Exercícios de Cálculo 2

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Lista 2 de Calculo 2
1. Achar uma parametrizacao das seguintes curvas
(a) x
2
4 +
y2
9 = 1.
(b) x
2
4 +
y2
9 = 1.
(c) 5x− 3y = 1.
(d) y = x3.
(e) xy = 1.
2. Describa geometricamente as seguinte parametrizacoes
(a) α(t) = ( 2t
t2+1
, t
2−1
t2+1
).
(b) α(t) = (t2, t3).
(c) α(t) = (t3, t5).
(d) α(t) = (t, t, sin t).
3. Suponha que θ(t) e uma funcao de calculo I, mostre que a funcao
α(t) = (r cos θ(t), r sin θ(t)) e uma curva que describe a posicao de
uma particula sobre uma circunferencia de raio r.
4. Nos exercisos a seguir, α e β sao parametrizacoes e f e uma funcao de
calculo I.
(a) Mostre que limt→a ‖α(t)‖ = ‖ limt→a α(t)‖.
(b) Mostre que limt→a(α(t) ◦ β(t)) = (limt→a α(t)) ◦ (limt→a β(t)).
(c) Mostre que limt→a(α(t)× β(t)) = (limt→a α(t))× (limt→a β(t)).
(d) Mostre que limt→a(f(t)α(t)) = (limt→a f(t))(limt→a α(t)).
5. Mostre que se α, β e f sao continuas, entao α+ β, α− β, α ◦ β, α× β
e fα sao continuas.
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6. Calcule os pontos a onde a curva parametrizada α(t) = (cos t, sin t, t)
tem tangente paralela ao eixo y.
7. Calcule os pontos a onde a curva parametrizada α(t) = (cos t, sin t, t)
tem tangente paralela ao plano xz.
8. Calcule β′(t) quando β(t) = α
′(t)
‖α′(t)‖ .
9. Qual e a velocidade inicial de uma bola de golf para ele alcanzar o
ponto que se encontra a uma distancia de 150m?
10. Qual e a trajetoria de uma particula que e disparada por um canhao se
alcanza uma distancia de 10 metros e uma altura maxima de 5 metros.
11. Que distancia percorreo uma particula desde o momento en que t = 0
ate t = 3 se sua trajetoria e a curva parametricada α(t) = (r cos θ(t), r sin θ(t))
quando θ(t) = pi2 t
2 − 3pi2 t+ pi?
12. Calcule a aceleracao centripeta e tangencial da particula do exerciso
anterior.
13. A posicao de uma particula esta dada pela parametricacao α(t) =
(cos 2pi(t2− t), sin 2pi(t2− t)). No instante t = 0 sae pela tangente com
uma velocidade igual a aquela que tinha no instante t = 0. Qual e a
posicao da particula no instante t = 3?
14. Calcule a distancia que percorre a particula do exerciso anterior desde
o instante t = −1 ate t = 3.
15. Calcule a distancia do ponto (2, 3) a reta que pasa pelo ponto (0, 1) e
tem vetor direcional (1, 1).
16. Calcule a distancia do ponto (2, 3, 0) a reta que pasa pelo ponto (0, 1, 1)
e tem vetor direcional (1, 1, 1).
17. Determine se o ponto (2, 3) esta sobre a reta que pasa pelo ponto (0, 1)
e tem vetor direcional (1, 1).
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