1580. 
(E) 1610. 
 
02. (UFSM – Auxiliar em Administração – UFSM/2017) O número de furtos a bancos tem crescido 
muito nos últimos anos. Em um desses furtos, criminosos levaram 20 barras de ouro com dimensões 
dadas, em centímetros, pela figura a seguir. 
 
 
 
Se a densidade do ouro é de aproximadamente 19g/cm³, aproximadamente quantos quilogramas de 
ouro foram furtados? 
(A) 0,456 
(B) 9,120 
(C) 24,000 
(D) 45,600 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 106 
(E) 91,200 
 
03. (DEMAE – Técnico em Informática – CS-UFG/2017) Em um canteiro de obra, para calcular o 
volume de areia contida na caçamba de um caminhão, mede-se a altura da areia em cinco pontos 
estratégicos (indicados por M), a largura (L) e o comprimento (C) da base da caçamba, conforme ilustra 
a figura a seguir. 
 
O volume de areia na caçamba do caminhão é dado pelo produto da área da base da caçamba pela 
média aritmética das alturas da areia. Considere um caminhão carregado com 13,25 m³ de areia. A largura 
de sua caçamba é 2,4 m e o comprimento, 5,8 m. Assim, a média aritmética das alturas da areia na 
caçamba, em metros, é, aproximadamente, de: 
 
(A) 9,5 
(B) 2,3 
(C) 0,95 
(D) 0,23 
 
04. Dado o cilindro equilátero, sabendo que seu raio é igual a 5 cm, a área lateral desse cilindro, em 
cm2, é: 
(A) 90π 
(B) 100π 
(C) 80π 
(D) 110π 
(E) 120π 
 
05. Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual a 4 cm e altura 12 cm. O volume desse 
prisma é: 
(A) 288√3 cm3 
(B) 144√3 cm3 
(C) 200√3 cm3 
(D) 100√3 cm3 
(E) 300√3 cm3 
 
06. Um cubo tem aresta igual a 3 m, a área total e o volume desse cubo são, respectivamente, iguais 
a: 
(A) 27 m2 e 54 m3 
(B) 9 m2 e 18 m3 
(C) 54 m2 e 27 m3 
(D) 10 m2 e 20 m3 
 
07. Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base igual a 8 cm e altura 15 cm. O volume dessa 
pirâmide, em cm3, é igual a: 
(A) 60 
(B) 60√3 
(C) 80 
(D) 80√3 
(E) 90√3 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 107 
08. (Pref. SEARA/SC – Adjunto Administrativo – IOPLAN) Um reservatório vertical de água com a 
forma de um cilindro circular reto com diâmetro de 6 metros e profundidade de 10 metros tem a 
capacidade aproximada de, admitindo-se π=3,14: 
(A) 282,60 litros. 
(B) 28.260 litros. 
(C) 282.600,00 litros. 
(D) 28.600,00 litros. 
 
09. Um cone equilátero tem raio igual a 8 cm. A altura desse cone, em cm, é: 
(A) 6√3 
(B) 6√2 
(C) 8√2 
(D) 8√3 
(E) 8 
 
10. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) O volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas áreas das bases 
são iguais a 36 dm² e 144 dm² vale: 
(A) 330 cm³ 
(B) 720 dm³ 
(C) 330 m³ 
(D) 360 dm³ 
(E) 336 dm³ 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Primeiro devemos encontrar o volume do paralelepípedo, depois a quantidade de água que vaza 
para poder descobrir quanto de agua ainda resta, basta subtrair o volume pela quantidade de água que 
vazou. 
V= a . b . c 
V= 3,5 . 1,2 . 0,8 
V= 3,36 m³ 
1 m³__________ 1000 LITROS 
3,36__________ x 
x= 3.360 L 
 
Aqui precisamos descobrir quanto vazou de água 
3 H 15 MIN = 3*60 +15 = 180 +15= 195 MIN 
12L ----------- 1 MIN 
y ----------- 195 MIN 
y= 195 . 12 
y= 2.340 L 
x-y = 3.360 - 2.340=1020 LITROS 
 
02. Resposta: B. 
Primeiro devemos encontrar o volume de 1 das barras e depois basta multiplicar por 20, logo: 
V = 8x3x1 = 24cm³ 
24x19 = 456 g (pois ele possui 19g por cada cm³) 
456 x 20 (foram furtadas) = 9120g, devemos lembrar que 1 kg equivale à 1000g. 
9120/1000 = 9,120kg. 
 
03. Resposta: C. 
Como ele quer saber a média aritmética das alturas basta substituirmos na fórmula: 
V = M . L . C 
13,25 = M . 2,4 . 5,8 = 
13,92M = 13,25 
M = 13,25/13,92 
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. 108 
M = 0,95m 
 
04. Resposta: B. 
Em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado r = 5 cm. 
h = 2r → h = 2.5 = 10 cm 
Al = 2.π.r.h 
Al = 2.π.5.10 → Al = 100π 
 
05. Resposta: A. 
O volume de um prisma é dado pela fórmula V = Ab.h, do enunciado temos que a aresta da base é a 
= 4 cm e a altura h = 12 cm. 
A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono regular 
𝐴𝑏 =
6.𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
6.42√3
4
  𝐴𝑏 =
6.16√3
4
  𝐴𝑏 = 6.4√3  𝐴𝑏 = 24√3 cm
2 
 
V = 24√3.12 
V = 288√3 cm3 
 
06. Resposta: C. 
Do enunciado, o cubo tem aresta a = 3 m. 
At = 6.a2 V = a3 
At = 6.32 V = 33 
At = 6.9 V = 27 m3 
At = 54 m2 
 
07. Resposta: D. 
Do enunciado a base é um triângulo equilátero. E a fórmula da área do triângulo equilátero é 𝐴 =
𝑙2√3
4
. 
A aresta da base é a = 8 cm e h = 15 cm. 
 
Cálculo da área da base: 
𝐴𝑏 =
𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
82√3
4
=
64√3
4
 
 
𝐴𝑏 = 16√3 
 
Cálculo do volume: 
𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
𝑉 =
1
3
. 16√3. 15 
 
𝑉 = 16√3. 5 
 
𝑉 = 80√3 
 
08. Resposta: C. 
Pelo enunciado sabemos a altura (h) = 10 m e o Diâmetro da base = 6 m, logo o Raio (R) = 3m. 
O volume é Ab.h , onde Ab = π .R² → Ab = 3,14. (3)² → Ab = 28,26 
V = Ab. H → V = 28,26. 10 = 282,6 m³ 
Como o resultado é expresso em litros, sabemos que 1 m³ = 1000 l, Logo 282,26 m³ = x litros 
282,26. 1000 = 282 600 litros 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 109 
09. Resposta: D. 
Em um cone equilátero temos que g = 2r. Do enunciado o raio é 8 cm, então a geratriz é g = 2.8 = 16 
cm. 
g2 = h2 + r2 
162 = h2 + 82 
256 = h2 + 64 
256 – 64 = h2 
h2 = 192 
h = √192 
h = √26. 3 
h = 23√3 
h = 8√3 cm 
 
10. Resposta: E. 
𝑉 =
ℎ𝑡
3
(𝐴𝐵 +√𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏) 
AB=144 dm² 
Ab=36 dm² 
𝑉 =
4
3
(144 + √144 ∙ 36 + 36) =
4
3
(144 + 72 + 36) =
4
3
252 = 336 𝑑𝑚3 
 
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL (OU PLANO CARTESIANO) 
 
René Descartes (1596-1650) rompeu com as tradições clássicas da Geometria grega e criou a 
Geometria analítica. 
 
 
Temos dois eixos orientados, um horizontal e outro vertical, perpendiculares entre si. O eixo horizontal 
é chamado de “eixo das abscissas” e o eixo vertical e chamado de “eixo das ordenadas”. 
Estes eixos dividem o plano em quatro partes chamadas de “quadrantes”. 
O ponto O e chamado de ponto “Zero” ou “Ponto de Origem” do sistema. 
 
- Propriedades do Sistema Cartesiano. 
Sendo um ponto p(x, y), temos: 
 
1) Se P ∈ ao 1° quadrante: x > 0 e y > 0 
2) Se P ∈ ao 2° quadrante: x < 0 e y > 0 
3) Se P ∈ ao 3° quadrante: x < 0 e y < 0 
4) Se P ∈ ao 4° quadrante: x > 0 e y < 0 
5) Se P ∈ ao eixo das abcissas: y = 0 
6) Se P ∈ ao eixo das ordenadas: x = 0 
7) Se P ∈ à bissetriz dos quadrantes ímpares (1° e 3° quadrantes): x = y 
8) Se P ∈ à bissetriz dos quadrantes pares (2° e 4° quadrantes): x = - y 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 110 
Ponto médio 
 
Sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos do sistema cartesiano: 
 
 
- se M(xM, yM) é ponto médio do 
segmento AB̅̅ ̅̅ , temos a fórmula do 
ponto médio: 
 
xM =
xA + xB
2
 
 
𝑦𝑀 =
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵
2
 
 
 
Distância entre dois pontos 
 
 
- de acordo com o Teorema de 
Pitágoras, temos a fórmula da 
distância: 
 
 
𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2 
 
 
Área do triângulo e condição de alinhamento de três pontos 
 
Sejam os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) os três vértices de um triângulo ABC, para calcular a 
área desse triângulo temos a fórmula: 
 
A =
|D|
2
 , onde D = |
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
| 
 
E a condição para que os três estejam alinhados (mesma linha ou mesma reta) é que D = 0. 
 
Questões 
 
01. O ponto A(2m + 1, m + 7) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. Então, o valor de m é: 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 9 
 
02. O ponto P(2 + p, 4p – 12) pertence ao eixo das abscissas, então: 
(A) P(2 ,0) 
(B) P(3, 0) 
(C) P(- 5, 0) 
(D) P(5, 0) 
(E) P(- 2, 0) 
 
03. O ponto médio entre A(4, - 1) e B(2, 5) é: 
(A) M(- 3, 2) 
(B) M(3, - 2) 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 111 
(C) M(- 3, - 2) 
(D) M(3, 2) 
(E) M(1, 2) 
 
04. Se M(4, 5) é ponto médio entre A(6, 1) e B. As coordenadas xB e yB, respectivamente, são iguais 
a: 
(A) 2 e 9 
(B) 2 e 7 
(C) 9 e 2 
(D) 3 e 9 
(E) 1 e 8 
 
05. Qual é a distância entre os pontos A(3, 1) e B(7, 4)? 
(A) 5 
(B) 25 
(C) 4 
(D) 16 
(E) 0 
06. Se a distância entre os pontos A(8, 2) e B(3, y) é igual a 5√2, sendo B é um ponto do 1° quadrante, 
então o valor de y é: 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 9 
 
07. Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c, 3), (2, c) e (14, - 3) sejam colineares? 
(A) 4 e 5 
(B) 5 e – 6 
(C) – 5 e 6 
(D) – 4 e 5 
(E) 6 e 5 
 
08. A área de um triângulo que tem vértices nos ponto A(2, 1), B(4, 5) e C(0, 3), em unidades de área, 
é igual a: 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 2 
 
09. Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual 
a: 
(A) 2 
(B) 0 
(C) – 2 
(D) 1 
(E) ½ 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Se o ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares temos que x = y. 
x = y 
2m + 1 = m + 7 
2m – m = 7 – 1 
m = 6 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 112 
02. Resposta: D. 
Se P pertence ao eixo das abscissas y = 0. 
y = 0 
4p – 12 = 0 
4p = 12 
p = 12/4 
p = 3 
 
x = 2 + p 
x = 2 + 3 
x = 5 
Logo: P(5, 0) 
 
03. Resposta: D. 
xM =
xA+xB
2
 e yM =
yA+yB
2
 
 
xM =
4+2
2
= 3 e yM =
−1+5
2
= 2 
 
04. Resposta: A. 
 
xM =
xA+xB
2
 yM =
yA+yB
2
 
 
4 =
6+xB
2
 5 =
1+yB
2
 
 
6 + 𝑥𝐵 = 2.4 1 + 𝑦𝐵 = 2.5 
 
𝑥𝐵 = 8 − 6 = 2 𝑦𝐵 = 10 − 1 = 9 
 
05. Respostas: A. 
 
 𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2 
 
𝑑𝐴𝐵 = √(7 − 3)2 + (4 − 1)2 = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5 
 
06. Resposta: C. 
𝑑𝐴𝐵 = 5√2 
 
√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2 = 5√2 (elevando os dois membros ao quadrado) 
 
(3 − 8)2 + (𝑦 − 2)2 = 25.2 
(−5)2 + (𝑦 − 2)2 = 50 
25 + (𝑦 − 2)2 = 50 
(y – 2)2 = 50 – 25 
(y – 2)2 = 25 
𝑦 − 2 = ±√25 
𝑦 − 2 = ±5 
y – 2 = 5 ou y – 2 = - 5 
y = 5 + 2 ou y = - 5 + 2 
y = 7 ou y = - 3 
como o ponto B está no 1° quadrante, y > 0  y = 7 
 
07. Resposta: E. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 113 
Colineares (mesma linha) ou seja, os pontos dados devem estar alinhados. A condição para isto é que 
D = 0. 
 
𝐷 = |
𝑐 3 1
2 𝑐 1
14 −3 1
| = 0 (para resolver o determinante D, repetimos as 1ª e 2ª colunas) 
 
= 𝑐2 + 42 − 6 − 14𝑐 + 3𝑐 − 6 = 
= 𝑐2 − 11𝑐 + 30 
 
Então: 𝐷 = 0  𝑐2 − 11𝑐 + 30 = 0, equação do 2° grau em que a = 1, b = - 11 e c = 30 (lembrando 
que o c que queremos determinar não é o mesmo c da equação). 
 
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
∆= (−11)2 − 4.1.30 
∆= 121 − 120 = 1 
 
c =
−b±√∆
2ac =
−(−11)±√1
2.1
 = 
11±1
2
  𝑐 =
11+1
2
=
12
2
= 6 ou 𝑐 =
11−1
2
=
10
2
= 5 
 
08. Resposta: B. 
A fórmula da área do triângulo é A = 
|D|
2
. 
 
= 10 + 0 + 12 – 0 – 6 – 4 = 22 – 10 = 12 
 
A = 
|12|
2
 = 6 
 
09. Resposta: E. 
Do enunciado temos que (m + 2n, m – 4) = (2 – m, 2n), se esses dois pontos são iguais: 
m + 2n = 2 – m (I) e m – 4 = 2n (II), substituindo (II) em (I), temos: 
m + m – 4 = 2 – m 
2m – 4 = 2 – m 
2m + m = 2.+ 4 
3m = 6 
m = 6 : 3 
m = 2 (substituindo 2 em (II)) 
2 – 4 = 2n 
- 2 = 2n 
n = - 2 : 2 
n = - 1 
Logo: mn = 2-1 = ½ (expoente negativo, invertemos a base e o expoente fica positivo. 
 
ESTUDO DA RETA 
 
Inclinação de uma reta 
Considere-se no Plano Cartesiano uma reta r. Chama-se inclinação de r à medida de um ângulo α que 
r forma com o eixo x no sentido anti-horário, a partir do próprio eixo x. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 114 
 
 
Coeficiente angular da reta 
Definimos o coeficiente angular (ou declividade) da reta r o número m tal que 𝐦 = 𝐭𝐠𝛂. 
Então, temos: 
 
- se m = 0 
a reta é paralela ao eixo x, isto é, α = 0°. 
 
- se m > 0 
 temos um ângulo α, tal que 0° < α < 90°. O ângulo α é agudo. 
 
- se m < 0 
temos um ângulo α, tal que 90° < α < 180°. O ângulo α é obtuso. 
 
- se m = ∄ (não existe)  a reta é perpendicular ao eixo x, isto é, α = 90°. 
 
 
Sendo A e B dois pontos pertencentes a uma reta r, temos: 
 
 
No triângulo retângulo: tgα =
cateto aposto
cateto adjacente
, então temos que o coeficiente angular m 
é: 
 
m = 
yB−yA
xB−xA
  m = 
∆𝐲
∆𝐱
 
 
 
Equação fundamental da reta 
Considerando uma reta r e um ponto A(x0, y0) pertencente à reta. Tomamos outro ponto B(x, y) genérico 
diferente de A. Com esses dois pontos pertencentes à reta r, podemos calcular o seu coeficiente angular. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 115 
 
 
m =
∆y
∆x
  
m
1
=
y−y0
x−x0
 , multiplicando em “cruz”: 
 
y – yo = m(x – xo), fórmula da equação fundamental da reta. 
 
 
Exemplos: 
1- Uma reta tem inclinação de 60° em relação ao eixo x. Qual é o coeficiente angular desta reta? 
 
Solução: m = tgα  m = tg60°  m = √3 
 
2- Uma reta passa pelos pontos A(3, -1) e B(5, 8). Determinar o coeficiente angular dessa reta. 
 
Solução: m =
∆y
∆x
=
yB−yA
xB−xA
  m =
8−(−1)
5−3
  m =
9
2
 
 
3- Uma reta passa pelo ponto A(2, 4) e tem coeficiente angular m = 5. Determinar a equação 
fundamental dessa reta. 
 
Solução: o ponto por onde a reta passa são os valores de xo e yo para substituir na fórmula, então: 
 
y − yo = m. (x − xo)  y − 4 = 5. (x − 2) (esta é a equação fundamental da reta) 
 
Equação geral da reta 
Toda reta tem uma Equação Geral do tipo: 
 
𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 + 𝐜 = 𝟎 , onde a, b e c são os coeficientes da equação e podem ser qualquer número real, 
com a condição de que a e b não sejam nulos ao mesmo tempo. Isto é se a = 0  b ≠ 0 e se b = 0  a 
≠ 0. 
 
Exemplos: 
(r) 2x – 3y + 8 = 0  a = 2, b = - 3 e c = 8 
(s) – x + 10 = 0  a = - 1, b = 0 e c = 10 
(t) 3y – 7 = 0  a = 0, b = 3 e c = - 7 
(u) x + 5y = 0  a = 1, b = 5 e c = 0 
 
Da equação geral da reta, temos uma nova fórmula para o coeficiente angular: 𝐦 =
−𝐚
𝐛
 
 
Equação reduzida da reta 
Para determinar a equação reduzida da reta, basta “isolar” o y. 
 
 ax + by + c = 0 
 
 by = −ax − c 
 
 y =
−ax
b
−
c
b
 
 
Na equação reduzida da reta temos que 
−a
b
 é o coeficiente angular (m) da reta e 
−c
b
 é o coeficiente 
linear (q) da reta. Então, a equação reduzida é da forma: 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 116 
y = mx + q 
 
O coeficiente linear q é o ponto em que a reta “corta” o eixo y. 
 
 
Observações: 
I) A equação reduzida de uma reta fornece diretamente o coeficiente 
angular e o coeficiente linear. 
II) As retas de inclinação igual a 90° (reta vertical ao eixo x) não 
possuem equação reduzida. 
 
Equações paramétricas da reta 
 
Equações paramétricas são equações que representam uma mesma reta por meio de uma incógnita 
em comum (parâmetro). Essa variável comum, que é chamada de parâmetro, faz a ligação entre as duas 
equações. 
Considerando uma reta r que está representada através das seguintes equações paramétricas: x = -6 
+ 2t e y = 1 – t, com parâmetro igual a t, pois é a incógnita semelhante às duas equações. Podemos 
representá-la na forma geral, seguindo as orientações abaixo: 
Das duas equações x = -6 + 2t e y = 1 – t escolhemos uma e isolamos a incógnita semelhante 
(parâmetro). 
y = 1 – t 
y – 1 = -t 
t = - y + 1 
Agora substituímos na outra equação e igualamos a equação a zero para obter a sua forma geral. 
x = -6 + 2t 
x = - 6 + 2(- y + 1) 
x = - 6 – 2y + 2 
x = - 4 – 2y 
x + 2y + 4 = 0 
 
Exemplo: 
Obtenha a equação reduzida da reta representada pelas equações paramétricas, em que t é um 
parâmetro real. 
x= t + 9 y= 2t – 1 
Das duas equações x= t + 9 y= 2t – 1 escolhemos uma e isolamos a incógnita semelhante (parâmetro). 
x= t + 9 
x – 9 = t 
Para obter a forma reduzida y = mx + q da reta, basta substituir o valor de t na outra equação. 
y= 2t – 1 
y = 2 (x – 9) – 1 
y = 2x – 18 – 1 
y = 2x – 19; com m = 2 e q = -19. 
 
Bissetrizes dos ângulos de duas retas 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 117 
 
A bissetriz de ângulos de 
retas, nada mais é a que a 
aplicação direta da fórmula 
da distância de um ponto a 
uma reta 
 
 
Paralelismo e perpendicularismo 
Considere-se no Plano Cartesiano duas reta r e s. 
 
 
Se as retas são paralelas, o ângulo 𝛼 de inclinação em relação ao eixo x é o mesmo. Este ângulo nos 
dá o valor do coeficiente angular da reta e, sendo mr e ms, respectivamente os coeficientes angulares de 
r e s, temos: 
 
1) Se r e s são paralelas: mr = ms 
 
2) Se r e s são concorrentes: mr ≠ ms 
 
3) Se r e s são perpendiculares: mr.ms = - 1 
 
Observação: para que o produto de dois números seja igual a – 1, mr e ms devem 
ser inversos e opostos. 
 
 
Distância entre ponto e reta 
Seja uma reta (r) de equação geral ax + by + c = 0 e um ponto P(xo, yo): 
 
 
 
Para calcular a distância d entre o ponto P e a reta r temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
Exemplo: Qual é a distância entre a reta (r) 3x + 4y – 1 = 0 e o ponto P(1, 2)? 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 118 
Solução: temos uma equação de reta em que a = 3, b = 4 e c = - 1. 
 
dP,r =
|3x+4y−1|
√32+42
  substituindo x = 1 e y = 2 (coordenadas do ponto P) 
 
dP,r =
|3.1+4.2−1|
√9+16
 = 
|3+8−1|
√25
 = 
|10|
5
 = 
10
5
 = 2 
 
Distância entre duas retas 
Só existe distância entre duas retas r e s se elas forem paralelas. E, neste caso, os valores de a e b 
na equação geral da reta são iguais ou proporcionais, sendo diferente somente o valor de c. Isto é: 
 
(r) ax + by + c = 0 e (s) ax + by + c’ = 0. 
 
Exemplos: 
(r) 2x – 3y + 8 = 0 e (s) 2x – 3y – 7 = 0 são paralelas, pois a = 2 e b = - 3 nas duas equações. 
 
(r) 3x + 2y – 10 = 0 e (s) 6x + 4y + 30 = 0 são paralelas, pois na reta r a = 3 e b = 2 e na reta s a = 6 e 
b = 2 são proporcionais (o dobro). Se dividirmos por 2 os coeficientes a e b da reta (s) obtemos valores 
iguais. 
Então, para calcular a distância entre as retas r e s temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
Exemplo 1: Calcular a distância entre as retas (r) 4x + 3y – 10 = 0 e (s) 4x + 3y + 5 = 0. 
 
Solução: temos que a = 4 e b = 3 nas duas equações e somente o valor de c é diferente,então, c = - 
10 e c’ = 5 (ou c = 5 e c’ = - 10). 
 
dr,s =
|−10−5|
√42+32
 = 
|−15|
√16+9
 = 
15
√25
 = 
15
5
 = 3 
 
Exemplo 2: Calcular a distância entre as retas (r) 3x – 2y + 8 = 0 e (s) 6x – 4y – 12 = 0. 
 
Solução: primeiro temos que dividir a equação da reta (s) por dois para que a e b fiquem iguais nas 
duas equações. 
(s) 6x – 4y – 12 = 0 :(2)  3x – 2y – 6 = 0 
 
Logo, a = 3, b = - 2, c = 8 e c’ = - 6 (ou c = - 6 e c’ = 8) 
 
dr,s =
|8−(−6)|
√32+(−2)2
 = 
|8+6|
√9+4
 = 
|14|
√13
 = 
14
√13
 , neste caso temos que racionalizar o denominador multiplicando em 
cima e em embaixo por √13. 
 
dr,s =
14
√13
.
√13
√13
 = 
14√13
13
 
 
Questões 
 
01. (FGV-SP) A declividade do segmento de reta que passa pelos pontos A(0, 3) e B(3, 0) é: 
(A) 1 
(B) – 1 
(C) 0 
(D) 3 
(E) 1/3 
 
02. (MACK-SP) Se os pontos (2, - 3), (4, 3) e (5,
𝑘
2
) estão numa mesma reta, então k é igual a: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 119 
(A) – 12 
(B) – 6 
(C) 6 
(D) 12 
(E) 18 
 
03. (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo ponto A(- 3, 4) e cujo coeficiente angular é ½ é: 
(A) x + 2y + 11 = 0 
(B) x – y + 11 = 0 
(C) 2x – y + 10 = 0 
(D) x – 2y + 11 = 0 
(E) nda 
 
04. Uma reta forma com o eixo x um ângulo de 45°. O coeficiente angular dessa reta é: 
(A) 1 
(B) – 1 
(C) 0 
(D) √3 
(E) – √3 
 
05. (UEPA) O comandante de um barco resolveu acompanhar a procissão fluvial do Círio-2002, 
fazendo o percurso em linha reta. Para tanto, fez uso do sistema de eixos cartesianos para melhor 
orientação. O barco seguiu a direção que forma 45° com o sentido positivo do eixo x, passando pelo ponto 
de coordenadas (3, 5). Este trajeto ficou bem definido através da equação: 
(A) y = 2x – 1 
(B) y = - 3x + 14 
(C) y = x + 2 
(D) y = - x + 8 
(E) y = 3x – 4 
 
06. A equação geral de uma reta é – 2x + 4y + 12 = 0. A equação geral dessa reta é: 
(A) 𝑦 = 𝑥 − 3 
(B) 𝑦 =
𝑥
2
− 3 
(C) 𝑦 = 𝑥 + 3 
(D) 𝑦 =
𝑥
2
+ 3 
(E) 𝑦 = 2𝑥 + 3 
 
07. Considere a reta (r) de equação 2x – 3y + 7 = 0. O valor de a para que o ponto P(1, a) pertença a 
esta reta é: 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
08. (CESGRANRIO-RJ) As retas x + ay – 3 = 0 e 2x – y + 5 = 0 são paralelas se a vale: 
(A) – 2 
(B) – 0,5 
(C) 0,5 
(D) 2 
(E) 8 
 
09. Para qual valor de a as retas (r) ax – 2y + 3 = 0 e (s) 2x + y – 1 = 0 são perpendiculares? 
(A) 1 
(B) – 1 
(C) 2 
(D) – 2 
(E) 0 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 120 
 
10. Dada uma reta r de equação 3x + 4y + 15 = 0, a distância do ponto P(1, 3) à reta r é igual a: 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
 
11. Sabendo que o ponto P(a, 2a) pertence ao 1° quadrante e que a distância desse ponto até a reta 
(r) 3x + 4y = 0 é igual a 22, o valor de a é: 
(A) 11 
(B) – 11 
(C) – 10 
(D) 10 
(E) 20 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Como temos dois pontos, o coeficiente angular é dado por m = 
∆y
∆x
. 
𝑚 =
𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴
  𝑚 =
0−3
3−0
 = 
−3
3
 = - 1 
 
02. Resposta: D. 
Chamando os pontos, respectivamente, de A(2, - 3), B(4, 3) e C(5,
𝑘
2
) e se esses três pontos estão 
numa mesma reta, temos: 
mAB = mBC (os coeficientes angulares de pontos que estão na mesma reta são iguais) 
 
yB−yA
xB−xA
=
yC−yB
xC−xB
 
 
3−(−3)
4−2
=
k
2
−3
5−4
 
 
6
2
=
k−6
2
1
 
 
3 =
k−6
2
 
k – 6 = 6 
k = 6 + 6 
k = 12 
 
03. Resposta: D. 
xo = - 3, yo = 4 e m = 1/2. Nesta questão as alternativas estão na forma de equação geral, então temos 
que desenvolver a equação fundamental. 
y – yo = m(x – xo) 
y – 4 = 
1
2
.(x – (-3)) (passamos o 2 multiplicando o 1° membro da equação) 
2.(y – 4) = 1(x + 3) 
2y – 8 = x + 3 
2y – 8 – x – 3 = 0 
- x + 2y – 11 = 0 .(- 1) 
x – 2y + 11 = 0 
 
04. Resposta: A. 
O coeficiente angular é dado por 𝑚 = 𝑡𝑔𝛼. 
𝑚 = 𝑡𝑔45°  m = 1 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 121 
05. Resposta: C. 
xo = 3, yo = 5 e 𝑚 = 𝑡𝑔45° = 1. As alternativas estão na forma de equação reduzida, então: 
y – yo = m(x – xo) 
y – 5 = 1.(x – 3) 
y – 5 = x – 3 
y = x – 3 + 5 
y = x + 2 
 
06. Resposta: B. 
Dada a equação geral da reta, para determinar a reduzida basta isolar o y. 
- 2x + 4y + 12 = 0 
4y = 2x – 12 (passamos o 4 dividindo para o segundo membro separadamente cada termo) 
 
𝑦 =
2𝑥
4
−
12
4
 
 
 𝑦 =
𝑥
2
− 3 
 
07. Resposta: A. 
No ponto P x = 1 e y = a, basta substituir esses valores na equação. 
2x – 3y + 7 = 0 
2.1 – 3.a + 7 = 0 
2 – 3a + 7 = 0 
- 3a = - 2 – 7 
- 3a = - 9 x(-1) 
3a = 9 
a = 9 : 3 
a = 3 
 
08. Resposta: B. 
Vamos denominar as retas de (r) x + ay – 3 = 0 e (s) 2x – y + 5 = 0 e utilizando a fórmula 𝑚 =
−𝑎
𝑏
 para 
calcular o coeficiente angular das retas. 
 
(r) a = 1 e b = a  𝑚𝑟 =
−1
𝑎
 
 
(s) a = 2 e b = - 1  𝑚𝑠 =
−2
−1
= 2 
 
para que r e s sejam paralelas: mr = ms 
 
 
 
2a = - 1 
𝑎 =
−1
2
= −0,5 
 
09. Resposta: A. 
Na reta (r)  a = a e b = - 2, na reta (s) a = 2 e b = 1 
 
𝑚𝑟 =
−𝑎
−2
=
𝑎
2
 e 𝑚𝑠 =
−2
1
= −2 
 
Retas perpendiculares: mr.ms = - 1 
 
 
- a = - 1 x(-1)  a = 1 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 122 
10. Resposta: C. 
A reta r tem a = 3, b = 4 e c = 15 
 
𝑑𝑃,𝑟 =
|3𝑥+4𝑦+15|
√𝑎2+𝑏2
  substituindo x = 1 e y = 3 (coordenadas do ponto P) 
 
𝑑𝑃,𝑟 =
|3.1+4.3+15|
√32+42
 = 
|3+12+15|
√9+16
 = 
|30|
√25
 = 
30
5
 = 6 
 
11. Resposta: D. 
Na reta r (r) a = 3 e b = 4. 
𝑑𝑃,𝑟 = 22 
|3𝑥+4𝑦|
√𝑎2+𝑏2
= 22 (substituindo x = a e y = 2a) 
|3.𝑎+4.2𝑎|
√32+42
= 22  
|3𝑎+8𝑎|
√9+16
= 22  
|11𝑎|
√25
= 22  
|11𝑎|
5
= 22  |11𝑎| = 5.22 
|11𝑎| = 110, então: 
11a = 110 ou 11a = - 110 
a = 110 : 11 a = - 110 : 11 
a = 10 a = - 10 
Como P pertence ao 1° quadrante, a > 0, portanto a = 10 
 
 
 
OBS.: Caros alunos, assim como no tópico anterior, a banca não especificou o conteúdo, 
deixou de forma geral, portanto vamos elencar as principais informações sobre Álgebra básica e 
sistemas lineares. 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,..). 
Observe a figura: 
 
 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (Não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
 
 
5. Álgebra básica e sistemas lineares 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 123 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a ≠ 0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples, 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = - b → x = - b/a 
 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1. 
2º membro composto pelo termo x e +7. 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos: 
Resolvendoa equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
 
Registro 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações, os cálculos necessários e isolamos 
o x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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. 124 
Registro: 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais 
termos do outro lado; 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente 
entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do restante de 
cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a quantia 
dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 125 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
06. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Bia tem 10 anos a mais que Luana, 
que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE Americana/SP – Analista Administrativo – SHDIAS) Em uma praça, Graziela estava 
conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da seguinte 
forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
08. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Dois amigos foram a uma pizzaria. O 
mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 da 
quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi comido, 
a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 126 
 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
 
09. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 3 
exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos 
é 65 anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, 
que por sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais 
velho será, em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: E 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Alternativa: D 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 127 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Alternativa: E 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
04. Alternativa: A 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Alternativa: B 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como constana fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Alternativa: A 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
 
07. Alternativa: B 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 128 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
08. Alternativa: C 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Alternativa: E 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Alternativa: C 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 129 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita7, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação. 
 
Equação completa e incompleta 
 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
- 3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = - 3, b = 2, c = - 15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
 
7
somatematica.com.br 
IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. Matemática: ciência e aplicações. 9ª ed. Saraiva. São Paulo. 2017. 
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. 130 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita 
Primeiramente devemos saber duas importantes propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1°) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita 
 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 131 
 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 132 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P = 0 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 
P = 2.7 = 14 
Com esses valores montamos a equação: x2 - 9x + 14 = 0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 - 7x + 12 = 0 
Observe que S = 7 e P = 12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3 + 4 = 7 e P = 4.3 = 12, logo o conjunto solução é: S = {3,4} 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma 
equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 9. 
 
02. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 
1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau 
dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
04. (CGU – Administrativa – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximode x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 133 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² 
– mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – Analista de Gestão – CONSULPLAN) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + 
bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o 
discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são as 
raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
 
(C) 1. 
 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. de Mogeiro/PB - Professor – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 
= 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
 
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. 134 
02. Resposta: D 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
04. Resposta: A 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 135 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
−34
2
= −17 (Não Convém) 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 136 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
S = P 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
PROBLEMAS MATEMÁTICOS 
 
As operações básicas da matemática são quatro: 
Adição(+) 
Subtração (-) 
Multiplicação ( * ou x ou .) e 
Divisão (: ou / ou ÷) 
Em linguagem comum, elas são chamados de aritmética ou operações aritméticas. 
 
Adição: é a operação que determina um número natural para representar a junção de quantidades. 
Para indicar a adição usaremos o sinal + (mais). 
exemplo: 2 + 3 = 5 
Os números 2 e 3 são chamados de parcelas e o número 5 é a soma. 
Propriedades: 
A adição de números naturais é comutativa. 
a + b = b + a ou 1 + 2 = 2 + 1 
O zero é o elemento neutro da adição. 
0 + a = a = a + 0 ou 0 + 3 = 3 = 3 + 0 
A adição de números naturais é associativa. 
(a + b) + c = a + (b + c) ou (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) 
A soma de números naturais é sempre um número natural. 
a + b = número natural 
 
Subtração: é a operação que determina um número natural para representar a diminuição de 
quantidades. 
Para indicar a subtração usaremos o sinal - (menos). 
exemplo: 
 
 
Obs.: Apesar do que possa aparecer a tabela não está 
incompleta, sua apresentação que é diferente, pois, para 
subtrair um número de outro, o minuendo tem que ser maior 
que o subtraendo nos números naturais. 
 
Considerando a e b números naturais e a > b , podemos estabelecer a seguinte equivalência: 
 a - b = c <==> c + b = a 
O sinal <==> significa equivalente a 
A subtração de números naturais só é possível quando o minuendo é maior ou igual ao subtraendo. 
exemplo: 5 - 4 = 1 
Para provar que uma subtração está correta, aplicamos a equivalência. 
exemplo: 10 - 2 = 8 <==> 8 + 2 = 10 
A subtração de números naturais não é comutativa. 
exemplo: 5 - 2 é diferente de 2 - 5 
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. 137 
A subtração de números naturais não é associativa. 
exemplo: (6 - 4) - 1 é diferente de 6 - (4 - 1) 
O zero não é elemento neutro da subtração de números naturais. 
 
Multiplicação: é a operação que determina a soma de parcelas iguais. 
Para indicar a multiplicação usaremos o sinal x ou · (vezes ou multiplicado por) 
exemplo: 
 
ou 
5 + 5 + 5 + 5 = 20 
 
Propriedades: 
O produto de dois números naturais é um número natural. 
exemplo: 2 x 7 = 14 
A multiplicação de dois números naturais é comutativa. 
exemplo: 2 x 7 = 14 = 7 x 2 
A multiplicação com números naturais é associativa. 
exemplo: (3 x 5) x 2 = 3 x (5 x 2) 
15 x 2 = 3 x 10 
 30 30 
O número 1 é o elemento neutro da multiplicação. 
exemplo: 1 x 4 = 4 = 4 x 1 
O produto de um número natural por uma soma indicada de dois ou mais números naturais é iguala 
soma dos produtos desse número natural pelas parcelas da soma indicada. 
exemplo: 2 x (4 + 6) = 2 x 4 + 2 x 6 
2 x 10 = 8 + 12 
 20 20 
 
Divisão: é a operação inversa da multiplicação e está ligadaa à ação de repartir em partes iguais. 
Para indicar a divisão usaremos o sinal : ou ÷ (dividido por) 
exemplo: 
 
 
À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente. 
 
1) A divisão exata 
Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto 
A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8 
Propriedades da divisão exata 
Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N 
O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence 
a N. Logo 3:1 é diferente de 1:3 
A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15 
A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4 
Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade. 
Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8 
(10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 138 
O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta 
propriedade de distributiva da divisão exata válida somente para direita, com relação às operações 
de adição e subtração. 
Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma 
operação o divisor tem que ser diferente de zero. 
 
2) A divisão não-exata 
Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o 
quociente e 1 é o resto. 
A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9 
 
Questões 
 
01. (SAEG - Auxiliar de Serviços Administrativos - Financeiro - VUNESP) Multiplicando-se por 20 
a diferença entre os números naturais x e y obtém-se 1 600. 
Se y é igual a 4 ⁄ 5 x , então (x + y) vale 
(A) 720. 
(B)700. 
(C)680. 
(D)650. 
(E)620. 
 
02. (SAEG -Ttécnico de Saneamento - VUNESP) Considere a, b, c três números naturais 
consecutivos cuja soma é igual a 3,2 a. Nesse caso, é correto afirmar que (a . b) vale 
(A)272. 
(B)240. 
(C)210. 
(D)182. 
(E)156. 
 
03. (Prefeitura de Canavieira/PI - Auxiliar de Serviços Gerais - IMA) São números pares, EXCETO: 
(A)123 
(B)106 
(C)782 
(D)988 
 
04. (Câmara Municipal de Itatiba/SP - Auxiliar Administrativo - VUNESP) Uma grande avenida teve 
a extensão total a ser recapeada dividida em 3 trechos iguais, A, B e C. Sabe-se que já foram recapeados 
3,3 quilômetros do total, sendo que o número de quilômetros já recapeados nos trechos A, B e C é 
diretamente proporcional aos números 6, 3 e 2, respectivamente. Se no trecho B restam 600 metros ainda 
não recapeados, então a soma das extensões t otais dos trechos A, B e C é igual, em quilômetros, a 
(A)6,0. 
(B)5,4. 
(C)5,0. 
(D)4,8. 
(E)4,5. 
 
05. (Prefeitura de São José dos Campos/SP - Assistente Técnico Municipal - VUNESP) Em um 
número de cinco algarismos, o produto do algarismo das unidades com o algarismo das dezenas de 
milhar é igual a 3, e o produto do algarismo das dezenas com o algarismo das centenas é igual a 4. Nesse 
número, o produto de todos os algarismos é zero e existem mais algarismos ímpares do que pares; logo, 
a soma de seus algarismos é igual a: 
Considere a tabela das ordens e classes dos números: 
(A)6 
(B)7 
(C)8 
(D)9 
(E)10 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 139 
06. (UFPE - Assistente em Administração - COVEST-COPSET) Em uma loja de eletrodomésticos, 
no início de determinado mês, o número de aparelhos de TV estava para o número de computadores 
assim como 4 : 5. No final do mês, depois que 160 TVs e 220 computadores foram vendidos, os números 
de TVs e computadores remanescentes na loja ficaram iguais. Quantos eram os computadores na loja, 
no início do mês? 
(A) 300 
(B)310 
(C)320 
(D)330 
(E)340 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Em um concurso existem provas de 
Português, Matemática, Informática e Conhecimentos Específicos, com pesos respectivos 2, 3, 1 e 4. Um 
candidato obteve as seguintes notas nas provas de Português, Matemática e Informática: 
Disciplina Nota 
Português 77 
Matemática 62 
Informática 72 
 
Se a nota do candidato no concurso foi 80, qual foi a sua nota na prova de Conhecimentos Específicos? 
(A) 95 
(B) 96 
(C) 97 
(D) 98 
(E) 99 
 
08. (Pref. Jucás/CE – Professor de Matemática – INSTITUTO NEO EXITUS) Efetuando (–4) . (–6) ÷ 
(–3) obtemos: 
(A) –6. 
(B) –8. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
09. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dona Maria preparou 127 docinhos iguais e quer 
colocar a mesma quantidade de docinhos em cada uma das caixas de que dispõe. Se ela colocar 12 
docinhos em cada caixa, 7 docinhos ficarão de fora, mas se ela quiser colocar 13 docinhos em cada caixa, 
faltarão 3 docinhos para completar a última caixa. Sabendo que todas as caixas de que ela dispõe serão 
utilizadas, pode-se concluir que o número de caixas é: 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A tabela a seguir mostra as corridas que 
um taxista fez em uma semana. 
Para que a média de corridas de segunda a sexta-feira, nessa semana, seja de 20 corridas, o número 
de corridas que ele fez na sexta-feira foi 
 
Semana (dias) Corridas 
segunda-feira 16 
terça-feira 18 
 
quarta-feira 15 
quinta-feira 27 
sexta-feira ? 
 
(A) 20. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 140 
(B) 21. 
(C) 22. 
(D) 23. 
(E) 24. 
 
11. Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – VUNESP) 
Os quatro elevadores de um tribunal de 30 andares, durante a subida, fazem paradas somente em 
andares predeterminados. O primeiro elevador faz a primeira parada no primeiro andar e depois para de 
quatro em quatro andares; o segundo elevador só para nos andares pares; o terceiro elevador faz a 
primeira parada no terceiro andar e depois para de três em três andares. O quarto elevador para somente 
nos andares não atendidos por nenhum dos outros três elevadores. O número de andares atendidos pelo 
quarto elevador, durante a subida, é igual a 
(A) 2. 
(B) 3. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 6. 
 
12. (EBSERH/ HUSM-UFSM/RS - Técnico em Informática – AOCP) Lucas estava fazendo sua tarefa, 
quando em uma das questões apareceu a expressão 
1
2
×
1
3
. Qual das alternativas a seguir apresenta a 
resposta que Lucas deverá obter com essa expressão? 
(A) Meia vez 
1
3
, que são 
2
3
. 
(B) Meia vez 
1
3
, que são 
1
6
. 
(C) O dobro de 
1
3
, que são 
2
3
. 
(D) Mais a sua metade, que são 
5
6
. 
(E) Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
13. (EBSERH/HUPES/UFBA – Técnico em Informática – IADES) O suco de três garrafas iguais foi 
dividido igualmente entre 5 pessoas. Cada uma recebeu 
(A) 
3
5
 do total dos sucos. 
(B) 
3
5
 do suco de uma garrafa. 
(C) 
5
3
 do total dos sucos. 
(D) 
5
3
 do suco de uma garrafa. 
(E) 
6
15
 do total dos sucos. 
 
14. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Caio é 15 cm mais alto do que Pedro. 
Pedro é 6 cm mais baixo que João. João é 7 cm mais alto do que Felipe. Qual é, em cm, a diferença entre 
as alturas de Caio e de Felipe? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 9 
(D) 14 
(E) 16 
 
15. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um fio de barbante foi cortado em pedaços iguais, 
cada um deles com 5 cm de comprimento. Se esse mesmo fio de barbante tivesse sido cortado em 
pedaços iguais, cada um deles com 3 cm de comprimento, seriam obtidos 16 pedaços a mais. O número 
de pedaçoscortados, cada um deles com 5 cm de comprimento, foi 
(A) 24. 
(B) 26. 
(C) 28. 
(D) 30. 
(E) 32. 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 141 
16. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O dono de um bar decidiu 
comprar uma TV de tela maior, para exibir os jogos da Copa do Mundo. O preço da TV escolhida seria 
inicialmente dividido em 12 parcelas mensais iguais, sem acréscimos. Na hora da compra, porém, ele 
decidiu pagar em 8 parcelas, sem alteração no preço final e, assim, o valor de cada parcela aumentou R$ 
175,00. Na compra efetuada, o valor de cada parcela foi igual a 
(A) R$ 525,00. 
(B) R$ 425,00. 
(C) R$ 420,00. 
(D) R$ 515,00. 
(E) R$ 450,00. 
 
17. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Para uma 
reunião, foram preparados 60 relatórios e colocados em duas pastas, ambas podendo comportar um 
mesmo número máximo de relatórios. Sabendo-se que a primeira pasta ficou com o número máximo de 
relatórios que poderia comportar e que a segunda pasta ficou com 2 / 3 desse número máximo, então o 
número de relatórios colocados na primeira pasta foi 
(A) 42. 
(B) 40. 
(C) 38. 
(D) 36. 
(E) 34. 
 
18. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Bia tem 10 anos a mais que Luana, 
que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
19. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Na tabela abaixo, a sequência de 
números da coluna A é inversamente proporcional à sequência de números da coluna B. 
 
A letra X representa o número 
(A) 90. 
(B) 80. 
(C) 96. 
(D) 84. 
(E) 72. 
 
20. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) A diferença entre a idade de Diogo e Paulo é 8 anos. Sabendo-se que a idade de um 
está para 6, assim como a do outro está para 8, então a soma de suas idades é igual a 
(A) 56. 
(B) 58. 
(C) 60. 
(D) 62. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Pelo enunciado temos que: 
 
20.(x-y)=1600(eq.1) 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 142 
 y=4x/5 (eq.2) 
Substituindo Y na equação 1: 
20.(x-4x/5) = 1600 
20. x/5 = 1600 
x=400 
 Portanto: 
y=4.400/5 y=320 
Como pretende saber a soma: 
X+Y=720 
 
02. Resposta: B 
 Como trata-se de números consecutivos tem-se: 
 
x + (x + 1) + (x + 2) = 3,2x 
3x + 3 = 3,2x 
3 = 3,2x - 3x 
3 = 0,2x 
x = 15 
 Portanto: 
x = 15 
x + 1 = 16 
x + 2 = 17 
A multiplicação a.b: 
a.b = 15.16 = 240 
 
03. Resposta: A 
Sabemos que: 
Todo número par é terminado em um dos seguintes (0, 2, 4, 6, 8). 
Todo número ímpar é terminado em um dos seguintes (1, 3, 5, 7, 9). 
Portanto: 
O número que NÃO é PAR acima é 123 
 
04. Resposta: E 
Pelo enunciado temos que: 
Somando as 3 proporções já recapeadas: 6 + 3 + 2 = 11 
Para saber o quanto o trecho B já foi recapeado: 
( 3300 / 11 ) x 3 = 900 m 
Total do trecho B (parte recapeada + não recapeada) = 900m + 600m = 1500m 
 Como todos os trechos são iguais, então = 1500 x 3 = 4500m = 4,5 km 
 
05. Resposta: D 
De acordo com os dados temos que pela ordem: 
 
Produto da unidade com dezenas de milhar = 3 x 1 = 3 
 
Produto das dezenas com centenas = 4 x 1 = 4 
 
Produto de todos os algarismos = 1 x 0 x 1 x 4 x 3 = 0 
 
Existem mais algarismos ímpares do que par ou seja: três impares e dois pares. 
 Portanto: 
 
Soma de todos os algarismos: 
 
1 + 0 + 1 + 4 + 3 = 9 
 
06. Resposta: A 
 Para facilitar os cálculos vamos colocar as seguintes incógnitas: 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 143 
X=TVs Y=Computadores 
Onde: 
x/y=4/5......5x=4y......x=4y/5 
substituindo x: 
x-160=Y-220 
4y/5-160=y-220 
4y/5-y=160-220 
4y-5y/5=-60 
y=300 
 
07. Resposta: C 
De acordo com a tabela e os respectivos pesos temos que: 
 
2.77+3.62+1.72+4.𝑥
2+3+1+4
= 80 
 
412 + 4.𝑥
10
= 80 
 
4x + 412 = 80 . 10 
 
4x = 800 – 412 
 
x = 388 / 4 
 
x = 97 
08. Resposta: B 
(–4) . (–6) ÷ (–3) = 24 ÷ (–3) = –8 
 
09. Resposta: E 
12.x + 7 = 13.x – 3 
12x – 13x = – 3 – 7 
– x = – 10 .( – 1) multiplica-se por (-1) 
x = 10 caixas 
 
10 Resposta: E 
 Através dos dados da tabela temos que: 
 
16+18+15+27+𝑥
5
= 20 
76 + 𝑥
5
= 20 76 + x = 20 . 5 
 
x = 100 – 76 x = 24 
 
11. Resposta: C 
 
* 1º elevador (de 4 em 4 andares): 1º andar; 5º andar; 9º andar; 13º andar; 17º andar; 21º andar; 25º 
andar; 29º andar. 
 
* 2º elevador (andares pares): 2º andar; 4º andar; 6º andar; 8º andar; 10º andar; 12º andar; 14º andar; 
16º andar; 18º andar; 20º andar; 22º andar; 24º andar; 26º andar; 28º andar; 30º andar. 
 
* 3º elevador (de 3 em 3 andares): 3º andar; 6º andar; 9º andar; 12º andar; 15º andar; 18º andar; 21º 
andar; 24º andar; 27º andar; 30º andar. 
 
* 4º elevador (andares não atendidos): 7º andar; 11º andar; 19º andar; 23º andar. 
 
12. Resposta: B 
 
1
2
×
1
3
=
1.1
2.3
=
1
6
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 144 
13. Resposta: B 
3: 5 =
3
5
 
 
14. Resposta: E 
Caio = Pedro + 15cm 
Pedro = João – 6cm 
João = Felipe + 7cm , ou seja: Felipe = João – 7 
Caio – Felipe = ? 
Pedro + 15 – (João – 7) = 
= João – 6 + 15 – João + 7 = 
= 16 
15. Resposta: A 
5.x = 3.(x + 16) 5x = 3x + 48 5x – 3x = 48 2x = 48 
x = 48/2 x = 24 pedaços 
 
16. Resposta: A 
12 . x = 8 . (x + 175) 
12x = 8x + 8 . 175 
12x – 8x = 1400 
4x = 1400 
x = 1400 / 4 
x = 350 
Na compra efetuada, a parcela foi de 350 + 175 = R$ 525,00 
 
17. Resposta: D 
𝑥 + 
2
3
. 𝑥 = 60 
 
3𝑥+2𝑥=3.60
3
 
 
5.x = 180 
x = 180 / 5 
x = 36 relatórios 
 
18. Resposta: A 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 
 
19. Resposta: B 
 
 
𝟏𝟔
𝟏
𝟔𝟎
=
𝟏𝟐
𝟏
𝑿
 
 
 16 ∙ 60 = 12 ∙ 𝑋 
X=80 
 
20. Resposta: B 
 Chamando a idade de Diogo de ( D ) e a de Paulo de ( P ), temos: 
 
D – P = 8 , ou seja, D = P + 8 ( I ) 
𝑃
𝐷
= 
6
8
 , ou seja, 8.P = 6.D ( II ) 
 
Substituindo a equação ( I ) na equação ( II ), temos: 
 
8.P = 6 . (P + 8) 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 145 
8.P = 6.P + 48 
8.P – 6.P = 48 
2.P = 48 
P = 48 / 2 
P = 24 anos (Paulo) 
 
Assim: ( I ) D = 24 + 8 = 32 anos (Diogo) 
Por fim, a soma das duas idades é: 24 + 32 = 56 anos. 
 
RAZÃO 
 
É o quociente entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). 
Sendo a e b dois números a sua razão, chama-se razão8 de a para b: 
 
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
Onde: 
 
Exemplos: 
1 - Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A razão 
entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
=
150
3600
=
1
24
 
 
Lemos a fração como: Um vinte e quatro avós. 
 
2 - Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: 
− Alana resolveu 11 testes e acertou 5 
− Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 
− Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 
− Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 
− Edson resolveu 21 testes e acertou 9 
O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: 
 𝐴𝑙𝑎𝑛𝑎:
5
11
= 0,45 
 
 𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧:
6
14
= 0,42 
 
 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛𝑒:
7
15
= 0,46 
 
 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙:
8
17
= 0,47 
 
 𝐸𝑑𝑠𝑜𝑛:
9
21
= 0,42 
 
Daniel teveo melhor desempenho. 
 
- Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma 
unidade. 
 
 
 
8
IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 146 
Razões Especiais 
 
Escala → Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então 
utilizamos a escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). 
𝐸 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Velocidade média → É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades 
utilizadas são km/h, m/s, entre outras. 
𝑉 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Densidade → É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, 
kg/m³, entre outras. 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
 
 
PROPORÇÃO 
 
É uma igualdade entre duas razões. 
 
Dada as razões 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 , à setença de igualdade 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 chama-se proporção9. 
Onde: 
 
Exemplo: 
1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a 
distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: 
 
Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 ... 
Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 ... 
 
Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 
 
2
1
= 2 ; 
4
2
= 2 ; 
6
3
= 2 ; 
8
4
= 2 
Então: 
 
2
1
=
4
2
= 
6
3
=
8
4
 
 
Dizemos que os números da sucessão (2,4,6, 8, ...) são diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (1,2,3,3, 4, ...). 
 
Propriedades da Proporção 
 
1 - Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a. d = b. c 
 
Exemplo: 
 
9
IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 147 
Na proporção 
45
30
=
9
6
 ,(lê-se: “45 está para 30, assim como 9 está para 6.), aplicando a propriedade 
fundamental, temos: 45.6 = 30.9 = 270 
 
2 - A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a 
soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 3
2
=
6 + 9
6
→
5
2
=
15
6
= 30 𝑜𝑢 
2 + 3
3
=
6 + 9
9
→
5
3
=
15
9
= 45 
 
3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim 
como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 − 3
2
=
6 − 9
6
→
−1
2
=
−3
6
= −6 𝑜𝑢 
2 − 3
3
=
6 − 9
9
→
−1
3
=
−3
9
= −9 
 
4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está 
para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 6
3 + 9
=
2
3
 →
8
12
=
2
3
= 24 𝑜𝑢 
2 + 6
3 + 9
=
6
9
 →
8
12
=
6
9
= 72 
 
5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada 
antecedente está para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo: 
6
9
=
2
3
 → 
6 − 2
9 − 3
=
6
9
 →
4
6
=
6
9
= 36 𝑜𝑢 
6 − 2
9 − 3
=
2
3
 →
4
6
=
2
3
= 12 
 
Problemas envolvendo razão e proporção 
1 - Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e 
o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, 
foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, 
o número de usuários atendidos foi: 
A) 84 
B) 100 
C) 217 
D) 280 
E) 350 
 
Resolução: 
Usuários internos: I 
Usuários externos: E 
Sabemos que neste dia foram atendidos 140 externos → E = 140 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 148 
𝐼
𝐼+𝐸
=
3
5
=
𝐼
𝐼+140
 , usando o produto dos meios pelos extremos temos 
 
5I = 3(I + 140) → 5I = 3I + 420 → 5I – 3I = 420 → 2I = 420 → I = 420 / 2 → I = 210 
I + E = 210 + 140 = 350 
Resposta “E” 
 
2 – Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de 
candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: 
A) 2/3 
B) 3/5 
C) 5/10 
D) 2/7 
E) 6/7 
 
Resolução: 
 
 
Resposta “B” 
 
3 - Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, 
sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos 
chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos 
que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa 
ordem, foi de: 
A) 2:3 
B) 1:3 
C) 1:6 
D) 3:4 
E) 2:5 
 
Resolução: 
Se 2/5 chegaram atrasados 
1 −
2
5
=
3
5
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
2
5
∙
1
4
=
1
10
 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30min𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜
=
1
10
3
5
 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
1
10
∙
5
3
=
1
6
 𝑜𝑢 1: 6 
 
Resposta “C” 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) André, 
Bruno, Carlos e Diego são irmãos e suas idades formam, na ordem apresentada, uma proporção. 
Considere que André tem 3 anos, Diego tem 18 anos e Bruno é 3 anos mais novo que Carlos. Assim, a 
soma das idades, destes quatro irmãos, é igual a 
(A) 30 
(B) 32; 
(C) 34; 
(D) 36. 
 
02. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP) Alfredo irá doar seus livros para três bibliotecas da 
universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos livros, para a 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 149 
biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O número de 
livros doados para a biblioteca de física será 
(A) 16. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E)18. 
 
03. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Foram construídos dois reservatórios de água. A 
razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 
14m³. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é 
igual a 
(A) 8000. 
(B) 6000. 
(C) 4000. 
(D) 6500. 
(E) 9000. 
 
04. (EBSERH/HUPAA-UFAL - Técnico em Informática – IDECAN) Entre as denominadas razões 
especiais encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo 
que a distância entre Rio de Janeiroe São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma 
excursão, tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus 
durante este trajeto, aproximadamente, em km/h? 
(A) 71 km/h 
(B) 76 km/h 
(C) 78 km/h 
(D) 81 km/h 
(E) 86 km/h. 
 
05. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA) Em uma ação policial, foram apreendidos 1 
traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que 
o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras 
ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg 
da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, 
para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou 
(A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. 
(B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. 
(C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. 
(D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. 
(E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma gráfica produz blocos de papel em dois 
tamanhos diferentes: médios ou pequenos e, para transportá-los utiliza caixas que comportam 
exatamente 80 blocos médios. Sabendo que 2 blocos médios ocupam exatamente o mesmo espaço que 
5 blocos pequenos, então, se em uma caixa dessas forem colocados 50 blocos médios, o número de 
blocos pequenos que poderão ser colocados no espaço disponível na caixa será: 
(A) 60. 
(B) 70. 
(C) 75. 
(D) 80. 
(E) 85. 
 
07. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de Educação Básica – GR Consultoria e Assessoria) Eu tenho 
duas réguas, uma que ao quebrar ficou com 24 cm de comprimento e a outra tem 30 cm, portanto, a 
régua menor é quantos por cento da régua maior? 
(A) 90% 
(B) 75% 
(C) 80% 
(D) 85% 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 150 
08. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Uma cidade A, com 120 km de vias, 
apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias 
congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, 
é 
(A) 119 km. 
(B) 121 km. 
(C) 123 km. 
(D) 125 km. 
(E) 127 km. 
 
09. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Maria tinha 450 ml de tinta 
vermelha e 750 ml de tinta branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca 
com os 450 ml de tinta vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta 
branca. 
Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? 
(A) 75 
(B) 125 
(C) 175 
(D) 375 
(E) 675 
 
10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) A medida do comprimento de 
um salão retangular está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, 
foram colocados somente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileira de 
ladrilhos, no sentido do comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos 
necessários para revestir totalmente esse piso foi igual a 
(A) 588. 
(B) 350. 
(C) 454. 
(D) 476. 
(E) 382. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Pelo enunciado temos que: 
A = 3 
B = C – 3 
C 
D = 18 
Como eles são proporcionais podemos dizer que: 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
→
3
𝐶 − 3
=
𝐶
18
→ 𝐶2 − 3𝐶 = 3.18 → 𝐶2 − 3𝐶 − 54 = 0 
 
Vamos resolver a equação do 2º grau: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→
−(−3) ± √(−3)2 − 4.1. (−54)
2.1
→
3 ± √225
2
→
3 ± 15
2
 
 
𝑥1 =
3 + 15
2
=
18
2
= 9 ∴ 𝑥2 =
3 − 15
2
=
−12
2
= −6 
 
Como não existe idade negativa, então vamos considerar somente o 9. Logo C = 9 
B = C – 3 = 9 – 3 = 6 
Somando teremos: 3 + 6 + 9 + 18 = 36 
 
02. Resposta: E. 
X = total de livros 
Matemática = ¾ x, restou ¼ de x 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 151 
Física = 1/3.1/4 = 1/12 
Química = 36 livros 
 
Logo o número de livros é: 3/4x + 1/12x + 36 = x 
Fazendo o m.m.c. dos denominadores (4,12) = 12 
Logo: 
9𝑥 + 1𝑥 + 432 = 12𝑥
12
→ 10𝑥 + 432 = 12𝑥 → 12𝑥 − 10𝑥 = 432 → 2𝑥 = 432 → 𝑥 =
432
2
→ 𝑥 = 216 
 
Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 
1
12
. 216 =
216
12
= 18 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro: 2k 
Segundo: 5k 
2k + 5k = 14 → 7k = 14 → k = 2 
Primeiro: 2.2 = 4 
Segundo: 5.2=10 
Diferença: 10 – 4 = 6 m³ 
1m³------1000L 
6--------x 
x = 6000 l 
 
04. Resposta: C. 
5h30 = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 
430
5,5
= 78,18 𝑘𝑚/ℎ 
 
05. Resposta: C. 
 O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras 
ervas. Podemos escrever em forma de razão 
2
5
, logo: 
2
5
. 150 = 60𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑛𝑛𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 150 − 60 = 90𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠 
 
06. Resposta: C. 
Chamemos de (m) a quantidade de blocos médios e de (p) a quantidade de blocos pequenos. 
𝑚
𝑝
= 
2
5
 , ou seja, 2p = 5m 
 
- 80 blocos médios correspondem a: 
2p = 5.80 → p = 400 / 2 → p = 200 blocos pequenos 
- Já há 50 blocos médios: 80 – 50 = 30 blocos médios (ainda cabem). 
2p = 5.30 → p = 150 / 2 → p = 75 blocos pequenos 
 
07. Resposta: C. 
Como é a razão do menor pelo maior temos: 24/30 = 0,80. 100% = 80% 
 
08. Resposta: A. 
51
120
= 
𝑥
280
 
 
120.x = 51. 280 → x = 14280 / 120 → x = 119 km 
 
09. Resposta: A. 
2
3
= 
450
𝑥
 
 
2x = 450. 3 → x = 1350 / 2 → x = 675 ml de tinta branca 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 152 
Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 
 
10. Resposta: A. 
𝐶
𝐿
= 
4
3
 , que fica 4L = 3C 
 
Fazendo C = 28 e substituindo na proporção, temos: 
28
𝐿
= 
4
3
 
 
4L = 28. 3 → L = 84 / 4 → L = 21 ladrilhos 
Assim, o total de ladrilhos foi de 28. 21 = 588 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples10. 
Vejamos a tabela abaixo: 
 
 
 
Exemplos: 
1) Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 
210 km? 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem em uma mesma linha: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: 
 
10
MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 153 
 
 
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas 
distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, 
indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna 
“litros de álcool”: 
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 
 
180
210
=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
 
 
1806
2107
=
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 
6𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 
 
2)Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. 
Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? 
 
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as 
grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é 
indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna 
“tempo”: 
 
 
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505
→ 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 154 
Como 0,375 corresponde 22 minutos (0,375 x 60 minutos), então o percurso será feito em 4 horas e 
22 minutos aproximadamente. 
 
3) Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 
km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no 
percurso? 
 
Vamos representar pela letra x o tempo procurado. 
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (20 s e x s). 
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. 
 
 
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; 
logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente 
proporcionais aos números 20 e x. 
Daí temos: 
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
→ 𝑥 = 12 
 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para 
realizar o percurso. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. 
 
De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de 
abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, 
de 
(A) 70%. 
(B) 65%. 
(C) 60%. 
(D) 55%. 
(E) 50%. 
 
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto 
sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total 
desse título era de 
(A) R$ 345,00. 
(B) R$ 346,50. 
(C) R$ 350,00. 
(D) R$ 358,50. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 155 
(E) R$ 360,00. 
 
03. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(vinte 
e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo, por 
quanto Manoel adquiriu o carro em questão? 
(A) R$24.300,00 
(B) R$29.700,00 
(C) R$30.000,00 
(D)R$33.000,00 
(E) R$36.000,00 
 
04. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala 
era 1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 centímetros. Isso 
significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: 
(A) 180 quilômetros. 
(B) 1.800 metros. 
(C) 18 quilômetros. 
(D) 180 metros. 
 
05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre 
do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. 
O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. 
 
Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, 
aproximadamente, 
(A) 29% 
(B) 36% 
(C) 40% 
(D) 56% 
(E) 80% 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas 
e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa 
para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá 
que vender cada bala restante na caixa por: 
(A) R$ 0,50. 
(B) R$ 0,55. 
(C) R$ 0,60. 
(D) R$ 0,65. 
(E) R$ 0,70. 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, 
em metros cúbicos por segundo (m3/s): 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 156 
De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande 
retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: 
(A) 5,4. 
(B) 5,8. 
(C) 6,3. 
(D) 6,6. 
(E) 6,9. 
 
08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Certo material para laboratório foi adquirido 
com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi 
R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 
(A) R$ 1.285,00. 
(B) R$ 1.300,00. 
(C) R$ 1.315,00. 
(D) R$ 1.387,00. 
(E) R$ 1.400,00. 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal 
(IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. 
Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, 
correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi 
(A) 2500. 
(B) 1600. 
(C) 2200. 
(D) 3200. 
(E) 1800. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 
75 anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de 
vida que ele já viveu é 
(A) 
4
7
 
 
(B) 
5
6
 
 
(C) 
4
5
 
 
(D) 
3
4
 
 
(E) 
2
3
 
 
11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Foram digitados 10 livros de 200 páginas 
cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade 
total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é 
(A) 100. 
(B) 1000. 
(C) 10000. 
(D) 100000. 
(E) 1000000. 
 
12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) Leia o fragmento a seguir 
 
A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo 
a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. 
Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em 
milhões de toneladas, em: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 157 
(A) 1,46 
(B) 1,37 
(C) 1,32 
(D) 1,22 
 
13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Numa transportadora, 15 caminhões de 
mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, 
em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? 
(A) 3 h 12 min 
(B) 5 h 
(C) 5 h 30 min 
(D) 6 h 
(E) 6 h 15 min 
 
14. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma receita para fazer 35 bolachas 
utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar 
necessária para fazer 224 bolachas é 
(A) 14,4 quilogramas. 
(B) 1,8 quilogramas. 
(C) 1,44 quilogramas. 
(D)1,88 quilogramas. 
(E) 0,9 quilogramas. 
 
15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de 
acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir corretamente 
as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta 
látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 
(A) 6,8L. 
(B) 6,6L. 
(C) 10,8L. 
(D) 7,8L. 
(E) 7,2L. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 ano % 
 11442 ------- 100 
 17136 ------- x 
 
11442.x = 17136. 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 
149,8% – 100% = 49,8% 
Aproximando o valor, teremos 50% 
 
02. Resposta: C. 
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
 315 ------- 90 
 x ------- 100 
 
90.x = 315. 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 
 
03. Resposta: C. 
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total. 
Valor % 
27000 ------ 90 
 X ------- 100 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 158 
27000
𝑥
 = 
909
10010
 → 
27000
𝑥
 = 
9
10
 → 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000. 
 
04. Resposta: C. 
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho 
real. Assim, faremos uma regra de três simples: 
mapa real 
 1 --------- 150000 
 12 --------- x 
1.x = 12. 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 
 
05. Resposta: A. 
Faremos uma regra de três simples: 
cobre % 
280 --------- 100 
80 ---------- x 
280.x = 80. 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 
 
06. Resposta: A. 
Vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
 1 ----------- 0,45 
 90 ---------- x 
1.x = 0,45. 90 
x = R$ 40,50 (total) 
* 90 – 9 = 81 balas 
Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
81 ----------- 40,50 
1 ------------ y 
81.y = 1 . 40,50 
y = 40,50 / 81 
y = R$ 0,50 (cada bala) 
 
07. Resposta: D. 
Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: 
m3 seg 
33 ------- 1 
5 ------- x 
5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 
 
08. Resposta: B. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
1170 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 
 
09. Resposta: E. 
O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
Restante: 
 atendimentos % 
 588 ------------ 14 
 x ------------ 100 
14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) 
Total: 
atendimentos % 
 4200 ------------ 70 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 159 
 x ------------ 30 
70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 
 
10. Resposta: C. 
Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: 
 idade fração 
 75 ------------ 1 
 60 ------------ x 
75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 
 
11. Resposta: D. 
Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 
Assim, utilizaremos uma regra de três simples: 
 livros capacidade 
 10 ------------ 0,0001 
 x ------------ 1 
0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 
 
12. Resposta: C. 
Toneladas % 
13,32 ----------- 111 
 x ------------- 11 
111 . x = 13,32 . 11 
x = 146,52 / 111 
x = 1,32 
 
13. Resposta: B. 
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais 
horas demorará para transportar a carga: 
caminhões horas 
 15 ---------------- 4 
 (15 – 3) ------------- x 
12.x = 4 . 15 → x = 60 / 12 → x = 5 h 
 
14. Resposta: C. 
Bolachas açúcar 
 35----------------225 
 224----------------x 
 𝑥 =
224.225
35
= 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
15. Resposta: E. 
18L----200m² 
x-------120 
x=10,8L 
Ou seja, pra 120m² (duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 
18-10,8=7,2L 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou 
inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta11. 
 
Exemplos: 
1) Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras 
produziriam 300 dessas peças? 
 
11
MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 160 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna 
e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que 
aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado 
colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: 
 
 
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, 
o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
(máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: 
 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é 
x
4
, com o produto das 
outras razões, obtidas segundo a orientação das flechas 






300
160
.
8
6
: 
 
Simplificando as proporções obtemos: 
 
4
𝑥
=
2
5
→ 2𝑥 = 4.5 → 𝑥 =
4.5
2
→ 𝑥 = 10 
 
Resposta: Em 10 dias. 
 
2) Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 
meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser 
contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de 
pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
“tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 161 
As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será 
indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
 
 
Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. 
Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. 
 
Questões 
 
01. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O trabalho de varrição de 6.000 m² 
de calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as 
mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o 
tempo de 
(A) 8 horas e 15 minutos. 
(B) 9 horas. 
(C) 7 horas e 45 minutos. 
(D) 7 horas e 30 minutos. 
(E) 5 horas e 30 minutos. 
 
02. (Pref. Corbélia/PR – Contador – FAUEL) Uma equipe constituída por 20 operários, trabalhando 
8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa equipe fosse 
constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante80 dias, faria o calçamento de uma 
área igual a: 
(A) 4500 m² 
(B) 5000 m² 
(C) 5200 m² 
(D) 6000 m² 
(E) 6200 m² 
 
03. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 
horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi 
afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes 
levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo 
ritmo de trabalho, será: 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
04. (TRF 3ª – Técnico Judiciário – FCC) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 cópias em 
1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma capacidade 
que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de 
(A) 15 minutos. 
(B) 3 minutos e 45 segundos. 
(C) 7 minutos e 30 segundos. 
(D) 4 minutos e 50 segundos. 
(E) 7 minutos. 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 162 
05. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – FCC) Para inaugurar no prazo a 
estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 128 operários, de mesma 
capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas por dia, terminariam a 
obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito autorizou a contratação de 
mais operários, e que todos os operários (já contratados e novas contratações) trabalhassem 8 horas por 
dia. O número de operários contratados, além dos 128 que já estavam trabalhando, para que a obra seja 
concluída em 24 dias, foi igual a 
(A) 40. 
(B) 16. 
(C) 80. 
(D) 20. 
(E) 32. 
 
06. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 assistentes 
trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas do mesmo 
modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefa em quantos dias? 
(A) 14 
(B) 16 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 24 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) No Brasil, uma família de 4 pessoas 
produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 
5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? 
(A) 10 
(B) 16 
(C) 20 
(D) 32 
(E) 40 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Na safra passada, um fazendeiro usou 15 
trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os 
trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de 
cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho 
ficará concluído? 
Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. 
(A) 10 dias 
(B) 11 dias 
(C) 12 dias 
(D) 13 dias 
(E) 14 dias 
 
09. (BNB – Analista Bancário – FGV) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis 
clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência 
e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 
45 clientes é de: 
(A) 45 minutos; 
(B) 30 minutos; 
(C) 20 minutos; 
(D) 15 minutos; 
(E) 10 minutos. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Comparando- se cada grandeza com aquela onde está o x. 
m² varredores horas 
6000--------------18-------------- 5 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 163 
7500--------------15--------------- x 
Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais) 
Quanto menos trabalhadores, mais horas (inversamente proporcionais) 
5
𝑥
=
6000
7500
∙
15
18
 
 
6000 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 7500 ∙ 18 
90000𝑥 = 675000 
𝑥 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 
 
02. Resposta: D. 
Operários horas dias área 
 20-----------------8-------------60-------4800 
 15----------------10------------80-------- x 
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: 
 
 
4800
𝑥
=
20
15
∙
8
10
∙
60
80
 
 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ 𝑥 = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 
 9600𝑥 = 57600000 
 𝑥 = 6000𝑚² 
 
03. Resposta: B. 
Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamento esse número passou para 8. Se eles 
trabalham 8 horas por dia, passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta 
condições temos: 
Funcionários horas dias 
 10---------------8--------------27 
 8----------------9-------------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Funcionários horas dias 
 8---------------9-------------- 27 
 10----------------8----------------x 
 
 
27
𝑥
=
8
10
∙
9
8
 → x.8.9 = 27.10.8 → 72x = 2160 → x = 30 dias. 
 
04. Resposta: C. 
Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos 
 Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha 
mesma posição) 
 Máquina cópias tempo 
 1----------------80-----------75 segundos 
 7--------------3360-----------x 
Devemos deixar as 3 grandezas da mesma forma, invertendo os valores de” máquina”. 
 Máquina cópias tempo 
 7----------------80----------75 segundos 
 1--------------3360--------- x 
 
 
75
𝑥
=
7
1
∙
80
3360
 → x.7.80 = 75.1.3360 → 560x = 252000 → x = 450 segundos 
 
Transformando 
1minuto-----60segundos 
 x-------------450 
x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 
 
05. Resposta: A. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 164 
Vamos utilizar a Regra de Três Composta: 
Operários  horas dias 
 128 ----------- 6 -------------- 42 
 x ------------- 8 -------------- 24 
Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) 
Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente) 
 Operários  horas dias 
 x -------------- 6 -------------- 42 
 128 ------------ 8 -------------- 24 
 
𝑥
128
=
6
8
∙
42
24
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
42
4
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
21
2
 
 
16𝑥 = 128 ∙ 21 
𝑥 = 8 ∙ 21 = 168 
168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 
 
06. Resposta: E. 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 
 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 
Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). 
Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 10 -------------- 10 ------------ 8 
 2000 -------------- 16 -------------- x -------------- 6 
 
10
𝑥
=
1000
2000
 ∙ 
10
16
 .
8
6
 
 
10
𝑥
=
80000
192000
 
 
80. 𝑥 = 192.10 
 
𝑥 = 
1920
80
 
 
 𝑥 = 24 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Pessoas Kg dias 
 4 ------------ 13 ------------ 5 
 5 ------------ 65 ------------ x 
Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas 
inversamente proporcionais). 
Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 
 
5
𝑥
= 
5
4
 .13
65
 
 
5
𝑥
= 
65
260
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 165 
65.x = 5 . 260 
x = 1300 / 65 
x = 20 dias 
 
08. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Trabalhadores Hectares h / dia dias 
 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 
 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x 
Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente 
proporcionais). 
Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). 
Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas 
inversamente proporcionais). 
6
𝑥
= 
20
15
 .
210
480
 .
6
7
 
 
6
𝑥
= 
25200
50400
 
 
25200.x = 6. 50400 → x = 302400 / 25200 → x = 12 dias 
 
09. Resposta: B. 
 caixas clientes minutos 
 2 ----------------- 6 ----------- 10 
 5 ----------------- 45 ----------- x 
Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). 
Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). 
 caixas clientes minutos 
 5 ----------------- 6 ----------- 10 
 2 ----------------- 45 ----------- x 
 
 
10
𝑥
=
5
2
∙
6
45
 
10
𝑥
=
30
90
 
 
 30. 𝑥 = 90.10 𝑥 = 
900
30
 
 
 𝑥 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
PORCENTAGEM 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem12. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um 
"todo" se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
1) A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 
12
IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 166 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
,= 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
,= 12,5% 
 
Com isso podemos concluir, Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. 
 
2) Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes 
na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
Lucro e Prejuízo 
 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
1) Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 167 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre 
o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
Aumento e Desconto Percentuais 
 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
 1 - Aumentar um valor V de 20% , equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
2 - Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo 
é aumentada de: 
(A)35% 
(B)30% 
(C)3,5% 
(D)3,8% 
(E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Resposta E 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
1) Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 168 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
2) Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era 
o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
 
Aumentos e Descontos Sucessivos 
 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
3) Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um 
desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
Utilizando VA = (1 +𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 169 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
comprou um produto e pagou R$ 108,00, já inclusos 20% de juros. Se tivesse comprado o produto, com 
25% de desconto, então, Marcos pagaria o valor de: 
(A) R$ 67,50 
(B) R$ 90,00 
(C) R$ 75,00 
(D) R$ 72,50 
 
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – VUNESP) 
O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários, sendo que 15% deles são 
estagiários. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários, sendo 20% estagiários. Em 
relação ao total de funcionários desses dois departamentos, a fração de estagiários é igual a 
(A) 1/5. 
(B) 1/6. 
(C) 2/5. 
(D) 2/9. 
(E) 3/5. 
 
03. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Quando 
calculamos 15% de 1.130, obtemos, como resultado 
(A) 150 
(B) 159,50; 
(C) 165,60; 
(D) 169,50. 
 
04. (ALMG – Analista de Sistemas – FUMARC) O Relatório Setorial do Banco do Brasil publicado 
em 02/07/2013 informou: 
[...] Após queda de 2,0% no mês anterior, segundo o Cepea/Esalq, as cotações do açúcar fecharam o 
último mês com alta de 1,2%, atingindo R$ 45,03 / saca de 50 kg no dia 28. De acordo com especialistas, 
o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade, além da firmeza nas negociações por parte 
dos vendedores. Durante o mês de junho, o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar, com a 
cotação do hidratado chegando a R$ 1,1631/litro (sem impostos), registrando alta de 6,5%. A demanda 
aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam 
cenário mais positivo para o combustível. 
Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 - publicado em 02/07/2013. 
 
Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil, é CORRETO afirmar que 
o valor, em reais, da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a 
(A) 42,72 
(B) 43,86 
(C) 44,48 
(D) 54,03 
 
05. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
 
06. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Um vendedor recebe comissões mensais da 
seguinte maneira: 5% nos primeiros 10.000 reais vendidos no mês, 6% nos próximos 10.000,00 vendidos, 
e 7% no valor das vendas que excederem 20.000 reais. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 
36.000,00, quanto será a comissão do vendedor? 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 170 
(A) R$ 2.120,00 
(B) R$ 2.140,00 
(C) R$ 2.160,00 
(D) R$ 2.180,00 
(E) R$ 2.220,00 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
08. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
09. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
10. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem que lhe sobrou do 
valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A. 
Como o produto já está acrescido de 20% juros sobre o seu preço original, temos que: 
100% + 20% = 120% 
Precisamos encontrar o preço original (100%) da mercadoria para podermos aplicarmos o desconto. 
Utilizaremos uma regra de 3 simples para encontrarmos: 
R$ % 
108 ---- 120 
 X ----- 100 
120x = 108.100 → 120x = 10800 → x = 10800/120 → x = 90,00 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 171 
O produto sem o juros, preço original, vale R$ 90,00 e representa 100%. Logo se receber um desconto 
de 25%, significa ele pagará 75% (100 – 25 = 75%) → 90. 0,75 = 67,50 
Então Marcos pagou R$ 67,50. 
 
02. Resposta: B. 
* Dep. Contabilidade: 
15
100
. 20 =
30
10
= 3 → 3 (estagiários) 
 
* Dep. R.H.: 
20
100
. 10 =
200
100
= 2 → 2 (estagiários) 
 
∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
=
5
30
=
1
6
 
 
03. Resposta: D. 
15% de 1130 = 1130.0,15 ou 1130.15/100 → 169,50 
 
04. Resposta: C. 
1,2% de 45,03 = 
1,2
100
 . 45,03 = 0,54 
Como no mês anterior houve queda, vamos fazer uma subtração. 
45,03 – 0,54 = 44,49 
 
05. Resposta: B. 
 Cartão de crédito: 10/100. (750 + 380) = 1/10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 8/100. (750 + 380) = 8/100 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
06. Resposta: E. 
5% de 10000 = 5 / 100. 10000 = 500 
6% de 10000 = 6 / 100. 10000 = 600 
7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100. 16000 = 1120 
Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220,00 
 
07. Resposta: E. 
 Preço de revenda: 1500 + 40 / 100. 1500 = 1500 + 600 = 2100 
 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100. 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
08. Resposta: A. 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
09. Resposta: A. 
2,40 . 12 = 28,80 
Segunda embalagem: 28,80. 0,75 = 21,60 
As duas embalagens: 28,80 + 21,60 = 50,40 
Revenda: 3,5. 24 = 84,00 
Lucro: R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
O lucro de Alexandre foi de R$ 33,60 
 
10. Resposta: B. 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 172 
85% - 17% = 68%. 
 
MATRIZES 
 
Em jornais, revistas e na internet vemos frequentemente informações numéricas organizadas em 
tabelas, colunas e linhas. Exemplos: 
 
 
 
Em matemática essas tabelas são exemplos de matrizes13. O crescente uso dos computadores tem 
feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas comoEconomia, Engenharia, 
Matemática, Física, dentre outras. 
 
Definição 
Seja m e n números naturais não nulos. Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela de m.n números reais 
dispostos em m linhas e n colunas. 
Exemplo: 
 
 
Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo: aij, no qual o índice i refere-se à 
linha, o índice j refere-se à coluna em que se encontram tais elementos. As linhas são enumeradas de 
cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita. 
 
 
 
Exemplo 
 
13
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacoes-envolvendo-matrizes.html 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 173 
 
 
Representamos uma matriz colocando seus elementos (números) entre parêntese ou colchetes ou 
também (menos utilizado) duas barras verticais à esquerda e direita. 
 
Exemplos 
𝐴 = (5 −1
1
2
) é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 1 𝑥 3 
 
𝐵 = [
7 −2
3 4
] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 2 
 
𝐶 = ‖
√5 1/3 1
7 2 −5
−4 1/5 2
‖ é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 3 𝑥 3 
 
𝐷 = [
−1 5 8
−1 2 −3
] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 3 
 
Exemplo 
Escrever a matriz A = (aij)2 x 3, em que aij = i – j 
A matriz é do tipo 2 x 3 (duas linhas e três colunas), podemos representa-la por: 
 
 
Matrizes Especiais 
Algumas matrizes recebem nomes especiais. Vejamos: 
 
- Matriz Linha: é uma matriz formada por uma única linha. 
 
Exemplo 
𝐴 = [1 7 −5] ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 1𝑥3 
 
- Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna. 
 
Exemplo 
𝐵 = [
1
−5
7
] ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 3𝑥1 
 
- Matriz nula: é matriz que possui todos os elementos iguais a zero. 
 
Exemplo 
𝐶 = (
0 0
0 0
0 0
) ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 3𝑥2 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 174 
- Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Podemos, 
neste caso, chamar de matriz quadrada de ordem n. 
 
Exemplo 
𝐷 = (
3 2
−4 1
) ,𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2𝑥2 𝑜𝑢 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 2. 
 
 
A diagonal principal de D é formada pelos elementos cujo índice é igual ao índice da coluna (a11 e a22). 
A outra diagonal recebe o nome de diagonal secundária de D. 
 
 
 
- Matriz identidade: é a matriz quadrada em que cada elemento da diagonal principal é igual a 1, e os 
demais têm o valor 0. Representamos a matriz identidade pela seguinte notação: In. 
 
Exemplos 
 
 
Também podemos definir uma matriz identidade da seguinte forma: 
 
𝐼𝑛 = [𝑎𝑖𝑗]𝑛 𝑥 𝑛, 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
 
- Matriz transposta: é a matriz onde as linhas são ordenadamente iguais a colunas desta mesma 
matriz e vice e versa. Ou seja: 
Dada uma matriz A de ordem m x n, chama-se matriz transposta de A, indicada por At, a matriz cuja a 
ordem é n x m, sendo as suas linhas ordenadamente iguais às colunas da matriz A. 
 
Exemplo 
𝐴 = [
2 −1
7 10
] , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝑡 = [
2 7
− 10
] 
 
Observe que: 
- a 1ª linha da matriz A é igual à 1ª coluna da matriz At. 
- a 2ª linha da matriz A é igual a 2ª coluna da matriz At. 
 
Generalizando, temos: 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 175 
 - Matriz oposta: é a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os seus elementos. 
Representamos por - A tal que A + (- A) = O, em que O é a matriz nula do tipo m x n. 
 
Exemplo 
 
 
- Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujo At = A; ou ainda aij = aji 
 
Exemplo 
 
 
 
 
- Matriz antissimétrica: é uma matriz quadrada cujo At = - A; ou ainda aij = - aij. 
 
Exemplo 
 
 
 
Classificação de Acordo com os Elementos da Matriz 
- Real: se todos os seus elementos são reais. 
 
Exemplo 
𝐴 = [
1 −5
3 2
] 
 
- Imaginária: se pelo menos um dos seus elementos é complexo. 
 
Exemplo 
𝐵 = [
1 −5
3 𝑖
] 
 
- Triangular superior: é uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são 
nulos. 
 
Exemplo 
 
- Triangular inferior: é uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são 
nulos. 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 176 
Exemplo 
 
 
Igualdade de Matrizes 
Dizemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, são iguais (A = B) se, e somente se, os seus 
elementos de mesma posição forem iguais, ou seja: 
A = [aij] m x n e B = [bij] p x q 
 
Sendo A = B, temos: 
m = p e n = q 
 
 
Operações com Matrizes 
- Adição: a soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é matriz também de mesma ordem, obtida 
com a adição dos elementos de mesma posição das matrizes A e B. 
 
 
Exemplo 
 
 
Propriedades: considerando as matrizes de mesma ordem, algumas propriedades são válidas: 
Comutativa: A + B = B + A 
Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
Elemento simétrico: A + (-A) = 0 
Elemento neutro: A + 0 = A 
 
- Subtração: a diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz obtida pela adição 
da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja: 
 
 
Exemplo 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 177 
 
 
- Multiplicação de um número real por uma matriz: o produto de um número real k por uma matriz 
A, é dado pela multiplicação de cada elemento da matriz A por esse número real k. 
 
 
Exemplo 
 
 
- Multiplicação de matrizes: para multiplicarmos duas matrizes A e B só é possível mediante a uma 
condição e uma técnica mais elaborada. Vejamos: 
 
Condição: o número de COLUNAS da A (primeira) têm que ser igual ao número de LINHAS de B 
(segunda). 
 
 
 
Logo a ordem da matriz resultante é a LINHA de A e a COLUNA DE B. 
 
Técnica: Multiplicamos o 1º elemento da LINHA 1 de A pelo 1º elemento da primeira COLUNA de B, 
depois o 2º elemento da LINHA 1 de A pelo 2º elemento da primeira COLUNA de B e somamos esse 
produto. Fazemos isso sucessivamente, até termos efetuado a multiplicação de todos os termos. 
Exemplo 
 
 
A matriz C é o resultado da multiplicação de A por B. 
 
Propriedades da multiplicação: admite-se as seguintes propriedades 
Associativa: (A.B). C = A.(B.C) 
Distributiva: (A + B). C = A. C + B. C e C. (A + B) = C. A + C. B 
 
Observação: a propriedade comutativa NÂO é válida na multiplicação de matrizes, pois geralmente 
A.B ≠ B.A 
 
Matriz Inversa 
Dizemos que uma matriz é inversa A–1 (toda matriz quadrada de ordem n), se e somente se, A.A-1 = In 
e A-1.A = In ou seja: 
𝑨. 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏. 𝑨 = 𝑰𝒏 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 {
𝐴 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑎𝑑𝑎. 
𝐴−1 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴. 
𝐼𝑛 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝐴.
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 178 
Exemplos 
1) A matriz 𝐵 = [
8 −2
3 −1
] é inversa da matriz 𝐴 = [
1
2
−1
3
2
−4
] , pois: 
 
2) Vamos verificar se a matriz 𝐴 = (
2 5
1 3
) 𝑒 𝐵 = (
1 2
1 1
) , são inversas entre si: 
 
Portanto elas, não são inversas entre si. 
 
3) Dada a matriz 𝐴 = [
2 1
3 2
], determine a inversa, A-¹. 
Vamos então montar a matriz 𝐴−1 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴. 𝐴−1 = 𝐼𝑛 
 
[
2 1
3 2
] . [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = [
1 0
0 1
] → [
2𝑎 + 𝑐 2𝑏 + 𝑑
3𝑎 + 2𝑐 3𝑏 + 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
 
Fazendo as igualdades temos: 
{
2𝑎 + 𝑐 = 1
3𝑎 + 2𝑐 = 0
 {
2𝑏 + 𝑑 = 03𝑏 + 2𝑑 = 1
 
 
Resolvendo os sistemas temos: a = 2; b = -1; c = -3 e d = 2 
Então a matriz inversa da matriz A é: 
𝐴−1 = [
2 −1
−3 2
] 
 
Equação Matricial 
 
No caso das equações com matrizes (equações matriciais), elas são equações cujas incógnitas são 
matrizes. 
Vejamos um exemplo: 
Encontre a matriz X da equação 2.A+B=X, sabendo que: 
 
Neste exemplo, a incógnita já estava isolada. 
Vejamos um exemplo em que a incógnita não está isolada na equação. Nestes casos devemos tomar 
cuidado ao operarmos as matrizes de um lado para o outro da igualdade. 
Exemplo: 
Resolva a equação a seguir: X+B=2A, utilizando as mesmas matrizes do exemplo anterior. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 179 
Antes de substituirmos as matrizes, façamos o isolamento da incógnita, lembrando sempre das 
propriedades das operações das matrizes. 
 
Note que não passamos a matriz B para o outro lado da igualdade; na verdade operamos a matriz 
oposta de B (matriz -B) dos dois lados. 
Devemos tomar esse cuidado, pois quando nos depararmos com produto de matrizes, não poderemos 
passar a matriz para o outro lado dividindo; deveremos operar a matriz inversa dos dois lados. 
O diferencial das equações que conhecíamos para as equações com matrizes está nesse maior 
cuidado ao isolarmos a incógnita. 
Voltando à resolução da equação, temos que substituir os valores das matrizes A e B na equação. 
Sendo assim: 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. do Rio de Janeiro/RJ - Professor - Pref. do Rio de Janeiro) Considere as matrizes A 
e B, a seguir. 
 
O elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna da matriz produto BA vale: 
(A) 9 
(B) 0 
(C) – 9 
(D) – 11 
 
02. (BRDE – Analista de Sistemas – FUNDATEC) Considere as seguintes matrizes: 𝐴 =
[
2 3
4 6
] , 𝐵 = [
2 3
4 5
6 6
] 𝑒 𝐶 = [
2 1 0
4 6 7
], a solução de C x B + A é: 
(A) Não tem solução, pois as matrizes são de ordem diferentes. 
 
(B) [
10 14
78 90
] 
 
(C) [
2 3
4 5
] 
 
(D) [
6 6
20 36
] 
 
(E) [
8 11
74 84
] 
 
03. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma 
das regiões da cidade durante uma semana. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 180 
 
 
Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o número de ocorrência no turno i do dia j da 
semana. 
O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia, somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno 
do 7º dia será: 
(A) 61 
(B) 59 
(C) 58 
(D) 60 
(E) 62 
 
04. (CPTM – ANALISTA DE COMUNICAÇÃO JÚNIOR – MAKIYAMA) Para que a soma de uma 
matriz 𝐴 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] e sua respectiva matriz transposta At em uma matriz identidade, são condições a serem 
cumpridas: 
(A) a=0 e d=0 
(B) c=1 e b=1 
(C) a=1/c e b=1/d 
(D) a²-b²=1 e c²-d²=1 
(E) b=-c e a=d=1/2 
 
05. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) Assinale a alternativa que apresente o resultado da 
multiplicação das matrizes A e B abaixo: 
 
𝐴 = (
2 1
3 −1
) ∙ 𝐵 = (
0 4 −2
1 −3 5
) 
 
(A) (
−1 −5 1
1 15 11
) 
 
(B) (
1 5 1
−1 15 − 11
) 
 
(C) (
1 5 − 1
1 −15 11
) 
 
(D) (
1 5 1
1 15 11
) 
 
(E) (
−1 5 − 1
1 15 − 11
) 
 
06. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes: 
 
(
6 𝑦
7 2
) + (
1 −3
8 5
) = (
7 7
15 7
) 
 
Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira. 
(A) 4. 
(B) 6. 
(C) 8. 
(D) 10. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Como as matrizes são quadradas de mesma ordem, podemos então multiplica-las: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 181 
𝐵. 𝐴 = [
5 −2 0
−1 2 4
−3 −2 1
] . [
1 2 −2
−1 3 0
2 1 3
] → 
 
[
5.1 + (−2). (−1) + 0.2 5.2 + (−2). 3 + 0.1 5. (−2) + (−2). 0 + 0.3
−1.1 + 2. (−1) + 4.2 −1.2 + 2.3 + 4.1 −1. (−2) + 2.0 + 4.3
−3.1 + (−2). (−1) + 1.2 −3.2 + (−2). 3 + 1.1 −3. (−2) + (−2). 0 + 1.3
] = [
7 4 −10
5 8 14
1 −11 9
] 
 
Logo o elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna é o -11. 
 
02. Resposta: B 
Vamos ver se é possível multiplicar as matrizes. 
C(2x3) e B(3x2), como o número de colunas de C é igual ao número de colunas de B, logo é possível 
multiplicar, o resultado será uma matriz 2x2(linha de C e coluna de B): 
𝐶 𝑥𝐵 = [
2 1 0
4 6 7
] . [
2 3
4 5
6 6
] → [
2.2 + 1.4 + 0.6 2.3 + 1.5 + 0.6
4.2 + 6.4 + 7.6 4.3 + 6.5 + 7.6
] = [
8 11
74 84
] 
 
Agora vamos somar a matriz A(2x2) a matriz resultante da multiplicação que também tem a mesma 
ordem: 
[
8 11
74 84
] + 𝐴 = [
8 11
74 84
] + [
2 3
4 6
] → [
8 + 2 11 + 3
74 + 4 84 + 6
] = [
10 14
78 90
] 
 
03. Resposta: E 
Turno i –linha da matriz 
Turno j- coluna da matriz 
2º turno do 2º dia – a22=18 
3º turno do 6º dia-a36=25 
1º turno do 7º dia-a17=19 
Somando:18+25+19=62 
 
04. Resposta: E 
𝐴 + 𝐴𝑡 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] + [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] = [
2𝑎 𝑏 + 𝑐
𝑏 + 𝑐 2𝑑
] = [
1 0
0 1
] 
2a =1 → a =1/2 → b + c = 0 → b = -c 
2d=1 
D=1/2 
 
05. Resposta: B 
 
𝐴 ∙ 𝐵 = (
2 ∙ 0 + 1 ∙ 1 2 ∙ 4 + 1 ∙ (−3 ) 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 5
3 ∙ 0 + (−1) ∙ 1 3 ∙ 4 + (−1) ∙ (−3) 3 ∙ (−2) + (−1) ∙ 5
) 
 
 𝐴 ∙ 𝐵 = (
1 5 1
−1 15 − 11
 ) 
 
06. Resposta: D 
(
6 + 1 = 7 𝑦 − 3 = 7
7 + 8 = 15 2 + 5 = 7
) 
y=10 
 
DETERMINANTES 
 
Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como 
Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema 
linear”. 
Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos 
determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras 
verticais, como no exemplo abaixo: 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 182 
 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem 1 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 1: A = [a11] 
Chamamos determinante dessa matriz o número: 
det A = [ a11] = a11 
 
Exemplos 
- A = [-2] → det A = - 2 
- B = [5] → det B = 5 
- C = [0] → det C = 0 
 
Determinante de uma Matriz de ordem 2 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 2: 
 
Chamamos de determinante dessa matriz o número: 
 
Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Esquematicamente: 
 
 
Exemplos 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem 3 
 
Seja a matriz quadrada de ordem 3: 
 Chamamos de determinante dessa matriz: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 183 
 
 
Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada 
Regra de Sarrus: 
 
- Repetimos a 1ª e a 2ª colunas à direita da matriz. 
 
 
 
- Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos 
produtos, temos: 
 
 
 
Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1ª e 2ª linhas, ao invés de 
repetirmos a 1ª e 2ª colunas. 
 
Propriedades 
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos determinantes: 
 
- Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At. 
 
Exemplo 
 
- Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si 
a posição de duas filas paralelas, então temos: 
detB = - detA 
 
Exemplo1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 184 
 
B foi obtida trocando-se a 1ª pela 2ª linha de A. 
detA = ad - bc 
detB = bc - ad = - (ad - bc) = - detA 
 
Assim, 
detB = - detA 
 
Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais” tem 
determinante igual a zero. 
 
Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna 
“iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA. 
 
Assim: detA = 0 
 
- Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos 
uma de suas filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA 
 
Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar em evidência” 
um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna). 
 
Exemplo 
 
 
 
- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos 
de A por k, então: 
 
det(k.A) = kn.detA 
 
Exemplo 
 
Assim: 
det(k.A) = k3.detA 
 
- Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos 
correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são 
iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então temos: 
 
detC = detA + detB 
 
Exemplos: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 185 
 
 
- Propriedades 5 (Teorema de Jacobi): O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila 
qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número. 
 
Exemplo: 
Considere o determinante detA= 
 
 Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos: 
 
 
 
Exemplo: 
Vamos calcular o determinante D abaixo. 
 
D = 8 + 0 + 0 – 60 – 0 – 0 = -52 
 
Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular: 
 
D1 = 48 + 0 + 0 – 100 – 0 – 0 = -52 
 
Observe que D1 = D, de acordo com a propriedade. 
 
Consequência da propriedade 5: Quando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos 
de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero. 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 186 
Exemplo: 
Seja D= 
0514
1223
821

 
 
Observe que cada elemento da 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª 
coluna multiplicada por 3. 
 
8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 
12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 
5 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3 
Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0 
Use a regra de Sarrus e verifique. 
 
- Propriedade 6 (Teorema de Binet): Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então: 
det(A.B) = detA . detB 
 
Exemplo: 
 
Logo, det(AB) = detA. detB 
 
Consequência da propriedade 6: Sendo A uma matriz quadrada e n

N*, temos: 
det(Na) = (detA)n 
 
Sendo A uma matriz inversível, temos: 
detA-1=
Adet
1
 
 
Justificativa: Seja A matriz inversível. 
A-1 . A = I 
det(A-1. A) = det I 
detA-1 . detA = det I 
detA-1 = 
Adet
1
 
 
Uma vez que det I = 1, onde i é a matriz identidade. 
 
Determinantes – Teorema de Laplace 
 
- Menor complementar e Cofator: Dada uma matriz quadrada A = (aij)nxn (n 2), chamamos menor 
complementar do elemento aij e indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que 
se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A. 
 
Exemplo: 
Sendo A=










212
014
321
, temos: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 187 
M11=
21
01 =2 
M12=
22
04 =8 
M13=
12
14 =2 
 
Chamamos cofator do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor 
complementar de aij. 
 
Exemplo: 
 
Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n 2, chamamos matriz cofator de A, a matriz cujos elementos são os 
cofatores dos elementos de A e indicamos a matriz cofator por cof A. A transposta da matriz cofator de A 
é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj A. 
 
Exemplo: 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 188 
 
 
Determinante de uma Matriz de Ordem n 
Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 
 
Então: 
 
- Para n = 1 
A=[a11] 

det A=a11 
 
- Para n 
 2: 
 
 
ou seja: 
detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n 
 
Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n 2 é a soma dos produtos dos 
elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplos: 
Sendo A=






2221
1211
aa
aa , temos: 
detA = a11.A11 + a12.A12, onde: 
A11 = (-1)1+1.|a22| = a22 
A12 = (-1)1+2.|a21| = a21 
 
Assim: 
detA = a11.a22 + a12.(-a21) 
 
detA = a11.a22 - a21.a12 
 
Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente. 
- Sendo 
 

1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 189 
 
 
Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado. 
 
- Teorema de Laplace 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n 2, seu determinante é a soma dos produtos dos 
elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplo: 
 
 
Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que 
calcular apenas um cofator. 
 
 
 
Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em 
determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, 
e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3, que calculamos com 
a regra de Sarrus, por exemplo. 
- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a maior quantidade 
de zeros. 
- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante 
pelo teorema de Laplace. 
 
Exemplo: 

1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 190 
 
A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de 
Laplace, calcularemos ainda três cofatores. 
Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero” em A31 = -2 e A41 = 3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando 
com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos: 
 
 
Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna: 
 
 
Aplicamos a regra de Sarrus, 
 
 
det A = (0 – 16 – 21) - ( - 14 + 12 + 0) 
detA = 0 – 16 – 21 + 14 – 12 – 0 = -49 + 14 
detA = -35 
 
- Aplicação do Teorema de Laplace 
 
Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; 
podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da: 
- 1ª coluna, se ela for triangular superior; 
- através da 1ª linha, se ela for triangular superior; 
- através da 1ª linha, se ela for triangular inferior. 
Assim: 
 
1ª. A é triangular superior 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 191 
 
 
2ª. A é triangular inferior 
 
 
 
- Determinante de Vandermonde e Regra de Chió 
Uma determinante de ordem n 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das 
potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números 
quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente. 
 
Exemplos: 
Determinante de Vandermonde de ordem 3Determinante de Vandermonde de ordem 4 
 
 
Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos. 
 

1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 192 
- Propriedade 
 
Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-
se de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do 
determinante. 
 
Exemplo: 
Calcule o determinante; 
 
 
Sabemos que detA = detAt, então: 
 
 
Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então: 
detA = (4 – 2).(7 – 2).(7 – 4)=2 . 5 . 3 = 30 
 
Questões 
 
01. (COBRA Tecnologia S-A (BB) - Analista Administrativo - ESPP) O valor de b para que o 
determinante da matriz [
𝑥
𝑏
2
2 𝑦
] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas da solução do sistema 
{
𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 8
, é igual a: 
 
(A) 2. 
(B) –2. 
(C) 4. 
(D) –1. 
 
02. (PM/SP – Sargento Cfs – CETRO) É correto afirmar que o determinante |
1 𝑥
−2 4
|é igual a zero 
para x igual a 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) -2. 
(D) -1. 
 
03. (CGU – Administrativa – ESAF) Calcule o determinante da matriz: 
(
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos𝑥
) 
 
(A) 1 
(B) 0 
(C) cos 2x 
(D) sen 2x 
(E) sen x/2 
 
04. (Pref. Araraquara/SP – Agente da Administração dos Serviços de Saneamento – CETRO) 
Dada a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥3, onde 𝑎𝑖𝑗 = {
2, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
−1, 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗
, assinale a alternativa que apresenta o valor do 
determinante de A é 
(A) -9. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 193 
(B) -8. 
(C) 0. 
(D) 4. 
 
05. (Cobra Tecnologia – Técnico De Operações – Documentos/Qualidade - ESPP) O valor de b 
para que o determinante da matriz [
𝑥
𝑏
2
2 𝑦
] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas da solução do 
sistema {
𝑥 + 2𝑦 = 7
2𝑥 + 𝑦 = 8
 é igual a: 
(A) 2. 
(B) -2. 
(C) 4. 
(C) -1. 
 
06. (SEAP/PR – Professor de Matemática – PUC/PR) As planilhas eletrônicas facilitaram vários 
procedimentos em muitas áreas, sejam acadêmicas ou profissionais. Na matemática, para obter o 
determinante de uma matriz quadrada, com um simples comando, uma planilha fornece rapidamente esse 
valor. Em uma planilha eletrônica, temos os valores armazenados em suas células: 
 
 
Para obter o determinante de uma matriz utiliza-se o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:D4)” e essa 
planilha fornece o valor do determinante: 
 
Se em uma outra planilha forem armazenados os valores representados a seguir, 
 
 
ao acionar o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:C3)” o valor do determinante é: 
(A) 1512 
(B) 7 
(C) 4104 
(D) 2376 
(E) 8424 
 
07. (TRANSPETRO – Engenheiro Júnior – CESGRANRIO) Um sistema dinâmico, utilizado para 
controle de uma rede automatizada, forneceu dados processados ao longo do tempo e que permitiram a 
construção do quadro abaixo. 
 
1 3 2 0 
3 1 0 2 
2 3 0 1 
0 2 1 3 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 194 
A partir dos dados assinalados, mantendo-se a mesma disposição, construiu-se uma matriz M. O valor 
do determinante associado à matriz M é 
(A) 42 
(B) 44 
(C) 46 
(D) 48 
(E) 50 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B 
 
{
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
{
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
- 3y = - 6 
y = 2 
x = 7 - 2y 
x = 7 – 4 = 3 
 
|3
𝑏
2
2 2
| = 8 
6 – b = 8 
B = - 2 
 
02. Resposta: C 
D = 4 - (-2x) 
0 = 4 + 2x 
x = - 2 
 
03. Resposta: C 
det = cos²x - sen²x 
det = cos(2x) 
 
04. Resposta: A 
 𝐴 = (
−1 −1
2 −1
 
−1
−1
 
2 2 −1
) 
 
 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = |
−1 −1
2 −1
 
−1
−1
2 2 −1
| 
 
detA = - 1 – 4 + 2 - (2 + 2 + 2) = - 9 
 
05. Resposta: B 
 {
𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2)
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
 {
−2𝑥 − 4𝑦 = −14
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
Somando as equações: 
- 3y = - 6 
y = 2 
x = 7 – 4 = 3 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 195 
 𝐷𝑒𝑡 = |3
𝑏
2
2 2
| 
 
6 – b = 8 
b = - 2 
 
06. Resposta: A 
 
A.B=I 
 
(
1 0 1
2 1 0
0 1 1 
) ∙ (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖 
) = (
1 0 0
0 1 0
 0 0 1 
) 
 
(
𝑎 + 𝑔 𝑏 + ℎ 𝑐 + 𝑖
2𝑎 + 2𝑑 2𝑏 + 𝑒 2𝑐 + 𝑓
𝑑 + 𝑔 𝑒 + ℎ 𝑓 + 𝑖 
) = (
1 0 0
0 1 0
 0 0 1 
) 
 
Como queremos saber o elemento da segunda linha e terceira coluna(f): 
 
{
𝑐 + 𝑖 = 0
2𝑐 + 𝑓 = 0
𝑓 + 𝑖 = 1
 
 
Da primeira equação temos: 
c=-i 
substituindo na terceira: 
f-c=1 
 
{
2𝑐 + 𝑓 = 0(𝑥 − 1)
𝑓 − 𝑐 = 1
 
 
{
−2𝑐 − 𝑓 = 0
𝑓 − 𝑐 = 1
 
 
Somando as equações: 
-3c=1 
C=-1/3 
f=2/3 
 
07. Resposta: D 
 𝑀 = (
1 3 2
3 1 0
2 3 0
 
0
2
1
0 2 1 3
) 
 
 
 
Como é uma matriz 4x4 vamos achar o determinante através do teorema de Laplace. Para isso 
precisamos, calcular os cofatores. Dica: pela fileira que possua mais zero. O cofator é dado pela fórmula: 
𝐶𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 ∙ 𝐷. Para o determinante é usado os números que sobraram tirando a linha e a coluna. 
 𝐶13 = (−1)
4 ∙ |
3 1 2
2 3 1
0 2 3 
| 
 
 𝐶13 = 27 + 8 − 6 − 6 = 23 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 196 
A13=2.23=46 
 
 𝐶43 = (−1)
7 |
1 3 0
3 1 2
 2 3 1 
| 
 
 𝐶43 = −(1 + 12 − 6 − 9) = 2 
A43=1.2=2 
D = 46 + 2 = 48 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto ou uma coleção de equações com as quais é 
possível resolver tudo de uma só vez. Sistemas Lineares são úteis para todos os campos da matemática 
aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas 
áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é muito comum 
a modelagem de situações por meio de sistemas lineares. 
 
Definição 
Toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3+...anxn = b, onde a1, a2, a3,.., an e b são números reais e x1, x2, 
x3,.., xn são as incógnitas. 
Os números reais a1, a2, a3..., an são chamados de coeficientes e b é o termo independente. 
 
Observamos também que todos os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1. 
 
Solução de uma equação linear 
Na equação 4x – y = 2, o par ordenado (3,10) é uma solução, pois ao substituirmos esses valores na 
equação obtemos uma igualdade. 
4 . 3 – 10 → 12 – 10 = 2 
 
Já o par (3,0) não é a solução, pois 4.3 – 0 = 2 → 12 ≠ 2 
 
Sistema Linear 
Um conjunto de m equações lineares na variáveis x1,x2, ..., xn é dito sistema linear de m equações e n 
variáveis. 
 
Dessa forma temos: 
𝑎) {
2𝑥 − 3𝑦 = 5
𝑥 + 𝑦 = 4
 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 2 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
𝑏) {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
−3𝑥 + 4𝑦 = 1
 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 3 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
𝑐){𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 0 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒 4 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
Matrizes associadas a um sistema 
Podemos associar a um sistema linear 2 matrizes (completas e incompletas) cujos elementos são os 
coeficientes das equações que formam o sistema. 
 
Exemplo: 
𝑎) {
4𝑥 + 3𝑦 = 1
2𝑥 − 5𝑦 = −2
 
 
Temos que: 
𝐴 = (
4 3
2 −5
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑒 𝐵 = (
4 3
2 −5
 
1
−2
) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎. 
 
 
Solução de um sistema 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 197 
Dizemos que a1,a2,...,an é a solução de um sistema linear de n variáveis quando é solução de cada 
umadas equações do sistema. 
 
Exemplo: 
A tripla ordenada (-1,-2,3) é solução do sistema: 
{
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
1º equação → 3.(-1) – (-2) + 3 = -3 + 2 + 3 = 2 (V) 
2º equação → -1 -2.(-2) – 3 = -1 + 4 – 3 = 0 (V) 
3º equação → 2.(-1) + (-2) + 2.3 = -2 – 2 + 6 = 2 (V) 
 
Classificação de um sistema linear 
Um sistema linear é classificado de acordo com seu números de soluções. 
 
 
 
Exemplos: 
A) O par ordenado (1,3) é a única solução do sistema {
2𝑥 − 𝑦 = −1
7𝑥 − 3𝑦 = −2
 
Temos que o sistema é possível e determinado (SPD) 
 
B) O sistema {
3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 3
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
 apresenta infinitas soluções, como por exemplo (0,1,2), (1,0,0),(2,-1,-
2). Dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI) 
 
C) O sistema {
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
−4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
 não apresenta nenhuma solução, pois a primeira e a terceira 
equações não podem satisfeitas ao mesmo tempo. Dizemos que o sistema é impossível (SI). 
 
 
Sistemas escalonados 
Considerando um sistema linear S no qual, em cada equação, existe pelo menos um coeficiente não 
nulo. 
Dizemos que S está na forma escalonada (ou é escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes 
do 1º coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação. 
 
Exemplos de sistemas escalonados: 
 
Observe que o 1º sistema temos uma redução de números de coeficientes nulos: da 1ª para a 2ª 
equação temos 1 e da 1ª para a 3ª temos 2; logo dizemos que ele é escalonado. 
 
- Resolução de um sistema na forma escalonado 
Temos dois tipos de sistemas escalonados. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 198 
1º) Número de equações igual ao número de variáveis 
 
Vamos partir da última equação, onde obtemos o valor de z. Substituindo esse valor na segunda 
equação obtemos y. Por fim, substituímos y e z na primeira equação, obtendo x. 
Assim temos: 
-2z = 8 → z = -4 
y + z = -2 → y – 4 = -2 → y = 2 
3x + 7y + 5z = -3 → 3x + 7.2 + 5.(-4) = -3 →3x + 14 – 20 = -3 →3x = -3 + 6 →3x = 3 → x = 1 
 
Logo a solução para o sistema é (1,2,-4). 
O sistema tem uma única solução logo é SPD. 
 
2º) Número de equações menor que o número de variáveis. 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5
𝑦 + 𝑧 = 2
 
 
Sabemos que não é possível determinar x,y e z de maneira única, pois há três variáveis e apenas duas 
“informações” sobre as mesmas. A solução se dará em função de uma de suas variáveis, que será 
chamada de variável livre do sistema. 
Vamos ao passo a passo: 
 
1º passo → a variável que não aparecer no início de nenhuma das equações do sistema será 
convencionada como variável livre, neste caso, a única variável livre é z. 
 
2º passo → transpomos a variável livre z para o 2º membro em cada equação e obtemos: 
 
{
𝑥 − 𝑦 = 5 − 3𝑧
𝑦 = 2 − 𝑧
 
 
3º passo → para obtermos x como função de z, substituímos y = 2 – z, na equação: 
x - (2 – z) = 5 – 3z → x = 7 – 4z 
 
Assim, toda tripla ordenada da forma (7 – 4z, 2 – z, z), sendo z ϵ R, é solução do sistema. Para cada 
valor real que atribuirmos a z, chegaremos a uma solução do sistema. 
 
Este tipo de sistema é dado por infinitas soluções, por isso chamamos de SPI. 
 
Sistemas equivalentes e escalonamento 
Dizemos que dois sistemas lineares, S1 e S2, são equivalentes quando a solução de S1 também é 
solução de S2. 
Dado um sistema linear qualquer, nosso objetivo é transforma-lo em outro equivalente, pois como 
vimos é fácil resolver um sistema de forma escalonada. Para isso, vamos aprender duas propriedades 
que nos permitirá construir sistemas equivalentes. 
 
1ª Propriedade: quando multiplicamos por k, k ϵ R*, os membros de 
uma equação qualquer de um sistema linear S, obtemos um novo 
sistema S’ equivalente a S. 
𝑆 {
𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 + 3𝑦 = 3
 , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (3, −1) 
 
Multiplicando-se a 1ª equação de S por 3, por exemplo, obtemos: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 199 
𝑆′ {
3𝑥 − 3𝑦 = 12
6𝑥 + 9𝑦 = 9
 , 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 (3, −1) 
 
2ª Propriedade: quando substituímos uma equação de um sistema 
linear S pela soma, membro a membro, dele com outra, obtemos um 
novo sistema S’, equivalente a S. 
𝑆 {
−𝑥 + 𝑦 = −2
2𝑥 − 3𝑦 = 1
 , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (5,3) 
 
Substituindo a 2ª equação pela soma dela com a 1ª: 
𝑆′ {
−𝑥 + 𝑦 = −2 
2𝑥 − 3𝑦 = 1 
(2ª 𝑒𝑞.)+(1ª 𝑒𝑞.)
← 
−𝑥 + 𝑦 = −2 
2𝑥 − 3𝑦 = 1 
𝑥 − 2𝑦 = −1 
(+) 
 
O par (5,3) é também solução de S’, pois a segunda também é 
verificada: 
x – 2y = 5 – 2. 3 = 5 – 6 = -1 
 
 
 
Escalonamento de um sistema e o Método de Gauss-Jordan 
Para escalonarmos um sistema linear qualquer vamos seguir o passo a passo abaixo: 
 
1º passo: Escolhemos, para 1º equação, uma em que o coeficiente da 1ª incógnita seja não nulo. Se 
possível, fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em 
geral, mais simples. 
2º passo: Anulamos o coeficiente da 1ª equação das demais equações, usando as propriedades 1 e 
2. 
3º passo: Desprezamos a 1ª equação e aplicamos os 2 primeiros passos com as equações restantes. 
4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações, 
até o sistema ficar escalonado. 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Escalone e resolva o sistema: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
−2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1
 
 
Primeiramente precisamos anular os coeficientes de x na 2ª e na 3ª equação: 
 
 
 
Deixando de lado a 1ª equação, vamos repetir o processo para a 2ª e a 3ª equação. Convém, 
entretanto, dividir os coeficientes da 2ª equação por 3, a fim de facilitar o escalonamento: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
𝑦 − 𝑧 = −4
−4𝑦 + 5𝑧 = 19
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 200 
Que é equivalente a: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9
𝑦 − 𝑧 = −4
𝑧 = 3
 
Substituímos a 3ª equação pela soma 
dela com a 2ª equação, multiplicada por 4: 
 
4𝑦−4𝑧=−16
−4𝑦+5𝑧=19
𝑧 = 3
 
 
 
O sistema obtido está escalonado é do tipo SPD. 
A solução encontrada para o mesmo é (2,-1,3) 
 
Observação: Quando, durante o escalonamento, encontramos duas equações com coeficientes 
ordenadamente iguais ou proporcionais, podemos retirar uma delas do sistema. 
 
Exemplo: 
 
Escalone e resolva o sistema: 
{
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2
 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑦 − 7𝑧 = −3
2𝑦 − 14𝑧 = −6
 
(-3) x (1ª eq.) + (2ª eq.): 
-3x + 3y – 6z = -3 
3x – 2y – z = 0 
 y – 7z = -3 
 
 
 
(-8) x (1eq.) + (3ª eq.) 
-8x + 8y – 16z = -8 
8x - 6y + 2z = 2 
 2y – 14z = -6 
 
 
Deixamos a 1ª equação de lado e repetimos o processo para a 2ª e 3ª equação: 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑦 − 7𝑧 = −3
0 = 0
 
(-2) x (2ª eq.) + (3ª eq.) 
-2y + 14z = 6 
2y – 14z = -6 
 0 = 0 
 
 
A 3ª equação pode ser retirada do sistema, pois, apesar de ser sempre verdadeira, não traz informação 
sobre os valores das variáveis. Assim, obtemos os sistema escalonado: 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1 (𝐼)
𝑦 − 7𝑧 = −3 (𝐼𝐼)
 , 𝑞𝑢𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
A variável livre do sistema é z, então temos: 
(I) y = 7z – 3 
(II) x – (7z – 3) + 2z = 1 → x = 5z – 2 
 
Assim, S = [(5z – 2, 7z – 3, z); z ϵ R] 
 
Sistemas homogêneos 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 201 
Observe as equações lineares seguintes: 
 
x – y + 2z = 0 4x – 2y + 5z = 0 -x1 – x2 – x3 = 0 
 
O coeficiente independente de cada uma delas é igual a zero, então denominamos de equaçõeshomogêneas. 
Note que a tripla ordenada (0,0,0) é uma possível solução dessas equações, na qual chamamos de 
solução nula, trivial ou imprópria. 
Ao conjunto de equações homogêneas denominamos de sistemas homogêneos. Este tipo de sistema 
é sempre possível, pois a solução nula satisfaz cada uma de suas equações. 
 
 
 
Exemplo: 
Escalonando o sistema {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0
5𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 0
, 𝑣𝑒𝑚: 
 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 
𝑦 + 3𝑧 = 0 ← (−2)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
 2𝑦 + 6𝑧 = 0 ← (−5)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
 
 
Dividindo os coeficientes da 3ª equação por 2, notamos que ela ficará igual à 2ª equação e, portanto 
poderá ser retirada do sistema. 
 
Assim, o sistema se reduz à forma escalonada {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑦 + 3𝑧 = 0
 𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
Resolvendo-o teremos y = -3z e x = 4z. Se z = α, α ϵ R, segue a solução geral (4α,-3α, α). 
Vamos ver algumas de suas soluções: 
- α = 0 → (0,0,0): solução nula ou trivial. 
- α = 1 → (4,-3,1) 
- α = -2 → (-8,6,-2) 
 
As soluções onde α = 1 e – 2 são próprias ou diferentes da trivial. 
 
Regra de Cramer 
Consideramos o sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 . Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta 
desse sistema é 𝑀 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
), cujo determinante é indicado por D = ad – bc. 
 
Escalonando o sistema, obtemos: {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐). 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)
 (∗) 
Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes, 
obteremos (
𝑎 𝑒
𝑐 𝑓), cujo determinante é indicado por Dy = af – ce. 
Assim, em (*), na 2ª equação, obtemos D. y = Dy. Se D ≠ 0, segue que 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
. 
 
Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz (
𝑒 𝑏
𝑓 𝑑
), cujo determinante 
é indicado por Dx = ed – bf, obtemos 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, D ≠ 0. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 202 
 
Resumindo: 
 
Um sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 é possível e determinado quando 𝐷 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| ≠ 0, e a solução desse sistema 
é dada por: 
 
𝒙 =
𝑫𝒙
𝑫
 𝒆 𝒚 =
𝑫𝒚
𝑫
 
 
Estes resultados são conhecidos como Regra de Cramer e podem ser generalizados para um sistema 
n x n (n equações e n incógnitas). Esta regra é um importante recurso na resolução de sistemas lineares 
possíveis e determinados, especialmente quando o escalonamento se torna trabalhoso (por causa dos 
coeficientes das equações) ou quando o sistema é literal. 
 
Exemplo: 
Vamos aplicar a Regra de Cramer para resolver os sistema {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
4𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = −6
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −3
 
 
De início temos que |
1 1 1
4 −1 −5
2 1 2
| = −9 ≠ 0. Temos, dessa forma, SPD. 
 
𝐷𝑥 = |
0 1 1
−6 −1 −5
−3 1 2
| = 15 − 6 − 3 + 12 = 18; 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
18
−9
= −2 
 
𝐷𝑦 = |
1 0 1
4 −6 −5
2 −3 2
| = −12 − 12 + 12 − 15 = −27; 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
−27
−9
= 3 
 
𝐷𝑧 = |
1 1 0
4 −1 −6
2 1 −3
| = 3 − 12 + 6 + 12 = 9; 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
=
9
−9
= −1 
 
Uma alternativa para encontrar o valor de z seria substituir x por -2 e y por 3 em qualquer uma das 
equações do sistema. 
Assim, S = {(-2,3-1)}. 
 
Discussão de um sistema 
 
Consideremos novamente o sistema {
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓
 , cuja forma escalonada é: 
 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)⏟ 
𝐷
. 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)(∗) 
 
em que 𝐷 = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| é o determinante da matriz incompleta do sistema. 
 
Como vimos, se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado e a solução pode ser obtida através da 
Regra de Cramer. 
Se D = 0, o 1º membro de (*) se anula. Dependendo do anulamento, ou não, do 2º membro de (*), 
temos SPI ou SI. 
Em geral, sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos: 
 
D ≠ 0 → SPD 
D = 0 → (SPI ou SI) 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 203 
 
Esses resultados são válidos para qualquer sistema linear de n equações e n incógnitas, n ≥ 2. Temos 
que discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer quais valores do(s) 
parâmetro(s) temos SPD, SPI ou SI. 
 Exemplo: 
 
Vamos discutir, em função de m, o sistema {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 +𝑚𝑧 = 2
 
 
Temos: 𝐷 = |
1 −2 3
3 1 1
2 3 𝑚
| = 𝑚 − 4 + 27 − 6 − 3 + 6𝑚 − 7𝑚 + 14 
 
- Se 7m + 14 ≠ 0, isto é, se m ≠ - 2, temos SPD. 
- Se 7m + 14 = 0, isto é, se m = -2, podemos ter SI ou SPI. Então vamos substituir m por -2 no sistema 
e resolvê-lo: 
 
{
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 2
⟺ {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 
7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−3)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. )
7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−2)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. )
 
 
ou ainda {
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0
7𝑦 − 8𝑧 = 2
, 𝑞𝑢𝑒 é 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 
 
Assim: 
m ≠ - 2 → SPD 
m = -2 → SPI 
 
Observações: 
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0, é necessária para que tenhamos SPI, mas não é 
suficiente (pois existe a possibilidade de se ter SI). 
- Para um sistema homogêneo, a condição D = 0 é suficiente para que tenhamos SPI. 
 
Questões 
 
01. (MF – Analista de Finanças e Controle – ESAEF) Dado o sistema de equações lineares
 é correto afirmar que: 
(A) o sistema não possui solução. 
(B) o sistema possui uma única solução. 
(C) x= 1 e y = 2 é uma solução do sistema. 
(D) o sistema é homogêneo. 
(E) o sistema possui mais de uma solução. 
 
02. Determinar m real, para que o sistema seja possível e determinado: 





2
532
myx
yx
 
 
03. Resolver e classificar o sistema: 








422
73
53
zyx
yx
zyx
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 204 
04. Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado. 








03
522
52
mzyx
zyx
zyx
 
 
05. Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p? 
 
06. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado 
(𝛼, 𝛽, 𝛾) é solução. 
 
07. Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 
2x - my = 10 
3x + 5y = 8, seja impossível. 
 
08. Se os sistemas: 
S1: {
x + y = 1
 x – 2y = −5
 e S2: {
ax – by = 5
 ay – bx = −1
 
São equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a: 
(A) 1 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 9 
(E) 10 
 
09. Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: 
{
x + 3y − 2z = 3
2x − y + z = 12
4x + 3y − 5z = 6
 
 
10. Resolver o sistema 





25
72
yx
yx . 
 
11. (UNIOESTE – ANALISTA DE INFORMÁTICA – UNIOESTE) Considere o seguinte sistema de 
equações lineares 
 
(
𝑥 + 2𝑦 +
3
2 𝑧 =
3
2
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 3
) 
 
Assinale a alternativa correta. 
(A) O determinante da matriz dos coeficientes do sistema é um número estritamente positivo. 
(B) O sistema possui uma única solução (1, 1, -1). 
(C) O sistema possui infinitas soluções. 
(D) O posto da matriz ampliada associada ao sistema é igual a 3. 
(E) Os vetores linha (1, 2, 3/2) e (2, 4, 3) não são colineares. 
 
12. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Sabendo-se que 2a + 3b + 4c = 17 e que 4a + 
b - 2c = 9, o valor de a + b + c é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
 
Comentários 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANEDE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 205 
 
01. Resposta: E. 
Calculemos inicialmente D, Dx e Dy: 
 
01212
63
42
D 
03636
69
46
xD
 
01818
93
62
yD
 
 
Como D = Dx = Dy = 0, o sistema é possível e indeterminado, logo possui mais de uma solução. 
 
02. Resposta: 







2
3
/ mRm
. 
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0, em que: 
 
32
1
32
 m
m
D
 
Assim: 2m -3 ≠ 0 → m ≠ 
2
3
 
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos 
elementos do conjunto: 







2
3
/ mRm
 
 
03. Resposta: S = {(1, 2, 4)}. 
Calculemos inicialmente D, Dx, Dy e Dz 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 206 
 
 Como D= -25 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e: 
;1
25
25




D
D
x x
 
;2
25
50




D
D
y
y
4
25
100



D
D
z z
 
 
Assim: S = {(1, 2, 4)} e o sistema são possíveis e determinados. 
 
04. Resposta: 
 3/  mRm
. 
Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0. 
Assim: 
 
mm
m
D 423212
13
212
121
 
D = -5m + 15 
 
Assim: -5m + 15 ≠ 0 → m ≠ 3 
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos 
elementos do conjunto: 
 3/  mRm 
 
05. Resposta: 14. 
Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, 6 . 2 – 7 . 5 + 2 . p = 5. 
Logo, 12 - 35 + 2p = 5. 
Daí vem imediatamente que 2p = 28 e, portanto, p = 14. 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 207 
06. Resposta: S = (1,3,15). 
Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14 - 5α + 2β. Portanto, a solução genérica será 
o terno ordenado (α, β, 14 - 5α + 2β). 
Observe que se arbitrando os valores para α e β, a terceira variável ficará determinada em função 
desses valores. 
Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremos: 
γ = 14 - 5 α + 2 β = 14 – 5 . 1 + 2 . 3 = 15, 
ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. 
 
Verificamos, pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno 
ordenado (α, β, 14 - 5 α + 2 β) a solução genérica. 
 
07. Resposta: m = -10/3. 
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: 
x = (10 + my) / 2 
 
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 
3[(10+my) / 2] + 5y = 8 
 
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 
3(10+my) + 10y = 16 
30 + 3my + 10y = 16 
(3m + 10)y = -14 
y = -14 / (3m + 10) 
 
Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o 
denominador igual a zero, já que, como sabemos, não existe divisão por zero. 
Portanto, 3m + 10 = 0, de onde se conclui m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não 
possua solução. 
 
08. Resposta: E. 
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema: 
S1: x + y = 1 
 x - 2y = -5 
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). 
Logo, 3y = 6 \ y = 2. 
 
Portanto, como x + y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1. 
O conjunto solução é, portanto S = {(-1, 2)}. 
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. 
Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem: 
 
a(-1) - b(2) = 5 → - a - 2b = 5 
a(2) - b (-1) = -1 → 2 a + b = -1 
 
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, fica: 
-2 a - 4b = 10 
 
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação, fica: 
-3b = 9 \ b = - 3 
 
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra 
equação em azul), teremos: 
2 a + (-3) = -1 \ a = 1. 
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10. 
 
09. Resposta: S = {(5, 2, 4)}. 
Teremos: 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 208 
 
 
 
 
 
Portanto, pela regra de Cramer, teremos: 
x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5 
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2 
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4 
 
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = {(5, 2, 4)}. 
 
10. Resposta: 
  13 ,S
 
 
11. Resposta: C. 
 
𝐷 = |
1 2
2 1
 
3
2
1
2 4 3
| = 3 + 12 + 4 − 3 − 4 − 12 = 0 
 
O sistema pode ser SI (sistema impossível) ou SPI (sistema possível indeterminado) 
 
Para ser SI Dx = 0 e SPI Dx  0 
𝐷𝑥 = |
3
2
2
2 1
 
3
2
1
3 4 3
| =
9
2
+ 6 + 24 −
9
2
− 6 − 12 = 12 
Dx  0, portanto o sistema tem infinitas soluções. 
 
12. Reposta: D. 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 x(-2) 
(II) 4a + b – 2c = 9 
Multiplicamos a primeira equação por – 2 e somamos com a segunda, cancelando a variável a: 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 209 
(II) – 5b – 10c = - 25 : (- 5) 
Então: 
(I) 2a + 3b + 4c = 17 
(II) b +2c = 5 
Um sistema com três variáveis e duas equações é possível e indeterminado (tem infinitas soluções), 
então fazendo a variável c = α (qualquer letra grega). 
Substituímos c em (II): 
b + 2α = 5 
b = 5 - 2α 
substituímos b e c em (I): 
2a + 3(5 - 2α) + 4α = 17 
2a + 15 - 6α + 4α = 17 
2a = 17 – 15 + 6α - 4α 
2a = 2 + 2α : (2) 
a = 1 + α 
Logo a solução do sistema é a = 1 + α. b = 5 - 2α e c = α, então: 
a + b + c = 1 + α + 5 - 2α + α = 6 
 
 
 
Calendário é um sistema para contagem e agrupamento de dias que visa atender, principalmente, 
às necessidades civis e religiosas de uma cultura. As unidades principais de agrupamento são o mês e o 
ano. 
 
A unidade básica para a contagem do tempo é o dia, que corresponde ao período de tempo entre 
dois eventos equivalentes sucessivos: por exemplo, o intervalo de tempo entre duas ocorrências do 
nascer do Sol, que corresponde, em média (dia solar médio), a 24 horas. 
O ano solar é o período de tempo decorrido para completar um ciclo de estações 
(primavera, verão, outono e inverno). O ano solar médio tem a duração de aproximadamente 365 dias, 5 
horas, 48 minutos e 47 segundos (365,2422 dias). Também é conhecido como ano trópico. A cada quatro 
anos, as horas extra acumuladas são reunidas no dia 29 de Fevereiro, formando o ano bissexto, ou seja, 
o ano com 366 dias. 
Os calendários antigos baseavam-se em meses lunares (calendários lunares) ou no ano solar 
(calendário solar) para contagem do tempo. 
Calendários podem definir outras unidades de tempo, como a semana, para o propósito de planejar 
atividades regulares que não se encaixam facilmente com meses ou anos. Calendários podem ser 
completos ou incompletos. Calendários completos oferecem um modo de nomear cada dia consecutivo, 
enquanto calendários incompletos não. 
 
Tipos de Calendário 
 
- Lunar: é aquele em que os dias são numerados dentro de cada ciclo das fases da lua. Como o 
comprimento do mês lunar não é nem mesmo uma fração do comprimento do ano trópico, um calendário 
puramente lunar rapidamente desalinha-se das estações do ano, que não variam muito perto da linha do 
Equador. 
 
- Fiscal: Um calendário fiscal (como um calendário 4-4-5) fixa para cada mês um determinado número 
de semanas, para facilitar as comparações de mês para mês e de ano para ano. Janeiro sempre tem 
6. Calendários 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 210 
exatamente 4 semanas (de domingo a sábado), fevereiro tem quatro semanas, março tem cinco semanas 
etc. Calendários fiscais também são usados pelas empresas. Neste caso o ano fiscal é apenas um 
conjunto qualquer de 12 meses. Este conjunto de 12 meses pode começar e terminar em qualquer pontodo calendário gregoriano. É o uso mais comum dos calendários fiscais. 
 
- Lunissolar: Baseados no movimento da Lua e do Sol. Neste tipo de calendário, procura-se 
harmonizar a duração do ano solar com os ciclos mensais da lua através de ajustamentos periódicos. 
Assim os doze meses têm ao todo 354 dias e os dias que faltam para corresponder ao ciclo solar obtêm-
se através da introdução periódica de um mês extra, o chamado 13o mês lunar. 
Nosso calendário atual está baseado no antigo calendário romano, que era lunar. Como o período 
sinódico da Lua é de 29,5 dias, um mês tinha 29 dias e o outro 30 dias, o que totalizava 354 dias. Então 
a cada três anos era introduzido um mês a mais para completar os 365,25 dias por ano em média. Os 
anos no calendário romano eram chamados de a.u.c. (ab urbe condita), "a partir da fundação da cidade 
de Roma". Neste sistema, o dia 11 de janeiro de 2000 marcou o ano novo do 2753 a.u.c. A maneira de 
introduzir o 13o mês se tornou muito irregular, de forma que no ano 46 a.C. Júlio César, orientado pelo 
astrônomo alexandrino Sosígenes (90-? a.C.), reformou o calendário, introduzindo o Calendário Juliano, 
de doze meses, no qual a cada três anos de 365 dias seguia outro de 366 dias (ano bissexto). Assim, o 
ano juliano tem em média 365,25 dias. Para acertar o calendário com a primavera, foram adicionados 67 
dias àquele ano e o primeiro dia do mês de março de 45 a.C., no calendário romano, foi chamado de 1 
de janeiro no calendário Juliano. Este ano é chamado de Ano da Confusão. O ano juliano vigorou por 
1600 anos. 
Concluindo: 
- 1 ano tem 365 a 366(bissexto) dias; 
- 1 ano está dividido em 12 meses; 
- 1 mês tem de 30 a 31 dias; 
- 1 dia tem 24 horas 
 
Tome nota: 
- O calendário SEMPRE se repete em sua integralidade de 11 em 11 anos; 
 
- Se o ano analisado não for bissexto, o primeiro e o último dia desse referido ano cairá no mesmo dia 
da semana (Ex.: se 01/jan/2011 for segunda-feira, então dia 31/dez/2011 também será segunda-feira); 
 
- Se o ano analisado for bissexto, o último dia desse ano cairá no dia da semana subsequente ao do 
dia primeiro do ano (Ex.: se 01/jan/2012 for terça-feira, então o dia 31/dez/2012 será quarta-feira); 
 
- Os anos bissextos são números múltiplos de 4. (Ex.: 2008,2012, 2016, são múltiplos de 4, pois da 
sua divisão por 4, obtemos um número exato: 2008/4 = 502) 
 
Questões 
 
01 . (IBGE - CESGRANRIO) Depois de amanhã é segunda-feira, então, ontem foi 
(A) terça-feira. 
(B) quarta-feira. 
(C) quinta-feira. 
(D) sexta-feira. 
(E) sábado 
 
02. (TRT 18 – Técnico Judiciário – FCC) A audiência do Sr. José estava marcada para uma segunda-
feira. Como ele deixou de apresentar ao tribunal uma série de documentos, o juiz determinou que ela 
fosse remarcada para exatos 100 dias após a data original. A nova data da audiência do Sr. José cairá 
em uma 
(A) quinta-feira. 
(B) terça-feira. 
(C) sexta-feira. 
(D) quarta-feira. 
(E) segunda-feira. 
 
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. 211 
03. (IF/RO – Administrador – Makiyama) A Terra leva, aproximadamente, 365 dias, 5 horas, 48 
minutos e 46 segundos para dar uma volta completa em torno do Sol. Por isso, nosso calendário, o 
gregoriano, tem 365 dias divididos em 12 meses. Assim, a cada 4 anos, um dia é acrescentado ao mês 
de fevereiro para compensar as horas que “sobram” e, então, tem-se um ano bissexto. Em um ano não 
bissexto, três meses consecutivos possuem exatamente 4 domingos cada um. Logo, podemos afirmar 
que: 
(A) Um desses meses é fevereiro. 
(B) Dois desses devem ter 30 dias. 
(C) Um desses meses deve ser julho ou agosto. 
(D) Um desses meses deve ser novembro ou dezembro. 
(E) Dois desses meses devem ter 31 dias. 
 
04. (TRT/2ª Região – Técnico Judiciário – FCC) Um jogo eletrônico fornece, uma vez por dia, uma 
arma secreta que pode ser usada pelo jogador para aumentar suas chances de vitória. A arma é recebida 
mesmo nos dias em que o jogo não é acionado, podendo ficar acumulada. A tabela mostra a arma que é 
fornecida em cada dia da semana. 
 
Dia da semana Arma secreta fornecida pelo jogo 
2ªs, 4ªs e 6ªs feiras Bomba colorida 
3ªs feiras Doce listrado 
5ªs feiras Bala de goma 
Domingos Rosquinha gigante 
 
Considerando que o dia 1º de janeiro de 2014 foi uma 4ª feira e que tanto 2014 quanto 2015 são anos 
de 365 dias, o total de bombas coloridas que um jogador terá recebido no biênio formado pelos anos de 
2014 e 2015 é igual a 
(A) 312. 
(B) 313. 
(C) 156. 
(D) 157. 
(E) 43. 
 
05. (ALEPE – Analista Legislativo Especialidade Biblioteconomia - FCC) Ano bissexto é aquele 
em que acrescentamos 1 dia no mês de fevereiro, perfazendo no ano um total de 366 dias. São anos 
bissextos os múltiplos de 4, exceto os que também são múltiplos de 100 e simultaneamente não são 
múltiplos de 400. De acordo com essa definição, de 2014 até o ano 3000 teremos um total de anos 
bissextos igual a 
(A) 245. 
(B) 239. 
(C) 244. 
(D) 238. 
(E) 249. 
 
06. (AGU - Administrador - IDECAN) Se o ano de 2012 começou em um domingo, então o dia 30 de 
dezembro de 2017 acontecerá em qual dia da semana? 
(A) Sábado. 
(B) Domingo. 
(C) Terça-Feira. 
(D) Quarta-Feira. 
(E) Segunda-Feira. 
 
07. (AGU - Técnico em Contabilidade - IDECAN) Se o dia 3 de fevereiro de 2012 foi uma sexta-feira, 
então o dia 17 de setembro do referido ano aconteceu em qual dia da semana? 
(A) Terça-feira. 
(B) Sexta-feira. 
(C) Quarta-feira. 
(D) Quinta-feira. 
(E) Segunda-feira. 
 
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. 212 
08. (PC/PI - Escrivão de Polícia Civil - UESPI) Se 01/01/2013 foi uma terça-feira, qual dia da semana 
foi 19/09/2013? 
(A) Quarta-feira. 
(B) Quinta-feira. 
(C) Sexta-feira. 
(D) Sábado. 
(E) Domingo. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Vamos enumerar os dias para que possamos ter a verdadeira noção do dia que estamos e do dia que 
queremos. Temos a informação que Depois de amanhã é segunda e que precisamos saber o dia de 
ontem, no esquema abaixo temos uma maneira de visualizar melhor o que queremos: 
 
Ontem Hoje Amanhã Depois de Amanhã 
 Segunda 
 
Seguindo a sequência dos dias da semana, temos que enumera-los agora para trás: 
 
Ontem Hoje Amanhã Depois de Amanhã 
Sexta Sábado Domingo Segunda 
 
 
Com isso concluímos que ontem é sexta-feira. 
 
02. Resposta: D. 
Vamos dividir os 100 dias pela quantidade de dias da semana(7) → 100 dias /7 = 14 semanas + 2 
dias. Obtemos 14 semanas e 2 dias (resto da divisão). Como após uma semana é segunda de novo, 
então após 14 semanas cairá em uma segunda, só que como tenho +2 dias, logo: 
Segunda-feira + 2 dias = quarta-feira. 
 
03. Resposta: A. 
Se nos basearmos no calendário fiscal(4-4-5) chegamos à conclusão que a única alternativa certa é 
a que contém Fevereiro. Pois os meses de Janeiro e Fevereiro tem sempre 4 domingos os demais nada 
podemos dizer pois variam de acordo com o ano. 
 
04. Resposta: B. 
Sabe-se que a cada ano todos os dias da semana apresentam 52 dias iguais. O dia da semana em 
que o ano se inicia aparece por 53 vezes. Logo, se 2014 iniciou numa quarta-feira em 2014 teremos 53 
quartas feiras, 52 segundas feiras e 52 sextas feiras. 
O ano de 2015 se iniciará numa quinta-feira. Logo, teremos 52 quartas feiras, 52 segundas feiras e 52 
sextas feiras. 
Resumindo, teremos: 53 + (5x52) = 53 + 260 = 313. 
 
05. Resposta: B. 
Passo 1 :quantos anos temos: 
O intervalo é do ano de 2014 a 3000. Logo: 
Diferença = 3000 - 2014 + 1 = 986 + 1 = 987 anos 
Passo 2 :a cada 4 anos temos (teoricamente) 1 bissexto 
Logo, Bissextos = 987 / 4 = quociente 246 e resto 3. 
Teoricamente, teríamos 246 anos bissextos. Porém, pela própria regra colocada na questão, temos 
que eliminar os anos que são múltiplos de 100e simultaneamente não são múltiplos de 400. Dessa lista, 
temos: 
Eliminar = 2100 - 2200 - 2300 - 2500 - 2600 - 2700 - 2900 = 7 anos 
Assim: Total = 246 - 7 = 239 anos bissextos 
 
06. Resposta: A. 
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. 213 
Questão fácil de resolver mas que se deve tomar muito cuidado. 
Sabemos que se 2012 começou num domingo Porém, este é um ano bissexto, pois, 12 é múltiplo de 
4. Logo, 2013 começará dois dias a mais, e será numa terça. Seguindo: 2014 começará numa quarta; 
2015 começará numa quinta; 2016 começará numa sexta. Aqui, nova pausa: 2016 é bissexto. Então, 
2017 começara num domingo. E vamos até 2018, que começará numa segunda. 
Mas não queremos 2018 e sim dia 30 de dezembro de 2017. Basta, então, voltar 2 dias: sábado. 
 
07. Resposta: E. 
Se o dia 3 de fevereiro caiu numa sexta-feira calcularemos os dias que faltam para chegar até o dia17 
de setembro e determinar o que se pede. 
Quantos dias faltam até chegar à data solicitada? 
Fevereiro: 26 dias (porque é bissexto) 
Março 31 dias 
Abril 30 dias 
Maio 31 dias 
Junho 30 dias 
Julho 31 dias 
Agosto 31 dias 
Setembro 17 dias 
Logo, faltam 227 dias. 
Vamos dividir este valor por 7 (número de dias da semana). Daria 226/7 = 32 semanas (que repetirão 
este dia da semana). Mas, quantos dias ainda faltam? 
Simples: 32*7 = 224 dias. Logo faltam mais três dias. 
Devemos avançar três dias da semana. Logo, cairá na segunda feira. 
 
08. Resposta: B. 
Se 01/01/2013 foi uma terça feira, podemos determinar o dia da semana em que cairá 19/09/2013. 
Basta fazermos as seguintes operações: 
- determinar o número de dias entre estas datas: 
Janeiro faltam mais 30 dias para acabar o mês. 
Fevereiro 28 
Março: 31 
Abril 30 
Maio 31 
Junho 30 
Julho 31 
Agosto 31 
Setembro 19 
Logo, teremos um total de 261 dias. 
- Dividiremos este número por 7 e veremos quantas semanas inteiras teríamos neste intervalo de dias: 
262/7 = 37 semanas e 2 dias. 
Logo, 19/09/2013 cairá numa quinta-feira. 
 
 
 
Caros alunos, assuntos como numeração, envolvem problemas sobre lógica sequencial, portanto 
estudem os conteúdos sobre: 
- Correlação de Elementos; 
- Associação Lógica; 
- Lógica Sequencial. 
Assuntos estes que já foram abordados em nosso material. 
 
7. Numeração 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 214 
 
 
OBS.: Com o intuito de facilitar os estudos, decidimos abordar razões especiais no tópico 5. 
Álgebra básica e sistemas lineares 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
A Análise Combinatória14 é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com 
problemas de contagem, sendo eles: 
- Princípio Fundamental da Contagem (PFC); 
- Fatorial de um número natural; 
- Tipos de Agrupamentos Simples (Arranjo, permutação e combinação); 
- Tipos de Agrupamentos com Repetição (Arranjo, permutação e combinação). 
 
A Análise Combinatória é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância para as 
ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras. 
 
Princípio Fundamental da Contagem-PFC (Princípio Multiplicativo) 
 
O princípio multiplicativo ou fundamental da contagem constitui a ferramenta básica para resolver 
problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos, através das possibilidades 
dadas. É uma das técnicas mais utilizadas para contagem, mas também dependendo da questão pode 
se tornar trabalhosa. 
 
Exemplos 
 
1) Imagine que, na cantina de sua escola, existem cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã, 
morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se 
o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos 
acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco? 
 
 
 
14IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
BOSQUILHA, Alessandra - Minimanual compacto de matemática: teoria e prática: ensino médio / Alessandra Bosquilha, Marlene Lima Pires Corrêa, Tânia Cristina 
Neto G. Viveiro. -- 2. ed. rev. -- São Paulo: Rideel, 2003. 
 
8. Razões especiais 
 
9. Análise combinatória e probabilidade 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 215 
2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu amigo Pedro (que mora na cidade C) João precisa 
pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva até o 
destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades: 
 
 
De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de 
possibilidades: 
 
3) De sua casa ao trabalho, Sílvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela 
pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. 
De quantos modos distintos Sílvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade? 
Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas: 
 
1º) Casa → Trabalho: ao qual temos 3 possibilidades 
2º) Trabalho → Faculdade: 4 possibilidades. 
Multiplicando todas as possibilidades (pelo PFC), teremos: 3 x 4 = 12. 
No total Sílvia tem 12 maneiras de fazer o trajeto casa – trabalho – faculdade. 
 
DEFINIÇÃO do PFC: Se um evento que chamaremos de E1 puder ocorrer de a maneiras e um outro 
evento que chamaremos de E2 puder ocorrer de b maneiras e E1 for independente de E2, assim a 
quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem simultaneamente será dado por axb, 
isto é, a quantidade de maneiras de a ocorrer, multiplicado pela quantidade de maneiras de b ocorrer. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV) Em um restaurante os clientes têm a sua 
disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o cliente 
quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número de opções 
diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido, é: 
(A) 19 
(B) 480 
(C) 420 
(D) 90 
 
02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. do Rio de Janeiro) Seja N a 
quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem 
ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O valor de N é: 
(A) 120 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 216 
(B) 240 
(C) 360 
(D) 480 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as 
possibilidades de fazermos o pedido: 
6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras. 
 
02. Resposta: C. 
Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos 
usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo 
poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 = 
6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo, 
teremos 4 possibilidades, montando temos: 
 
 
Basta multiplicarmos todas as possibilidades: 3 x 6 x 5 x 4 = 360. 
Logo N é 360. 
 
Fatorial de um Número Natural 
 
É comum aparecerem produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória, 
tais como: 3. 2 . 1 ou 5. 4 . 3 . 2 . 1, por isso surgiu a necessidade de simplificarmos este tipo de notação, 
facilitando os cálculos combinatórios. Assim, produtos em que os fatores chegam sucessivamente até a 
unidade são chamados fatoriais. 
Matematicamente: 
Dado um númeronatural n, sendo n є N e n ≥ 2, temos: 
 
 
Onde: 
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”) 
Por convenção temos que: 
 
 
 
Exemplos 
1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila. 
Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições: 
 
Temos que 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 
 
2) Dado 
9!
5!
 , qual o valor dessa fração? 
 
Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos 
levar o numerador até o valor do denominador e simplificarmos: 
 
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. 217 
Tipos de Agrupamento 
 
Os agrupamentos que não possuem elementos repetidos, são chamamos de agrupamentos 
simples. Dentre eles, temos aqueles onde a ordem é importante e os que a ordem não é importante. 
Vamos ver detalhadamente cada um deles. 
 
- Arranjo simples: agrupamentos simples de n elementos distintos tomados(agrupados) p a p. Aqui a 
ordem dos seus elementos é importante, é o que diferencia. 
 
Exemplos 
1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos 
podemos formar com este conjunto? 
 
Observe que 123 é diferente de 321 e assim sucessivamente, logo é um Arranjo. 
 
Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar 
a fórmula do arranjo. 
Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p). 
Então: 
 
 
 
Utilizando a fórmula: 
Onde n = 6 e p = 3 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A6,3 =
6!
(6 − 3)!
=
6!
3!
=
6.5.4.3!
3!
= 120 
 
Então podemos formar com o conjunto S, 120 números com 3 algarismos. 
 
2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um 
coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha? 
n = 18 (professores) 
p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico) 
 
An, p =
n!
(n − p)!
→ A18,3 =
18!
(18 − 3)!
=
18!
15!
=
18.17.16.15!
15!
= 4896 grupos 
 
 
- Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos (arranjo), ao qual utilizamos 
todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem. A permutação simples é um 
caso particular do arranjo simples. 
É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das 
letras de uma palavra). 
 
Exemplos 
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO? 
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. 218 
 
 
Utilizando a fórmula da permutação temos: 
n = 4 (letras) 
P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como sabemos 1! = 1) → 24 . 1 = 24 anagramas 
 
2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L? 
 
 
 
P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L. 
 
- Combinação simples: agrupamento de n elementos distintos, tomados p a p, sendo p ≤ n. O que 
diferencia a combinação do arranjo é que a ordem dos elementos não é importante. 
Vemos muito o conceito de combinação quando queremos montar uma comitiva, ou quando temos 
também de quantas maneiras podemos cumprimentar um grupo ou comitiva, entre outros. 
 
Exemplos 
1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um 
congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis? 
 
Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo 
formado, os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes 
possibilidades que podemos considerar sendo como grupo equivalentes. 
P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1, P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2 ... 
 
Com isso percebemos que a ordem não é importante! 
 
Vamos então utilizar a fórmula para agilizar nossos cálculos: 
 
Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 = 
P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...). 
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. 219 
Aplicando a fórmula: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C7,4 =
7!
(7 − 4)! 4!
=
7!
3! 4!
=
7.6.5.4!
3! 4!
=
210
3.2.1
=
210
6
= 35 grupos de professores 
 
2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com 
extremidades em dois desses pontos? 
 
 
Uma corda fica determinada quando escolhemos dois pontos entre 
os dez. 
Escolher (A,D) é o mesmo que escolher (D,A), então sabemos que 
se trata de uma combinação. 
Aqui temos então a combinação de 10 elementos tomados 2 a 2. 
C10,2 =
n!
(n − p)! p!
=
10!
(10 − 2)! 2!
=
10!
8! 2!
=
10.9.8!
8! 2!
=
90
2
= 
45 cordas 
 
 
Agrupamentos com Repetição 
 
Existem casos em que os elementos de um conjunto repetem-se para formar novos subconjuntos. 
Nestes casos, devemos usar fórmulas de agrupamentos com repetição. Assim, teremos: 
A) arranjo com repetição; 
B) permutação com repetição; 
C) combinação com repetição. 
 
Vejamos: 
a) Arranjo com repetição: ou arranjo completo, é um grupo de p elementos de um dado conjunto, 
com n elementos distintos, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo porém ter 
elementos repetidos. 
Indicamos por AR n,p 
 
No arranjo com repetição, temos todos os elementos do conjunto à disposição a cada escolha, por 
isso, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 
 
 
 
Exemplo 
Quantas chapas de automóvel compostas de 2 letras nas duas primeiras posições, seguidas por 4 
algarismos nas demais posições (sendo 26 letras do nosso alfabeto e sendo os algarismos do sistema 
decimal) podem ser formadas? 
 
O número de pares de letras que poderá ser utilizado é: 
 
Pois podemos repetir eles. Aplicando a fórmula de Arranjo com repetição temos: 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟐𝟔, 𝟐 = 𝟐𝟔𝟐 = 𝟔𝟕𝟔 
 
Para a quantidade de números temos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 algarismos): 
 
 
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. 220 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Assim o número de chapas que podemos ter é dado pela multiplicação dos valores achados: 
676 . 10 000 = 6 760 000 possibilidades de placas. 
 
Observação: Caso não pudesse ser utilizada a placa com a sequência de zeros, ou seja, com 4 zeros 
teríamos: 
 
 
 
𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟔𝟕𝟔. 𝟏𝟎𝟒 − 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎𝟒. (𝟔𝟕𝟔 − 𝟏) 
 
b) Permutação com repetição: a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos 
os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são 
permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em 
que o mesmo elemento aparece. 
 
Com α + β + γ + ... ≤ n 
 
Exemplo 
Quantos são os anagramas da palavra ARARA? 
n = 5 
α = 3 (temos 3 vezes a letra A) 
β = 2 (temos 2 vezes a letra R) 
 
Equacionando temos: 
𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) =
𝒏!
𝜶!𝜷! 𝜸!
… → 𝒑𝟓(𝟑,𝟐) =
𝟓!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒. 𝟑!
𝟑! 𝟐!
=
𝟓. 𝟒
𝟐. 𝟏
=
𝟐𝟎
𝟐
= 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 
 
B.1) Permutação circular: a permutação circular com repetição pode ser generalizada através da 
seguinte forma: 
 
Vejamos o exemplo como chegar na fórmula, para aplicação. 
- De quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la? 
Fazendo um esquema, observamos que são posições iguais: 
 
 
O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações 
circulares será dado por: 
𝑃𝑐5 =
5!
5
=
5.4!
5
= 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
C) Combinação com repetição: dado um conjuntocom n elementos distintos, chama-se combinação 
com repetição, classe p (ou combinação completa p a p) dos n elementos desse conjunto, a todo grupo 
formado por p elementos, distintos ou não, em qualquer ordem. 
 
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. 221 
 
 
Exemplo 
Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos? 
Ilustrando temos: 
 
Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade 
de enumerar todas as possibilidades: 
n = 3 e p = 2 
𝑪𝑹𝒏,𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 → 𝑪𝑹 𝟑 + 𝟐 − 𝟏, 𝟐 → 𝑪𝑹𝟒, 𝟐 =
𝟒!
𝟐! (𝟒 − 𝟐)!
=
𝟒!
𝟐! 𝟐!
=
𝟒. 𝟑. 𝟐!
𝟐! 𝟐!
=
𝟏𝟐
𝟐
= 𝟔 
 
Questões 
 
01. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP) Com 12 fiscais, deve-se fazer um 
grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer um 
deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é: 
(A) 4 
(B) 660 
(C) 1 320 
(D) 3 960 
 
02. (PM/SP – Cabo – CETRO) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia 
deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de 
placas diferentes será igual a 
(A) 175.760.000. 
(B) 183.617.280. 
(C) 331.776.000. 
(D) 358.800.000. 
 
03. (TJ/RS – Técnico Judiciário - FAURGS) O Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura 
de barras composto por 5 barras para identificar os pertences de uma determinada seção de trabalho. As 
barras podem ser pretas ou brancas. Se não pode haver código com todas as barras da mesma cor, o 
número de códigos diferentes que se pode obter é de 
(A) 10. 
(B) 30. 
(C) 50. 
(D) 150. 
(E) 250. 
 
04. (SEED/SP – Agente de Organização Escolar – VUNESP) Um restaurante possui pratos principais 
e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas com 
vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais individuais, 
um para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e Carolina só 
não come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as restrições 
alimentares dos três é igual a 
(A) 384. 
(B) 392. 
(C) 396. 
(D) 416. 
(E)432. 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 222 
05. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Dentre os nove competidores de um campeonato 
municipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do campeonato 
estadual. Sendo assim, quantas combinações são possíveis de serem formadas com quatro desses nove 
competidores? 
(A) 126 
(B)120 
(C) 224 
(D) 212 
(E) 156 
 
06. (Pref. Lagoa da Confusão/TO – Orientador Social – IDECAN) Renato é mais velho que Jorge 
de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre suas 
idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28. 
 
07. (Pref. Nepomuceno/MG – Técnico em Segurança do Trabalho – CONSULPLAN) Numa sala há 
3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas maneiras é 
possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 lâmpadas acesas? 
(A) 12. 
(B) 18. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E) 36. 
 
08. (CREA/PR – Agente Administrativo– FUNDATEC) A fim de vistoriar a obra de um estádio de 
futebol para a copa de 2014, um órgão público organizou uma comissão composta por 4 pessoas, sendo 
um engenheiro e 3 técnicos. 
Sabendo-se que em seu quadro de funcionários o órgão dispõe de 3 engenheiros e de 9 técnicos, 
pode-se afirmar que a referida comissão poderá ser formada de _____ maneiras diferentes. 
Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima. 
(A) 252 
(B) 250 
(C) 243 
(D) 127 
(E) 81 
 
09. (ESA – Música – EXÉRCITO BRASILEIRO) Colocando-se em ordem alfabética os anagramas da 
palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF. 
(A) 103 
(B) 104 
(C) 105 
(D) 106 
(E) 107 
 
10. (CODEMIG – Analista de Administração – Gestão de Concursos) Oito amigos encontraram-se 
em uma festa. Se cada um dos amigos trocar um aperto de mão com cada um dos outros, quantos apertos 
de mão serão trocados? 
(A) 22. 
(B) 25. 
(C) 27. 
(D) 28. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 223 
Esta questão trata-se de Combinação, pela fórmula temos: 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
 
 
Onde n = 12 e p = 3 
Cn, p =
n!
(n − p)! p!
→ C12,3 =
12!
(12 − 3)! 3!
=
12!
9! 3!
=
12.11.10.9!
9! 3!
=
1320
3.2.1
=
1320
6
= 220 
 
Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660. 
 
02. Resposta: C. 
Algarismos possíveis: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=10 algarismos 
 _ _ _ _ _ _ _ 
101010  242424 24=331.776.000 
 
03. Resposta: B. 
_ _ _ _ _ 
22222=32 possibilidades se pudesse ser qualquer uma das cores 
Mas, temos que tirar código todo preto e todo branco. 
32-2=30 
 
04. Resposta: E. 
Para Alberto:5+4=9 
Para Bianca:4 
Para Carolina: 12 
_ _ _ 
9.4.12=432 
 
05. Resposta: A. 
1001. 
C_9,4 = 9! / 5!4! = (9∙8∙7∙6∙5!) / (5!∙24) = 126 
 
06. Resposta: C. 
Anagramas de RENATO 
_ _ _ _ _ _ 
6.5.4.3.2.1=720 
Anagramas de JORGE 
_ _ _ _ _ 
5.4.3.2.1=120 
 
Razão dos anagramas: 
720
120
= 6 
Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos 
 
07. Resposta: C. 
1ª possibilidade:2 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,3 = 3 ∙ 4 = 12 
 
2ª possibilidade:2 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,2 =
3!
1!2!
= 3 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 224 
 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,4 = 3 ∙ 1 = 3 
 
3ª possibilidade:3 ventiladores e 3 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,3 =
4!
1!3!
= 4 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,3 = 1 ∙ 4 = 4 
 
4ª possibilidade:3 ventiladores e 4 lâmpadas 
 𝐶3,3 =
3!
0!3!
= 1 
 
 𝐶4,4 =
4!
0!4!
= 1 
 
 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,4 = 1 ∙ 1 = 1 
Somando as possibilidades: 12 + 3 + 4 + 1 = 20 
 
08. Resposta: A. 
Engenheiros 
𝐶3,1 =
3!
2! 1!
= 3 
 
Técnicos 
𝐶9,3 =
9!
3! 6!
=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6!
6 ∙ 6!
= 84 
 
3 . 84 = 252 maneiras 
 
09. Resposta: D. 
F _ _ _ _ P4 = 4! 
I _ _ _ _ P4 = 4! 
L _ _ _ _p4 = 4! 
U_ _ _ _P4 = 4! 
ZF_ _ _P3 = 3! 
ZIF_ _P2 = 2! 
ZILFU-1 
ZILUF 
4 . 4! + 3! + 2! + 1 = 105 
Portanto, ZILUF está na 106 posição. 
 
10. Resposta: D. 
A primeira pessoa apertará a mão de 7 
A Segunda, de 6, e assim por diante. 
Portanto, haverá: 7+6+5+4+3+2+1=28 
 
PROBABILIDADE 
 
A teoria das probabilidades surgiu no século XVI, com o estudo dos jogos de azar, tais como jogos 
de cartas e roleta. Atualmente ela está intimamente relacionada com a Estatística e com diversos ramos 
do conhecimento. 
 
Definições15: 
 
15FILHO, Begnino Barreto; SILVA,Claudio Xavier da – Matemática – Volume Único - FTD 
IEZZI, Gelson – Matemática – Volume Único 
BUCCHI, Paulo – Curso prático de Matemática – Volume 2 – 1ª edição - Editora Moderna 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 225 
A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que cria e desenvolve modelos matemáticos para 
estudar os experimentos aleatórios. Alguns elementos são necessários para efetuarmos os cálculos 
probabilísticos. 
- Experimentos aleatórios: fenômenos que apresentam resultados imprevisíveisquando repetidos, 
mesmo que as condições sejam semelhantes. 
 
Exemplos: 
a) lançamento de 3 moedas e a observação das suas faces voltadas para cima 
b) jogar 2 dados e observar o número das suas faces 
c) abrir 1 livro ao acaso e observar o número das suas páginas. 
 
- Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um determinado 
experimento aleatório. Indicamos esse conjunto por uma letra maiúscula: U, S, A, Ω ... variando de acordo 
com a bibliografia estudada. 
 
Exemplo: 
a) quando lançamos 3 moedas e observamos suas faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda 
cara (c) e coroa (k), o espaço amostral deste experimento é: 
S = {(c,c,c); (c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)}, onde o número de elementos do 
espaço amostral n(A) = 8 
 
- Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral (S); muitas vezes um evento pode ser 
caracterizado por um fato. Indicamos pela letra E. 
 
Exemplo: 
a) no lançamento de 3 moedas: 
E1→ aparecer faces iguais 
E1 = {(c,c,c);(k,k,k)} 
O número de elementos deste evento E1 é n(E1) = 2 
 
E2→ aparecer coroa em pelo menos 1 face 
E2 = {(c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)} 
Logo n(E2) = 7 
 
Veremos agora alguns eventos particulares: 
- Evento certo: que possui os mesmos elementos do espaço amostral (todo conjunto é subconjunto 
de si mesmo); E = S. 
E: a soma dos resultados nos 2 dados ser menor ou igual a 12. 
 
- Evento impossível: evento igual ao conjunto vazio. 
E: o número de uma das faces de um dado comum ser 7. 
E: Ø 
 
- Evento simples: evento que possui um único elemento. 
E: a soma do resultado de dois dados ser igual a 12. 
E: {(6,6)} 
 
- Evento complementar: se E é um evento do espaço amostral S, o evento complementar de E 
indicado por C tal que C = S – E. Ou seja, o evento complementar é quando E não ocorre. 
E1: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser menor ou igual a 2. 
E2: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser maior que 2. 
S: espaço amostral é dado na tabela abaixo: 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 226 
 
 
E: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3) (2,4), (2,5), (2,6)} 
Como, C = S – E 
C = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), 
(5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
- Eventos mutuamente exclusivos: dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a 
ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, 
então: A ∩ B = Ø. 
Sejam os eventos: 
A: quando lançamos um dado, o número na face voltada para cima é par. 
A = {2,4,6} 
B: quando lançamos um dado, o número da face voltada para cima é divisível por 5. 
B = {5} 
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = Ø. 
 
Probabilidade em espaços equiprováveis 
Considerando um espaço amostral S, não vazio, e um evento E, sendo E ⊂ S, a probabilidade de 
ocorrer o evento E é o número real P (E), tal que: 
 
𝐏(𝐄) =
𝐧(𝐄)
𝐧(𝐒)
 
 
Sendo 0 ≤ P(E) ≤ 1 e S um conjunto equiprovável, ou seja, todos os elementos têm a mesma 
“chance de acontecer. 
Onde: 
n(E) = número de elementos do evento E. 
n(S) = número de elementos do espaço amostral S. 
 
Exemplo: 
Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é obtida 
da seguinte forma: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 
E = {1, 3, 5} n(E) = 3 
 
P(E) =
n(E)
n(S)
=
3
6
=
1
2
= 0,5 𝑜𝑢 50% 
 
Probabilidade da união de dois eventos 
Vamos considerar A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral A, o número de 
elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de 
elementos do evento B, subtraindo o número de elementos da intersecção de A com B. 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 227 
Sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação 
por n(S) a fim de obter a probabilidade P (A U B). 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵)
𝑛(𝑆)
=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
+
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
−
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
 
 
 
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) 
 
 
Para eventos mutuamente exclusivos, onde A ∩ B = Ø, a equação será: 
 
 
P (A U B) = P(A) + P(B) 
 
 
Exemplo: 
A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A 
probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões. 
Sendo P(A) a probabilidade de ser 110 milhões ou mais: P(A) = 95% = 0,95 
Sendo P(B) a probabilidade de ser 110 milhões ou menos: P(B) = 8% = 0,08 
P (A ∩ B) = a probabilidade de ser 110 milhões: P (A ∩ B) = ? 
P (A U B) = 100% = 1 
Utilizando a regra da união de dois eventos, temos: 
P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) 
1 = 0,95 + 0,08 - P (A ∩ B) 
P (A ∩ B) = 0,95 + 0,08 - 1 
P (A ∩ B) = 0,03 = 3% 
 
Probabilidade condicional 
Vamos considerar os eventos A e B de um espaço amostral S, definimos como probabilidade 
condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B e indicado por P(A | B) ou 𝑃 (
𝐴
𝐵
), a razão: 
 
𝑷(𝑨|𝑩) =
𝒏(𝑨 ∩ 𝑩)
𝒏(𝑩)
= 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
 
 
Lemos P (A | B) como: a probabilidade de A “dado que” ou “sabendo que” a probabilidade de B. 
Exemplo: 
No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o 
número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos 2 números é maior que 7. 
Montando temos: 
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), 
(3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), 
(6,5), (6,6)} 
Evento A: o número 5 no primeiro dado. 
A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} 
 
Evento B: a soma dos dois números é maior que 7. 
B = {(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 
A ∩ B = {(5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} 
P (A ∩ B) = 4/36 
P(B) = 15/36 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 228 
Logo: 
𝑃(𝐴|𝐵) = 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
=
4
36
15
36
=
4
36
.
36
15
=
4
15
 
 
Probabilidade de dois eventos simultâneos (ou sucessivos) 
A probabilidade de ocorrer P (A ∩ B) é igual ao produto de um deles pela probabilidade do outro em 
relação ao primeiro. Isto significa que, para se avaliar a probabilidade de ocorrem dois eventos 
simultâneos (ou sucessivos), que é P (A ∩ B), é preciso multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles 
P(B) pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu P (A | B). 
Sendo: 
 
𝐏(𝐀|𝐁) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐁)
 𝐨𝐮 𝐏(𝐁|𝐀) =
𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)
𝐏(𝐀)
 
 
- Eventos independentes: dois eventos A e B de um espaço amostral S são independentes quando 
P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B). Sendo os eventos A e B independentes, temos: 
 
P (A ∩ B) = P(A). P(B) 
 
Exemplo: 
Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 
na dado e cara na moeda. 
Sendo, c = coroa e k = cara. 
 
S = {(1,c), (1,k), (2,c), (2,k), (3,c), (3,k), (4,c), (4,k), (5,c), (5,k), (6,c), (6,k)} 
Evento A: 3 ou 5 no dado 
A = {(3,c), (3,k), (5,c), (5,k)} 
𝑃(𝐴) =
4
12
=
1
3
 
 
Evento B: cara na moeda 
B = {(1,k), (2,k), (3,k), (4,k), (5,k), (6,k)} 
𝑃(𝐵) =
6
12
=
1
2
 
 
Os eventos são independentes, pois o fato de ocorrer o evento A não modifica a probabilidade de 
ocorrer o evento B. Com isso temos: 
P (A ∩ B) = P(A). P(B) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)=
1
3
.
1
2
=
1
6
 
 
Observamos que A ∩ B = {(3,k), (5,k)} e a P (A ∩ B) poder ser calculada também por: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑆)
=
2
12
=
1
6
 
No entanto nem sempre chegar ao n(A ∩ B) nem sempre é fácil dependendo do nosso espaço 
amostral. 
 
Lei Binomial de probabilidade 
Vamos considerar um experimento que se repete n número de vezes. Em cada um deles temos: 
P(E) = p, que chamamos de probabilidade de ocorrer o evento E com sucesso. 
P(�̅�) = 1 – p, probabilidade de ocorrer o evento E com insucesso (fracasso). 
 
A probabilidade do evento E ocorrer k vezes, das n que o experimento se repete é dado por uma lei 
binomial. 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 229 
 
A probabilidade de ocorrer k vezes o evento E e (n - k) vezes o evento �̅� é o produto: pk . (1 – p)n - k 
 
As k vezes do evento E e as (n – k) vezes do evento �̅� podem ocupar qualquer ordem. Então, 
precisamos considerar uma permutação de n elementos dos quais há repetição de k elementos e de (n – 
k) elementos, em outras palavras isso significa: 
 
𝑃𝑛
[𝑘,(𝑛−𝑘)] =
𝑛!
𝑘.(𝑛−𝑘)!
= (𝑛𝑘), logo a probabilidade de ocorrer k vezes o evento E no n experimentos é 
dada: 
 
𝒑 = (
𝒏
𝒌
) . 𝒑𝒌. 𝒒𝒏−𝒌 
 
A lei binomial deve ser aplicada nas seguintes condições: 
 
- O experimento deve ser repetido nas mesmas condições as n vezes. 
- Em cada experimento devem ocorrer os eventos E e �̅�. 
- A probabilidade do E deve ser constante em todas as n vezes. 
- Cada experimento é independente dos demais. 
 
Exemplo: 
Lançando-se uma moeda 4 vezes, qual a probabilidade de ocorrência 3 caras? 
Está implícito que ocorrerem 3 caras deve ocorrer uma coroa. Umas das possíveis situações, que 
satisfaz o problema, pode ser: 
 
Temos que: 
n = 4 
k = 3 
𝑃(𝐸) =
1
2
, 𝑃(𝐸)̅̅ ̅ = 1 −
1
2
 
 
Logo a probabilidade de que essa situação ocorra é dada por: 
(
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
, como essa não é a única situação de ocorre 3 caras e 1 coroa. Vejamos: 
 
Podemos também resolver da seguinte forma: (43) maneiras de ocorrer o produto (
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
, 
portanto: 
𝑃(𝐸) = (
4
3
) . (
1
2
)
3
. (1 −
1
2
)
1
= 4.
1
8
.
1
2
=
1
4
 
 
 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 230 
Questões 
 
01. (BANESTES – Técnico em Segurança do Trabalho – FGV/2018) Dados os conjuntos A = {1, 2, 
3} e B = {4, 5, 6, 7}, João escolhe ao acaso um elemento de cada um deles. A probabilidade de que o 
produto dos dois elementos escolhidos seja um número par é: 
 
(A) 1/4; 
(B) 1/3; 
(C) 1/2; 
(D) 2/3; 
(E) 3/4. 
 
02. (ENEM - CESGRANRIO) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês 
é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em 
uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador 
entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos 
alunos. 
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é 
(A) 23,7% 
(B) 30,0% 
(C) 44,1% 
(D) 65,7% 
(E) 90,0% 
 
03. (ENEM - CESGRANRIO) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas 
numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. 
Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20? 
(A) 1/100 
(B) 19/100 
(C) 20/100 
(D) 21/100 
(E) 80/100 
 
 04. (Pref. Niterói – Agente Fazendário – FGV) O quadro a seguir mostra a distribuição das idades 
dos funcionários de certa repartição pública: 
 
Escolhendo ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de que ele tenha mais de 40 anos é: 
(A) 30%; 
(B) 35%; 
(C) 40%; 
(D) 45%; 
(E) 55%. 
 
05. (Pref. Niterói – Fiscal de Posturas – FGV) Uma urna contém apenas bolas brancas e bolas pretas. 
São vinte bolas ao todo e a probabilidade de uma bola retirada aleatoriamente da urna ser branca é 1/5. 
Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente e sem reposição. 
A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas é: 
(A) 16/25; 
(B) 16/19; 
(C) 12/19; 
(D) 4/5; 
(E) 3/5. 
 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 231 
06. (TJ/RO – Técnico Judiciário – FGV) Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e 32 
quadradinhos brancos. 
 
Um desses 64 quadradinhos é sorteado ao acaso. 
A probabilidade de que o quadradinho sorteado seja um quadradinho preto da borda do tabuleiro é: 
(A) ½; 
(B) ¼; 
(C) 1/8; 
(D) 9/16; 
(E) 7/32. 
 
07. (Pref. Jucás/CE – Professor de Matemática – INSTITUTO NEO EXITUS) Fernanda organizou 
um sorteio de amigo secreto entre suas amigas. Para isso, escreveu em pedaços de papel o nome de 
cada uma das 10 pessoas (incluindo seu próprio nome) que participariam desse sorteio e colocou dentro 
de um saco. Fernanda, como organizadora, foi a primeira a retirar um nome de dentro do saco. A 
probabilidade de Fernanda retirar seu próprio nome é: 
(A) 3/5. 
(B) 2/10. 
(C) 1/10. 
(D) ½. 
(E) 2/3. 
 
08. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Uma loja 
de eletrodoméstico tem uma venda mensal de sessenta ventiladores. Sabe-se que, desse total, seis 
apresentam algum tipo de problema nos primeiros seis meses e precisam ser levados para o conserto 
em um serviço autorizado. 
Um cliente comprou dois ventiladores. A probabilidade de que ambos não apresentem problemas nos 
seis primeiros meses é de aproximadamente: 
(A) 90% 
(B) 81% 
(C) 54% 
(D) 11% 
(E) 89% 
 
09. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) Em uma 
caixa estão acondicionados uma dúzia e meia de ovos. Sabe-se, porém, que três deles estão impróprios 
para o consumo. 
Se forem escolhidos dois ovos ao acaso, qual a probabilidade de ambos estarem estragados? 
(A) 2/153 
(B) 1/9 
(C) 1/51 
(D) 1/3 
(E) 4/3 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Vamos fazer o total de possíveis resultados entre os conjuntos A e B. 
Como em A temos 3 elementos e em B temos 4 elementos, teremos um total de 12 possibilidades de 
fazer A vezes B, 
Vamos ver quais serão pares agora: 
A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7}, 
A . B 
1511021 E-book gerado especialmente para CRISTIANE DE OLIVEIRA SEVERINO
 
. 232 
1 . 4 = 4 
1 . 6 = 6 
2 . 4 = 8 
2 . 5 = 10 
2 . 6 = 12 
2 . 7 = 14 
3 . 4 = 12 
3 . 6 = 18 
Assim, teremos 8 possibilidades de um total de 12, logo a probabilidade desse número ser par será de 
8/12 = 2/3 (simplificando a fração) 
 
02. Resposta: D. 
A probabilidade de nenhum dos três alunos responder à pergunta feita pelo entrevistador é 
0,70 . 0,70 . 0,70 = 0,343 = 34,3% 
Portanto, a possibilidade dele ser entendido é de: 100% – 34 ,3% = 65,7% 
 
03. Resposta: C. 
A probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20 é 20/100, pois são 20 números entre 
100. 
 
04. Resposta: D. 
O espaço amostral é a soma de todos os funcionário: 
2 + 8 + 12 + 14 + 4 = 40 
O número de funcionário que tem mais de 40 anos é: 14 + 4 = 18 
Logo a probabilidade é: 
𝑃(𝐸) =
18
40
= 0,45 = 45% 
 
05. Resposta: C. 
B = bolas brancas 
T = bolas pretas 
Total 20 bolas = S (espaço amostral) 
P(B) = 1/5 
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑆)
→
1
5
=
𝑛(𝐵)
20
→ 𝑛(𝐵) =
20
5
= 4 
 
Logo 20 – 4 = 16 bolas pretas 
𝑃(𝑇1) =
𝑛(𝑇)
𝑛(𝑆)
=
16
20
=
4
5
 
 
Como não há reposição a probabilidade da 2º bola ser preta é: 
 
𝑃(𝑇2) =
𝑛(𝑇)
𝑛(𝑆)
=
15
19
 
 
Como os eventos são independentes multiplicamos as probabilidades: 
4
5
.
15
19
=
60
95
=
12
19
 
 
06. Resposta: