curso de vibrações - modulo X

Prévia do material em texto

Vibrações Mecânicas
Universidade Federal de São João Del Rei
Departamento de engenharia mecânica
Vibrações Mecânicas
Prof. : Fabiano Bianchini Batista
Aula : Vibração forçada em sistemas 
com 1 GDL com excitação periódica 
não-harmônica
1. Equação de movimento para o caso 
com amortecimento viscoso
Sistema massa-mola-amortecedor viscoso
( ) ( ) ( ) ( )mx t cx t kx t F t+ + =�� �
Equação de movimento:
( ) ( ) ( ) ( )mx t cx t kx t F t+ + =�� �
Equação diferencial não-homogênea
Solução: ( ) ( ) ( )h px t x t x t= +
homogênea particular
Quando é válido o princípio da superposição, 
sistemas lineares
Supondo que a força de excitação seja periódica porém não
harmônica.
Excitação periódica não harmônica
( ) ( ) ( ) ( )mx t cx t kx t F t+ + =�� �
exemplo exemploSérie
de
Fourier
Soma de excitações harmônicas
Forceexemplo exemplo
Determina-se a resposta particular a cada 
excitação harmônica
Princípio
da
Sistema
Solução:
da
Superposição
Soma-se as respostas permanentes referentes a cada 
uma das excitações harmônicas
Sistema
Linear
1.1 Revisão: expansão em série de Fourier
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1 2cos cos 2 ... sen sen 2 ...2
af t a t a t b t b tω ω ω ω= + + + + + +
“Qualquer função periódica pode ser representada por uma série
de Fourier como uma soma infinita de termos em seno e co-seno.”
“Embora a série seja representada matematicamente como uma
soma infinita, pode-se aproximar a maioria das funções
periódicas com a ajuda de apenas algumas funções harmônicas.”
( ) ( ) ( )0
1
cos sen 
2 n nn
af t a n t b n tω ω
∞
=
 = + + ∑
onde f(t) representa uma função periódica qualquer, an e bn são
coeficientes constantes, ω = 2pi/τ é a frequência fundamental e τ é
o período.
Multiplicando a equação anterior por cos(nωt) e por sen(nωt),
respectivamente, e integrando sobre um período τ = 2pi/ω, obtém-respectivamente, e integrando sobre um período τ = 2pi/ω, obtém-
se:
( ) ( ) ( ) ( )2 /
0 0
2
cos cosna f t n t dt f t n t dt
pi ω τω
ω ω
pi τ
= =∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 /
0 0
2
sen sennb f t n t dt f t n t dt
pi ω τω
ω ω
pi τ
= =∫ ∫
( ) ( )2 /0 0 0
2
a f t dt f t dtpi ω τω
pi τ
= =∫ ∫
é simplesmente o valor médio de
f(t) sobre o período τ;
Exemplo: sistema de abertura e fechamento de válvulas
(sistema came-seguidor)
Exemplo: aproximação de uma onda quadrada
Reconstrução de uma onda quadrada por Séries de Fourier. Em
vermelho está representado a função exata, em preto a representação
em séries de Fourier e em azul estão desenhadas cada uma das
harmônicas consideradas em cada reconstrução.
A série de Fourier também pode ser representada pela soma de
termos somente em seno ou em co-seno. Para a série escrita como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1 2cos cos 2 ... sen sen 2 ...2
af t a t a t b t b tω ω ω ω= + + + + + +
e sabendo-se que (pela trigonometria):
( ) ( ) 2 2 1 2 2 1sen cos cos tg sen tgA BA B A B A Bθ θ θ θ− −   + = + − = + +   
( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 0
1
cos cos 2 ... cosn n
n
f t d d t d t d d n tω φ ω φ ω φ
∞
=
= + − + − + = + −∑
0
0 2
ad = 2 2n n nd a b= + arctg
n
n
n
b
a
φ  =  
 
pode-se então reescrever a série em termos de co-seno como:
( ) ( )sen cos cos tg sen tgA B A B A B
B A
θ θ θ θ+ = + − = + +   
   
E, também, uma outra representação da série de Fourier pode ser
feita através de números complexos. Sabendo-se que:
cos seni te t i tω ω ω= + cos seni te t i tω ω ω− = −
pode-se escrever cosseno e seno como sendo:
i t i tω ω−
−
cos
2
i t i te e
t
ω ω
ω
−+
= sen 2
i t i te e
t
i
ω ω
ω
−
−
=
Assim, para a série de Fourier escrita como:
( ) 0 1 2 1 2cos cos2 ... sen sen2 ...2
af t a t a t b t b tω ω ω ω= + + + + + +
em números complexos, tem-se:
( ) 0
12 2 2
in t in t in t in t
n n
n
a e e e ef t a b
i
ω ω ω ω− −∞
=
    + − 
= + + =    
     
∑
0
12 2 2
in t in tn n n n
n
a a ib a ib
e eω ω
∞
−
=
 − +   
= + +    
    
∑
Onde:
( )[ ] ( )
0 0
1 1
cos sen
2
in tn n
n
a ib
c f t n t i n t dt f t e dtτ τ ωω ω
τ τ
−
−
= = − =∫ ∫
( ) in tn
n
f t c e ω
∞
=−∞
= ∑
A expansão em série de Fourier permite a descrição de qualquer
função periódica usando uma representação no domínio do tempo
ou da frequência. Por exemplo: seja a função harmônica abaixo:
domínio do tempo domínio da frequência
domínio do tempo
função periódica
domínio da frequência
(espectro de frequências)
Obs: a representação no domínio da frequência não dá as condições iniciais.
Todavia, essas condições são frequentemente consideradas desnecessárias em
muitas aplicações práticas devido ao interesse somente nas condições de regime
permanente!
domínio da frequência
(espectro de frequências)
1.2 Excitação expandida em Série de Fourier
F(t) é a força, 
uma função 
periódica de 
período 
( ) ( )0
1 1
( ) cos sen
2 j jj j
aF t a j t b j tω ω
∞ ∞
= =
= + +∑ ∑
2
 é a frequência fundamentalpiω
τ
=
τ = 2pi/ω:
aj e bj são os 
Coeficientes da 
série de Fourier
a
a
2 2 harmônica
3 3 harmônica, etc.
τ
ω
ω
=
=
0
0
2 ( )cos( ) 0, 1, 2, ...
2 ( )sen( ) 1, 2, ...
j
j
a F t j t dt j
b F t j t dt j
τ
τ
ω
τ
ω
τ
= =
= =
∫
∫
0
1 1
( ) cos( ) sen( )
2 j jj j
a
mx cx kx F t a j t b j tω ω
∞ ∞
= =
+ + = = + +∑ ∑�� �
constanteconstante
soma de funções harmônicas
Princípio da Superposição (sistema linear):
Resposta permanente total = soma das respostas permanentes
associadas a cada termo da série
Como foi definido anteriormente, a resposta particular de um
sistema excitado por uma força harmônica do tipo seno ou cosseno
é dado por:
( ) ( )cosx t X tω φ= −
ou
( ) ( )senx t X tω φ= −
( ) ( )0senF t F tω= ( ) ( )0cosF t F tω=
[ ]{ }
0
22 222 2
/
1 2
1 2
est
n n
F kX
r r
δ
ζω ωζ
ω ω
= =
     − +       − +    
       
( ) ( )cospx t X tω φ= −
onde:
( ) ( )senpx t X tω φ= −
1
2
2
tg
1
r
r
ζφ −  =  
− 
0amx cx kx+ + =�� �
0
02( )
2p
a
a
x t
k k
= =
0
1 1
( ) cos( ) sen( )
2 j jj j
a
mx cx kx F t a j t b j tω ω
∞ ∞
= =
+ + = = + +∑ ∑�� �
Portanto, para o caso abaixo onde:
as seguintes soluções particulares podem ser obtidas:
[ ]{ }
0
2 22
/
1 2
F kX
r rζ
=
 − + 
Por analogia a:
0
2
mx cx kx+ + =�� � ( ) 2px t k k= =
( )
1
cosj
j
mx cx kx a j tω
∞
=
+ + =∑�� � ( )
( ) ( )2 22
( ) cos( )
1 2
j
p jj
a
kx t j t
jr jr
ω φ
ζ
 
 
= − 
    − +     
( )
1
senj
j
mx cx kx b j tω
∞
=
+ + =∑�� � ( )
( ) ( )2 22
( ) sen( )
1 2
j
p jj
b
kx t j t
jr jr
ω φ
ζ
 
 
= − 
    − +     
onde: ( )( )2
2
arctg
1j
jr
jr
ζφ  =  
−   n
r
ω
ω
=
Solução particular total (parte permanente):
0( ) cos( )
ja
a kx t j tω φ
∞
 
 
= + − + ∑
1
2
2
tg
1
r
r
ζφ −  =  
− 
Por analogia a:
( ) ( )
( ) ( )
0
2 221
2 221
( ) cos( )
2 1 2
sen( )
1 2
p j
j
j
j
j
a kx t j t
k jr jr
b
k j t
jr jr
ω φ
ζ
ω φ
ζ
=
∞
=
= + − + 
    − +     
 
 
+ − 
    − +     
∑
∑
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
2 22 22 21 1
0
( ) cos( ) sen( )
2 1 2 1 2
cos( ) sen( )
2
j j
p j j
j j
j j j j
a b
a k kx t j t j t
k jr jr jr jr
a A jj t B j j t
k
ω φ ω φ
ζ ζ
ω ω φ ω ω φ
∞ ∞
= =
   
   
= + − + − =   
         − + − +            
= + − + −
∑ ∑
Obs.:
(1) A(ω), B(ω) e φ(ω) variam com j .
(2) Se jω = ωn ∀ j⇒ condição que representa a ressonância!!!
(3) j→∞⇒ a amplitude correspondente X(ω) → 0 ⇒ os primeiros termos são 
suficientes para uma precisão razoável
(4) Para a solução total do sistema deve-se adicionar a parte transiente (solução 
homogênea). 
Exemplo 1 - Válvula Hidráulica
Achar a resposta permanente xp(t) usando uma aproximação de F(t)
com 3 harmônicas
Válvula:
m = 0,25 kg
k = 2500 N/m
c = 10 N.s/m
Solução 
( ) ( )F t Ap t=
2 3 2
2(50x10 ) 0,000625 m
4 4
dA pi pi pi
−
= = =
→ área x pressão
2 2
 rad/s
2
pi pi
ω pi
τ
= = =
50000 para 0 / 2( ) ( )
50000 (2 - ) para / 2 
At t
F t Ap t
A t t
τ
τ τ
≤ ≤
= =  ≤ ≤
Coeficientes de Fourier:
( )
( )
0
0
2 ( )cos 0, 1, 2, ...
2 ( )sen 1, 2, ...
j
j
a F t j t dt j
b F t j t dt j
τ
τ
ω
τ
ω
τ
= =
= =
∫
∫
Expansão de F(t) em Série de Fourier
τ
1 2
0 0 1
2 50000 50000 (2 ) 50000
2
a Atdt A t dt A = + − =
  ∫ ∫j = 0:
( ) ( )1 21 0 1
2 50000 cos 50000 (2 )cos
2
a At t dt A t t dtpi pi = + −
  ∫ ∫j = 1:
5
1 2
2 10 A
a
pi
×
= −( ) ( )( )
( ) 22
1
1
2
cos sen
cos
t
t
t
t
j t t j t
t j t dt jj
ω ω
ω
ωω
 
= + 
  
∫
( ) ( )1 21 0 1
2 50000 sen 50000 (2 )sen 0
2
b At t dt A t t dtpi pi = + − =
  ∫ ∫
j = 1:
( ) ( )1 22 0 1
2 50000 cos 2 50000 (2 )cos 2 0
2
a At t dt A t t dtpi pi = + − =
  ∫ ∫j = 2:
( ) ( )( )
( ) 22
1
1
2
sen cos
sen
t
t
t
t
j t t j t
t j t dt jj
ω ω
ω
ωω
 
= − 
  
∫ ( ) ( )
2
2
1
1
sen
cos
t
t
t
t
j tj t dt j
ω
ω
ω
 
=  
 
∫
2
( ) ( )1 22 0 1
2 50000 sen 2 50000 (2 )sen 2 0
2
b At t dt A t t dtpi pi = + − =
  ∫ ∫
( ) ( )1 23 0 1
2 50000 cos 3 50000 (2 )cos 3
2
a At t dt A t t dtpi pi = + −
  ∫ ∫j = 3:
( ) ( )1 23 0 1
2 50000 sen 3 50000 (2 )sen 3 0
2
b At t dt A t t dtpi pi = + − =
  ∫ ∫
5
3 2
2 10
9
A
a
pi
×
= −
Pode-se observar que para este caso: aj = 0 ∀ j par
bj = 0 ∀ j
0
1 1
( ) cos sen
2 j jj j
aF t a j t b j tω ω
∞ ∞
= =
= + +∑ ∑
Considerando uma aproximação com somente estas 3 primeiras
harmônicas, tem-se:
0 50000a A=
5
1 2
2 10A
a
pi
×
= −
5
3 2
2 10
9
A
a
pi
×
= −
5 5
2 2
2 10 2 10( ) 25000 cos( ) cos(3 )
9
A AF t A t tpi pi
pi pi
   × ×
− −   
   
�
1 12 j j= =
0
1 3( ) cos( ) cos(3 )2
aF t a t a tω ω= + +
 rad/sω pi=
5 5
2 2
2 10 2 10( ) 25000 cos( ) cos(3 )
9
A AF t A t tpi pi
pi pi
   × ×
− −   
   
�
Resposta Permanente Total:
( ) ( ) ( ) ( )
0
2 22 22 2 2 21 1
( ) cos( ) sen( )
2 1 2 1 2
j j
p j j
j j
a b
a k kx t j t j t
k j r jr j r jr
ω φ ω φ
ζ ζ
∞ ∞
= =
= + − + −
− + − +
∑ ∑
Válvula:
m = 0,25 kg
k = 2500 N/m
c = 10 N.s/m
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2j r jr j r jrζ ζ− + − +
Cálculo de ωn:
2500 100 rad/s
0, 25n
k
m
ω = = =
0,031416
100n
r
ω pi
ω
= = =Cálculo de r:
10 0,2
2 2 0,25 100
n
c
m
ζ
ω
= = =
× ×
Cálculo de ζ:
Cálculo dos ângulos de fase φ1 e φ3: 2 2
2
arctg
1j
jr
j r
ζφ =
−
j = 1: 11 2
2 0,2 0,031416
tg 0,0125664 rad
1 0,031416
φ − × × = = 
− 
j = 3: 1
3 2
2 0,2 3 0,031416
tg 0,0380483 rad
1 (3 0,031416)φ
−
 × × ×
= = 
− × 
Substituindo os valores de k, ω, a0, a1, a3, r, ζ, φ1, φ3 e bj = 0 ∀ j na
equação da solução permanente total obtém-se:
( ) 0,019635 0,01593cos( 0,0125664) 0,0017828cos(3 0,0380483)px t t tpi pi= − − − −
Obs.: como ωn = 100 rad/s, a condição de ressonância ocorre quando
ω = jωn = jpi = 100 ⇒ j = 31,83 ≅ 32, ou seja, próximo da 32a
harmônica
1.3 Resposta à Excitação Periódica Irregular
Para formas muito simples da função F(t), as integrais das equações
abaixo podem ser avaliadas com facilidade. Contudo, a integração
torna-se complicada se F(t) não tiver uma forma simples.
( ) ( )2 /0 0 0
2
a F t dt F t dt
pi ω τω
pi τ
= =∫ ∫
Em algumas aplicações práticas a função F(t) não está disponível na
forma de uma expressão matemática e somente valores em vários
pontos são conhecidos. Em alguns casos esta expressão pode ser
bastante irregular.
( ) ( ) ( ) ( )2 /
0 0
2
cos cosna F t n t dt F t n t dt
pi ω τω
ω ω
pi τ
= =∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 /
0 0
2
sen sennb F t n t dt F t n t dt
pi ω τω
ω ω
pi τ
= =∫ ∫
Assim, muitas vezes a excitação é dada através de gráficos ou dados
experimentais que se repetem periodicamente. O valor de F(t) estará
disponível apenas para uma certa quantidade de pontos: t1, t2, t3,...,
tN de forma que F1, F2, ..., FN são os valores medidos para estes
pontos.
Onde N denota o número de pontos equidistantes em um único
período τ (τ = N∆t).
0
0
2 ( )cos 0, 1, 2, ...
2 ( )sen 1, 2, ...
j
j
a F t j tdt j
b F t j tdt j
τ
τ
ω
τ
ω
τ
= =
= =
∫
∫
Pode-se substituir as integrais por somatórios nas equações dos
coeficientes de Fourier (integração numérica - regra trapezoidal):
1
22
cos
N
i
j i
i
j t
a F
N
pi
τ
=
 
=  
 
∑
0
1
2 N
i
i
a F
N
=
= ∑
1
22
sen 1, 2, ...
N
i
j i
i
j tb F j
N
pi
τ
=
 
= = 
 
∑
Procedimento para o caso em que F(t) é uma excitação
periódica irregular
(1) Calcula-se os coeficientes de Fourier utilizando as expressões:
1
22
cos
N
i
j i
i
j t
a F
N
pi
τ
=
 
=  
 
∑0
1
2 N
i
i
a F
N
=
= ∑
1
22
sen 1, 2, ...
N
i
j i
i
j tb F j
N
pi
τ
=
 
= = 
 
∑
(2) Desenvolve-se a excitação periódica irregular F(t) em série de(2) Desenvolve-se a excitação periódica irregular F(t) em série de
Fourier
0
1 1
( ) cos sen
2 j jj j
aF t a j t b j tω ω
∞ ∞
= =
= + +∑ ∑
(3) Determina-se a resposta permanente total xp(t) com a expressão:
( ) ( ) ( ) ( )
0
2 22 22 2 2 21 1
( ) cos( ) sen( )
2 1 2 1 2
j j
p j j
j j
a b
a k kx t j t j t
k j r jr j r jr
ω φ ω φ
ζ ζ
∞ ∞
= =
= + − + −
− + − +
∑ ∑
Exemplo 2 - Válvula Hidráulica
Válvula:
m = 0,25 kg
k = 2500 N/m
Achar a resposta permanente xp(t) para as três primeiras harmônicas
k = 2500 N/m
c = 10 N.s/m
ti[s] 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12
p(ti)
[kPa]
0 20 34 42 49 53 70 60 36 22 16 7 0
0,01st∆ =
Dados conhecidos para 1 período:
6
7
x 104
ti[s] 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12
p(ti)
[kPa]
0 20 34 42 49 53 70 60 36 22 16 7 0
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
0
1
2
3
4
5
t
p
(
t
)
Solução 
Visto que as variações de pressão na válvula são periódicas, a análise de Fourier dos
dados de pressão apresentados em um ciclo para um número de 12 observações será
(i = 1,...,12): ti[s] 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12
p(ti)
[kPa]
0 20 34 42 49 53 70 60 36 22 16 7 0
12
0
1 1
2 1 68166,7
6
N
i i
i i
a p p
N
= =
= = =∑ ∑
12
1 1
2 22 1
cos cos
6 0,12
N
i i
j i i
i i
j t j t
a p p
N
pi pi
τ
= =
  
= =   
   
∑ ∑
12
1 1
2 22 1
sen sen
6 0,12
N
i i
j i i
i i
j t j tb p p
N
pi pi
τ
= =
  
= =  
   
∑ ∑
Onde, no caso de uma aproximação com 3 termos, tem-se j = 1,2,3
( ) ( )
2
34083,3 26996,0cos52,36 8307,7sen52,36 1416,7cos104,72
3608,3sen104,72 5833,3cos157,08 2333,3sen157,08 ...N/m
F t
p t t t t
A
t t t
= = − + + +
+ − − +
( ) ( )0
1 1
( ) cos sen
2 j jj j
ap t a j t b j tω ω
∞ ∞
= =
= + +∑ ∑
6
7
x 104
 
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
0
1
2
3
4
5
6
t
p
(
t
)
 
pressão real
pressão aproximada por Fourier
E, as outras quantidades necessárias para o cálculo são:
2 2 52,36rad/s
0,12
pi pi
ω
τ
= = =
2500 100rad/s
0,25n
k
m
ω = = =
0,25n m
0,5236
n
r
ω
ω
= =
10 0,2
2 2 2500x0,25cr
c c
c km
ζ = = = =
2 3 2
2(50 10 ) 0,000625 m
4 4
d xA pi pi pi
−
= = =
0
1 2 2
2 2 0,2 0,5236
arctg arctg 16,1
1 1 0,5236
r
r
ζφ × ×  = = =   
− −   
2 2
2
arctg
1j
jr
j r
ζφ  =  
− 
2 21 1 0,5236r   − −   
0
2 2 2
4 4 0,2 0,5236
arctg arctg 77,01
1 4 1 4 0,5236
r
r
ζφ × ×  = = = −   
− − ×   
0
3 2 2
6 6 0,2 0,5236
arctg arctg 23,18
1 9 1 9 0,5236
r
r
ζφ × ×  = = = −   
− − ×   
Assim, a resposta em regime permanente da válvula será:
( ) ( ) ( ) ( )12 22
34083,3 26996,0 /
cos 52,36
1 2
8309,7 / 1416,7 /
p
A A k
x t t
k
r r
A k A k
φ
ζ
= − − +
− +
( ) ( ) ( ) ( )
0
2 22 22 2 2 21 1
( ) cos( ) sen( )
2 1 2 1 2
j j
p j j
j j
a b
a k kx t j t j t
k j r jr j r jr
ω φ ω φ
ζ ζ
∞ ∞
= =
= + − + −
− + − +
∑ ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 22 22 22 2
2 32 22 22 2
22
8309,7 / 1416,7 /
sen 52,36 cos 104,72
1 2 1 4 4
3608,3 / 5833,3 /
sen 104,72 cos 157,08
1 4 4 1 9 6
2333,3 /
1 9
A k A k
t t
r r r r
A k A k
t t
r r r r
A k
r
φ φ
ζ ζ
φ φ
ζ ζ
+ − + − +
− + − +
+ − − − +
− + − +
+
− + ( )
( )3
2
sen 157,08
6
t
r
φ
ζ
−