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CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL 8. APLICAÇÕES DA INTEGRAL
COMPRIMENTO: FORMA CARTESIANA
1. Calcule o comprimento de uma circunferência de raio R: (resp.: L = 2�R)
2. Em cada caso, a curva 
 é dada na forma cartesiana. Calcule L (
) ; o comprimento do arco 
.
(a) 
 : y = 1� ln (senx) ; �=6 � x � �=4: (resp.: L = ln[2 +p3)(p2� 1)])
(b) 
 : y =
x3
12
+
1
x
; 1 � x � 2: (resp.: L = 13=12)
(c) 
 : y = 23
�
1 + x2
�3=2
; 0 � x � 3: (resp.: L = 21)
(d) 
 : x =
y3
2
+
1
6y
; 1 � y � 3: (resp.: L = 118=9)
(e) 
 : y =
p
x (1� x=3) ; 0 � x � 3: (resp.: L = 2p3)
(f) 
 : (y + 1)2 = (x� 4)3 ; 5 � x � 8: (resp.: L = 127
�
80
p
10� 13p13 �)
COMPRIMENTO: FORMA PARAMÉTRICA
1. Calcule o comprimento de uma circunferência de raio R; na forma parametrizada.(resp.: L = 2�R)
2. Considerando a parametrização x = a cos3 t e y = a sen3 t; 0 � t � 2�; calcule o comprimento da
hipociclóide de equação x2=3 + y2=3 = a2=3: (resp.: L = 6a)
3. Calcule a distância percorrida por uma partícula entre os instantes t = 0 e t = 4, se sua posição
P (x; y) no instante t vem dada por: x = 12 t
2 e y = 13 (2t+ 1)
3=2 : (resp.: L = 12)
4. Em cada caso, calcule o comprimento do arco 
 indicado:
(a) 
 : x = t3; y = t2; �1 � t � 3: (resp.: L = 127 (85
p
85 + 13
p
13� 16))
(b) 
 : x = et cos t; y = et sen t; 0 � t � 1: (resp.: L = p2(e� 1))
(c) 
 : x = 2 (1� sen t) ; y = 2 (1� cos t) ; 0 � t � �: (resp.: L = 2�)
(d) 
 : x = t cos t; y = t sen t; 0 � t � �=4: (resp.: L = �2
p
1 + �2)
(e) 
 : x = cos (2t) ; y = sen2 t; 0 � t � �: (resp.: L = 2p5)
(f) 
 : x = 12 t
2 + t; y = 12 t
2 � t; 0 � t � 1: (resp.: L = 1�
p
2
2 ln(
p
2� 1))
2 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS
COORDENADAS POLARES
1. Localize no plano cartesiano os seguintes pontos dados em coordenadas polares (r; �) e, em seguida,
determine suas coordenadas cartesianas:
(a) A(2; �=4) (b) B(2; 3�=2) (c) C(3; �=6) (d) D(1;��=4)
(e) E(2; 5�=6) (f) F (1;��=4) (g) G (2; 7�=6) (h) H (3; 13�=6)
2. Determine as coodenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas (x; y) são:
(a) (1=2; 1=2) (b) (�=2; �=2) (c) (�p2=2;p2=2) (d) (3; 3p3)
(e) (�1;�1) (f) (1;p3) (g) (�p7; 3) (h) (0;�4)
3. Passe para a forma polar r = f (�) as seguintes curvas, descritas na forma cartesianas:
(a) xy = 2 (b) x2 + y2 � 3y = 0 (c) 3x2 + 5y2 = 15
(d) x+ 1 = 0 (e) x2 � y2 = 1 (f) y2 � 4x = 0:
4. Passe para forma cartesiana (F (x; y) = 0) as seguintes curvas, dadas na forma polar r = f (�) :
Esboce gra…camente as curvas.
(a) r = 2 + sen 2� (b) r = sen 2� (c) r =
4
1 + cos �
(d) r = a cos � (e) r = 5
(f) r = 5 + 2 cos � (g) r = 3 sec � (h) r = 1 +
p
2 cos � (i) r = 2 tan � (j) r = �
(k) r2 = 23a
2 cos � (l) r = 1=� (m) r =
4
1� cos � (n) r = 2 sen � (o) � =
�
2
:
5. Determine, caso exista, a interseção entre os seguintes pares de curvas:
(a) r = 2 e r = 4 cos � (b) r = 1 + cos � e r = 1=3 (1� cos �)
(c) r2 = 4 sen 2� e r = 2
p
2 cos � (d) � = �=4 e r = 2 cos �
COMPRIMENTO E ÁREA EM COORDENADAS POLARES
Em coordenadas polares, consideramos curvas 
 descritas por uma equação do tipo 
 : r = f (�),
sendo a função f e sua derivada primeira contínuas, e o angulo � varia no intervalo [�1; �2].
O comprimento L e a área A (D) são calculados, respectivamente, pelas fórmulas:
L =
Z �2
�1
q
f (�)2 + f 0 (�)2d� e A (D) = 12
Z �2
�1
f (�)2 d�:
Abaixo ilustramos a situação geométrica.
COMPLEMENTOS 8 APLICAÇÕES DA INTEGRAL 3
1. Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
(a) r = 3 cos �; 0 � � � �2 (b) r = 2 sec �; 0 � � � �3 (c) r = 1� cos �; 0 � � � �2
(d) r = �=3; 0 � � � �2 (e) r = jsen �j ; 0 � � � 2� (f) r = 3 cos2(�=2); 0 � � � �2
(g) r = a�2; 0 � � � �2 (h) r = a sen3(�=3); 0 � � � �2 (i) r = sen � + cos �; 0 � � � �2
2. Calcule a área da região interior a cada curva dada abaixo:
(a) r2 = a2 cos 2� (b) r = a (2� cos �) (c) r = 2a sen �
(d) r = a (1 + cos 2�) (e) r2 = 1� cos � (f) r2 = 2a2 cos2 (�=2)
3. Em cada caso, esboce gra…camente a região D e calcule a área A (D) :
(a) D é interior ao círculo r = a e exterior à cardióide r = a (1� cos �).(resp.: A(D) = a2(2� �=4))
(b) D é delimitada pelas curvas r = 2; � = �=4 e � = �=2: (resp.: A(D) = �=2)
(c) D é interior à cardióide r = a (1 + sen �) e exterior ao círculo r = a sen �:(resp.: A(D) = 5�a2=4))
(d) D é comum aos círculos r = 2a cos � e r = 2a sen �: (resp.: A(D) = a2(�1 + �=2))
(e) D é interior à leminiscata r2 = 8 cos 2� e exterior ao círculo r = 2: (resp.: A(D) = 43 (3
p
3� �))
(f) D é interior ao círculo r = 3 cos � e exterior à cardióide r = 1 + cos �: (resp.: A(D) = �)
(g) D é delimitada pela rosácea de 4 pétalas r = a jsen 2�j (resp.: A(D) = a2�=2)
(h) D é interior ao círculo r = cos � e exterior à cardióide r = 1 + sen �: (resp.: A(D) = 1� �=4)
(i) D é interior ao círculo r = sen � e exterior à cardióide r = 1� cos �: (resp.: A(D) = 1� �=4)
VOLUME DE REVOLUÇÃO
1. Em cada caso, esboce a região D delimitada palas curvas dadas e, em seguida, calcule o volume
do sólido 
; gerado pela rotação da região D em torno do eixo indicado.
4 CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS
(a) y = x4 � 2x2; y = 2x2; x � 0; eixo y: (resp.: vol(
) = 32�=3)
(b) y = x2 � 4x; y = 0; eixo x: (resp.: vol(
) = 512�=15)
(c) y =
p
x; y = 0; x = 4; eixo x = 4: (resp.: vol(
) = 256�=15)
(d) x2 + y2 = 1; eixo x = 2: (resp.: vol(
) = 4�2)
(e) y =
p
x; y = 0; x = 4; eixo y = 2: (resp.: vol(
) = 40�=3)
(f) y = x; y = 0; x = 2; eixo y: (resp.: vol(
) = 16�=3)
(g) y = x2; y = 4� x2; eixo x: (resp.: vol(
) = 64p2�=3)
(h) xy = 1; y = 0; x = 1 e x = 2; eixo x: (resp.: vol(
) = �=2)
2. Calcule o volume delimitado pela esfera: x2 + y2 + z2 = R2: (resp.: vol(
) = 43�R
3)
3. Calcule o volume delimitado pelo elipsóide:
x2
a2
+
y2
a2
+
z2
b2
= 1: (resp.: vol(
) = 43�a
2b)
4. Calcule o volume delimitado pelo parabolóide: z =
x2
a2
+
y2
a2
; z � h: (resp.: vol(
) = 12�a2h2)
5. Calcule o volume de um cilindro circular reto de raio R e altura h: (resp.: vol(
) = �R2h)
6. Calcule o volume de um cone circular reto de raio R e altura h: (resp.: vol(
) = 13�R
2h)
7. Uma região D do plano xy é delimitada pelo triângulo de vértices (0; 0) ; (h; 0) e (h; r), sendo h
e r números positivos. Calcule o volume do sólido resultante da rotação da região D em torno do
eixo x. E se a rotação fosse em torno do eixo y? (resp.: vol(
) = �r2h=3 e vol(
) = 2�rh2=3)
8. Qual o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região do plano xy delimitada
pela parábola y = x2; pelo eixo x e pelas retas y = 2x� 1 e y = x+ 2? (resp.: vol(
) = 17�=30)
9. É feito um orifício de raio 2
p
3 pelo centro de um sólido esférico de raio R = 4. Calcule o volume
da porção retirada do sólido. (resp.: vol(
) = 224�=3)
10. Calcule o volume de um tronco de cone circular reto de altura h, raio da base inferior R e raio da
base superior r: (resp.: vol(
) = �h=3(R2 + r2 + rR))
11. Calcule o volume de uma calota determinada em uma esfera de raio r por um plano cuja distância
ao centro da esfera é h, h < r: (resp.: vol(
) = 2�r3=3 + �h3=3� �r2h)