1° EE 2019.1 Complementos - Emerson

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1a - Compl. de Matema´tica 1o Semestre de 2019
TURMA LM 26/Abril/2018
Leia atentamente todas as questo˜es antes de comec¸ar a prova.
As respostas obtidas somente tera˜o validade se respondidas a caneta nas folhas pau-
tadas. Ca´lculos podem ser escritos a` la´pis e em qualquer ordem.
Evite usar material diferente do que foi apresentado em sala. Se for utilizar algum
material extra, justifique-o adequadamente para valida´-lo.
NA˜O USE CALCULADORA e Desligue o celular.
Sa´ıda somente apo´s a entrega.
Esta prova tem durac¸a˜o de 1:30h (uma hora e trinta minutos).
BOA PROVA!
Questa˜o Pontos Nota
1 1
2 3
3 4
4 4
Total: 12
Nome do Aluno:
Prof. Emerson Lima - Escola Polite´cnica da Universidade de Pernambuco
Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ponto
Verifique se a func¸a˜o dada e´ ou na˜o e´ anal´ıtica em C
a)
‖z‖
z + 1
b)f(z) = f(x+ iy) = (x2 − 14xy2) + i(2xy − 7y3)
Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Pontos
Calcule o que se pede. Escreva o resultado na forma cartesiana.
a) Todas as soluc¸o˜es de exp(z) =
√
3pi
2
i
b) senh
(√
3pi
2
i
)
c) Todas as soluc¸o˜es de z4 = −4
Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Pontos
Considere a func¸a˜o u(x, y) = 2y4 − 12x2 y2 − 9x y2 + 4y2 + 2x4 + 3x3 − 4x2 − 2x+ 3.
a) Prove que u(x, y) e´ a parte real de uma func¸a˜o anal´ıtica f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
b) Supondo que f(0) = 3 + 2i, encontre sua parte imagina´ria v(x, y)
c) Calcule f ′(z)
d)
∫
C
f(z) dz onde C e´ o arco de circunfereˆncia ligando os pontos z0 = −2i a z1 = 2i
Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Pontos
Calcule as integrais
a)
∮
C
z
(z + 4i)(z2 − 1)2 onde C e´ o c´ırculo de raio 3 centrado na origem
b)
∫ 2pi
0
dθ
(1 + sen2(θ))2