ENEM Matemática - Curso Anglo - 14

Prévia do material em texto

AULAS 13 a 15
Seqüências e Indução
• Uma sequência real infinita (an)n ∈ IN* é uma função f: IN* → IR. Obs.: an denota f(n).
• Com n ∈ IN*, uma sequência real finita (an)1, n é uma função f : {1, 2, ..., n} → IR.
• Com n ∈ IN, n � 2, Sn denota a soma dos primeiros n termos da sequência e, em particular, S1 = a1.
• Com n ∈ IN, n � 2, Pn denota o produto dos primeiros n termos da sequência e, em particular, P1 = a1.
• Uma sequência é uma progressão aritmética (PA) se, e somente se, existe uma constante r, tal que cada termo an, a
partir do segundo, é a soma do seu antecessor an – 1 com r; isto é, an = an – 1 + r. A constante r é chamada de razão
da PA.
• Sendo (an) uma PA, temos:
an = a1 + (n – 1)r
an = ap + (n – p)r, com p ∈ IN* e, se a PA é finita, com p � n.
a1 + an = ap + an – p + 1, com 1 � p � n. (termos equidistantes)
• Uma sequência é uma progressão geométrica (PG) se, e somente se, existe uma constante q, tal que cada termo
an, a partir do segundo, é o produto do seu antecessor an – 1 por q; isto é, an = an – 1 ⋅ q. A constante q é chamada
de razão da PG.
• Sendo (an) uma PG de razão q, q ≠ 0, temos:
an = a1 ⋅ qn – 1
an = ap ⋅ qn – p, com p ∈ IN* e, se a PG é finita, com p � n.
a1 ⋅ an = ap ⋅ an – p + 1, com 1 � p � n. (termos equidistantes)
(Pn)2 = (a1an)n
Pn = (a1)n ⋅ qs, em que 
Com q ≠ 1, e, com q = 1, Sn = n ⋅ a1
Com –1 � q � 1, a série (Sn) converge para S a q
=
−
⋅1
1
1
S a
q
qn
n
=
−
−
1
1
1
s
n n
=
−( )1
2
 
S
a a n
n
n
=
+( )1
2
RelacionadosFatos
ClasseEm
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
www.cursoanglo.com.br
2008
N • Í • V • E • L 3
Treinamento para
Olimpíadas de
Matemática
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
Exercícios
1. Quantos termos da progressão aritmética (13, 16, ...) são menores que 2009?
a) 663 d) 666
b) 664 e) 667
c) 665
2. Considere a sequência finita (a1, a2, a3, ..., a2008), em que a1 = 17 e, para n � 2008,
an + 1 = . Quantos termos dessa sequência são iguais a 1?
a) 1 d) 666
b) 3 e) 667
c) 665
3. Se, na sequência (a1, a2, a3, ...), a1 = 1, a2 = 1 e, para todo n, n � 3, an = an – 1 – an – 2, então a2008 é igual a:
a) –1 d) 2007
b) 0 e) 2009
c) 1
4. A sequência de Fibonacci (Fn)n n ∈ IN* é tal que F1 = 1, F2 = 1 e, para todo n, n � 3, Fn = Fn – 1 + Fn – 2. Dado que
x2 = x + 1, podemos concluir que x2008 = ax + b, em que as constantes a e b são, nessa ordem, iguais a:
a) F2007 e F2008 d) F2009 e F2007
b) F2007 e F2009 e) F2008 e F2007
c) F2009 e F2008
5. Se então é:
a) 16 d) 3
b) 8 e) 2
c) 4
1. Na figura, temos 60 roseiras numa linha reta com um poço d'água. A distância entre cada duas roseiras mais
próximas é de 1m.
O aposentado Rui do Rego Rosas, de bem com a vida, enche um balde no poço, rega cuidadosamente as ro-
seiras R1, R2 e R3 e volta ao poço. Aí, ele enche o balde e rega as próximas três roseiras R4, R5 e R6, para voltar ao
poço. E, assim, ele prossegue, regando, cada vez, as próximas três roseiras. Após regar as roseiras R58, R59 e R60,
ele volta ao poço para guardar o balde. Quantos metros ele anda nessa tarefa?
a) 730 d) 1460
b) 820 e) 1480
c) 1400
poço
6 m
1 m
1 m
1 m
R1 R2
R3
R60
1 m
CasaEm
 
A
B 
1
1
2
2
3
4 2
1
1
1
2
1
4
1
21 1
+ + +… + +…= + + +… + +…=
− −
n
A e B
n n
,
3an + 1, se an é ímpar
an , se an é par
2

2008
2. Se x, –1 � x � 1, é tal que 1 – x + x2 – x3 + ... + (–1)nxn – 1 + ... = 2008, então 2008x é:
a) –2007 d) 2006
b) –2006 e) 2007
c) 1
3. Se x, –1 � x � 1, é tal que 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... + nxn – 1 + ... = 9, então x é:
a) d)
b) e)
c)
4. Se x, –1 � x � 1, então 1 – 2x + 3x2 – 4x3 + ... + (–1)nnxn – 1 + ... é igual a:
a) d)
b) e)
c)
5. 12 – 22 + 32 – 42 + ... + (2n – 1)2 – (2n)2 + ... + 20072 – 20082 é igual a:
a) –2.017.036 d) –2.170.036
b) –2.071.036 e) –2.170.360
c) –2.071.063
6. Se a soma dos primeiros n termos da sequência (a1, a2, ..., an, ...) é dada por 2n + n2, para todo n, n � 2, então
a8 + a9 + a10 é igual a:
a) 945 d) 951
b) 947 e) 953
c) 949
7. Se, na sequência (a1, a2, ..., an, ...), a1 = 1 e, para todo n, n � 2, an = an – 1 + 2n – 1, então a2008 é igual a:
a) 2008 d) 20092
b) 20082 e) (2008)(2009)
c) 2009
8. é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
 
1004
2009
 
2008
2009
 
2007
2009
 
2009
2008
 
2009
2007
1
1 3
1
3 5
1
5 7
1
2 1 2 1
1
2007 2009⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ + +… +
− +
+… +
( )( )n n
1
1 2( )− x
1
1 2x x( )+
−
+
1
1 2( )x
−
−
1
1 2( )x
1
1 2( )+ x
 
2
3
1
9
−1
3
−2
3
1
3
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
2008
SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 4 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática
9. Se, na sequência (a1, a2, a3, ...), para todo n, n � 3, an = an – 1 – an – 2, então a2007 + a2010 é: 
a) –a2
b) –a1
c) 0
d) a1
e) a2
10. Seja A um conjunto com as seguintes propriedades:
P1: Se x ∈ A, então (2x) ∈ A;
P2: Se x ∈ A, então (x – 2) ∈ A;
P3: 7 ∈ A
Podemos afirmar que:
a) 2007 ∈ A
b) 2008 ∈ A
c) 2009 ∉ A
d) 2006 ∉ A
e) 1 ∉ A
2008