Teoria da producao_parte1_tecnologia

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TEORIA DA PRODUÇÃO: 
TECNOLOGIA E FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
PROFA. SÍLVIA HELENA GALVÃO DE MIRANDA
LES – ESALQ/USP
LES0456 – Teoria Microeconômica I
Maio/2019
LITERATURA BÁSICA
• VARIAN,H. (2016). Microeconomia – Uma abordagem Moderna. Rio de Janeiro: 
Elsevier. Trad. 9ª edição. Cap. 18 e 19
• Material de aula em slides. Disponível em: 
https://www.mtholyoke.edu/~mirobins/econ212.html
ROTEIRO DE AULA
1 - Tecnologia
2 - Função de Produção
3 - Economias de escala
TECNOLOGIA
• Uma tecnologia é um processo pelo qual os insumos (fatores de 
produção*) são transformados em produto;
• Exemplo: trabalho, computador, projetor, eletricidade e software são
combinados para produzir uma aula
• Em geral, mais de uma tecnologia produzirá o mesmo bem ou serviço. 
• Exemplo: trabalho, giz, lousa, régua
• Como comparar as tecnologias? Qual é a melhor?
FATORES DE PRODUÇÃO
• Insumos usados na produção
• Terra, trabalho, capital e matérias-primas
• Trabalho: baixa qualificação, alta qualificação (ex: medido pelos anos de escolaridade)
• Nota sobre o capital (físico): bens de capital são insumos da produção que constituem, 
eles próprios, bens produzidos. Compreendem as máquinas, tratores, prédios, 
computadores, softwares (pela mais recente metodologia do IBGE)
• Capital físico x capital financeiro
CESTA OU CONJUNTO DE INSUMOS
• xi indica a quantidade ou nível do insumo i
• Um conjunto ou cesta de insumos é um vetor de 
quantidades de insumos: (x1, x2, … , xn)
FUNÇÕES DE PRODUÇÃO
• y indica o nível de produção ou produto
• A função de produção que reflete uma tecnologia estabelece a 
quantidade máxima de produto possível de ser gerada a partir
de um conjunto de insumos ou cesta de insumos
• Plano de produção uma cesta de insumos e um nível de produto (x1, … , xn, y). Um 
plano de produção é viável ou factível se:
• O conjunto de todos os planos de produção viáveis é o conjunto tecnológico ou
conjunto de produção
y f x xn ( , , )1 
y f x xn ( , , )1 
CONJUNTO DE PRODUÇÃO
• CONJUNTO DE TODAS AS COMBINAÇÕES DE INSUMOS E 
PRODUTOS QUE COMPREENDEM FORMAS TECNOLOGICAMENTE 
VIÁVEIS DE PRODUZIR
• Há custos na produção  Logo: é preciso analisar qual é o máximo 
possível de produção com uma certa quantidade de insumos.
FUNÇÃO DE PRODUÇÃO E CONJUNTO 
TECNOLÓGICO: UM INSUMO E UM PRODUTO
y = f(x) é a função de 
produção
x’ x
Insumo
Produto
y’
y”
y’ = f(x’) é o nível máximo de produto
possível com x’ unidades de insumo
y” = f(x’) é um nível de produto
possível com x’ unidades de insumo
x’ x
Insumo
Produto
y’
y”
Conjunto tecnológico
CONJUNTO TECNOLÓGICO CONSISTE EM: 
Planos tecnicamente
eficientes
Planos tecnicamente
ineficientes
E
TECNOLOGIA: CASO DE 2 INSUMOS
• Considerando o caso com 2 insumos: x1 e x2 e o nível de produto y
TECNOLOGIA: CASO DE 2 INSUMOS
Produto (y)
x1
x2
(8,1)
(8,8)
ISOQUANTAS – MODELO COM 2 INSUMOS: A ISOQUANTA DO PRODUTO Y É 
O CONJUNTO DE TODAS AS COMBINAÇÕES DOS INSUMOS QUE GERA, NO MÁXIMO, O 
MESMO NÍVEL DE PRODUTO Y
y 
y 
x1
x2
ISOQUANTAS – MODELO COM 2 INSUMOS: 
OUTRA ABORDAGEM GRÁFICA
Produto (y)
x1
x2
y 
y 
Os rótulos das 
isoquantas, ao 
contrário das C.I., que 
tem natureza 
arbitrária, são 
determinados pela 
tecnologia
ISOQUANTAS: FUNÇÃO DE PRODUÇÃO COM 
2 INSUMOS
Produto (y)
x1
x2
y 
y 
y 
y 
TECNOLOGIA COM MÚLTIPLOS INSUMOS –
MAPA DE ISOQUANTAS
• A coleção completa de isoquantas forma o mapa de 
isoquantas. 
• O mapa de isoquantas é equivalente à função de 
produção
3/1
2
3/1
121 2),( xxxxfy 
TECNOLOGIA COM MÚLTIPLOS INSUMOS
x1
x2
y
x1
x2
y
TECHNOLOGIES WITH MULTIPLE INPUTS
x1
x2
y
x1
x2
y
x1
x2
y
x1
x2
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
FUNÇÃO DE PRODUÇÃO COM TECNOLOGIA
COBB-DOUGLAS
• Uma função de produção Cobb-Douglas production function tem a 
seguinte forma geral:
• EXEMPLO
y Ax x x
a a
n
an  1 2
1 2  .
y x x 1
1/3
2
1/3
Sendo n = 2 insumos
A (escala de produção) = 1
a1 = 1/3 e a2 = 1/3
x2
x1
COBB-DOUGLAS: TODAS AS ISOQUANTAS SÃO 
HIPÉRBOLES, ASSINTÓTICAS AOS EIXOS  NUNCA CRUZA OS
MESMOS
y x x
a a
 1 2
1 2
x x y
a a
1 2
1 2  "
x x y
a a
1 2
1 2  '
y“ > y´
TECNOLOGIAS DE PROPORÇÕES FIXAS DE 
INSUMOS
• Uma função de produção com proporções fixas tem a seguinte
forma:
y a x a x a xn n min{ , , , }.1 1 2 2 
y x x min{ , }1 22
TECNOLOGIAS DE PROPORÇÕES FIXAS
x2
x1
min{x1,2x2} = 14
4 8 14
2
4
7
min{x1,2x2} = 8
min{x1,2x2} = 4
x1 = 2x2
y x x min{ , }1 22
Semelhante ao 
caso dos bens 
complementares 
na Teoria da 
Demanda
TECNOLOGIA DE INSUMOS SUBSTITUTOS 
PERFEITOS
• Uma função de produção com insumos substitutos perfeitos da forma:
y a x a x a xn n   1 1 2 2  .
y x x 1 23
N= 2 insumos; a1 = 1 e a2 = 3
9 18
6
24
8
x1
x2
Todas funções de produção são lineares e paralelas
y x x 1 23
TECNOLOGIA DE INSUMOS SUBSTITUTOS 
PERFEITOS
3
PRODUTOS (FÍSICOS) MARGINAIS (PMG)
• O produto marginal de um insumo I é a taxa de mudança no nível do 
produto quando o nível do insumo I muda, mantendo-se todos os demais
insumos fixos. 
• Ou seja:
• Exemplo
y f x xn ( , , )1 
i
i
x
y
MP



PRODUTO FÍSICO MARGINAL
• O Produto Físico Marginal de um insumo i diminui, se torna cada vez
menor à medida que o nível de uso desse insumo se eleva. 
• Ou seja:
.0
2
2







iiii
i
x
y
x
y
xx
MP








O QUE É O PRODUTO (FÍSICO) 
MARGINAL? 
O QUE SÃO OS RETORNOS À ESCALA NA 
FUNÇÃO DE PRODUÇÃO?
RETORNOS À ESCALA
• O Produto Físico Marginal mostra a mudança no nível de produção à 
medida que a quantidade de um único insumo se altera
• Retornos à escala descrevem como o nível de produção muda quando
todos os insumos mudam na mesma proporção
• Se para qualquer conjunto de insumos (x1,…,xn)
• Então a tecnologia descrita pela função de produção exibe retornos
constantes à escala na proporção de k. Exemplo: k=2 (dobram as 
quantidades de todos os insumos)
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2 
RETORNOS CONSTANTES À ESCALA: UM 
INSUMO E UM PRODUTO 
y = f(x)
x’ x
Insumo
Produto
y’
2x’
2y’
Retornos constantes
à escala
RETORNOS À ESCALA
Dado um conjunto de insumos (x1,…,xn) se:
Diz-se que a tecnologia (ou a função de produção) exibe retornos
decrescentes à escala. Ou seja, se k =2 (dobram-se todos os insumos), o 
produto crescerá menos que o dobro. 
Se, dado um conjunto de insumos, contudo, tivermos:
Então a tecnologia exibe retornos crescentes à escala. Ou seja, para k = 2, 
com os insumos dobrando em quantidade, o aumento da produção seria
mais do que o dobro
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2 
f kx kx kx kf x x xn n( , , , ) ( , , , )1 2 1 2 
RETORNOS DECRESCENTES À ESCALA
y = f(x)
x’ x
Nível de insumo
Produto
f(x’)
2x’
f(2x’)
2f(x’)
Retornos decrescentes
à escala
RETORNOS CRESCENTES À ESCALA – UM 
INSUMO
y = f(x)
x’ x
Insumo
Produto
f(x’)
2x’
f(2x’)
2f(x’)
Retornos crescentes
à escala
UMA ÚNICA TECNOLOGIA PODE EXIBIR RETORNOS
CRESCENTES E DECRESCENTES À ESCALA
y = f(x)
x
Insumo
Produto
Retornosdecrescentes
Retornos crescentes
EXEMPLOS DE RETORNOS À ESCALA
A função de produção com insumos substitutos perfeitos é:
Se aumentar todos os insumos proporcionalmente por k, o nível 
de produção se modifica por:
Logo, a função de produção para substitutos perfeitos tem 
retornos constantes à escala!!!!!
y a x a x a xn n   1 1 2 2  .
a kx a kx a kx
k a x a x a x
ky
n n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )
.
  
   



EXEMPLOS DE RETORNOS À ESCALA: 
INSUMOS COMPLEMENTARES PERFEITOS
y a x a x a xn n min{ , , , }.1 1 2 2 
A função de produção para insumos complementares é dada por:
Ao aumentar proporcionalmente os níveis de todos os insumos, por k, 
o nível de produção muda em:
Logo  a função de produção com complementares perfeitos exibe
Retornos constantes à escala
min{ ( ), ( ), , ( )}
(min{ , , , })
.
a kx a kx a kx
k a x a x a x
ky
n n
n n
1 1 2 2
1 1 2 2



EXEMPLO DE RETORNOS À ESCALA: 
FUNÇÃO DE PRODUÇÃO COBB-DOUGLAS
y x x x
a a
n
an 1 2
1 2  .
Ao aumentar todos os insumos proporcionalmente por k, tem 
como resultado o seguinte nível de produção:
Dada a função: 
( ) ( ) ( )
.
kx kx kx
k k k x x x
k x x x
k y
a a
n
a
a a a a a a
a a a a a
n
a
a a
n
n n
n n
n
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1

 





  
 
FUNÇÃO DE PRODUÇÃO DO TIPO COBB-
DOUGLAS
y x x x
a a
n
an 1 2
1 2  .
A tecnologia Cobb-Douglas se caracteriza por retornos à 
escala:
• constantes se: a1+ … + an = 1
• crescentes se: a1+ … + an > 1
• decrescentes se: a1+ … + an < 1
( ) ( ) ( ) .kx kx kx k y
a a
n
a a an n
1 2
1 2 1   
PERGUNTA-SE
1) Pode uma função exibir retornos crescentes à escala 
mesmo tendo todos os Produtos Físicos Marginais 
decrescentes? 
TECNOLOGIAS BEM COMPORTADAS
• Uma tecnologia é bem comportada quando é:
• MONOTÔNICA e CONVEXA
TECNOLOGIA MONOTÔNICA
• Monotonicidade: Mais de qualquer insumo gera mais
produto.
y
x
y
x
monotônica
não
monotônica
TECNOLOGIA BEM COMPORTADA –
CONVEXIDADE 
x2
x1
x2
'
x1
'
x2
"
x1
"
 tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )   
y
Convexidade: se um conjunto de insumos x’ e x”, 
ambos, geram y unidades de produto então, a 
combinação tx’ + (1-t)x” gerará, pelo menos, y 
unidades de produto, para qualquer 0 < t < 1. 
TECNOLOGIA BEM COMPORTADA –
CONVEXIDADE 
x2
x1
x2
'
x1
'
x2
"
x1
"
 tx t x tx t x1 1 2 21 1' " ' "( ) , ( )   
y
y
TECNOLOGIA BEM COMPORTADA –
CONVEXIDADE 
x2
x1
x2
'
x1
'
x2
"
x1
"
A convexidade implica que a TST
aumenta (ou seja, se torna menos
negativa) à medida que x1 aumenta
O QUE DISTINGUE O CURTO E O LONGO 
PRAZO NA TEORIA DA PRODUÇÃO?
O CURTO E O LONGO PRAZO
• O Longo prazo se caracteriza pela circunstância na qual a empresa ou firma não
tem restrição em sua escolha de insumos, a qualquer nível de seu emprego. 
Uma forma de entender o LP é que a firma pode escolher em qual circunstância
de curto prazo ela estará. 
• O Curto prazo caracteriza a situação na qual uma firma está limitada, de algum
modo, em sua escolha, para, pelo menos, um insumo
• Exemplos de restrições que incidem sobre as empresas no curto prazo:
• Temporariamente impossibilitada de instalar ou remover maquinário
• Exigências legais (quotas, licenciamentos) 
• Atendimento de regulamentos domésticos sobre conteúdo
SUPONDO O INSUMO X2 COMO FIXO NO 
CURTO PRAZO…..
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNSx2
x1
y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x2
x1y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x2
x1
y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x2
x1
y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x2
x1
y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x2
x1
y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x2
x1
y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x2
x1
y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x2
x1
y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x2 x1
y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x1
y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x1
y
THE LONG-RUN AND THE SHORT-RUNS
x1
y
Exemplos de funções de produção de curto prazo