AARRE-CalculoIII-2021-1Parte

Prévia do material em texto

UENF
Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
CCT-LCMAT
Laboratório de Ciências Matemáticas
AARE CÁLCULO III
Liliana A. L. Mescua †
Rigoberto G. S. Castro
Março de 2021
.
Liliana A. L. Mescua
*27/03/1970 +06/02/2019
Embora o tempo não perdoe,
a memória é o nosso livro,
e não há ausência para apagar,
o que nós já escrevemos juntos.
Tu me darás algo de magia,
algo do Céu, algo da alma,
e nada de esquecer,
porque eu sempre
te levarei comigo.
A saudade te trará de volta,
lembraremos do teu sorriso,
do teu dom de ensinar,
da tua empatia para com o próximo...
será inevitável sentir algo na alma,
saberemos que aqui tu estarás.
‘‘Dai-lhe Senhor,
em felicidade
no Céu
o que ela nos deu
em ternura
na Terra’’
Sumário
1 Funções Vetoriais 1
1.1 Função Vetorial de Variável Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Continuidade e Derivabilidade de uma Curva Parametrizada . . . . . 7
1.1.2 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas . . . . . . . . . . 8
1.2 Funções Vetoriais de Varias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Parametrização 13
2.1 Parametrização de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Gráfico de uma Equação Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Integrais de Linha 26
3.1 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Integral de Linha de uma Função Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Integral de Linha de um Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Campos Conservativos. Independência da Trajetória . . . . . . . . . . . . . 33
3.4.1 Construção de uma Função Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i
.
ii
Capítulo 1
Funções Vetoriais
Para 𝑛 ∈ N, 𝑛 > 1 definamos o conjunto
R𝑛 = {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) / 𝑥𝑖 ∈ R, ∀𝑖}
Em Cálculo II vimos que uma função escalar é aquela que a cada elemento 𝑥 de seu domínio
𝐷 (𝐷 ⊂ R𝑛) associa um único número real 𝑧 = 𝑓(𝑥). Simbolicamente, escrevemos
𝑓 : 𝐷 ⊂ R𝑛 → R
O objetivo nesta capítulo será estender o nosso estudo para funções cujo contradomínio
(imagem) é R𝑚.
1.1 Função Vetorial de Variável Real
Um primeiro exemplo muito importante de uma função vetorial é dado pela definição de
curva parametrizada que nada mais é do que uma função vetorial de variável real, deno-
tada por:
𝛼 : 𝐼 ⊂ R −→ R𝑚 (1.1)
𝑡 −→ 𝛼(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡), . . . , 𝑥𝑚(𝑡))
cujo domínio é um intervalo 𝐼 em R e o contradomínio é R𝑚. Curvas parametrizadas são
utilizadas para se modelar 𝑚 quantidades (posição de um objeto, trabalho, capital de em-
presa, etc) que variam no tempo. A variável 𝑡 é chamada de parâmetro e 𝑥1 = 𝑥1(𝑡), 𝑥2 =
𝑥2(𝑡), 𝑥3 = 𝑥3(𝑡), . . . , 𝑥𝑚 = 𝑥𝑚(𝑡), são chamadas de equações paramétricas da curva 𝛼.
A representação mais importante de uma curva parametrizada é o seu traço.
1
Definição 1.1. (Traço de uma curva parametrizada). Seja 𝛼 : 𝐼 ⊂ R → R𝑚 uma
curva parametrizada. O traço de 𝛼 é o conjunto 𝒞 = {𝛼(𝑡), 𝑡 ∈ 𝐼} ⊂ R𝑚 (também chamado
de curva 𝒞). Para cada instante de tempo 𝑡, 𝛼(𝑡) é um ponto de R𝑚. O traço de uma curva
parametrizada 𝛼 nada mais é do que união de todos estes pontos de 𝒞.
Se por exemplo, 𝛼(𝑡) representa a posição de um objeto no instante de tempo 𝑡, o traço
da curva representa, neste caso, a trajetória do objeto.
Exemplo 1.1. Suponha que a posição de um objeto (um ponto material) movendo-se no plano
R2 seja descrita pela curva parametrizada
𝛼 : R → R2 (1.2)
𝑡 → 𝛼(𝑡) = (1 + 𝑡, 3 − 2𝑡)
𝑎) Qual é a posição inicial do objeto?.
𝑏) Qual é a posição do objeto no instante de tempo 𝑡 = 1?
𝑐) O objeto passa pela origem (0, 0)?.
𝑑) Faça o esboço da trajetória do objeto (traço).
Sol.:
𝑎) A posição inicial do objeto é a posição do objeto no instante de tempo 𝑡 = 0. Assim, para
sabermos a posição inicial do objeto basta calcularmos
𝛼(0) = (1 + 0, 1 − 2.0) = (1, 3)
𝑏) Para sabermos a posição do objeto no instante de tempo 𝑡 = 1 basta calcularmos
𝛼(1) = (1 + 1, 1 − 2.1) = (2, 1)
𝑐) Queremos saber se existe um instante de tempo 𝑡 tal que 𝛼(𝑡) = (1 + 𝑡, 1 − 2.𝑡) = (0, 0).
Como o sistema ⎧⎨⎩ 1 + 𝑡 = 03 − 2𝑡 = 0
não possui solução, segue-se que o objeto nunca passa pela origem (0, 0).
𝑑) Para fazer um esboço do gráfico da curva parametrizada 𝛼 vamos tentar determinar uma
equação nas variáveis cartesianas 𝑥 e 𝑦 satisfeita pelos pontos 𝛼(𝑡).
Assim, ⎧⎨⎩ 𝑥 = 1 + 𝑡𝑦 = 3 − 2𝑡
2
Figura 1.1: C é o traço da curva 𝛼(𝑡) = (1 + 𝑡, 3 − 2𝑡).
podemos isolar 𝑡 na primeira equação, 𝑡 = 𝑥−1, e substituir o valor de 𝑡 na segunda equação
𝑦 = 3 − 2𝑡 = 3 − 2(𝑥− 1) = −2𝑥 + 5, isto é temos a equação 𝑦 = −2𝑥 + 5.
Assim o traço da curva 𝛼 ( e portanto a trajetória do objeto) é a reta 𝑦 = −2𝑥 + 5 no
plano cartesiano R2.
Desta maneira a trajetória do objeto pode ser descrita de duas maneiras diferentes:
1. Como o traço da curva parametrizada 𝛼(𝑡) = (1 + 𝑡, 3 − 2𝑡) = (1, 3) + (1,−2)𝑡, onde
(1,3) é o ponto onde passa a reta e (1,-2) é o vetor direção da reta.
2. Como a curva de nível da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥+𝑦−5 associado ao nível 0, (2𝑥+𝑦−5 =
0).
No primeiro caso estamos dizendo que estamos descrevendo a curva parametricamente e
no segundo caso implicitamente.
Exemplo 1.2. Faça o esboço do traço da curva parametrizada
𝛽 : R → R2 (1.3)
𝑡 → 𝛽(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡)
3
Sol.: Desde que 𝛽(0) = (cos 0, sen 0) = (1, 0), em 𝑡 = 0, o móvel esta na posição (1, 0). Analo-
gamente, temos que 𝛽(𝜋/4) = (cos 𝜋/4, sen 𝜋/4) = (
√
2/2,
√
2/2), 𝛽(𝜋/2) = (cos 𝜋/2, sen 𝜋/2) =
(0, 1). Mas ao invés de tentar obter um esboço do traço de 𝛽 através de alguns poucos pontos,
vamos utilizar a mesma técnica desenvolvida no exercício resolvido anterior, isto é, vamos
tentar obter uma equação nas variáveis 𝑥 e 𝑦 que é satisfeita pelos pontos 𝛽(𝑡), com 𝑡 ∈ R.
Escrevendo:
𝑥 = cos 𝑡
𝑦 = sen 𝑡
⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = cos2 𝑡 + sen2𝑡 = 1
Portanto, o traço da curva 𝛽 é a circunferência de centro na origem (0, 0) e raio 1.
Figura 1.2: 𝒞 é o traço da curva 𝛽(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡).
Exemplo 1.3. Faça um esboço do traço da curva parametrizada
𝛽 : [0,∞) → R2 (1.4)
𝑡 → 𝛽(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡, 𝑡 sen 𝑡)
Sol.: Para cada 𝑡 ∈ [0,∞),
𝛽(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡, 𝑡 sen 𝑡) = 𝑡(cos 𝑡, sen 𝑡)
Note-se que ao multiplicarmos o ponto (cos 𝑡, sen 𝑡) pertencente a circunferência de centro
(0, 0) e raio 1, por 𝑡, o raio deixa de ser 1 e fica sendo 𝑡. Isto é, a medida que variamos
o ângulo 𝑡, mudamos o valor do raio para 𝑡. Assim o traço da curva 𝛽 tem a forma da
Figura 1.3.
4
Figura 1.3: 𝒞 é o traço da espiral 𝛽(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡, 𝑡 sen 𝑡).
Para encontrar a equação cartesiana da curva 𝛽(𝑡) fazemos 𝑥 = 𝑡 cos 𝑡 e 𝑦 = 𝑡 sen 𝑡, as
quais estão relacionadas pela equação:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑡2 ou equivalentemente 𝑡 =
√︀
𝑥2 + 𝑦2 > 0.
Portanto, a equação cartesiana é
𝑦 =
√︀
𝑥2 + 𝑦2 sen
√︀
𝑥2 + 𝑦2
da qual é muito difícil obter informações geométricas a partir desta formulação implícita.
Com o advento da era dos computadores, fazer o esboço das curvas e superfícies tornou-se
mais accessível usando alguns softwares. Um software versátil e simples que será usado é o
GEOGEBRA (https://www.geogebra.org/).
Exemplo 1.4. Seja 𝐿 a reta em R3 que passa pelo ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e é paralelo ao
vetor 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) ̸= (0, 0, 0).
Se 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐿, então 𝑂𝑃 = 𝑂𝑃0 + 𝑡𝑉 , 𝑡 ∈ R, isto é,
(𝑥, 𝑦, 𝑧)= (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝑡(𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)
Logo, uma parametrização de 𝐿 é
𝛼(𝑡) = (𝑥0 + 𝑡𝑣1, 𝑦0 + 𝑡𝑣2, 𝑧0 + 𝑡𝑣3), com 𝑡 ∈ R
5
Exemplo 1.5. A hélice é o traço da curva parametrizada
𝛼 : R → R3 (1.5)
𝑡 → 𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡, 𝑡)
Sol.: De fato, considerando que:
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
𝑥 = cos 𝑡
𝑦 = sen 𝑡
𝑧 = 𝑡
segue-se que 𝑥2 + 𝑦2 = cos2 𝑡 + sen2𝑡 = 1, isto é, as duas primeiras coordenadas de 𝛼(𝑡)
satisfazem a equação da circunferência de centro na origem e raio 1. Concluímos que o traço
da curva 𝛼 está contido no cilindro circular reto 𝑥2 + 𝑦2 = 1 em R3 e que a altura 𝑧 = 𝑡
cresce com o tempo 𝑡. Veja a Figura 1.4. Curvas no espaço são mais difíceis de desenhar que
Figura 1.4: C é o traço da Hélice 𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡, 𝑡).
as curvas planas. Para uma representação mais precisa é necessario utilizar algum software
matemático tais como Geogebra, Winplot, etc. Uma curva interessante é o nó de trevo.
Exemplo 1.6. O nó de trevo ou trifólico é a curva com equações paramétricas
𝑥 = (2 + 1, 5 cos 𝑡) cos 𝑡, 𝑦 = (2 + 1, 5 cos 𝑡) sen 𝑡, 𝑧 = sen 1, 5𝑡
Figura 1.5: C é o traço do Nó de Trevo ou Trifólico
6
Exemplo 1.7. Usando o Geogebra desenhe a curva 𝛼(𝑡) = ((4 + sen(20𝑡)) cos(𝑡), (4 +
sen(20𝑡)) sen(𝑡), cos(20𝑡)) 𝑡 ∈ [0, 10𝜋].
1.1.1 Continuidade e Derivabilidade de uma Curva Parametrizada
Seja 𝛼 : [𝑎, 𝑏] ⊂ R −→ R𝑚 uma função vetorial que representa a posição no espaço R𝑚, de
um determinado corpo num certo instante 𝑡, dada por:
𝛼(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡), . . . , 𝑥𝑚(𝑡)).
Diremos que 𝛼 é contínua se e somente se cada uma de suas componentes 𝑥𝑖 é contínua
em todos os pontos do intervalo [𝑎, 𝑏].
Diremos que 𝛼 é diferenciável se e somente se cada uma de suas componentes 𝑥𝑖 é
diferenciável em todos os pontos do intervalo aberto (𝑎, 𝑏). Se o parâmetro 𝑡 representa o
tempo, então 𝑥′𝑗(𝑡) =
𝑑𝑥𝑗
𝑑𝑡
(𝑡) é a velocidade instantânea da j-ésima coordenada ao longo da
curva no instante 𝑡. Logo se define o vetor velocidade da curva em 𝑡 como:
𝛼′(𝑡) = (𝑥′1(𝑡), 𝑥
′
2(𝑡), 𝑥
′
3(𝑡), . . . , 𝑥
′
𝑚(𝑡))
𝛼′(𝑡) é também o vetor tangente à curva 𝛼.
Exemplo 1.8. Considere a curva
𝛼 : R → R2 (1.6)
𝑡 → 𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡).
O vetor tangente é 𝛼′(𝑡) = (− sen 𝑡, cos 𝑡). Quando 𝑡 = 0 temos que 𝛼(0) = (1, 0) e
𝛼′(0) = (0, 1). Além disso, 𝛼(𝑡) · 𝛼′(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡) · (− sen 𝑡, cos 𝑡) = 0.
Figura 1.6: Vetor derivada 𝛼′(𝑡) = (− sen 𝑡, cos 𝑡).
7
1.1.2 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas
Sejam as seguintes funções: 𝛼 : R → R𝑚, 𝛽 : R → R𝑚, ℎ : R → R. Então:
1. (𝛼(𝑡) ± 𝛽(𝑡))′ = 𝛼′(𝑡) ± 𝛽′(𝑡)
2. (ℎ(𝑡)𝛼(𝑡))′ = ℎ′(𝑡)𝛼(𝑡) + ℎ(𝑡)𝛼′(𝑡)
3. (𝛼(𝑡) · 𝛽(𝑡))′ = 𝛼′(𝑡) · 𝛽(𝑡) + 𝛼(𝑡) · 𝛽′(𝑡)
4.
(︂
𝛼(𝑡)
ℎ(𝑡)
)︂′
=
ℎ(𝑡)𝛼′(𝑡) − ℎ′(𝑡)𝛼(𝑡)(︀
ℎ(𝑡)
)︀2
5. (‖𝛼(𝑡)‖)′ = 𝛼(𝑡) · 𝛼
′(𝑡)
‖𝛼(𝑡)‖
, se 𝛼(𝑡) ̸= 0. Lembre que ‖𝑣‖ =
√
𝑣 · 𝑣.
6.
(︀
𝛼
(︀
ℎ(𝑡)
)︀)︀′
=
𝑑
𝑑𝑡
(︀
𝛼
(︀
ℎ(𝑡)
)︀)︀
= 𝛼′
(︀
ℎ(𝑡)
)︀
· ℎ′(𝑡) = 𝑑
𝑑𝑡
𝛼
(︀
ℎ(𝑡)
)︀
· 𝑑
𝑑𝑡
ℎ(𝑡).
1.2 Funções Vetoriais de Varias Variáveis
Definição 1.2. Seja 𝐹 : R𝑛 → R𝑚 uma aplicação cujo domínio é R𝑛 e cuja imagem é um
conjunto de vetores de R𝑚. Podemos representar 𝐹 pelas funções coordenadas. Em outras
palavras, existem funções 𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑚 tais que
𝐹 (𝑋) = (𝑓1(𝑋), 𝑓2(𝑋), . . . , 𝑓𝑚(𝑋)),
onde 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) ∈ R𝑛 e cada função 𝑓𝑖 : R𝑛 → R.
Definição 1.3. Dizemos que 𝐹 é contínua em 𝑋0 ∈ R𝑛 se cada função coordenada 𝑓𝑖 é
contínua em 𝑋0. Em outras palavras:
lim
𝑋→𝑋0
𝐹 (𝑋) = 𝐹 (𝑋0) ⇔ lim
𝑋→𝑋0
𝑓𝑖(𝑋) = 𝑓𝑖(𝑋0), para 𝑖 = 1, 2, . . . ,𝑚. (1.7)
Exemplo 1.9. Seja 𝐹 : R2 → R3 definida por 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑥2). 𝐹 é contínua em
(0, 0) ∈ R2?
Sol. De fato, 𝐹 é contínua em (0, 0) porque cada função coordenada 𝑓1(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦, 𝑓2(𝑥, 𝑦) =
𝑥 + 𝑦, 𝑓3(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 é contínua em (0, 0). Assim, observa-se que 𝐹 é contínua em todo R2.
8
Definição 1.4. Seja 𝐹 : R𝑛 → R𝑚 tal que 𝐹 (𝑋) = (𝑓1(𝑋), 𝑓2(𝑋), . . . , 𝑓𝑚(𝑋)). Supo-
nhamos que as derivadas parciais de cada função coordenada 𝑓𝑖 (𝑖 = 1, 2, . . . ,𝑚) existem.
Definimos e denotamos a matriz das derivadas parciais por
𝐷𝐹 (𝑋) = 𝐽𝐹 (𝑋) =
𝜕(𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑚)
𝜕(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛)
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
(𝑋)
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2
(𝑋) . . .
𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑛
(𝑋)
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
(𝑋)
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2
(𝑋) . . .
𝜕𝑓2
𝜕𝑥𝑛
(𝑋)
...
...
...
𝜕𝑓𝑚
𝜕𝑥1
(𝑋)
𝜕𝑓𝑚
𝜕𝑥2
(𝑋) . . .
𝜕𝑓𝑚
𝜕𝑥𝑛
(𝑋)
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
𝑚𝑥𝑛
que é chamada a Matriz Jacobiana de 𝐹 .
Para o exemplo anterior onde 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦, 𝑥2) possui suas funções coordenadas
diferenciáveis temos que a matriz Jacobiana é dada por:
𝐽𝐹 (𝑋) =
𝜕(𝑓1, 𝑓2, 𝑓3)
𝜕(𝑥, 𝑦)
=
⎛⎜⎜⎜⎝
𝑦 𝑥
1 1
2𝑥 0
⎞⎟⎟⎟⎠
3𝑥2
Observação 1.1. Se 𝐹 : R𝑛 → R𝑚, então:
1. Se 𝑚 = 1 temos que 𝐹 : R𝑛 → R é uma função real de 𝑛 variáveis (Cálculo II).
2. Se 𝑚 = 𝑛 temos que 𝐹 : R𝑛 → R𝑛 é chamado campo vetorial.
3. Se 𝑛 = 1 temos que 𝐹 : R → R𝑚 é chamado função vetorial ou curva parametri-
zada.
Observação 1.2. Tenha-se em conta que:
1. Se 𝐹 : R𝑛 → R, (𝑚 = 1) tem-se que a matriz Jacobiana definida anteriormente é o
gradiente de 𝐹 , isto é
𝐽𝐹 (𝑋) =
[︂
𝜕𝐹
𝜕𝑥1
(𝑋),
𝜕𝐹
𝜕𝑥2
(𝑋), . . . ,
𝜕𝐹
𝜕𝑥𝑛
(𝑋)
]︂
= ∇𝐹 (𝑋)
2. Se 𝐹 : R → R𝑚, (𝑛 = 1) tem-se que a matriz Jacobiana de 𝐹 é a derivada da função
vetorial denotada por 𝐹 ′(𝑋), isto é
𝐽𝐹 (𝑋) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝑓 ′1(𝑋)
𝑓 ′2(𝑋)
...
𝑓 ′𝑚(𝑋)
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
𝑚𝑥1
9
1.2.1 Campos Vetoriais
Seja 𝐹 : 𝐷 → 𝐷 uma função vetorial, com 𝐷 ⊂ R2 ou 𝐷 ⊂ R3. A região 𝐷 juntamente com
as grandezas vetoriais, imagem de cada ponto de 𝐷 pela função F, é chamada um campo
vetorial. Dizemos também, que 𝐹 define um campo vetorial sobre 𝐷.
Por exemplo:
• A função vetorial 𝐹 que associa a cada ponto da atmosfera terrestre 𝐷 a velocidade do
vento neste ponto. 𝐹 define um campo vetorial em 𝐷, chamado campo de velocidade.
• Se 𝐷 é o espaço ocupado pela água em um riacho. A função que associa a velocidade
de cada partícula de 𝐷 em certo instante, também define um campo de velocidade em
𝐷.
• A partir da Lei da Gravitação universal de Newton a terra exerce uma força de atração
para o seu centro sobre qualquer corpo em sua atmosfera. A função que associa essa
força a cada ponto da atmosfera 𝐷 define um campo vetorial em 𝐷 chamado campo
de força. No caso, esse campo de força é o famoso campo gravitacional da terra.
Representação gráfica de campos vetoriais
A função vetorial dada por 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑓1(𝑥, 𝑦), 𝑓2(𝑥, 𝑦)) define um campo vetorial em R2.
Para representá-lo, introduzimos um sistema de coordenadas no plano 𝑥𝑦 e selecionamos
alguns pontos (𝑥, 𝑦) do plano e desenhamos os vetores a eles associados preferencialmente
com a origem do vetor no próprio ponto.
Exemplo 1.10. Seja 𝐹 : R2 → R2 tal que 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦). Para cada ponto (𝑥, 𝑦) no
plano, 𝐹 (𝑥, 𝑦) é simplesmente seu vetor posição. Neste caso, 𝐹 (𝑥, 𝑦) aponta diretamente a
partir da origem e tem comprimento
𝑑 = ‖𝐹 (𝑥, 𝑦)‖ =
√︀
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑑
(︀
(0, 0), (𝑥, 𝑦)
)︀
.
É conveniente lembrar que os vetores de um campo vetorial são infinitos e que não
podemos representar todos. Assim, a seleção dos pontos deve ser tal que nos dê informações
sobre o comportamento do campo em geral.
Exemplo 1.11. Seja 𝐹 : R2 → R2 tal que 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (−𝑦, 𝑥), neste caso tem-se um campo
vetorial bidimensional 𝐹 (𝑥, 𝑦) que representam um campo de velocidade de uma roda em
10
Figura 1.7: Campo Vetorial 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦).
movimento,
(𝑥, 𝑦) · 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦) · (−𝑦, 𝑥) = −𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 = 0.
Assim, 𝐹 (𝑥, 𝑦) é tangente ao círculo que passa pelo ponto (𝑥, 𝑦), tem comprimento 𝑟 =√︀
𝑥2 + 𝑦2 e aponta na direção anti-horária.
Figura 1.8: Campo Vetorial 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (−𝑦, 𝑥).
1.3 Exercícios
1. Determine o domínio das funções vetoriais(curvas parametrizadas):
𝑎) 𝛼(𝑡) = (𝑡2,
√
𝑡− 1,
√
5 − 𝑡)
𝑏) 𝛽(𝑡) = (
𝑡− 2
𝑡 + 2
, sen 𝑡, ln(9 − 𝑡2)
𝑐) 𝛼(𝑡) = (
√
𝑡, 𝑒𝑡, 1)
𝑑) 𝛽(𝑡) = (
1
cos 𝑡
, |𝑡|, 𝑡− 3)
11
2. Determine em que pontos as curvas parametrizadas são contínuas e deriváveis. Justi-
fique:
𝑎) 𝛼(𝑡) = (5𝑡2, 3𝑡 + 1, 2 − 𝑡3)
𝑏) 𝛼(𝑡) = ((1 − 𝑡)2, sen 𝑡, |𝑡|)
𝑐) 𝛼(𝑡) = (
√
𝑡, 𝑒−𝑡, 𝑡)
𝑑) 𝛼(𝑡) = (𝑡 ln 𝑡, |𝑡− 1|, tan 𝑡)
3. Determine a derivada de todos os exercícios do item 1 e as derivadas dos exercícios 𝑎)
e 𝑏) do item 2.
4. Para cada um das seguintes equações paramétricas, esboce a curva e determine sua
equação cartesiana.
𝑎) 𝑥 = 2 − 3𝑡, 𝑦 = −4𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑏) 𝑥 = 2𝑡, 𝑦 = −3, 𝑧 = 1 + 3𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑐) 𝑥 = −𝑡, 𝑦 = 𝑡, 𝑧 = 𝑡2, 𝑡 ∈ [−1, 1]
𝑑) 𝑥 = 3 sen 2𝑡, 𝑦 = 3 cos 2𝑡, 𝑡 ∈ [0, 𝜋]
𝑒) 𝑥 = 2 sen2 𝑡, 𝑦 = 3 cos2 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑓) 𝑥 = sec 𝑡, 𝑦 = 2 tan 𝑡, 𝑡 ∈
(︀
− 𝜋
2
, 𝜋
2
)︀
5. Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes curvas parametrizadas (Pode fazer
uso do Geogebra ou otro aplicativo):
𝑎) 𝛽(𝑡) = (cosh 𝑡, senh 𝑡), 𝑡 ∈ R
𝑏) 𝛽(𝑡) = (1 + cos 𝑡, 3 − sen 𝑡), 𝑡 ∈ [0,∞)
𝑐) 𝛽(𝑡) = (𝑡, |𝑡|), 𝑡 ∈ 𝑅
𝑑) 𝛽(𝑡) = (𝑎 cos 𝑡, 𝑏 sen 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋)
𝑒) 𝛽(𝑡) = (sen 𝑡, 𝑡2), 𝑡 ∈ [0,∞]
𝑓) 𝛽(𝑡) = (
√
𝑡, 𝑡2 − 4𝑡), 𝑡 ∈ [0, 5]
𝑔) 𝛽(𝑡) = (𝑒−𝑡, 𝑒𝑡), 𝑡 ∈ [−10, 10]
ℎ) 𝛽(𝑡) = (2 cos 𝑡, 𝑡− cos 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋)
6. Ilustre o campo vetorial 𝐹 dado, esboçando vários vetores típicos do campo.
𝑎) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (2,−1)
𝑏) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥,−𝑦)
𝑐) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (1, 𝑦)
𝑑) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥)
𝑒) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2, 𝑦2)
𝑓) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 0)
7. Calcule a matriz Jacobiana da seguintes funções vetoriais:
𝑎) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥4 + 𝑒𝑦, cos(𝑥 + 2𝑦))
𝑏) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 − 2𝑧,−𝑦2 + ln𝑥)
𝑐) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (2𝑥5 − 𝑦, tan𝑥− 𝑦, sec 𝑦)
𝑑) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑧2, 𝑦 + 𝑥3, 𝑧 − 𝑦5)
𝑒) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(︁ 𝑥
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
,
𝑦
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
,
𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
)︁
𝑓) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑒𝑥 cos 𝑦, 𝑒𝑥 sen 𝑦)
𝑔) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2,
𝑥
𝑦
)
12
Capítulo 2
Parametrização
2.1 Parametrização de Curvas
O movimento de uma partícula descreve uma trajetória, que podemos representar por uma
curva no plano ou no espaço. Para cada instante 𝑡, podemos considerar suas coordenadas
em função do tempo t, isto é, 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡) e 𝑧 = 𝑧(𝑡).
Em geral, as curvas não sempre estão dadas na sua forma paramétrica, então, é conveni-
ente parametrizar-las.
Exemplo 2.1. Quando uma bola é arremessada, as única forças atuantes sobre a bola são a
resistência do ar e a gravidade. Se desprezamos a resistência do ar, a única força que resta
sobre a bola é a da gravidade, ou seja, seu peso atuando na direção vertical.
Assim, como não há forças atuando na horizontal, pela 2𝑎 Lei de Newton, temos que a
aceleração nessa direção é nula, logo
𝜕2𝑥
𝜕𝑡2
= 0 =⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣𝑥𝑡
onde 𝑣𝑥 é a componente constante da velocidade na direção horizontal e 𝑥0 é o deslocamento
horizontal inicial da bola.
Na direção vertical, devido a ação da gravidade, existe a força peso. Aplicando a 2𝑎 Lei
de Newton nessa direção e supondo a bola de massa 𝑚 = 1, obtemos que:
𝑚𝑎 =
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
= −𝑔 =⇒ 𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑣𝑦𝑡−
𝑔𝑡2
2
onde 𝑣𝑦 é a componente da velocidade inicial na direção vertical e 𝑦0 é o deslocamento vertical
inicial da bola.
13
Concluímos das equações obtidas acima que, uma parametrização para a trajetória da
bola é
𝛼(𝑡) =
(︂
𝑥0 + 𝑣𝑥𝑡, 𝑦0 + 𝑣𝑦𝑡−
𝑔𝑡2
2
)︂
= (𝑥0, 𝑦0) + 𝑡(𝑣𝑥, 𝑣𝑦) + 𝑡
2
(︂
0,−𝑔
2
)︂
Exemplo 2.2. Seja 𝒞 uma curva de R2, descrita por uma função contínua, definida explici-
tamente pela relação
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼 ⊂ R
Então, uma parametrização natural de 𝒞 é
𝛼(𝑡) = (𝑡, 𝑓(𝑡)) com 𝑡 ∈ 𝐼
Exemplo 2.3. Do exemplo anterior, segue que uma parametrização natural para:
A reta 𝑦 = 2𝑥 − 2, é 𝛼(𝑡) = (𝑡, 2𝑡 − 2) com 𝑡 ∈ R e para a curva 𝑦 = 𝑥 sen𝑥, é
𝛽(𝑡) = (𝑡, 𝑡 sen 𝑡) com 𝑡 ∈ R
(a) 𝛼(𝑡) = (𝑡, 2𝑡− 2) (b) 𝛽(𝑡) = (𝑡, 𝑡 sen 𝑡)
Exemplo 2.4. Sejam 𝛼(𝑡) = (𝑡, 𝑡2) e 𝛽(𝑡) = (𝑡2, 𝑡4), 𝑡 ∈ R equações paramétricas das curvas
𝒞1 e 𝒞2 respectivamente. Elas possuem a mesma equação cartesiana, embora sejam curvas
diferentes.
Sol.: De fato, para 𝒞1 temos que sua equação paramétrica é⎧⎨⎩ 𝑥 = 𝑡,𝑦 = 𝑡2, ⇒ 𝑥 = √𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑥2. (2.1)
Para 𝒞2 sua equação paramétrica é⎧⎨⎩ 𝑥 = 𝑡2,𝑦 = 𝑡4, ⇒ 𝑡2 = √𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 ≥ 0. (2.2)
14
Observamos que 𝒞1 está representada pela parábola 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 ∈ 𝑅 enquanto que a curva
𝒞2 está representada pela porção de parábola 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 ≥ 0.
(a) 𝑡 ∈ R (b) 𝑡 > 0
Figura 2.1: 𝛼(𝑡) = (𝑡, 𝑡2)
Exemplo 2.5. Seja ℒ a reta de R2 que passa pelo ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0), paralela ao vetor
𝑣 = (𝑣1, 𝑣2). Encontre uma parametrização da reta ℒ.
Sol.: Seja 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℒ, então usando a álgebra de vetores temos que
−→
𝑂𝑃 =
−−→
𝑂𝑃0 + 𝑡�⃗�
para algum 𝑡 ∈ R, isto é (𝑥, 𝑦) = (𝑥0, 𝑦0) + 𝑡(𝑣1, 𝑣2). Assim, uma parametrização de ℒ é
𝛼(𝑡) = (𝑥0 + 𝑡𝑣1, 𝑦0 + 𝑡𝑣2),
com 𝑡 ∈ R. Logo, suas equações paramétricas são:
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑡𝑣1, 𝑡 ∈ R, 𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑡𝑣2, 𝑡 ∈ R. (2.3)
Por outro lado, podemos eliminar o parâmetro 𝑡 nas equações paramétricas para obter uma
expressão cartesiana da reta ℒ. Se 𝑣1, 𝑣2, são não nulos, então
𝑥− 𝑥0
𝑣1
=
𝑦 − 𝑦0
𝑣2
, (2.4)
é uma expressão cartesiana da reta ℒ.
Exemplo 2.6. Seja ℒ a reta de R3 que passa pelo ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) e é paralela ao vetor
𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3). Encontre uma parametrização da reta ℒ.
15
Figura 2.2: Parametrização da Reta em R3.
Sol.: Se 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℒ, então
−→
𝑂𝑃 =
−−→
𝑂𝑃0 + 𝑡�⃗� para algum 𝑡 ∈ R,
Assim,
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝑡(𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)
isto é, uma parametrização de ℒ é 𝛼(𝑡) = (𝑥0 + 𝑡𝑣1, 𝑦0 + 𝑡𝑣2, 𝑧0 + 𝑡𝑣3), com 𝑡 ∈ R. Logo, suas
equações paramétricas são:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑣1, 𝑡 ∈ R
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑣2, 𝑡 ∈ R. (2.5)
𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑣3, 𝑡 ∈ R.
Por outro lado, podemos eliminar o parâmetro 𝑡 nas equações paramétricas para obter
uma expressão cartesiana da reta ℒ. Se 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, são não nulos, então
𝑥− 𝑥0
𝑣1
=
𝑦 − 𝑦0
𝑣2
=
𝑧 − 𝑧0
𝑣3
, (2.6)
é uma expressão cartesiana da reta ℒ.
Exemplo 2.7. (Parametrização de segmentos) Seja 𝑃0 e 𝑃1 dois pontos de R2 ou R3.
Uma parametrização do segmento na direção de 𝑃0 a 𝑃1 e dada por:
𝛼(𝑡) = 𝑃0 + 𝑡(𝑃1 − 𝑃0) com 𝑡 ∈ [0, 1].
Se consideramos os pontos (2,1) e (-3,5) em R2, a parametrização do segmento indo de
(-3,5) até (2,1) é dada por:
𝛼(𝑡) = (−3, 5) + 𝑡
(︀
(2, 1) − (−3, 5)
)︀
= (−3 + 5𝑡, 5 − 4𝑡) com 𝑡 ∈ [0, 1].
16
Exemplo 2.8. (Curvas Orientadas) Consideremos as curvas 𝒞1 e 𝒞2. (Ver Figura 2.3 )
Ambas curvas tem equação em coordenadas cartesianas 𝑦 = 𝑥2 com 𝑥 ∈ [−1, 2]. Porém,
𝒞1 inicia-se no ponto 𝐴 = (−1, 1) e termina em 𝐵 = (2, 4); enquanto que 𝒞2 inicia-se em 𝐵
e termina em 𝐴. Para parametrizar cada curva temos que considerar sua orientação.
Figura 2.3: Curvas 𝐶1 e 𝐶2.
Observação 2.1. Mudanca de Orientação: Se 𝛼(𝑡) é uma parametrização com 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏],
então uma parametrização que inverte a orientação é 𝛽(𝑡) = 𝛼(𝑎 + 𝑏− 𝑡), com 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏].
Uma parametrização de 𝒞1 é tomando 𝑥 = 𝑡 como parámetro : 𝛼1(𝑡) = (𝑡, 𝑡2) com
𝑡 ∈ [−1, 2]. Observamos que 𝛼1(−1) = (−1, 1) = 𝐴 e 𝛼1(2) = (2, 4) = 𝐵.
Como 𝒞2 é a curva 𝒞1 com a orientação invertida, então podemos parametrizar 𝒞2 seguindo
a Observação 2.1: 𝛼2(𝑡) = 𝛼1(−1 + 2 − 𝑡) = 𝛼1(1 − 𝑡), com 𝑎 = −1 e 𝑏 = 2. Logo,
𝛼2(𝑡) = 𝛼1(1 − 𝑡) = (1 − 𝑡, (1 − 𝑡)2) com 𝑡 ∈ [−1, 2]
Observamos que 𝛼2(−1) = 𝐵 e 𝛼2(2) = 𝐴.
2.2 Coordenadas Polares
Até agora usamos apenas as coordenadas cartesianas para descrever um ponto no plano.
Nesta seção relembraremos um sistema de coordenadas introduzido por Newton, denominado
Coordenadas Polares, que será útil para o melhor entendimento do comportamentode
certas curvas.
17
Figura 2.4: Coordenadas Polares (𝑟, 𝜃)
Definimos um ponto 𝑂 fixo, chamado de polo (ou origem) e um raio que parte do polo
chamado eixo polar. Em tal sistema de coordenadas podemos associar a cada ponto 𝑃 do
plano um par de coordenadas polares (𝑟, 𝜃), onde 𝑟 é chamado de coordenada radial de 𝑃
enquanto 𝜃 é a coordenada angular (ou ângulo polar) de 𝑃 .
Por conveniência tomaremos a origem do sistema de coordenadas cartesianas como o polo
e o semi-eixo não negativo 𝑥 como o eixo polar.
Exemplo 2.9. Marque a localização dos pontos cujas coordenadas polares são (6, 45𝑜), (5, 120𝑜),
(3, 225𝑜).
Figura 2.5: Determinando pontos em coordenadas polares.
∙ A relação entre as coordenadas polares e um sistema retangular é dado por⎧⎨⎩ 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃𝑦 = 𝑟 sen 𝜃. (2.7)
Estas equações permitem encontrar 𝑥 e 𝑦 quando forem dados 𝑟 e 𝜃.
Exemplo 2.10. Ache as coordenadas retangulares do ponto polar 𝑃 = (6, 2𝜋/3).
18
Sol. Desde que 𝑟 = 6 e 𝜃 = 2𝜋/3, de (2.7) temos que
𝑥 = 6 cos
2𝜋
3
= 6
(︂
− 1
2
)︂
= −3 e 𝑦 = 6 sen 2𝜋
3
= 6
(︂√
3
2
)︂
= 3
√
3
∙ Para encontrar 𝑟 e 𝜃 a partir de 𝑥 e 𝑦 usamos as identidades trigonométricas:
sen2𝜃 + cos2 𝜃 = 1 e tan 𝜃 =
sen 𝜃
cos 𝜃
de modo que 𝑥 e 𝑦 (2.7) satisfaçam as relações:
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 e tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
. (2.8)
Exemplo 2.11. Ache as coordenadas polares do ponto cartesiano 𝑃 = (−2, 2
√
3).
Sol. Ja que tan 𝜃 =
2
√
3
−2
= −
√
3 e 𝑃 pertence ao II quadrante, então 𝜃 =
2𝜋
3
. Logo, de
(2.8) temos que
𝑟 =
√︀
4 + 4(3) = 4 e 𝜃 =
2𝜋
3
Observação 2.2. Ao contrário do sistema de coordenadas cartesianas um ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦)
tem muitas representações diferentes no sistema de coordenadas polares.
Exemplo 2.12. O ponto 𝑃 = (3, 𝜋/6) pode-se determinar de diferentes formas,
𝑃 =
(︂
− 3, 7𝜋
6
)︂
=
(︂
− 3,−5𝜋
6
)︂
=
(︂
3,−11𝜋
6
)︂
.
Observação 2.3. Outra relação entre as coordenadas cartesianas de um ponto (𝑥, 𝑦) e suas
coordenadas polares (𝑟, 𝜃) é
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
e sen 𝜃 =
𝑦
𝑟
19
Exemplo 2.13. A equação polar da reta 𝑥 = 4 é
𝑟 cos 𝜃 = 4 −→ 𝑟 = 4
cos 𝜃
Exemplo 2.14. A equação polar da circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 9 é
(𝑟 cos 𝜃)2 + (𝑟 sen 𝜃)2 = 9 −→ 𝑟 = 3
2.2.1 Gráfico de uma Equação Polar
O gráfico de uma função de equação explícita 𝑟 = 𝑓(𝜃) ou implícita 𝐹 (𝑟, 𝜃) = 0, consiste em
todo os pontos 𝑃 que têm pelo menos uma representação (𝑟, 𝜃) cujas coordenadas satisfaçam
a equação que a determina.
Família de Retas
Se 𝜃0 for um ângulo fixo, então para todos os valores de 𝑟 os pontos (𝑟, 𝜃0) estão sobre uma
única reta que forma com o eixo polar um ângulo 𝜃0. Portanto, a equação de uma reta em
coordenadas polares é
𝜃 = 𝜃0.
Figura 2.6: Reta em coordenadas polares
Variando-se 𝜃 a equação produz uma família de retas que forma com o eixo polar um
ângulo 𝜃.
20
Família de Círculos
1. Em coordenadas polares a equação
𝑟 = 𝑎,
representa um círculo de raio 𝑎 com centro no polo 𝑂.
Figura 2.7: Círculo Polar com centro na origem
Note que, variando-se 𝑎 a equação produz uma família de círculos com centro no
polo.
2. A equação
𝑟 = 2𝑎 cos 𝜃,
representa um círculo de raio 𝑎 com centro sobre o eixo x e tangente na origem ao
eixo y.
Figura 2.8: Círculo Polar com centro em (𝑎, 0)
3. equação
𝑟 = 2𝑎 sen 𝜃,
21
representa um círculo de raio 𝑎 com centro sobre o eixo y e tangente na origem ao
eixo x.
Figura 2.9: Círculo Polar com centro em (0, 𝑎)
Exemplo 2.15. Esboce o gráfico da equação 𝑟 = sen 𝜃 em coordenadas polares.
Sol. Dando valores para 𝜃 na equação obtemos o gráfico: (Ver Tabela 2.1)
Figura 2.10
𝜃 0 𝜋/6 𝜋/2 2𝜋/3 5𝜋/6 𝜋
𝑟 = sen 𝜃 0 1/2 1
√
3/2 1/2 0
(𝜃, 𝑟) (0, 0) (1/2, 𝜋/6) (1, 𝜋/2) (
√
3/2, 2𝜋/3) (1/2, 5𝜋/6) (0, 2𝜋)
Tabela 2.1
22
Devido a que 𝑟2 = 𝑟 sen 𝜃, tem-se que sua equação cartesiana é:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 = 𝑟 sen 𝜃 = 𝑦 ou que implica que 𝑥2 +
(︂
𝑦 − 1
2
)︂2
=
1
4
Exemplo 2.16. (Parametrização de Circunferências) Parametrize a circunferencia de
equação (𝑥− ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 no sentido anti-horário.
Sol. Da seção anterior, fazendo 𝑥− ℎ = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝑦 − 𝑘 = 𝑟 sen 𝜃 podemos parametrizar
a circunferência com 𝛼(𝜃) = (ℎ + 𝑟 cos 𝜃, 𝑘 + 𝑟 sen 𝜃) com 𝜃 ∈ [0, 2𝜋].
Exemplo 2.17. (Parametrização de Elipses) Parametrize a elipse de equação
(𝑥− ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 no sentido anti-horário.
Sol. Fazendo
(𝑥− ℎ)
𝑎
= cos 𝜃 e
(𝑦 − 𝑘)
𝑏
= sen 𝜃 podemos parametrizar a elipse com
𝛽(𝜃) = (ℎ + 𝑎 cos 𝜃, 𝑘 + 𝑏 sen 𝜃) com 𝜃 ∈ [0, 2𝜋]
Exemplo 2.18. Considere a curva 𝒞 de interseção entre o plano 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 e o
cilindro 𝑦2 + 𝑧2 = 4. Determine uma parametrização para 𝒞. Figura 2.11.
Sol. Seja (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) pontos de 𝒞 onde 𝑦(𝑡) e 𝑧(𝑡) estão na circunferência 𝑦2 + 𝑧2 = 4,
Figura 2.11
é dizer podemos colocar 𝑦(𝑡) = 2 cos 𝑡 e 𝑧(𝑡) = 2 sen 𝑡.
Como 𝑥(𝑡) esta no plano 2𝑥− 2𝑦 + 𝑧 = 2, isolando: 𝑥(𝑡) = 1 − 𝑧(𝑡)/2 + 𝑦(𝑡), podemos
escrever a parametrização da curva 𝒞 como:
𝛼(𝑡) = (1 + 2 cos 𝑡− sen 𝑡, 2 cos 𝑡, 2 sen 𝑡) com 𝑡 ∈ [0, 𝜋/2]. Observe que 𝛼(0) = (3, 2, 0) e
𝛼(𝜋/2) = (0, 0, 2).
Exemplo 2.19. Considere a curva 𝒞 de interseção entre o cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e o plano
𝑧 = 2 − 𝑥 . Determine uma parametrização para 𝒞. Figura 2.12.
23
Sol. Seja (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) pontos de 𝒞 onde 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) estão na circunferência 𝑥2 +𝑦2 = 1,
é dizer, podemos colocar 𝑥(𝑡) = cos 𝑡 e 𝑦(𝑡) = sen 𝑡. Logo, 𝑧(𝑡) = 2 − 𝑥(𝑡). Uma
parametrização de 𝒞 é dada por:
𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡, 2 − cos 𝑡) com 𝑡 ∈ [0, 𝜋]
Figura 2.12
2.3 Exercícios
1. De uma parametrização para cada uma das curvas
𝑎) a reta 𝑥 + 𝑦 = 1
𝑏) a parábola 𝑥 = 4𝑦2
𝑐) a circunferência (𝑥− 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 25
𝑑) a elipse
𝑥2
4
+
𝑦2
9
= 1, 𝑥 ≥ 0.
𝑒) o ramo da hipérbole
𝑥2
𝑎2
− 𝑦
2
𝑏2
= 1, 𝑥 ≥ 0.
𝑓) a esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 intersectada com o plano 𝑥 + 𝑦 = 2
𝑔) o paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e o plano 𝑦 = 1
2. Encontre uma parametrização e esboce as curvas abaixo apresentadas:
(a) A parte do círculo que esta no terceiro quadrante orientada no sentido anti-horário.
(b) A elipse
𝑥2
4
+
𝑦2
9
= 1 orientada no sentido horário.
(c) O círculo de raio 4, centrado em (−1, 5), orientado no sentido anti-horário.
(d) O quadrado que passa pelos pontos (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), orientado no sen-
tido anti-horário.
24
(e) O triângulo que passa pelos pontos (0, 0), (1, 0), (1, 1), orientado no sentido
horário.
(f) O triângulo que passa pelos pontos (0, 0, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0), orientado no sentido
horário.
(g) A interseção do cilindro parabólico 𝑦 = 𝑥2 e o elipsoide 𝑥2 + 4𝑦2 + 4𝑧2 = 16
3. Parametrize a curva 𝒞 de interseção entre o cilindro 𝑥2 + 𝑧2 = 1 e o plano 𝑧 = 4 − 𝑦.
4. Parametrize a curva 𝒞 no espaço que resulta da interseção de duas superfícies dadas
pelas equações: 𝑦 = 𝑥2 e 𝑧 = 𝑦, com −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.
5. Determine as rectas tangentes às curvas dadas nos pontos indicados:
(a) 𝛼(𝑡) = (1 + cos 𝑡, sen 𝑡, 2 sen(𝑡/2)), 𝑡 = 𝜋.
(b) 𝛼(𝑡) = (𝑒−𝑡, 𝑡2, 5 + 𝑡), 𝑡 = 0.
6. Considere a curva 𝛼 : R → R3 dada por 𝛼(𝑡) = (2 cos 𝑡, 3 sen 𝑡, 𝑡). Prove que o traço de
𝛼 está contido num cilindro elíptico. Determine a velocidade de 𝛼 no ponto que está
no plano 𝑧 = 0.
25
Capítulo 3
Integrais de Linha
3.1 Comprimento de Arco
Seja 𝒞 uma curva em R3 parametrizada por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]. Podemos
pensar que esta curva é a trajetória descrita por uma partícula se movendo com velocidade
𝑣(𝑡) = ‖𝛼′(𝑡)‖.
Qual é o comprimento desta curva quando 𝑡 varia de 𝑎 até 𝑏? Intuitivamente, isto nada
mais é do que o espaço percorrido pela partícula no intervalo do tempo [𝑎, 𝑏], isto é
∫︀ 𝑏
𝑎
𝑣(𝑡) 𝑑𝑡.
Vejamos:
Figura 3.1: Comprimento de arco
Seja 𝑃 uma partição do intervalo [𝑎, 𝑏], isto é, 𝑃 = {𝑡0, 𝑡1, . . . , 𝑡𝑛} onde
𝑎 = 𝑡0 ≤ 𝑡1 ≤ · · · ≤ 𝑡𝑛 = 𝑏 e△𝑡 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 =
𝑏− 𝑎
𝑛
26
O comprimento do segmento de reta 𝛼(𝑡𝑖) até 𝛼(𝑡𝑖+1) é
‖𝛼(𝑡𝑖+1) − 𝛼(𝑡𝑖)‖ =
√︀
(𝑥(𝑡𝑖+1) − 𝑥(𝑡𝑖))2 + (𝑦(𝑡𝑖+1) − 𝑦(𝑡𝑖))2 + (𝑧(𝑡𝑖+1) − 𝑧(𝑡𝑖))2.
Aplicando o Teorema de valor médio as funções 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) e 𝑧(𝑡) no intervalo [𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1],
obtemos 𝑡1𝑖 , 𝑡2𝑖 , 𝑡3𝑖 ∈ [𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1] tais que
𝑥(𝑡𝑖+1) − 𝑥(𝑡𝑖) = 𝑥′(𝑡1𝑖 ) (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) (3.1)
𝑦(𝑡𝑖+1) − 𝑦(𝑡𝑖) = 𝑦′(𝑡2𝑖 ) (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) (3.2)
𝑧(𝑡𝑖+1) − 𝑧(𝑡𝑖) = 𝑧′(𝑡3𝑖 ) (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) (3.3)
Logo o comprimento total da linha poligonal é
𝑆𝑛 =
𝑛−1∑︁
𝑖=0
‖𝛼(𝑡𝑖+1) − 𝛼(𝑡𝑖)‖
=
𝑛−1∑︁
𝑖=0
√︁
(𝑥′(𝑡1𝑖 ))
2 + (𝑦′(𝑡2𝑖 ))
2 + (𝑧′(𝑡3𝑖 ))
2 (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) (soma de Riemann)
Portanto, o comprimento da curva 𝒞 é o limite de 𝑆𝑛 quando 𝑛 → ∞, isto é,
𝐿(𝒞) = lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 =
∫︁ 𝑏
𝑎
√︀
(𝑥′(𝑡))2 + (𝑦′(𝑡))2 + (𝑧′(𝑡))2 𝑑𝑡
Definição 3.1. O comprimento da curva 𝒞 ⊂ R3 é definido por
𝐿(𝒞) =
∫︁ 𝑏
𝑎
‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡 =
∫︁ 𝑏
𝑎
√︀
(𝑥′(𝑡))2 + (𝑦′(𝑡))2 + (𝑧′(𝑡))2 𝑑𝑡. (3.4)
Definição 3.2. Analogamente definimos o comprimento de uma curva 𝒞 ⊂ R2 parametri-
zada por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) com 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], por:
𝐿(𝒞) =
∫︁ 𝑏
𝑎
√︀
(𝑥′(𝑡))2 + (𝑦′(𝑡))2 𝑑𝑡. (3.5)
Exemplo 3.1. O comprimento de uma circunferência de raio 𝑟 é igual a 2𝜋𝑟.
Sol: De fato, seja 𝒞 a circunferência de raio 𝑟 com centro na origem, parametrizada por
𝛼(𝑡) = (𝑟 cos 𝑡, 𝑟 sen 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].
É simples ver que 𝛼′(𝑡) = (−𝑟 sen 𝑡, 𝑟 cos 𝑡) e ‖𝛼′(𝑡)‖ = 𝑟, logo
𝐿(𝒞) =
∫︁ 2𝜋
0
𝑟 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑟.
Podemos também calcular o comprimento de 𝒞 usando a parametrização
𝛽(𝑡) = (𝑟 cos 2𝜋𝑡, 𝑟 sen 2𝜋𝑡), 𝑡 ∈ [0, 1]
Neste caso, 𝛽′(𝑡) = (−2𝜋𝑟 sen 2𝜋𝑡, 2𝜋𝑟 cos 2𝜋𝑡) e ‖𝛽′(𝑡)‖ = 2𝜋𝑟, logo
𝐿(𝒞) =
∫︁ 1
0
2𝜋𝑟 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑟.
27
3.2 Integral de Linha de uma Função Escalar
Sejam 𝑓 : R3 → R uma função real e 𝒞 uma curva em R3 que é parametrizada por 𝛼(𝑡) =
(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏].
Podemos supor que 𝒞 representa um arame e 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) a densidade (massa por unidade
de comprimento) em cada ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝒞, o objetivo será calcular a massa total do
arame.
Para isto, dividamos o intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] por meio de uma partição regular,
𝑎 = 𝑡0 ≤ 𝑡1 ≤ · · · ≤ 𝑡𝑛 = 𝑏 e △𝑡 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 =
𝑏− 𝑎
𝑛
,
Obtendo assim uma decomposição de 𝐶 em curvas 𝐶𝑖 definidas em [𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1]
Figura 3.2: 𝑓 : 𝒞 ⊂ R3 → R
Denotemos por △𝑠𝑖 o comprimento da curva 𝒞𝑖, isto é
△𝑠𝑖 =
∫︁ 𝑡𝑖+1
𝑡𝑖
‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡.
Pelo Teorema de Valor Médio para integrais, existe 𝑢𝑖 ∈ [𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1] tal que
△𝑠𝑖 = ‖𝛼′(𝑢𝑖)‖ (𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖) = ‖𝛼′(𝑢𝑖)‖ △𝑠𝑖
Quando 𝑛 é grande, △𝑠𝑖 é pequeno e 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) pode ser considerada constante em 𝒞𝑖 e igual
a 𝑓(𝛼(𝑢𝑖)). Portanto, a massa total 𝑀 é aproximada por
𝑆𝑛 =
𝑛−1∑︁
𝑖=0
𝑓(𝛼(𝑢𝑖))‖𝛼′(𝑢𝑖)‖△𝑡𝑖, (soma de Riemann)
28
onde 𝑆𝑛 é a soma de Riemann da função 𝑓(𝛼(𝑡))‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡 no intervalo [𝑎, 𝑏]. Logo, a massa
𝑀 é calculada por
𝑀 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝑓(𝛼(𝑡))‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡.
Definição 3.3. Consideremos a curva 𝒞 ⊂ R3, parametrizada por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)),
𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], onde 𝛼 é de classe 𝐶1, e 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) uma função real e contínua em 𝒞. Definimos a
integral de linha de 𝑓 ao longo de 𝒞 por∫︁
𝐶
𝑓 𝑑𝑠 =
∫︁
𝐶
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑠 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝑓(𝛼(𝑡))‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡. (3.6)
Exemplo 3.2. Calcule
∫︀
𝐶
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 𝑑𝑠, onde 𝒞 é a hélice parametrizada pela função
𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].
Sol. Desde que 𝛼(𝑡) é de classe 𝐶1 em [0, 2𝜋] e 𝛼′(𝑡) = (− sen 𝑡, cos 𝑡, 1). Logo,
𝑑𝑠 = ‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡 =
√
sen2𝑡 + cos2 𝑡 + 1 𝑑𝑡 =
√
2 𝑑𝑡
Como 𝑓 é contínua, então∫︁
𝐶
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 𝑑𝑠 =
∫︁ 2𝜋
0
(cos2 𝑡 + sen2𝑡 + 𝑡2)
√
2 𝑑𝑡
=
√
2
∫︁ 2𝜋
0
(1 + 𝑡2) 𝑑𝑡 =
√
2
[︂
𝑡 +
𝑡3
3
]︂2𝜋
0
=
2
√
2𝜋
3
(3 + 4𝜋2) (3.7)
Se pensarmos na hélice como um arame e 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 como a densidade de
massa no arame, então a massa total do aramé é
2
√
2𝜋
3
(3 + 4𝜋2)
Definição 3.4. A integral de linha de 𝑓 ao longo de uma curva 𝒞 ⊂ R2 parametrizada
por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) de classe 𝐶1 em [𝑎, 𝑏] e 𝑓(𝑥, 𝑦) uma função real contínua definida em
𝒞, é ∫︁
𝐶
𝑓 𝑑𝑠 =
∫︁
𝐶
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑠 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝑓(𝛼(𝑡))‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡. (3.8)
Exemplo 3.3. Calcule
∫︀
𝐶
𝑥𝑦 𝑑𝑠, onde 𝐶 é o quarto de círculo do primeiro quadrante para-
metrizado por 𝛼(𝑡) = (cos 𝑡, sen 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝜋
2
].
Sol. Desde que 𝛼(𝑡) é de classe 𝐶1 em [0, 𝜋/2] e 𝛼′(𝑡) = (− sen 𝑡, cos 𝑡). Logo,
𝑑𝑠 = ‖𝛼′(𝑡)‖ 𝑑𝑡 =
√
sen2𝑡 + cos2 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡
Como 𝑓 é contínua, então∫︁
𝐶
𝑥𝑦 𝑑𝑠 =
∫︁ 𝜋
2
0
cos 𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 =
1
2
sen2𝑡
]︂𝜋
2
0
=
1
2
. (3.9)
29
Observação 3.1. Quando 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 , a formula (3.8) tem como interpretação geométrica
a área de uma cerca que tem como base a curva 𝒞 e altura 𝑓(𝑥, 𝑦) em cada (𝑥, 𝑦) ∈ 𝒞.
3.3 Integral de Linha de um Campo Vetorial
Sejam 𝐹 : R3 −→ R3, 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝐹1(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐹2(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐹3(𝑥, 𝑦, 𝑧)) um campo vetorial e 𝒞
uma curva em R3, definida por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)), 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏].
Para motivar a definição de integral de linha de 𝐹 ao longo de 𝒞, suponhamos que 𝐹
representa um campo de forças e calculemos o trabalho realizado pela força 𝐹 ao deslocar
uma partícula ao longo de 𝒞.
Quando 𝒞 é um segmento de reta ligando o ponto 𝐴 ao ponto 𝐵 e 𝐹 é uma força constante,
sabemos que o trabalho realizado pela força 𝐹 ao deslocar uma partícula ao longo de 𝒞 é
dado por
𝑊 = 𝐹 ·
−→
𝐴𝐵 = força × deslocamento.
Figura 3.3: Trabalho para deslocar uma partícula 𝑃 sobre uma curva 𝒞
Quando 𝒞 não é um segmento de reta, podemos aproximarmá-la por uma linha poligonal
com vértices em 𝒞, do seguinte modo: dividimos o intervalo 𝐼 = [𝑎, 𝑏] por meio de uma
partição regular de ordem 𝑛, 𝑎 = 𝑡0 < · · · < 𝑡𝑖 < · · · < 𝑡𝑛 = 𝑏, obtendo assim, uma linha
poligonal de vértices 𝛼(𝑡𝑖) = (𝑥(𝑡𝑖), 𝑦(𝑡𝑖), 𝑧(𝑡𝑖)) 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑛.
Como para 𝑛 grande △𝑡𝑖 = 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 é pequeno, o deslocamento da partícula de 𝛼(𝑡𝑖) a
𝛼(𝑡𝑖+1) é aproximado pelo vetor △𝑠𝑖 = 𝛼(𝑡𝑖+1) − 𝛼(𝑡𝑖), e 𝐹 pode ser considerado constante
e igual a 𝐹 (𝛼(𝑡𝑖)) no intervalo [𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1]. Supondo que 𝛼′(𝑡) existe para todo 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], então
pela definição de derivada, temos que
△𝑠𝑖 ≈ 𝛼′(𝑡𝑖) △𝑡𝑖
30
Figura 3.4: Aproximação da Trajetória de uma partícula por uma Poligonal
Portanto, o trabalho realizado para deslocar uma partícula de 𝛼(𝑡𝑖) até 𝛼(𝑡𝑖+1) é aproxima-
damente
𝐹 (𝛼(𝑡𝑖))△𝑠𝑖 ≈ 𝐹 (𝛼(𝑡𝑖)) 𝛼′(𝑡𝑖) △𝑡𝑖.
Assim, o trabalho 𝑊 realizado pela força 𝐹 ao deslocar uma partícula ao longo de 𝒞 é:
𝑊 = lim
𝑛−→∞
(︂𝑛−1∑︁
𝑖=0
𝐹 (𝛼(𝑡𝑖)) 𝛼
′(𝑡𝑖) △𝑡𝑖
)︂
(3.10)
Logo,
𝑊 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝐹 (𝛼(𝑡)) · 𝛼′(𝑡) 𝑑𝑡. (3.11)
Definição 3.5. Seja 𝒞 ⊂ R3 uma curva parametrizada por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) com
𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], onde 𝛼 é de classe 𝐶1, e 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝐹1(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐹2(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐹3(𝑥, 𝑦, 𝑧)) um campo
vetorial contínuo definido em 𝒞. Definimos a integral de linha de 𝐹 ao longo de 𝐶 por∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝐹 (𝛼(𝑡)) · 𝛼′(𝑡) 𝑑𝑡. (3.12)
Se a curva 𝒞 é fechada, isto é 𝛼(𝑎) = 𝛼(𝑏) a integral de linha é denotada por
∮︀
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟.
Note que ao usarmos as componentes de 𝐹 e de 𝛼, a equação (3.12) se escreve∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁ 𝑏
𝑎
𝐹1(𝛼(𝑡)) 𝑥
′(𝑡) 𝑑𝑡 +
∫︁ 𝑏
𝑎
𝐹2(𝛼(𝑡)) 𝑦
′(𝑡) 𝑑𝑡 +
∫︁ 𝑏
𝑎
𝐹3(𝛼(𝑡)) 𝑧
′(𝑡) 𝑑𝑡.
=
∫︁
𝐶
𝐹1 𝑑𝑥 +
∫︁
𝐶
𝐹2 𝑑𝑦 +
∫︁
𝐶
𝐹3 𝑑𝑧 (3.13)
31
Observação 3.2. Se 𝒞 é uma curva no plano 𝑥𝑦 parametrizada por 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) com
𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], a integral de linha de 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝐹1(𝑥, 𝑦), 𝐹2(𝑥, 𝑦)) ao longo de 𝒞 é dada por∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁
𝐶
𝐹1 𝑑𝑥 +
∫︁
𝐶
𝐹2 𝑑𝑦 (3.14)
Exemplo 3.4. Calcule
∫︀
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟, onde𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) e 𝒞 é a curva parametrizada
por 𝛼(𝑡) = (sen 𝑡, cos 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋].
Sol. Desde que 𝐹 é contínua em R3 e 𝛼′(𝑡) = (cos 𝑡,− sen 𝑡, 1), temos∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁ 2𝜋
0
(sen 𝑡, cos 𝑡, 𝑡) · (cos 𝑡,− sen 𝑡, 1) 𝑑𝑡 =
∫︁ 2𝜋
0
𝑡 𝑑𝑡 = 2𝜋2 (3.15)
Propriedades
1.
∫︁
𝐶−
𝐹 · 𝑑𝑟 = −
∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟, onde 𝒞− é a curva 𝒞 com orientação oposta.
2.
∫︁
𝐶
(𝑎𝐹 + 𝑏𝐺) · 𝑑𝑟 = 𝑎
∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 + 𝑏
∫︁
𝐶
𝐺 · 𝑑𝑟
3. Se 𝒞 admite uma decomposição num número finito de curvas 𝒞1, 𝒞2, . . . , 𝒞𝑛, isto é,
𝒞 = 𝒞1 ∪ 𝒞2 ∪ · · · ∪ 𝒞𝑛, então:∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁
𝐶1
𝐹 · 𝑑𝑟 +
∫︁
𝐶2
𝐹 · 𝑑𝑟 + · · · +
∫︁
𝐶𝑛
𝐹 · 𝑑𝑟
Exemplo 3.5. Considere 𝒞 a fronteira de um quadrado no plano 𝑥𝑦 de vértices (0, 0), (1, 0),
(1, 1), (0, 1), orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha∫︁
𝐶
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
∫︁
𝐶
𝑥2 𝑑𝑥 +
∫︁
𝐶
𝑥𝑦 𝑑𝑦.
Sol. A curva 𝒞 é decomposta em quatro segmentos de reta que podem ser parametrizados
por:
𝛼1(𝑡) = (𝑡, 0), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
𝛼2(𝑡) = (1, 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
𝛼3(𝑡) = (−𝑡, 1), −1 ≤ 𝑡 ≤ 0
𝛼4(𝑡) = (0,−𝑡), −1 ≤ 𝑡 ≤ 0.
Assim, para 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2, 𝑥𝑦) e 𝑑𝑟 = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦), temos
32
Figura 3.5: 𝒞 = 𝒞1 ∪ 𝒞2 ∪ 𝒞3 ∪ 𝒞4
∫︁
𝐶1
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
∫︁ 1
0
𝑡2 𝑑𝑡 =
1
3∫︁
𝐶2
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
∫︁ 1
0
𝑡 𝑑𝑡 =
1
2∫︁
𝐶3
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
∫︁ 0
−1
−𝑡2 𝑑𝑡 = −1
3∫︁
𝐶4
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
∫︁ 0
−1
0 𝑑𝑡 = 0.
Logo, ∫︁
𝐶
𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 =
1
3
+
1
2
− 1
3
=
1
2
3.4 Campos Conservativos. Independência da Trajetória
Definição 3.6. Um campo vetorial 𝐹 : Ω ⊂ R𝑛 −→ R𝑛 denomina-se conservativo se existe
um campo escalar diferenciável 𝑓 : Ω ⊂ R𝑛 −→ R tal que:
▽𝑓 = 𝐹, em Ω.
Teorema 3.1. Seja 𝐹 um campo vetorial contínuo definido num subconjunto aberto 𝑈 ⊂ R3
para o qual existe uma função real 𝑓 tal que ▽𝑓 = 𝐹, em 𝑈 . Se 𝒞 é uma curva em 𝑈 com
ponto inicial e final 𝐴 e 𝐵, respectivamente, parametrizada por uma função 𝛼(𝑡) de classe
𝐶1 por partes, então ∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 =
∫︁
𝐶
∇𝑓 · 𝑑𝑟 = 𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐴)
O campo vetorial 𝐹 do Teorema anterior é chamado campo gradiente ou campo conser-
vativo e a função 𝑓 , uma função potencial.
33
3.4.1 Construção de uma Função Potencial
Se 𝐹 = (𝐹1, 𝐹2, 𝐹3) é um campo vetorial gradiente de uma função potencial 𝑓 num aberto
𝑈 ⊂ R3, então:
∇𝑓 = 𝐹
ou
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝐹1 (3.16)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝐹2 (3.17)
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= 𝐹3 (3.18)
Usando integrais indefinidas e integrando (3.16) em relação a 𝑥 (mantendo 𝑦 e 𝑧 constantes)
obtemos:
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
∫︁
𝐹1(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥 + 𝐴(𝑦, 𝑧), (3.19)
onde 𝐴(𝑥, 𝑦) é uma constante de integração a ser determinada. Analogamente integrando
(3.17) e (3.18) em relação a 𝑦 e 𝑧 respectivamente, obtemos
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
∫︁
𝐹2(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦 + 𝐵(𝑥, 𝑧), (3.20)
e
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
∫︁
𝐹3(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧 + 𝐶(𝑥, 𝑦), (3.21)
onde 𝐵(𝑥, 𝑧) e 𝐶(𝑥, 𝑦) são funções a serem determinadas.
Para encontrar 𝑓 devemos determinar 𝐴(𝑦, 𝑧), 𝐵(𝑥, 𝑧) e 𝐶(𝑥, 𝑦) de modo que as equações
(3.19), (3.20) e (3.21) tenham o mesmo lado direito.
Exemplo 3.6. Considere o campo gradiente 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑒−𝑦 − 2𝑥,−𝑥𝑒−𝑦 − sen 𝑦). Calcule∫︀
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟, onde 𝐶 é qualquer curva de classe 𝐶1 por partes de 𝐴 = (𝜋, 0) até 𝐵 = (0, 𝜋).
Sol. Se existe 𝑓 tal que ∇𝑓 = 𝐹 , pelo Teorema anterior teremos,∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 = 𝑓(0, 𝜋) − 𝑓(𝜋, 0) (3.22)
Vejamos como encontrar 𝑓 :
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑦 − 2𝑥 (3.23)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) = −𝑥𝑒−𝑦 − sen 𝑦. (3.24)
34
Integrando em relação a 𝑥 e 𝑦 respectivamente obtemos:
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒−𝑦 − 𝑥2 + 𝐴(𝑦) (3.25)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒−𝑦 + cos 𝑦 + 𝐵(𝑥) (3.26)
Por inspeção, resulta que 𝐴(𝑦) = cos 𝑦 e 𝐵(𝑥) = −𝑥2 verificam as equações (3.23) e (3.24).
Portanto, a função potencial é
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒−𝑦 + cos 𝑦 − 𝑥2.
Logo, ∫︁
𝐶
𝐹 · 𝑑𝑟 = 𝑓(0, 𝜋) − 𝑓(𝜋, 0) = −1 − (𝜋 + 1 − 𝜋2) = 𝜋2 − 𝜋 − 2.
3.5 Exercícios
1. Encontre o comprimento de arco das seguintes curvas no intervalo de tempo indicado:
(a) 𝛼(𝑡) = (𝑒𝑡 cos 𝑡, 𝑒𝑡 sen 𝑡) 𝑡 ∈ [0, 2]
(b) 𝛼(𝑡) = (𝑎(cos 𝑡 + 𝑡 sen 𝑡), 𝑎(sen 𝑡− 𝑡 cos 𝑡)) 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
(c) 𝛼(𝑡) = (sen 𝑡, 𝑡, 1 − cos 𝑡) 𝑡 ∈ [0, 2𝜋]
(d) 𝛼(𝑡) = (𝑡, 3𝑡2, 6𝑡3) 𝑡 ∈ [0, 2]
2. Calcule
∫︀
𝐶
𝑓𝑑𝑠, onde
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 e 𝒞 é a fronteira do triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1).
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 e 𝒞 é a circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 4.
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 e 𝒞 tem equações paramétricas 𝑥 = 𝑡− sen 𝑡, 𝑦 = 1 − cos 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.
𝑑) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒
√
𝑧 e 𝒞 é definida por 𝜎(𝑡) = (1, 2, 𝑡2), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.
𝑒) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥+𝑦 e 𝒞 é a curva obtida como a interseção do semiplano 𝑥 = 𝑦, 𝑦 ≥ 0,
com o paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 𝑧 ≤ 2.
3. Um arame tem a forma da curva obtida como interseção da porção da esfera
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4, 𝑦 ≥ 0, com o plano 𝑥+ 𝑧 = 2. Sabendo-se que a densidade em cada
ponto do arame é dada por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦, calcule massa total do arame.
35
4. Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície do cilindro
𝑥2 + 𝑦2 = 4, compreendida entre os planos 𝑧 = 0 e 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2, 𝑧 ≥ 0. se o metro
quadrado de zinco custa 𝑀 reais, calcule o preço total da peça.
5. Calcule
∫︀
𝐶
𝐹.𝑑𝑟, onde
𝑎) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 2𝑥𝑦, 𝑦2 − 2𝑥𝑦) e 𝒞 é a parábola 𝑦 = 𝑥2 de (-2,4) a (1,1).
𝑏) 𝐹 (𝑥, 𝑦) =
(︂
𝑥√︀
𝑥2 + 𝑦2
,
𝑦√︀
𝑥2 + 𝑦2
)︂
e 𝒞 é a circunferência de centro na origem e raio
𝑎, percorrida no sentido anti-horário.
𝑐) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑦 + 3𝑥, 2𝑦 − 𝑥) e 𝒞 é a elipse 4𝑥2 + 𝑦2 = 4, percorrida no sentido
anti-horário.
𝑑) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2, 𝑥2− 𝑦2) e 𝒞 é a curva de equação 𝑦 = 1−|1−𝑥| de (0,0) a (2,0).
𝑒) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦𝑧, 𝑥𝑧, 𝑥(𝑦+1)) e 𝒞 é a fronteira do triângulo de vértices (0,0,0), (1,1,1)
e (-1,1,-1), percorrida nesta ordem.
𝑓) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥𝑦, 𝑥2 + 𝑧, 𝑦2 − 𝑥) e 𝒞 é a curva obtida como interseção do cone
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2, 𝑧 ≥ 0, com o cilindro 𝑥 = 𝑦2 de (0,0,0) a (1, 1,
√
2).
6. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 𝑦2, 2𝑥𝑦) ao mover
uma partícula ao longo da fronteira do quadrado limitado pelos eixos coordenados e
pelas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑦 = 𝑎 (𝑎 > 0) no sentido anti-horário.
7. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦2, 𝑧2, 𝑥2) ao longo da
curva obtida como interseção da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 com o cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎𝑥,
onde 𝑧 ≥ 0 e 𝑎 ≥ 0. A curva e percorrida em sentido anti-horário quando vista do
plano 𝑥𝑦.
8. Determine a função potencial para cada campo gradiente 𝐹 dado.
𝑎) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (𝑒𝑥 sen 𝑦, 𝑒𝑥 cos 𝑦).
𝑏) 𝐹 (𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦2 − 𝑦3, 2𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦2 + 2).
𝑐) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦).
𝑑) 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 sen 𝑧, 𝑥 sen 𝑧, 𝑥𝑦 cos 𝑧).
9. Calcule
∫︀
𝐶
𝐹 ·𝑑𝑟 para os campos gradientes do item 8 𝑐) e 8 𝑑) onde 𝒞 é qualquer curva
de classe 𝐶1 unindo os pontos (0, 0, 𝜋/2) e (1, 1, 𝜋).
36
Referências Bibliográficas
[1] Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado. Cálculo Diferencial e Integral de
Funções de várias Variáveis. Editora UFRJ, 1999.
[2] James Stewart. Cálculo, volume II. Cengage Learning, 2006.
[3] Miriam Buss Gonçalvez e Diva Marília Flemming. Cálculo B. Pearson, 2007.
[4] Walter Mora Flores. Cálculo en Varias Variáveis. Revista Digital Matemática educación
e Internet, 2013.
37
	Funções Vetoriais
	Função Vetorial de Variável Real
	Continuidade e Derivabilidade de uma Curva Parametrizada
	Propriedades da derivada de curvas parametrizadas
	Funções Vetoriais de Varias Variáveis
	Campos Vetoriais
	Exercícios
	Parametrização
	Parametrização de Curvas
	Coordenadas Polares
	Gráfico de uma Equação Polar
	Exercícios
	Integrais de Linha
	Comprimento de Arco
	Integral de Linha de uma Função Escalar
	Integral de Linha de um Campo Vetorial
	Campos Conservativos.Independência da Trajetória
	Construção de uma Função Potencial
	Exercícios