AULA 8 TRATAMENTOS DE DADOS

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Análise	de	Variância	(ANOVA)
ANOVA
É	uma	ferramenta	de	teste	de	hipóteses	utilizada	para	comparar	médias	de	três	
ou	mais	grupos.
!𝐻#: µ& = µ( = µ)	𝑛ã𝑜	𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒	𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎	𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎	𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒	𝑎𝑠	𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑠𝐻&: 𝑝𝑒𝑙𝑜	𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠	𝑢𝑚𝑎	𝑑𝑎𝑠	𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑠	é	𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
Condições
a) Cada	amostra	deve	ser	selecionada	de	uma	população	
normal,	ou	aproximadamente	normal;
b) As	amostras	devem	ser	independentes	entre	si;
Estatística	da	ANOVA
É	determinado	pela	razão	entre	duas	variâncias:
àA	variância	entre os	grupos	mede	as	diferenças	relacionadas	ao	
tratamento.
àA	variância	dentro dos	grupos	mede	as	diferenças	relacionadas	
dentro	da	mesma	amostra,	entre	os	dados	de	um	mesmo	
grupo.
Notações𝒌 − 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠	𝑜𝑢	𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝒓 − 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çõ𝑒𝑠	𝑒𝑚	𝑐𝑎𝑑𝑎	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝒏 − 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜	𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙	𝑑𝑎	𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝒚 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠	𝑑𝑎	𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙	
O	que	precisamos	obter𝐺𝑟𝑎𝑢𝑠	𝑑𝑒	𝐿𝑖𝑏𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑮𝒓𝒖𝒑𝒐	 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 𝑘 − 1𝑬𝒓𝒓𝒐	 𝑟𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜 = 𝑛 − 𝑘𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑛 − 1𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓	𝒅𝒆	𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆çã𝒐	𝐶 = (∑ 𝑦)(𝑛 	𝑺𝒐𝒎𝒂	𝒅𝒐𝒔	𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔	𝑻𝒐𝒕𝒂𝒊𝒔	 − 𝑺𝑸𝑻	e𝒚𝟐 − 𝑪
O	que	precisamos	obter𝑺𝒐𝒎𝒂	𝒅𝒐𝒔	𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔	𝒅𝒆	𝑻𝒓𝒂𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑺𝑸𝑻𝒓	
𝑆𝑄𝑇𝑟 = ∑𝑇(𝑟 − 𝐶𝑺𝒐𝒎𝒂	𝒅𝒐𝒔	𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔	𝒅𝒆	𝑹𝒆𝒔í𝒅𝒖𝒐𝒔 − 	𝑺𝑸𝑹	𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐	𝑴é𝒅𝒊𝒐	𝒅𝒆	𝑻𝒓𝒂𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐	 − 𝑸𝑴𝑻𝒓	𝑄𝑀𝑇𝑟 = 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑘 − 1
O	que	precisamos	obter𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐	𝑴é𝒅𝒊𝒐	𝒅𝒆	𝑹𝒆𝒔í𝒅𝒖𝒐	 − 𝑸𝑴𝑹	
𝑄𝑀𝑅 = 𝑆𝑄𝑅𝑛 − 𝑘𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓	𝒅𝒆	𝑭	
𝐹 = 𝑄𝑀𝑇𝑟𝑄𝑀𝑅
Resultado	da	Análise	de	Variância
Regra	de	Decisão	– Tabela	F
Graus	de	Liberdade	do	Numerador						𝒌 − 𝟏
Graus	de	Liberdade	do	Denominador	 𝒏 − 𝒌
Regra	de	Decisão	– Tabela	F
𝑺𝒆	𝑭𝒄𝒂𝒍𝒄 > 𝑭𝒕𝒂𝒃𝑅𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎 − 𝑠𝑒	𝐻#; 	𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒	𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎	𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑺𝒆	𝑭𝒄𝒂𝒍𝒄 < 𝑭𝒕𝒂𝒃	𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 − 𝑠𝑒	𝐻#; 𝑛ã𝑜	𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒	𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎	𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓	𝒅𝒆	𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆çã𝒐	𝐶 = (∑ 𝑦)(𝑛 	𝑺𝒐𝒎𝒂	𝒅𝒐𝒔	𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔	𝑻𝒐𝒕𝒂𝒊𝒔	𝑺𝑸𝑻 = e𝒚𝟐 − 𝑪
𝑺𝒐𝒎𝒂	𝒅𝒐𝒔	𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔	𝒅𝒆	𝑻𝒓𝒂𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
𝑆𝑄𝑇𝑟 = ∑𝑇(𝑟 − 𝐶
𝑺𝒐𝒎𝒂	𝒅𝒐𝒔	𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔	𝒅𝒆	𝑹𝒆𝒔í𝒅𝒖𝒐𝒔𝑆𝑄𝑅 = 𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐	𝑴é𝒅𝒊𝒐	𝒅𝒆	𝑻𝒓𝒂𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐	
𝑄𝑀𝑇𝑟 = 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑘 − 1𝑸𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐	𝑴é𝒅𝒊𝒐	𝒅𝒆	𝑹𝒆𝒔í𝒅𝒖𝒐
𝑄𝑀𝑅 = 𝑆𝑄𝑅𝑛 − 𝑘 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓	𝒅𝒆	𝑭	
𝐹 = 𝑄𝑀𝑇𝑟𝑄𝑀𝑅
Máquina	A Máquina	B Máquina	C
8 10 7
7 7 5
9 6 6
6 9 5
7 3 8
Um fabricante deseja determinar a eficiência de 3 tipos de 
máquinas (A, B e C) na produção de parafusos. Para obter essa 
informação, verificou-se o número de parafusos defeituosos 
produzidos por cada máquina no período de 5 dias.
Quantidade de parafusos defeituosos
Um	pesquisador	deseja	determinar	se	há	diferença	no	intervalo	de	
tempo	no	qual	três	diferentes	analgésicos	aliviam	a	dor	de	cabeça.	Os	
resultados,	em	minutos,	estão	dispostos	na	tabela	a	seguir.
Conclua	sobre	os	resultados	obtidos	a	um	nível	de	significância	de	5%.	
Medicação	1 Medicação	2 Medicação 3
10 16 14
9 14 17
12 21 20
Teste	de	comparação	de	Turkey
É	uma	ferramenta	que	permite	analisar	quais	das	médias	que	apresentam	diferença	
significativa.	Para	isso,	temos	que	calcular	a	Diferença	Mínima	Significativa	(d.m.s.).𝑑.𝑚. 𝑠. = 𝑞. 𝑄𝑀𝑅𝑟
z 𝑞 = 𝐹{|}𝑄𝑀𝑅 = 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜	𝑚é𝑑𝑖𝑜	𝑑𝑜	𝑟𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜𝑟 = 	𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çõ𝑒𝑠	𝑛𝑜𝑠	𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠
Se	a	diferença	das	médias	for	igual	ou	maior	a	d.m.s.,	então	a	diferença	é	
significativa.
A	resistência	do	concreto	à	compressão	(em	mil	psi)	está	sendo	estudada	e	três	
técnicas	diferentes	de	mistura	estão	sendo	investigadas.	Compare	essas	técnicas	
e	conclua	ao	nível	de	significância	de	5%.	
Complete	a	tabela	da	Análise	de	Variância		
Conclua	sobre	os	resultados	obtidos	a	um	nível	de	significância	de	5%.