Lei de Gauss

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LEI DE GAUSS
(capítulo 23 do Halliday)
Disciplina: FSC 1026 – Física Geral e Experimental III
Professora: Paula R. Kern
Sala 1314
e-mail: paulafisicakern@gmail.com
Superfície gaussiana
Carga +2QCarga +Q
Em todos os pontos da esfera, chamada de superfície
gaussiana:
• Os vetores do campo elétrico têm o mesmo módulo,
E = kQ/r2, e apontam radialmente para longe da
partícula (já que ela é positiva).
• As linhas de campo apontam para longe da partícula
e têm a mesma densidade (a qual é proporcional ao
módulo do campo elétrico).
O módulo dos vetores e a
densidade das linhas de campo
elétrico que atravessam a
superfície gaussiana é duas
vezes maior, pois a carga é +2Q.
Superfície gaussiana
Carga +2QCarga +Q
A lei de Gauss relaciona os campos elétricos
nos pontos de uma superfície gaussiana
(fechada) à carga total envolvida pela
superfície.
Carga -0,5Q
Vamos abordar problemas de dois tipos:
• Conhecemos a carga e usamos a lei de Gauss
para determinar o campo elétrico em um
determinado ponto.
• Conhecemos o campo elétrico em uma
superfície gaussiana e usamos a lei de Gauss
para determinar a carga envolvida pela superfície.
Fluxo elétrico
O fluxo elétrico descreve a quantidade de campo
elétrico que atravessa uma superfície.
Fluxo elétrico
Considere-se uma superfície plana (de área A) e um campo
elétrico uniforme:
Apenas a componente x 
(módulo Ex = Ecosθ) atravessa 
o quadrado; a componente y é 
paralela ao quadrado e não 
aparece na lei de Gauss. 
Um vetor campo elétrico 
atravessa um pequeno 
quadrado numa superfície 
plana. 
O fluxo elétrico é dado 
pelo produto do campo 
que atravessa a 
superfície pela área 
envolvida.
Outra possibilidade é 
definir um vetor área 
que é perpendicular 
ao quadrado e tem um 
módulo igual à área do 
quadrado.
Nesse caso, o produto escalar fornece
automaticamente a componente do campo que é
paralela ao vetor área e atravessa o quadrado.
Fluxo elétrico
Para determinar o fluxo elétrico total que atravessa a superfície de
área A, somamos o fluxo que atravessa todos os pequenos
quadrados da superfície:
A soma na equação acima é transformada em uma integral reduzindo
os pequenos quadrados de área ΔA em elementos de área dA. Assim:
(Fluxo total)
Fluxo elétrico
Como calcular o produto escalar que aparece no integrando?
(Fluxo total)
- Escrevendo os dois vetores na notação de vetores unitários.
- Podemos calcular também na notação módulo-ângulo.
Se o campo elétrico é uniforme e a
superfície é plana, esse produto é
constante e pode ser colocado do lado
de fora da integral.
(Campo uniforme, superfície plana)
Superfície fechada
As componentes do campo elétrico
atravessam a superfície de dentro
para fora ou de fora para dentro?
Se o sentido do campo elétrico é para
fora da superfície, o fluxo é positivo;
se o sentido do campo elétrico é para
dentro da superfície, o fluxo é
negativo; se o campo elétrico é
paralelo à superfície, o fluxo é zero.
O vetor área tem 
sentido (positivo) 
para fora da 
superfície fechada.
O fluxo total através de uma superfície
fechada (a qual é utilizada na lei de Gauss) é dado
por:
onde a integral é calculada sobre toda a superfície fechada 
(por isso o símbolo no sinal da integral). 
O fluxo é uma grandeza escalar. É a quantidade de campo elétrico que 
atravessa a superfície, e não o campo em si.
A unidade é o N.m2/C.
Fluxo de um campo uniforme 
através de uma superfície cilíndrica
Fluxo de um campo elétrico não-uniforme 
através de um cubo
Lei de Gauss
Duas cargas pontuais, de
mesmo valor absoluto e sinais
opostos, e as linhas de campo
que representam os campos
elétricos criados pelas cargas
no espaço em torno delas.
Quatro superfícies gaussianas
são vistas de perfil.
Lei de Gauss
Superfície 1 – O campo elétrico aponta
para fora em todos os pontos da superfície.
Se Φ é positivo, a qenv deve ser positiva.
Superfície 2 – O campo elétrico aponta
para dentro em todos os pontos da
superfície. Se Φ é negativo, a qenv deve ser
negativa.
Lei de Gauss
Superfície 3 – A superfície não envolve
nenhuma carga, assim o fluxo do campo
elétrico é nulo. Todas as linhas que entram
pela parte de cima saem pela parte de
baixo.
Superfície 4 – A carga total envolvida pela
superfície é nula, já que as cargas
envolvidas têm o mesmo valor absoluto e
sinais opostos. O fluxo do campo elétrico
através dessa superfície é zero. O número
de linhas de campo que entram na
superfície pela parte de baixo é igual ao
número de linhas que saem pela parte de
cima.
Lei de Gauss e Lei de Coulomb
- A lei de Gauss pode ser usada para
determinar o campo elétrico produzido por
uma partícula carregada.
- Simetria esférica – o campo elétrico tem o
mesmo valor E em todos os pontos da
superfície da esfera.
-Vamos dividir a superfície em áreas
elementares dA. O vetor área dA é
perpendicular ao elemento de área e aponta
para fora da esfera.
- A simetria da situação mostra que o campo
elétrico E também é perpendicular à superfície
da esfera.
Lei de Gauss e Lei de Coulomb
EdAcos θ = EdAcos00 = EdA
O módulo do campo
elétrico é igual em todos
os elementos de área
Área da esfera
Mesmo resultado obtido por meio da lei de Coulomb!
EXEMPLO 23.04 – Qual é a carga elétrica envolvida 
pelo cubo gaussiano do exemplo 23.02? 
UM CONDUTOR CARREGADO
Se uma carga em excesso é introduzida em um
condutor, a carga se concentra na superfície do
condutor; o interior do condutor permanece neutro.
A lei de Gauss permite demonstrar um teorema importante a respeito dos
condutores:
O teorema faz sentido pois:
- Cargas de mesmo sinal se repelem, assim, ao se acumularem em uma superfície, se
mantêm afastadas o máximo possível umas das outras.
UM CONDUTOR CARREGADO
A figura mostra um pedaço de
cobre, pendurado por um fio
isolante, com uma carga em
excesso q. Uma superfície
gaussiana é colocada logo abaixo
da superfície do condutor.
O que ocorre nessa situação?
- O campo elétrico no interior do
condutor deve ser nulo, se não fosse
nulo haveria um movimento de cargas
no interior do condutor (devido à força
sobre os elétrons de condução).
- Um campo elétrico interno existe
enquanto o condutor está sendo
carregado. A carga adicional logo se
distribui de tal forma que o campo
elétrico interno se anula e as cargas
param de se mover (equilíbrio
eletrostático).
UM CONDUTOR CARREGADO
O que ocorre nessa situação?
- Se E é zero em todos os pontos do
interior do pedaço de cobre, deve ser
zero em todos os pontos da superfície
gaussiana (que está no interior do
pedaço de cobre).
- O fluxo elétrico é zero e, de acordo
com a lei de Gauss, a carga envolvida
pela superfície gaussiana deve ser
nula. Assim, o excesso de carga só
pode estar na superfície do condutor.
UM CONDUTOR CARREGADO
Campo elétrico externo
Uma superfície gaussiana 
cilíndrica, engastada 
perpendicularmente no condutor, 
envolve parte das cargas. Linhas 
de campo elétrico atravessam a 
base do cilindro que está do lado 
de fora do condutor, mas não a 
base que está do lado de dentro.
(superfície condutora)
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: SIMETRIA CILÍNDRICA
Vamos obter uma expressão para
o módulo do campo elétrico a
uma distância r do eixo da barra.
Em qualquer ponto do 
espaço E aponta 
radialmente
para longe da barra (a 
carga é positiva).
A figura apresenta uma superfície gaussiana
cilíndrica envolvendo parte de uma barra de plástico
cilíndrica, de comprimento infinito,com uma
densidade linear uniforme de carga positiva λ.
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: SIMETRIA PLANAR
a) Vista em perspectiva. b) Vista lateral de
uma pequena parte de uma placa de
grande extensão com uma carga positiva
na superfície. Uma superfície gaussiana
cilíndrica, com o eixo perpendicular à placa
e uma base de cada lado da placa,
envolve parte das cargas.
Vamos obter uma expressão para
o módulo do campo elétrico a
uma distância r da placa.
E aponta para longe da 
placa (a carga é 
positiva).
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: SIMETRIA PLANAR
Duas placas condutoras
- A carga em excesso fica na superfície das
placas.
- As cargas se distribuem uniformemente nas
duas faces com uma densidade superficial
de carga σ1.
- Nas proximidades da superfície, E = σ1/ε0.
- Como as placas são condutoras, quando
as aproximamos, as cargas em excesso de
uma placa atraem as cargas em excesso da
outra, e todas as cargas em excesso se
concentram na superfície interna das placas.
E aponta para longe da placa positiva e na direção da placa
negativa. Do lado de fora das placas E = 0, pois não existe
excesso de carga nas faces externas.
EXEMPLO 23.07 – Campo elétrico nas proximidades de 
duas placas isolantes carregadas paralelas
A figura (a) mostra partes de duas placas de grande extensão, isolantes, paralelas,
com uma carga uniforme do lado esquerdo. Os valores das densidades superficiais
de carga são σ(+) = 6,8 µC/m
2 para a placa positivamente carregada e σ(-) = 4,3
µC/m2 para a placa negativamente carregada. Determine o campo elétrico E (a) à
esquerda das placas, (b) entre as placas e (c) à direita das placas.
EXEMPLO 23.07 – Campo elétrico nas proximidades de 
duas placas isolantes carregadas paralelas
Para onde aponta o campo 
elétrico total em cada uma 
das regiões?
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: 
SIMETRIA ESFÉRICA
Vamos demonstrar os teoremas das cascas!
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: SIMETRIA ESFÉRICA
Situações equivalentes
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: SIMETRIA ESFÉRICA
Vista em seção reta de uma casca
esférica fina, uniformemente carregada,
com uma carga total q. A superfície
gaussiana S2 envolve a casca. A
superfície S1 envolve a cavidade vazia
que existe no interior da casca.
Quando aplicamos a lei de Gauss à superfície
gaussiana S2, para a qual r ≥ R:
Logo, o campo é igual ao que seria criado por uma carga pontual q localizada no centro
da casca. Está demonstrado o primeiro teorema das cascas!
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: SIMETRIA ESFÉRICA
Gaiola de Faraday
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: SIMETRIA ESFÉRICA
Quando aplicamos a lei de Gauss à superfície
gaussiana S1, para a qual r < R:
E = 0, pois a superfície não envolve nenhuma
carga.
E = 0 (campo para r < R)
Assim, se existe uma partícula carregada no interior da casca, a casca não exerce
nenhuma força sobre a partícula. Está demonstrado o segundo teorema das cascas!
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: SIMETRIA ESFÉRICA
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: SIMETRIA ESFÉRICA
Toda distribuição de carga esfericamente
simétrica, como a distribuição de raio R e
densidade volumétrica de carga ρ da figura ao
lado, pode ser substituída por um conjunto de
cascas esféricas concêntricas.
Considera-se que a distribuição de carga é
apenas função de r, ou seja, ρ(r) e tem um valor
único para cada casca.
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: SIMETRIA ESFÉRICA
Referências
- Halliday e Resnick, vol. 3, 10 edição