Notas de Aula - Estimação Paramétrica

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Universidade Federal do Ceará – UFC 
Faculdade de Economia, Administração, Atuária e Contabilidade – FEAAC 
Curso de Ciências Atuariais 
 
Disciplina: Modelagem e Simulação em Atuária 
Professora: Iana Jucá 
 
1 MODELAGEM ATUARIAL 
 
1.3 ESTIMAÇÃO PARAMÉTRICA - MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO 
 
1.3.1 Método dos Momentos: se uma família paramétrica tiver r parâmetros, as equações de momento são, 
 



n
i
j
ij rjx
n 1
,...,1,
1
 
onde 
  |jj XE
 é uma função do parâmetro desconhecido o vetor 

. O estimador do método dos 
momentos é a solução para estas equações. 
 
Exemplo 1.3.1.1 Suponha que o número de sinistros para um dado segurado tenha distribuição de Poisson 
(). Usando as observações 3, 1, 2, 1, extraídas de uma amostra aleatória, qual a estimativa de , 

~ , pelo 
método dos momentos? 
𝐸[𝑋] = 𝜆 e �̅� =
1
4
∑ 𝑋𝑖
4
𝑖=1 =
7
4
 
Portanto, 
�̃� =
1
4
∑ 𝑋𝑖
4
𝑖=1
=
7
4
 
 
Exemplo 1.3.1.2 As observações: 1.000, 850, 750, 1.100, 1.250, 900, são uma amostra aleatória extraída de 
uma distribuição Gama com parâmetros desconhecidos. Sejam 
~
 e 

~
 os estimadores de método dos 
momentos dos parâmetros  e , respectivamente. Determine 
~
 e 

~
. 
1) 𝐸[𝑋] =
1
6
∑ 𝑋𝑖
6
𝑖=1
⇒
𝛼
𝛽
= 975 
Sabemos que 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸[𝑋2] − 𝐸[𝑋]2 ⇒ 𝐸[𝑋2] = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝐸[𝑋]2 =
𝛼
𝛽2
+ (
𝛼
𝛽
)
2
 
Então, 
2) 𝐸[𝑋2] =
𝛼
𝛽2
+ (
𝛼
𝛽
)
2
=
1
6
∑ 𝑋𝑖
2
6
𝑖=1
= 977.916,67 
𝛼
𝛽2
+
𝛼2
𝛽2
=
𝛼 + 𝛼2
𝛽2
=
975𝛽 + 950.625𝛽2
𝛽2
=
975 + 950.625𝛽
𝛽
= 977.916,67 
977.916,67𝛽 − 950.625𝛽 = 975 ⇒ �̂� =
975
27.291,67
= 0,04 
e 
�̂� = 975𝛽 = 34,83 
 
1.3.2 Método de Máxima Verossimilhança 
 
Para um vetor de observações, 
X = X1, X2, …, Xn ~ 
 XF
, 
o estimador de máxima verossimilhança é dado por, 
ˆ
, que é o valor do parâmetro  que maximiza a função 
de verossimilhança 
   


n
j
jX xfL i
1

 
Para encontrar 
ˆ
: 
1) Encontre 
    Ll ln
 
2) Determine a derivada parcial de 
 l
 com relação à . 
3) Iguale a derivada parcial de 
 l
 a zero e encontre . 
 
1.3.2.1 Dados Completos, individuais 
Na ausência de truncamento ou censura, a função verossimilhança é dada por 
   


n
j
jX xfL i
1

 
e 
      jX
n
j
xfLl
i


1
lnln
 
 
Em geral, para uma distribuição discreta com dados completos, a função de verossimilhança é dada por 
 
    



1j
n
j
j
xpL 
 
Onde 
jx
é um dos valores observados, 
 jxp
 é a probabilidade de se observar 
jx
, e 
xn
é o número de 
vezes 
x
 foi observado na amostra. 
 
Exemplo 1.3.2.1.1 Dados A (Klugman, 2008) 
Dados A (Completos, Individuais*): Dados coletados entre 1956-58 referente ao o número de acidentes 
produzidos por um motorista em um dado ano. O resultado para 94.935 motoristas é 
 
Tabela 1- Dados A 
No. de Acidentes No. de Motoristas 
0 81.714 
1 11.306 
2 1.618 
3 250 
4 40 
5+ 7 
 
Ajustar uma distribuição Poisson (𝜆) utilizando o método de máxima verossimilhança 
 
 
 
 
1.3.2.2 Dados Incompletos, Individuais 
Dados Truncados à esquerda 
Modelo Deslocado (Shifted Model) 
   








 

n
j
jX xfL j
1

 
 
Modelo não deslocado (Unshifted Model) 
  
 
  

n
j X
jX
dF
xf
L
j
j
1 1 

 
 
Exemplo 1.3.2.2.1 Dados B (Klugman, 2008) 
Dados B (Completos, Individuais): Os valores representam montantes pagos relativos a despesas médicas 
com seguro de acidentes de trabalho. Estes pagamentos representam o valor integral do sinistro. Uma amostra 
aleatória de 20 pagamentos é apresentada abaixo. 
 
Tabela 2 - Dados B 
27 82 115 126 155 161 243 294 340 384 
457 680 855 877 974 1.193 1.340 1.884 2.558 15.743 
 
Utilizando os dois modelos (deslocado e não deslocado), ajustar uma distribuição Pareto 
 800, 
 pelo 
método de máxima verossimilhança, supondo que a distribuição foi truncada à esquerda em 200. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados Censurados à direita: 
       2
1
1
1
n
n
j
jX LFxfL j  








 

 
 
Exemplo 1.3.2.2.2 Utilizando os dados B, ajustar uma distribuição exponencial aos dados completos e aos 
dados censurados à direita em 250. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.2.3 Dados Completos, Agrupados 
Sejam 
kccc  10
 um conjunto de números, onde 
0c
 é a observação de menor valor possível (geralmente 
zero) e 
kc
 é a observação de maior valor possível. 
jn
 é o número de observações no intervalo 
 jj cc ,1
. Para 
esses dados a função de verossimilhança é 
      
jnk
j
jj cFcFL 


1
1 
e 
      


k
j
jjj cFcFnl
1
1ln 
 
 
Exemplo 1.3.2.3.1 Dados C (Klugman, 2008) 
Dados C (Completos, Agrupados): Essas observações representam 227 pagamentos de sinistros de um 
seguro de responsabilidade civil. 
Tabela 13.3 Dados C 
Payment range No. de Pagamentos 
0 – 7.500 99 
7.500 – 17.500 42 
17.500 – 32.500 29 
32.500 – 67.500 28 
67.500 – 125.000 17 
125.000 – 300.000 9 
Acima de 300.000 3