Livro matematica aplicada 1

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Matemática 
Aplicada I
Matemática Aplicada I
Organizado por Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2015
Rafael da Silva Valada
ISBN: 978-85-5639-061-5
Dados técnicos do livro
Diagramação: Jonatan Souza
Revisão: Igor Campos Dutra
Conselho Editorial EAD
Andréa de Azevedo Eick
Ângela da Rocha Rolla
Astomiro Romais
Claudiane Ramos Furtado
Dóris Gedrat
Honor de Almeida Neto
Maria Cleidia Klein Oliveira
Maria Lizete Schneider
Luiz Carlos Specht Filho
Vinicius Martins Flores
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. 
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores 
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da 
ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei 
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação – CIP
Setor de Processamento Técnico da Biblioteca Martinho Lutero – ULBRA/Canoas
 
V136m Valada, Rafael da Silva. 
 Matemática aplicada I / Rafael da Silva Valada ; organizado por Universidade 
 Luterana do Brasil. – Canoas: Ed. ULBRA, 2015. 
 159 p. : il. 
 
 
 
 1. Matemática aplicada. 2. Equações diferenciais. I. Universidade Luterana do 
 Brasil. II. Título. 
 
 
 CDU 517.9 
 
Nosso livro começa como o estudo de sequências numéricas, funções cuja variável independente pertence ao conjunto dos números intei-
ros positivos. Posteriormente, definiremos séries numéricas infinitas e devi-
damente conceituadas, estudaremos a convergência dessas séries através 
de inúmeros testes, sendo aplicabilidade indicada para cada tipo de série 
estudada.
No Capítulo 4, generalizaremos o conceito de série numérica para 
séries de funções infinitas, chamadas séries de potências, e a construção 
das famosas séries de Taylor e Maclaurin amplamente usadas em diversas 
áreas da matemática e da ciência.
A segunda metade de nosso livro estudará equações diferenciais. Em 
cursos principiantes de física, estudamos uma série de leis e suas respec-
tivas descrições matemáticas, através de equações algébricas. Pois bem, 
já é hora de descrevermos a natureza através de equações mais gerais, 
equações chamadas de equações diferenciais.
Em primeira instância, essas equações representam equações tal que 
aparecem as derivadas de uma função incógnita. Essa função incógnita é 
uma função de relacionamento entre as variáveis anteriormente citadas. 
Quanto mais geral é a lei da natureza estudada, mais nos aproximamos 
das equações diferenciais.
A avenida principal da matemática aplicada é o estudo de equações 
diferenciais e suas soluções (as funções incógnitas). O plano de fundo para 
o estudo de equações diferenciais são cálculo diferencial e integral, bem 
como toda a matemática aprendida em curso ginasianos.
Apresentação
Apresentação v
Veremos que as equações diferenciais podem ser classificadas em ordi-
nárias e parciais, relacionadas ao tipo de derivada que aparece na equa-
ção. Neste livro, o foco principal são as equações diferencias ordinárias.
Nosso estudo começa com a nomenclatura, notação e definições ade-
quadas ao nosso objeto. Veremos seis técnicas para a solução de equações 
de primeira ordem, equações em que a função incógnita aparece uma 
vez derivada. Passaremos por equações separáveis, homogêneas, exatas 
e lineares. Por resolveremos as chamadas equações de Bernoulli e Ricatti.
Neste livro, procurou-se ser o mais objetivo possível quanto a defi-
nições e provas de teoremas, e também na resolução de exemplos re-
solvidos. Tendo em vista que o aprendizado em Matemática Aplicada se 
dá através do conhecimento e do pleno exercício desse conhecimento, o 
livro apresenta uma série de exercícios resolvidos, de modo que algumas 
questões-exemplo são resolvidas no próprio corpo do livro, e outras são 
resolvidas através de vídeos, chamados vídeo-exemplos, que serão devida-
mente disponibilizados na plataforma virtual da disciplina.
Tenhamos um bom trabalho em nossos estudos, buscando sempre o 
prazer e a diversão ao estudar Matemática Aplicada. O Nobel de física 
Richard Feynman dizia que o estudo de matemática deve ser, antes de mais 
nada, divertido, então boa diversão em seus estudos.
 1 Sequências Numéricas ..........................................................1
 2 Séries Numéricas ................................................................16
 3 Testes de Convergência.......................................................27
 4 Séries de Potências .............................................................40
 5 Equações Diferenciais .........................................................54
 6 Equações Diferenciais Separáveis ........................................81
 7 Equações Diferenciais Homogêneas ..................................105
 8 Equações Diferenciais Exatas ............................................115
 9 Equações Diferenciais Lineares .........................................130
 10 Equação de Bernoulli e Ricatti ...........................................145
Sumário
Sequências Numéricas1
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 1
2 Matemática Aplicada I
Introdução
Neste capítulo, conheceremos um novo objeto matemático 
chamado sequência numérica. Veremos como determinar o 
limite de uma sequência, bem como a classificação quanto à 
monotonicidade. Por fim, definiremos o ínfimo e o supremo de 
uma sequência.
1.1 Sequências Numéricas
1.1.1 Definição
Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos 
números inteiros positivos.
 (1.1)
1.1.2 Notação
 { } , 1, 2,3,na n =  (1.2)
1.2 Limite de uma Sequência
Dizemos que uma sequência{ }na converge para o limite L se 
dado 0ε > , existe N positivo tal que:
 1n
N a ε
−
< (1.3)
Nesse caso, escrevemos:
Capítulo 1 Sequências Numéricas 3
 
lim
n n
a L
→∞
= (1.4)
Que implica:
 na Lε ε− < − < (1.5)
Ou
 n
L a Lε ε− < < + (1.6)
Quando não existe o limite, dizemos que an diverge.
Exemplos:
 1) Determine se as sequências convergem ou divergem:
a) 2 1
n
n
  
+ 
b) ( ) 11 2 1
n n
n
+ 
− 
+ 
c) { }2 nn e−
d) 
3
1
nn
n
 +    +   
e) ( ){ }1 1 n+ −
Resoluções:
a) 
1 1lim lim
2 1 2 1 2 2x x
n x
n x→∞ →∞
∞     
⇒ = ⇒ =     + + ∞     
b) Vídeo-Exemplo
c) { } ( )
2
2 2 2 2lim lim lim lim 0n x
x
x xx x x x
x xn e x e
e e e→∞ →∞ →∞ →∞
− −
  ∞ ∞   
⇒ = = ⇒ = ⇒ =     
∞ ∞    
d) Vídeo-Exemplo
4 Matemática Aplicada I
e) ( ){ } a sequência diverge1 1 2,0,2,0,2,0,n+ − = ⇒
1.2.1 Propriedades
Suponha que as sequências { }na e { }nb convergem respec-
tivamente para L1 e L2, e seja C∈� , então:
• limn C C→∞ =
• 1lim limn nn nCa C a C L→∞ →∞= = ⋅
• ( ) 1 2lim lim limn nn nnn na b a b L L→∞ →∞ →∞± = ± = +
• ( ) 1 2lim lim limn nn nnn na b a b L L→∞ →∞ →∞⋅ = ⋅ = ⋅
• 
1
2
lim
lim
lim
n nn
n
n
nn
aa L
b b L
→∞
→∞
→∞
= =
Exemplos:
 2) Determine os limites a seguir:
a) lim n
n
n
→∞
b) 
coslim
→∞
c) 
3lim
1n
nn
n→∞
 +    +   
d) 
lnlim
n
n
n→∞
   
Capítulo 1 Sequências Numéricas 5
Resoluções:
a) 
( )
( )
1 1 1
1
2
1
lim lim lim ln ln lim
1 lnln lim lim ln lim ln lim
1
1lim lim 0 ln 0 11
lim 1
n x x xn x x x
x x
x x x x
x x
n
n
n x y x y x
xx x x
x x
x y y
x
x
n
→∞ →∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞ →∞
→∞ →∞
→∞
 
⇒ ⇒ = ⇒ =   
    ∞
= = = =   
∞   
  
− ⇒ = = ⇒ = ⇒ =
−
⇒ =
b) Vídeo-Exemplo
c) 
3 3 2 2lim lim lim 1 1 lim 1
1 1 1 1
2 2 2ln ln lim 1 lim ln 1 lim ln 1
1 1 1
1
2ln 1 1
01lim lim1 0
x x x
n x x x
x x
x x x
x x
nn x y
n x x x
y x
x x x
x
x
∞
→∞ →∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
 + +        
⇒ = + = ⇒ = +        + + + +         
     
⇒ = + ⇒ + = +     + + +     
 
+ + + 
= = ⇒
( )2
2
2
2
2 2
2
2 1
21 lim1 2 3
4 4lim lim 2
2 2 2
3ln 2 lim
1
x
n
x x
n
x
xx
x x
x
x
x
ny y e e
n
→∞
→∞ →∞
→∞
−
  + 
∞+ 
= =
− + + ∞
∞
⇒ = ⇒ =
+ ∞
 +  
⇒ = ⇒ = ⇒ =  +   
d) Vídeo-Exemplo
6 Matemática Aplicada I
1.3 Teorema do Confronto para 
Sequências
Se as sequências { }na , { }nb e { }nc , tal que ,n n na b c n< < ∀
e lim limn na c L= = , então lim cosn
Lb
n
= .
Exemplos:
3) Estude a convergência de 
2cos
3
n
n
   
Resoluções:
4) Estude a convergência de 
1.4 Sequências Monótonas
Uma sequência pode ser classificada como:
1.4.1 Estritamente Crescente
 2 31 1n na a a a a +< < < < < <  (1.7)
1.4.2 Crescente
 2 31 1n na a a a a +≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤  (1.8)
1.4.3 Estritamente Decrescente
 2 31 1n na a a a a +> > > > > >  (1.9)
1.4.4 Decrescente
Capítulo 1 Sequências Numéricas 7
 2 31 1n na a a a a +≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥  (1.10)
Exemplos:
5) Classifique as sequências quanto à monotonicidade:
a)    
b) 
2
1
n
n
  
+ 
c) ( ) 1 11 n n
+ 
−  
d) 
1 1 1 1 1 11,1, , , , , , ,
2 2 3 3 4 4
   
e) 1
n
n
  
+ 
Resoluções:
a) sequência estritamente decresc
1 1 1 11, , , e,
2 3 4
nte
n
   
= ⇒      
b) Vídeo-Exemplo
c) ( )
1 1 1 1 11 1, , , ,
2 3 4
sequência não monótonan
n
+   
− = − ⇒      
d) Vídeo-Exemplo
e) sequência estritamente 
1 2 3, , cre,
1 2
sc
4
te
3
enn
n
   
= ⇒   
+   
8 Matemática Aplicada I
1.5 Testes de Monotonicidade
A monotonicidade de uma sequência pode ser determinada 
por dois testes de monotonicidade, onde analisamos qualquer 
termo da sequência e seu sucessor, ou seja, o próximo termo 
da sequência.
1.5.1 Diferença entre termos sucessivos
1.5.1.1 Estritamente Crescente
 1 0n na a+ − > (1.11)
1.5.1.2 Crescente
 1 0n na a+ − ≥ (1.12)
1.5.1.3 Estritamente Decrescente
 1 0n na a+ − < (1.13)
1.5.1.4 Decrescente
 1 0n na a+ − ≤ (1.14)
Capítulo 1 Sequências Numéricas 9
1.5.2 Razão entre termos sucessivos
1.5.2.1 Estritamente Crescente
 
1 1n
n
a
a
+ > (1.15)
1.5.2.2 Crescente
 
1 1n
n
a
a
+ ≥ (1.16)
1.5.2.3 Estritamente Decrescente
 
1 1n
n
a
a
+ < (1.17)
1.5.2.4 Decrescente
 
1 1n
n
a
a
+ ≤ (1.18)
Exemplos:
 6) Classifique as sequências quanto à monotonicidade:
a) 1
n
n
  
+  , pelo teste da diferença.
b) 1
n
n
  
+  , pelo teste da razão.
c) ( ) 1 11 n n
+ 
−   , pelo teste da razão.
d) 1 1 1 1 1 11,1, , , , , , ,
2 2 3 3 4 4
   
10 Matemática Aplicada I
e) 
2
1
n
n
  
+ 
Resoluções:
a) 
( )( ) ( )
( )( )
1
1
2 2
1 2 2
Sequência estritamente cres
1
11
2
1 1 21
2 1 2 1
2 1 2 1 0,
3 2 3 2
cente
n
n
n n
n n
na
n n
nn a
n
n n n nn na a
n n n n
n n n na a n
n n n n
+
+
+

=  +⇒  
++  
= +
+ + − ++
∴ − = − =
+ + + +
+ + − −
⇒ − = = > ∀ ∈
+ + + +
⇒
�
b) Vídeo-Exemplo
c) Sequência não monótona
d) Vídeo-Exemplo
e) 
( )
( )
( )
2 2
2
1
22
1
2 2
1
2
3
*
3 2
1
1 2
1 1
12
1
Sequência estritamente crescen
1 3 3 1 1,
2 2
te
n
n
n
n
n
n
n na
ann n
nn an
a nn
na n n n n n
a n n n n
+
+
+
 +
=  + +⇒ ∴ =  
+ +  
= ++
+ + + + +
⇒ = ⋅ = > ∀ ∈
+ +
⇒
�
Capítulo 1 Sequências Numéricas 11
1.6 Sequências Limitadas
Uma sequência pode ser limitada de forma superior ou infe-
rior, conforme a seguinte definição:
 Â Seja C um número inteiro limitante inferior da sequên-
cia { }na . Se ,nC a n≤ ∀ inteiro positivo, C é chamado 
ÍNFIMO.
 Â Seja D um número inteiro limitante superior da sequên-
cia { }na . Se ,na D n≤ ∀ inteiro positivo, D é chamado 
SUPREMO.
UNIVERSO 
DE C 
UNIVERSO 
DE D 
ÍNFIMO 
SUPREMO
O UN
Figura 1 Ínfimo e Supremo de uma Sequência.
Fonte: Autor, 2015
A Figura 1 representa o ínfimo (maior das cotas inferiores) 
e o supremo (menor das cotas superiores) de uma sequência 
numérica.
12 Matemática Aplicada I
Recapitulando
Neste capítulo, definimos um novo objeto matemático chama-
do sequência numérica. Vimos como determinar o limite de 
uma sequência, bem como a classificação quanto à mono-
tonicidade. Por fim, definimos o ínfimo e o supremo de uma 
sequência.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v. 1. 6. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
KREYSZIG, E. Matemática Superior para Engenharia. v. 1. 
9. ed. Ed. LTC, 2009.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
<http://phet.colorado.edu/pt_ BR/>.
Plataforma Maplesoft: <http://www.maplesoft.com/index.
aspx>.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Thomson, 2002.
Zill, D. G, Cullen, M. R. Equações Diferenciais. v. 1. 3. ed. 
Ed. Makron Books, 2001.
Zill, D. G, Cullen, M. R. Matemática Avançada para Enge-
nharia. v. 1. 3. ed. Ed. Bookman, 2009.
______. Cálculo, um novo horizonte. v. 2. 6. ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
Capítulo 1 Sequências Numéricas 13
Atividades
 1) Use o teste da diferença e decida se as sequências são 
estritamente crescentes ou estritamente decrescentes.
a) 1
n
   
b) 
11
n
 
−  
c) 
2 1
n
n
  
+ 
d) 
4 1
n
n
  
− 
e) { }2nn −
 2) Use o teste da razão e decida se as sequências são estrita-
mente crescentes ou estritamente decrescentes.
a) 2 1
n
n
  
+ 
b) 
2
1 2
n
n
  
+ 
c) { }nne−
d) ( )
10
2 !
n
n
     
e) 
!
nn
n
   
14 Matemática Aplicada I
 3) Determine se as sequências convergem ou divergem. Para 
o caso de convergirem, ache seu limite.
a) 
( )
3
3
21
1
n n
n
 
− 
+ 
b) 
( )( )
2
1 2
2
n n
n
+ +   
c) ln n
n
   
d) 
2 1
n
n
  
+ 
e) { }8 2n−
Gabarito:
1) a) Estritamente decrescente
b) Estritamente decrescente
c) Estritamente crescente
d) Estritamente decrescente
e) Estritamente decrescente
Capítulo 1 Sequências Numéricas 15
2) a) Estritamente crescente
b) Estritamente crescente
c) Estritamente decrescente
d) Estritamente crescente
e) Estritamente crescente
3) a) Converge, 1
b) Converge, 1/2
c) Converge, 0
d) Converge, 1/2
e) Diverge
Séries Numéricas1
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 2
Capítulo 2 Séries Numéricas 17
Introdução
Neste capítulo, estudaremos o conceito de séries numéricas 
infinitas. Primeiramente, faremos uma definição/adequação 
e ressaltaremos o conceito de convergência. Estudaremos al-
guns exemplos de séries importantes na matemática,como a 
série geométrica, a série harmônica e a série-p. Por fim, vere-
mos que a forma dessas séries podem dar informações sobre a 
convergência de uma gama de outras séries e possíveis testes 
para verificar suas convergências.
2.1 Séries Numéricas
2.1.1 Definição
Uma série infinita é uma expressão que pode ser escrita na forma:
 
1 2 3
1n
n na a a a a
∞
=
= + + + +∑  (2.1)
2.1.2 Somas Parciais
Chamamos de somas parciais de uma série numérica os resul-
tados parciais da soma da série dadas da seguinte maneira:
 
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2 3n n
S a
S a a
S a a a
S a a a a
=
= +
= + +
= + + + +


 (2.2)
Os resultados apurados definem uma sequência numérica 
com a forma:
18 Matemática Aplicada I
 { } 1 2 3, , , ,n nS S S S S=  (2.3)
2.1.3 Soma e Convergência de uma Série 
Numérica
Uma série numérica converge se a sequência de suas somas 
parciais convergir para um valor S. Nesse caso, S representa a 
soma da série:
 1
lim nn n
nS S a
∞
→∞
=
= = ∑ (2.4)
Para o caso de a soma ser ilimitada, dizemos que a série 
diverge.
Exemplos:
 1) Determine se as séries numéricas a seguir convergem ou 
divergem:
a) 2 3
3 3 3
10 10 10
+ + +
b) 1 1 1 1 1 1− + − + − +
c) ( ) ( )
1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 1 2n n
+ + + +
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +

Capítulo 2 Séries Numéricas 19
Resoluções:
a) 
3
2 3
3 3 4 1
3 3 4 1
3
2
1 2 3
2 2
2 2
2 2 3
3 3 3
10 10 10
3 3 3; ; ;
10 10 10
3 3 3 3 1 3 3 3 3
10 10 10 10 10 10 10 10 10
1 3 3 3 3 3 3 3 3
10 10 10 10 10 10 10 10 10
9 3 3 3 3 3 3 3
10 10 10 10 10 10 10 1
n n
n n
n
n n
n n
n
S S S
S S
S S
S
+
+
+ + +
= = =
= + + + + ⇒ ⋅ = + + + +
   
⇒ − ⋅ = + + + + − + + + +      
⋅ = + + + + − − −


 
 
 4 1
3 3 42
0
1
2 1
3
0 10
9 3 3 3 3 3 3 3 3
10 10 10 10 10 10 10 10 10
9 3 3 3 3 3 1 31 3 1 1
10 10 10 10 10 10 3 10
1 3 1 1lim lim 1
3 10 3 3
n
n
n
n n
n n n n
nn n
n n
n
S
S S S
S S S
+
+
+
→∞ →∞
− −
⋅ = + + + + − − − − −
   
⋅ = − = − ⇔ ⋅ = − ⇒ = −      
 
= = − = ⇒ =  

 

b) Vídeo-Exemplo
c) 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
2 3
1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 1 2
1 1 1
2 1 21
1 2 1 2 1 1 1
1 2 1
1 1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 1 2
1 1 1 1 1 1; ;
2 3 3 4 4 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 1 2 2 1 2
n
n
n
n n
A
nA B
n n n n
B
n
n n
S S S
S
n n n n
=−
=−
+ + + +
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +

= = =
+ − +
= + ⇒ 
+ ⋅ + + + 
= = = − + − +
 
⇒ + + + + − 
⋅ ⋅ ⋅ + + 
= − = − = −
  
⇒ = − + − + − + + − = + − + + + + 



1 1 1 1 1lim
2 1 2 2 2n
S S
n n→∞
  
  
∴ = + − = ⇒ =  + +  
20 Matemática Aplicada I
2.2 Série Geométrica
Seja 0a ≠ e a série:
 
2 1na ar ar ar −+ + + + (2.5)
Dizemos que (2.5) converge se 1r < e diverge para 1r ≥ . 
Para o caso de convergir, a soma é obtida por:
 1
aS
r
=
−
 (2.6)
De forma prática, definimos a como o primeiro termo da 
série e r como a razão entre sucessor e antecessor.
Exemplos:
 2) Determine se as séries numéricas a seguir convergem ou 
divergem:
a) 2 3
6 6 6
10 10 10
+ + +
b) 32
1 1 1
2 2 2
+ + +
c) 2 32 2 2+ + +
Capítulo 2 Séries Numéricas 21
Resoluções:
a) 
2
2
2
2
3
3
6 6 6
10 10 10
6
6 6 10 1 110, 1
610 10 6 10 10
10
6
6 10 6 210
11 10 9 9 31
10
6 6 6 2
10 10 10 3
a r
aS
r
+ + +
   
= = = ⋅ = ⇒ <   
   ∴ = = = ⋅ = =
−
−
∴ + + + =


b) Vídeo-Exemplo
c) 
( )
( )
2 3
3
2
Serie Geométrica Divergen
2 2 2
2
2 2 1
2
te
2,a r
+ + +
= = = ⇒ >
⇒

Exemplos:
 3) Expresse os números decimais como frações.
a) 0,3333
b) 3,2394
22 Matemática Aplicada I
Resoluções:
a) 
3,2394
394 3940,0394 ; 0,0000394
10000 10000000
394
10000000 1 1
1000394
10000
394
10000 394 1000 394
11 10000 999 99901
1000
32 394 16 1813,2394
10 9990 4995
r r
aS
r
= =
   ⇒ = = ⇒ <   
   
= = = ⋅ =
−
−
∴
= + =
b) Vídeo-Exemplo
2.3 Série Harmônica
A série infinita a seguir é chamada série harmônica.
 1
1 1 11
2 3n n
∞
=
= + + +∑  (2.7)
A soma da série harmônica resulta em uma soma ilimitada, 
ou seja, a série diverge.
2.4 Série-p
A série infinita a seguir é chamada sérzzie-p.
Capítulo 2 Séries Numéricas 23
 1
1
p
n n
∞
=
∑ (2.8)
A soma da série-p depende do valor numérico de p, con-
forme a regra:
•	 p>1 a série converge
•	 p≤1 a série diverge
2.5 Série Alternada
Uma série alternada possui duas formas possíveis:
 
( )
1
1
n
n
na
∞
=
−∑ (2.9)
e
 
( ) 1
1
1 n n
n
a
∞
=
−
−∑ (2.10)
No Capítulo 3, mostraremos sob que condições esse tipo 
de série converge ou diverge.
Recapitulando
Neste capítulo, estudamos o conceito de série numérica infi-
nita, bem como a ideia de convergência dessas séries. Nosso 
estudo acabou por indicar possíveis testes para análise da con-
vergência para essas séries que será estudado no Capítulo 3.
24 Matemática Aplicada I
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v. 1. 6. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
KREYSZIG, E. Matemática Superior para Engenharia. v. 1. 
9. ed. Ed. LTC, 2009.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
<http://phet.colorado.edu/pt_ BR/>.
Plataforma Maplesoft: <http://www.maplesoft.com/index.
aspx>.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Thomson, 2002.
Zill, D. G, Cullen, M. R. Equações Diferenciais. v. 1. 3. ed. 
Ed. Makron Books, 2001.
Zill, D. G, Cullen, M. R. Matemática Avançada para Enge-
nharia. v. 1. 3. ed. Ed. Bookman, 2009.
______. Cálculo, um novo horizonte. v. 2. 6. ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
Atividades
 1) Determine se as séries numéricas a seguir convergem ou 
divergem:
a) ( )( )1
1
2 3n n n
∞
=
+ +
∑
Capítulo 2 Séries Numéricas 25
b) 1
2
1
9 3 2n n n
∞
=
+ −
∑
c) 
3
1
2n n
∞
=
−
∑
d) ( )( )1
1
2 1 2 1n n n
∞
=
− +
∑
e) 
2 1
1
3 5n n
n=
−
∞∑
f) 1
2
1
4
7nn
n+
−
∞
=
∑
g) 
2 1
1
2 3n n
n=
−
∞∑
 2) Expresse as dízimas periódicas como frações usando a sé-
rie geométrica:
a) 0,159159159...
b) 1,139139139...
c) 0,259259259...
d) 0,1543115431...
Gabarito:
1) a) Converge, 1/3
b) Converge, 1/6
c) Diverge
26 Matemática Aplicada I
d) Converge, ½
e) Diverge
f) Converge, 448/3
g) Diverge
2) a) 
159
999
b) 
1138
999
c) 
259
999
d) 
113
777
Testes de Convergência1
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 3
28 Matemática Aplicada I
Introdução
Neste capítulo, estudaremos uma coleção de regras e testes 
aplicados ao estudo da divergência de séries numéricas. Cada 
teste possui um determinado campo de aplicação, ditado pela 
forma da série em análise.
3.1 Teste da Divergência
O chamado teste da divergência provém do seguinte teorema:
Se uma série numérica converge, então:
 
lim 0n
n
a
→∞
= (3.1)
ou
 1
lim 0n n
nn
a S a
∞
→∞=
= ⇒ =∑ (3.2)
Dessa maneira, a negação do teorema implica divergência 
da série, ou seja:
 1
lim 0
n
n
n
na a
∞
→∞ =
≠ ⇒ = ∞∑ (3.3)
Exemplos:1) Decida sobre a convergência das séries a seguir:
a) 
2
2
1
3
2 1n
n n
n
∞
=
+ +
+
∑
b) 
1
1
n n
∞
=
∑
Capítulo 3 Testes de Convergência 29
c) 2
1
1
n n
∞
=
∑
Resoluções:
a) 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
3 3
2 1 2 1
3 3 1 1lim lim lim
2 1 2 1 2 2
3 3lim 0
2 1 2 1
n
n
n x x
n n
n n n na
n n
n n x x
n x
n n n n
n n
∞
=
→∞ →∞ →∞
∞
→∞
=
+ + + +
⇒ =
+ +
   + + + + ∞  
∴ ⇔ = ⇒ =     + + ∞     
 + + + +
⇒ ≠ ⇒ = ∞ 
+ + 
∑
∑
b) Vídeo-Exemplo
c) 
2 2
2
1
2
1
pode ou não converg
1 1
1l
r
m
i
i 0
1
n
n
n
nan n
n
n
∞
=
→∞
∞
=
⇒ =
 
∴ =  
⇒
∑
∑
3.2 Teste da Integral
Seja na o termo geral de uma série numérica. Seja f(x) a 
função que resulta quando n for substituído por x, no termo 
geral da série. Se f é decrescente (f’(x)<0) e continua em [ 
a;∞), então:
 1
e ( )n
an
f x dxa
∞ ∞
=
∫∑ (3.4)
Ambas convergem ou divergem juntas.
30 Matemática Aplicada I
Exemplos:
 2) Decida sobre a convergência das séries a seguir:
a) 
1
1
n n
∞
=
∑
b) 
22
1n
nn e−
∞
=
∑
c) 
2
1
1
1 9n n
∞
=
+
∑
Resoluções:
a) ( ) ( )
2
1
1
1 1
A integral e a série div
1 1 1 1( ) ( ) 0
1 1lim lim ln lim ln ln 1
ergem
n
na f x f x xn n x x
dx dx x
x x
β β
β β β β
∞
=
∞
→∞ →∞ →∞
′∴ = ∴ = ⇒ = − < ∀ ∈
   = = = − = ∞    
⇒
∑
∫ ∫
�
b) Vídeo-Exemplo
c) 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
22
2
1
11
2
1
arc tan
1 1 1( )
1 9 1 9 1 9
18( ) 0 1
1 9
1 1 1lim lim
1 9 1 9 3
1 1l
3
arc tan 3 arc tan 3
arc tan 3 arc tan 3
A integral 
im
3 3
1 1 1
3 2 3 6 3
n
n
a f x
n n x
xf x x
x
dx dx
x x
x
ββ
β β
β β
pi pi
∞
=
∞
→∞ →∞
→∞
∴ = ∴ =
+ + +
′⇒ = − < ∀ >
+
 
= = 
+ + 
    
= −        
= − = −
⇒
∑
∫ ∫
e a série convergem
Capítulo 3 Testes de Convergência 31
3.3 Teste da Comparação
Sejam 1 nn
a
∞
=
∑
 
e 1 nn
b
∞
=
∑ duas séries numéricas, então:
 
1 1
n
n n
na b
∞ ∞
= =
≤∑ ∑ , com 
1
n
n
b
∞
=
∑ convergente, então implica que 
1
n
n
a
∞
=
∑ converge.
 
1 1
n
n n
na b
∞ ∞
= =
≤∑ ∑ , com 
1
n
n
a
∞
=
∑ divergente, então implica que 
1
n
n
b
∞
=
∑ diverge.
Exemplos:
 3) Decida sobre a convergência das séries a seguir:
a) 2
1
1
1n n
∞
=
+
∑
b) 
1
1
n n
∞
=
∑
c) 4 2
1
1
1n n n
∞
=
+ +
∑
Resoluções:
a) 
1
1
2
2 2
2 2 2 2
Série p-2 convergente
1
1
2 Conver
1
1
1 1 1 11
1 1
ge t
1
n1 e
n
n n
n
n
n n
n n n n
n
∞
=
∞ ∞
= =
∞
=
+
+ > ⇔ < ⇒ <
+ +
⇒
+
∑
∑ ∑
∑
b) Vídeo-Exemplo
32 Matemática Aplicada I
c) 
4 2
4 2 2
4 2 2 4 2 2
S
1
1 1
érie p-2 convergent
4
1
e
2
1
1
1 1 1
Conv
11
1 1
1
1
ergente
n
n n
n
n n
n n n
n n n n n n
n n
∞
=
∞ ∞
= =
∞
=
+ +
+ + > ⇔ < ⇒ <
+ + + +
⇒
+ +
∑
∑ ∑
∑
3.4 Teste da Convergência para Séries 
Alternadas
No Capítulo 2, definimos duas formas de séries alternadas:
 
( )
1
1
n
n
na
∞
=
−∑ (3.5)
e
 
( ) 1
1
1 n n
n
a
∞
=
−
−∑ (3.6)
Uma série alternada converge se duas condições foram sa-
tisfeitas simultaneamente:
 1 2 3a a a> > >
 lim 0n na→∞ =
Exemplos:
 4) Decida sobre a convergência das séries a seguir:
a) 
( )
1
11
n
n
n
∞
=
−
−∑
b) ( )
2
1
3
1
1
1
n
n
n
n
∞
+
=
−
+
∑
Capítulo 3 Testes de Convergência 33
c) ( )
1
31
4 1
n
n
n
n
∞
=
−
+
∑
Resoluções:
a) 
b) Vídeo-Exemplo
c) 
( )
( )1 2 3
1
1
31
4 1
3
34 1 1
3 3 4 1lim
4 1 4
Diverge
n
n
n
n
n
n
n
n
na a a a
nn
n n
n
∞
=
∞
=
→∞
−
+

= ∴ > > + ⇒ −
+
= + 
∑
∑
3.5 Teste da Convergência Absoluta
Uma série 1 nn
a
∞
=
∑ é dita absolutamente convergente se a série de 
valores absolutos 
1
n
n
a
∞
=
∑ for convergente.
Exemplos:
 5) Decida sobre a convergência das séries a seguir:
a) 
( ) 1
2
1
1
n
n
n
∞
=
−
−∑
34 Matemática Aplicada I
b) ( ) 1
1
11
n
n
n
∞
=
−
−∑
c) 
cos∞∑
Resoluções:
a) 
A serie p 21
1
n n
∞
=
∑ converge logo a série ( )
1
2
1
1
n
n
n
∞
=
−
−∑ CONVER-
GE ABSOLUTAMENTE.
b) Vídeo-Exemplo
c) 2
1
cos
n
n
n
∞
=
∑
Pelo teste da comparação a serie converge logo a 
série 2
1
cos
n
n
n
∞
=
∑
 
CONVERGE ABSOLUTAMENTE.
3.6 Teste da Razão para Convergência 
Absoluta
Seja 
1
n
n
a
∞
=
∑ uma série de termos não nulos, suponha:
 
1lim
n
n
n
a
L
a→∞
+
=
 (3.7)
Então:
Capítulo 3 Testes de Convergência 35
Se L<1, então a série 
1
n
n
a
∞
=
∑ converge absolutamente e, por-
tanto, converge.
Se L>1 ou L=∞, então a série 
1
n
n
a
∞
=
∑ diverge.
 Â Se L=1 nada pode ser afirmado.
Exemplos:
 6) Decida sobre a convergência das séries a seguir:
a) ( )
1
3
1
3
n
n
n
n∞
=
−∑
b) 
1 !n
nn
n
∞
=
∑
c) ( ) ( )
1
2 1 !
1
3
n
n
n
n∞
=
−
−∑
Resoluções:
a) 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3
3
3
1
1 1
3
1
21
3 3
1
3
3
1
1
31
3 1
1
3
1
1 1 3 3 1 13lim lim
3 31
converge absolutamen
3
1 1
3
te
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
na
n
n
a
n
n n nL
n n
nL
∞
=
→∞
→∞
∞
+
+
=
+
+
+

= −
− ⇒ 
+
= −
+
− + + +
= = ⋅ =
−
⇒ < ⇒ −
∑
∑
b) Vídeo-Exemplo
36 Matemática Aplicada I
c) 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 1
1
1
1
1
2 1 !
12 1 ! 31
3 2 1 !
1
3
2 1 !
1 2 1 ! 2 1 2 2 1 !1 13lim lim lim
2 1 ! 3 2 1 ! 3 2 1 !1
3
2 1 !1 lim 2 1 2 1
3 3
Divergente
n
nn
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
an
n
a
n
n n n n
L
n n n
n
n n L
∞
=
→∞
→∞ →∞
∞
=
→
+
∞
+
+ +
+
−
= −
− 
− ⇒ 
+
= −
+
− + + ⋅ ⋅ −
= = ⋅ = ⋅
−
− −
−
−
= ⋅ + ⋅ = ∞ ⇒ = ∞ ⇒ −
∑
∑
3.7 Teste da Raiz
Seja 
1
n
n
a
∞
=
∑ uma série de termos não nulos, suponha:
 
lim n
n n
L a
→∞
= (3.8)
Então:
Se L<1, então a série 
1
n
n
a
∞
=
∑ converge.
Se L>1 ou L=∞, então a série 
1
n
n
a
∞
=
∑ diverge.
Exemplos:
 7) Decida sobre a convergência das séries a seguir:
a) ( )
1
2 31
3 2
n
n
nn
n
∞
=
+ 
−  + ∑
b) 
1
2 3
3 2
n
n
n
n
∞
=
+  + ∑
c) 
1
1 n
n n
∞
=
   ∑
Capítulo 3 Testes de Convergência 37
Resoluções:
a) 
( ) ( )
( )
1
1
2 3 2 31 lim lim 1
3 2 3 2
2 3 2 2 3lim 1 1 Convergente
3 2 3 3 2
n n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n nL a
n n
n n
n n
∞
→∞ →∞
=
∞
→∞
=
+ +   
− ⇒ = = −   + +   
+ + 
= = < ⇒ −  + + 
∑
∑
b) Vídeo-Exemplo
c) 1
1
1 1lim lim
1 1lim 0 Convergente1n n
n n
n n
n
n
n
n
n
L a
n n
n n
∞
→∞ →∞
=
∞
→∞
=
   
⇒ = =      
 
= = < ⇒   
∑
∑
Recapitulando
Neste capítulo, estudamos os chamados testes de convergên-
cia para séries numéricas. A ideia principal é selecionar o teste 
apropriado para a série em análise. Caso a série seja conver-
gente, os testes não afirmam nada sobre as somas das séries.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v. 1. 6. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
38 Matemática Aplicada I
KREYSZIG, E. Matemática Superior para Engenharia. v. 1. 
9. ed. Ed. LTC, 2009.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
<http://phet.colorado.edu/pt_ BR/>.
Plataforma Maplesoft: <http://www.maplesoft.com/index.
aspx>.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Thomson, 2002.
Zill, D. G, Cullen, M. R. Equações Diferenciais. v. 1. 3. ed. 
Ed. Makron Books, 2001.
Zill, D. G, Cullen, M. R. Matemática Avançada para Enge-
nharia. v. 1. 3. ed. Ed. Bookman, 2009.
______. Cálculo, um novo horizonte. v. 2. 6. ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
Atividades
 1) Decida sobre a convergência das séries numéricas a se-
guir:
a) 
32
1n
nn e−
∞
=
∑
b) 
1
3
5 1n
n
n
∞
=
−
∑
c) 
2
2
1
3
2 1n
n n
n
∞
=
+ +
+
∑
Capítulo 3 Testes de Convergência 39
d) 
1
11
n
n
n
∞
=
 
+  ∑
e) 
3
ln
n
n
n
∞
=
∑
f) 4 2
1
1
1n n n
∞
=
+ +
∑
g) 
1
1
2 5n n
∞
=
+
∑
Gabarito:
1) a) A série converge
b) A série diverge
c) A série diverge
d) A série diverge
e) A série diverge
f) A série Converge
g) A série converge
Séries de Potências1
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 4
Capítulo 4 Séries de Potências 41
Introdução
Neste capítulo, dando seguimento ao estudo de séries, gene-
ralizaremos a ideia de uma série numérica para uma definição 
mais geral chamada de Série de Potência, amplamente utili-
zada na ciência e engenharia. Por fim, veremos as chamadas 
Séries de Taylor e Maclaurim.
4.1 Séries Numéricas
Como vimos nos Capítulos 3 e 4, uma série numérica pode 
ser definida por:
 0
,n
n
a
∞
=
∑ (4.1)
Onde na representa o termo geral da série.
De forma resumida, podemos afirmar que, para toda série 
numérica, existem duas possibilidades:
 Â A série converge: conforme aumentamos n, a soma se 
aproxima de um certo número, chamado limite da série.
 Â A série diverge: conforme aumentamos n, a soma se 
aproxima do infinito.
4.2 Séries de Potências
Uma série de potência é definida como:
42 Matemática Aplicada I
 
0
0
( ) ,nn
n
a x x
∞
=
−∑
 (4.2)
Onde 0x é o centro de convergência da série.
4.2.1 Raio e Intervalo de Convergência
Para um determinado valor de x , a série de potência se trans-
forma em uma série numérica e, naturalmente, surge a per-
gunta se a série numérica converge ou diverge.
Segundo o teorema de Abel, para toda série de potência, 
existem duas possibilidades:
A série converge somente em 0x x= .
A série converge para um conjunto de valores de x , sendo 
que esse conjunto pode ser todo o conjunto dos Reais.
Definimos o raio de convergência da série como o maior 
valor de x para o qual a série converge. Logo, a série conver-
ge em 0 0( )x R x x R− < < + , sendo que, nos extremos, a conver-
gência deve ser analisada conforme as séries numéricas que 
ali se definem.
Ainda, segundo o teorema de Abel, podemos obter o raio, 
bem como o intervalo de convergência da série através da 
seguinte desigualdade:
 
1
0 ·lim 1nn
n
ax x
a
+
→∞
− < (4.3)
Exemplos:
Capítulo 4 Séries de Potências 43
 1) Obtenha o raio e o intervalo de convergência para as sé-
ries de potência a seguir:
a) 
1
( 1)n
n
x
n
∞
=
−∑
b) 
1
( 1)n n
n
x
n
∞
=
−∑
c) 
0
( 1)
2 !
n
n
n
x
n
∞
=
+∑
d) 
1
2 ( 3)n n
n
x
n
∞
=
+∑
e) 
1
3 ( 2)
!
n n
n
x
n
∞
=
+∑
Resoluções:
a) 
0 1
1
1
0
0 0
( 1) ,
·lim 1 1·lim 1
1 11,
1
1
1
1·lim 1 1 1 1
Mas : : ( ) : (1 1 1 1) : (
1
1
0 2)
n
n n
n
n
n n
n
n
a a
n n
n
n
n
n
x x
n
ax x x
a
x x R
I x R x x R I x I x
∞
+
=
+
→∞ →∞
→∞
= = ⇒ =
+
+
−
∴ − < ⇒ − <
⇒ − < ⇒ − < ⇒ =
− < < + ⇒ − < < ⇒ <
+
+ <
∑
b) Vídeo-Exemplo
44 Matemática Aplicada I
c) 
( ) ( )
( )
( )
0 1 11
0
1
0
0 0
( 1) ,
2 ! 2 ! 2 1 ! 2 1 !
2 1 !
·lim 1 1·lim 1
2 !
1·lim 1 1 0 1
1
Mas
1 1 11,
: : ( ) : ( ) : ( )
2
1
2
1
1
2
n
n n nn n n n
n
n
n
n n
n
n
n
x x
n n n n n
n nax x x
a
n
x x R
n
I x R x x R I x
a a
I x
a
∞
+ ++
=
+
→∞ →∞
→∞
+
+ +
+
∴ − < ⇒ + <
⇒ − < ⇒ − ⋅ < ⇒ = ∞
+
− < < + ⇒ −∞ < < ∞ ⇒
=
−
− = ⇒ = ⇒ =
⋅
∞ <
⋅
< ∞
∑
d) Vídeo-Exemplo
e) 
( ) ( )
( )
( )
1
0 1 1
1
1
0
0 0
3 ( 2) 3 3 3,
! ! 1 ! 1 !
3
1 !
·lim 1 1·lim 1
3
!
2·lim 1 2 0 1
1
Mas : : ( ) : ( ) : (
32,
3
3
)
n n n n n
n n n
n
n
n
nn n
n
n
x x
n n n n n
n nax x x
a
n
x x R
n
I x R x x R I x
a
I
a
x
a
+∞
+ +
=
+
→∞ →∞
→∞
+
+ +
+
∴ − < ⇒ + <
⇒ + < ⇒ + ⋅ < ⇒ = ∞
+
− < < + ⇒ −∞ < < ∞ ⇒
⋅
=
−∞
− = ⇒ = ⇒ =
<
⋅
< ∞
∑
4.3 Representação de Funções com Séries 
de Potência
Admita o caso em que uma série está na forma:
 
0
,n
n
x
∞
=
∑ (4.4)
Capítulo 4 Séries de Potências 45
Com 
1x <
e expressa por:
 
2 3
0
1n
n
x xx x
∞
=
= + ++ +∑  (4.5)
Nesse caso, teremos a soma dada por:
 
2 3
0 1
1 1n
n
x xx x
x
∞
=
+ ++ + + =
−
=∑  (4.6)
Desta maneira a equação (4.6) fornece uma ferramenta de 
construção de séries de séries de potências para uma determi-
nada categoria de funções.
Exemplos:
 2) Expresse as funções abaixo como uma série de potências e.
a) 2
1( )
1
f x
x
=
−
b) 
1( )
2
f x
x
=
+
c) 
3
( )
2
xf x
x
=
+
46 Matemática Aplicada I
Resoluções:
a) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 3
2 32 2 2 2
2 2
2 4 6 2
2
1( )
1
1 1
1
1 1 1
1 1
1( ) 1
1
n
n
n
f x
x
x x
x
x x x x
x x
f x x
x
x x
x x x
=
−
= + +
−
= = +
+ + +
∴ + + +
⇒ +
+
− −
= = + + +
−


b) Vídeo-Exemplo
c) 
( ) ( )
5
3
2 3
3 2 33 3
2 3 3 4 33
1
3 63 4
6
5
( )
2
1 1
1
2 122 2 2 2 21
2
12 2 4 8 2 4 8 16
( )
2 2 4 8 1
1 1
2 2
6
n
n
n n
n n
n n
xf x
x
x x
x
xx x x x xx
xx
x x x x x x xx
x x x x xf
x
x x
x
x
x
+
+
=
+
= + +
−

+ + +
       
∴ + + +   

= = + − + −      − − +     
− −  
 
− + − = − + −  
= =
     
− + −
+
= + + − + + −
⇒ +


 
( )
3
11 2
n
n
n
x +
+
+ −
Capítulo 4 Séries de Potências 47
4.4 Diferenciação e Integração de Séries 
de Potências
A diferenciação e a integração de séries de potências são 
garantidas pelo seguinte teorema: se a série de potências 
0
0
( ) ,nn
n
a x x
∞
=
−∑ possui R>0, então a função definida por
 
( )0
0
( ) nn
n
f x a x x
∞
=
= −∑ (4.7)
é diferenciável e, portanto, contínuano intervalo 
0 0( )x R x x R− < < + e
 
( ) ( )1 10 0
0 1
( ) n nn n
n n
f x na x x na x x
∞ ∞
− −
= =
′ = −=−∑ ∑ (4.8)
 
( ) ( ) 10 0
0 0
( )
1
n nn
n
n n
Caf x dx a x x dx x x
n
∞ ∞
+
= =
 
= − = −  +  +∑ ∑∫ ∫ (4.9)
Exemplos:
 3) Expresse a função ( )2
1
1 x−
 como uma diferenciação da 
equação 1
1 x−
.
 4) Expresse a função ln(1 )x− como uma série de potencias.
 5) Encontre uma representação para arc ta )( n) (f x x= .
Resoluções: 
 3) Expresse a função ( )2
1
1 x−
 como uma diferenciação da 
equação 1
1 x−
.
48 Matemática Aplicada I
( )
( )
( )
2 3 2 3
2 1
2
2 1
2
1 1 2 3
1
1( )
1 11 1
1 1
1 2 3
1
n n
n
n
d dx x x x
dx dx
x x nx
x
f x x x
x x x x
x x
nx
x
−
−
+ + + ⇒ + + +
⇒
 
= + + = + + 
− − 
= + + + +
−
∴ = = + + + +
−
 


4) Vídeo-Exemplo
5) Encontre uma representação para arc ta )( n) (f x x= .
Capítulo 4 Séries de Potências 49
4.5 Séries de Taylor e Maclaurin
Suponhamos que uma série de potências represente uma fun-
ção f no interior de seu intervalo de convergência. Nesse con-
texto, a série de Taylor é definida pela expressão:
 
( ) ( ) ( )0 0
0
( )
!
n
n
n
f x
f x x x
n
∞
=
= −∑ (4.10)
Onde 0x representa o centro de convergência da série de 
potências e 0| | .x x R− =
 Para o caso de 0 0x = , a série admite a forma:
 
( ) ( ) ( )
0
0
( )
!
n
n
n
f
f x x
n
∞
=
= ∑ (4.11)
E é chamada série de Maclaurin.
Exemplos:
 2) Obtenha a expansão em série de Taylor ou Maclaurin das 
funções a seguir:
a) 0( ) , em torno de 0
xf x e x= =
b) 0( ) sin( ), em torno de 0f x x x= =
c) 0( ) cos( ), em torno de 0f x x x= =
50 Matemática Aplicada I
Resoluções:
a) 
b) Vídeo-Exemplo
c) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
1 2 3 2 2
0
0
0
( ) cos( ), em torno de 0
cos( ) cos(0)
0 ' sin( ) ' sin(0)
( )
! '' cos( ) '' cos(0)
''' sin( ) ''' sin(0) 0
1 0 1
0 1
0 0
0 1
0
0 1 1( )
0! 1! 2! 3! 2 ! 2 !
n n
n
n
n
f x x x
f x f
f f x f
f x x
n f x f
f x f
f x x x x x x x
n
x
n
x
x
x
∞
=
 ⇒ =
⇒ =
⇒ = ⇒ =
+ +
= =
= =
= − = −
=
= − = −
+= + =
=
∴ +
=
∑

0
2
0
cos( ) 1
2 !
n
n
n
x
n
x
∞
=
∞
=
⇒ =
∑
∑
Capítulo 4 Séries de Potências 51
Recapitulando
Neste capítulo final, introduzimos a ideia fundamental de sé-
ries de potências, vimos como obter o raio e o intervalo de 
convergência de suas definições. Com grande aplicação, vi-
mos as séries de Taylor e Maclaurim.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v. 1. 6. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
KREYSZIG, E. Matemática Superior para Engenharia. v. 1. 
9. ed. Ed. LTC, 2009.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
<http://phet.colorado.edu/pt_ BR/>.
Plataforma Maplesoft: <http://www.maplesoft.com/index.
aspx>.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Thomson, 2002.
Zill, D. G, Cullen, M. R. Equações Diferenciais. v. 1. 3. ed. 
Ed. Makron Books, 2001.
Zill, D. G, Cullen, M. R. Matemática Avançada para Enge-
nharia. v. 1. 3. ed. Ed. Bookman, 2009.
______. Cálculo, um novo horizonte. v. 2. 6. ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
52 Matemática Aplicada I
Atividades
 1) Obtenha o raio e o intervalo de convergência para as sé-
ries de potência a seguir:
a) 1
( 3)
2
n
n
n
x
n
∞
=
−∑
b) 
1
( 1) ( 5)
10
n
n
n
n
x
∞
=
−
−∑
c) 
1
( 4)
3
n
n
n
x
n
∞
=
+∑
d) 
0
( 2)
1
n
n
n
x
n
∞
=
−
+
∑
e) 
1
2 ( 20)
!
n n
n
x
n
∞
=
−∑
 2) Obtenha a expansão em série de Taylor ou Maclaurin das 
funções a seguir:
a) 
2
0( ) , em torno de 0
xf x e x= =
b) 0( ) sin(5 ), em torno de 0f x x x= =
c) 0( ) cos(7 ), em torno de 0f x x x= =
Obtenha a expansão em série de Taylor para a função 
0( ) , em torno de 2
xf x e x= = .
Capítulo 4 Séries de Potências 53
Gabarito:
1) a) 2, 1 5R x= < <
b) 10, 5 15R x= − < <
c) 3, 7 1R x= − < < −
d) 
1 1 1,
2 2 2
R x−= < <
e) ,R x= ∞ − ∞ < < ∞
2) a) 
2
0
2
!
n
x n
n
e x
n
∞
=
= ∑
b) 
( )
( ) ( )
2 1
0
1
sin(5 ) 5
2 1 !
n
n
n
x x
n
∞
+
=
−
=
+
∑
c) 
( )
( ) ( )
2
0
1
(7 ) 7
2 !
n
n
n
cos x x
n
∞
=
−
= ∑
d) ( )2
0
21
!
nx
n
e e x
n
∞
=
−⋅= ∑
Rafael da Silva Valada1
Capítulo ?
Equações Diferenciais1
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 5
Capítulo 5 Equações Diferenciais 55
Introdução
O método científico teve origem na antiga Grécia. Enquanto 
em outras partes do mundo a ciência era desenvolvida de for-
ma empírica, os gregos não acreditavam na fundamentação 
empírica, dando demasiada importância para o pensamento 
abstrato.
Enquanto Platão assumia que todo o conhecimento pode-
ria ser obtido apenas através do raciocínio puro, Aristóteles 
acreditava que o conhecimento deveria ser construído através 
de razão e experimentação. Os conceitos de medição e ob-
servação são devidos a Aristóteles, que criou o conceito de 
indução, onde o raciocínio abstrato seria confirmado através 
de dados do mundo real.
O método de Aristóteles pode ser resumido em três etapas:
 Â Estudar o que outros já estudam sobre o assunto, que 
hoje chamaríamos de revisão bibliográfica.
 Â Discutir o assunto com outros estudiosos de modo a 
chegar a um consenso.
 Â Avaliar todos os aspectos ligados à investigação, diretos 
ou indiretos.
Com o Renascimento, surgiram várias figuras que contri-
buíram para a criação do método científico. A seguir, citamos 
algumas dessas figuras:
 Â Roger Bacon (1214-1294): desenvolveu um método de 
observação, geração de hipótese e teste das hipóteses.
56 Matemática Aplicada I
 Â Francis Bacon (1561-1626): suas ideias sobre indução 
e experimentação admitiam como eliminar teorias con-
flitantes.
 Â Galileu Galilei (1564-1642): considerado pai da ciência 
moderna, introduziu modelos matemáticos em assuntos 
ligados à física. Galileu acreditava que uma teoria sem-
pre seria uma aproximação da verdade fundamental, 
pois em um modelo nunca seria possível incluir todas as 
variáveis pertinentes.
 Â Isaac Newton (1642-1727): entendeu que o método 
científico precisava também da dedução, ou seja, agora 
seríamos capazes de fazer assertivas quanto ao estado 
futuro de um fenômeno, desde que nossas ideias funda-
mentais sejam corretas.
 Â Karl Popper (1902-1994): introduziu a ideia de constan-
te teste das teorias propostas e que se uma teoria não 
puder ser testada então não é uma teoria científica.
Nossa ciência e tecnologia estão fundamentadas sob o mé-
todo científico. Tal método pode ser resumido nas seguintes 
etapas:
 Â Observar um fenômeno natural.
 Â Propor hipóteses e ou um modelo para explicar o fenô-
meno.
 Â Corroborar através da experimentação as hipóteses 
propostas.
 Â Construir uma teoria.
Capítulo 5 Equações Diferenciais 57
Observe que o modelo proposto dever ser escrito em ter-
mos de quantidades que possam ser verificadas experimental-
mente e, na maior parte das vezes, isso equivale a dizer que 
possam ser feitas medidas das quantidades envolvidas, como 
forma de salvar, refutar ou melhorar a teoria. Como disse o 
físico britânicoLord Kelvin (1824-1907), o que não pode ser 
medido não pode ser melhorado.
A seguir, faremos uso do método científico juntamente a 
um novo objeto matemático, chamado de equação diferen-
cial, que fará parte de nossa construção, e é o principal tópico 
de estudo de nossa disciplina.
5.1 Tempo para a garrafa esvaziar
5.1.1 O problema
A Figura 1 representa uma garrafa pet que possui um peque-
no furo em sua superfície lateral. Ao enchermos a garrafa de 
água e ao liberar o furo lateral, temos o aparecimento de um 
jato horizontal, que possui alcance horizontal dependendo da 
coluna de líquido na garrafa. Dessa maneira, o alcance hori-
zontal diminui conforme a garrafa esvazia.
Nosso objetivo é responder, através de premissas estabe-
lecidas na ciência e de hipótese empíricas, quanto tempo a 
garrafa levará para ficar completamente vazia.
Aplicaremos o método científico para responder essa ques-
tão e, assim, levantaremos hipóteses, construiremos um mode-
58 Matemática Aplicada I
lo e testaremos esse modelo, confrontando o resultado teórico 
(modelo), com o resultado experimental.
Figura 1 Garrafa Pet.
Fonte: autor, 2015
5.1.2 Hipóteses
Levantam-se as seguintes hipóteses:
 Â
V
t
∆
∆
, depende da área de saída.
 Â
V
t
∆
∆
, depende da velocidade de saída.
Capítulo 5 Equações Diferenciais 59
 Â Lei de Torricelli: 2v gh=
 Â 0 0(0) , (0)V V h h= =
O volume de água está diminuindo.
Onde 
V
t
∆
∆ representa a taxa de variação de volume da 
garrafa; representa a aceleração da gravidade local; h a 
altura de líquido a qualquer momento t ; 0h a altura inicial de 
líquido na garrafa e v a velocidade do jato horizontal.
5.1.3 Modelagem
Logo, admitindo que
 
0 0, ,
V V VA v A v
t t t
∆ ∆ ∆
∝ ∝ ⇒ ∝
∆ ∆ ∆
 (5.1)
e como o volume está diminuindo, acrescentamos um si-
nal negativo para que nosso modelo expresse esse resultado, 
chegando a:
 
0
V vA
t
∆
∝ −
∆
 (5.2)
Para transformar a proporcionalidade 5.1 em uma equa-
ção, devemos acrescentar uma constante, e já usando a hipó-
tese de Torricelli para a velocidade, temos:
 
0 2 ,
V A gh
t
α
∆
= −
∆
 (5.3)
Onde α é uma constante de proporcionalidade.
Finalmente, fazendo o tempo ser tão pequeno quanto se 
queira, ou seja, 0t → , obtém-se:
60 Matemática Aplicada I
 
0 2 .
dV A gh
dt
α= − (5.4)
No entanto é muito mais fácil medir a altura da coluna de 
água do que o volume, pois para o volume devemos fazer 
“contas”, logo, com esse intuito, faremos uma troca de variá-
veis entre V e .h Para tanto, observe que V Ah= , onde A 
representa a área do cilindro.
Assim, usando a regra da cadeia, temos:
 
,dV dV dh
dt dh dt
= (5.5)
E como, 
dV A
dh
= , obtém-se:
 
0 2 ,Adh gh
dt A
= − (5.6)
Onde admitimos 1α = .
Ou ainda:
 
1/20 2 .Adh gh
dt A
= − (5.7)
Fazendo separação das variáveis da equação 5.7, temos:
 
1
02 2 .Ah dh gdt
A
−
= − (5.8)
Por outro lado, aplicando a integral em ambos os lados da 
equação 5.8:
 
1
02 2 ,Ah dh gdt
A
−
= −∫ ∫ (5.9)
Que resulta em:
Capítulo 5 Equações Diferenciais 61
 
1
02
12 2 ,
Ah g t C
A
= − + (5.10)
Onde 1C é uma constante de integração.
Como podemos determinar 1C ? Nesse caso, precisamos 
de uma informação adicional, ou seja, precisamos conhecer 
um ponto do gráfico da curva )(h t .
Utilizando a condição 0(0)h h= . Logo, aplicando essa 
condição, obtemos que:
 
1
2
1 02 ,C h= (5.11)
E substituindo esse resultado em 5.10, obtém-se:
 
21
02
0( ) .2
A gh t h t
A
 
= −    (5.12)
Observe que 0A e A são áreas de círculos, logo, pode-
mos escrever 20 0A Rpi= e 
2A Rpi= , levando a equação 5.12 
à seguinte forma:
 
221
02
0( ) .2
R gh t h t
R
  
= −      (5.13)
5.1.4 Teste do modelo
Observe que fazendo 0t = em 5.13, obtemos:
 0(0) ,h h= (5.14)
Que representa a condição inicial aplicada ao modelo, 
condição mínima que nossa equação deve satisfazer.
62 Matemática Aplicada I
5.1.5 Conclusão e falhas do modelo
Isolando t da equação 5.12, temos:
 
2 1 1
2 2
0
0
2 ,Rt h h
R g
  
= −      (5.15)
E para 0h = , temos:
 
2
0
0
2 ,E
hRt
R g
 
=    (5.16)
Onde Et , representa o tempo quando 0h = , 0R e R re-
presentam, respectivamente, o raio do furo e o raio do cilindro.
Podemos organizar os dados de nosso modelo na tabela 
a seguir. Na visualização do Vídeo-Experimento, apresentare-
mos os dados e então você poderá completar esta tabela.
Grandeza Medida
R 6 cm
0R
2,1 mm
0h
20 cm
g 9,81 m/s2
Quais são as falhas e restrições do nosso modelo?
 Â O modelo não considera a viscosidade do fluido.
 Â A equação 5.13 mostra que se t cresce indefinidamente, 
a altura de líquido começa a crescer, levando a uma in-
Capítulo 5 Equações Diferenciais 63
consistência física. Dessa maneira, nosso modelo possui 
uma restrição quanto ao intervalo de tempo que pode-
mos usar na equação 5.13, pois impomos que em Et a 
altura era nula, e para um tempo maior continuará sen-
do nula, independentemente de quanto tempo passar.
5.2 Definição Informal de Equação 
Diferencial
No modelo que obtemos na Seção 5.2, passou despercebido, 
mas já nos deparamos com uma equação diferencial. A saber, 
a equação 5.7 é definida como uma equação diferencial.
Informalmente, podemos definir uma equação diferencial 
como uma equação onde aparece a derivada da incógnita. 
Olhe outra vez a equação 5.7
 
1/20 2 .Adh gh
dt A
= − (5.17)
Observe que estamos em busca da função ( )h t que res-
ponderá a pergunta que buscávamos naquela seção.
O exemplo mais elementar de equação diferencial que po-
demos ter é:
 
0,dy
dx
= (5.18)
Onde de um lado da igualdade (equação) temos nada 
(zero), e de outro a derivada de uma função incógnita.
64 Matemática Aplicada I
5.2.1 Concisão de Informações
Uma equação diferencial possui a característica de resumir in-
formações e conceitos. Um exemplo desse poder de concisão 
são as equações da cinemática, que podem ser resumidas em 
uma única equação diferencial, a saber:
 
.dva
dt
= (5.19)
Onde a representa a aceleração e v representa a veloci-
dade do móvel.
5.2.2 Descrição da natureza por equações 
diferenciais
No livro Escritos Populares, o físico Ludwig Boltzmann, um dos 
criadores da Termodinâmica e teoria cinética dos gases, es-
creveu sobre a filosofia da ciência e a descrição da natureza 
pela matemática. Nos capítulos introdutórios, Boltzmann le-
vanta a pergunta de por que a natureza pode ser descrita por 
equações diferenciais? Não existe uma resposta precisa para 
a pergunta feita por Boltzmann, mas sabemos que uma gran-
de quantidade de fenômenos pode ser descrita por equações 
diferenciais.
Capítulo 5 Equações Diferenciais 65
Figura 2 Ludwig Boltzmann.
Fonte: Wikipedia, 2014
A seguir, enumeramos alguns exemplos de equações:
•	 Segunda Lei de Newton
 
.dvF m
dt
= (5.20)
•	 Lei de resfriamento de Newton
 
( )mdT k T Tdt = − − (5.21)
•	 Leis de Crescimento
 
dN kN
dt
= (5.22)
•	 Circuito RC
66 Matemática Aplicada I
 
1 ( ).dqR q V t
dt C
+ = (5.23)
•	 Circuito LR
 
( )diL Ri V t
dt
+ = (5.24)
•	 Sistema massa-mola
 ( )mx cx kx f t′′ ′+ + = (5.25)
•	 Circuito LRC
 
2
2
1 ( )d q dqL R q E t
dt dt C
+ + = (5.26)
•	 Equação da Onda
 
2 2
2
2 2 0.
u ua
x t
∂ ∂
− =
∂ ∂ (5.27)
•	 Equação do Calor
 
2
2
2 0
u ua
x t
∂ ∂
− =
∂ ∂ (5.28)
•	 Equação de Laplace
 
2 2
2 2 0.
u u
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂ (5.29)
5.3 Notação de Derivada
Para podermos reconheceruma equação diferencial, devemos 
ser capazes de reconhecer derivadas, portanto vamos revisar 
as notações de derivadas que aprendemos em disciplinas de 
cálculo diferencial e integral.
Capítulo 5 Equações Diferenciais 67
5.3.1 Derivadas Ordinárias
 
( ) ( )4 5, , , , ,y y y y y′ ′′ ′′′ … (5.30)
 
2 3 4 5
2 3 4 5, , , , ,
dy d y d y d y d y
dx dx dx dx dx
… (5.31)
5.3.2 Derivadas Parciais
 
, , , ,x y xx yyu u u u … (5.32)
 
2 2
2 2, , , ,
u u u u
x y x y
∂ ∂ ∂ ∂
…
∂ ∂ ∂ ∂ (5.33)
5.4 Definição de Equação Diferencial
Uma equação diferencial é uma equação que contém as de-
rivadas de uma função incógnita, podendo possuir a própria 
função incógnita e a variável a qual derivamos a função incóg-
nita. O exemplo mais trivial de equação diferencial é:
 
0,dy
dx
= (5.34)
Onde a função incógnita é uma função ( )y y x= .
5.5 Classificação quanto ao número de 
variáveis da função incógnita
Uma equação diferencial pode ser classificada conforme o nú-
mero de variáveis existentes da função incógnita, ou seja, de 
quantas varáveis depende a função incógnita.
68 Matemática Aplicada I
5.6 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
Uma equação diferencial onde as funções incógnitas são fun-
ções de uma única variável. Logo, todas as derivadas são or-
dinárias.
1
1 2 1 01 ( ).
n n
n nn n
d y d yF F a a a y a y a y g x
dx dx
−
−
−
 
′′ ′= + + + + + =   (5.35)
Quando a função incógnita depende de mais de uma va-
riável, não faz mais sentido termos derivadas ordinárias, e a 
equação diferencial é chamada de PARCIAL. Neste curso, ape-
nas trabalharemos com EDO’s, as EDP’s (equações diferen-
ciais parciais) serão estudas em disciplinas posteriores.
5.6.1 Classificação quanto à ordem
A ordem de uma equação diferencial é idêntica à ordem da 
MAIOR derivada que a constitui.
Exemplos:
 1) Classifique as EDO’s quanto à ordem:
a) ( )4 3 4 0xy y e y y y′′′ ′′ ′+ + − − =
b) ( )2sindy xdx =
c) 
42
2 1
d y dy
dx dx
 
+ =  
d) ( )( ) ( ) ( )35 23sec lny x y y x′′′ ′− + =
Capítulo 5 Equações Diferenciais 69
Resoluções:
a) 
( )
( )

4
4
Quarta Ordem
3 4 0
3 4 0
x
x
y y e y y y
y y e y y y
′′′ ′′ ′+ + − − =
′′′ ′′ ′⇒ + + − − =
b) Vídeo-Exemplo
c) 
4 42 2
2 2
Segunda Ordem
1 1d y dy d y dy
dx dx dx dx
   
+ = ⇒ + =      
d) Vídeo-Exemplo
5.6.2 Partes de uma EDO
A forma geral de uma equação diferencial é dada na equação 
5.35, e podemos identificar suas partes constituintes:


 


2
21
1 2 1 01
51
43
( )
n n
n nn n
d y d ya a a y a y a y g x
dxd x
−
−
−
′′ ′+ + + + + = (5.36)
(1): Coeficientes
(2): Variável dependente
(3): Variável independente
(4): Derivadas
(5): Função livre
Exemplos:
70 Matemática Aplicada I
 2) Identifique a variável dependente e a variável independen-
te das EDO’s a seguir:
a) ( )4 3 4 0xy y e y y y′′′ ′′ ′+ + − − =
b) 
( )2sindy x
dx
=
c) 
42
2 1
d y dy
dx dx
 
+ =  
d) 
( )( ) ( ) ( )35 23sec lny x y y x′′′ ′− + =
Resoluções:
a) 
Dependente:
Independente:
y
x
b) Vídeo-Exemplo
c) 
Dependente:
Independente:
y
x
d) Vídeo-Exemplo
5.6.3 Classificação quanto à homogeneidade
Uma equação diferencial na forma ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = é 
dita homogênea se as funções ( , )M x y e ( , )N x y são funções 
homogêneas de mesmo grau, ou seja, ( , ) ( , )nf tx ty t f x y= .
Muitas vezes, a condição de homogeneidade pode ser 
atendida se a função livre da EDO for nula, e cada coeficiente 
não for função da variável dependente.
Capítulo 5 Equações Diferenciais 71
Exemplos:
 3) Classifique as EDO’s a seguir em homogêneas e não ho-
mogêneas:
a) 
3 2
2
3 27 0
d y d y dyx x y
dx dx dx
+ + − =
b) 
3 2
2
3 27
d y d y dyx x y x
dx dx dx
+ + − =
c) 5 3y y y′′ ′+ =
d) ( )6 xy y e− =
Resoluções:
a) 
3 2
2
3 27 0 Homogênea
d y d y dyx x y
dx dx dx
+ + − = →
b) Vídeo-Exemplo
c) 5 3 Homogêneay y y′′ ′+ = →
d) Vídeo-Exemplo
5.6.4 Classificação quanto à Linearidade
Uma equação diferencial ordinária é dita linear se a função 
incógnita e todas as suas derivadas possuírem grau um, e se 
todos os coeficientes forem função apenas da variável inde-
pendente.
72 Matemática Aplicada I
5.6.5 Algoritmo de verificação
 Â Escreva a equação em “quociente’’.
 Â Identifique a variável dependente.
 Â Verifique se a variável dependente e suas derivadas es-
tão elevadas à potência 1.
		Equação em quociente: cada termo da soma possui 
seu próprio denominador.
	Potência 1: a variável é argumento da função linear.
Exemplos:
 4) Classifique as EDO’s quanto à linearidade.
a) (1 ) 4 5 cosx y xy y x′′ ′− − + =
b) 
43
3 2 0
d y dyx y
dx dx
 
− + =  
c) 
cos( ) 4 5
(1 )
x xy yy
y
′
− +
′′ =
−
d) 
2
( 1) 0
3
x dx x dy− − =
Resoluções:
a) 
(1 ) 4 5 cos Linearx y xy y x′′ ′− − + = →
b) Vídeo-Exemplo
Capítulo 5 Equações Diferenciais 73
c) 
cos( ) 4 5 Não Linear
(1 )
x xy yy
y
′
− +
′′ = →
−
d) Vídeo-Exemplo
5.7 Soluções de equações diferenciais 
ordinárias
A solução de uma equação diferencial ordinária é uma função 
y que quando substituída na equação valida sua igualdade. 
Em outras palavras, a solução reduz a equação a 0 0= .
Exemplos:
 5) Verifique se a função dada é solução da equação diferen-
cial:
a) /2 , 2 0xy e y y− ′= + =
b) ( )4 1, 8y x x y x y y x′= + + − = − +
c) 
1
45(7 5 ) , 0y x y y−′= − + =
d) 
1
22 , 4 0
x
y e y y
   
′′= − =
74 Matemática Aplicada I
Resoluções:
a) 
( )
/2
/2 /2
/2 /2
/2 /2
, 2 0
1'
2
12 0 2
2
0 V
0
0
0
x
x x
x x
x x
y e y y
y e y e
y y e e
e e
−
− −
− −
− −
′= + =
= = −
 
′ + = ⇔ − +  
−
⇒
∴ =
+ =
=
b) Vídeo-Exemplo
c) 
( )
( )
4 4
4
1
45
5 5
41
4
4 4
5 5
5 5
(7 5 ) , 0
1' (7 5 ) ' (7 5 )
5
0 (7 5 ) (7 5 )
5
(7 5 ) (7 5 )
0
0
0 0 V
y x y y
y x y x
y y x x
x x
− −
−
−
−
−
−
−
− ⇔
 
∴ + = 
′= − + =
= − = − −
′ + = ⇔ − − −
+ =− −

=
−
d) Vídeo-Exemplo
5.7.1 Classificação das soluções
A solução de uma equação diferencial pode ser classificada 
quanto à forma de expressá-la.
Capítulo 5 Equações Diferenciais 75
 Â Solução Explícita: possui a forma: ( )y f x=
 Â Solução Implícita: possui a forma: ( , )y f x y=
Ou qualquer solução que não pode ser escrita como y=f(x).
Soluções na forma implícita podem ser reescritas na forma 
explícita se e só se forem argumento de uma única função não 
composta.
Exemplos:
 6) Escreva as soluções na forma explícita se possível:
a) xy e=
b) ( ) ( )2sin 4 tany x x= +
c) ( ) ( )2 24 sin secy y x x+ =
d) xyy e=
Resoluções:
a) explícita
xy e →=
b) Vídeo-Exemplo
c) 
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
4 sin sec 4sin sec 0
4sin 4sin se4
4
c
2
4sin 16sin sec
2
y y x x y x y x
x x x
y
x x x
y
+ = ⇔ + − =
− ± −
⇒ =
± +
−
−
⇒ =
Vídeo-Exemplo
76 Matemática Aplicada I
5.7.2 Busca por soluções de EDO’s
A busca por soluções de equações diferenciais ordinárias é 
nosso principal objeto de estudo. Existem inúmeras técnicas 
para encontrar essas soluções, por exemplo: separação de va-
riáveis, equações lineares, equações de segunda ordem ho-
mogêneas e não homogêneas e transformadas de Laplace etc.
Nos exemplos a seguir, tentaremos obter as soluções ape-
nas baseados em nossos conhecimentosde cálculo diferencial.
Exemplos:
 7) Obtenha a solução das equações diferenciais a seguir:
a) 0
dy
dx
=
b) 
dy x
dx
=
c) 
2dy x
dx
=
d) 
1dy
dx x
=
Resoluções:
a) 0 , constante
dy y C C
dx
= ⇒ = =
b) Vídeo-Exemplo
c) 
2 31
3
dy x
x
y x
d
⇒ ==
Vídeo-Exemplo
Capítulo 5 Equações Diferenciais 77
Recapitulando
Neste capítulo, começamos por um pequeno exemplo de mo-
delagem através de uma equação diferencial. Também defi-
nimos a nomenclatura e fizemos uma série de definições as-
sociadas às equações diferenciais, como as classificações de 
ordem, linearidade e homogeneidade. Por fim, compreende-
mos o que representa a solução de uma EDO e como obtê-
-la de forma intuitiva, através de conhecimentos de cálculo 
diferencial e integral.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. v. 1. 6. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2000.
KREYSZIG, E. Matemática Superior para Engenharia. v. 1. 
9. ed. Ed. LTC, 2009.
Plataforma de simulações da Universidade do Colorado: 
<http://phet.colorado.edu/pt_ BR/>.
Plataforma Maplesoft: <http://www.maplesoft.com/index.
aspx>.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Thomson, 2002.
Zill, D. G, Cullen, M. R. Equações Diferenciais. v. 1. 3. ed. 
Ed. Makron Books, 2001.
78 Matemática Aplicada I
Zill, D. G, Cullen, M. R. Matemática Avançada para Enge-
nharia. v. 1. 3. ed. Ed. Bookman, 2009.
______. Cálculo, um novo horizonte. v. 2. 6. ed. Porto Ale-
gre: Bookman, 2000.
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann#mediaviewer/
File:boltzmann_Ludwig_Dibner_coll_SIL14-B5-06a.jpg>. 
Acessado em: fev. de 2015.
Atividades
 1) Classifique as equações diferenciais a seguir, quanto à li-
nearidade:
a) ( ) ( ) ( )2 31 sin cosx y y x y x′′ ′− − + =
b) ( )12 0y y y′′ ′− + =
c) 5 (5) cos( ) 0u u uθ θ θ′′− + =
d) 
1
4 (5) 3 2( ) 6 0t u t u u′′− + =
e) 
23dr r
dt
=
f) 
cos( ) 4 5
(1 )
x xy yy
x
′
− +
′′′ =
−
g) 
2
2
2
d u u
dt
=
Capítulo 5 Equações Diferenciais 79
h) 
21
2
xy y x′′ = +
i) 
( ) 2sin 9
(1 )
x x y
y
xy
′+
′′ =
−
 2) Verifique se a função prescrita é solução a EDO dada:
a) 23 , 4 4 0xy e y y y′′ ′= − + =
b) ( )3 cos 2 , 6 13 0xy e x y y y′′ ′= − + =
c) ( )4 2, 8y x x y x y y x′= + + − = − +
 3) Proponha uma solução para as seguintes EDO’s e prove 
que a mesma é solução:
a) 
2
2 4
d y
dx
=
b) 
35dy x
dx
= −
c) 
22
2
2 0
d y y
dx
 
− =  
d) 
2
2
d y y
dx
= −
Gabarito:
1) a) segunda ordem; linear
b) segunda ordem; não linear
c) Segunda ordem; linear
80 Matemática Aplicada I
d) Segunda ordem; não linear
e) Quinta ordem; linear
f) Quinta ordem; não linear
g) Primeira ordem; não linear
h) Terceira ordem; linear
i) Segunda ordem; não linear
2) As funções prescritas são todas solução das respectivas 
EDO’S.
3) a) 22y x=
b) 
45
4
y x= −
c) xy e=
d) ( )cosy x= −
Rafael da Silva Valada1
Capítulo ?
Equações Diferenciais 
Separáveis1
1 Professor de Matemática e Física, Mestre em Matemática Aplicada, Professor dos 
Cursos de Física, Matemática e Engenharias da Universidade Luterana do Brasil – 
ULBRA – Canoas (RS).
Rafael da Silva Valada1
Capítulo 6
82 Matemática Aplicada I
Introdução
Neste capítulo, aprenderemos a primeira técnica efetiva de 
resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira or-
dem, a saber, a técnica de separação de variáveis. Como mo-
tivação para nosso estudo, faremos a modelagem de um pro-
blema que vimos no Capítulo 5, relacionado à fenomenologia 
associada a um tanque cheio de água que possui um furo 
em sua superfície lateral. Para obter a função que expressa o 
alcance horizontal em função da altura de líquido no tanque, 
temos de resolver uma EDO através da separação dos infini-
tésimos diferenciais.
A resolução efetiva de equações separáveis implica na re-
solução de integrais indefinidas e por essa razão teremos que 
relembrar técnicas de integração, como, por exemplo, a técni-
ca de substituição de variáveis.
A importância da técnica de separação de variáveis se en-
contra na grande quantidade de fenômenos que podem ser 
modelados por esse tipo de equação.
6.1 Qual é o alcance do jato horizontal
Nosso problema se resume em obter uma expressão matemá-
tica que modele o alcance de um jato horizontal de um tanque 
cilíndrico que possui um furo em sua superfície lateral. Ou 
Capítulo 6 Equações Diferenciais Separáveis 83
seja, essa é a mesma situação que contemplamos no início do 
Capítulo 1. No vídeo experimento 1, podemos observar que 
conforme a coluna de líquido diminui, o alcance horizontal do 
respectivo jato também diminui.
Para nossa construção, faremos uso de uma simulação da 
Universidade do Colorado, onde podemos observar tal fenô-
meno e, por fim, testar o modelo que aqui desenvolvermos.
Observando as Figuras 1 e 2, percebemos que quanto me-
nor a coluna de água, menor é o alcance horizontal do jato 
lateral.
Figura 1 Alcance do jato horizontal 1.
Fonte: Universidade do Colorado, 2014
84 Matemática Aplicada I
Figura 2 Alcance do jato horizontal 2.
Fonte: Universidade do Colorado, 2014
6.1.1 Hipóteses
Lembrando que, dado um tanque cilíndrico, com um furo cir-
cular em sua superfície lateral, a altura de líquido, para cada 
instante de tempo t é dado por:
 
221
02
0( ) ,2
R gh t h t
R
  
= −     
 (6.1)
Onde 0h , 0R , R representam, respectivamente, a altura 
inicial de líquido, o raio do cilindro e o raio do furo circular.
Nosso objetivo é determinar o alcance horizontal, A , do 
jato de água. Logo, partindo da interdependência dos movi-
mentos de Galileu, temos que qA v t= , ou ( ) ( )qA t t v t= , visto 
que a velocidade não é uma constante nesse caso. Observe 
ainda, que qt representa o tempo de queda de um infinitésimo 
de líquido.
Capítulo 6 Equações Diferenciais Separáveis 85
6.1.2 Modelagem
Admitindo de ( )A t varie com o tempo, temos
 
( ) ,q
dA d t v t
dt dt
 =   (6.2)
ou
 
( ).qdA dt vdt dt= (6.3)
Utilizando a hipótese de Torricelli de que a velocidade pode 
ser escrita como 
1
22 2v gh gh= = , e voltando ao resultado 
6.1, obtém-se
 
2
0
02 ,
Rv gh gt
R
 
= −    (6.4)
Implicando que:
 
2
0 .Rdv g
dt R
 
= −   (6.5)
Substituindo o resultado acima em 6.3, temos:
 
2
0 .q
RdA g t
dt R
 
= −   (6.6)
Da interdependência dos movimentos de Galileu, isolando 
o tempo, obtém-se que 2
q
Ht
g
= e assim 6.6 admite a forma:
 
2
0 2 ,RdA gH
dt R
 
= −   (6.7)
Onde H representa o tempo total do movimento.
Podemos naturalmente supor um ponto conhecido de nos-
so gráfico ( )A t , que é (0) maxA A= .
86 Matemática Aplicada I
Para resolver o problema definido, façamos separação das 
variáveis A e t em 6.7, logo:
 
2
0 2 ,RdA gH dt
R
  
= −      (6.8)
E integrando em ambos os lados da igualdade, temos:
 
2
0( ) 2 ,RA t gHt C
R
 
= − +   (6.9)
Onde C é uma constante de integração.
Agora, utilizando a condição inicial, temos a implicação:
 (0) ,max maxA A C A= ⇒ = (6.10)
Levando ao resultado final:
 
2
0( ) 2 .max
RA t gHt A
R
 
= − +   (6.11)
6.1.3 Teste do modelo
Podemos testar nosso modelo de duas formas, a saber, apli-
cando o tempo t = 0 e verificando se obtemos o alcance máxi-
mo, visto que esse era um ponto conhecido desde o princípio. 
Por outro lado, podemos verificar para qualquer tempo qual é 
o alcance e comparar o resultado teórico (nosso modelo) com 
o resultado experimental (simulação), e ainda verificar o tempo 
que leva para que o alcanceseja zero.
 Â (0) maxA A=
 Â *( ) 0A t =
Capítulo 6 Equações Diferenciais Separáveis 87
6.1.4 Conclusão
Partindo da simulação, podemos obter os seguintes dados
Grandeza Medida
2
0R
R
   
0,037462
H 19,8 m
maxA 27,98 m
Dessa maneira, a equação 6.11, admite a seguinte forma:
 ( ) 0,734255 27,98.A t t= − + (6.12)
Dado nossa expressão final 6.12, podemos aplicá-la à de-
terminação do alcance para qualquer tempo compreendido 
na faixa 0 At t≤ ≤ . Dessa forma, vamos determinar o alcance 
para um valor de t próximo a 15 segundos e verificar qual o 
erro percentual entre o valor calculado e o valor medido atra-
vés da simulação, onde:
 
% .cal med
med
A Ae
A
−
= (6.13)
6.2 Equações Separáveis
EDO separável é aquela na qual podemos separar as variá-
veis, ou seja:
88 Matemática Aplicada I
 ( ) ( ) .h y dy g x dx= (6.14)
6.2.1 Construção
Uma equação separável possui a forma:
 
( )
( )
dy g x
dx h y
= (6.15)
 De modo que podemos fazer a separação de variáveis:
 ( ) ( ) .h y dy g x dx= (6.16)
 Após a referida separação, admitimos a integral em 
ambos os lados da igualdade obtendo:
 
( ) ( )h y dy g x dx=∫ ∫ (6.17)
E, finalmente, resolvendo cada integral:
 ( ) ( ) ,H y G x C= + (6.18)
Onde ( )H y e ( )G x , representam, respectivamente a 
solução da primeira e segunda integral. A constante C que 
aparece à direita da igualdade é a soma das constantes das 
integrais.
6.2.2 Algoritmo de Resolução
 Â Observe qual dos infinitésimos já está no numerador e 
escolha esse lado da igualdade para a referida variável.
Capítulo 6 Equações Diferenciais Separáveis 89
 Â Faça a devida separação, usando álgebra elementar, de 
modo a obter ( ) ( ) .h y dy g x dx=
 Â Aplique a integral em cada lado da igualdade e as re-
solva, separadamente.
 Â Junte as respostas do item anterior e some uma constan-
te à direita da igualdade.
Resumidamente:
 SEPARA
 INTEGRA
 SOMA CONSTANTE À DIREITA
Exemplos:
 1) Resolva as equações diferenciais:
a) 0xdy ydx− =
b) (1 ) 0x dy ydx+ − =
c) 
2(2 1)
(3 8)
xy
y
−
′ =
+
d) 2 1xye y ypi ′ = +
90 Matemática Aplicada I
Resoluções:
a) 

ln ln
ln ln
0
ln ln y x C
x C x C
C
dy dxxdy ydx xdy ydx
y x
dy dx y x C e e
y x
y e e e x C
y Cx
+
+
− = ⇔ = ⇔ =
= ⇔ = + ∴ =
⇒ = = ⋅ = ⋅
⇒ =
∫ ∫
b) Vídeo-Exemplo
c) 
2 2
2
2 3
2
2 3
(2 1) (2 1) (3 8) (2 1)
(3 8) (3 8)
(3 8) (2 1)
3
3 8 2
2
3 28
2 3
x dy xy y dy x dx
y dx y
y xy dy x d x Cy
x
x
y Cy x
− −
′ = ⇔ = ⇔ + = −
+ +
+ = − ⇒ + =
⇒
− +
+ = − +
∫ ∫
d) Vídeo-Exemplo
6.3 Problema de Valor Inicial
Resolvendo a equação 
dy y
dx
= , obtemos xy Ce= . A pergunta 
é para qual valor de C a solução obtida é solução da EDO?
Capítulo 6 Equações Diferenciais Separáveis 91
Figura 3 Solução parametrizada pela constante C.
Fonte: Autor, 2015
Figura 4 Solução parametrizada pela constante C, aplicação de zoom.
Fonte: Autor, 2015
Mas como determinar a constante C ? Para tal, precisa-
mos, com a equação diferencial, definir uma condição ini-
cial, ou seja, um ponto onde conhecemos a função incóg-
nita. Dessa maneira, se no exemplo anterior impormos que 
92 Matemática Aplicada I
(0) 1 1y C= ⇒ = . A Figura 6.3 e 6.4 representam a solução 
para diferentes valores de C.
Uma equação diferencial, com uma condição inicial, rece-
be o nome de problema de valor inicial, PVI.
 
0 0( , ), ( ) .
dy f x y y x y
dx
= = (6.19)
6.3.1 Teorema da Existência e Unicidade
Duas perguntas surgem naturalmente quando definimos um PVI:
 Existe solução?
 A solução é única?
Teorema da existência e unicidade: Seja R uma região 
retangular do plano ( , )x y definida por a x b≤ ≤ e c y d≤ ≤
que contém o ponto 0 0( , )x y . Se ( , )f x y e 
f
y
∂
∂ são contínuas 
em R , existe algum intervalo 0 0 0: , 0I x h x x h h− ≤ ≤ + > contido 
em a x b≤ ≤ , e uma única função ( )y x , definida em 0I , que é 
solução do problema de valor inicial.
O intervalo de validade da solução é o maior intervalo 
aberto que contém o ponto que define a condição inicial. Ob-
serve que, quando adicionamos uma condição inicial à equa-
ção diferencial, impomos a escolha de um valor específico 
para constante C. Em outras palavras, quando a equação dife-
rencial vem acompanhada de uma condição inicial, devemos 
substituir essa condição na mesma e determinar o valor de C. 
Posteriormente, devemos atualizar a equação com esse valor.
Capítulo 6 Equações Diferenciais Separáveis 93
Exemplos:
 2) Encontre a solução de cada PVI proposto:
a) 0, (1) 1xdy ydx y− = =
b) 2 , (1) 2x y y xy y′ = − =
c) 2
cos(2 ) , (0) 1
1
y xy y
y
′ = =
+
d) 2 1, (0) 4xye y y ypi ′ = + =
Resoluções:
a) 

ln ln
ln ln
0, (1) 1
ln ln
, (1) 1 1 1 1
y x C
x C x C
C
dy dxxdy ydx y xdy ydx
y x
dy dx y x C e e
y x
y e e e x C
y Cx y C C y x
+
+
− = = ⇔ = ⇔ =
= ⇔ = + ∴ =
⇒ = = ⋅ = ⋅
⇒ = = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =
∫ ∫
b) Vídeo-Exemplo
94 Matemática Aplicada I
c) 
2
2 2
2
2
2
2
cos(2 ) cos(2 ) 1, (0) 1 c
1 sin(2 ) ,
2 2
1
os(2 )
1 1
1 1cos(2 ) cos(2 )
ln (0) 1
ln1 1 1sin(2 0)
2 2 2
1 1sin(2 )
2 2 2
ln
dy
y
dy y d
y x dy y x yy y x dx
y dx y
y x dx x dx
yy y
y
y y
x C
C C
xyy
=
 
= + =  
= +
=
+
′ = = ⇔ = ⇔
+ +
+
⇔
⇒ + =
⇒ +
⇒
⋅ +
+
⇔ =
= +
∫ ∫ ∫ ∫
d) Vídeo-Exemplo
 3) Encontre a solução de cada PVI e defina o intervalo de 
definição da solução obtida:
a) 2 , (1) 1
dyx y y
dx
= =
b) 2
1 , (1) 6dy y
dx x
= − =
Resoluções:
a) 
2
2
2
2
1
2
2 , (1) 1 2
2 ln 2ln
( , ) 0 : (
ln ln
, (
0,
1) 1 1
1 )
1
x
dy dy dxx y y
dx y x
dy dx y x C y x C
y x
y
yf x y x I
x
Cx y C C
y e y x
= = ⇔ =
= ⇒ = + ⇒
⇒ = ⇒ ≠
= +
⇒ = = ⇒ = ⋅ ⇒ =
⇒ = ⋅ ∴ ⇒ ∞=
∫ ∫
b) Vídeo-Exemplo
Capítulo 6 Equações Diferenciais Separáveis 95
6.4 Lei de Resfriamento de Newton
 
( ).mdT k T Tdt = − − (6.20)
 Â T : temperatura do corpo
 Â mT : temperatura do meio
 Â t : tempo
 Â k : constante de proporcionalidade
6.4.1 Modelagem
A variação da temperatura do corpo é proporcional à diferen-
ça de temperatura entre o corpo e a temperatura do meio.
 
( ) ,mT T Tt
∆
∝ −
∆
 (6.21)
E segue imediatamente:
 
( ).mdT k T Tdt = − − (6.22)
6.4.2 Resolução
Resolvendo a equação de Newton, temos:
 .
kt
mT T Ce= + (6.23)
96 Matemática Aplicada I
Exemplos:
 4) Resolva os problemas abaixo:
a) O medidor de temperatura de uma fornalha industrial 
de uma empresa siderúrgica está quebrado. Devido a 
questões logísticas, não há como substituir o marca-
dor, e é necessário, para determinado processo, saber 
a temperatura da fornalha. Com intuito de avaliar essa 
temperatura, um funcionário, meu aluno, tem uma 
ideia: colocar dentro do formo um termômetro, que 
está à temperatura ambiente de 20ºC e observar pela 
janela da fornalha a temperatura registrada pelo mes-
mo. O funcionário verifica que o termômetro marca 
110ºC, 0,5 minutos depois e 145ºC, 1 minuto depois. 
Qual é a temperatura da fornalha?
b) Um café com temperatura inicial de _____OC é co-
locado em uma sala cuja temperatura ambiente é de 
_____OC. Verifica-se que 5 minutos depois a tempe-
ratura do café é de _____OC. Determine qual será a 
temperatura do café 15 minutos após ele ter sido co-
locado na sala.
Capítulo 6 Equações Diferenciais Separáveis 97
Resoluções:
a) 
( )
( )
0
0,5 0,5
1
0,5
, (0) 20, (0,5) 110, (1) 145,
(0)